Ãðà¢åâèíñêè ôàêóëòåò 22.1.2016. Óíèâåðçèòåòà ó ... · 2019-10-08 · Ãðà¢åâèíñêè ôàêóëòåò 22.1.2016. Óíèâåðçèòåòà ó

Ãðà¢åâèíñêè ôàêóëòåò 22.1.2016.Óíèâåðçèòåòà ó Áåîãðàäó

Ïèñìåíè èñïèò èç Ìàòåìàòèêå 1

1. Äàòå ñó ìàòðèöå A =

1 a a−a −5 −aa a 1

, B =

a−aa

è X =

xyz

.

à) Îäðåäèòè âðåäíîñò èçðàçà A2016, çà a = 3.

á) Ó çàâèñíîñòè îä ðåàëíîã ïàðàìåòàðà a, ðåøèòè ñèñòåìà AX = B.

2. Äàòå ñó ïðàâå p :x− 1

1=

y − 2

0=

z − 3

0è q :

x− 3

0=

y − 3

0=

z − 1

1.

à) Äîêàçàòè äà ñó ïðàâå p è q ìèìîèëàçíå è îäðåäèòè jåäíà÷èíó çàjåäíè÷êå

íîðìàëå è ðàñòîjà»å èçìå¢ó ïðàâèõ.

á) Îäðåäèòè jåäíà÷èíó öèëèíäðè÷íå ïîâðøè ÷èjà jå îñà ïðàâà p è êîjà äîäèðójåïðàâó q.

3. Äàòå ñó ôóíêöèjå:

f(x) = (x− 2)e1

x−2 è g(x) = x ln(1− x3).

à) Ïðîíà£è äîìåí ôóíêöèjå

√f(x)

g(x).

á) Îäðåäèòè àñèìïòîòå ôèíêöèjå f(x).

â) Íà£è ïðåâîjíå òà÷êå è èíòåðâàëå êîíâåêñíîñòè ôóíêöèjå g(x).

ã) Äà ëè jå òà÷íà ñëåäå£à íåjåäíàêîñò g(IV )(0) + g(V )(0) + g(V I)(0) > 0?

4. Äàòå ñó ôóíêöèjå:

f(x) =x3 + x2 + x+ 1√

x2 + x+ 1è g(x) = x · arctgx.

à) Èçðà÷óíàòè

∫f(x)dx.

á) Îäðåäèòè

∫ √3

0

g(x)dx.

Gra�evinski fakultet 11.2.2016.Univerziteta u Beogradu

Pismeni ispit iz Matematike 1

1. Date su matrice A =

−a −a 1−1 a −1−a −a 1

, B =

−a0a

i X =

xyz

.a) Odrediti vrednost izraza An, za a = −3.

b) U zavisnosti od realnog parametara a, rexiti sistema AX = B.

b) Za a = −1, primenom teoreme Kroneker-Kapelija, ispitati egzistenciju

rexe�a sistema AX = −B.

2. Date su ravni α : x+y+ z = 0, β : x+2y+3z = 0 i γ : 3x+2y+ z = 0. U preseku

ravni α i β se nalazi prava p, a u preseku ravni α i γ prava q.

a) Da li se prave p i q seku? Ako se seku, odrediti koordinate preseqne taqke.

b) Na�i jednaqinu konusne povrxi qija je osa prava p i izvodnica prava q.

3. Date su funkcije:

f(x) =1 + ln x

xi g(x) = x ·

√1 + 3x+ 2x2.

a) Prona�i domen funkcijef(x)

g(x).

b) Odrediti asimptote finkcijeg(x)

x2.

v) Na�i taqke lokalnih ekstremuma i intervale monotonosti funkcije f(x).

g) Da li je taqna slede�a jednakost g(IV )(0) · g(V )(0) = 1?


f(x) =x4 + 2x3 − 5x2 + 2x+ 1√

x2 + 2x− 5i g(x) = x · ln2 x.

a) Izraqunati

∫f(x)dx.

b) Odrediti

∫ e

1

g(x)dx.




