164
th

Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

  • Upload
    lydang

  • View
    218

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

�������� ������ �� ������

����������� ���������

����� ��������� �

����� ������� ���

������ �����������������

������ �������� ��� ��� �� ������������ ���� ��� ���!�����

��"����� �! #���� �����$ ��� ���%�� �����

&�������� ���' �� � �� ��%�$� (&� )

���� �� ��*�� �� ��� ��%�� � ���� �� ��%�$� ( �� )

������ ��%�+���"��� �%" ���

,-th �������� ,..-

Page 2: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��

Page 3: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� ������ �� � ����� �� ���� �� �������� �� � ���� ���

� �� ������� � � ��� ��� � � ������

���

Page 4: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��

Page 5: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��������

���� ��������� �� ������ � �� � ���� �� ������� �� ������ ��� �� �� ������

�� ������ ������������� ����� ��� ��� ��� ���� �� ������ ���������� �������� ��

������ �� ��� �������� �� �� �� �������� ���������� �� ���� �������� � ������ �� ����

�� �� ���� � ��������� �� ��� �������� !������ ��������� ��� � �� �����"��� ��

� ����������� �� ���� �� �� � ����� ���� ��� � �� �� ���� �����"��� ���� ��

�������� � �� �� ��� ���� � ��� #�� ������ �� ���� ��� ������� �� ���� ��� �� �����

�������� ���� ��$�� �� ������������ ���� �� �� ����� ������ ���� �� �� ���������

����� �� �� ��� �� ���� �"�� ����� !� ��� ������ �� ���� �� �� ���� ��$����

�����������% ���� ����������� ����� ������ �� ������ �� ��������� �� ����

�������� & '()* ��� �� �� � ���������� &+#'(*�

,����� �� ������ ������ �� ������ ����� ��� ��������� �� ������� �� ���������

�� ��� � !� ����� � �� �� ���� ��� �� �� ����� ���-� ������ �� ������ �� �� �� �

����� ����� � �� ��������� ����� ������ ���� � �� ������� �� �� ���� ��� �� ���������

��� �� ���� ����� �� �� ������ ���������� (�������� ���� ���� ������� ����� ���

�� ����� ������ �� �� ������ ����� � �� �� �� �� ������ ����� � �� ������� � ����

������ ������� �� �� ����� ������ ����� �� ������� ��� �� ����� ���������� ��

���������� ��� ����� �� ������ ��� ���� �� �� ��������� ������ � �������� �� ��� �� �� �

����� ���� $�� �� ������ ���� +��� �� ������ ����� �� ������� ����� �� ��

����� �� �� ���� �� ����� � �� �� ����� � �� ��������� ����� ���������

�� ���� ���� ���� #�� �� � �������� �� ������� �� ������ ������ ���� ������ ����� ��

�� ����� � �� .��� ����� � ������ �� �� ������ �� ����� �� �� �������� ������

��� ������ ���������� �� �� ���� ��� ��� �� � ���� �� ������� �������� �� �� �

��� ����� ����������� �� �� ��� �� ����� ����� � ��������� �� ��������� �����

������ �� ������� �� �� ��������� ��� /0 � ���� ��� "��� �������� ���� ����� ��

�� ��������� ������� �� ���� �� ����� �� ������ �� ���� � ������� �� �� �������� ��

�� ��� �� �� ������ �� ��� ������� !�������� �� ������ ��� ���������� �����

�� ������� �� ������ ������ �� �� �������� ������ 1����� �� ���� ����

��� ���������� �� ������� �� ��� ���� � �� ��� ��� ��� ������� �� �� �� ����� ��

Page 6: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��������

����� ����� �������� ��� "��� ������� ����������� ��� ������ ��2����� ��������

�� � � �� �� ������ �� ���� ������� �� ���� �� �������� ���. �� �� � �� ��� �� ���

� �� �� � �"��� �� �� �� ������� �� �� ������� ! �� �� ��� � �����"���

�� � �� ���������� �� �� &���. ������� ��� ,�0 �� ������ ��� �� ���������*

����� �� ������� �� � ������ ���������� �� �� ��������� ���� �� ������ +� �� ����

���� ������ ��������� ��� � �������� �� ��������� ���� ��� � �� ������� �� ������

�� � �� �����������

(�������� �� ����������� ����� ����� �� ������� � ������ ���������� �� � ��

����� � �� ��������� �� �� ������� �� ��� ����� ��� �� � ������� � ,�0� ����������

�� �����"��� �������� �� �� ����� � ������ � ���� �������� � ������� �������������

)����� ��������� ���� �� �� �� �������� ����� � � ��� �� �� ����� �� ����� �� ����� �

�� ������ �� ��� ����������� 3�� �� ��� �� ����� �� �� ���� ������ �� 4� �����������

�� �� ������������� ���. �� ���� �� �� � �� ����� ��� ������ �� ����� ���� ����� �������

) ��� ������ �� �������� � � ���� ������ �� ������ ��������� �� �� �������

�� �� ������� ���� �� ������� ����� ����� �� �� ��� �� �� ,�0 �������

)��� �� �� ������� � ���� �� �������� ��� �� ������ �� ������ #���� ��

������ ������ �� �� �����"��� �� �� ��� �� �� ������� � �� �����"��� ��

�� ������� �� ��������� ����� � ��� � ������ � ��� ������ �� ��� ��� �� ������

)���� �� ���� �"�� ����� �� �� � ��� ������ �� � �� ���������� �� �� ��������

������ /������ ���� � ������ �� ��������� ����� ��� �� � ��������� ������� ���� ��

���� ������ �������� ����� � �������� �� ���� ���� �� ����� � ������� �� ���

�������� ��� ��������� ��������� � ��� '()�+#'( ������ �� � �"�� �� �� ����

������� ��� '() �� ������� ��� ���� ���� ���� �� ��2����� �������� �� /5����� ��

�� ���� ��� � �� �� ���� ��� ������ ������ �� ����� �� ������ ����� �������

�� ����� �� ������� (�������� ����� ������ ���� � ���� ��� �� �������� �� ���� ����

�� ���� ���� � �� ����������� ���� �� �����

��� �� ���� ����� �� � �� ������� �� �� ������ �� ������ ���� ��� ������ �� ��

������������ ����� ���� ���� ����� �����$�� ���� �����% ���������� ��. ���� �����

� �� ���������� ��. �������� ������ �� ���������� ��. ���� ���� ��� � ��� �������

�� �� ����� ���� � ������� �� �� ������ ��� �� �� ����������� ����� �� �� ���� �

(�������� ����� ��� � �� ���� ���� ���� ���� �� �� ������ ���� �� �� ������ ��- ����

-�� ��� ������ ����� ���� � �� ���2�� �� ������ ���-�

��

Page 7: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

�����

)���� ��� �� ����� 6�7 ��� �� 2��8�� �� �8��� �� ������ �� ������������ ��

�9 �� �� ����� � �������� ������� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� ��� ����� ���� ����

������� �� ( �� ��:� � ��� �6���� � ������ �� ���������; �� �������� � ��

����� �� �������� �� ��� ���� ��� ������� � <�=����� ��� �� �� � ����� � ���������

�������� �����"� �� ��������� � �� �� ���: ��� �� � �9 �� �� ������ �� ������ ���

�����"��; �� >� ������7����� �� �� ����;� �� ������� �:�� �� ��� ����� �� 6����� ��

���� � �� ���������� �� �� �� ��� �� ������?=����� �6�� ����� ��� ���� ��� ��� ��

����� ��������� �� �� �� �� � ����7�� �� �� � �� ���� ����� � ���� �� �6����

��� �� ���� ����������� ��������% ���������� �6������ �������; �� ��=���� �������;

�� ���� � ��������; �� ������� �� ���� & '()* �� �9 �� �� ����������� &+#'(*�

)��� �� ������� =����� �� ������� �� �� 6����� �� �6����� ���� ���� 5��

�� ���� �� ���� �� ��� ��������� �� ������� � � ��� �����8���� �� � �� �

�������� � �6��>� �9 �� �� 2 ��� ���� ��� �� � ������ ���� � � �;� ���������

�� ������� ����� �� =������� �� ������ ) �>�� ��������; ��� ��� � �6� �� ����

�� ������ ��� ��� ���������� ���� �� �� �������� � �� ����� �� ��������

�>� ������� � �� �� ��8� ��������� '����>�� �� ���������� �� ������� �������� ��

��������� ��8 ��� � ���� �� �� 6�������; �� ��������� �� 6��� �� ������� �� �����

��� �� �9 �� �� ����� � � �� ������ 3� ��� �6� �� ������ �� =���� �� ������ �6�

�� ��� ���������; �� ��=��� � �� ��� ��� �6������ �� ���������� ����7���� ��

�� � ��������� �� ��� ����� #�� ���� ��> �� � �� ������; �� 2��8��� �� ���

�� �� ����; �� ������ ��� 68���� �� .��� ��� �� ����� �� ��� �� ������ �6��

�������; �� ���������

@ ���������; =���� �� 6��� ��� �����A �� 6�7 ��� �� 2��8�� �� ���>� ��

���������� ���������� ���: ��> �� 8�� �������� ��� �������� =���� ��������

���� � ��������� � � �������� @6�7 ��� �� /0 �� ���A��� �� "����� � ��� ��� � �

6���=�� �������� ���� ��������� � ������� ��7 ��� �� ���� �� ������� �

��������� �7������ � �� � ��2 � ���7��� �� �� ������� �� ��� ��� �� ��2

�������� �� ���� ��� �� �2�� ���7��� �� 6�������; �� ��������� )��8 ��� ������

���

Page 8: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

� ���

=������� �6������ 2��8�� �� >� ��� 8��� �� � � ��� ��� 8�� �� �� �6�� =����

�� ���������; �� ��=��� �� �� ���������� ���A��� �� "����� @ ����� �� �������� ��2����

������� � ����� �� ������� �� ����� �� 2��8��� ��: >� �� ����� �� �7��� � �

�8���� �>� �� ��2 � ���� )��8 �� �� ����� ��� �����"� �� ��������� � �� �

�6�� �� · &����. =������� �� �8��� ��� �� ,�0 � �7��� ��� �� ��� * ��� �� ��

���������; �>� ������ �� � �������� ���� � � ������� 5�� �� � ���� �� =������� ���

��� �������� ��� �� ���������; �� � �������� �>� ���7�� ���� � � ������� ��� ���

������ �� ��������� � �� ��

) �>�� 6�������; �� ��=��� ��� �� ���� �� 2��� �� ����� �� =�������

������� �� � �� ���� ��� �����; �6�� � 7�� ���� �� �"� �� ���� ����� >

�� � �6����� ������� �� @ ����� �����; �����"� �6� �� ��� �� ���� �����

��� �6���� ������ �� ������?=����� ������2� ��� 3� �� ���� �� �������� >� � �����

�6������;� >� ���� �� ����; �6�� ������2�� �6������ ��� �� �� ��� ������ ���� 7������

/��� ���� � ����� �6������; >� �������� ��� ���� �� � � ����������� �� �� �������������

�� ����� �� ���� � � �6������ ���� �6 ���� �� ������ �� ��� ������ ��� ��7 ���� ���

�� �� =������� ������� � 6��� �� 2��8��� 6�������; �������� �� ��=��� � 6������

��� �;� ��� ��� � ,�0 �� � � �������

'����>� �6��:� 6�7 ��� �� 2��8�� �� � ��� 6�������; �� ���� 5������ � ��� �� ���

������� �� �����"��; �� ��� �� ��� � �� ������� �����"��; �� �8���

��� � ��� �� ��� ����� �� � ������ �� �9���� ��� �� ���� 3� �� ���� � ����� ���

���� � �� � ���2� �� �������� �������� � �� �� ��������� � �� �� ( �� ��:� ��

������ �� ������ ��� > �� ��������� ������� ���� � � �������� ������� �� ) �>��

�6����� �� ������; ��� �� ������� ������� �� ���� �� ����?���� � ��� ��

�6� �"�� ������� '()�+#'(� �� � �� � �6������ � � ������� ����� ��� ��������

��� '()� <�� ��� �� �������� ��2���� �;� /5����� ��� � �� ���8�� � �� ���� ��� ��� �

� �� �� ������ ����� �6������ � ������ �� �� ������ ���:����� �;� � ���� �����

�������� ) �>�� ���� ��7���� ��� ���� �"��; � �������; �� ���� ��� �;� ���

��� �6�� � � ��� �� ��� �6����������

@ ���� ���; �� >� ��� �� ��������� �� �;� ���� � �� ������� �:�� � �� �����

�� �������� �����= ��������� ���� ������������ ���� �6 ���% �������������� ����

��������� � �� ���������� �������� �� � �������������� �"��;� � ��������� ��

�� ����� ���=� ������ �� ������� �� �� ������� ��� ��� �� >� �7�� � ) �>�� �� ����

�� ���� ������ ���� �>� �� �� ��������� �� ����� �� ���� ��������� �� �� �� ������ ��

���: ��: ���� 2 �� �� ��� �����

����

Page 9: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

���������������

�� ������ ��� ���� ������� �� ���� ����������� �� ������� �� ����� )� !� 5>��"

/���� ��� �� ������� ���� � ������;� ��� 8����� ��� �� �� �� �� �� ���8 ����

��� ���� �� �� � B ��� ���������� ��� ��������� ��� �� ���� ���� ����� ��

���� �9�� � �� ���� ����� ����������� 0� ����� )�� � ���� �� � ��� ��2� �

�� ����� ��� ������ � �� �; � ���� �� �" ��� � � ��� >����� ���� ���>�� � ���

������ ����� ��� ���� ���� �� ��� ������� �� � �� ������ � ������ ��� 9 ���>�

��� �������� �� ��� ��������

/� ����� ������� ��� ������ <��<�� ��� �� ����; �� ��� ���� ����� �

@� ����� �� ������� �� ������ ��� ������� (���� C��� @���� � ���������� <� ��

)�;�� ��� ���� ������� �� �������� �������� � ���� ����� ������� ���� ����

�� �� ����� ���� �� 5����� )����� �� <��� ��� ������ ���� ����� �D� ���� �����

)��E� >� � �� �� ���� ���� �� <��<� ���: �� ������ F���� (�� F���� <��

(�� (�� 0�� 5���� B�� � F����� ���> F���� � � 0? � G ��> ������ ��

�8� ������� ���� ����� �D� �������� ��� ��� ����H���� �� �������� (���� � 0������ F��>

� ���� (�� � ��� � ���� �� ���������� ��������� �� #�������� 5�� � � @���� .���� ���>�

�� �� ��� �� ��������� ����� (:���� <������� � ,����

4������ ���>� ������� ��� ������� ���� ��� ���"D� � �� ���� �� ����� ��� ��� ��

����� �� ��� �� ���� �� �� ������� #���� (���>� � ����7 ��� ) #����� �� ���>�

��� �������� �� ������� � 5�8�� ���; ��> �����= ���� ��� ��� �� /������� ��

IJJJ� ��� � ��� ������� �� �� ��� ������� �� �� ���� ���� � �� �� ������� 6)��

! ����7� ���� �� ���� � ���� �� ����� ��� �����A� ����������� �� � ���� ��

2��8��� ���>� �:������� ���� ��E � ���� ���������� �6�������� � ��; ) ���

��� ����� ��������� �� ����8������ ��8 ��� 6) ��� �27�

F� ���� ��������� ���� �� � ����� , �@ 7 (���� @��� ��� ��� ��� ��=����� �� ��

��� ���������� F� ���� �=� ������� �6���� ��� > ��� � ���� �� � (��� F� �� ����

�� �6��� ��� �� ���� 7 ��� 26� ����> ��� ��� ���� ������ ,���-�� �K��� ��� ���� ��� ���

����� ���������� �� ���� ������ �� ���� �� ��� ���� �� �� ��� ���� ��������� ����� ����

������ ������

��

Page 10: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

������� � � ���

#��- ������ ��� ������- #���� ��� ,���� �� ��������

3� ����������� ��� ������ � ���>� �� ���� 5�� ����� ��� ������� �� ��

�������� ���� �� �������� ��� ��� �����2�� � ����� )�������� ����� �� ����� � ����

�� ���� ����H���� �� ��� ��� � ����� L��� � ��������� �� ��� �������� ����� '��� F�

���� ���� ��������� <�������� 5���-� � @���� �� @��! ���� �=� �������� �� �������

#�� ����� ����"�� �� �����;� �� 5�2�� � �� <� �� B� � �� @ �� �8 ���� ���

������ ��������� ����� !��� � <� ��� � ����������� F�����

.���� ���>� �� ���� �� 35<� �� ������ �� ����H���� �� �������� �

'M�NNO� � �� ���� NNP� )���D�� �� �� ����� � ���� �� �� ���� ���� ����H���� �� ��2�

<� �� � ����� �8 ���� �� �� ��� �� � ��� (���� � � @���� ! ��7 � �� F�� � >� ����� ���

��� ������ 7� ���� ��� 2� � ��� ��� ���� ����� ����� �� ��� ��� ����

'��� �� ����� ���>� ��� � ������� ��� �� ���� ����� ���� �� �9� ����

�����D������ � ��� ���� �>���� 5��� ��� ��� ����� ���� ��� ������ ���� ��� �� �

�D���� ��� ������� ) ,����� B������ ��� (� @�� � ��� �� ��� ��

5������� ) ��� �� 5��� � �� �������� � ������� �� ����� 35<� �� � � ��� ��

��� � ���� �� <�� ���� �� ������� �� ��� �� B� ���� �� ���� ��

5!�� ) �� ������ ����� �������� �� ����������� ���� ��� ��� �� ��� ��� �����

����� �� ������% ���� F����� �>���� (�� ) ��� L�� ���"���� L�� ����� B8���� Q���� (���

.���� #��-� � ��D 5���;�� @ ��� ����� � � ���� ������ � ����� ! #���� �

(����� � L�� 5>��"� �� ����� ����� � � ����� (� 0������� ���� ���� �����

�� �� ���� ����� ��� ��7 ��� �� �� �� ��� � ��� ���: �� ������ � (��� �

<� ��� 6+��� � 6) ���� � F��9�� � L��� � F���� <� � � 0����� � Q���� � B� ���� � 0����

��� � ������� 4��� ������ ������ � ���� � � � ��� ������ ��� ����� �� ������ ����� ��

�� ������ �>� �� �� ������� ��� ����� ! ��>� >� � �� � G����� ��� �� /�� F������ ���

���� ������ ��� ���� ! ���� ���� ���

G � ���� �������� �� �2� ��� �� ������� 8��� ��� ��� ���� �� ������ � ���

���� ��� ������ �� ��� � ��������� ������� � ��� ���� �� �8� (����� ������ ��

������� ����� �� �6������ �� �������

) ���� ����� � ��� �� ��� ��� � �� �� �� �� ��8� �� ��� ��"��

'���� ,�� ��>

Page 11: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��������

���� �� ����� �

���� �� ������ � ��

������� ���

�������� �����

������ � �� ����� ��� �������� �

N�N ) ������ �� ������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � R

N�N�N #��� ���� ������ (!(+ � �� ������ (!(+ � � � � � � � � � � � � � � � � R

N�N�I +� ������ �� �� �� � ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M

N�N�S ,���� ������� �� ��������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � T

N�I (� ������ ����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NJ

N�I�N ) ����� ������ �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NJ

N�I�I +� ���� ����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NN

N�I�S U��� #������ ��������� �� �� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � NR

N�I�R <��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NM

N�I�M ��������� � (!(+ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NT

N�S (� ������ ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NT

N�S�N +���������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IJ

N�S�I ����� ��� �� �� ���������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II

N�S�S <�������� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IS

N�S�R ,���� ������� �� '@< ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM

N�R 5���� �� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IV

N�R�N 5���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IV

N�R�I .���������� ����� ����� ��� <'() � � � � � � � � � � � � � � � � � � IP

N�R�S ,� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � SJ

N�M ��� �������% � ������ ��� ������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � SS

��

Page 12: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

���� ���

N�M�N #������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � SS

N�M�I #������ ������ �� ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � SV

N�M�S #��� � ����� �� ������� � ����� �� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � SP

N�M�R ��� .��� ����� � ������ �� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � SO

N�V +������� �� �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RJ

N�V�N <���� I � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RJ

N�V�I <���� S � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RJ

N�V�S <���� R � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RN

N�V�R <���� M � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RN

N�V�M +��� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RI

������ � ������� �� ���� ������� ��������� !"

I�N !��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RV

I�I 5��� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RO

I�I�N <�������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RT

I�I�I ��������� � ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � RT

I�S #������ � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MI

I�S�N <�������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MS

I�S�I U��� #������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MR

I�S�S '��� 5��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MR

I�R 0��� � �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MV

I�M <��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MT

������ # $�%� ���������� ��� ��������� ������ &�

S�N !��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � VI

S�I 5���� ����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � VR

S�I�N 3������ 5���� ) ����� &35)* � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � VM

S�I�I ��� 0� �� ,�0 &�0,* � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � VV

S�I�S (����� �� 0� &( 0* � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � VP

S�I�R (������ �� ,�0 &( ,* � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � VT

S�I�M ��� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PN

S�S ��� ��� � ���% �� ��� 5�������� /0 &�5 * � � � � � � � � � � � � � � � � PM

S�S�N #������ � ���� �� �� 35)� �� �0,� �� �� �5 � � � � � � � � � � � � PV

S�R ) ��������� �� �� ��� �������� ��� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � PT

S�R�N (����� �� �� 3� ���� &( 3* � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PT

S�R�I ��� ��� ���� � �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � OI

S�M )�������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � OM

���

Page 13: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

S�M�N ��� ������ �� /0 �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � OP

S�V <��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � TJ

������ ! '������ ��� ���������� (�

R�N !��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � TN

R�I �� �� ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � TS

R�I�N (����"��� �� �� �� �� 0�� &( 0* � � � � � � � � � � � � � � � � � � TM

R�I�I (����"��� �� �� (������ 0� &((0* � � � � � � � � � � � � � � � � � TP

R�I�S (������ ((0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � TT

R�I�R ��� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � TT

R�S <��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NJR

������ " $������� ��� ������� �� � ���� ������� �������� )�*+ �,-

M�N !��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NJO

M�I 5��� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NJT

M�S ������������� �� ������ ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNI

M�S�N /5����� ������ �� �� ��2����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNI

M�S�I +� �� ������ ���� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNI

M�S�S ������ ���� � ���� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNS

M�S�R ) ���� � �� �W���� ���� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNS

M�R ������������� ����� �� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNV

M�R�N (� ������ (� ��<����� (����� �� 0� &(( 0* � � � � � � � � NNV

M�R�I 5���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNO

M�R�S 0������� �� ���� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNO

M�M 5��������� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NIJ

M�V <��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NIS

������ & ���������� ��� ���� %�� ��"

.���������� ��(

����

Page 14: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

���� ���

���

Page 15: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

���� �� �������

N�N �������� �� � ���� � ���� �� ������� �� � ���������� ������ � � � � � � � � � I

N�I � ������ ������� �� ���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � R

N�S � ������ ������ �� ���� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M

N�R � ����� �� � ������� ������ ��� � ���� �� ��� � �������� ��� � ����� ������� P

N�M � ����� �� � ������� ������ ��� � ���� ��� ��� � �������� ��� � ����� ������� O

N�V !��� ����� ���������� �� � ���� (HHH)−1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NM

N�P ������ ����� �� � . ������� ��� ������" �� � ������� �� ����������� � ��� � � � NO

N�O !��������� ��������� ����� �������� � . ��������� ����� ��������� � � � � � � � � IJ

N�T #��� �� � �������� �� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IN

N�NJ !������ #$��%!$�� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IR

N�NN �� �� ��� � ������� ��� &� �� � '����� ���� �� �� ������ � � � � � � � � � � � IT

N�NI (���� ����) *���� �+���� �������) ��� *���� ������ �� ���������� ���� � &�� � � SJ

N�NS !� �,��������� ���� �� � �������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � SM

N�NR ���� � . �������� ��� �� �������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � SO

N�NM ���� ����� ��� �� � -��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ST

I�N � ����� �� � �� ����� ��� � ������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MN

I�I � ������ ���� �� ������ ��� � ��� ����������� ����,�� � � � � � � � � � � � MV

I�S ���� � . ������ �������� ��� �� ' �� ������ �� ������ ��� ������� ������ ��

� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MP

I�R ���� � . ������ �������� ��� �� ' �� ������ �� � �� ��� ������� ������ ��

������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MO

I�M ���� � . ������ �������� ��� �� K/Q ���� ' �� ��� ������� ������ �� ������

.��� � �� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MT

S�N ����� ���� ��� � . #&0 ��� � ����� ��������� ����,�� � � � � � � � � � � � � � � PI

S�I ����� ���� ��0 � . #&0 ��� � ����� ��������� ����,�� � � � � � � � � � � � � � � PI

S�S ����� ���� ��� � . � ����� ������ �� � ������ �������� ��� � ����� ���������

����,�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PS

��

Page 16: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��� �� ���� �

S�R ����� ���� ��0 � . � ����� ������ �� � ������ �������� ��� � �����

��������� ����,�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PR

S�M 1����� ����� ��� � ���� ��� ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PT

S�V ���� ����� ��� � �� ��� � ������ ����,�� ��� ��� ������ � � � � � � � � � � � � OS

S�P ���� ��0 ��� � �� ��� � ������ ����,�� ��� ��� ������ � � � � � � � � � � � � OR

S�O ���� �� ��� � . ������ �� � �� ��� � ����� ��������� ����,�� � � � � � � � � � � OV

S�T ���� �� ��0 � . ������ �� � �� ��� � ����� ��������� ����,�� � � � � � � � � � OP

S�NJ ���� ������ �� ����� � �� � . � #&0 ��,�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � OT

R�N !� �"�� �� � 2��� 1������ ����������� �� � ������ ���� � � � � � � � � � � � � � TR

R�I � ����� �� � ���� �� ��������� ��� � �� ���� �����3����� � � � � � � � � � � � � � TP

R�S � ����� �� � �����3���� ��� � �� ��������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � NJJ

R�R !������ ��� �� ��������� �� � �� ���� ����� � . � #&0� � � � � � � � � � � � � NJI

R�M ���� � . ������ �������� ��� ��� � �� ��������� ����,�� � � � � � � � � � � � � NJS

R�V !������ ��������� �� � �� ���� ����� � . � ������ �� ����� � �� ��� � ��

��������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NJR

M�N ����� ������� �� � ������ �� ����������� �1$� � ��� � � � � � � � � � � � � � NNJ

M�I !������ � . #&0 ��� � � �� ��� ����� ���� �� ��#0 ����� �� ���������� � NIJ

M�S ������� �� �� � #$����1$� �� ��������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � NIN

M�R !������ � . #&0 ��� � �1$��#$�� �� ��������� ������ �� � ���� ����� ��

�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NII

M�M *���� ���������� �� � ��������� ��� ����� ��� � �� �� �� � ����� ������ ��

�#0 ����� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NII

���

Page 17: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

���� �� �����

I�N ���� ��� ������ �������� �� � #&0 ��� � �������� ���� � � � � � � � � � � � MM

S�N #����� ����'����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � VT

S�I �� ���3���� �� � #�� �� (����� .�#(/ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � OI

S�S #����� ���� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � OO

R�N �� ���3���� �� � #�� �� 0�� .�#0/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � TV

R�I �� ���� ������� 0�� .��0/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � TO

R�S (������ *���� ��������� �� ��0 ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NJN

M�N ( �� ��� ����� �� �� �� � ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNM

M�I #��������,����� �� ���������4 ��#0 ��� ���0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NNP

����

Page 18: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��� �� ���� �

�����

Page 19: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

�������

�*'� )�������� '��� ��������� @���

�$ )����� 5���

�/0 )����� 0��� ��4���

�12� )������ 1��� .����� /����

.� ,����� <����

.23 ,�� .���� � �� 3���

.��'� ,� @�� @����� �������� ���������

.' ,�� ���

.32 ,�� 3��� � �� .����

�*� <��� ��� '����� #������

�*+� <��� '������� (� �� � )�����

�'4 <���� � !��������

*�5 '������� #�����- ��� �"���

*�� ' @��- <���� @���

*+� '������ (� ������

*)� '������� �� )����

*$ '��� 5���

*$� '��� 5��� <�����

*/+ '��� 0��� (���� �

*' �*+� '���� ������� <'()

*'� '��� ��������� @���

*6. '��� B���� ,��������

5$' ��� 5�������� /0

5/. ��� 0� �� ,�0

���' #��� <��� #��� �����

�*+� #�������� '������� (� �� � )�����

�� #��� #�

��� #� #������ ��������

���

Page 20: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��������

�'/ #��� ������ 0�

2$' .���� �"�� 5�������� �����

2� .�� ������

7*/ 4� ����6� ���� ' 0� �����

4555 !����� �� � ����� �� � �������� ���������

4� !���� �� #������

4��� !������ ##�

88� X�����X�������-��

��� @�� )�� /����-

�07/ @����� 4���� ������ 0�

+�� (� �� � )����� <����

+� �*+� (� ��<����� <'()

+4') (� �� � !��� ��� � +���

+4+) (� �� � !��� (� �� � +���

+++/ (� �������� (����"��� �� �� (������ 0�

++/ (����� (������ 0�

++'5 (������ (�� ����� �����

++'/ (� �������� (����"��� �� �� �� 0�

+/� (����� 0�� <��������

+'. (������ �� ,�0

+'5 (�� ����� �����

+'/ (����� �� 0�

+'3 (����� �� �� 3� ����

�5 /�� ���� ������

�$ /�������������� 5� ����� ����

)�*+ +������ #�������� '������� (� �� �����

)�*+� +������ #�������� '������� (� �� � )�����

$5/ 5�-� ����� 0�

$� 5�������� #��

$79 5����� @���

0�+ 4������ )�� ���� (��� ���

/� 0��� #��������

'�� �� )�������� <����

'*+� ��� '������� (� �� � )�����

'4�/ ��� � !���������� �� /���� 0��

'4/ ��� � !���������� 0��

'�/ ��� � /���� 0��

��

Page 21: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

'6* ���� � B �� '�����������

��$ ����������� <���� 5�����

�** ���� '������� '�� ��

�*+� ���� '������� (� �� � )�����

�7$ ��� ����� ������ 5��������

3$� 3������ 5���� ) �����

0�' 4� �� �� ������

1��� 1��� ��� @)/

:� U��� #������

���

Page 22: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��������

����

Page 23: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��������

a B�����

A (����

[A]i,j � ���� ��� i� �� �� ��� j� �� A�

AT ,A∗,AH ��������� ���2���� �� ���� �� ���2��� ������� �� A�

‖a‖ /����I �� ����� a� � ��√

aHa�

det(A), |A| '������� �� ���� A�

tr(A) ���� �� �� ����� ���� A�

1k ) �"���� ����� �� ������� k�� ����� � �� ����

diag(a1, . . . , an) ���� ���� ��� ����� � ����� ����� �� a1, . . . , an�

I !����� ����� �������� ���� ������ �� ����������

λmax, λmin, λk (������ �������� �� k� ������ ��� ��������� ��

Cn×m ��� �� �� n×m ������ ��� ���� �� ����� �������

|a| )��� �� � �� �� a�

log(a) /�� ������ �� a�

logc(a) ,���� ������ �� a�

a+ max(a, 0)�

Ex(c) �������� �� c ���� �� ����� ���� � x�

σ2x(c) B����� �� c ���� �� ����� ���� � x�

K ��

|K| <���� �� �� �� �� K�∝ ��� �� � �� ��� �����

∪ 3����

������ ���������� �� ������ � ����������

��� ��� ��� �����

∼ '�������� �������� ��

s.t. ��2�� ��

(·)∗ � ���� � ���

�����

Page 24: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

�������

����

Page 25: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

������� �

�� ������ ��� ����������

���� ��������� �� �������� �� �� ����� ������� ��� ��������� � ���� )�������� � YNZ� ��

������ ��� ��� ������ ��� ��� ����� �� �������� ����� � �� ����� ���������� !�

������ ��� �� � ����� � �� ������ �� ��� ������� �� �� ��� ������� �� ��������

) ����� �� ������ ��� ��� ������ �������� �� ���� �� �� ������������ ������ ��

��� ��������� �� ��� ����� �� �� �� ���� ����� ���. �� 5�G �� �� '@<� �� ��

����� �� �����"��� ���������� �� ���� ��������� � � �� �� �� �� �� ��-�� ����

����� � ����� � �� � �� ������ ��� �� '@< ���� ����� ���� �� -��� ���� �� ��

��������� ����� ��������� � �� �� ��� �� ������� � 2��� ������ �� ���������

������ ����� �������� YIZ� ! �� ����� � �� ������ ���������� ������� �� �� !�����

�� ��� � ��� � �� ����� ���������� ����� ���� �����-� ���� ����� �������� ������

� � -�� �� �� !� �� ���� �� ���� ��� ������ �� -��� ���� �� �� ����� �� � ���� ��

�� ��������� �� �� ������ ���� �� ���� �� �� ���� ���� ���. ������ ������� �� �����

�����-� YSZ� +������ �� ���� �� ������ ��$������� ������ ����� �� ���� ��� �����-��

���� � �� ������ �� �� ����� � ����� �� ���� �� �� ����� �� ������� ��� ���� �����

���� ������ �� �� � �� ������ ��� �������� �� ������� �� ���� ���� )� ����� � ��

��������� ������ �� ������ ��� ������ ������ � �� �� � �� ��������� �� �� ��-�

���� � �� �� ��� ���� �� �� ���� � �� �� ���������� ����� ���� ��� ��� ��� ��� YRZ�

) ����� � �� �� �� ������ ����� �� �� ���������� �� �� ���������� ���� YMZ �������

����� �� �������� ��� ��������� ����� �� ()<�

1�� ��������� �� �� �� � ������ ��� ������ ����� �� �� ������ �� �� &���� ���*

������ �� �� ���� �� ��� ���� �� ����������������� ���� �� ���� �� ��� ����� �� ��

�������� #�� ������� �� �������������� ��������� ��� �� ���� ��� �����-� �-�� � ������ �

� ��� ��� ���� �� ���� � ���� �� �� � �� , �� )5� �� �� �� �����

����� ����� �� !������ �� �� � ����� ���� � ������ �� ����� ���������� YVZ� ��

�� ������ � ��� ������� �� �� ��� �� ����� -��� ���� � �������� �� ���������

N

Page 26: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

Broadcast and MultipleAccess Channels

Transmit ProcessingTechniques

Power and BitAllocation

Multiuser Scheduling

GAMES

MU

LTI-A

NTE

NN

A

MU

LTI-U

SER

SCH

EDU

LING

FAIRNESSISSUES

#����� N�N% �������� �� � ���� � ���� �� ������� �� � ���������� ������ ���� � ������ ��

��� ������� ����������������� � ��� ) � ����� �� �������� ��� �� ����� ��� ����,�� �

����� !� ���� �� � � � �������� �� ����,�� ��� ����� ��� �� ���������) � ���� � ������ ��

�������� � � �� ���� ������ 1������) ������ ��� �������� ��� � �������) ���� �� ����� ��� � ���

�� � ���� � � ���� ����������

���� ) ����� ��� �������� �� ��������� �������� � ������� �� ����� �� ���� ���

�����-� YPZ� �� � �� ���� ���� �� �������� &�� �� �� ��� �� �� �������*� #����������

�� ������� �� ������� �� �� �W���� � ���� ����� �� �� ����� �����"��� �� �� ������ �

���� �� ���� ���������� ���� ���� ������ ��� ������ � �� ��� �� ���� � �����

0�������� YOZ ����� ������ ���� � �� ����� �� ����� ��� ��� �������� �� ����� �

������� 4� � ����� � �� �� ���� ��� ��� �� �� ���� �� ������ �� ������������

�����-�� )������ �� ���������� ���� ��� �����-�� �� ������� �� ����� ����� �� YTZ ��%

������ ��� ��������� � ����� �� ��� �<5 �� ������ ���� ������ ��� �� �� ��

������ ������� ������� ������� �� ��������� �� �� ������ ��������� �� ��� ����� ��

��� �������� �� ����� �����-�� �� ���� ��� �����- ����������� !� ��� ������ ���� ���

�� �������� ������������ �� �� ������������� ��������� ��� �� ������ ����� �����

�� ����� �� ���� ��� ������������ ���� ������ '������ (� ������ &'(�*� �� +#'(

���� ��� �� 1��� ��� @)/ ������ ���� � �� �� ����� ��I �� !��� OJI�NN� '���

B���� ,�������� &'B,*� �� �� ����� ��� ���� )( '��� 0��� (���� � &'0(*�

��� ������ ��� ��� ���� ���� �� �� �� �� � ������� �� ������������ ����� �����

I

Page 27: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

���� �� �������� ��� �� �� �� � [������ �������� � YNJZ�

,����� ����� ������ ��� ��� �� �� ��2����� �� ��� ����� �� � �� �� ���� ��� ��

��������� ������� �� �� �� ����� ������� ���� �- �� �� ������������ ������

����� ��-������ �� ��������� ���� ������� �� ������ �� ������� ��������� �� �� ��

���� �������� �� �� �������� ������ YNZ� �� ���� ���� �� ��� ��������� �� �� ������

�� ������ ������������� ��� ����� ��� ����� ��� +#'( ������� ���� ����� ��� �������

�� ���� �� �� ������� �� ������� ��� ���� �� �� 2��� ������ ��� �� '@< �����"��� ��

�� ��� ����� �������� �� ���������� ��� ����� � �� �� ������� �� ���� � ����

������� �� #����� N�N� #���� � �������� �� �� ����������������� �������- ����� ���� ��

�� ������ ������ ����� �� ������ ��� ���� ���� �� ��������� � �� � -�� �������

���� � �� ��� ����� ����� �� ����� ��� ����� ���� � � ����� � ���� ���� ������

������� ������ �� �� � �� ��� ����� �� �� �� ��� � ����� ������ �� �� ������

����� YNNZ� )��� �� � �� �� ���� ��� ���������� ��������� ���� �� �� ������ ��

�� ���� ��� �������� �� ����������� ������� �� ��� �� ������� � ��� ����

�������� �� �� ������ �� ��������� �� ��� � !� �� �� � ����� �� ���� �� �� �� � ��

������ �� ���� �������� �� ����� ��������� �������� � ����� ��������� !� ��� ������

�� ��������� ������ �� '@< �� �� ������ ��� � �� ���� ������ �� � �� ������

�� ����� ���� ��� ������� ����� �� �� ��������� ����������� ����� �� �� �����

���� ����� �������� � �� ������ ������ ������ ��� ����� �� ����� �� &��� * ��

����� �� ����� ��������� !� ��� ������ .�� ������ YNIZ �� �� ��� � � �� ��������

�� �� ����� ������ �� <'() ������� +� �� �� ���� ������� ������ ��[����� ��

������� �� �� �� �� ��� ���������� ���� �������� �� ����������

#���� ����� �� �� ������ �� ��� ����� �� �� ������

• '������ �;� �� � ��� �� �����"��� �� �� ����� �������� ������ �� ����������

������� ���� � ���� � �� ,����� <���� &,<* �� �� (� �� � )����� <����

&()<*� ���� �������� �� ��-������ �� �� ������ ���- �������� �� ���

����������

• ����� '������ �;� ��-� ��� �� ������ �� �� �� ���� ����� ���������� �������

���� �� ��- ������� �� ��� ��������� �� �� ���� ��-� �� ����� �� �� ������ �� ��

��������� ������� �� �� ����� ���������� ����� ��� &N�M*� ! �� �� ���� �

�� ���������� �� ������ �������� ���� <���� S� ����� � � U��� #������ ��

���� �� ����� !� ��� ������� �� ������ �� �������� � 2����� ��� ������� �������

• )��� �� �� ������ ��� ���������� �� '������ �;# �� � �� �� �� ��� ����� �� �����

� �� �� ������ �� ��� ����� !� ���� ������ �������� ����� �� ������

��������� �� ��� ����� �� ����� &��� �� ������ �� �����* ���� ���� � �� ����

�� �� �� ���� �� ����� � ���� �� ��� ����� �����������

S

Page 28: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

Transmitter

1

Q

WirelessChannel

Receiver

1

K

#����� N�I% � ������ ������� �� ���� ������) ���� � ��� ���� � �������� �� Q ������ )

��� � �������� � K ������ � 5�� ����� ����� �� � ��������) � ������� ������ � �

������ ������ ��� �� � ����'���� ����� ���� � �� ������

• ��� �������� ������� �� ���� �� ����� �� �� ����� �� ��������� �� ��� ��

'������ �;!� +��� �� ���������� �������� �� �� ����� �� ����� ��������� ��� � ��

����� &�� �� ������ �� ��� ��� ����� *� �� �� ��������� ���� �� ���� ������

• )��� �� ������� ������������ �� ��������� �� ��� �� '������ �;" ������ � ��

�� ��� ���� �������� �� ���������� #�� �� �� '������ �;&� � �������� �� ��

��������� �� ������ ������ ��� �� ������� ���� � ���� �� 5��'� �������

��� � ������ ��� ���� ������

! �� ���� ��������� � ��������� ����� �� �� �� ��� �� � ����� �� ������� �� ���

��������� �� ���� ��������� ����� �� ���� �� �� ���� ���������� ��� �������� �

����� � �� ����������������� ���� �� �������� ��� ��� ���� ����� ��������

����� ������� ���� � �� ��-����� ��- �� �� �� �� ������ �� ���� ���������� ����������

(�������� �� '��� 5��� ����� �� ���� ������� � ���� � ���� ������� �� <���� I�

����� ���� ���� ���� ���� �� ����� ���� ����

#��� �� � � �� �������� � ��� �� �� ���� ���� ��� ���� ������ (!(+ ����� � �����

�� ������� �� #����� N�I� !� ��� ���� � � �� ���� ����� � ����� �� �� ���� � ���

min(Q,K) �� �� ���� /0 ������� ����� �� �� ������ �� ����� �� ������� �����

��������� � YNSZ� �������� � ������ ���� ���� � �� ������ � �� ����� ���� ��

�� ��- �� ���������� ������� ���������� ����� ������� �� � ������ ������ �� ����

���� �� �� � � �� �������� YNRZ� !� ����� ������� �� �� ��������� ��� � �� � ���

�� ������� ����� �� ���� �� ����������� �� �� ����� ���� �� �����������������

�� ��� ������� � ���� ����� ��� ���� �� ������ ��� �� �� ����� �� ����� � ��� ���.

YNMZ� �������� �� ������ < ! �������� ���� �� ��� �� � �� ������� �� ���� �����

R

Page 29: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

! ! � � # � �� �������� ����� ��

Transmitter

1

Q

MultipleWirelessChannels

Receiver 11

Receiver 22

Receiver KK

#����� N�S% � ������ ������ �� ���� �� ������� �� � �� �) Q ������ ��� ��������� � �

��� ���� ���) ����� � K �������� ��� � ����� ������ .����� �� ����� ��� ���� �� ���

�� � ������� �� �/� �� ����� ��� � ���� �� � ��� ���� ��� �������� ) � ��� ������ ����� ��

�������� !� �� ��� � ������ �� ������� ��� � ���� �� � �� �������

�� ����� �� ������� ��������� �� �� �� �� �� ����� �� ����� �� ���������� #��

��� �� � ���� �� ������ �� ����� ����� � �� �������� �� YNVZ� ��� ������ �� ����������

������� �� �� ����������� ����� �� �����

!� �� ������ ������������ ����� ������ �������� ����� ������ �� ��������� �� ��

����� ���� � ����� �� ���� ��������� �� �� ����� ��� #����� N�S ��� � ���� � ��

������ ����� ����� �� ��������� ��� ���� � ����� #�� ������� �� ��� ������� � ��

��� ��� � ����� � ��� ��� �� ����� -��� ����� ����� ����������� ����

�� ����� � ��� � �� ������ �� ���� ���� ���� ��� � ������� �� �� �� �� ��������

���� ���� �� �� �������� ��� � ������� �������� �� #���������� ������ �� �� � ���

���������� �� �� ��������� ���� � �� ����� � ������� ����� ���� ����� ���� �� ��� �"��

��� �� �-� �� �� � �� ����������� ��� ����� �� �� ��� � ��������� �� �� ,�����

<���� &,<* ������� �� #����� N�S� �������� �� �� (� �� � )����� <���� &()<* ��

�� �� ��������� ������ �� �� ������� �� �� ������ �� ,< �� �� ()<� ����� �� -��

��� �� �� ����� �������"��� �� �� ����� ������ �� �� .����� (!(+ ,< YNNZ� /��

� �� �� �� ����� �� ���� �� ��� ���� � �� �� ����� �� �� ������ ���� ��- ��

�� ��- ����������� ��� ���. YNPZ� !� #����� N�S� �� �� �� � ����� ����� �� �� ������ ��

��������� �� �� �� ���� �� ������� �� �� ����������

����� � ��������� �� �������� ������ ������

���� ��������� �� �� ������ � ���� �� �� ����� �� ������ �� �� �� ������� ����� ��

�� � � �� ����� � ��� ��� ����� YNOZ� ����� � ��� � � �� ������ �� ������

����� � ���� ���������� �� ���� ��� �� ����� ������ �� �� .����� (!(+ ������

M

Page 30: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

����� �� �� � -���� YNNZ� ��� ����� ��� ��� � �� ���� ���� �������� ����� � �� ������

� ���� �� K ��������� ��� T ≥ 1 ����� ���� �� � �� ������� �� �������� ���

Q ����� ������ ��� ���� ���� ��� ��� ���� k �� ��� ,< �� �� ��������� �

yk = Hkx + wk, k = 1, . . . ,K, &N�N*

����� �� �������� ���� �� �� ������� ���� x ∈ CQ×1 �� Σx � E[xxH ]� ��� � �����

�� ��� ����� ���� Hk �� ���������� �� ������ � ��������� ���� �� .����� �����

���� �� ��� "��� ��� �� ��� ������� ��� T × 1 �������� ���� ��� �� k� ���� �� yk�

�� �� ����� �� ����� � � �������� ���� �� .������ ���. wk ∼ NC(0, I)� ��� )5 �� ����

� ����� ��� ������ ����� �� PT � � ��� tr(Σx) ≤ PT �

��� ����-� �� ������ ������ ����������� !� �� ������� �� ���� � ����� ��

.����� ,< �� ������ � �������� ���. �� ����� �� �� ��� �� � ��-�� �� ���� �����

������� ���������� �� ���� � ���� ������� ������ ����� �� ������ ������ �

�� �� ������ �� �������� � �� ��� ���� �� �� ������ � ��� �� ��� ��� ������

����� ������� �������� �� �� �� � ����� ���� ,< �� ������������ ����� ����

� ������ �� �� �� � ��� � ������� ������ �� ����� ������� ��$���� ���� �������

��� ���� YNTZ� ���� �� ������ ����������� �� �� �������� �� �� ����� �������

����� ���� ��� ���������� ���� ���� �����"��� ���� ���

#�� �� ��� ����� �� ��������� ��� ���� � ����� � ������ � ������ ��� �� (!(+

,< �� ����� �� YIJZ �� YINZ� �� � �� ���� �� �� ����� �� ��� ��� � ������� �� ����� �� ���

��������� �� YIIZ ��� ���� � ������� �� ���� � �������� �� .����� ����� � ����� �

�� �������� &�� ��� -����* ���� �������� � � ����� ��� ���� ��� ������ '��� 5���

<����� &'5<* �� � �� �� ������� &�� �� �� ��������* �� ������ ������� �����

�� ��������� �������� � ������ ����������� ������� �� ����� �� �� ����� ������

�� ��� � �� ���� �� �� ������������ !� ���� ������ �� ����� �� �� ����������� �����

�� ��� � �� ���������������� ����� � ��� -�� ���� �� � �� ������� �� �����

� ����������� ����� � �� ���������� �� �� ������� ���� � <�� � �� � $���� �� %���

��� � ������ � ���� � ������� ����� ���� � ������ ��������� �� ����� �� ����

��� � �������� �� ��� � �� ���� �� ������� �� � �� �� -���� �� ���������

@���� �� ���� ���� � �� �� ������� � �� (!(+ ,<� #���� �� ������� �������

�������� xK ��� �������� K� )��� �� �������� ������ ��� �� ������ ���� &K − 1*� ��

������� �� ������� ������������ �� �� � �� ������ � �� ��� ������� ����� ��

� �� ������ ���� �� ���� �� ����������� ���� �� ��� ����� ���� ��������� �� ������ ��� ��

K ������ �� � ���� �� �������� � �� ���������� ���� � ������� �� �� �������� ������

!� ���� π(K) �� ������� ���� �� ���� �� π(K − 1)� �� �� ��� �� ������ � �� �� YISZ

R(π,Σi) = log|I + Hπ(i)(

∑j≤i Σπ(j))HH

π(i)||I + Hπ(i)(

∑j<i Σπ(j))HH

π(i)|, i = 1, . . . ,K,

V

Page 31: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

! ! � � # � �� �������� ����� ��

R1

R2

#����� N�R% � ����� �� � ������� ������ ��� � ���� �� ��� � �������� ��� � ����� �������

�� � �� ����� �� �� ���� ���� ������� �� �� �� ����� �� �� ,<� �� ������ � ��

������ �� �� �� ����� �� �� �� ������ ���� �������������� �������� ������ ����

� �� ����� ������� �� �� � ��� �� ���� ��������� (π(1), . . . , π(K)) YISZ

CBC(PT ;H) � Co

⋃π,Σi

R(π,Σi)

,

����� � �� �� ���� � �� �� ������� �� �� ����� ������ ������ ��� ������

������� �� �� �������� ������� ��� �� ����� ������� ������ �� �� ���� ���� ������ ��

��W�� � #�� �� ���� ����� ��� ���� � ���� ���� �� �� ������ �� ������� �� #�����

N�R� +�� �� �� ��� ���� ����� �� ���� �� �������"��� �� �� ����� ������ �� ��

������ ����� �� �� ����� �� YIRZ� ����� �� ������� �� YIMZ� ��� ��� ������ ������

��� �� ����� �� ��� ��������� �� �� �� �� ������ ,< �� ()< �� ��������� ������ ����

��� � ���� ���� �� �������� �� �� ��W�� ,< ����� ������ �� &N�I*� ������ �� ()<

���������� �� ���� ���� ���� �� � � �� ����� ���� !� ��� �� �� �� ���� �������� ��

��������� ��������� ���� �� �� �� ���� �������� � ����� �� �� ������ �� ��$���� �� ���

#�� ������� YNSZ ����� � �� ����� �� �������� ���� ��� �� � ��������� �� ���� ��

���� ������ (!(+ ����� � !� �� ����� �� ���� ��- �� �� �� � ���� ����� ��� �����

���� � ���� ���������� ������� �� ���� �� ���� ������ ���������� YIVZ �� YIPZ ���� �

�� ���� ������ �� �� ����� ��������� �� � ��� � �� �� � ���� �� ��- ���� ��� ���

��� ������ ��� ��� �� (�������� �� ����� �� �� �������� � ���� ������� �� ���� �� ��

������ ���� � ��� �� ����� �� "��� ����� +#'(� �� (<�<'() �� ' �<'()�

,����� ���������� ������� �� �������� ���� v ��� �� ()< �� � ����� � &N�N*� ���.

v =K∑

k=1

HHk uk + n = HHu + n, &N�I*

����� �� ������� ���� u = [uT1 uT

2 . . . uTK ]T �� ��� ������ �� ��-��� �� �������

������ ��� �� K ������ ��� ����� ���� ����� �� �������� ����� ������ ��� �� �����

P

Page 32: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

R1

R2

22211121 log HHHHI PPRR HH

#����� N�M% � ����� �� � ������� ������ ��� � ���� ��� ��� � �������� ��� � ����� �������

�� HH = [HH1 HH

2 . . . HHK ]� �� �� ��������� ��� �� ����� w �� � �� ��� n� !� ��� ����

�� �������� ������ �� ������ �� Qk � E[ukuHk ]� ����� �� ���2�� � � �������� �����

������� tr(Qk) ≤ Pk� ������ ���� ��� �������� ��� � ��� �� ����� ��� ��������

����� ! �� �� ���� � ��� ����� ������� ��$��� ���� � �� �� ,<� ����� �� ����

��� �� ������� �� � �� �� �� �������� � !� �� �� ������ �� ����� �� �� �� �����

����� � ����� ��� ����� ����� � ��� ������ < ! �� �������� �� �� ��������� ��

�� � ��$������ �� ���� �� ����� �� � ����� ���� �� ����� ������ �� �� ���������� ��

�� ����� ������� (�������� �� ����� �� ��� ��������� �� ��� � �� �� ����� � ��

��������� ����� ��������� �� �� �� ������ ��� ����� �� �� ()< � &N�I* �� ��

����� � �� ������ � ����� �� �� ����� �� �� �� ������� ������������� � ����� ������

���� ���������� p(u1) . . . p(uK) YIOZ� #�� �� .����� (!(+ ()<� �������� � �� ��W����

� �������� �� � .����� ����� �� � �� ������ �� ������� �� �� ������ YITZ� #�� ��

�� �� ������ P = (P1, . . . , PK)� �� ����� ������ �� �� (!(+ ()< �� ������ �

CMAC(P;HH) �⋃

Qi>0,tr(Qi)≤Pi, ∀i

{(R1, . . . , RK) :∑

i∈S Ri ≤ log∣∣I +

∑i∈S HH

i QiHi

∣∣ ∀S ⊆ {1, . . . ,K}}

, &N�S*

����� ��� ���� ���� � ����� "������� .����� ���� ��� �������� ���� Qi� )�

� �� ����� �� &N�S*� ��� �� �� �������� ������ ��������� K���������� �� ��������

����� �� ()< ����� ������� ����� �� ������� �� ��� � �� ����� &���� ��������

������ �������� �� ��� ��������* �� ���� �� ��������� �� ����� �� ������ �����

�� ��� �� ������� �� �� ������� �� ���������� �������� YNRZ� !������ ���������� ��������

������� �� ���� �� �� ������ ������� ���� �� ��� ������ �� ���� ������ ������� ����� !�

�� �������� ��� ���� � ����� �� �������� ���� �� ���� � �� � ��� � ��

������� ������ �� ��� ���� �� ����� �� ����� � ������ ������ #�� �� ���

���� ���� �� ������ �� ������� ��� #����� N�M� �� ��������� �� ����� �� �� ������� ��

�����"��� ������� ��� �� �� ��� ������� � �� ����� YSJZ� ! �� ������ � ��� �

����� �� ()< ����� ������ �� ������� �W���� �� � ���� YSNZ ���. � ������ �� ������

������ �� ()< ���� �� �������� ��������� �� ��� YITZ� ���� �������� �� ���� �� ��

O

Page 33: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

! ! � � # � �� �������� ����� ��

X�����X�������-�� &XX�* ���������� ����� ������ � �� ��� �� �����"��� ��������

���� �� �� ���� ���� � �� �� ���� ������ ����� ��� �� �� ��� ����� ��� ����� ��� �

�� �� ����� �� ����������� ���� �� ���� K − 1 ��������� ) ����� �"�� ������ �

������ �� ()< ��������� �������� � ������� ��� �� �������� �� ����� �� YSIZ� ��

� � �� ������ � � �������� �� ������� ����� �� �� ������� �� �� �� �������

)� ���� �� �� ()< �� ������ �� ��������� �� �� �� �� �� �������� �� �� ���������

�� �� ,<� �� �� ��� ���������� � �� �� �� ������ �� YISZ �� �� ����� � �� ������ �

��� �� �� �� (!(+ ()< ��� ����� �������� ����� ��� ��� � �� ,< ����� �������

�� �� ������ � �� �� (!(+ ,< �� #� # ���� !� ���� ������ �� ,< ����� ������ ��

��� � �� ����� ������ �� �� �� (!(+ ()< ��� ��� ����� ������� PT � ���.

CBC(PT ,H) =⋃

P:∑K

i=1 Pi=PT

CMAC(P;HH),

����� �� ������ ������������ !� ��� ��� �� �� �� �� � ���� �������� �� �� �� ��

������ �� �� � ����� �� ������ ����� � YSSZ� ) ����� �� �� �� ����� �� �� ������

���- �� �� ���������� �� ��W�� � �� �� �������"��� �� �� ������ ����� ������

� �� �� ������� � .����� ����� �� ���� ��� ���������� ������ !� ��� � � �� �����

���. �� YSRZ� �� '5< ������ �� �� ,< ����� ������ �� � ������ .������� �������� ��

���� /����� ���� � �� ���� ����� � ����� � �� ��� �� ������ �� �� �� �� ��� �

����� ������� �� ������� ��� ���� ���� ��������� YNNZ� �� �� �� �� ()< ���� ��� �W����

������� ������� �������� �� �� ������ ���� ��� ������ �� YITZ ����� ��� YSMZ� �����

����� � ����� �������� �� ��� �� ���� �������� ������ �� ������ �����

����� ������ �����"��� ���������� ����� ��� �� �� �������� ��� �� �������������

���� ,< �������� ������ ����� �� ()<�,< ������������

����� ����� ������� � ���������� ����

0���� �� ���� �� ���� � �$�� � ������� ��������� ����� ��� ������� ������ ��������

�� �W� ������� �� �� ����� ������ ��� YMZ� ��� ����� ���� �� �� �������� �����

����� �� ��2����� �� ���� ������� )���� ���� �� �������� � �����$ �� YSVZ ��� ��

�������"��� �� �� ��$���� ������� ����� ���� ����� ����� � ��� �� � ���������

������ � �� ������ ������ � �������� ��� � ������ �� 5�G ���� ������ �����

!� YSPZ� �� ������ ������������ �� ������ -��� ��� ����� �� ����� ���� ���

����� ������� �� @����� 4���� ������ 0� &@4�0* ������ ��� ����� �� � � ������"�

�� ����� �� � �� ��-��� ������ ������� ���� ����� �� ����� �� �� ����������

��� �� ������ ������ ������� ����� ���- � ��� �� ����� ��� �� �������� ����� ������ ���

���� ��� �� ���� � �� �� ��� !��� �� ��� ������ "#�$ ���� ���� ����� �� �� ��� ��� �� ��� %��

T

Page 34: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

#�� �� ������ ������ ��� � ��� �������- ��� ,< �� ()< ����� �� ����� �� YSOZ�

����� ����� �� ������� ������ �� � �����"� �� �������� ���2�� � �� � ��������

��� ���������� ������� ��������

)��� �� ������ �� �� ����������������� ������ �� �� ,< �� �� ()<� ��� ������

������� �� �� ����� ������� �� ��� � ������"� ��� � ���� ������� �� ����

����� ������� �� �������� .���� �� ��� ������ � �� ���� ��- ����������� �����

, �� �������� ��� �� �� � ����� &Q* ������ �� K ����� � ��� ���� � �����

'�� � �� ��� ������� ���� ��������� ���� ���� ���� �� ��� � ���� �� , � /��

� � ���� ���� ���������� ��������� ���� � U# �� (( � YSTZ �� �� �� ��� ���

�� ������� �� �� ��������� ������ �� ���������� ����������� ���� ��� ������� ��

�������� &���. '#�* ��� �� ���� ��������� �� ������� ���� ��� �� '5< ��������

����� � ��������� ������ � �������

���� ��������� �� � ��- ������ ����� ��� �������� ��� �� ������ �� ������

������ � �� ���� �� �� ����� ����������� �� �� ����������������� ���� �� ����

� �� ���� �������� �� � ���� )� � ���� ������� YRJZ ��� � �� ������ �� ���������

������� �� �� �� �� ������ ��� � �� ��W�� ��� �� �� ��� �������� �� ������ �������

�� ����� ���� �� �� ������ � �������� �� �� ������ .����� ������ �����

�� �������� �� YIJZ� ����� �� �������� ���� !� Q × K �� ������ ������ ����� �

����� �� ������� �� Q ����� �� �� K ��������� ��� ���� � ����� !� ���� ����

�� ���� ���� �� &N�N* ���� ���� �

y = Hx + w, &N�R*

����� ��� ��� �� ���� H ������ �� ����� ����� �� ����� ,� �� ���� .���

����� ������� �"��� �� �� ���� �� �� ����� ����� �� ����� �� �� ����������

��� H = RQ� ����� R �� K × K ���������� � ����� �� Q �� K × Q ���� ���

�������� ����� ����� ���� k ��� � ��$�� �� � ����������� ���� �������� � ������� ������

�� ��� �� �� � �� ������� � -���� �� �������� � �� �� ���� �� � ������� �����

�� ��� �� ���������� � �� ���������� ����������� ���� ��� �� ������� �����

���� ������ �� � �� U��� #�������'��� 5��� &U#�'5*� ����� ������� ������� � ����

�������� ��� ���� /0 �� �� ����� �� �� ��� ��- YIJZ�

5���� ��� �������� �� '5< ��������� ��� ��� ��� ������������ 5��������

&��5*� ����� �� �� � '������� #�����- ��� �"��� &'#�* YRNZ� ��5 �� �� ����� ���

�� ��$��� ���� ������ ���� �� �� ������ ������ 1�� � �� ������ ��� �� ��� � �� ��

� �����6� ����� ����� ��� )1./ ����� ������ .����� ���� ����������� ��

NJ

Page 35: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!&! '������� ��� ������� ���� ����

����� ��� ��[��� � �� ������� ���� ���� ��� ���� ����� �� �� ������� ���� �

�� � �� �������� ��� �� ����� ����� ��� ���� � ��� ����� ���� �� ���� � �������

�� ��5� �� � �� ���� ���������� ��� �� ����� ����� 1����� ���� /0 �� ��� ��

������� �� �� ������ ��� &��� N�MS �,� ����� �� �� ��� � ���������*� �� /0�

�� ����� �� ���� � ����� �� ������ &��� S�R �,*� �� ������� ���� �� ���� ������

������������ �� ������� �� �������� ��� �� �� �� ����� ���� ����� YINZ� ����

��������� �� ����� �������� �� �� ������� ������ ��� '5<� ��� <���� I�

���� ������ ��������� ���� �� ��� ������ �� ������� � ��� �� �� � ��� < !

�� �� ������� �������� �������� �� ��������� ������ ����� -��� ���� �� �������

����� ��� �� �� ����� ����� �� ���������� �� ��� � �������� �� �� ��������� #��

������� �� ���� ������ (!(+ ����� � ���������� � �� �� ��� �� -��� ���� ��

�������� �� ����� �� �� �-� min(Q,K) log SNR ���� /0� ������ �� ������ < !

