Upload
trandieu
View
212
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
』
2018年10月24日「微分積分」小テスト解答
/ 、
IR2上の関数
/("'") :=2z;2_"zノ+y2-釘+Z/ー ‐= ‐
の停留点を求めて, ノの最小点であることを示しましょう.、 ノ
(ず'L)M=Tx; >(ナv)M_=j-,7<さらにノの2階の導関数を求めると
解答まず停留点を求めます.
{f三雲手堺】 三 :を解いて(",y)=(:,-;)がノの唯一の停留点であることが分かります.
ん麺=4’ん,=ん麺=-1’んz/=2H(E))
)一一
となりますから,R2上4 -1
-1 2九麺=4>0, det(H(/))= =7>0
が成立することから
((--)箒(*-:')'(",y)>/(音、-:)イ イ
が成立することが分かります.
、〆
IIp,9,1>0とします.生産関数
雌,9) ;=鰯音y昔 (",y>0)
に対して,利潤関数
汀(",y) ;=『/(",zノ)一m-9y1 坐
を考えます師の停留点を求めましよう ご卜'c31s- Pメー8チL ノ
ーー 可
解答1-32-3
”ツー
2’3刷り
’1-3
釘z
T六Jγ一旬口{
00
p9
7T"
7TIJ
二==
吾==
ニーー
ニニニ
延べノ
、夕坐
Ik
延
曲兇一$一一
一一
nへ一へ。堅一勺。
11
叶一3人3
-cx
9すなわち
{窯三豊丁。
γ
(1)2×(2), (2)2×(1)から-
_, 27p29 _ 1z =-テテ, "
jl
l2
が汀の停留点が満たす条件です.
27pq2γ3
、L
一F
〃、D
込pl
nj2
==
’一洲し一ワ
又I
すなわち =
7373
ZFW' !/=釣==
27p92
卜3-
2qPz<b
29
卜
JcQPI<1,V、)=
:(P,11v-)
一一
哩之
,手近間§
翻需l
モー
、zqO
|仰
も一脈ぃ二
ー
』
i主塞尋再~工 1王毒手易
ゴ~(x/n
-
-11一
桧A是 呑蒐
X、
答'王毒f品痛 {-主1老弐や
三(萱(可 |詞嘩奇!( /ire-ぅや
rlW・ (x いす 君 、1-CX, Px,、 もう一一
一-
「
一
が停留点となります.
補足生産関数1 1
ノ(",I/)="al/3
に対して利潤関数
汀(",Iノ)、・/(",zノ)-”-“
を最大化するのが
”(,,蝋一読両, ,(,。‘,隼為い r3
で生産要素需要関数と呼びます. ir"--'af-r, 'ir,==塁上Ⅲ"=す※' 1,-『,T,=誉補足さらに汀の2階の偏導関数を計算します.
27 5 , 7, 2_2 2r L-旦
汀麺麺=-す" 31/3, 汀廼リ==7Tym==ず31ノ 37 汀""=-=すz3Z/ 3
か,三、拝音の占pイ,,。 ,ハ匡口2 . 1了対| ,了 《十・ ぅ ‐_- .-- .-. .-.<十 K十 ( 。
27 5 ,
汀麺麺=-す〃 31/3,
から任意の点P("( ユ
ニ
処-3
』Hず
A3fl
,9)ER#+に対して洋一ぅ
-1ケ
ーさ
--FT: irえうglトュ,亡す$~す81
7T""(P)=-苓鰯-:y;
det(H(/)(P))=に割が成立しますからPo(零璽,響旦)において
5-3
2-3
2-叩1-“
一錘翫-9
Tlq)’
1’
0ン
4-3
〃
4’3範
混一”
7r(P)<7r(Po) (PER4+,p≠Po)
が成立します.すなわちPoにおいて7Tは最小であることが分かります(しかも,唯一の最小点です).
30
■■ ‐ ‐
極大。極小の判定
R2の開集合U上の関数':U→R
(復習)
'が(",6)EUで極小・極大ならば八(",6)=jj(",6)=0』
このとき(α’6)をずの停留点という。停留点が極大・極小になる十分条件を与える。
す、、、・UE_C2齢&
定理 ①寸澪,丁圃,丁芙苓、、.§恥一再底③丁'寸垂,丁》,丁恭奈(α,6)EUがた(α,")=jj(",6)=0を満たす。ん(",6)>0,ん(",6)ん(",6)-ん(α,")2>0
< k!