1 a 0a a+ 1 a0 a 1

, B =

−a−a− 1−a

i X =

xyz

.a) Odrediti vrednost izraza A2016, za a = 2.

b) U zavisnosti od realnog parametara a, rexiti sistema AX = B.

v) Za a = 2, primenom teoreme Kroneker-Kapelija, ispitati egzistenciju rex-

e�a sistema AX = −B.

2. Data je prava p : x = −y = z i ravan α : x+ y + z = 0.

a) Odrediti projekciju prave p na ravan α.

b) Na�i jednaqinu konusne povrxi qija je osa prava p i koja dodiruje ravan α.


f(x) = arctg1 + x2

1− x2i g(x) = ln (1− x+ x2) .

a) Prona�i domen funkcije

√f(x)

g(x).

b) Odrediti asimptote finkcije f(x).

v) Na�i prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g(x).

g) Da li je taqna slede�a jednakost g(IV )(0) · g(V I)(0) = 0?


f(x) =1

sinx(2 + cos x− 2 sinx)i g(x) =

ex

1 + e2x.

a) Izraqunati

∫f(x)dx.

b) Odrediti povrxinu dela ravni koji je ograniqen krivom g(x) i pravama

y = −1, x = 0 i x = 1.




1 a 11 1 aa 1 1

, B =

−1−1−1

i X =

xyz

.a) Za koju vrednost realnog parametra a matrica A nije invertibilna? Za

tako dobijene vrednosti parametra a, odredtiti sopstvene vrednosti matrice.

b) U zavisnosti od realnog parametara a, rexiti sistema AX = −B.


e�a sistema AX = B.

2. Data su ravni α : x+ y + z = 0 i β : x− y + z = 0 i prava p :x

1=y

2=z

3.

a) Odrediti taqku na pravoj p koja je podjednako udaena od ravni α i β.

b) Na�i jednaqinu konusne povrxi qija je osa prava p i qija se izvodnica

nalazi u preseku ravni α i β.


f(x) = ln1− x2

1 + x2i g(x) = 3

√1− x3.

a) Prona�i domen funkcijef(x)

x2016· g(x).


v) Na�i lokalne ekstremume funkcije g(x).

g) Da li je taqna nejednakost g(III)(0) · g(V )(0) ≥ 0?


f(x) = (2x+ 1)arctg2− 2x

1 + 4xi g(x) = |1− x2|.

a) Izraqunati

∫f(x)dx.

b) Odrediti povrxinu ravni koja je ograniqena krivom g(x) i pravom y = 2.




1 a 1a a2 a1 a 1

, B =

101

i X =

xyz

.a) Odrediti vrednost izraza α1v1 + α2v2 + α3v3, gde su α1, α2 i α3 sopstvene

vrednosti, a v1, v2 i v3 odgovaraju�i sopstveni vektori matrice A, za a = 3.

b) U zavisnosti od realnog parametara a, rexiti sistem AX = B.



2. Date su sfere S1 : x2 + y2 + z2 + 2x+ 4y + 2z + 5 = 0 i S2 : x

2 + y2 + z2 + 2y = 0.Prava p sadr�i centre sfera S1 i S2.

a) Odrediti ravni koje su normalne na pravu p i koje dodiruju sferu S1. Da

li neka od dobijenih ravni dodiruje sferu S2?

b) Na�i jednaqinu cilindriqne povrxi qija je osa prava p i koja sadr�i taqkuA = (24, 8, 2016).


f(x) = x · arctg 1 + x

1− xi g(x) = ln(1 + x2 + x4).

a) Prona�i domen funkcije24 + 8 · x8 + 2016 · x2016

g(x)+ f(x).


v) Na�i prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g(x).

g) Da li je taqna jednakost g(V I)(0)− g(V )(0) + g(IV )(0) = 0?


f(x) =1 + x2 + x4√1− x+ x2

i g(x) =1

e2x + 3ex + 2.

a) Izraqunati

∫f(x)dx.

b) Odrediti

∫ ln 2016

0

g(x)dx.




a2 a 1a 1 a1 a a2

, B =

010

i X =

xyz

.a) Odrediti vrednost izraza A2016, za a = −1.

b) U zavisnosti od realnog parametra a, rexiti sistem AX = B.