�� �� �� � � �� ���������� ��� ����� �� ��� �� min(Q,K)(1 + min(Q,K) log SNR

Tc

)� �����

Tc �� �� ��������� ��� �� �� ����� YRIZ� �� ��� ��� ���������� ���� ��������� ���� � ��

YRSZ ��� ��� � �� ����� �� ���� ������ ����� ��� Q ����� ����� �� � �����

����� �� �� ��� � �� ��� �� ����� �� Q����� ����� ��� ���� � ���� ��� �����

1��� ����� ����� ��� �� ������� �� ������ ����� �� ������� � �������� � ���� ������

����� ������ �� �� �� ������ �������� YRSZ� ��� ��� ������� � # ���� ������ � �� ��

� ���������� ����� � �� �� ������ �� ������ �� ����� �� �� ����� � �� ������ ���

��� <���� S� !� ���� ������ �� ������ �� �� )5 ������ ���� �� �� � ����� � ����

�� ����� ��� ���������� �� �� � � �� �� �� �� ��� ��� ����� ��� ����� !� ���

����� ����� �� �� ������ ������������ �� ������ �� ������"��� � �� �� ��� ����

���� �� �����-� ��� ����� N�S�N ��� ������ ��� ��

����� � ������� ������� ���������

3� � ��� ����� �� �������� ��������� ������� �� ��� � ������ � ������� �� ����� ���

!� �� ������� ����� ������� ���� � ���� �� ��� ������ �������� �� �� ��������

������ � ����� �� ������� �� �� �$����� /0 �� ���������� (�������� ��� �� ��

���� �� ����������������� ������� �� ���� ������� � ��� � �� ������ � ��� �������

+������� ���� �� ����� ���� ���� � �� � �� ��� ��� ������ �� �� ��� � &N�R*�

�������� �� ������� ���� x �� ���� �������� �� ���������� ���� B �� �� ���

�� �� &����� � 4)(* ����� �� ������� ����� � s �������� �

y = HBs + w, &N�M*

����� � �� ��� � ������ � �� ����� � ��� ��� ���� �� ��$����� si �= sj,∀i �= j� ��

�� ���������� bk ��� �� K ����� �� ������ �� �� ���� �� B� /�� � �� k� ���

�� ���� H ������ �� ������� �� �� ����� ����� ��� �� k� ���� hTk � ��� ��������

NN

Page 36: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

���� Rk� �� �� ��� ��������� �� � ��� �� ������ ��� ����� !/0 ��� �� k� ���� γk

�� ��� �� ������ (! + ����� �� �� ��������� �

γk =bH

k Rkbk∑i�=k bH

i Rkbi + σ2k

,

����� �� ����� ����� σ2k �� ��$���� ��� ��� ���� �� ����� � ��� ���� ���������� ��

����� ����� ������"�� �� ������� ����� ���2�� � !/0 ������������ 5���� ����� ��

��� ��� ������ � �� �� � ����� !/0 ���������� γt �� �� �� � ��� � ��

minbk

K∑k=1

bHk bk

s.t.bH

k Rkbk∑i�=k bH

i Rkbi + σ2k

≥ γt, k = 1, . . . ,K,

&N�V*

����� �� �� ����� ����� pk �� ���� � �� ���� �� ��� ����� ���������� � �� �� �

�� ��������� �� ���� ���� �

minK∑

k=1

pk

s.t. (I− F)p ≥ u,

&N�P*

����� �� ������ ���� ��� ��

[F]i,j =

γt bHi Rjbi

bHi Ribi

, if i �= j,

0, if i = j,

�� �� k� � ���� �� p �� pk� ��� k� ������� �� ����� u ��

[u]k =γtσ2

k

bHk Rkbk

.

���� ���� �� �� &N�P* �� ����� � ��� �� �� � ��� �� ����� ������ �� �� F �� ���� � �� ��

�� N YRRZ� ! �� ����� �� YIVZ � �� �� ���� � �� ���� ��- ���� �� �� � ��

minak,ρk

K∑k=1

ρk

s.t.ρkaH

k Rkak

aHk

(∑i�=k ρiRk + I

)ak

≥ γt, k = 1, . . . ,K,

&N�O*

�� ����� �� ��� ���� ����� ��� � pk �� ρk� ���������� �� �� ���� � &N�V* �� �� �������

�� � ������ ������ ����� �� #����� ����� ����� � �� &N�O*� ����� �� ����� � ��� ������

�� ���� YRMZ� #�� ������ ��� �� �� ����� �� �������� � YRVZ� �� � �� ������ � ��� �

�� �� �� ������ �� �� ��- �� ���� ��- ������� ����� ��� � �� �����������������

NI

Page 37: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!&! '������� ��� ������� ���� ����

���� �� !�������� �� � �� ����� �� YIPZ � ����� ������ �� ���� �� ������ �� YRMZ

��������� � �� � �� � ������ ���� ��- ���������� ������ ��� �� ���� �� �� &N�V*� ���

��� �� � ���� �"� �� ����� ����� �� �� ����� ������� �� �� ����� �������� �

hk =hk

σk,

�� ��� �� � �� ������ ������ �� YIPZ� /�� � �� �������� ������ ����������

������� ����� � �� ���� ������ �������� ��� ���� ��������

#���� �� ���� �� ���� ����� ����������� �� YRPZ �� �����"��� �������� �� ��

(���)���� �� �� ��� � !���������� �� /���� 0�� & !/0* ��� �� ������ �� ���� ������

�� , ��� � �����"� �� ������� !/0 ���2�� � ����� ������� �� PT �������� �

maxbk

mink

γk,

K∑k=1

pk ≤ PT ,&N�T*

����� ��� �� �� �� ���� �� ���� ��� ����� � ��������� �� ����� ���� �����"��� �� ������

������ �� ���� ��� ���� !/0 ��������� �� ���� ���������� �� �� ������ ����� �

�� �� ��� ����� ���� �$�� �� �� �� � ����� ��� �� !/0 ����������� ��� ��������

�����"���� ������ ���� �� �� �� ��� �� U# ����� ����������� ��� ��� ����������

�� �� �� ������� ���� �� ������� ������� ��� <���� S ��� ������ ��� �� !� YRPZ� ��

����� �� ��� �� ���� �� �� ������ �� �� �������� �� ������ !� �� U# ��������� ���

���� �� ����������� �� ��� ���� �� �������� �� ���� �� �� ���������� ��� �� �����

����� �������� �� �������� �����"���� 0� �� � ���� �� YNPZ �� ��� ��� ��

�����"��� �� ��������� �������� �� ����� ������ ����� 4� ������������ ���. �� !/0

�� �� ������� ���� ������ � γt

γk ≥ γt ⇒ γk

γt= γ′

k ≥ 1, &N�NJ*

�� � �� ���� �� �� &N�T* �� �� ������� �� ��������� γk ��� γ′k� ,� ���� �� ���

������ � �� �� ������� ������ �� ���� �� �� ����� � �� ��� 0� �� � ���� ������� � ��

����� �� YROZ � ��� � ��� ������������ �� �� < !� �� �������� ���� �� �� � ���

����� � ���� � ����� � ��- �� ��� ���������� �������� ����� ��������� ���� � ����

��� ��� �� &N�NJ* �� ������ � �� �� �� ������ /�� �� � �������� ����� �� ������ �

��������� �� �� ������ �� �� )5� ������ � �� ������ � ���� �� ��� ����� �� �����

� ������ ���� ����������� ���������� � �� � ������ ���� �������� �� ����������

��� ��� ������ <���� S �� <���� R�

0�������� � ����� ������"��� ���� �� ���2�� � !/0 ��������� ����� �� � ����� �

&N�T*� �� YNPZ �� �� �� ������ �� �� ��- �� ���� ��- �� ����� �� ���� �"��� �� � �� ����

NS

Page 38: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

���� ���� ���� ��- ���� �� �� �� �� ��� �W���� � �� �� �� �� ��- ���� ��� ���� ������

�� ���� � ��-�� � �� ()<�,< �� ��� #����� �� ��������� �� ������� �� YRTZ� ����� � ��

����-�� � ������ ���� ��- ���������� ������� ���� ������� �� !/0 �����������

�� �� ��������� ��� �� YMJZ� !� ��� ������ ��������� ��� YMNZ �� YMIZ� �� YMSZ �� !/0

������ � ������� �������� � ����� /0 ����������� ��� ������� ���� ��- ����������

���� �� �� ������ )���� ������� ���� ���� �� �� ����������������� ���� � �� ����� ��

���� � �� �� ���� ���������� ��� �������� ��� ��� �� ������ �� ����� ��� � ��

�� ���� �� � ������ �� � �� ���� ��� ��� ��������� ��������� � ��������� ���������� �

�� �� ����� �� �� ���� (�������� ������ �� �� ������� ��� ������ ������ �� <���� I�

�� U# ������ �������� ��� ���� � �� �� ������ ��� �� ������ �������������

����� ��� ����� �����!��� �� ������� ������

1��� ������� � ���� ���� ���� '5<� �� ��� �� �������� ������� ��� 2��� ����������

�� ����� ����� � �� ������ U��� #������ &U#* ����� � �� � ����� �������� ����� �

���� �$�� �������� ������ �� �� ��� ����� �� �� ������ ����� � ������ � ����

�� ������ �� ����� ������� �� ������ �� ����� �� �� ������ ���� �� ����� ��������

�� ��� ���� ��� �� �� �����"��� YMRZ� /�� � U# &�� ����� ���������* ��������� ��

������ � �� �� �� ��- ������ �� ����� ���������� ������ �� �� ���� ��- � ���� ����

�� � ������� �� �� ������� �� �������� ������ �������� ��� ������� �� � ���������

�� ����� U# ������� ��� ������ �� �� ��� ������ ��� � �� ���� �������� ��� ���

���� ������ �� �� ������ ������ YMMZ� ������ �� �� U# ��� �� ���� �� &N�M* ��

B = HH(HHH)−1, &N�NN*

�� �� ���� H �� �� ������ �� �� ��� ����� � �����"� ����� ��������� ���. ���

����� �� YMRZ� ��� ������ �� ����� ������� ��� � ����� � ������ �� �� ���

����� �� �� ������ ����� ��� �������� �������� �� �� �������� �������

(�������� ��� U# � �� ���� ���� � � ������� ����� ����� ����� ��������� ������ ��

����� � ������ �� � �� ������� � ��� ����� ��� �� �������� ������������ �� ����

� ��� ���� ���� [������ ����� �������� �� � �� )1./ �� �� �� �� �����������

���� � ��� �� ���� ���� ����� ���������� ������ ���� ��� �� � ���� �����������

�� ������� ������� �� � �� ���� ����� �� ������ ��� ��������� ��� ��� ���� ����� /��

� �� �������� ����� �� �� U# ������� �� Q−K +1 YMVZ� ����� �� �� ��� � ��� (( ��

(�������� U# �� ����� �� � (( � �� �� � �� �� ���� /0 ������� �� �� ���� ��

������ �� ����� �� ������ YMPZ� #�� ���� ������� U# ����� � ����� �������� �� ���

�� ���� ������ � �� ����� ���������� �������� �������� �� ���������� �����

�� ���� � �� ���� ������ ��� ����������� �������� � '5< ��� ��������

NR

Page 39: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!&! '������� ��� ������� ���� ����

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Dimension of the channel matrix

Bas

e−10

loga

rithm

of t

he e

igen

valu

e di

vide

d by

mat

rix d

imes

ion

Three largest eigenvalue

#����� N�V% !��� ����� ���������� �� � ���� (HHH)−1 �������� ���� 6777 ���� ) ��� Q = K�

!� ����� ���������� � � ������ ��� ����� � � � ���� ��'����

0� �� � �� (( � �������� �������� � YMOZ �� ���������� �� U# ���� �� ��������

�� ���� ��"��� �� �� ������� �� &N�NN*� ����� �� �� ��������� �

B = HH(HHH + Kσ2I)−1,

����� � �� ������ � �� ����� ����� �� ��� ��� �� ������ ���� ��������� �� �� �

������� �� �� ������� �� �� ������ ��� �� �� ���� (HHH)−1 ���� H �� ������ #����� N�V

����� �� ��� �� �� ���� ���� ������ ��� �� (HHH)−1 ���� K = Q ��� � ��������� ��"�

�� �� ����� ��� ������ ������ �� �� � ����� � � ��� � �� ������ ��� YMOZ� ������

�� ��� �� �� ������ ��� ��� ���� ���� �������� ���������� U# ���� �� ������� ��

���� �� ������ �� ����� �� ��� � �� ������ �� ������ �� �� ���� ��"��� ������

���� � &N�NI* ���� � ������ �� �$��� �� �� ������ ������ ��� !� ��� �� ��� �� ���

K = Q ����� �� ����� ��� K � � ���� � ������� �� ��� �� ���� ��"��� �� ����� ��

����� ) �����- �� � �� ����� � �� �� ����� ������� � ����� ���� �� ���� ��������

������������ ����� �-�� � ���� ��W�� � ���� ������� ��� ������ ���� � ��������

����" #���������

3� � ��� ����� ����� ��������� ��� ���� ���������� �������� ���� <���� S ��� �� ���

�� ��� ���������� U��� #������ �� �� �� ���� ������ ������ �� ����� ������� ��� �� ���

NM

Page 40: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

�� ��� �� <���� I� �� ���� ����� �� �� �� ���� �� ��� ������� ����� �� ����������

�� �� ��������� !� YNRZ � �� ��� � ����'5< �� ������ ���������� ������� ��� ��

���� ��- �� �� ����� �� ������ ���� � ����� ����������� ) ��� ������� � ��

��� �� �������� ��% �� ������ ���� ���������� ������� ��. ���������\

,��� �� �� ������� ����������� �� ���������� ���� �� ������ '5< ��� ���

N� � � ��� � ���� ���� �� ����� ,< �� ������ �� ��- �� �� �������� ������ �

���� ����� �� �� ����� � �� ���- ������ ����� &N�I*�

I� !� �� �� ��- � �� ��������� �������� ��� ��� ������ �� ����� �� �� �� YMTZ�

S� ,��������� �� '5< ��� �� ��� ��� �� �� ��� ���� Q �� ���� �� K ���� �

������ YVJZ� !������ ���������� �� ����� �� � '5< ��� ���� �� �� /0 YNTZ�

)�� � � ��������� ��� �� ���������� ��� ��� U# �� (( �� ����� �� ����� �� � ��

/0 ��������� ����� �� ���������� �� (( � �� ����� � ���� �� /0 YVNZ� ) � ��

����� �� U# ���� (( � �� � �� ����� �� ����� � � �� ����� �� �� � ��

������� � ����� ��� ���� ���� �� ��������� ���� � �� ����� ������ � �� �

������� ��� �-� � �� ������ ���] (( � ������� ��� ������� ��� )� ��� ��� �������

�� ��������� ��� �� ,<� �� U��� #�������'��� 5��� &U#�'5* ������ ��� ���� ��� &N�R*

�� �� ���� �������� ���� ������� ������ ���� �� ������� ��� � �� ��� �������

�������� � ��� ���� ���� ��� ���� YVIZ� #�� ������� � �� ��� �� YVSZ � �����

������� ��� ��5 ���� ��� �� ���������� �� /0 ��� � �� ��� ����� �� ��

���� � �������� )�������� � YSIZ� U# �� ��������� ������ � '5< �� ��� �������

���� ���� �� ���������� ��� ���� ����� ����� �� ��� ������� ����� (�������� U#�'5

������� � (0< ���������� � �� ��� ���� ��� �� /0 YIJZ� #�� �� �� ���� U# ������ �

�� �� ���� � � ��� �� �� ��� ���� �������� � ��� ���� /0� �� ��� ��� �

���� �������� ��� ��� ������ � �� �������� U#�'5� �������� ���� �� ������ �� �����

������� �� ������ �� ������ �� �� ��� ������ �� ��� ����� �� �� ��� ���� � YMRZ�

!�������� � ������� �� YVRZ �� ����� ���� � ����� ����� ��������� �� �����

������ ����� ��� K ����� �� �� , �������� ��� I ����� ������ �� ������

�� ����� � �� �� ���� ����� � ������ �� �� ������ �� I� 5���� � �� �� �� �����

����� ����� �� �� �� �� ���� � ���� ����� ����� ���� �� 90◦ �� ����� ��� � ��

���� � ����� ���� ���� ����� �� �� ���� ����� ������ � �� � ��� �� �� ��� ����� �

��� ����� ���� � �� k� ���� �� �� ����� ����� ��� ���������� � �� ���� �����

����� �� XX� ��������� ��� ��� �� �����"���� ) ����� ���� ���� �� YVMZ ���� �

���� �� �� ������ �� ���� ����� �� ���� ���� �� ������ �� , ����� �� �� ���� /0

������ ��� �� ������ �������� ������� ��������� �� ������ �� �������� ����� �

�� ������ �� ����� ��� ��-���� �������� ������ ���� �� � ���� �� ������

NV

Page 41: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!&! '������� ��� ������� ���� ����

�� �� ������ �������� ��� �� ���� ������� ���� �� ����� ����� ��� �� �� ���� U#

���������� ��������� �� � � ��� ����� � ����� ���� � �� �������

!� <���� I� U# �� ������� � '5< �� � �� ��������� ����� �� ���� �� ��������

����� ���� ��� ��� ������� ���� �� ��� � �� �������� �� � �� ��� &�� ���* ��������

��� ���� �� ��[�� ����� � �� ������� �� �� ��������� �� �� ������ �������� !� ���

���� �� ���������� ������ ���� ����� �� -�� ������� #�� ���� ��� �� ��� �����

N�M� �������� ��� ��� ��������� ���� �� ���������� � �� ���� ��������� �������

�����$ �� �� ������ �� �� ������ ����� �� �� �������� �� �� �� ����� �����$� ���

YVVZ �� YVPZ� ����� �� �� ����� �� ����� ������ �� <���� S�

*� ����� �. ����������� ���� �<

������� �� �� �� � ����� �� ���� � ������� �� �� ������ ���. � ���� ����� ����

�W���� �� #�� ������� �� � ������� ��� K ������� ����� �� ���� � ����� �����

�� ����� ������ �� �� ����� ���� ���� ������� � �-� 1/SNRK ���� /0� !�Q �����

����� �� ���� � �� ������ �� ������ ������ � # ���� ��� �� KQ� ������� �

�� ����� � ������ ��� ��� �� ����� �� ������ 0� ���� ����� ,������ ��������� �����

����� �� � �� �� ����� ���� �� �� ������������ ������� ������� ������� �������� ��

�� ������ �� � ����� � ����� �� �� ������� ���� ����� �� ���� �$�� �� � ��

������ ������ *�� r� �� ��� ��� �� ������� �� min(Q,K) ���� /0� ����� �� ����� ��

����� �� �� ������� �� ������� �� �� �� �� ������ (��� �� ��� � ������ �� ��� � ���

��� �� �� ����� ��� r �� �������� ����� �� d �� �� �� �� �� ������ �� �� �-�

r log SNR �� �� ����� ����� ������ �� ����� �-� 1/SNRd� #��� �� �� �������� ��� ��

limSNR→∞

log Pe(SNR)log SNR

= −d,

����� Pe(SNR) �� �� ����� ����� ������ �� �� �� ������ �� �� �� �� ����� ��� ��

limSNR→∞

R(SNR)log SNR

= r,

����� R(SNR) �� �� ������ �� ��� ��� ����� �� �� ������ &�� ��*� 1��� �� � ��- ����

�� ������ �� K + Q − 1� �� ���� �������� ��� d∗(r) ������ � �� �� ������ ������ ��

� ��- ���� L �� �� �� ����� ��� r &������* �� ������� � ����� �� �� �� ����� ������ YVVZ

d∗(r) = (Q− r)(K − r), &N�NI*

����� ��[��� �� �����$ ������ �� ����� ������ �� �� �� � �� �� ������ ���

���� ������� ����� �� &N�NI* �� ������� �� #����� N�P� ����� �� �������� ��� �� � ���

��. �� ��� �� �� ����� ���� ��� ������ ����� � �� ���� ��� R �� M ����� �� �������

������ �� � �� ����� ����� �� ������� �� �� ������ ������ ��� �� �� ����

NP

Page 42: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25Optimal diversity vs. multiplexing trade−off

Spatial multiplexing gain: r

Div

ersi

ty a

dvan

tage

d(r

)4 transmit and receive antennas5 transmit and receive antennas

#����� N�P% ������ ����� �� � . ������� ��� ������" �� � ������� �� ����������� � ���

!� �� ������ ���� YVVZ �� ����� ���� ��� �� �����$ ������ ��� ���� ��������� ����

� ) ���� �� ,@) ������ �������� ���� �� ��� ���� ���� �� �� � ������ �� ����� �

��[��� �� ������� �����$� �� 5�G� �� �� ������ � �� ���� ������� � �� �� �� �

����� ����� �� YVPZ� ��� ����� ���� ���� �� �� ���� �� ��� �� �� � ������ ���� �����

�� �� �� �� � ����� ���� ������ � ����� ���� � ���� ��$���� ����� �� �� ��� �

������� ��� �����$ ������ �� ����� ��� ���������� ���� ��� �� �� �� ����� �������

� ���� ����� �������� �� ������ ��� �� �� 2��� ��������� !� ��� �� ��������

����� �� ����� � ��� � ���� �� ��� �� �������� ����� �� �� �� �� ����� ���

YVPZ� 0���� �� YVOZ ��������� �� ����� �� �������� ��� ������ ��� �� ������ ����� �

����� �������� �� �� �� �������� ��� ������ � �� ���� ����� � ������ � �� ������

��� ����������� �� ����� �����$ �� � ��� � �� �� � �� ���� � �� YVTZ �� <���� S� �����

� �� ��� � �� ����� ����� ��������� ��������� ���� �������� ��� ��� � � ���

����� ��� ����� ���� ����� � &����� �� �� ����� ���*�

�� ���� ��� ��� ��� � ����� � �� � �� ����� �� �� ��������� �� �����"���

������ �-� � ��W�� ��� �� )5 � �� �� �� ��� ������ �������� � �� ����� �� ��

������ ,������ �� �����$ ������ ���������� �� ���� ����� ���� ���� ����� ���� �

� ������ ���������� �� ���� ���� ��� <���� M� ����� ���� ���� ������� �� ��W�� �

�� �� ������� �� )5� � � �� �� ����� �������� �� ���������� !� �� ���� �� �� ����

NO

Page 43: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!+! '������ � ��� ����

����� ���� �� � ��� �� �� �� � �� �� )5� #��� ���� �� ����� ���� �� ����� ��

��� ������ �������� ���� �� �������� � �� �� ������ 5�G ���������

����$ %&������ �� ����

,����� ����� ��� �� ��� � �� �� ������ ��� ����������� �� �� ������ ���������� ��

�������� � �� �� � ����� ��� ����� �� �� ����������� ��- �� �� ����� � ����������

��� ���� ���� ���� � �� �������� �� �� ������������ ������ � ���������� ��

������ ��� ��������� � �� �������� �� �� ��� �������

!� �� �� ��- �� �� ������ (!(+ ���� ��� ������ YPJZ �������� � ������ ������ �

��� �� ����� �������� �� �� ������� ������� �� ����� � ������"� �� � ( �

�� ��������� ���� ����� �� ����� ��$��� ���� �� ���� � ��- (!(+� +� �� ���� ���� YPNZ

�������� � �����"� ���� ����� ��� �� ������ �� !/0 �� �� ������ ����� ��� �� � �����

���� ���������� ��� �� ���� ������ ������ ) ��� � ��������� �� ������ � �� (!(+

���������� ������ �� ����� ����� YPIZ� 5���� � �� �� �� ������ (!(+ ����������

�����"��� �� ���� � ���� ���� ���� ��� ��� ����������� �� ����� ���� � ���� ��

��� ��� �� ������� �������� ��� �� �� �� ���� �� ��� �� ���� ��� ��������

!� YPSZ� �� ������� �� ����� �� ���� ���� � ���� �� �������� ���� ���� ��

�� ���� ��- ���������� ���� �� ���� ���� �� �� �� � ����� ��� ����� �� ��

����������� ��-� ��� � �� � ��- ����� �"��� &������ � ����� ���� /0 ��

��� ������ ��� �����* �� ���������� �����"��� ������ &��� ����� ������"����

������ � �� �� �� /0 ������*� ��� ����� �"��� ����� ��� YPRZ� ����� � ��� �� ��

�����$ ������ ���������� �� ���� ���� ������ �� ������ �� �� ��������� ���������

<��������� ����� ����� �� ����������� YPMZ ���� ���� � �������� ����� ������ ��

�� ������ �� ����� ��������� � �� ������� ������ (�������� �� ���� ����

���� ������ ���� ������� ����� �� ����� �� ��� ���� �� ��W���� � ������ � ���

� �� ������� ����� ����� ������ !� YPVZ� ������� ����� ����� ���2�� � !/0

�������� �� ���� ���� ��������� ���� �� �� ���� �� ������ ����� ����������� #�� ��

�� ������ ��� �� ������ ��������� ��� ���� ��������� �� �������� �� YPPZ�

��� ���������� ���� ����

1����� �� �������� ������� �� ��� �� �����"��� �� �� �������� ��$���� ������

�� -�� ����� !���� �� �� ���� �������� ������� �� ��������� ������� �� �� ����������

��������� ��� ������ �� ������ � �� ������ �� �� ����� �� ����� � �� �� ������� 3� �

��� ����� �� ������� �� ���� �� ������ �� �� �������� ������ �� &N�I*� !� ��� �������

�� ���� ��������� �� �� �� ����� �� �� �������� �� �� ����� ����� &N�I*� !������ ��

���������� �� �� ����� ���� �� ������ � ������� ��������� �� �� ����� �� ����� � �����

NT

Page 44: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

space

spaceSDMA

time

frequency

(a) Traditional one-dimensional scheduling (b) Joint space-time-frequency scheduling

User 1

User 2

User 3

frequencyFDMA

timeTDMA

#����� N�O% .�/ !��������� ��������� ����� �������� � ���� ���� ��� ����� �� ����) ���� ���)

���,�����) �� ����) ��� ��� � �� �� � ��������������� ���� .�/ !��������� ����� ��������) ����

��� � �� ��� � �� � ������� � ��� ��������� ����� ��� �

�� )5 ������ ���� ����� �� ����� ��� �� ����� ��� ������ � �� �������� ����������

���� �� �� ����� �������� 5���� � � �� ��� ���������� �� ��� ������ ��� ������ �

�� �� � �� ����� �� �� �� �� �� �� ���� &�� ������� ��� ������* �� � � �� ������

���� ����� � �� ����� '() ������ � ������ �� ��� ����������� (�������� ��� �

�� ��������� ���� ����� �� �� �W���� � ����� ���� ������ ��� <���� S�

���������� �� ���� ���� � ������"� �� ��� �� ��� �������� � �� ������ ��� ��

�� �� � ����� �� ����� ��� �� �� � ������ )� ���� ��� ����� �� ��� � �� -�� ���

����� ���� �����"��� �� � ������ ��� ���������� � � �� ���� ���� �� � ��� �����

�� � �������� �� �� ����� ���� �� ���� ����� ��� �������� �� ������ �� ������ �

���� �� �� �� � ���������� �� ������������ ����� �� � �� ��� ���� 2��� �� !� #�����

N�O �� ��� �� � ���� 1����� ������ � ����� �� �� ���� ����� & �� ���� �*� ��� ��

������ �� �� ��������� �� ���� ���� ����� ����� �� �� ������ ���� ����� � �����

� � &���� ���� �*� /�� � ��� ���� �� ���� ����� ������������������ ����� ��

�� ����� � �� � ��� �� ��������� �� �������� ����� �� ��� ���� ���� � �� � �� ��� ��

����� &�� ���� ��� �� �-� �� ����������� �� �� � �*� �������� ����� �� ���� � ����

�� ������ ���������� �� ����� �� �����"�� �� �������� � �� ��� ����� �����������

������������ �� �� ��� � ��������� (�������� ��� � �� (!(+ .����� ()< � ��

���� � ������ �� � �� ��� ���� �� �� �� /0 ������ YPOZ�

����� ������������ ������������

!� ����������� ������������� �� ���� ��� �� � ����� ���� �� ������ ��������� �

����� �� ��� ���� ���� � �� ������ �� �� ��� ����� (����� �� �� )5 ��

IJ

Page 45: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!+! '������ � ��� ����

x(n)user k

)()(1 njzena

)(na

h1k(n)

h2k (n)

#����� N�T% #��� �� � �������� �� �����������4 � ��� ����� � ��� ���� ���� � ��

������ �� ����������� �� � ��� ����� �

�� �� �� ���� k∗ ��� ��� �� Rk ��� ���� t�

k∗ = maxk

Rk(t), &N�NS*

����� ��� �� �� ������ �������� �� �� ������ �������� �� ����� ��� ����� ����� � ����

����� �� ���� ��� ����������� ������ � �� ���� �� ������ ��$������� ���� �����

����� ���������� ����� �� &N�NS* �� )5 ���� ������ � ���� k∗ ���� �� ��������� �����

�� ���� �� ��� &�� ��� �� ��-*� ����� �� � �� �� 5�������� � #�� ������� ���.

k∗ = maxk

Rk(t)Tk(t)

, &N�NR*

����� Tk(t) �� �� ����� �������� � �� �� ����� &�� � ��� �� ������ �� ����* �����

� �������� � ������� ������ � ��� ���.

Tk∗(t + 1) = (1− 1tc

)Tk∗(t) +1tc

Rk∗(t).