‘〈'一}(cI
〔スノ7〕
は正定値--■ ■■ ■ )そ罫守兵輔)二い簿粟,苛諒室, I
このとき(",6)で極小となる。 ヨミ〉・ ナCX,号
(一点
<
)つ丁cQ(C,』
[X(洲キCq(6,/ <xAj)eBS(、(t・)}
I~pR(),IE(、T) 関数の凹凸と2階微分戸瀬信之 (IT()HE
’ 零藍--窪ゞ ‐← ‐ =
証明のために必要な連続関数の性質
L)
oR2の開集合U上の関数G:U-→Rは連続とする
。(α,6)EUに対してG(",6)>0とする。
・このとき正数6>0が存在して
(C・)
G(x,y)>0 ((x!,y)EB6(",6))
14戸瀬信之 (IT()FIEPR()JE({T) 関数の凹凸と2階微分
需垂工
再
艶玉
琴 藍 =
証明
ナェx.CQ(B・)>o 3S(
~) 丁エae(PJ>o (Pe
端I・んとんん一 。
2
丁'‘狸寸洲一ナ,心、 ‘子曇瀧込
:,tx&PJ)ず的(P。)- オメj(fb)>D・たx(x,y)>0((x,y)EB6(",b))
:,tx(んん-/a>0((x,y)EB6(",6))
~、 ナェェを満たす正数が>0が存在。
・凸性の定理を用いると(x,y)EB6(",6)が(x,
S
w'i $,、[S',ざし)>o: 一一
2018年5月(emath2018)画′玲
禺 胃戸瀬信之 (IT()REPR()JE(T) 関数の凹凸と2階微分 龍
味 》 r )
1〆 叩 や 。 ) 〃 坪 》 〔 つ α ) ″ 0
計 〔 × 〆 免 α ) 刎 歴 亀 。 )
一 A C
エ 〔 坐 ) 〔 訳 )
〕 》 〆 ‐ 〔 わ 〃 ) ¥ 》 》 ( 、 。 )
↓ 一 ア
’
C n 一 ア〆
一
少、
や 。 、妙
弓叶 再 で , 吋
升 傍 が 〆 摩 〆 升 厘 股 一
嘩 が 。 〆 一
、
( 州 ) Ⅱ が 刀 十
刀叶 戸 U ( 一 》 )
〃Iノ
ぐ~、
一 ○ じ ( 、 学 ) 川 岬
〃
〃〃
I1
急'一斗
~_ノ
w × 〆 寸 采 又 い 匪 十 牌 一 例 ‐
>k
一( 玉 ( 州 ) 』 ( 出 ) )
○ の 〆
鉦 牌 十
I
H 》 十 》 “ I
武 毎( 咄 )
|
、_ノ
一 戸 U ( 、 》 ) Ⅱ U 戸 1 V 〔 呼 斗 ‐ 》 〆 ‐
〆
(
↓ ) ″ 帥
回 桐 〆 献 封 岬
元 〃 ( 刃 の )
ll
〃
Jざ 一 十 (-j3 ぐう」
( e 掲 畔 ゴ 竺一
坪 〔 叉 卜 へ 》 ) 〃
( 一 一 〃|ノ
'1|
ノ
Ⅱ * ( 蝿 ィ 米 碑 9
J
が 刀 ィ 召 す で
( 列 副 ) 一 〃 )
Y
叩 メ ド 十 千 又 い 》 寸 戸 》 、 〆
( 彦 ( 》 ) 』 ( 幸 一 )
い ⑦ I ビ ア の
蛍 亙 の ○ し い の 、_ノ
〆 ゴ ジ
> Iノ
( 四 浬 )
j j
弓 一 へ 弓 ざ|⑦
)言
I。 / r
一
11
句 が
行列に関する補足(2)回転行列
足
NobuyukiTOSE
October18,2017
N《,|》'lv1l葱i l ( )hl l丁りりに閑すど‘痛炉1重)
'一、いし
F
1 ' ' | '|iA・けダリ
脇-(:濡訓)ゞ雌(R)を圃転行列と呼ぶ~1
Y~(
)_Sin82
COS92
)2 -CoS81sin82-Sin91COS62
2 -sine,sin82+cose,cosO2
)82)
92)
(:澱sin8,sin9
(職訓‘)COSO,COS82-bO3sinO,cos82+cos81sin82
-sin(9,+"2
COS(8,+82)COS(",+"2)sin(6,+92)
から
/b,Rb2=R01+92
行列l開する補足(2)
Rz、 Rへ亨kek e
NobuVu<iTOSE
,‐当
Re,、621j=ユ
「や
|「il l脳行列
Re(+6zRe!Rez"ー
~
I「1'liA行'」の逆は|nllルミ行リ
)○ 一SiXO
O しOSO
特に61=α, 82=-a (81=-α, 82=α) とすると S○ -Sイ
(二"。 ‐凡R_α=R_α凡=品=/2
から回転行列凡は正則で
(83-
)(:綱そ:卿) ‐(凡)-'=尺α=
(里謡詮:) =丁、=二
L
,( )話:|に:野 =tRQ:日三三
に闇』 Z痛犀(Z)ィ寸巧ロー″N〔,lJMvI」Ki l 【 )H'
念(瀬)≦ (誌 駐遙)
なぜliil 1li人?
夢ll
(話:訓)繭-(謡湖)R"
→
U
からR"がベクトルを角度0回転することが分かります.
0
Nobuu輿iTOSE 了列I 弱する禰呈 12)
、
’一 一 一 I
HFごI
H く
ア
Ij
し}
一一、
( 一 )、 × ヘ ヅ ゾ 、 Ⅱ U n 帆
や し ぷ へ ぐ
云〉p ( か P 八 二 戸
一 一 糾 鏡 一 M 似
ア/_、 ソ
II
” ノ(J
トノ 、_ノ
n U ハ ( J J
ア 研 p 一 一
0夕
〈 科 覗 防 ( 防 評
一 y Ⅲ 作
V〆 〆
C
トノ〃
I I P
ン - ん 1
⑰イ 似 汲 十
/計 Q 〆
‐ず
渤 食ハ
ム
ア か 叫 ) ″ ○
L
U n w一一
グ 言
ー
ll『、ノ
伽
fJJ
○瓦 fJノー
舞
千際 包
=J
器 悟 汗
{ノ (J
ノ一 一
P
で 〉 r , ’
P
』乱 〃 〃
卵 討
へ
震ド ノ
ざ!n 叫 ソ 〃 咄 ゾ ハ Ⅱ U
酬 苧
一
一毎 一 夕
、 一 )(J
〆 納
/
ソ 小 声 〆 斗 , ヲ 調
~
H ン 夕 抑
罰一
一
寺 ” 什 訓 訓 。
周一
n U ( へ 型 v O
一 ア 一 斗
淵イ ノ Ⅷ パ乳 1
1 M 川 引 周り
C
ン
1-ノ