2. Date su ravni α1 : y + z = 2, α2 : y − z = 0, β1 : x + y = 1 i β2 : x − y = 1. U

preseku ravni α1 i α2 se nalazi prava p, a u preseku ravni β1 i β2 prava q.

a) Odrediti rastoja�e izme�u pravih p i q. Da li su uoqene prave mimoilazne?

b) Na�i jednaqinu cilindriqne povrxi qija je osa prava p i koja sadr�i taqkuA = (12, 9, 2016).


f(x) = (x− 2016) · e1

x−2016 i g(x) = x · arctg 1

x.

a) Prona�i domen funkcije ln f(x) +x

g(x).

b) Ispitati znak funkcije g(x).

v) Odrediti asimptote funkcije f(x).

g) Na�i prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g(x).


f(x) =1

x ( 3√x+ 2

√x+ 1)

i g(x) =sinx

sin3 x+ cos3 x.

a) Izraqunati

∫f(x)dx.

b) Izraqunati

∫g(x)dx.




2 2 + a 2 + a−2 −2− a −22 2 + a 2 + a

i X =

xyz

.a) Odrediti vrednost izraza An, za a = 0.

b) U zavisnosti od realnog parametra a, rexiti sistem AX = 0.


e�a sistema AX = [1 1 1]T .

2. Date su ravni α : x + y + z = 0, β1 : x + 2y + 3z = 0 i β2 : 3x + 2y + +z = 0. Upreseku ravni α i β1 se nalazi prava p, a u preseku ravni α i β2 prava q.

a) Neka je prave p′ simetriqna pravoj p u odnosu na ravan β2 i q′ normalnaprojekcija prave q na ravan β1. Odrediti jednaqine pravih p′ i q′.

b) Na�i jednaqinu konusne povrxi qija je osa prava p i izvodnica prava q.


f(x) = lnx2

x2 − 2x+ 1i g(x) =

√x2 − 1.

a) Prona�i domen funkcije1

f(x)− ln g(x)

3√x3 + x2 + x+ 1

.

b) Ispitati znak funkcija f(x) i g(x).

v) Odrediti asimptote funkcije f(x).

g) Na�i prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g(x).


f(x) =24− 9x2 + 2016x4√

1− x+ x2i g(x) =

arctg (lnx)

x(1 + ln2 x

) .a) Izraqunati

∫f(x)dx.

b) Izraqunati

∫g(x)dx.



1. Date su matrice:

A =

1 a− 1 a2 − 11 a− 1 a− 11 1 1

, B =

010

i X =

xyz

.a) U zavisnosti od realnog parametara a, rexiti sistem AX = B.

b) Primenom teoreme Kroneker-Kapelija ispitati egzistenciju rexe�a si-

stema AX = −2B, za a = −2.

v) Ako je a = 2 odrediti sopstvene vrednosti matrice A, a potom i sopstvene

vektore koji odgovaraju celobrojnim sopstvenim vrednostima matrice A.

2. Date su prava p : x = y = z i ravan α : x+ y + z = 2017.

a) Prona�i pravu p′ koja je simetriqna pravoj p u odnosu na ravan α .

b) Odrediti jednaqinu sfere polupreqnika r =√3, qiji se centar nalazi na

pravoj p i koja dodiruje ravan α.


f(x) = arctg2x

1− x2i g(x) = (1− x) ln(1− x).

a) Prona�i domen funkcije h(x) =(f(x) +

√g(x)

)· 1x2.

b) Odrediti asimptote funkcije f(x).

v) Na�i prevojne taqke i intervale konveksnosti funkcije g(x).

g) Da li je taqna slede�a nejednakost g(V I)(0) > g(IV )(0)?

4. a) Izraqunati

∫sinx

sin3 x− cos3 xdx.

b) Odrediti povrxinu figure ograniqene krivama y =1

x2, y = |x| i y = 4.



1. Date su matrice:

A =

1 a 1a 1 a2

1 a2 1

, B =

aa2

a

i X =

xyz

.

a) U zavisnosti od realnog parametara a, rexiti sistem AX = B.

b) Primenom teoreme Kroneker-Kapelija ispitati egzistenciju rexe�a si-

stema AX = −B, za a = 1.

v) Odrediti vrednost izraza A2017, za a = −1. Da li su sve sopstvene vrednostitako dobijene matrice pozitivni realni brojevi?