!� tc �� ���� ���� �� �� ����� ��� ��� �� � �� �� ������ �� ����� �������� ��

�� ����� Tk(t) ��������� � �� ��� ������ +������ �� ��� ��� �� ��������� �� �� ������

�������� �� ����� �� �� �� �� �� ������- �� ������ ���. /0 ������-� ���� ������

�� ���� ���� ���� ���. �� 4� ����6� ���� ' 0� &�'0* ������

1�� �� �� � ����� �� �������� ���� ���� ��� ���� �� ��� �� YPTZ� ����� ��

�� ������ )5 �����-�� [������� �� �� ����� ����� ���� � �� �� �� ���� �� ���� �

����� �� ���� �� ����� �� ����� �� ����� �� ������ ��� #����� N�T ��� � ���� ��

���� �-�� ����� ������ � �� ������� ����� ���� �� � � ������� ����� ��� � � ��

������ #���������� �� �������� ������ �������� ���� ����� ����� ������-� �� ��������

�� ������ �- �� � ����������� ������ �� �� ����������� $����� �2��� �� �� )���

YPTZ� ������ �� ����� ��� ���� ��� ����� �� ����� ��� ������� ��� ���. �� �� ������

IN

Page 46: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

(!(+ ����� �� YOJZ� ����� ��-� � � ������� ������ � �� ���� �-� � � ���� ���� �� ���

�� ���� ��� ����������� +���������� ������� ���� �� �� ���� ������ � ���� ���� ��

����� ������- �� ���� ������ �� ������ �������� ��� ���� �� � �� � ����������� ��

'() ���������� � � �� ��������� ���. �� <���� M� #�� ������� ���������� �������

������ ��� ����� �� �'() ����� &N�NR*� ���. �� ���� ��� ��� ����� �� ������ ��

�� ��� YONZ� ) ����� �� ���W������ �� ���� �'() ������ �� ������ �� YOIZ� �'()

��������� � �� ������ ��� �� � �� ����� ��������� �������� YNTZ� � �� ������ �� YVJZ

� �� ��� �� '5< ���� ���������� �� ������ �� �� ����

����� '������� � ��� ��������� �����

!��������� � �� �� �� ������ �������� � �� ������� �� ������ �� ���� �� � �� ��

�� ��� ����� �� ����� � ������ �� ������ ����������� )� � �� ���� ������ ��������

�� �� �� �� ����� �� �� ������- �� ����� � �� ���� � ����� ���� ����� � � �����

����� ���� �� �������� � �� ��� ���� ���� �� �� �� � �� � �������� �� �� (!(+

������ ��� �� YOSZ� ��� �� �* �� ����������� �� ����� ����� ��������� � ���� � ���� ��

� ����������� ��� �� ��* �� ������������ �� ����� �� �� � ����� �� ���� � �����

���� ����� �� ��� ������ �� �� ��� ������� ������� �� ��� �� ������ �� �����%

• ��� ����� �� YOSZ ������ ��� ������� �� ���� �� �������� �� �� � �� -��� ���

����� � �� ���� ���� �� ����� �������� ������ �� � �� ���� ����� � ��

��� ������� ������ ��� � �������� � ���� �� � �� �� ��� ���������

• (�������� ��� U# ����� ����������� � �� ����� YMMZ � ���� ����� � ����

������ �� ����� � �� �� ���� ��� ����� �� �� �� ����� ��� ���� �� � ������

�� ����� � �� �� ������ �� ��� ���� ������ �� ������ !� ���� ������ ��������

����� ����� ���������� � &� ����� �����* �$��� �������� ����������� ���� ��

����� �� �� ����� � ���� � ���� YORZ�

• ��� ����� �� YRJZ �������� �� ���� ��- �� �� ������ (!(+ ������ ����� �� ���������

��� ���� � ����� �� �� ���� � � ���� �� ������� � ����� � ����� �����

��� ���� ��� ������ �� < ! �� ��������

• ����� ��� ��� ������ ����� �� (!(+ ����� �� ������ �� YOMZ� ��� ����� ���

�������� ������ ��� �� ����������� �� �� ����� ��� ���� ����� ����������� �� ���

������ �� ���� ���� ������ � ������ �� ��� ������ ��� ��������������

����� �� ������ ��������� ���� �� �� �� ������ �� �� ������ )� ��������� ����

�� � �� ����� �������� �� ��� �� ����� ��������� �� �� ������ ���������

�� �� ������ �� ������-�

II

Page 47: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!+! '������ � ��� ����

) ����- �� ������ ������ ���������� ������% ����� �� ��� �� �� �� ��� �������

�� ������ �� � �� �� ��� ��������� �� �������� ��� ���� �� ���� YOSZ� ����� ����

�� ��� ������� ��� ������� ����� ������ ��� � � �� �� < ! ��� �� � �� ���� � �� ��

����� �� ����� � �����"� ��� �� �������� �� �� �� �� ���������� �� ������ �� ��

����� � �� �� ������ ������� ������ � ������ �� �� ������ �� ������ ��� ������ �

<���� M ��� ����� ���������� �� �� ��������� �� +#'( ������� ��� ��� ���������

#�� �� ����������������� ���������� ������ ��� �� ���� ��� ������� ����� �����

������ ���� � � �� �� ����� �� �� �������� ����� ��� '5< ��������� �� ����� � �� ��

������ ����������� #�� ������ �� YSIZ� ��� U#�'5 ������ �� ������� �� �������

� �� #��� <��� #��� ����� &#<# * ���� �� ��� ��� ������� ����� �� ��������� ����� ��

�� ����� ��� ��� � ������� � ������ ���� ��� � �� � �� ��� ���� ��� �� �� �� �

������ �� ������ ��� ���� �� ���� �������� ����� �� �� ���� ������ �� �� ��������

������� <���� �� �������� ��� ���� �� ������� �� ����� �� ������ �������� ������

��� ����� �� YOVZ ������� ������ ������ � ����� �� ����� ��� U#�'5 ������ �����

�� ������ � � ��� � �� ������ ��� ����� �� �� ������ ����� �

)����� ���� ������� �� ��� ��������� �� �� �� ����� �� ������ '@< ������ ���

���������� � �� �� ������ ������ ���� ������� ���� ����� � �� �������� �� YOPZ �

�� �� ������ �������� ���� ���� �� ������� �� �������� �� �� -��� �� ��������� �� ���

�������� �� ����� ��� '�� � �� �� ������ ��������� �� ���������� �� 5�������� �

#�� &5#* ������ �� �� �������� � � �� �� � ���� ����� ������ �������� �� ���������� ��

�� 5# �������� ��� ��������� ����� �������� ������ ��� � �� �� � �� ������ ��

�� ����� �������� ���� �� ����� �� �� ����� �������� ��������� !� �� ��� �� ����

������ �� ����� �� ������ �� ������ �������� ������� �� �� ���� ������ �� ��

�� �������� �� ����� �������� ����� /0��� � ������- &�� �� < ! �� �������* ��

�� ������ � ����� �� � �� ����� ��� �� ���������

)� ���� ����� �� ��� ���������� � ��� ����� � ������ � �� �� -�� ��� �����

�� �� ������ �� �� ������������ ����� �� � �� � ������� ���� ���� �� ������ ��

����������� !������ �� �������� ������ �� 5�G �� �� '@< �� �� ���� � �������

���� �� �����-� ������ � ���� �� ������ �� ���������� ��������� ��� �� ��� �������

����� #�������� �� �������

)����� ��������� ����� ����� �� �� ������ ������ ��� �� �� ��������� �� ����� ��������

����������� ��� ����� �� ������ �� ���� ������ ���� ���� �� �� ������ �� �� ��������

���� ���� �� �� ���� ��� � � �� �� ������ !� YOOZ� �� ����� �������� ������ � �

����� �������� ��� '()� ����� �� ���� ��� �� � ������� �� ��� �� �������� ������

�&������ ���� � ����� '�(����� � ��� �� ����� ��� �������� ��'�(� � ��� �����������

IS

Page 48: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

Time dimension(continuous)

Space dimension(discrete)

Poll Response

Signature acquisition

Variable number of users at eachslot depending on the link quality

Forward link SDMA/TDMA transmissions

SDMA/TDMA slot

#����� N�NJ% !������ #$��%!$�� ������ 1�� ) � �* ������� ������� �� ����� � ��,���� �

������� �� � ������� ) �� � ��� ��� � #$��%!$�� �� �

���� � �� ������� ������������ !/0 ��� ��� ����� ���� �� ���� �� �� /5����� ��

YOTZ� �������� ������� ������� �� �������� ��� �� � ��� ������� ������� ��

� �� ����� �� ����� ������ ���� �� ��������� ��� � �� ���������� ��

�� �'()� '() ����� ��� ����� ����� �� �� �� ��-� �� ����� ������ !/0

��������� �� �������� &�� , *� #��� � � ����� ������� �� ������� �� ���������

������ �� ���� ����� �� �� -�� ����� �� �� ������� �� ������ ������ ����� i �� j �

Cmpi,j = min( ‖hi‖2‖hj‖2 ,

‖hj‖2‖hi‖2

),

����� hj �� �� ����� ����� �� �� j� ����� 1�� �� �� ����� ������� � ������ �

���� � � �� ����� ��� ���� � �������� ������ �� ��� � �� �������� ��� ����� ���� ��

-� ��� ����� � �� ����� ���� ��� � ��� ����� ������� ��� � ���� �� ������� �� �

!������ ���� ����� �� ������ � ����� ���� ����� � �� ����� � ��� ���� � ����� ������

���. ��� ���� ���� �� ��� "��� �� ���� �� ���� ���� ���� �� �� '+) �� ������� ��

�������� ��� ���� ��� �� YOOZ ��� � ����� �� ��������� ����� ���� �� ���� �� �� ���

� � ����� �� ������� !/0 �� �� ����� <���� �� ������������ �� �� ����� �������� ��

���� ����������� )� �������� � �� ��� ������ ��� '() �� ���� ���� �� YTJZ� #����

�� , �� � �� ����� �� �� ��� ���� ��� �������� �� ������� �� , ��������

�� '()��'() ������ ���. �������� � �������� � ������� ���������� ��� #����� N�NJ ���

� ��� ����� !� YTNZ �� ����� -� �� ��� � ����� �������� �� YOOZ �� ����� ����

������ ������ � -� ��� ����� �� �� � �� ��� ����������� �� �� ������ �� ��

����� 4� ������� ���� � �� ��-� ����� �� �� ��-� ��� ��� ����� �� �W�

����������� ��� �� ����� � ���� �� �� �� ���� ) ���� �� �� ��� ��� �� ������� ��

� ��� � �� /5����� ������� � �� ���� ��W�� � ���� ��� �� ���� ���� �� ��� ���

!� YTIZ� �� ����� �� �� �� �� ���� �� ��� ����� �� ������ ��� �� ��

������ ��- ���� �� ���������� ��� ����� ���������� !� ����� �� ���� �� �����#� �&) � ���� �������� ����� �� ��� �������� � ��� ��� ��� �� ����� �� ������ ����$

�� ���� (���$ ��� � ��*��� �� ����� �* �������� (��� ��� ������ � ��������

IR

Page 49: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!+! '������ � ��� ����

�� �� ���������� ������� ���� ����� �� �������� ����� � ���� �� �� ������ � � �������

����� ���������� �� �� ���� ��� ������� �� ��-���� ������� �� �� ������ ���

����� ������� �� ���� ��������� ��� +#'(� ��������� �� �������� ������� � ���

����� � � ������ �2�� ���������� ������� �� ����� ����� �� ����� � �� ����� ��� ��

�� ��2����� �� �����"��� �� �������� �� ������� 4� � ������ !�������� � �������

�� ����� �������� �� ������ �� ������ � �������� �� ��� ��������� ����� ��� �� ����

����� �� �������� � ������ �� ���� ����� ���������� ����� ��� ��� ����� ���� � ��

������� !0 ����������� �� ������� �������� ��� ������ �� ���� ��$���� ���� ��

������ �� ����� ���� �� �� ���� �"�� �� � ������ � �� �� �������� �� <���� M�

��� ����� ������� �� �����$ ������ �� ������ �� ������� ����� �� �� ��� ���������

�� ��� ������ ��� ����� �� �� ��� $��� �� ������ � ��� ��� ��� ��� ������

����� ��������� ��������� �� � �� ������ !0 ��������� �� �������� �� ����� �

������ ���� ����� 1�� �� ����� ��������� ���������� �� ���� ���� �� ������� �� YTSZ�

1���� �� ����� �� ��������� �� ��������� �������� &+#'(* �� ���� ��������

& '()*� �� ����� �� YTRZ �������� �� ������ � ������ �� �� �� ��- �������� �� ��

���� ���������� ������ ���� (( � �� ����� ������ ������ �� ���������� �����������

���� ��� ����������� � �� ������ �-� ����� ��������� �������� ���� ������ ��

��������� ��� �� ���� ���� �� �� �� ������ ��� �������� ����� ��$��� ����

�� ���� �� ���� �� <���� M� #��� ���� ��$���� ����������� � ������� �� ����� ���

������ �� ���� �� YTMZ � ���� �� ���������� �� �� '+) ������� ��� � �� ��� �

����� �� ���� ��� ������������ ��� ���� ��� �� � ����� �� ����� �������� � ����� &��

��� �* � ���� ������ �� ������ !/0 ���� ��- ����������� ����� ���� �� �� ���� �

��������� ��� ��� ������ ����� �� �� ���� �� ��$���� ��� � � ��� ��� ���� �� �

������ ��� �� ��������� �������� �� ���� �����

�� ��� ��� ��� ��� ���� �� ������ �� ����� �� �� ����� �� YTVZ� ����� ����� � ��

�� ��- �� � ������� ����� �� ����� ��� ���� � ����� ������ �� )5 �� �������� ���

�� �� � ������ !� ��� ���� �� ����� �� �� ����� �������- �� ���� �� �� �� ��������

���� �� �� ������ �� �� ����� ������� �� �� ����� ������ ��� ���������� ��� �

�������� ������ �� �������� � �� ��� �� ������ �������� ) ����� �� �������-

�� ����� �� � ���� �� ���� � �� �� ���� ���� ��� �� ���� �� �� ��������� '�� �

����� ��� ������� ��������� �� ����� �� ������� U# ���� �����������

����" ����� ������� � ()# �������

,����� �� ��� ��� ���� ������ ����� ���� � �� ����� �� �� ������ ����� ��� ����

�� �� ������ ���������� �� ������ ��� �� �� ������ ��- �� �� ������ !������ ��

��������� ������� �� ��� �� ������ ��� �� ��� �� �� ������ ������ ���� �� ����

IM

Page 50: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

��������� �� ��� �� ����� � �-� �� ���� ��� ��� �� #�� ������� � �� ������ �

���� �� ������ ����� -��� ���� �� � � �� �������� ���� ���� �� ���� � ��� �

�� �� �� �'()��'' ������ ����� �� ������- ����� � �� -�� �� � �� ����� �

������ ���� < !� (�������� �� ����� � ��� ��� � � ������ ����� ��� ��

)5 � ������ � ��������� � �� ���� ������ 1�� ���� ������������� �� ����� � ��

������ � ��� � ������ ��$�� � �� ��� ��-�� � ��� �� �� � ���������

��� ���������� ����� �� ���� ��� �����-� ��� ����� �� �������� �� ������� ���� ��

�������� YTPZ� +�� �� �� -�� ����� �� �� �� ����� �� �� ���� ��� �� �������� ����� �����

������ �� �� � � ���� � ��������� ���� �� ���� � ������� ����� ���� ������ ��

$���� �� �� ����� �� �� �� ����� �� �� �W� ���������� �� �� ����� ����������

�� ����� � $���� �� ���� ������� (�������� ������ ������������ ���� �� ����� ��

���� ���� ���� � � ������ �$�� ��� �� ������ ��� YTOZ� ��� ����� ���������� ����

��$�� �������� � �� ������� �� ������� �� �$��� ���. �� ���� �� ������ �� ��� � ��� ��

�� � �� �� ��� �� ����� ���. �������� � �������� ������ 0� �� � ���� �������

�� ��� �"�� &�����* ������ ��� ��������� � ������ � ��� ��� ��� �� ���� ��� ��������

�� �� .���� �"�� 5�������� ����� &.5 *� ����� ������ ��� ���� k ��� �� Rk ���� �

Rk = CTOTφk∑j φj

,

����� CTOT �� �� � ��- ������ ) ����� .5 �� �� � ������� ����� ��� �����

������ ��� �� ��� ��� ��-� ����������� ������ ������������ ��� � � �������� �� �

������� � �� � ��� ���� �"�� ������� � �������� YTTZ� /������ ���� �� ������ ���

������� �������� �� ��� ��������� �� ��������� ��� �� ��������� ������ �� �� �����

�� ����� � �� � ����� ������������ ����� �� �� ��� �� �� �� � �� ������ �� �� φk�

�������� � �� �� ��� � �� ��2����� �� �� � ������ �� ������ �� ��� �� '@< ����

��� ���� � ��� �������

!� ��� ������� �� ���� ��������� �� �������� ������� ������� ���� � �� ������

����� ����� �� ����� ����������� �������-� ��� <���� S� ������ ��� ��

�� � � ������� �� �� ����� &������� � �� �� ������ ������� �� <���� R*�

��"�� *���� ���������

!� ��� ���� �� �� ����� ����� ������ ��� ���� ���� ��������� �� ����� N�N ����

� ����������������� ���� �� ����� ���. ��� � �� ��2����� �� � �����"� �� ��� �� ��

(!(+ ����� � )����� �� �� K �� � �� ���������� ����� � hk ��� �� ������ ���

IV

Page 51: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!,! ��� � �� �� ���������

����� �� ��� �� �����"��� ���2�� � ����� ������� �� PT � � ���

maxpk

K−1∑k=0

log(

1 +pk|hk|2

σ2k

)

s.t.K−1∑k=0

pk ≤ PT ,

��� �� �� �� �-���� ����� ��� ��������� ��� �� ����� ���� � �� k� ����� �

pk =(

µ−1 − σ2k

|hk|2)+

, &N�NM*

����� σ2k ������ �� ����� ����� �� k ��������� �� µ−1 �� ���� � �� ����� ������� ��

�� � �� ��� ��� ��� ���� -��� �� �����"��� �� ��������� ���� �� ����� � � ��� �� ��

������ ��� �� �� �� �� ������ ����� � �������� �� ��$������� ���� �� ����� ����

�� �������� ������ �� ���� ���� �� ��� �"�� ��� �� �-� �� �� � ������ � ���

3���� �� ����� �� ������ �����"��� �������-� �� ���� �� YNJJZ ���� ���

������ �� ����� ����� ������� ��� ����� ��������� ����� � �����"� ��$���� �� ��

������� ���� � �� ( �� �� /0� �� ,�0� �� �� ��� �� ��������� ������ ��� �

���� ������ (!(+ �������� ��� ����� � ������� �� +#'( ������� ) �� �� ���� ��

YNJNZ� ����� ����� ����� ����� ������� �� ������� ����� ���� ������ +#'(�(!(+

������ ��� ������� �� � �����"� �� ������� !/0 �� � �����"� �� �������

!/0 ���� �� �������� �� ��� ����� �� � �"� �� ��������� ���� �� �� !/0

������� � ��� ������ ������ !� ��� ���-�� �� ����� ����� �� ��� ��� �������� �

����� ��� ��������

+��� ����� ����� ������ �� ��� ��� �� ����� N�I�I� !������ �� ���� ����������

&�� ��������� � �� ����� ������� � ��� �� ���* �� ������ ���� ��� �� ��2����� ��

������"��� �� ������� ����� �� �� �� � ��� �� 4� ������� ��� �� ������ ,�������

���� ���-� � ������� ����� ����� �� �� �������� ������� �� ����� N�R�S�

����� �� �� ����� �� ���������� <���� �� � � �� �� ���� �� ����� ���������

��� � � ��� ��� ����� ����� ��������� �� �� ��2������ �� )5�

��"�� +��� ��������� ����� ������ ��� #(��

.���������� ����� ����� �� �� ����� �� �� � ������� �� �� �� ��������� �� ��� ���

������� �� �� � ������ �� �� ������ �� ��� ������� ��������� ������� ��� ��������

�� ����� ������ �� �� ��� �� ��� ��� ������ �������-� !������ � ��������

������� ������ �� ���� � �� �� � �� �� ���������� � �� ����� � ���������

�� �� ������ �� �� � � ���������� �������� � � �� �� ����� �� <���� S� ���� ��

���� ����� � ����� ��� ��� ) ����- �� ������ ������ ����������% �� ��2����� �� �� �

IP

Page 52: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

�� � �������� .�� ������ &.�*� �� �� � �� ������� ������ ���� �� �� ����������� �����

����� � ����� ����� � ��� ��� ���� ���� ���� ��� �� ������ � �� ������ �� ��� ������

�� �������� ������ �� #�� �� ���� ���� �� .�� � ��� ����� � YNJIZ� ����� ����� ��

���� �������� � �� � ������ �� ���� �� &��� � ���� �� ��������� �� ���� ������*�

#�� ���� ��� �� YNIZ �� �� ���������� � �� ,�� � �� �����

1���� ��� �� ����� ��� �������� � �� ����� ����� ���� �� <'()� #� ����� ��

����� �� YNJSZ� �� !/0 ��� �� k ���� �� �� ��������� �

γk =W

R

|hk|2pk∑i�=k|hi|2pi + σ2

,

����� W �� �� �� � � ������� �������� R �� �� ���� ���������� ��� σ2 �� )1./

������ ����� �� ������ � �� �� ��� ��� �� ���������� hk �� �� ���� �� ����� ��� ����

�� ����� k � �� , � �� pk �� �� ������� ������ ���� ����� ������ ���������

����� � �� ��������� �� ������������ ������� ���������� +�� �� �� ��� ������ ��

����������� ����� ����� �� �� �������� �� ��������� �� �� ������� gk� !� ������ ��

������ ��� ���� ������� � ����� ���� �� �� ��������� �� ���� ����� ��

gk(pk,p−k) =LiR(1− 2BER(γk))L

Lpk, &N�NV*

����� Li �� �� ������ �� ��������� ��� ������� �� ���� �� L ���� ��� ��2����� ��

��� ���������� �� � � ��� �� �����$ ������ ������ �� �� ������ �������� �� ��-�

�� �� ������� ������ �� � �� ������ �� �� � ������ �� �� �������� �� �� �����

I �� �� ������� �� &N�NV* ��� �� �-� �� �� �� � ��� �� ���� ���������� �� �� ������

���� ������ ��� � �� �� � �� �� ���� ���� ������� #�� ������� ������� ������ ��

�� ����� �� �� ������ �� �� ������ ��������� )����� ��� �� �� ������� �� ��� ���

��������� ���� � ��������� �� �� ��� ������ �� !0 ���� �� ����� �� ����� �� ���������

�� �� ��� ��������� ������ ���� �� !0 �� -�� ������ �� )����� ��������� ����� �� �

gk(pk,p−k) ��������� �� �� � �� �� �� ������� ������� �� �� � �� �� �������� ������

�� �� ������� ����� pk� �� �� �� �� ������� ������ ��� �� ���� ����� �� �� �� �

����� �� ������ �� p−k� �� ������ �� ����� ���� ����� �� �� k��

#��� �� ����� �� .�� �� �� ����� ������ �� �� /�� ���� ������ &/�* �� �� ���

���������� <������� � ��� �� ��������� �G = [K, {Pk}, {gk}]� ����� K �� �� �� ��������

�� � ���� &�� ����� �� �� �� *� {Pk} �� �� ����� ���� ����� �� ������ pk �� ��������

�� {gk} �� �� �� �� �� �� ��������� ����� ���� ��$�� ���� ������ ����� YNJSZ ��� �

*�=������ �;� � ��� � # ���� p = (p1, . . . , pk) � � �- �� �� ��� G = [K, {Pk}, {gk}] �. ��� # �� k ∈ K. gk(pk,p−k) ≥ gk(p′k,p−k) ��� ��� p′k ∈ Pk.

����� ���� � �� /�� �� � ��� �� ������� �� �� �� �� �-��� �������� ������ ��

�� ������ !� ���� ������ /� �� ���� ����� �� ���� �� ������� �� ��� �� �� �������

IO

Page 53: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!,! ��� � �� �� ���������

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Best response for the first player

Bes

t res

pons

e fo

r th

e se

cond

pla

yer

Best responses and NE

r1(p2)r2(p1)

Nash equilibrium

#����� N�NN% �� �� ��� � ������� ��� &� �� � '����� ���� �� �� ������ �

�� ������� �� ��� ������� ������ ����� �� ������� ����� ���� �� ���� ������ ���

���� �������� �� .� �� � �� � ���� �� ���� � �� �� ����� ��� �� ������ �� �� ���

��������� ��� ��� �������� ��� � ��� k �� ������� � �� �� �� ������ ���� �� ����

� ���� ��� �� ��� ������ ���. pk = f(p−k)� ��� � ������ ���� � ��� �� ����� �� #�����

N�NN � ����� ��� /� �� ������� +�� �� ���� �� ��� �������� ��� ����� � ���� �����

�� ������� �� �� ����� ���� �� ���� � ���� ���. r1(p2) �� �� ��� �������� �� �� ���

� ��� ����� �� ����� ���� �� ������ � ���� ����� �� /� �� ������ �� ���������� ��

�� ���� �������� r1(p2) �� r2(p1)� ����� ���� �� �� ������� �� ���� ������ �� ��

/� ���� �� �� 5��� ���� �

*�=������ �;� � ��� � # ���� p′ ��� �� ����� � ����� � # ���� p �. ∀k ∈ K, uk(p′) ≥ uk(p)

�� ��� ��� j ∈ K, uj(p′) > uj(p)! ����� ���� . p∗ � ��� �� ������ � �� � *��� �� ��� �

��� � # ���� p ���� ���� uk(p) > uk(p∗),∀k ∈ K �� uj(p) > uj(p∗) ��� ��� j ∈ K!

)���� � �� ������ � ����� ��� #����� N�NI� ����� �� �� �� ���� ��� �� ����� �� � ����

) 5�������� ���� �� ���� � �� ���� �� ������� �� ��� �� �� ����� ��������� ��

�� �� �� ���� ���� ����� ���. �� ��� ��������� ����� � �� �� ������ ) /� � �� ��� �����

IT

Page 54: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

g1

g2

utility possibility set

Pareto-optimal frontier

Region of a Paretoimprovement

NE

#����� N�NI% (���� ����) *���� �+���� �������) ��� *���� ������ �� ���������� ���� � &��

�� �� ����� �� �� 5�����W����� ��� ������ �� ���������� ������� �� � �� �����

�� �� ��-�� ��� !� � ������� �� �� �� �� �� ����� ���� ���� �� �������� �����

��������� � �� �� �� �� ���� ������

+�� �� �� ��� ����� ���������� ����������� ����� ����� �� YNJRZ� �� �� �����

�� ��� ���� �� �������� ���-�� ���. ��� YNJSZ �� YNJMZ� �� � ������� �� 5�����W������

�� �� /� �� �� ����� ����� � ��� ���� ������ �������� ������� ��������� �� ������

����� ) ����� �� ������ �������- ����� ���� ���� ����� �� ����� � ��� ���� ��

����� ��� ����� �� � �� �� �� �$����� � ��������� �� ���������� ����� ��������� ��

���������� � �� ����� �� �� ������ �� ,�0 �� �������� YNJVZ� ���������� ��� �� �� -��

���� �� ���� ��� -��� �� ��������� �� �� ������ �� �� ������ �����"��� ��������

�� �� �� ���� � ���� �������� � ������������� #�� ������� ���� ����� ��"�� � ��

�� ������ �� ������ �������� � ��� ����� � <���� S� ��� ������ �� �� �� �����

���� �� .� �� �� ��������� �������� �� �� ������� ����� ��� � �� �� �������

���������� �������� �� �������� ���� ��� ���� �� ���� ����� ����� ���� �� ��������� ��

������ �� ����� �� #�� ��� �� ����� ��� YNJPZ� �� ��� ����� ���������� ���

��������� �� ��������� ����� .� �� )' @� � ��� ����� � YNJOZ�

��"�� ��� ���������

,����� ��� ����� �� ������� ��� �� ����� �� ��� �������� ������� ��-������ ��

������ �� �������� �� ������ ����� �� ���� �� ��� � �� �������� ������� ����� ��

�� ����� ������� &' @* �� ��� ���� ��� ����������� &+#'()*� !� ��� ������ �� ���������

��� ���� ���� ���� ����� �� ����� ���� YNJTZ� ! �� �� �� ��2����� � ���� ��������

������ �� �� ��� ����� ����� �� �� �������� �� ������ ���� � ��� �� �� ������

,� ����� ���� ��� �� ��� � ������� �� ����� ������"��� &�� �� ��

SJ

Page 55: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!,! ��� � �� �� ���������

�����"���* ����� 4� ��������� 3�� �� �� �� ���������� �� ����� ����� ������ �

��������� ���� Γn � ����� �� ������ �� �� ����� ����� ������� ���� ����� ��

������ �� ��� ��� ����� mn � �� �� ������� ������ �������� ����� n ��

mn = log2

(1 +

pn|hn|2Γnσ2

n

), n = 1, . . . , N,

����� �������� n� pn �� �� ���� ������ hn �� �� [ ����� ���� �� ����� � �� σ2n

�� �� ����� ������ ��� �� ��� ������� �� �� ������ �� �� �� �����%

• .�� ��� ������>�����% !� ��� ���� ��� �� ����� �� ����� �� �� ��2����� �� �

�����"� �� � �� ������ �� ��� (����� ��

maxmn

N−1∑n=0

mn

s.t.

N−1∑n=0

pn ≤ PT ;

• $�%� ������>�����% ���� ������ �� ���� ���� � � �� �������� ���� �� ��� �� ��

�� � ������"� �� � ������ ���. �� ��� �� ������ �� N ���������� �������� �

minmn

N−1∑n=0

pn(mn)

s.t.N−1∑n=0

mn = M,

����� M �� �� ���� ������ �� ��� ��� ����� � �� ������� �� �� ��� � ����

��� ���� �� ����� � ���� ���� ��� �� � ���������� �� ������ �� �� �����

�� �� ������ �������� � ������ �������� ����� �� ��� � ����� �� ������ ������ ��

��� ��� ����� ��� ���������� !� YNNJZ �� ������� �� �� ���� ������ �� ����� ������� ��

���� �� ��������� ��� � �� �� � ��#�� �� �� /���� ����������� ��� �� � ��� ���������

�� � ���� � �� ��� � � �� ���� � �� ���� � �� �������� ����� � �� ��� �W�����

������ � �� ���� � �� ���� ��� �� �������� � �������� ��� ����� ��� � ��������

����� �� ����� � ��� � �� ������ ����� YNNNZ� +� �� ���� ���� �� ����� ���������

����� �� ������ ������ �� ��� ����� �������� �� �� ��������� �� ������ �� ���

�� ���������� ����� � �� ��� �W����� ����� ���� �� ��� ���� �� �������� � �����

���� ����� �� ����� /�� � �� ��� ���� �� �� ����� ��������� �� ����� ������

�� ����� ���������� !� ��� �� �������� �� �� ��������� ����� ��� �� ���� �� ����� �

������� �� ���� ������� �� ����� ��� YNNIZ �� ���������� ������� !� YNNSZ� �� ���� �� ��

�� �� �����"��� ���2�� � ����� ������� �� �� ��� �� ���� �� ��-�� � �� ��

SN

Page 56: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

@����� �� �� ��� �������� ������ B��� ���� � �� �� ����� ������"��� �� �� �� �� ���

����� ��� ��� �� ��������� ����� � �� �� � �� �� �� �����"���� !� YNNRZ� � ����

����� ���� �� �� @����� �� �� ��� �� �������� � ������"� �� ������ ,�0 �����

�� �� ������� �� ��� ����� ����� ������ ���� �� ������ �� ���� ��������� ���

����� ������ �� �� ����� ������� ��� ����� ����������� � ��� ����� � YNNMZ�

5������� ������� �� �������� �� ���� �� ���� ������ �� �������� ���� ����� ��������

���� �� ���� � ��������� ������ � �� ��� � �� �� ������ �������� 5����� ��

���������� ���� �� YNNVZ� ����� �� ������"��� �� �� � ����� ����� �� �� ������

+#'( ����� �� ��������� ��� �� �������� ��� ���� �� �� ����������� �� ��� ��������

�� ������ �� ��� mk,n �� ����� pk,n ��� �� ���� k �� ��� n� ! �� ������ � ���

� �� � ��� ���� ���� ��� ����� ��������� ������ �� ���� �������� �� ����� ��$���� �

� �� ������ �� <���� M� ��� ����� �� ����� ������� � �� �� ��� ������ ��

�� ���� ) ��� �������� �� ���� �� ����� � ���������� ����� ���� �� �� n� ����������

ρk,n =

{1, if mk,n �= 0,

0, if mk,n = 0,

�� ������� � fn(mk,n) ������ �� �������� �������� ����� � ����� ������� ,�0 ���

���� k �� ��������� n� � �� � @������ �� ���� �� �� ������ ���� �� mk,n �� ρk,n�

����� �� ��� �� � �� ���� �� �� �� �� � ��������� �

minmk,n,ρk,n

N−1∑n=0

K∑k=1

ρk,n

|hk,n|2 fn(mk,n)

s.t.N−1∑n=0

ρk,nmk,n = M, ∀k, &N�NP*

K∑k=1

ρk,n = 1, ∀n.

