OPTIMIZACION DE LOS PROGRAMAS DE FERTILIZACION CIP- PIURAEXPOSITOR : ING. FRANKLIN VALDIVIESO

PREGUNTAS INICIALES1.De qu se trata la exposicin?2. En qu se basan estas tcnicas ? 3.Es confiable ?4. Es fcil de aplicar ?5. Y,..Cmo la aplico ?6.Qu herramientas e informacin necesito ? 7. Cmo me puedo beneficiar ?8. Son sus resultados fciles de interpretar ?9. Es flexible ?

LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Existen diversas definiciones para la Investigacin de Operaciones, pero vamos a realizar una sntesis de J. Wiley de 1957, extrada de una entrevista para una publicacin de administracin moderna en la universidad de Harvard: "La Investigacin de Operaciones es la aplicacin del mtodo cientfico al estudio de las alternativas en una situacin problema, con miras a proporcionar una base cuantitativa, para llegar a una solucin ptima, en trminos de las metas buscadas

La investigacin de Operaciones no proporciona decisiones, slo datos cuantitativos, para ayudar al director, al administrador o al ingeniero a tomarlas y su mayor contribucin ha sido, el desarrollo de los modelos conceptuales para la toma de decisiones. Podemos citar a los modelos descriptivos, llamados tambin de simulacin, usados en ciertas situaciones generalmente complejas o a los modelos de Optimizacin, cuyo propsito es llegar a una solucin optima en trminos de un objetivo.

Cmo es nuestro problema?MODELOS DE DECISIN EN INVESTIGACIN DE OPERACIONES

La Investigacin de Operaciones aborda en la actualidad, problemas de diversa naturaleza:

a. Problemas determinsticosb. Problemas bajo condiciones de riesgoc. Problemas bajo condiciones de incertidumbre

Los problemas determinsticos: son aquellos, donde nos es posible conocer los insumos y las condiciones operacionales caractersticas del sistema, cuyas salidas podemos considerarlas como singulares, es decir, se presentan de una nica manera

Modelos conceptuales . Pero.. Qu es un modelo ?Es un medio utilizado frecuentemente para analizar el comportamiento de un sistema real, casi siempre, con el fin de mejorar su desempeo. El modelo, es una representacin razonablemente fiel, de una realidad emprica, donde se nos permite simplificar algunas caractersticas de la realidad de un problema, con la finalidad de construir la estructura lgica ms adecuada para su anlisis formal.CLASIFICACIN GENERAL DE LOS MODELOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES 1.Modelos Icnicos o Fsicos: Como maquetas, mapas, globos terrestres, etc.2 Modelos Por Analoga: Se construye un "Modelo Sustituto", el que nos permite representar al real, para analizar su comportamiento. .3. Modelos Simblicos: Utilizan los smbolos y relaciones matemticas, se representan en forma analtica, como un conjunto de ecuaciones e inecuaciones matemticas4.Modelos descriptivos: Expresados en lenguaje convencional (Ingles, espaol, etc.).Tienen como base la intuicin y el sentido comn5. Modelos Tipo Procedimiento: Llamados tambin "Modelos de Simulacin. Conjunto de procedimientos a seguir para la solucin a un problema.6. Modelos Mentales: Representacin de ideas, imgenes y supuestos que influyen en nuestro modo de comprender las cosas y buscar las soluciones, etc.

LOS MODELOS DE PROGRAMACIN LINEALModelos : Por que son una representacin (abstraccin), de un sistema "real

Programacin : Utilizamos este trmino como sinnimo de planeacin (Plan de accin) para conseguir un objetivo de optimizacin.

Lineal:Puesto que este tipo de modelo, expresa todas sus relaciones funcionales mediante expresiones de primer grado.

La estructura del modelo matemtico de programacin lineal es la siguiente:

1. Una funcin objetivo2. Un conjunto de restricciones: funcionales, relacionales u operacionales3. Un conjunto de condiciones tcnicas (condiciones de aplicabilidad de la solucin encontrada)

La Funcin ObjetivoComo se ha explicado, en todo modelo de Programacin Lineal, solamente hay una funcin objetivo y ser bien de maximizacin o minimizacin. Cualquier meta adicional que se plantee, se deber formular como una restriccin operacional, de tal forma, que en dicha restriccin, se planteen cules debern ser los niveles mnimos o mximos permitidos o aceptados en la solucin. As por ejemplo:

El objetivo de una planta de produccin es minimizar lo costos, pero con una produccin no menor a ciertos niveles que se requieren (los que deben garantizar el abastecimiento de los clientes)

El objetivo de un fundo ser minimizar los costos de fertilizacin, pero garantizando los niveles requeridos de macroelementos al campo y otros elementos

Su formulacin matemtica es, una funcin lineal de la forma:

Optimizar Z = C1X1 + C2X2 + ... + Cn Xn

Z, define la medida de efectividad del sistema, como una funcin lineal de Optimizacin, donde "Optimizar" puede significar: maximizar (utilidades, rendimientos, ganancias) o minimizar (tiempos, costos, desperdicios, etc.)

LO QUE QUEREMOS, DEBEMOS PLANTEARLO COMO UNA RESTRICCIONEn esta parte del modelo, se plantean mediante inecuaciones matemticas, los requerimientos, las capacidades operativas del sistema, las disponibilidades de los recursos o las demandas potenciales del mercado, as como la manera en que se transforman o usan los recursos e insumos disponibles (a travs de los coeficientes de transformacin aij) .Dichos coeficientes son los parmetros del problema, por lo que necesariamente deben ser conocidos.

Su formulacin matemtica, son un conjunto de restricciones, todas lineales, de la forma: aij Xj = bi

a11X1 + a12X2 + a13 X3 + a1nXn = b1a21X1 + a22X2 + a23 X3 + a2nXn = b2a31X1 + a32X2 + a33 X3 + a3nXn = b3......................................................... ..................................................................... ............am1X1 + am2X2 + am3 X3 + amnXn = bm Donde:aij : Coeficientes tecnolgicos de transformacinbi : disponibilidad, capacidad o demanda, de cada factor Xj : Variable de decisin o actividad de produccin, que utiliza los recursos

EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIN DE MEZCLAS (AGRCOLAS)El modelo de Mezclas se orienta hacia la optimizacin (minimizacin de los costos) que se producen al utilizar, diferentes productos (insumos), los cuales debern ser capaces de satisfacer unos requerimientos especificados del campo.

El modelo clsico de mezclas agrcolas requiere la siguiente informacin:

Una lista de todos los posibles productos (insumos agrcolas), que puedan ser utilizados para satisfacer los requerimientos del campo

La composicin porcentual en peso de los elementos y/o componentes

Los costos unitarios de los insumos

Puede o no incluir, la asimilacin porcentual del insumo y/o componente, por parte de la planta

El tamao de la plantacin ( nmero de plantas )

Los requerimientos ( cantidades requeridas en peso de los elementos qumicos ), por planta o del total del campo

APLICACIN DE Modelo de Mezclas

El Fundo Sol del NOrte, desea realizar las tareas de fertilizacin de su plantacin de limones, estimadas en unas 5000 plantas. El propietario se ha visto entusiasmado por la idea de aplicar la programacin lineal por primera vez en su empresa y lograr la optimizacin del costo relacionado con el abonamiento, tarea que est a punto de realizar. Para ello, realiza el anlisis de suelos del campo y consultando a un especialista en fruticultura de ctricos, el cual le recomienda que cada planta requiere una aplicacin de: 300 gramos de N, 75 gramos de P, 225 gramos de K, 54 gramos de Mg y 225 gramos de Ca. Luego de consultar los diferentes productos que se recomiendan para dicho cultivo, su composicin y los respectivos costos, decide construir su modelo matemtico de optimizacin.

Descripcin de los insumos

Cules son nuestras variables de decisin?LAS VARIABLES DE DECISIN DEL MODELO (X i )

Nuestro problema tiene las siguientes variables de decisin:SG, NE, CA, MA, SC, NC, NP, NA, SA, FD, CP, SP, SU Es decir, cada insumo, representa en la prctica una variable de decisin, a las cuales decidimos identificar con sus letras iniciales . En total tenemos, 13 variables, que formarn parte de nuestro modelo de Programacin

LA COMPOSICIN EN PESO DE LOS INSUMOSTodos los insumos tienen materia inerte en su composicin, es decir poco significativa como nutriente de la planta. La composicin de los insumos que se analizan, debe estar referida a los elementos o componentes importantes y significativos que tiene el producto y coadyuvan en la tarea de fertilizacin y adicin de elementos al suelo.