2. Date su prave p :x

1=

y

0=

z − 1

−1i q :

x

1=

y

−1=

z + 1

1.

a) Pokazati da su prave p i q mimoilazne, a potom odrediti jednaqinu zajed-

niqke normale i rastoja�e izme�u istih.

b) Prona�i jednaqinu cilindriqne povrxi qija je osa prava p i koja dodiruje

pravu q.


f(x) = (1 + x)e1/(1−x) i g(x) = (1 + x)√1 + x+ x2.

a) Prona�i domen funkcije h(x) = eg(x) · ln f(x).

b) Odrediti asimptote funkcije f(x).

v) Na�i prevojne taqke i intervale konveksnosti funkcije g(x).

g) Da li je vrednost izraza 8 · g(IV )(0) + 2 · g(II)(0) + 2017 · g(0) negativan broj?

4. a) Izraqunati

∫sinx+ 1 + cosx

sinx− 1− cosxdx.

b) Odrediti povrxinu figure ograniqene krivama y = arctg(x), y = 0 i x = 1.



1. Dat je sistem:

x + y + z = 1,2x + (a+ 1)y + az = a,−4x − (a+ 3)y + (a2 − 4a)z = −3.

a) U zavisnosti od realnog parametra a, primenom teoreme Kroneker-Kapelija,

ispitati egzistenciju rexe�a sistema.

b) Ako je A matrica posmatranog sistema odrediti vrednost izraza A9+6+2017,

za a = 1.

2. Date su ravni α : x+ y + z = 1, β : x+ 2y + 3z = 6 i γ : x+ 3y + 5z = 15. Pravap se nalazi u preseku ravni α i β.

a) Odrediti projekciju prave p na ravan γ.

b) Na�i jednaqinu cilindriqne povrxi qija je osa prava p i koja dodiruje

ravan γ.


f(x) = ln2x

1− x2i g(x) = ex

2+x+1(x2 + x+ 1).

a) Prona�i domen funkcije h, definisane sa h(x) := f(x) + ln g(x) + ln lnx.

b) Ispitati znak funckije f . Da li postoji nula funkcije f?

v) Odrediti asimptote funkcije f .

g) Na�i lokalne ekstremume i intervale monotonosti funkcije g.

4. a) Izraqunati

∫arctg

1 +√x

1−√xdx.

b) Odrediti povrxinu figure ograniqene krivama y =x2

3i y = 4− 2

3x2.



1. Dat je sistem:

x + 2y + 3z = 4,2x + (a+ 4)y + (a+ 6)z = a+ 8,3x + (6− a)y + 8z = 12.



b) Ako je A matrica posmatranog sistema, odrediti one sopstvene vektore koji

odgovaraju celobrojnim sopstvenim vrednostima matrice A, za a = 0.

2. Date su ravan α : x + y + z = 6051 i sfera S : x2 + y2 + z2 = 2(x + y + z). Nekaje A taqka na ravni α koja je najbli�a sferi S.

a) Na sferi S odrediti taqku najbli�u ravni α.

b) Odrediti jednaqinu konusne povrxi qiji je vrh taqka A i koji dodiruje

sferu S.


f(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1 i g(x) = earctg(1/x).

a) Prona�i domen funkcije h, definisane sa h(x) := f(x) + g(x) + arctg(lnx).



g) Na�i prevojne taqke i intervale konveksnosti funkcije g.

4. a) Izraqunati

∫ln

1 + x

1− x· x√

1− x2dx.

b) Odrediti povrxinu figure ograniqene krivama y = | lnx|, y = 0, x = e ix = e−1.



1. Dat je sistem:

3x + 2y + (1 + a)z = 12,6x + (a+ 5)y + (2a+ 4)z = 6,12x + (a+ 9)y + (3a+ 9)z = 3 + a.




odgovaraju celobrojnim sopstvenim vrednostima matrice A, za a = −1.