��� ����� �� YNNVZ �� �� &N�NP* �� ����� ����� �����"��� ���������� 0���� �� ����

�� ���� ������� ������ �� ���� ������% �� YNNPZ� �� �������� �������� �� �������� �

�������� �� ��� ������� ���� ���� �� YNNVZ� ��� ��������� YNNOZ ������ ���� ������

�� �������� � �������� �������� !� YNNTZ� ���� ����� ������� �� �W������ �� ������ ��

� ��� �� ���� �� ��� ������ �� ����� ������� �� �� ������� ���������� ��� �

����"�� �� ����� � ����"�� �� ������� ���� � ����� �� �� ���������� ���� ��

��� ���� �� ���� �� ����� �������� ���� �� ����� �� ������� ������ � �����������

�� ��� ���� ������ @���� ���������� ��������� �� ���� �� YNIJZ ��� ������ ��������

�� �� ����� �� �� ������ +#'(� ����� ������� ������ � �� �� ���� �� �� ������

������ ����������� ���� � � � YNNVZ� #�� �� �� ����� �� YNINZ ��� �������� � ������

�� ������ �� �������� ������ �� ������ 5���� � � �� YNINZ� �� @�����<��� � ������

SI

Page 57: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!0! �� �������" �� ����� ��� ���� �� ��� �

�� ������� �� ����� � ������"� �� � ������� ����� ��� ��� ��� �� ��� ��

����� �� � ����� ������ #�� ����� ������ �������-� ��� YNIIZ� ����� ��

@������ �� ���� �� �� ���� �� ���� �� �������� � ����������� �� �� ����

�� ���� � �� X����- ���� ��� ��� ����� �� �� ����� ���� ��� �� �� ���

1���� �� ����� �� ��������� �� ��������� �������� &+#'(* �� ���� ��������

& '()*� �� ����� �� YMPZ �������� �� ����� ��������� �� �� �� ��- �� �� �� ���� ��-�

������� �� �$����� �������� ������� � �� �� ������� ���� ������� ������ !0

���������� ����� ���� � �� ��� �� ���������� ��� ��� ����� ���2�� � �� �������

�� ������� & �� ����������* ����� ����� ��� ����� )������ �� �� ����� ������

���� ���� ������� �� �� ����� ����� ���� � �� ����� ��� �� ��� ����� ���

��"� ����� ���������� �� � �� ���� ���� ���� �� �� ������ �� �������� '�$���� �

� <���� M� ������� �� �� �������� ����� �� ���� ������ �� 2�� ��� � ���� ���� �������

�� �� �������� ������ �� �� �� ������� � �� ��������� �������� �� YTRZ� 0������� ����

��� ��������� �� ����� �� �� ��� ��� B���� ,@) � �� YNISZ�

�� ��� ��� ��� ������� �� ��� �� ������� �������� �� ���� ����� �� �� �����������

��- �� �� & ��* ����[� ��������� #�� ������� �� ����� �� ���� �� YNIRZ� ����� ��

(!(+ ����� �� ���������� ��� �� �� �� � ����� �� �������� � ������ B'� �� �

� �� � ������� ����� ��� ���� �� ����������� !� ����� � ������� ������ �� ������

�� ����� ������� �������� �$ �� ����� � � � ������� �� �W������ �� �� ���� ������

4� ����� �� ���� �� ��������� ����� ������ � ���� � ���������� �� ����� ���� ��

���������� � �W���� � � ������ �� ���� ����� �� ����� � ��������� ���� ������ �� ��

������� #�� �� �� YNIMZ ������� ����� ����� ���2�� � ,�0 �������� �� ���� �����

��� ����� ���� � �� ���� ������ �� ������� �������� � �� ���������� � �� ���

�� < !� �� ���� ��� � �������� �� �� � �� ����������� ��� �� ������

��� ��� �� ��� � ������ �� !������ ������

!� ��� ��� ������ �� ��- ������ �� ��-������ ����� �� �� ��� �����������

<���� I� ) ����� ������� ������� ��� ���� ������ ������� ������ ��� ������

� ��� ��� ������ ����� �������� ����� �� �� � �� ������� � �� ��� ���� ���� ����� �

� ��������� ��� �� ��������� ���-� �� �� �� ���� ����� �� �� �� ���-�

��$�� ������� ��,�����

!� �� �� �� ������ ��������� �� ����� N�I �� ������� �� ��� ��� �� �� ��������

���������� ���. �� �� �� � ��� �� ����� 4� ������������ �� ��� ������ �� ������� ��

��� ��� ��� �� �� �� ����� �� ����� ��� �������� ���������� �� ��� ������� � ��

�� �-�� ���� ��% �� ���� ������ �������� �� �������\ )�������� � YNIVZ� ���� �� ���

SS

Page 58: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

�� �� ���� ��������� �� �� ����� �� &�����* ������� � ����� �� ������ !�

����� � ��� ���� � ����� ����� ������� �� �� �������� rk ������� � �� k� ����� ���.

gk(rk), k = 1, . . . ,K� ����� � �� �� )5� ��� ����-� �� ������% �* � � �� ���� ������

��� �� �� ���� ��[�� � ����� ������� ���� �� �� ����������� ����� ����� � �� /0�

�� �� �� &�����*� ���� �����] ��* �� ��������� � �� �� ����� ���� �� ����� ��

������ ���. �� ��������� ���� ����� � �� ��� ���������� ����� ��� �� ��� ��� ��

�� �� ����� ����������� ��� )5 ���� ��� �� �� �� ������� � ���� ���� ������� ����� ���

YNIVZ �� ���������� ������%

• $��������� �������% ���� �������� �� ��� � �� ��������� ��� �� ���� ����������

�� ��������� ������ ������ � �����"�� �� � �� ����������� ��� ���. �� ��� ��

�����"��� �� �� .����� (!(+ ,<� ) ��������� ��� ����� �� ���� � ��

�����"��� ���� �� �� �� ����� �

maxrk

K∑k=1

gk(rk), &N�NO*

����� ������ �� ���������� ��� � � �� ���� ����� ���� ����� ��� ������� � ��

��� �����"��� �� �������� ��������� � �� ���� ��� ����� � �� ���� ��� ����

����� �������� �� �� �� � �� ������ �� �� ��������� ��� �� �-� �� �� �� �����

�������� ��� ��������� ������� �� ���� ������ �� � ��� �� ���� ����� � �����

g∗k(rk)� �� ������ �� ��������� ������ �� ������������ ���.

maxrk

K∑k=1

g∗k(rk)− gk(rk)gk(rk)

≤ 0,

����� ������� �� �� � ��� ������ �� � �� � ����� �� ����� ��� ���� ����������

< �� �� ��� ����� �� ��������� �� �� ������� ����� ���. � �����"�� �� � � ��

�� ������ � ������� ��� �� ������� �� ���� ������ ���� � �� �� �� ����

• +�� ��� �������% ���� ����� �� �� ������� �� �� �������� ���� ��� � ���� ��

�� ��������� ����� ��� �� ����� � �� �� ��������� ����� � ������ � �� �����

������� �� ��� �������� ������� (����� �� � ��� � �� �� �� ������� �� ������

&��� ������ ������ ��������*� � ���� �� ��������� �

maxrk

mink

gk(rk), &N�NT*

����� �� �� ������� � ��� k� �� �� �� �� �� k� ���� gk(rk) ���� �� ��������

����� ���� ����� � ��������� gj(sj) ��� ���� j ��� gj(sj) ≤ gk(rk)� !� �� �� ��

������� �� ������ �� ������� ������ �����"��� ����� YSNZ ���� �� ����� � �����

� ��� ������ �� � ������ �� ��� �������� � ��������� #�� ���� ��� �� ��� YNIPZ�

SR

Page 59: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!0! �� �������" �� ����� ��� ���� �� ��� �

Globalperformance

Individualneeds

Weightedfairness

Max-min fairness

Proportionalfairness

Fairnessequilibria

#����� N�NS% !� �,��������� ���� �� � �������� ����

• 1������� �������% +������ �� ���� �� #��� � � �� � ��� ����� !� ��� ��� ���

��� ������� �� ��������� ������� �� �� ��������� ����� ��� ������� �������� �����

������ ����� ck � ��� �� �� ������� gk(rk) �� &N�NO* �� &N�NT*� ������ �� ��� ����

��� ��� ������� ��������� �������

maxrk

K∑k=1

ckgk(rk),

�� ������� ������ �������

maxrk

mink

ckgk(rk),

�� ����� �� ������ ��[�� �� �� ��� �������� �� � ���� �� �� �����"���� �����∑Kk=1 ck = 1� �� ��� ���� ������ �� ��������� ���� ����� ������� �� �� ����� �

�������� �� �� ������ �� �� �������� �����

#����� N�NS � ����� �� ��$������ ������ �� ������� ���������� ����� �� �������

������� �� �� ����� �� ���� ������ ���� ������ �� ������ ��������� ��� � �� ���

��� ������� �� �� ��������� �������� !� ��� �� ������� ������� ���� ��� ��� ��

��������� ������� ����� ������ �� � ����� ��� �� � �� ���������� �� ��

������� ����� �� �� �������� ������ ! �� �� ���� � �� ������� �������� �� � �

���2������ �� � �� �� � �� ����� �� �� ��� ������ ����� ��������� �� �� ��������� �� ��

�W�� �� ������ �� ������ �� ��� �� � �� �� ������ ��� �� ������ ��� ��������� ��

�������� ���� ���� �� �� ��� ����� �� ������ ���� ������ &���� �����* ��������� ��

���� ����� &�� �������* ����������� ��� �� ����� ��������� �� �� ��� � ���

)� ���� ������� ������ �� ��� � ��� �� �� '@<� #�� ������� �������� � YTPZ� ��

�2�� ������ �� ���� ��� ������ ��� ��� ���� ������ �* �� ����� �� �� �� ����� ���������

��� �� ���� ���������� �� ����� ��* ������� ������� ����� �� �������� �� �� �

������ �� ��-� ���� ��� �� ����� �� � ����� ��� ���* �� ��������� �� 4� � �� ��*

����� ������� �� ���� ����� !� ������ �� ������ ��� ������� � �� �� �������� ��

�� �� ����� ������ ������ ���� �� ���� ����� �� � �� �� �� �� ����� �� �� ��������� �

�� ��� ���� ��� � ���� � �� ����� ���� �� �� ������� ��� �� �� ������ #�� �������

SM

Page 60: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

���� ������ �� ���� ������� �������� ������� ��� � �� ��������� �� �� �W�� � ��

� ������� �������� ����� �������� �� �������� ������� �� � ��� �� ���� �� �������

��� ��� ����� �� ��� ���- �� � ������� � ��������� 5�G ������ �� � �� �� �

�� '@< �� �� ������ �-�� ���������� ��� ��������� ���� �� ���������� � ��� ���

��� �� �� ���� ���� ����� �� ���� �� ������ ��� ������ ���

) ������ ������� �������� �� ����� �� ���� ��� �����-�� ��� YNIOZ� ���� ��������

������ ��� ��������� �� � ����� � ��� ����� ��� �� ����� i �� j∣∣∣∣Ri(t1, t2)φi

− Rj(t1, t2)φj

∣∣∣∣ ≤ δ, &N�IJ*

����� δ �� �� ��� � �� � ����� Ri(t1, t2) ������ �� ������� &���. ��� �� ��� ���

� ��* ���� i �������� ������ ���� t1 �� t2� �� φi ������ �� ������� ����� ��� ���� i� 1��

�� .5 ��������� �������� �� δ �� &N�IJ* �� ��� � J� !� ����� �� ������ ���� �� �������

����� � ���� ��� �� ������ ��� �� ������ �� ��� 5�������� /0 &�5 * ������

�� <���� S �� � � &N�IJ* ��� δ = 0�

��$�� ������� ������ �� ��� ��-����� ��-��

,����� ��������� �� ������� �� �� ������ �� ����������������� �� �� �������� ������

����� ���� ���� �� ������ ��� ���� ���� ���������� � �� �� � �12 � ��� ��

����� � ��- ��� ������� ������ �� ����� �� ���� ��� �� ����� � �� ������ ���� ��

������������� ���. �� ����� � �� �� �� �� � �� ��� ��� +�� �� �� ��� ����� �

������ �� ����� ��� ������� ������ �� YNITZ� ����� �� �� � ����� �� �� �� � ������

�� ���� ��� �� �� ������ ��-� �� �� �� � ���� �� ������� � �� ������ ���

��������� ��� ���� ������ �� �� ���� ���� ��� ����� ��� ��� �� �������� ����� ��

�� �$�� �� �������� �� ������� �� �� ����� ���������� ����� ���� ������ �� �����

���� �� ����������� ������ ��� ��������� � �� � ��� �� [������� �� �� ����������

���� (�������� �������� ����� �� ������� ������ � �� �� ���� �� ���� ���

������ ���� �� ����� ���� �������� ��� ������ ���� #�� �� � � �� ���� ����

���� �� ��� �� �� �� � ����� ���� ���� � ��� ��������� �� �� ������� ������

)� �$�� � -� ��� ����� ������� �� ���� ��� �� ������ ����� �� ���� �� YNSJZ�

������ �� ������ ������� �� ��������� �������� �� ����� N�N �� ������� � -�

��� ����� ���� ������ ������� ���� �� �� ������ ��� �� �� ���� � ���� ��� #��

������� ��� �� ��� �� �����"��� �� �� ������ ��� ����� ����� ���� �� �� �����

� ��� � ��� �� ��� ��� ���. R1 = R2 = . . . = RK � (��� ��������� �� �� ��� �����

�� YNSJZ �� �� � ���� ��� � ��� �� ��� ������ �� �� ������� �� �� �� ������

���������� �� �� ����� �� ������� �� � �� �� ��� ����� � ! �� �� ���� � ���

������ �� � ��� � �� �� � �� ��� ��������� �� ���� ���� �� �� ��� �� �� ���� ��

SV

Page 61: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!0! �� �������" �� ����� ��� ���� �� ��� �

��� ��������� �� YNSNZ ��� ������� �� ������ �� ������ �������� !�������� � �� YNTZ�

�� ����� ���� � � �� ��W�� � ���� �������� ����� � ������� �� ��$������

������ �� X���������� �� ������� ��� K ≥ 2� ���� ����� �� ��� �������� �� YSIZ� ����� �

�� ��� � �� ��� �� ���� �� ���� ����� ���� �� ��$������ �� ���� �� /0 ����

����� �� �� ���� ���� �� � �� �������� ���� �� �� � � ������� �� � � [��

YNTZ� #�� ��� ������ �� �������- �� <���� I � �"�� �� ������� �� �� �� ������

������� ����� �� �� � -�� ��� ����� �� ��� � ��� �� �� �� ���������� ����� ��

! �� �� ���� � �� ������ ��� �� ��������� ��� ������� ����� ���� ����� �� ����

����� ��� ��� YNSIZ� ����� ������� ����� ���� �� �� ���� ������� ������� �������� ��

YNSSZ� ����� � �� ����� � ��� �� ��� ������� ������� �� �������� �������� � �����

���� ��������� �� �� ������ �������� �� �� �� �������� �� ��� ��� ���� ����������

����� ���������� �������� �� �������� �� YRIZ� ����� ��� �� �������� �� �� �-� '5<

��� ������ < !� ��� ���� ��� �� � ������� Q ����������� �� ����� ��� � �� �����

��� ������ /0� ����� �� �� �� � �������� ������-� #�� �� �������� �� ��� ���������� ��

������ �� ��� �� �� ����� � ���� Q �� ��� ������� �� ������ �� �� �������� � ��

���� ��������� � 1K ����������� �� �� ��� ����

��$�� ���� � ���& �� ������� �� ��������� ��������

)��� ��� ����� ��������� ��� �� 5�G� � �� �� ��� �� � ������� �� ��� � ���

���� �� '@<� �� �������� ����� � �� ���� ������ ����� �� ������� YNSRZ� 5����

� ��� ����� ������� ������� ���� ��� � �� ����� �� ������� ������� �� ������� ���

����� �� ������ �� ��� �- �� �� ������ ���������� ��� ���� �� �� !���� �� #������

&!#* �� YNSRZ �� � � �� �* �� ��� � � �� ����� ���� ��� ��* ���������� �� �� ����

�� �� ��������� �� ���* ������� ������ J �� N� 1���� ������ ����� ��� �� �� ��������

���� � ���� k �� rk �� ���� �� K ����� �� �� ������ �� ����� �� ��������� �

IF =(∑

k rk)2

K∑

k r2k

, &N�IN*

��� ����� �� ����� ����� &IF = 1* ��[��� � ������ ����� �� � � ���� /�� � ����

�� ����� �� ������� ������� � ���� �������� � �������� �� �� ������� ���� �����

�� ������� �� ��� ������ ��. ���� �� �� ������ ���� �������� ��� �- ���� ��

������ � ��������� ��� ������� ����� YNSRZ% ���� ��� ��"� ������������� �� � �� �����

������������� ������������ �� ��������� ) -�� ���� �� �� �� ����� �� �� ����� � ��

������� �� ���� �� �������� ����� � �� �� �� /0� �� ��������� �� ������ �� ���� ��

�� ������ ��� ! ������� �� �� ������� ���� �� ��������� �� �� ��� ���� ) � �� �����-

�� ��� ��� �� ������� �� � ��� �� � ������ �� ��� ����������� ��� �� � ����� � ������

������� �� �� � ������ ������ #�� ������� �� rk = crk� � �� ������� � �� !# ��

&N�IN* ������ ��������� ����� �� �� ����� �� ���� � �������

SP

Page 62: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

Standard deviation

meanA

B

#����� N�NR% ���� � . �������� ��� �� �������� ��������

�� �������� ��� ���� ��� �� ���� �� ��� ��������� �� ���� �������� �� ������

����� �� ������ ��� ���. YNSMZ �� YNSVZ� '�� � �� �� ������� �� ����� � �� ������

�� ������ ����� � �� �� ����� �� �� ��� ������ ��� � ����� �� ����� ������� �� ����� ��

����� �� �� � �� ������ /�� �� ��� ��� � �-� � ���� �� ������ ������ � �������

������ ��� �� ���- �� ����� ��������� �������� ��� ���� ����� �� ��-��� �����

��� � ���� ������� ������ ����� �� ������� �� ������ ���- YNSPZ� ��� ��� �����

�� #����� N�NR ��[�� ��� � �� �� ���-� � ���� �� �� � �� ����� �� �� �����

����� �� �� ����� �� ���� ���-� �� ���� � ���� �� �� �� ��-�� �� �� ������ ��

����� ��� �� �� � �� ��� &����� �� �����* �� �� ������� �������� �� �� ����� ���

�� ��� �� �� �W����� ���. ��� �� ����� ����� ������� �� �� ����� �� &� ���� ����� ��

�� ���-* ��� ���� ���� ��$���� � ��� ��� �� ��� &� ���� ������� ����*� ����������

�� �W���� ���������� �� � ��� &�W���� �������* �� ���� �� �� � �� ���� ���. ) �� , ��

� ���� ) �� ����� ��� ��� ��� ������� �� �W���� �� �� ����� � ������ �������

� �� �� �� ������ ���� �� ������ ��� �� ��� ���-� ��� ���� ��� ������ �� � ��

��� �� ��� /��� � ��� ��$���� ������� �� �� ��-��� ��� ���� ������� �� ���- �� ��

�������� �� ��� ������ ���� ��� �� ������� ������� �� ���- ��� ��� � �-� � ��3 �� )�

��������� ���� ��� ��. ������ � ���� �� ���� ���� ��� �� � �������� �� ����� ���� � ��

YNSOZ� !� ��� ���� � � ���� �� ����� �� �� � ��� �� �� ���� �� �� ��� �� ������ ��

�� ������ �� ������ ����� �� ���� ����� �� ��� ��. ������ � ���� �� �� ��� ����

�������� �������� ������ ���� �� ������ 1�� �� �� ����� ���� �� � �� ������"�� �

�� ������ ������������ �� ����� ���� �� �������� ������� � ������ ��$������� ��

�� ���������� �� ����� ��������] ��� ��������� �� �� � �� ��� ����

��$�" .�� +�� ���& �� � ������� �� ��!�����-

!������ ��� �� ����� � ���� ��������� ������� ����� ����� YNSTZ� ����� �����

������ ��� �� ������� �� ���� �� �������� ��� ����� ��� �� ����[� �� .��� ������ �����

SO

Page 63: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!0! �� �������" �� ����� ��� ���� �� ��� �

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

% of population

% o

f the

reso

urce

The Lorenz curve and the Gini index

Line of perfect equality

Area A

Increasing deviation from equality

#����� N�NM% ���� ����� ��� �� � -��� ���� �

����� � ������ �� �� ������ �� ����� �� �� �� �� � ���������� ����� ������� �����

�� ��� �������� �� NTIN� ������ �� �� .��� ����� ������� �� ������ �� �����������������

�� �������� ����� gk(rk) ��� �� K ����� ���� � g1(r1) ≤ g2(r2) ≤ · · · ≤ gK(rk)� !�

#����� N�NM� �� �������� �� �� �������� �� � ��� � ������� �� �� �������� �� ��

���� ���� !� ���� �� ������ ��� �� �� ���� �������� gi(ri) = gj(rj),∀i, j� �� @����"

����� �� #����� N�NM �� �� �� RM������� ��� ����� �� ������� ���. ��� �� �������� ��

�� ���� ��� &�����* �� �������� �� ����� ��� � ���� �� ���� ���� ���� �� ��

���������� � �� ���� � �� ��� ���� )� � �� ������� ��� �� ��������� ��� ��� ��

�� ����� ���� ���� @����" ������ ���� ���� ����� ��� ��� ���� ����� ���������� �

��$���� �������� ������ ��[����� � �� ��������������� ���� ����� ���� � ����

�� � �� ���� ��� ���� ��������� ��� ���� �� ������ ������ �� �������� ����������

����� �� ���� ��� YNRJZ� ��� �� ������ �� ������ ��� �� �� �� ���� @����" �����

&�� ) �� #����� N�NM* ����������� � �� .��� ������ /�� � ��� ����� �� ��� �� �� ���

���� �������� �� ���� �� �������� ���������� ����� �� ���� �� ���� �� ������� ��

���� ��������� �� �� �� �� ����� �� ����� �� ��� ����� ����� ��� � �� ���� ����� � ���

������� �� �������� �� ������ ������������� �� �� ���� ��� �� ���� ������� YNRJZ�

+�� �����- �� ��� ����� ���� �� ��� � ������������ �� � �� ������ �� ����� ��

��������� �� �� � �� ����������� ���� ��� �� ��� ���� ����� �� � ����� � ��

���� ��� ���� ��������� ��� &N�IN*� #�� ���� ��� �� �� ����� �� �������� � �� <���� S�

ST

Page 64: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

��" #������� ! ��� ���������

!� ��� ������� � �������� ����� �� ����� �� �� ��������� �� ������ � �� � �� �� �� ��

����� �� ���� �� ��� ����� ������ �� 5��'� ������� ����� ���� �� '������� IJJJ ��

������� 3�������� �� < ��� &35<*� �� ����� �� �� ������������� ������ ����

<���� �� < ��� &<��<*� ����� �� ���� �� ���� ����� F���� IJJS�

��/�� #������ �

��� ��� ������ ����� �� ������ � ������� ������ �� �� ������ ���������� �� ����� ��

� �� ����� ����������� ��� � U��� #������ �� '��� 5��� <������ �� ��� �� ��

������� � �� ��������� ����� �� � � ��� � ����� ������ !� ����� � ���� ��

���������� �� �� ���������� �� ��� ��� �� /0� ��� ��. ����� ������� � ���� ��

��������� ����� �� � �������� �� �� ��������� ���� ��� ����� �� �� ������ ���� � ����

������ ��� �� ���� �� ��� ������ �� � ��� � �� �� ���� ��� �� ������ �� ���� ��� �������

��� ���� ���� ����� � �� �� ���� �� � ����� � ��� ��� ��� �������� ��������� �

�����"� �� � �� ���������� ��� � �� ����� �� �� �������� ����������� ���������� ��

������ �� �� ����� �������� �� )5 ���� �� �� �� ������������

���� ����� �� ������� ���� � �� ��� ������%

8� $� �������9) �� �� *9��3�&����) ����� ���� ������ �� ������������� ���������� �������� �

������ �������� ��� ��������) ������ � ���� !��� ����� �� 5����� ������������ )

����� :77; .���� �� #������� :77;/�

:� $� �������9) �� �� *9��3�&����) � ������ �������� �������� �� ������������� ����������

�������) �� *��������� �� � 88th ���� ����������� ���������� �� ��������� ) ������ ���

#� �� .����#/) !�������) � ����) $������� :77;�

��/�� #������ �

+��� �� ����� �������� �� ���� ������� ���� ������� ������ ���� ��� �� �����

������ !� � ���� ���� �� � ��� ��� ��� ������� � ����� �� �� ������� �� ��

�� � �� �� � ��� ������ �� � �� ���������� �� �� �������� ����� �� �� ����

����� ��� ���������� ������ ����� ����� ��������� �� ������� �� ���� �� ��������

� ��� �� �� � ������� �� ��� ���� �� �� �� �� ������� �� �� ��� �� �� ���� �����

#�� ������� �� �� �-���� ���� ��� ������ ���� �� � ����� ���� ����� ��� �� �-� ��

�� �� ����� ����������� )��� � � ���� �� �� ��������� �� �� ���� /0� �� �������

���������� ��� ��� ��� ���� ����� &�� �� ,�0* �� ������� � ���� � ��� ���� ����

�� ����������� ������ ���� �� .�� ������� ! �� ���� ���� � �� ��2����� �������

�� �� ����� � ������ �� ��� ���� �� �� � ��� ������� � ����� ���� ��� ���� ����

����� �� ����� �� �� �������� ����� ���������� ���. �� ���� �� ����� �������� � ����

RJ

Page 65: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!4! 5# �# � �� �� �� ������

4� ��������� ��� ������ ��������� ��� �� ����� ����� �� ������� �� �������

� ��� � �������� ����� � � ���� �� ���������� ���� ���� 0��� � �� �����

��� ������� � �� �� ���� �� ���� �����

���� ����� �� ���� �� ����� ��� ������%

8� �� -��9���3) $� �������9) ��<������) ����� �� ��� �������� ����� ������ ������ ��� ���

������ !���� �� "�� #����� .�������� ��� �� #���� /) �� *��������� �� � =�= #���� ���

&������� �� �� (��>� ����?'�� ������������ �� 0���� .(0#�/) ���������) #����) #������� :77;�

:� $� �������9) �� �� *9��3�&����) $%&�!���� '�. "����������� (���� ���� ����� ����������

��� ��������� �)�* ������) �� *��������� �� � = �������� #����� *���� ��� ����������

.�(#�*��/) <����) �� ���) #������� :77;�

@� $� �������9) �� �� *9��3�&����) (������� � �������� �� � �������� ��� �������� ������ ���

��������� �������� ����) �� *��������� �� � :77; ���� ����������� ���������� �� ���� �� )

#����) ��� #����� *���� ��� .���##*/) �������) ������) ��� :77;�

;� $� �������9) ���� *9��3�&����) ������� � �������� �� ��������� +������� ������� ��� (����

���� ����� �� �������� ������) ������ � ���� !��� ����� �� 5����� ������������ )

������ :77@�

6� $� �������9) $�*� *������) ���� *9��3�&����) &����#�� � �������� ��� +������� ��������� �)�*

������ ����� �������� �������� �������) �� *��������� �� � #���� ����������� #���� ���

�� #����� *���� ��� ��� ���������� .�##*�/) *��� ) 1�����) A��� :77@�

(�������� �� ���� �� ���� �� ������ �� �� #�� '����� 5��2��� �� ��� ��� �����

����� ���� �� ��� ����� ��� <'() �������

��/�� #������ "

���� ����� �� ������ � �� �� ����� ������� � ��� � �� ��� ������� )���� ��

���� �� �� �� �������� ���� & ��* �� ������������ �� �������� �� �� ��������

����� �� �� ��������� �� �� ������ ����������� !� ��� ���� ���� ��� �����������

�� ��� �������� � ��� ��� ���� �������� �������� ������ ���� ����� �����

5��� ���������� ���� �� �������� �� �� �������� ������ +�� ���� ����� �� � ����

���������� ����� �� ������� �� ���� ���� �����

���� ����� �� � �������� �� �� ���������� ����

8� $� �������9) �� �� *9��3�&����) ��������� ������� � �������� �� ��� �������� �� +������� ������)

�� *��������� �� � @rd ���� #�� �� ����� ��� ���������� #����� *���� ��� 5��� �� .#��/)

#��� ) #����) A��� :77;�

��/�" #������ $

#�� �� ��� ����� �� ������ � �� �������� �� ���� �� ����� ������� � �� �� ��

������ �������� ���� ����� �� ��������� ����� ���� �� ����� ������ �� ��� ��� ����

RN

Page 66: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

��� ���� �� �� �������������� ��������� )��� �� �������� �� �� ������� �� �� ��������

����� � �� �� �������� �������� �� ���� �� �� �������� ���� ����� �����������

����� ����� ������� �� ����� �� ������ �� �������� ������� � �� ���� �"��

�� � ������ ���� ����� ������ ���� ��� � ������ � �����$ ������ ���������� ��

���� ����� )��� �� �� ����� ������������ ���� � ���� ���� �������� �� ���� ���

�� ��������� ��������� �� ����� ��� ��� ���� ���

���� ����� �� ���� ��

8� $� �������9) ���� *9��3�&����) (�� �� �� )����������� �� $�� ������ � ���� ���

������������� ���������� +������� *��� ������) ������ � ���� !��� ����� ��

������������ ) ������ :77;�

:� $� �������9) ���� *9��3�&����) (�� �� �� $�� ������ � ���� ��� ������������� ����������

+������� *��� ������) �� *��������� �� � � ������ ���������� �� #����� ) #� �� ) ���

������� ) &������� :77;�

@� $� �������9) �� *� ������ ���) ���� *9��3�&����) ������� � �������� ��������� ��� +�������

������) �� *��������� �� � :77@ ����������� ���������� �� ���� �� ) #���� ��� #�����

*���� ���) .���##*/) B��� C���) ����) ����� :77@�

��/�$ ����� �����������

'����� �� ��� ������ �� �� ��������� �� 35<� �� ���� �� ���� ��� �� �� ������ ��

�� ������ ��������� ��� 1��� ��� @)/� ����� �� ��� � ��� �� ����� �� +#'( �� ��

�� �� � ������ #��� ��� ������� ���� �� �������� �� ������� ����� ����� ��� ����

��� ����� � �� �� &��� ��� �* ������� �� �� ���������� ��� ��

8� �� B�������) *� 0� ��) $� �������9) �� *� ������ ���) ��� �� *9��3�&����) (�� �� ��

)����������� �� ��� ����'������ &� ��'��� �� *��� ������� ���� ����, (������� �, ���

����-���) �� *��������� �� � 8@th �#! ������ ������������ #����) D���) 1�����) A���

:77;�

:� $� �������9) �� *� ������ ���) ���� *9��3�&����) ��� *� 0� ��) ��� � #������� �� ��������

�� � �����!�� .������� )����������� �� ������� ����� ��������� ��� + �/) �� *���������

�� � 8:nd �#! ������ ������������ #����) ������) *������) A��� :77@�

@� $� �������9) ���� *9��3�&����) ���% #� ���0��� ��� ��� � ��'������ &� ��'��� �� *����!����

+������� �/�) ���� A������ �� #������ ���� �� ������������ ) 1������� :77@�

;� $� �������9) ���� *9��3�&����) &� �������!�� ������� ����� �� ���� ���� ��� *��� &� ��'���)

�� *��������� �� :nd ���� ����������� #���� ��� �� #����� *���� ��� ��� ����������

!�������� .�##*�!/) ��������) �������) $������� :77:�

6� $� �������9) ���� *9��3�&����) %-�������� ��� � �� (���- ��� $�������� �� *��� &� ��'���)

�� *��������� �� � �= �������� #����� *���� ��� ���������� .�(#�*��/) !����� �) 1�����)

#������� :77:�

RI

Page 67: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

!4! 5# �# � �� �� �� ������

E� $� �������9) ���� *9��3�&����) �� *� ������ ���) $���� ��� ���!���� �������������� ��'������

��� *��� ������) �� *��������� �� � :77: ����������� ���������� �� ���� �� ) #���� ���

#����� *���� ���) .���##*/) �������) (#�) ��� :77:�

F� $� �������9) ���� *9��3�&����) (��� ��� (������# �)�* ����� #� ���0��� �� .�������12

%�'��������) �� *��������� �� � :77: #����� <������� !�������� ���������� .<!�/)

���������) (#�) ��� :77:�

G� $� �������9) ���� *9��3�&����) ������� ��) #� ���0��� ��� ���0��� � ���� ��'� ������� ��

*���) �� *��������� �� � :77: #����� <������� !�������� ���������� .<!�/) ���������)

(#�) ��� :77:�

H� $� �������9) =� �� ��) ���� *9��3�&����) ������ )���� �������� *����� #� ���0��� ��� .�������12)

�� *��������� �� � 87th �#! ������ ������������ #����) #��� ) #����) #������� :778�

87� #� #����� ) $� �������9) *���� (������� � �� ��� ���������� �� .�������12 /�������) ��

*��������� �� � :778 #����� <������� !�������� ���������� .<!�/) 0��� ) -�����) ��� :778�

RS

Page 68: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ! �� �����" �� ���������

RR

Page 69: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

�������

�������� �� ���� ������� !���������

!� �� ������ ������������� �� )����� 5��� &)5* �� ����� ������� ��� ����������

�� ����� ��������� ���� ������ ���� ���� ����� �����$ ������ �� � �� ����������

�� �� �������� ������ � � ��� �������- � ���� ������� �� ������� �� ��� ������

����� ��������� �� �� ��� ���� �� �� ������� ������� �� �� ������ �� ������� � �����

���� ����������� ��� ���� ���� �� �������� ��� �������- �� �������� �� ����� �� �� ������

�� ���� � � �"�� �� �����$ ������ �� ��� �� �� ����� ������� �� �� ������

������������� 1�� ��� �� �������� � �� �� ������� � ���� ��� ����� ��� � ��

������� �� ������ ������� !�������� � �� �� � ��� ���� � �� ����� ��� �����

����� � ���� ��� ��� �� ����� � �����"�� �� �� ���������� �� ���� �� ��

���� ��� ����������� +� �� ���� ���� �� � ��� ������� �� ������� ��� �� ������

�� ��� ����� �� �� ���� �� � ������� ��� �� � �� ������ �� ��� �"���

��� ��� �� ����� �� �� ������ )5 �������� ���� ����� � � ����� ���� ��

���� ����� � ����� �� � ���. �� ������ ������ ����� � �������� �� �������-

�������� �� � �� � � �"� ���� ���������� �� �� ������ ������������� ��� ���� � �� ����

� ������ ����� ���� ���� � ���� ������ #���� ��� � �� ���������� �� �����"�� �

��� �� ����� ����������� �� ��������� ���� �� ������ !� �� ������ ������������

��� ���� ��� ������ �������� �� ���� � �� ��� ���� �� �� ������ �� &������ �

���� ���* ������� ������ �� ������� ������������ � �� ������ �� ��� ����� ���

��� � ���� ������ �� ������ ���� ����� ��� �� ��� � ���� � �� �� �� '@<�

������ �� �������- � �� ���� �������� ��������� ���� �� �� � 6� �� � �� ��������

����� �� ������� � ���� �������� �� �� ������� � � �� �� ����� ����

���� ����� �� �����"�� � �� ���� #���� ����� �������� �� �� ������ ����������

�� ������� �� ������ ��� ����� �� ����� ���� �� ����� ���� ��� �� ����� I�I� �����

� �� �������� �� ����� I�S ����� �������- ���� �� ��� ��. ������ &�� �����

�������* � ����� ��� � ���� �� ���� ���� � ���� �� ������ ����� �� �� ����� YNSPZ� ��

RM

Page 70: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

����[�� �� ���� ��� �� � ��� �� ����� ����� ���- &��������� �� �� ������* �� �����

� �� ������� ������� ���� &� ��� �� ���*� +������ �� �������� ��� � �-� � �����

�� ����� �� ��� �� ���- �� ���� ����� �� ��� �� �� ��� ������ � � � �� � �� ��

�� ������� �� ����� ��-��� 3�� �� ��� ��� �� ����� �� ������ ������� ������

�� ������� �� ������ ���- YNRNZ� )� ����� � �� �� ������ �� ������ ������������� ��

��������� ����� ��� � ������� ������ ��� � �� ������ ��� �� ������� �� � �� �����

�� ����� I�R � ��� ���� �� ��W�� � ���� �� ������� ����� ���� ��� ��� � �����

�� ������� �� ���� ������� #�� �� ���� ������ �� �����

��� $�� ����

) ����� ������� �� ��� � ������ ������ ����� � �� �������� � �����$ ������ ��

� �� ���������� �� �� �������� ����� �� ������ ���� ��� ���. YNITZ� .���� �

���-���� �������� �� ��� � �� ���� �� ����� �� �����"��� �� ��$������� ���� ��

������ �� ������� ������� ������� �������� �� � ��� ���������� �� ������ ��� ��

������ �� � �� ���������� �� ��� �"�� YNSNZ� ���� �� ��� ������ �� �� ����� ������%

�� �� ����� �� ����������� �� ������ ����� �W�� �� )5 �� ������� � ���

���������� ��� �� ����� � �� �� �� � +� �� ���� ���� ��� ���� ������ � ������ ��

� ��������� ��� �� �������� �� �� ������� !� ��� ������ �� ������� �� )5 ���

��� �� ������������ �� �� � ������ �� �� ���������� ��. ���� ���� �����$� ��

�� ��� � �� �����$ ������ �� � �� ���������� �� �� �������� ������

)� � �� ���� ���� �� �� �������� ������ �� �� ������ �� �� ������ ��� �� �� ������

��- YNRIZ� ��� ���� ������ � ���� ���� �� ������� YNIVZ� ��� � �* ��� ��� �������� �����

����� �� ����� �� ��� ����������� ��* ���������� �������� ����� �����"�� �� ���

���������� �� �� ������ �� ���* %������� �������� ����� �� ��������� �� �� ��������

�� ������� � ��� ���� ��$���� ����� ��� ��� ����� ) ����� � ���� �� ��������

� ��������� ������� ���� ��� � ���� ���������� �� ������ �������� ���� ��2�����

�������� �� �� � ���� ����� �� �� �� ��� ������� �� �� �������� ������� )� � �� ����

���� �� �����"��� �� ��� ���� ����� ����� ��� �� ������ ��$������� ���� ��� ��

�� ������ ��������� !� �� ������� �� ��� ����� �� ������� �� YNSRZ� ����� �� ���� ��

&N�IN*� �� � ��� � �� �� � �� �������- � �� �������� ����� �� �� ��� ��� ��������� ����

� ���� ��� ��"� ������������� �� � �� ����� ������������� ������������ �� ���������

�� ���� � ������� �� � �� ��� ����������� (�������� � �� � �� ������ ��� �� K

������ ���������� � ���� �� ���� � �� ��� �� �� ������� ���� �������� ���. �� ��������

������� &��� ��� ��������* ��� � �� ������ � ���

< �� �� �� ������� ����� �� &N�IN* ������� �� �� ���������� �� �� �������� rk� �� ����

�� ������� � ��� �� ��� ���� ��������� �� ������ )� � ���� �� ��� ��� � ��� �� �������

RV

Page 71: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

&! ! 7���������

��� ��� ����������� ���. ��� �������� � �� ����� �������� � ���� ����� �� � ����

�� ������ �� �� �������� � ��������� ���. r� +� �� ���� ���� ��� ��� � ��� �����

���������� ����� ���� ��$���� ������ � ��������� �� �� ���� ���� �� ��� �� r�

���� �� �� ���� �� �� ����� �� ������� � ��� ��� �� �� ��� ���� ����� �� �� ����

���� �� ��� �� ��� �� ��� ������ #���������� ����� ���������� � ������ 100r

� �������� �� � ��� � �� ��� � ������ �� � r� ���� ����� �� � �� ������� �� ����

����� !� ������ �� �������- �� ��� ����� �� ����� �� �� ��-��� ��� ������� ������

��� �����$ � �� �������"�� ����� �� �� � �� ��� � �� �� �� ��� �� ��������� ����

�� ���������� !�������� �� �� ��� ��. ������ � ���� �� �� ���� ���� �� �� ������

�� ������ ���������� ��� �� � �������� �� ����� ���� � YNSOZ�

!������� �� �� ������ ��� ��� ������� �� ������� � ���� �� ����� ��"�� � �� �����

������ �� ��� ���������� ���. �� ������ ������ ����� YISZ� ����� �� ������� ��

�������� ��� �� �� � ������ �� �� ��������� ��� �� � ���� 0���� �� �� �����$ ������

�������� �� �� �� ����� �� ���� �������"�� ��� �� �� ������ ������ YVVZ� �� �� ���

�� ��������� �� �� �� ������� ����� � YVPZ� ) ����� ���� ���� �� �����������������

�����$� ������ �������"� �� �� ��. �� ����� �� &�� ��� ��* �� ����� ��� �������

���������� ��� �� �� �� ��� �� ��$������� ���� �� ������ 0������� �� �� � ������

�� ��� ������� ������� ��� ���� �������� �� YNSNZ �� ��� �� �� �� ������� �� �����

���� �� �� ������ �� ������ ������ ��� �� �� ���� ��� � ������ �� �� �����

���� ������� � �������� ���. � �� �� ������� ���� ���� ��� �� �� �� � (��� ����� �� ���

�� ��� &�� ��������� * ������� �� ���� �������� -��� �� /0 � ���������� �����

����� �� �� �� YVTZ� ����� �� ��� ������� �������� ������ ���� �� �� ��W���� ���

����� ������ �� ����������� ������� (�������� �� ����� �� ��� ����� �� �� �� ��

���� ����������� �� �� ������ � ��$������� �� ����� ������������

! �� �������� � ����� �� ���� �� �� )5 ��� �� ����� ���������� �� ��

����� ������ ���� �� ����� �� ��� ����� �� �� ����� ����������� 3������ 5����

) ����� &35)* �� ������ ����� ��� �� ����� ��� #�� ��� � �� ������� ������ �� �����

������ ��� �� ����� 4� ��������� � ��� ����� � �� ��� ������ ) ����� �

��� � �� ��� � ������ ���� � �� ���� �� �� �� ����� �� ����������� �� 35) �� ����� �

�� ������� � ����� �� � �� ������ ��� �� ����� ����� &���� ���* ����

/0 &��� <���� S*� 1�� ���� ���������� �� ������� �� ������� �� � �"��

�� ���� �� �������� ��� �� �� ���� ����� ���� U��� #������ &U#* YORZ� '��� 5��� <�����

&'5<*� ��� ���. YIJZ �� YOVZ� �� ��� �� ������� �� ��������� ���������� �� ��� �������

�� ��������� ��� �� ����� -��� ���� YNJJZ� +��� ������ ��� ��� ���. �� ����� � �����

�� �� (( � ����� ������� �"���� ��� YVNZ ��� ��������� �� ���� �� ���� ����� !�

�� ���� �� ��������� ������ �� � ����� ������ ����� � �� ������ � �� ��������� ���

�� ������ < !� ����� ���� �� ���� ���� �� ��� ��� �� ������������� ��� ���������

RP

Page 72: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

���� �� � ��� U#� �� )5 ����� �� � �� ������� ����� � ��� ���������� ���

��� Q ����� �� �� ������ ��� ���������� �������� � �� �� �-���� � ���� �����

������ �� ����� ��� ���� � �����"�� �� ��� �� ��� U# ���������� YMMZ� ���. �

��� ����� � ����� �� ���������� ) ����� ��� �� �� �� �� ����� �� ��� ������ � ��

�� � ������ ����� �� �� ����

��� ���������� �� U# ���� �� ������� �� '5< YIJZ� ����� ��� �� ������� � ������

�������� ��� ���� /0 �� �� ����� ���� �� �� ��� ��- �� � �� ������ � ������� �

-���� �� �������� ,��� �� YIIZ� �� �� ������ ������� ���� ������� ����

���� ��� �� �� ����������� &��� �* ����� �� ��� �� ��� �� ���. YSIZ� !� �� �������

�� ������ ����� �� ��� � ������ �� ���� �� ��� ��� ��� ���. YINZ �� YSMZ� �� YITZ ��� ��

�� ()<� �������� � �� �� ���� ����� �� �� ������ ��� �� ����� ���������� ����

$�� �� ������� ���� �� ������ ����� �� � ������ ����� ���� ����� �W� �������

�� ��� �� ��� ����� ��-�� <������ � YMNZ �� YMIZ� �� /0 ���������� ��� �� ����� ��

���� � �� �� � ��� �� ������ �� ����� ��� �� �� ��$������ ���� �� ���������� �� ��

����� ����� ��������� ! �� ������ ��������� � ��� ��� �� ����� ���������� ���������

�������� �� ������� �� �� ������ !� ��� ������ ������� ���� � �� ���� � ������ ��� ������

����� ������� �� ������ ���� �� ���� � �� ������ ����

��� ������ ��������

��� ����� �� �� ���� ��-� ����� Q����� )5 ���������� ���� ����� � ��� K ���� ��

���� ����� �� ����� �� �������� � K ≤ Q� !� ����� ������ K > Q� ��� ����

-��� �� ���� �������� ���� � �� ���������� �� ��� �� �� ���� �� �� ����� ������� ���

� ���� �������� ���� �� � �� ��� ��� ����� �� ����� � ��� � �� ������ �� ���� ����� !�

��� �� ����� ������� �������- ��� � ���� �� ����� ��� �� � ������� �� ������ ����� � ��

�� �� �� ������ ��������� .���� � ���-���� � �� �� ���������� � ��� �� �������

�� �� ��������� ������� ���� -��� �� ���� ���������� YNJJZ� �� � �� ��� ����� ��

������ ����� �� ��������� �

y = AHBs + w ∈ CK×1, &I�N*

����� �� k� ������� �� ����� y (s) �� �� �������� &�������* ���� ��� ���� k� H �� �� K×Q���� �� [������ ����� ����� ����� i� ��� ������ �� 1×Q ����� �� �� ����� ����

��� �� i� ����� ���. hTi � ��� ����� ���� � ����� �� ���������� �� ������ � ���������

���� �� .����� ����� ���� �� ��� "��� ��� �� ��� ������� �� �� ������ � ��

������ � -���� �� �������� ��� ����� ����� �� ���� �� .������ ���. w ∼ NC

(0, σ2IK

)�

��� ����� ��������� �� ������ �� �� ����B = [b1 b2 . . .bK ] ∈ CQ×K � �� �� �������

���������� �� ��� ���� �� �� ���� A ∈ CK×K � �� k� ��� �� ����� ������ �� ������� � ��

RO

Page 73: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

&!&! ����� � ���� � ��

��� ���� k� aTk � )������� � �� ������� ���� s �� ����� ��� ������ �� �� �����

����� �� PT � ��� tr(BHB) ≤ PT ���� � �� �� � �� ��������� ��

����� #���������� ������

1�� �� ���� ���� �� &I�N*� �� �� ����� �� ������ � -���� �� �� � �� �������

�� �� �� ���������� ��� �� ��� �� ������� YSJZ� !� ��� ��������� ���� ��� �

�� 5�����W���� ������� ����� ����� �� ���� �� ������ ������� �� ���������� �����

��������� �� ���������� �� �� ���� ���� YNIZ� 0� �� � ���� �� <��� ������ ��� ����

�����"��� ��� � �� �� ���� ���� ��� �� � ���� �� ������ ���� �����

����� ���� ��� ���� �� �� ����� �������� ����� ��� � ��� � ������ ���� �� ��

���� �� ����� �������� � �� ���� ��W�� �� ������������ � ������ �W���� ������ �

��� �� �������� ������� �� ���� � ���� �� ���������� )����� �������� B' �� ��

����� ���� H = UΛVH � �� ������� ���������� ���� B �� �� ���������� ���

B = BDp� ����� B �� ����� �� Dp �� ����� ���� � ������ �� ����� ���� �

�� K ������ � ��� Dp = diag(√

p1,√

p2, . . . ,√

pK

)� ��� ����� ������� �� �� ��������� �

tr(D2p) =

∑Kk=1 pk ≤ PT � !� �� ��������� ������� �� ����� ���������� ���� �� B = V�

�� �� �������� k ��� � ��� �� k� ��� �� �� ����� ���� UH � ������� � ��� !� � ����

�� �������� ���� ��� ��� ����� k �� ����� ��

yCOk = λk

√pksk + wk,

����� λk ������ �� k� ������ �� �� �� ����� ���� H� !� ��� ��� � �-� � ���� ��

��� �� �� ��� ����� � �� �� �-���� ����� ��� ����� �� � �� �� ���� �� �� ������ ��

�� ����� ����� ����� pk YIOZ� ���� ����� ��� ������ ��� � ������� �� ��$�������

���� �� ������ �� �������� � �� ����� �� � �� 35) ���� /0� � �� ������ �

�� �� �� ���� ��� �� ������� � ���� �� ��� ������

����� .������ ��- ��������

!� �'()��'' ������ �� ����� � ������������ �������� ������ �������� ������ �� )5�

�� �� ������ ���� ����� �� ��� ���� �� � �� ��� �� ���� ��� ����� ��������� ��� �

�� )5 &�������* ���� ��� ��� �� ����� -��� ����� )�������� � �� ��������

���� ���� &������ �� ����� �*� �� )5 �� � � � ������� ���������� �� ����� ������

��� ��2����� �� ��� ��������� �� � ������ �� ������� ��������� � �� �� ��� � ��

� ������� ���� �� � �� �������� ����������� �������� ������ ����� -��� ���� ��

�������� /�� � �� ����� -��� ���� �� ��� � ���� ����� �� ���� -��� �� �����

��������� ����� � �� �������� �� �� ���� ��� ��������

!� ��� ���� � �� ������ � A �� &I�N* �� �� ������ ���� ������ �� ��������� ��

�� ������� �� � ������ ) �� �������� �� ���������� ���� ���� � �� �������� ��

RT

Page 74: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

� ����� �� ������ ����� ���� �� ����� � ����� ��� � �� ������� �� �� �����

���������� �������� ���� �� ����� � �������� ���������� �� ���� �� ����� ������ !�

�� ��� ����� ��� �� �������� ���� ��� �� k� ���� ��� � ��� ����������� ���� �� ���

�� �� ����� �������� �

yk = skhTk bk +

∑i�=k

sihTi bi + wk, &I�I*

�� ��� U# �� '5< � �� �� ���� �� � �������� ��� ������ �� ���� ���������� ���������

����� �� ����� �� � �� (( � ���� �� ������ �� ����� �� �� ��� ���� /0 YMPZ�

(�������� � ��� �� ������ � �������� ��� ������ � �� ������ ��� ����� � � ��

����� �� YMRZ� U# ��� ��� � �� K ����� ��� �� � �� ������� ����� ����� � ��������

�� � �� )������ 1��� .����� /���� �� �� �� ����������� ���� � ���� ���� ������ �����

� ���� �� ���- �� �� ����� ���� �� ���� �� ��� �� �� �� � ������ #�� ���� ���� ��

YPRZ �� ����� ������ �� ��������� �� ������ ��� � � ��- ����� �"��� �� ����������

�����"���� ����� ��� � � ��������� ����������� � �����"� �� ��� ����� �� �������

������ � �����$ ������ ���������� �� ���� ����� ,������� ��� ������� ��������� ��

���� �� ������ ���� �� ��������� !� YNRSZ� �� �� ������ (!(+ ����� �� ����������

��� ����� �� � ���������� ��������� ���� ������ (!(+ ����� �� �� ����� �� �����

���� �� ����� �� ������ �� ��� ����� � ��� ��� ���� �� �������� �� �� ���� #�� ��

������ ������� �� ���������� ��� �� ��- (!(+ ������ �� YPJZ � ��� �� ������ �����

�� ������� ���� � ��� �������� � ��� ������ ����� ��������� ������� � ���������� ���

�� � ������- ����� � +� �� ���� ���� ������ 2��� ������������� � �� ������ ��� ��

�������� � ��������� ��� �� )��� ��� �� ���� �� YNRRZ� !� ��� ����� �� �� ��

��� � ���������� ���� ������ ����� � �� ���������� -��� ��� ����� �� ������ ��

�� ����� ��� YPTZ� !� �� ���� �� �������� ����� �������� �� ������ �������- � � �"�

���� ����� ������ ���� � �� ���� ��� ������ ���� +� �� ���� ���� � �� ����� ���. ��

YIJZ � '5 ��� �� ������� � ������ �������� ��� ���� /0 �� �� ����� ���� ��

�� ��� ��- �� � �� ������ � ������� � -���� �� �������� '��� 5��� �� ��� �

<�� YIIZ� ��� ������ � �� ����� �� ���� ������ ������ ���� .����� ����� �����

�� �������� �� �� �������� �� � ���������� ������ ���� .����� ���������� ��������

� ��� ���� �� ������� � -���� �� �������� ,��� �� ���� �� �� ������

������� �� ������� �������� ��� �� �� -���� ����������� ����� �� ��� �� ���

�� ���. YSIZ� !� YNRMZ� ��������� �� �� ��� ������������ ��������� ��� ������ ��� ��

������ �� �� ��� ���� ����� �� ��2����� �� � �� �� �� ����� �� ����� � �����"�� ��

��� ��� /��� ���� �� ������� �� ������ ���� ���� �� � �"���

5���� � � ��� :�� ������� �� ����������� ���� � �� &I�I* �� �� ���� �� � � ������

�� ������ �� � �� ������� ��� ����� �� ��� �� ���� �������� ��� �� k� ���� ��

�� � �������� �� ������ ��� ����� �� ����� �� ������ �� αk� �� � �� ����������

MJ

Page 75: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

&!&! ����� � ���� � ��

0 5 10 15 20 25 30 3510

−2

10−1

100

101

102

Separation [º]

Use

d P

ower

Average Total Power for Q=4, K=2, QPSK, SNR=20dB, BER=1e−4

#����� I�N% � ����� �� � �� ����� ��� � ������� ��������

�������� ������� HB = Dα� ����� Dα = diag (α1, α2, . . . , αK) YVTZ� ����

α2k = 1/

[(HHH

)−1]k,k

, &I�S*

� �� ������ � �� ����� �������� ���� �� �� ������������ ���. �� ����� � ����

�� ����� ���� � �� ����� ���� � ��� ��������� �� �� ��� ������ ��� α2k ����� �-�

���������� ���� <��� ���� ����� ���� �� ��� 2(Q − K + 1) ������� �� �������� ���.

α2k ∼ 1

2χ22(Q−K+1)� �������� ��� �������� �� �$�� �� �� ������ �� �� ����� �

�� ���� ����� � ������� ������ ��� ������ �� �� ������� �� �� ���� HHH � !� ��

����� ������ �� ���� � ����� ��� ��� �� �������� �� �� ���� HHH ���� � J� ��

��������� �� �� ����� �� ��� ����� � �� &I�S* ��� �� � �� �� ��� )� � ������

���� �� �� �� ���� ���� ��� � �� ���� �� �������� ���� ��� � �� � ����������� ��

�� ������� ��� � �� ����� 0� ���� ���� �� �� ���� �� �� ���� H �� ���� � ����� ���

���. �� ����� � ����� � � ��� ��� "���� ���� ����� �� ������ � �� � �� �����������

�� �� ����� ���� �� ����� �� � � ������ ���� � �� #����� I�N� ����� �� ���� ����� ��

������� �� ����� �� �� ��� �� ���� �� �� ������� ���� ��� �� �������� ��� Q = 4�

SNR = 20 �,� 45 X ����� �� �� �� ��2����� �� ��� ,�0 �� 10−4� ��� �$�� �� ��

�� ��� ��� � ������� �� �� ����� ��� �� ����� ���� �� �� �� �� �� � �� � ���������

MN

Page 76: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

���������� � ��� ���� ������ �� ���� �� � ����� ���� ����� ��� ���� � ����� �������

!� ��� ����� � ���� �� �� ����� ������� ���� N� ������ ������� �� 5◦ ������ ��

�� ����� ��� � �� �������

)� � �� ���� ������ �� ���������� ���� ������ �� ����� ������ ���. B = BDp�

�� �� ���� ���� �� &I�I* �� � ������� �

y = DαDps + w⇒ yZFk = αk

√pksk + wk. &I�R*

)� � �� ���� ���� �� ���������� �� �� U# �� �� ����� � �������� �� ��

�� ����� �� *��� $��� ���������� ����� �� �� ������ ��� �� �� �� ������

����� �� �������� ��� �� �� ����������� ���� � ��� ����� ����� ��� ���. YIJZ �� ����������

������� �������� �� 40 ������������ �� �� ����� ���� �� �� ���������� � ��

H = RQ� ����� R �� K×K ���� ����� � ����� �� Q �� K×Q ���� ��� ��������

����� ���������� �� ����� ���������� ���� �� B = QH � �� � �� ���� ���� �������

yk = [R]k,k√

pksk +∑i<k

[R]k,i√

pisi + wk, &I�M*

�� ��� ����������� �� �� ���� �� � ���� �� )5� �� �� ������ ��� �� �� ��

����� �� ������ �� �� ������������� ����� ����� �� ��������� YIJZ� <���� �� ���

����������� ������������ ��� ��� ������ ���� �� �� ������ ������ �� ���� �� �W����

������ ������ �� ������ � ������ �� �� ��� � ������� �� ����� ��� ���������

��� ���. YINZ� ���������� �� ��� ����� � �� ������ � '5 ���� ������ �� �������

����� ����� �������� ��� � �� ������������ �� �� �� ���� ��� �������� ) ����-

�� ������% ����� �� �������� �� �� ����� �� ���� ���� �� ����������� ����� �����

�� �� ���� �� ��� ������ ����� ���� ��� �� ���� ���� ���� � �� U#� 1�� ��� ������

�� ���� ���� �� &I�M* ���� � ������� �

yDPk = dk

√pksk + wk,

����� dk = [R]k,k YIJZ� /��� �� ��� ��. ����� ������� � ���� �� ��������� ��� �� ����

��������� � ��� ���� ������� � ����������

��� %������ �������

!� ��� ������� �� �������� ���� �� ������ ��������� �� ������� �� ���� �� ��������

!���� �� � ����� ���� � &N�IN*� �� �������� ��������� ���� �� �� ���� �� � � �������

��� �� ��� �� �� ����� �������� ����� ���� ���� � ������� ���� �� ��

���� �� ������� )� ���� ��� � ���� �� ���� �������� �� ����� �� �� ������ �� ���� �

��� �� )5 � �� �� �� �� �� �� ������ �������� �� �� ������ �������� ���

MI

Page 77: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

&!+! ���� �� �������

�� ��� ������� ����� &N�IN* �� �������� �� YNSRZ� �� ����� � -� ��� ����� �� �� �

����� ��� ���� ����� � ��������� ��� YNSNZ �� YVTZ� /������ ���� ��� ������ �� � �� ���

����������� �� ����� 2�� ��� �� ����� ��� ��� ���� �� �� ��W���� �� ����� ������

��� ������ �� �� ������ ������������� (�������� ��� �� � �� ������� ��� �� K ������

��� �� �� ���� � �� ��� �� �� ������� ���� �������� ���. �� �������� ������� &���

��� ��������* ��� � �� ������ � ��� ���������� � � ��[����� �� �������� ������� ��

�� � �� ������ ����� � �� ���� ������� )� ������ ���� � �� �� �������- ��

��� ����� �� �� �� ���� �� ������� �� 5�G ���� �����������

1���� ��� �� ����� ��� �� 3������ 5���� ) ����� ���� �� K ����� �� ������� ���.

pk =PT

K, k = 1, . . . ,K,

����� �� ����� � �� ����� �� � �� ������ ��� �� �� ���� �� �� ���� /0 ���� ���.

�� YVTZ� ����� � ���� �� ��� � ������ �� ����� ������ �� ���� �� ��� ������ ���

,�0� ��� �� ���� ���������� ��������� !� �� ���- �������� �� YNSNZ �� YVTZ� ����� �� ��

������� � ���� ���� �� �� ��� ������ � �� ��� � �� ��$������� ������ �� ��� ��

�� ���� ���� �� ������ �� �� ��� �� ������� ���� ����� �� ������ ���������� �� �� ���������

����� �� �� ������� � ���- � ������ � �� &���* ����������� #�� �� �������"���

�� ��� �����$� �� ��������� �� � �"�� ��� �� � �� ��� �� ��������� ���� �� �����

����� �� ��� ���� �� ������ !������ ��� ��������� ����� � ������� ���� � ��� �� �������

�� ���� ��� � ���� �� ��� ������ ��� �� ��� ���� � �� �� ���� �� �� � I�N�

����� #���������� ������

)������� 35)� �� /0 �� k� �������� ��� �� ��������� ������ �� ����� ��

γCOk =

PT

σ2

λ2k

K= γn λ2

k

K,

����� γn = PTσ2 �� � ��[��� /0 �� ���� ��� � �� ����� �� �� � ����� /�� � ���

�� ���� ��������� ������ �� ��� ������� �� ���� ��������� �� �� ����� �� ����� �

� �� ����� ��� �� �� ������ ����������� ��� K ����� �� � �� �� ������ �� ��

���� � ������� �� �� � I�N� �� �� �� �� ���������� 1�� ��� �� ��������� ������� ��

��� �� �� ������ �� �� ����� �� �� ������ ��� λk ���� �� ����� ����� ���� ��

����� �� EH(λ2k) = Q� �� σ2

H(λ2k) = QK YNRVZ� < �� �� ��� �� �� �� �������� ���� ��

K ������� ���.

EH,K(λ2k) = EH(λ2

k) = Q,

��

σ2H,K(λ2

k) = σ2H(λ2

k) = QK.