Cul es el aporte ms importante del insumo ? Composicin en peso El SUPER GUANO AZUL, aporta al suelo/planta, por cada kilogramo de producto: 120 gramos de N, 120 gramos de P, 170 gramos de K y 20 gramos de Mg.

Informacin del problemaCon respecto a los costos. Los precios de la presentacin (bolsa de 50 Kg ), se proporcionan en la cuarta columna y el costo promedio por Kg, en la quinta columna, la que se ha calculado dividiendo dicho precio( de la bolsa) entre 50 ( el contenido de la presentacin )

El modelo matemtico de Programacin, puede incluir o no incluir, porcentajes de asimilacin o coeficientes de incorporacin y de prdida, caractersticos de cada producto. Para nuestro primer modelo no se proporcionan y significa que las prdidas podemos considerarlas como mnimas o despreciables

El tamao de la plantacin es de 5000 plantas

Los requerimientos ms importantes de este cultivo son los siguientes : Cada planta requiere una aplicacin de: 300 gramos de N, 75gramos de P, 225 gramos de K, 54gramos de Mg y 225 gramos de Ca.

LA CONSTRUCCION DEL MODELO DE PROGRAMACIN Optimizar Z = C1X1 + C2X2 + ... + Cn Xn

La optimizacin en este problema significa, la obtencin de la solucin de costo mnimo. Aquella que resulte la ms econmica de todas, pero que garantice la calidad (los requerimientos) especificada La solucin obtenida , deber tener una calidad igual o mayor a la planteada por los requerimientos o necesidades del campo

Los coeficientes c1, c2, c3,.cn : son los costos unitarios de nuestras variables de decisin ( insumos)

Las variables X1, X2, X3.Xn : : son los diferentes insumos ( productos)

Optimizar en este problema es igual a Minimizar

Las Restricciones Funcionales del Modelo Este modelo es lineal, (solamente inecuaciones matemticas de primer grado), del tipo :

aij Xj = bi

a11X1 + a12X2 + a13 X3 + a1nXn = b1a21X1 + a22X2 + a23 X3 + a2nXn = b2a31X1 + a32X2 + a33 X3 + a3nXn = b3......................................................... ..................................................................... ............am1X1 + am2X2 + am3 X3 + amnXn = bm Donde:

aij : El Coeficiente tecnolgico que aporta cada insumo de cada elemento requerido bi : Cantidades totales requeridas por el campo , de cada elemento o nutriente Xj : Cantidades en Kg de cada insumo ( variable de decisin ) que deber adicionarse al campo

CALCULO DE LOS PARAMETROS Nuestros requerimientos planteados (para el primer ao de produccin), de macroelementos, se muestran en la siguiente tabla :

Cada planta requiere una aplicacin de: 300 gramos de N, 75 gramos de P, 225 gramos de K, 54 gramos de Mg y 225 gramos de Ca

Nota : sin desmerecer otras proporciones que pueden ser adecuadas . Hemos utilizado la proporcin usada en cultivos exitosos de experiencia israel.

En cuanto a la cantidad de nutrientes a partir del segundo ao de produccin, es conveniente utilizar el balance de extraccin del cultivo, para poder determinar las necesidades nutrimentales de las plantas

LOS COEFICIENTES TECNOLOGICOSLas necesidades del campo sern : 5000 plantas x las necesidades de cada planta

5000 x 0.300 = 1500 Kg de Nitrgeno5000 x 0.075= 375 Kg de Fsforo5000 x 0.225 = 1125 kg de Potasio5000x 0.225 = 1125 kg de Calcio5000x 0.054 = 270 Kg de Magnesio

Las condiciones tcnicas del modelo: nos aseguran que las soluciones del modelo, debern ser soluciones aplicables a la realidad. En nuestro caso, cualquier solucin (de las variables de decisin), deber ser mayor o igual a cero

Las condiciones tcnicas X1, X2, , X13 0

Formulacin del programa de computadoraLa funcin de costo Min Z = 1.66 SG + 2.66 NE + 1.74 CM + 0.58 MC + 0.24 SC + 1.92 NC +1.92 NP + 1.40 NA +1.08 SA + 1.60 FD +1.14 CP +1.36 SP + 0.96 SM