2. Date su ravni α : x+ y + z = 1, β : x+ 2y + 3z = 4 i γ : x+ y + z = −1. Prava pse nalazi u preseku ravni α i β, a prava q u preseku ravni β i γ.

a) Odrediti me�usobni polo�aj pravih p i q, a potom izraqunati udaenost

izme�u �ih.


pravu q.


f(x) = 3√x3 + x+ 1− 3

√x3 − x+ 1 i g(x) =

2

x+ 1+ ln

x

x+ 1.

a) Prona�i domen funkcije h, definisane sa h(x) := f(x) · g(x) +√ln√x.

b) Odrediti asimptote funkcije f .

v) Na�i lokalne ekstremume i intervale monotonosti funkcije g.

g) Odrediti drugi izvod funkcije f.

4. a) Izraqunati

∫dx

(1 + cos x)(3 + cos x).

b) Odrediti povrxinu figure ograniqene krivama x · y = 1 i pravama

y +x

5= 3 i y − x

4=

15

8.



1. Dat je sistem:

3x + 2y + (1 + a)z = 12,6x + (a+ 5)y + (2a+ 4)z = 6,12x + (a+ 9)y + (3a+ 9)z = 3 + a.




odgovaraju celobrojnim sopstvenim vrednostima matrice A, za a = −1.

2. Date su ravni α : x+ y + z = 1, β : x+ 2y + 3z = 6 i γ : x+ 3y + 5z = 15. Pravap se nalazi u preseku ravni α i β.

a) Odrediti projekciju prave p na ravan γ.


ravan γ.


f(x) = ln2x

1− x2i g(x) = ex

2+x+1(x2 + x+ 1).

a) Prona�i domen funkcije h, definisane sa h(x) := f(x) + ln g(x) + ln lnx.




4. a) Izraqunati

∫arctg

1 +√x

1−√xdx.

b) Odrediti povrxinu figure ograniqene krivama y =x2

3i y = 4− 2

3x2.



1. Dat je sistem:

x + y + (1 + a)z = a+ 1,x + (a+ 1)y + z = 1 + a,−x + y + (1 + a)2z = a+ 1.


prona�i rexe�a sistema.

b) Ako je A matrica posmatranog sistema odrediti A30+9+2017, za a = −2.

2. Date su ravni α : x + y + z = 1 i β : 3x + 2y + z = 6 i taqka A(1, 2, 3). Prava pse nalazi u preseku ravni α i β.

a) Odrediti simetriqnu taqku taqke A u odnosu na pravu p.

b) Na�i jednaqinu cilindriqne povrxi qija je osa prava p i koja sadr�i A.


f(x) = ln

(x+ 1

1− x

)2

i g(x) = arctg1− xx+ 1

.

a) Prona�i domen funkcije h(x) := f(x) · g(x) + ln(4− 4x2 + x4).

b) Ispitati znak funkcije g. Da li postoji nula funkcije g?



4. a) Izraqunati

∫ (ex sinx+

√x2 + x+ 1

)dx.

b) Odrediti povrxinu figure ograniqene sa y = |x+ 2017| i y = |2x− 2016|.

UNIVERZITET U BEOGRADU 17.01.2018.GRA�EVINSKI FAKULTET

PISMENI ISPIT IZ MATEMATIKE 1

1. Date su matrice

A =

3a+ 1 3 33 3a+ 1 33 3 3a+ 1

i B =

0 3 33 0 23 2 0

.a) U zavisnosti od realnog parametra a rexiti sistem:

A · [x y z ]T = [ 1 1 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(C), gde je f(x) = xn+n i C = A−B, za a = 0.

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+ 2y + z = 2 i β : x+ y + z = 3.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(1, 2, 3) u odnosu na pravu p. Odrediti

projekciju taqke A′ na ravan α.

b) Prava q se nalazi u preseku ravni α i β. Odrediti me�usobni polo�aj

pravih p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) = (x+ 1)e1/(x−1) i g(x) = arctgx− 1

x+ 1

a) Oblast definisanosti funkcije h(x) := g(x)/f(x) +√lnx2.

b) Nule i znak funkcije g.

v) Asimptote funkcije f .

g) Prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g.

4. Odrediti slede�e integrale:

a)

∫cosx · sin sinx

sin3 sinx+ cos3 sinxdx b)

∫2ex + 3e2x + 2e3x√

2ex − e2xdx.