��� ��� ���(���$ ��� �* � ���� � ���� � ��� ��� ����� �� ������ �� ��� ���� �� � K�

MS

Page 78: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

1�� �� � ��� �� �� � I�N� �� ����� �� ������� �� &N�IN* �� �� ������� ��

IFCO =E2

H,K(λ2k/K)

E2H,K(λ2

k/K) + σ2H,K(λ2

k/K)=

Q

Q + K=

11 + ξ

,

����� 0 ≤ ξ = KQ ≤ 1� ���� !# ������� ��� ����� � �� �� ��� ξ = K

Q � �� 0.5 ≤ IFCO ≤ 1�

����� ��� �����

1�� :�� ������ &U#* �� ����������� 35)� �� /0 ��� �� k� �������� �� ������ �

γZFk = γn α2

k

K.

���������� -��� ��� ����� � �� α2k �� ��������� � ���� ���������� <���������

����� ���� �� ��� 2(Q−K+1) ������� �� ��������� ���. α2k ∼ χ2

2(Q−K+1)� � �� �����������

� ���� �� ��� �� ������� ���. EH(α2k) = σ2

H(α2k) = Q − K + 1� ����� ��� ��� � ��

��� ����� ���� �� ������ ���.

EH,K(α2k) = σ2

H,K(α2k) = Q−K + 1.

)� � �� ����� �� YMVZ� ��� ������ �������� ���� �� ����� ������� �� �������� ��

����� ��� �� �� ����� � ���� �� ������ �������� ��� �� �� �� ��� ����� � �� ����������

� �� ����� � ���� �� ����� �� ���� �� � ������� ��� 1�� �� �������� � �������

��� �� ������� �� ����� �� ������� �� &N�IN* �� �� ������ �

IFZF =E2

H,K(α2k/K)

E2H,K(α2

k/K) + σ2H,K(α2

k/K)=

1− ξ + 1/Q1− ξ + 2/Q

,

����� ��������� � N � ��� �� ������ �� ����� K �� ����� Q ���� ����� ����� ��

���� ��� ������ ���� � ξ = KQ �

����� (���- *����

) ����� ������� ����� ����� �� ������� *��� $��� &'5* �� ���������� ����

����� ���������� ��������� ���� � U#� �� ��� � ��� ����� ����� ����� �� ��

���� �� ���� �� ��� ��� ��� /0 ��� �� k� ���� ��� '5 �� ����� ��

γDPk = γn d2

k

K,

���� ��� ��� �� �� +����, � �� �* ������ � IF = E2K{rk}/EK{r2

k}��# ���)�-���� ���� ������ (��� � ������� � ������ χ2

r �� ��� r �� ���� � 2r� .�� � ��� �����

�� � ��*$ � � ������ ���� ������ � ��� ����� ����* �� ���� � � �/� ������ � �� ��������$ ���

��� � ��� ���)�-���� ���� ������� �� ����� �� r/2 �� ��� ���� � �� �� 2r/4 = r/2�

MR

Page 79: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

&!+! ���� �� �������

��������� �� ��� � ���� ���� ��� ����� � �� ��

��������'� λ2k/K Q/K

√Q/K 1/(1 + ξ)

����� (���� d2k/K (2Q−K + 1)/2K

√Q + 1

12 (K − 5)(K − 1)/K (2− ξ)2/[(2− ξ)2 + ξ2/3

]3��� ��� ��� α2

k/K (Q−K + 1)/K√

Q−K + 1/K 1

�� � I�N% ���� ��� ������ �������� �� � #&0 .���� � ������ γn/ ��� � ��� ���� 4

���������� �����) 2��� 1������ ��� �� �����������) ��� $��� *���� ���������

����� �� d2k �� ��������� � ���� <��� ����� ����� ���� �� ��� 2(Q− k + 1) �������

�� �������� ���. d2k ∼ χ2

2(Q−k+1)YIJZ� ��� ��$������ ��� U# �� �� �������� ����� 1�����

'5� �-� ��������� ������ � ��������� �������� ��� �� ������ ��� U# �� ����� �� ��������

� �� ������� �� ���� �������� � ���� ��� �� � �� ���������� �� ��� �"��� ����� ��

����� ������ ���� �� ����� �� EH(d2k) = σ2

H(d2k) = Q − k + 1� ��� ����� �� �����

���� �� K ����� �� ����� ��

EH,K(d2k) =

1K

K∑k=1

EH(d2k) = 1

2(2Q−K + 1), &I�V*

����� �� ��� ��∑K

k=1 k = 12K(K + 1) �� ���� ����� !� ����� � ���� �� ������ ����

�� ������ ���� �������� ��������� �� ������� ���� σ2H(d2

k) = EH([d2k]

2)−E2H(d2

k)� ��� ��

����

EH([d2k]

2) = σ2H(d2

k) + E2H(d2

k) = (Q− k + 1)(Q− k + 2).

3���� ��� �� ���� ����� ����� EH,K([d2k]

2) = 1K

∑Kk=1 EH([d2

k]2) �������

EH,K([d2k]2) = (Q + 1)(Q + 2) + (K + 1)

(16 (2K + 1)− 1

2 (2Q + 3)), &I�P*

�����∑K

k=1 k2 = 16K(K + 1)(2K + 1) �� �� ��� ��� �� � �� �

σ2H,K(d2

k) = EH,K([d2k]

2)− E2H,K(d2

k)

�� �� ����� ��� &I�V* �� &I�P*� )��� ���� ����� ����� �� ���������� �� �� � I�N ��

������� )� ��� �� ���� ���������� �� !# �� �� ��������

IFDP =E2

H,K(d2k/K)

E2H,K(d2

k/K) + σ2H,K(d2

k/K)=

(2− ξ + 1/Q)2

(2− ξ + 1/Q)2 + 4/Q + (ξ − 5/Q)(ξ − 1/Q)/3,

����� ��������� �

IFDP → (2− ξ)2

(2− ξ)2 + ξ2/3

MM

Page 80: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ratio K/Q

Inde

x of

Fai

rnes

sAsymptotic Index of Fairness as a Function of the Ratio K/Q

CooperativeZero ForcingDirty Paper

#����� I�I% � ������ ���� �� ������ ��� � ��� ����������� ����,�� �

� ��� �� ������ �� ����� K �� ����� Q ���� ����� ����� �� ���� ��� ������

����� !� ��� ���� 0.75 ≤ IFDP ≤ 1� ��� ���� � �� ��� ������ ���� ���� ���� ���� ���

��� �� ������� �� �� �������� �� ��� ������ ��� ��� � ��������� ��� ��� �� �� ��

���� ���� ��� � ��� (�������� �� ������� ������� �� ������� �� ������� � ���� �

��� ���� �� �� ��W���� ��� �� �� ���� �� ������ �� ���� ��� ������� ����� ������� ��

����� ���� �� �� �������� ��� ��. ����� ������� � � � ������ �� ������� �� �� ������

���������

��� &������ � �������

#���� #����� I�I ����� �� !# �� &N�IN* � ������� �� �� ��� K/Q ��� �� ���� ���������

�� ������ ���������� !� �� �� ������ �� ��� ��� ���� �� ������ � �� ���������

������� �� ��� ��� ��� � U#� �� �� ��� ��� ���� �� � '5� )�������� � ��� ����� ��

�������� U# �� �� ��� ��� ��������� ���� �� ��� � �� �� � �� �������� ����������� ��

���� �� �� �� ��� �� ��� ����� ��������� �� � ��� �� �� ��� ���������� ��� �� ����

����� '5 �� ��� ��� ������ �� �� ���������� ����������� ���� ��� �� �������% ����

����� �� ���� ���������� �� ������ ����� �� ��� ��� ��� �� ��� U#� #�� �� ��

MV

Page 81: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

&!,! � ����� �� ���������

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Standard deviation

Mea

n

Theoretical mean vs. standard deviation plot, with UPA, 10 Antennas

CooperativeZero ForcingDirty Paper

Increasing K

K=1

K=9 K=9

K=9

K=3

K=3

#����� I�S% ���� � . ������ �������� ��� ��� � ���������� ����) � $��� *����) ��� � 2���

1������) �� 87 ������ ��� ������� ������ �� � �� �

��������� ������ �� �� ��� ����� �� ������ ������ � ����� ���� ������ ��$�������

���� �� ����� ������ � �� ��� �"��� �� ����� ����� ������

3������� �� ��� ����� �� ������� ���� �� ���� �� ��������� ��� �� ������ �

���������� �� �� ���������� ��� �� ������ �� �� )5 ���� �� �� � � � ������ �� ��

��������� �������� � ��� �������� � �� ����� �� �� ������ ���������� �� ��� ��. �����

������� ������ �� ����� ��� �� ���� ����� ���� �� ���������� ����� ��� �� ��������� ��

��������� �� ��� �� ����� ��������� ����� ������ �� �������� �� ����� �� �� ������ �� ��

��� �� �� ����� ������� �� � ���� ����� � �� �� ���� � �� ������� ��

�� ��������� �� &N�IN* ��� � ��� �� ���� ����� ����� ��� ��2����� �� � ���� � � �����

�� �� ��W����� ��� ������ �� �� ���� � �� �� �������� ������ �� ����� �� �� � I�N� ���

-��� K ��� ����� �� ����� �� /0 �� ��� γn� ��� ��������� ����� ��� � �� �� ���

����� � �� � ������ � ����� ������� �� � ���� � ������ � ���� �� ��� ���� ��

������ � � ���� �� �������

��� ��� ��. ����� ������� �� ����� ��� Q = 10 ����� �� ������ ������

�� ����� �� � ��� �� #����� I�S� ����� ��� ���� &��� ���� �� �� ���� �* ��[��� ��$����

������ �� ������ ����� ���� K = 1 �� ����� ���� ������� � K = 9 �� ���� ��

MP

Page 82: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Standard deviation

Mea

nTheoretical mean vs. standard deviation plot, with UPA, 5 Users

CooperativeZero ForcingDirty Paper

Increasing Q

Increasing Q

Q=6

Q=6

Q=6

Q=16

Q=16

Q=16

Q=11 Q=9 Q=7

#����� I�R% ���� � . ������ �������� ��� ��� � ���������� ����) � $��� *����) ��� � 2���

1������) �� 6 � �� ��� ������� ������ �� ������ �

������� ���� ����� �� �� ���� �� �� ���� #���� ��� ���� K� �� S� U# ��� �� �� ����

��� ���������� �� �� �� ���� ����� �������� '5 �� � ��� � ������ ���� ��

�� ������ ����� �������� �� �� ��������� ����� �������� � ��� � �� ��� ��

������� �� ���� ������ ����� �������� <�������� �� ������ ��� ��� ��� ������

������ ��� ���� ������ �� ������ ��� �� ������ �� )5 �� �� �� ������������ ��

� ����� � ������ �� �� ������� �������� �� �� ��������� �� �� �� ������ ������� �� ����

��� ������ �� �� ���������� #����� I�S �� �� �� ������ !����� ��� ��� ��� ��� ��

�� I� 1�� '5� K = 4 ����� ���� � �� ����� ������ K = 3 ��� U#� �� K = 5 ���

�� ��������� ������� #�� � ��� ���� �� ��������� ���� ���� ���� ����� ��� � ������

������� ���� �� � ���� �� �� ������ �� ������ �� � �� �� �� �� ������ ��� ������ ��

���� ����

!� #����� I�R ��� ���� &��� ���� �� �� ���� �* �� ��$���� ������ �� ������ �� ��

��� ��. ����� ������� �� �� ��� ��� ���� ������ �� ������ K = 5� ) ������ ���

����� �� ������� �� ������ ������ �� �� ���������� �� �� ���������� ��� ���. �� ���

����� Q = 6� ��� ��� ��������� � �� �� �������� ����� �� ��� ���. ��� �������� ���

� ��� � ���� �� N�M� /��� �� ��������� ������ �������� ��� ������ �� ����� &Q = 7*

MO

Page 83: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

&!0! ����������

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.61

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

Standard deviation

Mea

n

Theoretical mean vs. standard deviation plot, with UPA, K/Q= 0.5

CooperativeZero ForcingDirty Paper

Increasing Q,K

Q=2

Q=22

Q=22

Q=22

#����� I�M% ���� � . ������ �������� ��� ��� � ���������� ����) � $��� *����) ��� � 2���

1������) �� K/Q ���� ' �� ��� ������� ������ �� ������ .��� � �� /�

�� '5 &Q = 9* �� U# &Q = 11*� ! �� �� ���� ���� � ��$���� �� ����� �� ��

����� ����� �������� ���� ��� �� ���� �� ������� �� ���� ������ �� �� � �� � � ��

�������� �� �� ��� ������ #�� �� �� ��� ��. ����� ������� �����$ �� ������� ��

#����� I�M ���� �� ��� K/Q ������ ���� �� ��� � J�M �� ��� ���� �� ��� K �� Q

�� �������� ����� ����� &�� �� ���� ��� Q = 22*� ��� ���� &��� ���� �� �� ���� �*

�� ��$���� � �� ��� Q� �� ���� �� I� <���� �� ��� ��� ����� �� ���������� ��������� ���

�� ���� �������� )�������� � �� � I�N� �� ���������� �� �� ��������� ������ ���� ��

���� �� �� ��� ���������� � �� �������� ������ �� ��� ����� )������ � �� #����� I�M�

� �� �������� � ��������� Q ���� ������ � &Q = 14* ���� �� ����� �������� � ��� ��

��� ��� �� ����� �������� ��� � ���� �� �-� ����� � ������� Q ���� ����� � ���

��� '������

!� ��� ������ ��� �������- �� ���� �������� � �� �� �� ������� �� �� ������

������������ �� ����� � �� �� �� ������ ������ �� ����� �� ����� ���� ��� ��

��������� �������� �� �������� � �������� �������� ! ������� �� � �"��� �� ��� ��. ��

MT

Page 84: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � &! ���� �� � �������� ��� ���� ����

����� ������� �����$ �� ���������� ����� �� �������� �� ����� �� �� ����� �� ��

��� �� �� ��-��� �������� � �������� ������� �������% �� �� � �� �� ��� ����������

�� ������� (�������� � ������� �� �� � ���� ��� ����� �� ������� �� � �����

���������� �� �� ��������� &���� ������*� ) ����� ��� �������- ��� � �� ��� ���� �

� �"� �� ���� � ������ �� ��� �� �������� ����� �� �� ������ ������������� � ��

���� ����� ��"�� ��� ���� �� �-���� ������� �� �� ������ ������ ����� � ��� �

�� ��������� ������� "��� �������� �� ���� ����� ! �� ���� ����� � �� ��$�������

���� �� ����� �� �� � ���� ��� � ��� ��� ��2����� ������� ����� � ���� �� ���������

��� �� ������ ���� � �� �� ������� ��������� �� �� �������� ������ �� �� ��� ��� ���

������ ��� �������� ���� � �� �� ������ ����������

��� �������- �������� ������� �� �� �� � ��� �� �� ���� �� �� ��� �� ������

��� ������ �� �� ������ ������� (�������� � ����� ���� � ������� �� )5 �� ��

����������� ���� ������� �� -�� ��� ������ ���� ���� ��� �� �� � �� ����� ����

��� ���������� � �� ��� ������ �� �� �� ����� ����� &��� �� ����� �����* ��

�� ���� ������� �� ������� ������� �� �� ������ ������� ���. �� '@< ���� #�� ����

������� �� �� �������� �� �� ���������� �� "��� ������� ����� ���������� �� �� �� ����

�������� ������ � �������� ������ � �����$ ������ ���������� &��� � �� ���� � ���

� ������ ��� �����* �� ���� ���� ��� ������� �� � ��������� �� ����� (��������

� �������� � �� �������- � � �"� ������� ������ �� ������ ��� ������ ��� ������ �����

�� ������ �� ��� ����� �� ��� ����������

VJ

Page 85: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

�������

"���� �������� ��� ��������� ������

!� ��� ������ �� �� � ����� �� ���� � ������ �� ���������� �� ���� �"�� ������ ��

�� ��� ���� �� ����� ����� ���� � �� ���� ��� �� �� �������� ����� � ��

����� ���������� �������� �� �� $���� �� ������� ������� U��� #������ ����������

�������� �� �� ���� ��� �� ���� ��-� (�������� ����� ����� ���� ��� � � �� ������ �

�������� ��� ��� ��������� �� ����� ��� �������� �� � ��� � ���� �� �������

��� ������ �� �� ����� ������ � �� � �� �������� ����� � ����� �� ��������

� ����� ������ �� 5�G �� �� '@< �� ���� ��� ���������

!������ �� ���� �� � �� �������� �� ��� �� �� ������ )5 ��������� �� �����

�������� ���� �� ���� ������ ����� �� !� ��� ���� �� ����� �������� �� �� �����

���� ������ ����� �� ����� ���� ����� ����� �� ��������� ��� ���� �� �� �� ,�

����� 0� &,�0*� ���� ���� �� � �� �����$ ������ �� �������� �� �� �������� �����

�� �� � �� ���������� �� �� �� � ����� ������ �� ��������� ������ ���� � ����

������ ��� ���� �� ���� �� ����� &��* �����"��� � � �������'@< ,�0����� ���

��������� ,����� �� ������ ���������� ��� � �� 3������ 5���� ) ����� &35)*

�� �� ��� ,�0 �� 0� &�0,*� ��� ��� �� ��������� ����� � ��� � �������� �

��������� ����������� #���������� ������ �� �� �������� ��� �� �� �����������

����� ��� ��� �� �� ��- ����� ����� �� <'()� ��� ����� �� ������� ����� �� ����

�� �� ��������� �� �� ������� ���� �� �� ������� !����� �� ����� �� �� �� ���� ��-

�� ����������� ������ �� � �� ����� � �� �� ����������� �������- �� �� �����

��������� �� �� ������� �� �� ������� /������ ���� ������� ��������� �� �����

���� ����� �������� �� �� ������ �� ���� ��� ������� '�������� �� �� ��2������ ��

�� ������ ��� �� ��������� �������� ��� � ���� )� � �� ��������� � �� �� ����� �

�� ������� �����"��� �� �� �� �� �� ����� &��* �� � ������ ����� �� �� ��

,�0����� �������� #���������� ���� �� �� �����$ ������ �� � �� ���������� ��

�� �������� ����� �� �� ����� ����� �

VN

Page 86: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

��� ����� ����� ���� �� �� ������� �� �� ������ �� ,�0 &�� /0* ��������� �����

�� �� �������� ����� ��������� ��� � ��� �� �� '@<� ���. �� )5 �� ������ �����

����� ����� �� �� �� �� ������ � �� � ��� ���� �� �� ,�0� )���� ������ �������

�� ��� ����� ��� �������� �� �������� � � ��� �� ������������� �����$ ������

�� � ���������� �� �� ����� � �������� ��������� �� ������ �� ��������� ����

�� ������ ��� �� �� '@< �� ��� ���� �� � � ������� �� ������ ��� ����������� 1��

��� ��������� ��������� �� �� ���� �� �� ��������� ! �� ������ � ������ � ��

����� ���� �� �� � �����"�� �� ������ ��� ������ �� �� -�� ��� ����� YRZ� �����

������ ��� ���� ��� ��� ���� ������� �� ��� ������ ������ ����� !� ��� ������ ��

�������� ����� �� ������ '@< �������� �� �� ������� ��� ������ ��� ���� ������

��� ������ �����

���� ����� �� �����"�� � �� ��� ��� �� ���������� �� ���� �� ����� � ��

�������� ���� !� ����� S�I� ����� ����� ����� ��������� �� �������� ��� ��� �� ��

���� �� ������ ������ �� �� ���� �� ��� �� ��� ������ �� �� ����� �����

����� �� ������ ��� ��� �� 5�G �� �� '@<� ������ � �� ���� �� �������� ����� ������

S�S ��������� ��� ����� ����� ����� � ���� � ��� �� �����$ ������ �� � ��

���������� �� �� �������� ������ )��� �� �� ����� S�R� �� ����� ����� ���������

������"��� �� ��� ,�0 �� �����"��� �� ��� �� �� ������� � �� �����"��� �� ��

��� �� �� ����� ����� ������ � ��� ������ #�� �� �� ����� S�M� �� �������� �����

��������� �� �������� 2�� ������ �� �� ���� ������ �� ��� ������

��� $�� ����

)� �� �� ��� � ���������� ��� ����� �� � ��� �� ���� ����� ���� ��- �����������

�� �� ������ , �� )5 ��� ���� � ���� ����� �� !� ��� ���� �� ��� �������� ��

���� � ������ �� ������ ���� ����� ������� �� �� �������� �� ����� �� � �� ������

�� �� �� ���� �� ������� �� ���� ������� ����������� ���� �� �� � ��� ���. �� ��������

����� ��������� ,��� �� �� ������ ��� ������� �� �������� �� ����� �� � � ���������

���� �� ���� ������ !���� �� �� ��- �������� �� ����� �������� �� �� ���������

���� ������ ����� �� ��� � �������� �� ���� ��� ��������� #�� ������� �� �� �����

��� ������� � M .�" ���� ��� �� �� �����-� �� ������� �� ������ ���������

���� ����� �� SJ �,�� �� �� �� �� ���� ��� �� , �� � ���� ��� �� ����� ��������

�� ������ ���� �� �� ������ �� �� ��� � ����� ���� ���� ���� ����� YTTZ�

��� �� ���� �� �� ������ ��� �� ������ ��� �� ������� � ������� ��� �� �����

��� � �� ����� ���������� �� �� ����� ������ )� �� YPTZ� ����� � �� �����

�� � �� ��� ������ �� ���� �� �� ������ )5� ��� )5 �������� �� �����

����������� �� � �� ����� � �� ����� � ������� �� �� � �������� �� ����� �� ��

VI

Page 87: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+! ! 7���������

�� �� ���� � ������� ��� �� ���� ������ ����� ��$��� ���� �� ������ -�� �� ���.

YTIZ� ����� ����� � �� �� ������� �� � ������ ���� �������� �� �� �������� ���

���� ���� ��� �� ��������� ,������� ��� �� �� ���� � �� ��� �� �� ����� � ���� ��

���� ������ ���� ����� �� ������ ��� ������� ��� �� �� '������� (� �� � )�����

& '()*� ����� �� ��������� ����� ��� �� ����� �� �� ���� �� ������ �� �� ��� ���

�� �� ��� ���� ������� ���� � ���� '������� (� �� � )����� &�'()* �� #�������� '�������

(� �� � )����� &#'()*� ��� ���������� �������� � ����� ���� ����������� �� U#�

����� �������� ������� �� � ��������� �� ���� � ���� �� � �� ������� ����� ��

����� � ��� �� ����� � �� ����� ������� ����� �������� ����������� YORZ� )� � �� ����

������ ������� � ������ ���� ��- ���������� YRVZ� �� ��� ������� ����������� ��

�� �� ���� ���� �� �� � ��������� �� ����� !������ ���� �� ����������� �� '@< ���

������ ��� �� ���� ������ ��� !� ��� �� ��� ����� � �� ����� � ���� �������� �� ��

������ ��� �-� ����� �� ������ � �� �� �� '@<� ��� � �� �� ��������� �� �� ������

���� !� ��� ������ ���� ���� �� -�� ������

+��� �� ��� ��������� �� ���� ��� ������ �� )5 �� � �������� �� �� � �

����� ���� �� ������ ���� ���� �� � �� ����$ ������ �� �������� �� �� ��������

����� �� �� � �� ���������� �� �� �� YNITZ� �� ������� �������� ��������� �� ���

������� �� �� ���� ��� +� �� ��� ���� � �� �� �-���� � �����"��� �� � ��

���������� ��� ��� � �������� ���������� �� �� ���������� ���. ���� �� ����� ���� ��

������ +� �� ���� ���� ������ �� ������ ������� YNIPZ �������� �� ��������� ��� ��

���. �� ���� �� �� ����� �� ������� �� ������ �� � �� ����������� !� ��� ������ �

�� � �� �� ��� � ���������� �� ���� ��������� �� �� ��������� �������� ���. ��

��� ������ �� �� �������� ����� �� �� ��������� ���� �������� �� ������ � ����� ���

�� ������ ��� ��� �� � �������� �� ����� ������������ ! �� ���� ���� ���� � ��

������� �� , �� )5 ��� ��� �� ����������� ���������� �� ����� ������

+�� �� �� ����� ������ �� ��� ����� �� �� ����������� ����� ����� � ����� ��

���� ���� � ������ �� �� ������ �� �� � �� �� ����� �� <��� '������� (� �� � )�����

&<'()*� ��� ���. �� YNJPZ �� ���������� ������� �� �� ��� ���� ���������� ���� YNJOZ�

��� ������ �� �� ����������� ����� ��� ��� �� �� ��- �� �� ��� �� �� �� �� ��

������� ������� ���� �� ������ ����� ��� �� ��� ����� ���� ������ ���������

���� ������ �� �������� �� ��������� ������ � �� ���� �� ��������� �� �� ��������

����� �� -�� ������ !� � �� �������� �� �� �� ���� � �� ��������� ��� ������ �

�� ��� � !���������� 0�� & !0* �� �� ����� ����� �� ����� �� � ���� � �� ���������

��� ����� �� �� !0 �� -�� ������ ���� ���� ��������� YNJSZ� ���������� � �� ������ �

� ��� ��� ������ �� #��� ������ 0� &# 0*� � ��� �� ������ �� � �� ���� ��

������� �� �� ������� ������ � �� ����� ������ YNJMZ� ! �� ����� �� ��� ����� �

����� �� �� ������� �����"��� ����� � �����"�� ��� ����� ����� �� �� � ��� �

VS

Page 88: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

������"��� �� ������ �� # 0 �� ��� �"��� �� ����� �� �� �� ,�0 �� ������ �� ��� ����

������� ���� ���� ��[��� �� ��W�� � �� �������� ��������� �� �� ���������

���� ��� �� ���� ����� ������ � ���� ����� � �� ���� ����� ��� �

�� �� ������ ��� !� �� � ����� �� �� ������ ���� ����� �� �� �� ������ , �� �

������ ����� ����� �� �� ����� � �� �� �� )�������� <���� & )<* �������� YNRPZ�

,������� �� )< �� �� � �� 4� ����������� �� �� ������ ���. �� ���� �� ,�0� !� ��

�������� '() ������ �� ��������� ���� �� ����� � � ���� ������ �� � �� ���

���� � ���� �� �� �� ����� �� �� ����� �� �� �����"��� �� ����� ��������� !������

�� ���������� ����� �������� � ��������� �� �� ����� � �� ����� ������� ������ ����

����� �� �������� �� ����� ��� ����� �� ����� � �� ������ ��� � ����� �� �� �������� ������

��� ���� ������� �����(���

!� ��� ������� ����� ������� �� �������� � ��� �� � �� � � ����� PT � ��

������ ����� �� ������ � �� ������������ ���. ���� ����������� �� �� ��� �� ���� ��

�� �� ��������� �� ,�0� .���� ������ �� ������ �� , ���� � ���� �� ��� ��������

������� /������ ���� �� , ���� �� �����"� �� ������ �� ����� ��� �� ��� �� ��� �����

� ����� &��� ����� S�M ��� ��� � �� ���� ������*� ,������� ���� � ������ �� �� � �� ���

��� � �� ����� ���� ���� ��� ��� ������� !� �� ���� ��-� ��� �������� ��� � ��

�����"��� �� ,�0 �� �� ��� � ���������� �� ������ ����� ���� �������� ������

������"� �� � ����� ���2�� � ,�0 �� �� ������� YNROZ�

) ����� �� � ���� � �� �������� �� ��� ������ ���� �� �� � ��� '5< ����������

U# �� -�� � �� ���������� ��������� ��� �� �� ��� ���� ���� �� &I�R*� ��� �

y = DαDβs + w⇒ yk = αkβksk + wk,

�� ����� �� ����� �� ����� � αk �� $���� �� �� ����� � �� �� ���� ����� �� ���� ��

�� ������� �� �� ���� HHH � � � �� ���� ���� ������ ��� /0 ��� �� k� ���� ��

γk =α2

kβ2k

σ2,

����� � �� ���� ������ � �� ����� � ��� ����� ��� ������� ����� � �� ���� �"��

4)( ����� �� �� � �� ���������� ����� ��� �� ����� �� � �� ����� ����� σ2 �� ���

��� �� K ������ ���� ���� ���� �� � ������ ����� ��� ������ ���� � �� �������� � ��� �

������$������ � ,�0 ����������� ���������� � �� �������� � ��� �� �������� ,�0 ���

4)( ���� � �� 0� ���� ����� ����� � �������� �� � �� )1./ ����� �� YNRTZ� ���.