PLANTEAMIENTO DE LAS RESTRICCIONES FUNCIONALES

0.120 SG + 0.120 NE + 0.200 CM + 0.155 NC +0.130 NP +0.330 NA + 0.210 SA + 0.180 FD 1500 (N)

0.120 SG + 0.100 NE + 0.200 CM + 0.030 NA + 0.460 FD 375 (P)

0.170 SG + 0.200 NE + 0.200 CM + 0.440 NP + 0.600 CP + 0. 500 SP + 0.220 SM 1125 (K)

0.040 MC + 0.200 SC + 0.265 NC 1125 (Ca)

0.020 SG + 0.020 NE + 0.050 MC + 0.100 SC + 0.180 SM 270 (Mg)

CONDICIONES TECNICAS SG , NE, CA , MC, SC , NC, NP , NA , SA , FD , CP , SP, SM 0

Ingresando al ProgramaPantallas de inicio (especificando las caractersticas del Modelo)

DEFINIENDO LAS VARIABLES

INGRESANDO LOS COEFICIENTES DEL MODELO Los coeficientes ( de las variables) se ingresan, de acuerdo al orden que hemos definido previamente, segn la Matriz

La Lectura y el Anlisis de los ResultadosLa solucin ptima de nuestro Programa de Fertilizacin ( Modelo de Mezcla ), se accede en el men principal, con la opcin Resolver y Analizar ( Solve and Analyze)

LA INTERPRETACION ECONOMICA DE LA SOLUCIONEl costo total ptimo del programa de fertilizacin es de s/. 10301.02 soles

La Solucin Optima Recomendada es :

Se recomienda la adquisicin de 5625 Kg de la variable de decisin SC (Sulfato de cal ) 5625/50 = 112.50 bolsas

De 4252 Kg de NA ( Nitrato de Amonio ) 4252/50= 85 bolsas

De 537.91 Kg de FD ( Fosfato Diamnico) 537.91/50 = 10.75 bolsas

De 1875 Kg de CP ( Cloruro de Potasio) 1875 /50 = 37.50 bolsas

La composicin del Costo ptimo es la siguiente :

Las compras de SC ( Sulfato de Cal ) sern por 1350.00 Las compras de NA ( Nitrato de Amonio )sern por 15952.87Las compras de FD ( Fosfato Diamnico )sern por 860.66Las compras de CP ( Cloruro de Potasio ) sern por 2137.50 El costo total de fertilizacin del Programa asciende a 10301.02 soles

LOS INSUMOS OPTIMOSEl producto SC (Sulfato de Cal) , es una solucin ptima para nuestro programa de fertilizacin. Su costo actual es de 0.24 soles por Kg y seguir siendo una solucin (decisin) ptima, mientras su precio no supere los 0.97 soles por Kg

El producto NA (Nitrato de Amonio) tambin es una solucin ptima (recomendada) en el Programa de Fertilizacin. Su precio es de 1.40 soles por Kg y mientras no supere los 1.74, seguir siendo recomendada en el Programa de Fertilizacin.

Obsrvese el Allowable Min = 0.1043 Esto indica, que si el producto bajara por debajo de los 0.1043 soles, se recomienda sustituir algn otro insumo y remplazarlo por mayor cantidad de NITRATO DE AMONIO. Asi por ejemplo, si el precio del producto llegara a costar 0.10 soles por Kg, se recomienda la compra de 41667 Kg y reemplazar el FD ( Fosfato Diamnico )

Finalmente analizaremos el producto CP (Cloruro de Potasio). Actualmente se cotiza en 1.14 soles por Kg y resulta una decisin ptima en nuestro Programa de Fertilizacin. Seguir siendo recomendado, mientras su precio no suba ms de 1.63 soles por Kg

Por qu no son recomendados algunos insumos?Actualmente se ha calculado que el costo por Kg de SG ( SPER GUANO) es de 1.66 soles y resulta muy caro, para ser recomendada como variable ptima . Debera reducirse (bajar) ms de 0.62 soles por Kg, el precio en el mercado, para poder ser recomendada. Es decir cotizarse por debajo de 1.04 soles el kilogramo

Actualmente se ha calculado el costo de adquisicin del insumo NE (Nitrofoska Elite) en 2.66 soles por Kg y resulta igualmente cara para ser recomendada como solucin ptima. Debera reducirse en mas de 1.60 soles por Kg y cotizarse a menos de 1.06 el Kg para recomendarse en el Programa de abonamiento

Actualmente se ha calculado que el precio por Kg de CM( Campomaster ) , se cotiza en 1.74 soles por Kg, y resulta una variable de decisin cara, para ser recomendada en el Programa de Fertilizacin ptima. Para ser empleado dicho insumo, debera bajar en mas de 0.17 soles por Kg y cotizarse por debajo de 1.57 soles el Kg .