1. Date su matrice

A =

a+ 2 2 22 a+ 2 22 2 a+ 2

i B =

a+ 11 0 00 0 a+ 20 a+ 2 0


A · [x y z ]T = [ 0 (a− 2) (a− 2)2 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(C), gde je f(x) = x2018 i C = A+B, za a = −2.

2. Date su prava p : x = −y = z i ravni α : x+3y+ z = 3 i β : x+ y+ z = 3.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(3, 2, 1) u odnosu na ravan α. Odrediti

projekciju taqke A′ na ravan p.


pravih p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) =x2 + 1

x− 1

√x2 − 1

x4 + x2 + 1i g(x) = arctg

1 + 2x

1 + 3x

a) Oblast definisanosti funkcije h(x) :=√g(x) + ln(f(x)) + ln(x2).

b) Nule i znak funkcije f .



4. Izraqunati slede�e integrale:

a)

∫ln5 x

x(ln4 x+ ln2 x− 2)dx b)

∫cosx

√sin2 x+ sinx dx.



1. Date su matrice

A =

3 3 a2 + 33 a2 + 3 3

a2 + 3 3 3

i B =

0 1 21 0 21 2 0


A · [x y z ]T = [ a2 + 3 a2 − 3 a2 + 3 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(C), gde je f(x) = x2·1009 i C = A−B, za a = 0.

2. Date su prava p : x = −y = z i ravni α : 5x+ y+5z = 5 i β : x+ y+ z = 5.

a) Odrediti pravu p′ koja je simetriqna pravoj p u odnosu na ravan α.


pravih p′ i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) =x2 − 1

x2 + 1arctg

x2 + 1

x2 − 1i g(x) = x+ ln

x3 + 1

x3 − 1

a) Oblast definisanosti funkcije h(x) := 17√g(x) + ln3(f(x)) + ln(x2018).

b) Nule i znak funkcije f .




a)

∫arctg6 x

(x2 + 1)(arctg4 x+ arctg2 x− 2)dx b)

∫e5x + ex√

e4x − e3x + e2xdx.



1. Data je matrica

A =

1 1 a− 11 a− 1 1

a− 1 1 1


A · [x y z ]T = [ a+ 1 a+ 1 a+ 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(A), gde je f(x) = x8·6·2018 + 1, za a = 1.

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+2y+3z = 4 i β : 4x+3y+2z = 1.

a) Neka je A, odnosno B, taqka prodora prave p kroz ravan α, odnosno ravanβ. Odrediti ravan koja sadr�i koordinatni poqetak i taqke A i B.

b) Prava q se nalazi u preseku ravni α i β. Pokazati da su prave p i qmimoilazne, a potom odrediti jednaqinu zajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) = (x− 1)ex−1 i g(x) = x2 + lnx2 − 1

x2 + 1

Odrediti:

a) oblast definisanosti funkcije h(x) := 4√f(x) + arctg(x−1) + sin(g(x)),

b) asimptote funkcije f ,

v) lokalne ekstremume i intervale monotonosti funckije g,

g) prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije f .


a)

∫9 sinx cosx

(sinx+ 2)(sin2 x+ sinx+ 7)dx b)

∫ln4 x+ ln3 x+ lnx+ 1

x√ln2 x+ lnx+ 1

dx.



1. Data je matrica

A =

1 2a+ 2 31 2 3a+ 3

a+ 1 2 3


A · [x y z ]T = [ 3a+ 3 2a+ 2 a+ 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(A), gde je f(x) = xn + 2018, za a = 0.

2. Date su ravan α : x+ y+ z = 0 i prave p : x = y = 1+ z i q : 1−x = y = z.

a) Pokazati da su prave p i q mimoilazne, a potom odrediti jednaqinu za-

jedniqke normale. Da li je rastoja�e izme�u pravih p i q ve�e od 1?

b) Taqka A se nalazi u preseku ravni α i prave p, a taqka B u preseku ravni

α i prave q. Odrediti sve one taqke koje su podjednako udaene od A i B.

3. Date su funkcije

f(x) =3√x3 + x− 3

√x3 − x i g(x) =

ex2+x

x2 + x+ 2018.

Odrediti:

a) oblast definisanosti funkcije h(x) := cos(f(x)) + xx + ln(g(x)− 2018).

b) nule i znak funkcije f ,

v) asimptote funkcije f ,

g) lokalne ekstremume i intervale monotonosti funkcije g.


a)

∫3e2x − 2ex

e3x − e2x − 4dx b)

∫(tg x− 1)(tg2 x+ 1)

cos2 x√tg2 x− tg x+ 1

dx.



1. Data je matrica

A =

1 1 a+ 12 2a+ 2 2

3a+ 3 3 3


A · [x y z ]T = [ a+ 3 2a+ 2 3a+ 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(A), gde je f(x) = x2018 − 2018, za a = 0.

2. Date su ravni α : x + y + z = 0, β : x − y + z = 0 i γ : x = z. U preseku

ravni α i γ se nalazi prava p, a u preseku ravni β i γ prava q.

a) Ispitati me�usobni polo�aj pravih p i q. Ukoliko se prave seku prona�ikoordinate preseqne taqke, a ako su prave p i q mimoilazne odrediti

jednaqinu zajedniqke normale.

b) Prava p′ je projekcija prave p na ravan γ. Odrediti ugao koji zaklapaju

prave p′ i q.

3. Date su funkcije

f(x) = (x− 1)e−1/x i g(x) = 4x+ ln4 + x2

4− x2.

Odrediti:

a) oblast definisanosti funkcije h(x) := ln(f(x)) +√ln(x) · g(x),

b) nule i znak funkcije f ,

v) asimptote funkcije f ,

g) prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g.


a)

∫1 + cos x− sinx

1− cosx+ sinxdx b)

∫(e2x − 2)(ex − 1)√

e2x − ex + 1·e2x dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

a− 2 2 22 a− 2 22 2 a− 2b

.a) Ako je b = 1, u zavisnosti od realnog parametra a rexiti sistem:

A · [x y z ]T = [ 2 a+ 2 2 ]T .

b) Ako je a = 5, u zavisnosti od realnog parametra b, primenom teoreme Kroneker {

Kapelija rexiti sistem:

A · [x y z ]T = [ 1 2 1 ]T .

v) Ako je a = b = 1 i p (x) = x2019 + 18, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+ 3y + z = 4 i β : x− y + z = 0.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(3, 2, 1) u odnosu na pravu p. Odrediti projekcijutaqke A′ na ravan α.

b) Prava q se nalazi u preseku ravni α i β. Odrediti me�usobni polo�aj pravih

p i q. Ako su iste mimoilazne, odrediti jednaqinu zajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) = arctg1− x1 + x

i g(x) =1

x(1 + ln x).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := ln(f(x)) + 2019√g(x) · ln2 x2.


v) Odrediti lokalne ekstremume i intervale monotonosti funkcije g.

g) Skicirati grafike funkcija arcsin(x), log2019 x i arcctg(x).

4. Izraqunati slede�e integrale:∫sin cosx sinx

sin3 cosx− cos3 cosxdx,

∫3x2 − 2x+ 3√

x2 − 2xdx i

∫ex ln

ex − 1

ex + 1dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a+ 1 a+ 1a− 1 −1 a− 1a+ 1 a+ 1 1− b2


A · [x y z ]T = [ a+ 1 a− 1 a+ 1 ]T .



A · [x y z ]T = [−1 0 1 ]T .

v) Ako je a = b = 0 i p (x) = xn + n, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = −y = z, ravan α : x+ y + z = 3 i taqka A(1, 1, 1).

a) Da li taqka A pripada projekciji prave p na ravan α?

b) Odrediti sve one taqke koje se nalaze na pravoj p i qije je rastoja�e od ravni αjednako

√3, a potom i rastoja�e taqke A od prave p.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 − 1−

√x2 + 1 i g(x) = (1 + x) ln(1− x2).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := arctg(f(x)) +√g(x) + arcsin(x2019).


v) Odrediti prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g.

g) Skicirati grafike funkcija arcsinx, arctg x i (0.2019)x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫sinx

cos4 x− cos3 x− cosx+ 1dx,

∫(1 + x)

√2x− x2 dx i

∫arctg

1 +√x

1−√xdx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a− 1 a− 1a− 1 a+ 1 a+ 1a− 1 a+ 1 2− b


A · [x y z ]T = [−1 − 1 − 1 ]T .