LOS MACROELEMENTOS Y SUS COSTOS ACTUALESEl costo de adquirir Macroelementos adicionales, puros, ,en el actual Programa de fertilizacin es el siguiente:

El Kg del Nitrgeno es de 4.071 soles por KgEl costo del Fsforo de 1.89 soles por KgEl costo del Potasio es de 1.900 soles por Kg El costo del Calcio nos esta costando 1.200 soles por KgEn el actual Programa de Fertilizacin. El Magnesio no tiene valor econmico

Obsrvese que se incorporar al campo 562.50 kilogramos, cuando solamente se requieren 270 kilos, ( habiendo 292.50 Kilogramos de exceso). No justificndose su adquisicin.

Finalmente se proporciona una tabla, con las cantidades de Macroelemetos que se adicionarn al cultuivo , con el Programa ptimo de Fertilizacin (Left Hand Side) Nitrgeno = 1500 kilogramosFsforo = 375 KilogramosPotasio = 1125 KiologramosCalcio = 1125 KilogramosMagnesio = 562.5 kilogramos(Compare los resultados obtenidos con los requerimientos propuestos)

REQUERIMIENTOS DE LOS MACROELEMENTOS-PROGRAMA-1EL PROGRAMA DE FERTILIZACIN : El programa de fertilizacin va a depender en primer lugar de la extraccin de nutrientes , producida por la planta , producto del rendimiento obtenido ( el cual deber reponerse) y de la extraccin proyectada de nutrientes ( fertilizantes ) de la siguiente campaa . As por ejemplo si esperamos incrementarle la productividad un 20 % a las plantas, debemos considerar un incremento de fertilizante en el suelo. En la prctica los valores de fertilizacin (adicin de nutrientes), representan un 50% adicional a los valores de extraccin neta. Nota : Considerando adems eficiencias de aplicacin y almacenamiento del suelo de cada fertilizante

Si la plantacin ha tenido un rendimiento medio de produccin de 30 Tm / Ha (cosecha-ao), la adicin estimada de nutrientes, por planta, se ha estimado en:

REQUERIMIENTOS DEL CAMPO PARA EL PROGRAMA DE FERTILIZACIN (CUADRO-4)

5000 x 1 = 5000 Kg de Nitrgeno5000 x 0.250 = 1250 Kg de Fsforo5000 x 0.750 = 3750 kg de PotasioDe 5000x 0.750 = 3750 kg A 5000x 1 = 5000 kg de CalcioDe 5000x 0.180 = 900 Kg A 5000x 0.500 = 2500 Kg de Magnesio

EL PROGRAMA-1 DE FERTILIZACION LA FUNCION DE COSTO Min Z = 1.66 SG + 2.66 NE + 1.74 CM + 0.58 MC + 0.24 SC + 1.92 NC +1.92 NP + 1.40 NA +1.08 SA + 1.60 FD +1.14 CP +1.36 SP + 0.96 SM

PLANTEAMIENTO DE LAS RESTRICCIONES FUNCIONALES0.120 SG + 0.120 NE + 0.200 CM + 0.155 NC +0.130 NP +0.330 NA + 0.210 SA + 0.180 FD 5000 (N)

0.120 SG + 0.100 NE + 0.200 CM + 0.030 NA + 0.460 FD 1250 (P) 0.170 SG + 0.200 NE + 0.200 CM + 0.440 NP + 0.600 CP + 0. 500 SP + 0.220 SM 3750 (K ) 0.040 MC + 0.200 SC + 0.265 NC 3750 ( Ca ) 0.040 MC + 0.200 SC + 0.265 NC 5000 (Ca ) 0.020 SG + 0.020 NE + 0.050 MC + 0.100 SC + 0.180 SM 900 ( Mg ) 0.020 SG + 0.020 NE + 0.050 MC + 0.100 SC + 0.180 SM 2500 ( Mg )

CONDICIONES TECNICAS SG , NE, CA , MC, SC , NC, NP , NA , SA , FD , CP , SP, SM 0

PROGRAMA-1 EN EL COMPUTADOR

LOS RESULTADOS DEL PROGRAMA-1Los resultados que minimizan el costo de fertilizacin y garantizan los requerimientos del cultivo, son los siguientes:

LA INTERPRETACION ECONOMICA DE LA SOLUCIONEl costo total ptimo del programa de fertilizacin es de 34336.75 soles