A · [x y z ]T = [−1 − 1 − 1 ]T .

v) Ako je a = 0, b = 1 i p (x) = x2019 + 2019, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+ 3y + z = 3 i β : x+ y + z = 2.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(1, 0, 1) u odnosu na pravu p. Da li je taqka A′

bli�a ravni α ili ravni β?


p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) = (2x+ 1)e2x−1 i g(x) = arctg2x+ 1

2x− 1.

a) Odrediti domen funkcije h(x) := ln(f(x) · g(x)) + ln√lnx+ 2019.



g) Skicirati grafike funkcija arcctg x, arctg x i (16 + 3 + 2019)x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫ex cos ex

sin4 ex − 3 sin3 ex + sin2 ex + 4dx,

∫3x+ x3√2x+ x2

dx i

∫arctg

1−√x

1 +√xdx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a+ 1 a+ 1a+ 1 a− 1 a− 1a+ 1 a− 1 3− b


A · [x y z ]T = [−1 1 − 1 ]T .



A · [x y z ]T = [ 1 − 1 1 ]T .

v) Ako je a = 0, b = 2 i p (x) = xn + xn−1 − 1, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = −y = z i ravni α : x− 3y + z = 3 i β : x− y + z = 1.

a) Taqka A′ je projekcija taqke A(1, 0, 1) na pravu p. Odrediti projekcije taqke A′

na ravni α i β.


p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 − 1−

√x2 + 1 i g(x) = ln

x2 − 1

x2 + 1.

a) Odrediti domen funkcije h(x) := 7√f(x) + 6

√g(x) + 2019

√f(x) + g(x).



g) Skicirati grafike funkcija arcsinx, arccosx i tg x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫x dx

x8 − 3x6 + x4 + 4,

∫1 + x2 + x4√1 + x+ x2

dx i

∫(sin lnx+ cos lnx) dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a 2aa 2a 3a2a 3a a+ b


A · [x y z ]T = [ a a a ]T .



A · [x y z ]T = [ 1 − 1 1 ]T .

v) Ako je a = 0, b = 1 i p (x) = x28 + 6x+ 2019, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Prava p se nalazi u preseku ravni α : x− 3y + z = 3 i β : x− y + z = 1.

a) Odrediti projekciju taqke A na pravu p.

b) Odrediti me�usobni polo�aj pravih p i q : x = y = z. Ako se prave p i q sekuodrediti koordinate preseqne taqke, a ukoliko su prave mimoilazne odrediti

jednaqinu zajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1 i g(x) = earctg(1/x).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := f(x) + g(x) + arctg lnx+ ln arctg x.



g) Skicirati grafike funkcija 2x, lnx i arcctg x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫e2x dx

e8x − 3e6x + e4x + 4,

∫−x+ x3 − x5√1 + x2 + x4

dx i

∫ln

1 + x

1− x· x√

1− x2dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

−1 a− 1 a− 1a+ 1 1 a+ 1a− 1 a− 1 b2 − 1


A · [x y z ]T = [−1 a− 1 − 1 ]T .



A · [x y z ]T = [−1 0 1 ]T .

v) Ako je a = b = 0 i p (x) = xn + n, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = y = z, ravan α : x+ y + z = 3 i taqka A(1, 1, 1).

a) Da li taqka A pripada projekciji prave p na ravan α?

b) Odrediti sve one taqke koje se nalaze na pravoj p i qije je rastoja�e od ravni αjednako

√3, a potom i rastoja�e taqke A od prave p.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 + 1−

√x2 − 1 i g(x) = (1 + x) ln(1− x2).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := sin24(f(x)) + 8√g(x) + cos(x2019).



g) Skicirati grafike funkcija arccosx, arctg x i (24.08)x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫dx

cos2 x(tg4 x− tg3 x− tg x+ 1),

∫(1−x)

√2x− x2 dx i

∫arctg

1−√x

1 +√xdx.

Documents

Ãðà¢åâèíñêè ôàêóëòåò 22.1.2016. Óíèâåðçèòåòà ó ... · 2019-10-08 · Ãðà¢åâèíñêè ôàêóëòåò 22.1.2016. Óíèâåðçèòåòà ó