La Solucin ptima Recomendada es:La adquisicin de 18750 Kg de Sulfato de cal (SC) 18750/50 = 375 bolsas

De 14173 .50 Kg de NA ( Nitrato de Amonio ) 14173.50/50= 283.47 bolsas De 1793. Kg de FD ( Fosfato Diamnico) 1793/50 = 35.86 bolsas

De 6250 Kg de CP ( Cloruro de Potasio) 6250 /50 = 125 bolsas

La composicin del Costo ptimo es la siguiente :

Las compras de SC (Sulfato de Cal) sern por 4500.00 Las compras de NA (Nitrato de Amonio) sern por 1 19842.90 Las compras de FD (Fosfato Diamnico) sern por 2868.85Las compras de CP (Cloruro de Potasio) sern por 7125.00

El costo total de fertilizacin del Programa asciende a 34336.75 soles

ANLISIS DE LAS VARIABLES PTIMAS Y NO PTIMAS DEL PROGRAMA -1

Por qu no se recomiendan los siguientes insumos?

Actualmente se ha calculado que el costo por Kg de SG ( SPER GUANO) es de 1.66 soles y resulta muy caro, para ser recomendada como variable optima . Deberia reducirse (bajar) ms de 0.62 soles por Kg, el precio en el mercado, para poder ser incluida como una solucin ptima . Es decir, cotizarse por debajo de 1.04 soles el kilogramo

Se ha calculado as mismo que el costo de adquisicin del insumo NE (Nitrofoska Elite) es de 2.66 soles por Kg y resulta igualmente cara para ser recomendada como solucin ptima. Debera reducirse en mas de 1.60 soles por Kg y cotizarse a menos de 1.06 el Kg, para recomendarse en el Programa de fertilizacin-1

Actualmente se ha calculado que el precio por Kg de CM( Campomaster ) , se cotiza en 1.74 soles por Kg, y resulta una variable de decisin cara, para ser recomendada en el Programa de Fertilizacin ptima. Para ser empleado dicho insumo, debera bajar en mas de 0.17 soles por Kg y cotizarse por debajo de 1.57 soles el Kg .

LOS INSUMOS OPTIMOS DEL PROGRAMA-1El producto SC (Sulfato de Cal) , es una solucin ptima para nuestro programa de fertilizacin. Su costo actual es de 0.24 soles por Kg y seguir siendo una solucin (decisin) ptima, mientras su precio no supere los 0.97 soles por Kg

El producto NA (Nitrato de Amonio) tambin es una solucin ptima (recomendada) en el Programa de Fertilizacin. Su precio es de 1.40 soles por Kg y mientras no supere los 1.74, seguir siendo recomendada en el Programa de Fertilizacin.

Obsrvese el Allowable Min = 0.1043 Esto indica, que si el producto bajara por debajo de los 0.1043 soles, se recomienda sustituir algn otro insumo y remplazarlo por mayor cantidad de NITRATO DE AMONIO.

Finalmente analizaremos el producto CP (Cloruro de Potasio). Actualmente se cotiza en 1.14 soles por Kg y resulta una decisin ptima en nuestro Programa de Fertilizacin. Seguir siendo recomendado, mientras su precio no sobrepase los 1.63 soles por Kg

LOS MACROELEMENTOS Y SUS COSTOS ACTUALESEl costo de adquirir Macroelementos adicionales, puros, ,en el actual Programa de fertilizacin es el siguiente:

El Kg del Nitrgeno es de 4.071 soles por KgEl costo del Fsforo de 1.885 soles por KgEl costo del Potasio es de 1.900 soles por Kg El costo del Calcio nos esta costando 1.200 soles por KgEn el actual Programa de Fertilizacin. El Magnesio no tiene valor econmico

Obsrvese que se incorporar al campo 1875 kilogramos, cuando solamente se requieren un mnimo de 900 kilos, (habiendo 975 Kilogramos de exceso). No justificndose su adquisicin.

Finalmente se proporciona una tabla, con las cantidades de Macroelemetos que se adicionarn al cultuivo , con el Programa ptimo de Fertilizacin (Left Hand Side) Nitrgeno = 5000 kilogramosFsforo = 1250 KilogramosPotasio = 3750 KiologramosCalcio = 3750 KilogramosMagnesio = 1875 kilogramos(Compare los resultados obtenidos con los requerimientos propuestos)