BER(γ) ≈ c1exp(−c2γ), &S�N*

����� c1 = 0.2� c2 = 1.62m−1 � �� m �� �� ������ �� ��� �� �� ����� ���� ���� ��� �� �������

�� ��� ������ ���� ���������� �� � �� ����� 1.5 �, �� ����� ��� BER ≤ 10−3� ���� � ��

VR

Page 89: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!&! ��� � ��������� � ���(� �

������ � ���� �� �� ����� ������ �� �������� �� ����� �� ����������� �� ��

����� �� .������ �� 5�-� ����� 0� &5�0* �� �� ��������� � ������� �� �� ,�0 ��

�� ��-� ���� L �� ��� � PER = 1− (1− BER)L� !� ����� ���� ������� �� �� � ��

�� �������� &��* ������� �� �� ������ �� ��� �� �� ����� � �� �� �� ,�0� ) ��

������ ���� �� �� �� ������ ������ �� ��� ��� ����� m � �� �� ������� ��� �

�� � ��� ��� ,�0� BERt� �� � �� �� ������ ����� &S�N* �

m = log2

(1 +

γ

Γ

), &S�I*

����� �� ����� à �� ����� �� à = log(c1/BERt)c2

� !� ��� à = 1 �� �� ��������� � ��

� ���� �����6� ��� � ���������� �� �� &�����* YNMJZ� ����� �� m �� �� �������

�� � ��� ���� ��� �� �� ��������� �� ����� � ������ �� ������ ��� �� �� ��

'() ����� � � � �� ����� �� �� ��� ������� +��� ������� �� ������� ���� ��� ��

�� ������ ���� ��� �������� ����������� !� ����� ������ �� � ���� �� �� �������

�� ��� � �� � �� ��� m �� � ������� ��� ��� ����� ��� ��� � �� ���� �������

����� 0����� *���� ��������� 10*�2

1���� �� ����� -��� ����� �� ��� ����� ������� � �� �� �-���� 35)� !� � ����

�� )5 ������� ��� � �� ��� � ����� ���� �� ���� ����� �� �� �� � �� � � ���� ��

��� ��� ���� �� ����� ��� ��� ��� �� ���������� ���� �� ��������� ,��� �� ��

����� ���� � �� k� ���� ��

β2k =

PT

K,

��� �� /0 ��� �� k� ���� �� ����� ��

γk =PT

σ2

α2k

K, &S�S*

����� ��� � ������ �� &�� ���� ,�0* ��� �� ����� ����� ���� ����� � ���� � ��

������ � �� , �� ������ ����� -��� ����� ���� �W���� ����� ����� ��������

���� �� �� ���� !� ��� �� ������� �������� ��������� �� ����� ������ ) ��� �����

������ �� ��� ���� �� �������� � �� ������ ����� �� ��� �� ��� �� ��� ,�0 ��

��� �������� ���� ������� ������������ �� � �� ����� ��� ������ ��� /0 ������

����� ��� ������ �� �� �������� ������ �� �� ���� ����� ������ ��- �� ����

����� ������ ����� �����"�� �� � �� ���������� ����� ��� �� �� ����� ��� ����� �����

���������� ��� ����� �� ������ ��� �� �������� �� �� ����� ������"��� �� ��� ,�0

� �� �������� ���� ���� '() ������ ��$��� ���� ����������� ������������ ���� �

YNMNZ� ����� ����� ����� ���� �� ��� ����� �� �� �� � �� ��� ��� ��������� �

����� ����� �� �� ���� �� ��� �� � � ��� ����� � ����� �� ������ � ��� ������� 0.�

VM

Page 90: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

���� ����� � ) � ����- �� � �� ��������� � �� �������� �� �� ���������� �

�����$�� ��� �� �������� ����� �� , �����"�� �� ,�0 �� �� �� ����� ��� �� �� ��������

4� ������� �� �� ���� ������

����� %!��� 3��� �� �%3 1%3�2

) ������ � �����"��� �������� ������� �� �������� �� ��� �� �� ,�0 � ������

����� ��� �� ���� ����� �� ��� ! �� �� ���� �� ��� ��������� � � �� � ������� �

�������� �� ��� ,�0 � ������ ��� ��� ������� ���� �� ��������� �

minβ2

k

maxk

BERk

s.t.∑k∈K

β2k ≤ PT ,

����� � �� ���� ��� ��� � ������ � �� β2k �� ����������� ����� ��� �� ����� �����

������ /�� �� � ��� ���� �� �� �� �� �� ��� � ������ /0 �� ������ ��

������ �������� �� ��� ����� � �� �� ��� ��� �� �������� ����� ���� ����� �� ������

���� �� ������ �� ,�0 ���������� �� � �������� �� �� �������� �� ����� ���

YSNZ� !� ����� � ������ � �� �� ��� �����"���� ��� ���� � ������� � �������� � �� ������

����� ���� 0�� ��� &S�N*� �� ���# * ��� ��

minβ2

k

t

s.t.∑k∈K

β2k − PT ≤ 0,

c1exp(−c2α2

kβ2k

σ2)− t ≤ 0,∀k ∈ K,

−β2k ≤ 0,∀k ∈ K,

� ����� �� X�����X�������-�� &XX�* ��������� �� � YSNZ� 3���� ���� �� �� ��� ��∑k∈K

1α2

k

= tr[(HHH)−1

],

��� �� ��� �� �� ����� �� ����

α2kβ

2k =

PT

tr [(HHH)−1],

�� � �� /0 �� �� ��� ��� �� K ������ ���. γk = γ,∀k ∈ K� �� � �� ����� ��

γ =PT

σ2

1

tr (HHH)−1 . &S�R*

1�� ��� ��������� ���� ���� �� ����� �� ���� ��� �� ����� � ��� ���� �����

�� ��� ����� ������� �� ���������� �� �� ���� ������ ��� �� � �� ���������� �� ��

VV

Page 91: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!&! ��� � ��������� � ���(� �

�� � )� � �� ����� ���� �� �0, ��� ������� ���� ��� �� �� �� 35)� �� � ��

�� ������� ������� � �� ����� �� ����� �� ��� �������� !������ � ��� �"�� ��

� �� ���������� ��� �� �-� �� �� �������� ��������� ����� ���� �� ���������� � ���

����� ������

�-��� �� ���������� �� ���� /0� � �� �� ��� � ������ � ��� 5/. ����� ��

��%��� � ��%� �� ��� ���� ��� 3$�� !� �� ���� /0 ������� �� ��� �� �� �� �0,

RERBT �� �� ��������� �

RERBT ≈ K log

(PT

σ2

1

tr (HHH)−1

)= K log

PT

σ2

1∑k∈K

1α2

k

= CT + K log Hα,

����� Hα �� �� ������� ��� �� �� α2k �� CT �� ������ ���.

K

Hα=∑k∈K

1α2

k

,

CT =∑k∈K

log(

PT

Kσ2

)= K log

(PT

Kσ2

).

+� �� ���� ���� ���� /0 �� ��� �� �� �� 35) RUPAT �� �� ��������� �

RUPAT ≈

∑k∈K

log(

PT

σ2

α2k

K

)= CT + log

∏k∈K

α2k = CT + K log Gα,

����� Gα �� �� �������� ��� �� �� α2k� ���.

Gα =

(∏k∈K

α2k

)1/K

,

����� ���� � ���� /0 �� ��� �� �� �� 35) &RUPAT * �� ��� ����� �� ��� �

�� ��� �� �� �� �0, &RERBT *� ���� ����� ���� �� �� � �� �������� ��� �� ���

����� �� ��� �� �� ������� ���� ���.

Gα ≥ Hα ⇒ RUPAT ≥ RERB

T ,

�� ����� ��� �� �� �� ���� �� αk �� �� ���� ���� �� �� �-� � ����� �� ��� ����

������ �� �� ��������� ���� �� �� ������

����� ��&���� '�� 3��� 1�'32

!���� �� ��������� �� ��� /0 ��� ������ ��� ,�0 �� ��� ����� ����� �� �

�����"� �� ��� �� �� �� �� � ����� ����������� ������ � ������ �������� ����������

��� ����� ���� �� �� ������ ��� ����� ����� � ��� ������ �� �� ���� ,�0� ! ��

������ � ��� � ����� ������ ��������� �� �� � � �� )5� �� �� � �� ��� ����

VP

Page 92: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

�� �� ������ �� ��� ����������� �� ���� ����� �� �� ����� � � �� ����� ���

)5 ��� �"�� �� ����� ��� ������ ����� �� �� ������� �� ���������� �� �� ���� ������

��� �� � �� ���������� �� �� �� � ���� ��� ������� �� ��������� �

maxβ2

k

∑k∈K

mk &S�M*

s.t.∑k∈K

β2k ≤ PT , &S�V*

����� mk �� �� ������ ��[����� �� ������ ������ � �� ��� �� k� ����� ��� &S�I*�

)��� �� �� ����� �� �� XX� ��������� � ��� ���� ��� �� �� ����� ������� ����� ���

������ �� ������%

β2k =

(µ−1 − σ2

α2k

)+

, &S�P*

����� µ �� ������ � ����� �� ����� ������� �� &S�V* ��� ��� ��� ,������� ��� �������� ��

��� ��� � �������� ��� �� �����"��� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ���������� �� �0,

�� ���� ����� � � �� ����� �� �� ��� ���������� ��� /0 ��� �� k� ���� �� ���

γk =[(

µ−1 − σ2

α2k

)α2

k

σ2

]+

.

! �� ����� � ��� +'/ �� �?� ����� �� ��� 3$� �� ��� '�/ �� ����� !� σ2 �� ���

��� β2k ≈ µ−1� �� �� �� ���� �� ������� �� &S�V*� �� ����� ����� ������� � β2

k = PTK �

)��������� �� ���� �� ���� ����� ����������� �� �� ������ �� ����� K �� ��� �� �� ��

/0 �� ���� ����� �� ��� ���� �� ���� ��� ����������� 3���� ���� ������������

� �� ��� � ������ � �� ����� ����� ��� � �� ���� ���� 35) ����� ���� �� YMMZ% �� Q

�� K �� � ���� ����� ������ �� ���� ��� ζ = Q/K ������ ����� ��� YMMZ

limK,Q→∞

E

{1α2

k

}=

1Q−K

. &S�O*

!��������� &S�P* ��� &S�V* � ���� µ−1 ����� �� ���������� �� &S�O*� �� ��� ���������

µ−1 ��- ��� &S�P*� �� ����� ����� ����� ������ � E{β2

k

}= PT

K � ,� �� ��� �� ��

����������� �� ��� ���� ���� � � �� ���� ����� � ���� /0� �� ( 0 ����

� �� 35)� ,������� ����� � �� ������ �� �� �������� ������ � �� 35) ���������� ��

�0, �� ���� �� ��� ��� �� ( 0 �������� �� ������ ��� �� �� �� �0,� � � ��

������� ��� � �� ��2����� �������� �������� �� ���������� �� �� ��������� �� ��������

�� ���� �� ����� ���� �� ������

��� ��� ������� �� ��� ���� ��� ��������� �� ��� �� �� �� � S�N� #���� �� ������ ��

���� � ����� �� ����� � �� ����� ���� N �� I� �� ��� � �� �� �� ����� ��

����� � ��� �� ���������� αk &��� S*� ��� � � ������� �� ��� ��� ��� �

VO

Page 93: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!&! ��� � ��������� � ���(� �

8� #� K = {1, . . . , K}�

:� ����� ���� H ��� � � �� �� � � K�

@� ������ α2k = 1/

[(HHH

)−1]

k,k, ∀k ∈ K�

;� ������ µ−1 = PT +σ2∑k∈K α−2

k

|K| �

6� ������ � ����� ��������� ����� � �� .@�F/�

E� �� β2k > 0, ∀k ∈ K, �� � ������� '�� � �

����� �) ������ � ��� � �� ����� 3��� ����� K ← K−{k ∈ K : mink α2k and β2

k = 0}

, ���

�� � �� :�

�� � S�N% #����� ����'����� ��������

���������� &��� R*� 1�� �� � ����� �� ����� ����� ����� �� ��� M� !� ���� �����

���� ���� �� ��� ��� � �� ���� ���� �� ������� ���� �� �� �� ���� ����� &��� V*� !

�� ������ � ��� ���� �� ����� �� ����� �� ��� ����� � ����� ��������� �� ��

����� �� ������ � �� �� ������ � � ������ ����� ����� "��� ������ ) ��� ����� � ��

������ � �� ����� �� ����� � α2k �� ��������� &��� I* ����� ��� ������ �� �� �����

� �� ����� ������� ���� ��������� �� ������ ��� �� ����� �� �� �� �� ���� ����� ��

������� ����"��� ����� &�������� �������� �� ��� V*�

����" ������ '�� �%3 1�'�2

!���� �� ������� ������� ����� ������� �� �� � ������"� �� � ,�0� !� ��� ���

���� � ����� ���� ����� ���� ,�0 ��� ��� ������ ��������� ��� ����� ���� ��

��������� �� �� ������� ,������� � �������� ����� ��- � �� '@<� ��� � �� �� ���

������ �� ,�0 �� �� 5�0� 1�� ��� ������� ��� ,�0 ��������� �� ��2����� �� �

������"� �� ��� ,�0 �� �� ����� �� �� �� ���2�� � �� ����� �������� ���.

minβ2

k

∑k∈K

BERk

s.t.∑k∈K

β2k ≤ PT ,

����� �� ������ ����� ��� � �� �� ��������� �

minβ2

k

∑k∈K

BERk &S�T*

s.t.∑k∈K

β2k − PT ≤ 0, &S�NJ*

−β2k ≤ 0,∀k ∈ K. &S�NN*

VT

Page 94: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

��� XX� ��������� YSNZ �� �� �� ��� ������ �� ���� �� �� ������� �� ��� �� ��� �

�� �� ���� �� ���� � � ���� ���%

β2k =

σ2

c2α2k

[log(

c1c2α2k

σ2

)− log µ

]+

,∀k ∈ K, &S�NI*

����� log µ �� ������ �� ����� � �� � &S�NJ* ��� ��� ��� ��� ��� ����- ���

��� ������� �� �� ( 0 �� �� ��� ����� ���. ����� �� α2k ����� &�������* ���� ��

������ �� ����� �� �������� ��� �� �� ��������� �� ���� �� �� ���� j ��� ����� β2j = 0�

����� ���� j �� ������� ���� �� ���� �� K� ��� �� j� ��� �� � ������ ���� H� ����������

�� �� ���� �� &S�NI* �� �� ������� ���� ���� ��� ������ �� �� ���� ��� � �������

���� ���� � �� ��� ������ �� ���� � �� � �� ��������� �� �� � S�N� ��� �� ��������

��� ������� �� �� ��� ��� � ��� ���

,� ����������� � �� � �� � ��� ������ �� ������� ���� ,�0 �� �� �0,� �� ��

�����- �� � ��� �� �-� �� �� �� ����� �������� ���� ����� ���� �� ���� �� ���� ���

����������� ��� � � � �� ( 0� �� ��-�� �� �� ������ ���� �� ��� ���� ����� ��

�� ����� �� �� �������� ��������� �� �� �� � �������� �� �� �� ������ ! �� ������

� ��� � ��� ��������� �� ��� +'. �� ���� �� .5/ ����� �� ���� �� ��� 5/.

�� ���� '�/� � � �� ������ ���� ���� ���� ��� �������� ��� ������� ����� �� ( ,

�� ���� ���� �� �� �� �0,� �� ������ �� �� � ��� � �� �� ����� �� �� ���� �� K�� ������� log µ �� &S�NI* �� �� � �� �� �

log µ =

∑j∈K

σ2

c2α2jlog(

c1c2α2

j

σ2

)− PT∑

j∈Kσ2

c2α2j

,

�� ���� /0� �� ��� ��� �� �� ������� ���� � "���� �� �� ����� ����� �����

�� ��� �� ��������� �

β2k ≈

σ2

c2α2k

log(

c1c2α2

k

σ2

)+

PT∑j∈K

σ2

c2α2j

.

) ���� /0� �� ���� ��� ����� ���� �� �� �������� ���� ���������� � ��

�� ������ � �� ��� ��� �� �� ������ �� �� ���������� ���� /0� �� ���� �����

����� ����� �� � ������ �

β2k ≈

σ2

c2α2k

PT∑j∈K

σ2

c2α2j

=PT

α2k

1∑j∈K

1α2

j

=PT

α2k

1

tr (HHH)−1 , &S�NS*

����� ��� � /0 ��� �� k� ���� ����� ��

γk =α2

kβ2k

σ2=

PT

σ2

1

tr (HHH)−1 ,

PJ

Page 95: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!&! ��� � ��������� � ���(� �

����� �� �� ��� � �� &S�R* ��� �� �0,� ,�� ,�0 ������ ��� � �� �� ���

���������� �� ���� �� ,�0 ���� /0� �� ��� � ��� ����������� ���� �� �����

��� �� ������� �������� �������� ��� � �� ���������� �� &S�NS* �� ���� �����

�� �� ����������� �� ������� ��� ������ � �� /0 ���� �� � �� ��� �� ,�0�����

���������� ! �� �� �� ����� � �� ��� ���� �� ��� �� .5/ �� ������>�� ��

��� 3$�� ����� ���� ����� �� �� )5 �� �� -��� ���� ��� �� ����� �� �� �� �� �� ��

�� ������� �� ���� ��� !� ��� �� � ��� �� 35) �� �� ��� � �� �� ����� ������ ��

�� ����� �� ����� ��� �� ����� �� ������������� ��

1λmax

≤ α2k ≤

1λmin

,

����� λi ������ �� i� ������ �� �� �� ����(HHH

)−1� !� ��� ������ � �� �����

�� �������� �� ��� ���� ���� �� /0 ��� ��� ���� k �� �� ����� �� ������� ��

γk =α2

kβ2k

σ2≥ β2

k

λmaxσ2,

�� � �� ���� ����� �� �� /0 �� ��� �� ��� � ����� ����� ��� �� ,�0� ����� ��

��� ����� ����� �� �� ��� ,�0 �� ������"��� �� �� ��� ,�0 �� �� ������"��� ���

@������ �� ��� ������� ���� �� ����� &S�N* �� ��������� �

L =∑k∈K

c1exp(−c2

β2k

λmaxσ2

)− µ

(PT −

∑k∈K

β2k

).

����� � �� �� ���� ��� ���� ���� � -��� ��������� �� L ��� ������ � �� �����

����� ����� β2k �� � �� @����� �� �� ��� µ� �� ������ ����� ����� �� ����� ��

���� ���� �� 35)� ���. β2k = PT

K .

����$ '�������� �������

3� � ��� ����� ����� ������ ����� ����� ��������� ��� ���� ��������� �� � ��

���� ������� � ����� � ������� � �� �� ���� '�/ ������

N� �� ��� �� �� �� �0, �� ��� ���� �� � �� �� 35)]

I� �� ��� �� �� �� ( 0 ���� � �� �� ��� � � �� �� 35)]

S� �� ���������� �� ���� �� ,�0 �� �� ,�0����� ���������� ��� � �� ( , �� ��

�0,� ���� � �� �� ����

!� ��� ������� ���� ���� � �� �� ����� ������ ���� ����� � �� � ��� ����������

� ���� �� ������� �� �� �������� ����� ����� ��������� �� �� ������ !������ � ��

������ � ��� ������ � �� ������� �� �� �������� ��������

PN

Page 96: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

0 4 8 12 16 20 24 28 320

1

2

3

4

5

6

SNR [dB]

Rat

e pe

r us

er [b

its/s

/Hz]

Outage Rate (10%) for the power allocation techniques, Q=6

Equal Rate and BERUniform Power AllocationMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

#����� S�N% 1�� � ����� �� ����� ��������� ����,�� ) � '���� �� � ����� ���� ��� � 87I

� . #&0� !� �,��������� � �� ��� ��� #&0 ��� ������

0 4 8 12 16 20 24 28 3210

−8

10−6

10−4

10−2

100

SNR [dB]

BE

R p

er u

ser

Outage BER (90%) for the power allocation techniques, Q=6

Equal Rate and BERUniform Power AllocationMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

#����� S�I% 1�� � ����� �� ����� ��������� ����,�� ) � '���� �� � ����� ���� ��0 �

H7I � . #&0� !� �,��������� � �� ��� ��� #&0 ��� ������

PI

Page 97: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!&! ��� � ��������� � ���(� �

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

1

2

3

4

5

6

Approximation of the standard deviation of the rate [bits/s/Hz]: 1/4 x sqrt[(max−mean)2 + (mean−min)2]

Mea

n R

ate

[bits

/s/H

z]

Approximation of the mean vs. standard deviation plot for the power allocation techniques, Q=K=6

Equal Rate and BERUniform Power AllocationMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

SNR=0

SNR=16

SNR=32

SNR=16

SNR=16

SNR=32

SNR=0

#����� S�S% 1�� � ����� �� ����� ��������� ����,�� ) � '���� �� � ����� ���� ��� � . �

����� ������ �� � ������ �������� � H7I #&0�

)� )5 �������� ��� Q = 6 ����� �� �� �������� �� �� /0 �� �� ������ ������ �

�� ��� PTσ2 � !� ����� � ������ �� ����� ����� �������� �� ������ �� ����� �� ��� �

�� ������ �� ������ ���. K = Q� �� �� �� �� &S�I* �� �� � à = 1 ������ ���� ������

�� �� -� ��� ����� �� ,�0 �������� ��� �� ������ ��� ���� ������ � ��

���� ������ �� 45 X ����� ��� �� ����� ��� !� #����� S�N� ��� ���� �� ���� �� NJ^

��. �� /0� 1�� � ���� �� �� R �^ � �� ��� � �^ �� �� ��� �� �� �� �� ��

R� �� ����� �� �� � ������� �� �� R �� ������� NJJ��^ �� �� ���� <������� � ���

�� ,�0� �� ���� �� ��� � TJ^� ����� ���� � �� ,�0 �� TJ^ �� �� ��� �� �� ��

� ��� � ��� +� �� ���� ���� #����� S�I ������� �� �������� ��������� �� ���� �� ,�0

��. �� /0� ���� ���������� �� �� ��� ���� �� �� ������� )� ���� �� �0, ��

�� ( , ��� � ������ �� ��� ���������� ��� �� ���� �� ,�0 �� �� �� �� ���� /0

������� ������ �� 35) �� �� ( 0 ��� � ���� �� ��� ����� ���������� ����

/0� )� �������� �� �� �� �����"�� �� �� ( 0� ������ �� ,�0 �� ������"�� �� ��

( ,� )����� ��������� ��������� �� �� �� /0 ������� ������ �� �0, �� �� 35)

������ ���� ���� � ���������� ��� �� ���� �� ,�0 �� ��� +� �� ���� ���� �� ( 0

�� �� ( , �� ����� �� �� /0� ����� � �� �� � ������ ����� �� ������ �� ������

PS

Page 98: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Aproximation of the Standard Deviation of the BER: 1/4 x sqrt[(max−mean)2+(mean−min)2]

Mea

n B

ER

Approximation of the mean vs. standard deviation plot for the power allocation techniques, Q=K=6

Equal Rate and BERUniform Power AllocationMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

SNR=32

SNR=0

SNR=16

SNR=0

SNR=16

SNR=16

#����� S�R% 1�� � ����� �� ����� ��������� ����,�� ) � '���� �� � ����� ���� ��0 � .

� ����� ������ �� � ������ �������� � H7I #&0�

����� �� ���� ��� ���� � �� /0 �� � �� ��� ���� �� �� ������ �� ��� �����������

)� �� ����-� � ���� � �� ���� � �� �� ����� ������� ���� ���� �� ��� ���� ��

,�0 ������ ��� � ��� ������ ����� ����� ���� ������ ��� ���� �� ���� ,�0�

������ �� ������ ���� �� �� ��� � ������ �� ����� ���� ��� ������ ������ ��

��� ����� �� ������ �� �� ��� �������� #�� ������ ��� � �� �� ����� �������� � ���

����� � <���� R� ��� ������ � ��� ���� ����� �� � ��� �� ������ �� �� �������

�������� ��� �� �� ��[�� ��� �� ��������� �� ��������� ���� �� ������ ����� �� -��

�� �� �� ����������

)���� ���� ������� �� ��������� � �� �� ����� �� � �� ������� �������- ��������

�� �� �������� ������ � ��� �� ��� ��. � ���������� �� �� ����� ������� ��� ���

�� �� ������ &�� �� ,�0*� #���� #����� S�S ����� �� ��� �� ��. �� ����� ��������

�� #����� S�R �� ������ � �� ��� � �� ��������� � �� ,�0� ! �� �� ���� ���� � ���

���� �� �� ������ ������ � /0 ����� ������ ���� J �, � SI �, �� ���� �� R �,� �� ����

�� � �� T ����� ��� ������ (�������� �� �0, ����� �� ������ �� ���� ��� �� ( , ��

������� �� ( 0 �� ���� �� �� 35) �� ���� ��� !� ��� #����� S�S �� #����� S�R� � ��

�� ��� � �� �0, �������� � ��� ���������� ��� �� ������ ����� � �� ��� ��

PR

Page 99: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!+! �� ��� ������ " �� -(��� ����������� 8�� 9-�8:

�������� ���� ��� ����� ����� �� ���� �� �� ���� �� �� � ��% �� ( , ���� � ��

�0, ���� /0� �� �� 35) ��������� �� �� � �� ( 0� )� ��������� ���������� � �

�� � �� �� ( ,� ����� �� /0 � ���� � �� ( 0� ������ ���� /0 � ��������

�� �� �� �� �0,� ���� ������� �� ���� ���� �������� �� �� �������� ����������� ��

� �� ���� ��������� � ��[�� � �� ������ 0������� �� ,�0 � � �� #����� S�R� �� ���� �

�� �� �� � �� � ��� �� �� ������ ����� �� ��� ������� � ������ �� �� ����

����� ��� ���� �� ���������� �� �� �� ������� �� �� ( ,� #�� �� �� ������ � ���

���� � �� ���������� ��� � �������� �� ��������� �� � ������ �� �� ��� �������

��� ���. �� ( 0 �� #����� S�S� #�� ��� /0 ����� �� ��� ���������� �� �� ���� �� ��

������ ���� �� ����� �� �� ������ �� ��� �� ���� �������

��� ��� !��� ������ ��� )(��� �������� *+& ,)�*-

#��� �� �������� ���� �� �� '@< ���� �� �� �� �0, �� �� 35) ��� ���� ����� �� �����

� �� ��� ���� ��������� ���� � �� �������� ����� � �������� ������ ����� ��� ������

��� � �� ���� ������� ��� ����� ��������� � ��������� ���������� ���� ��� ��

�� ���������� �� �5 � !� ��� �� �5 �� ��� ����� ����� �� � �������� �����

��������� ��� ����� S�M� ) ��� ��������� �� ��������� ��� ������ � �� 35) ��

�� �0, �� ������ �� ����� � ���� �� ������ �� ���� �������� �� ���� �� �������� ���

�5 �� ���� �� �� �� � �� ����� ���� ���� � ���� �� ��� ��������� δk �� ����

������ ������ � /0� γak � ����� �� ������ � �� ��� ���� ������ ��� �� �� �� � ���.

γak = γn‖hk‖2,

����� �� ����� hk �� �� k� ��� �� �� ���� �� ���� H� !� ��� δk �� �� ���� � �� �����

��� ��� �� �� ����� �������� �� ��� � �� ������� �������� � �� �W� ������������

!� �� ����� � �� ��� � �� ��� �����-� ���. ����� ��� ���� �� �������� � ��������

�� ����� � �� ����� �� � �� �� � ������ ��� ��� ����� ��� �������� (����� ��

�� ������ �� �� ������ ������ � /0 �� ����� ��

δk =γk

γak

,∀k ∈ K.

!� �� ����� �� ����������� �� �� �� ��� ��� �� ��������� � ���� ������

/0� ���. δk = δ,∀k ∈ K� �� ��� ������� �� ��� ���� �� �� ��������� �

max δ

s.t.∑k∈K

β2k ≤ PT ,

����� �� �� ���� ������� �� ��� ���� � ��������� �� ���� ��� δ�

δ−1 =∑k∈K

‖hk‖2α2

k

, &S�NR*

PM

Page 100: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

�� � ��� � ��� ��$���� /0 ��� ��� ���� ����� ��

γEPSk = δγa

k = γnδ‖hk‖2 = γn ‖hk‖2δ−1

. &S�NM*

��� ����� �� �� ��� ����� �� ����� ��� �� ���� �� ������� � ���� �� �� 35)� ��

�0,� �� �� ��� � �������� �5 �

����� ������� ���-��� �� ��� 0*�4 ��� %3�4 �� ��� %*'

,����� ���������� ������� �� ����� ������ � ��� �� /0 ��� ��� �� �� �������� �����

����� ��������� � �� �� ���� � �"��� #���� �� 35) ��� ��

γUPAk = γn α2

k

K,

������ �� �0, ������� � ��� /0 ��� �� ���� ����� ����� ��

γERBk = γn 1

tr [(HHH)−1],

������ �� �5 �� ���� ����� �� �� �� ����� 2�� ������ �� &S�NM*� !� �� � ����� ��

��� γn �� ���������� ����� � �� ������ ���� �� �� ���������� ��� ��2����� �� �

� � ����� ���� � � � ������� �� ������ �� ����� �� � �� �� .��� ������ ���������

������� ���� �� ������� � ���� ���� �� ����� �� ��������� !� ��� � �� �� �� ���

� � ������� �� �������� �� �� �������� ��� ������ �� �������� �� �� ���� ���� ��

���� ������������ ��� �� ��� ���� �������

�������� �� ��� ����

!� ��� ���������� � � ���� �� �� ��� /0 �� ��������� �� � �� ������ � ��

����� �� �� �� �� K �� X� #�� �� 3$�� ����� �� α2k ����� �-� ���� <��������� �����

���� �� ��� 2(Q −K + 1) ������� �� �������� ����� ��� ����� ���� � �� ������ 1/2

���. α2k ∼ χ2

2(Q−K+1)� �� ��� � �� �� ����� ��

E

{α2

k

K

}=

Q−K + 1K

. &S�NV*

3���� ���� �� ��� ����� ������� � �� ���� ���� ����� � ��� �� 5/.

E

{1

tr [(HHH)−1]

}=

Q−K

K, &S�NP*

������ ��� �� �5 � ��� � ���� �� ������ �� �� � �� δ−1� 3���� ��������� �� � ��-

������ �� ���� � ����� � �� �� ������� �

‖h2k‖

α2k

=hH

k hk

hHk

(I− HH(HHH)−1H

)hk

=hH

k P⊥hk + hHk Phk

hHk P⊥hk

= 1 +hH

k Phk

hHk P⊥hk

, &S�NO*

PV

Page 101: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!+! �� ��� ������ " �� -(��� ����������� 8�� 9-�8:

����� �� ���� H �� �� ���� H ����� �� k� ���� P = HH(HHH)−1H� �� P⊥ = I−P�

)� � �� ���� ��� α2k = hH

k P⊥hk ∼ χ22(Q−K+1)� ������ hH

k Phk ∼ χ22(K−1)� 1�� ����

����� PP⊥ = 0� �� ������ ��� �� �� ������� �� &S�NO* &��� �� ������������� �� ���*

������ �-� � F ����� ���� � YNMIZ ��� 2(K − 1) ������� �� ������� �� ������� ��

2(Q −K + 1) �� ���������� ���. F2(K−1),2(Q−K+1) � 3���� �� �� � ��� ��� �� ��

������� &S�NR* �� ����������� ��� ���� ���� � ��� ��

E{δ−1

}= E

{∑k∈K

‖hk‖2α2

k

}= KE

{1 +

K − 1Q−K + 1

F2(K−1),2(Q−K+1)

}= K

Q− 1Q−K

,

�� � ������� ������������� �� ��� � �� ��� �� 5$' �� �� �� � ��������� �

E

{‖hk‖2δ−1

}≈ Q

Q− 1Q−K

K.

���� QQ−1 > 1 �� ��� � �� ��� �� �5 �� ��� ����� �� ��� �� �0, �� &S�NP*� +�

�� ���� ���� ��� ���� ����� � �� �� ������� � �� K − 1 > 0� �� �5 ��� �� ���

���� ��� �� �� 35) �� &S�NV*� /�� � �� K = 1� ��� �� ���� ������ ��� � ��

��� ��� � ���� ���������� � �� ���� ������� � �� �5 ���� �� �� ������ ��������

������ � ��� �� ��� � �� ����� �� �� ������ �� ������� ��� �� � �� ����������

&�� 35) ���� /0* �� �� �� � ��� �� �� �������� ����� &�� �0,*� ��� ���� � �� ���

��������� �� �� �� �� �������� ����� �� �� �������� ���������� 5���� � �� � �� ����

��� � ��� �� ����� ��� �� ��� 3$� �� ����� ���� ���� �� ��� 5/.� ��� &S�NV*

�� &S�NP*� ��� � ���� �������� �� ��� ��������� ��[��� � �� �������� ����� �� ��

�5 �� �� ������ ��� ������� )��� �� � �� �� ������ � �� ���������� ������ ��

������ �� ������� � ��� �� ���� �� ��� �� 35)� ��� � ���� �� �� � �� ���������

��� �� 35) �� ��� �� �5 � ������ �� ������ �� ������� � ��� ���� �� ����� ��

�� ��� � �� ��� ��� �� �0,� ��� ����� �� ����� �� ����� �� ��� ������ �� ��

��������� ��� &S�NP*�

�������� �� ��� ������ ��� ��� ������

��� ��������� � ���� �� ������� �� �� ������ �� �� �� �� ��������� �� �� �� ������

#���� � �� �� ���� � �� <��� ��� '����� #������ &���* �� �� ������ �� K ������

����� ���� �� ��� ��� F (x) = P (X ≤ x) �� ����� ��

FmaxK (x) = (F (x))K ,

�� ����� �� ������ �� ��� ������ �� � �� �� �� ��� � ���� � �� ��W���� � �� �� ��

������ FmaxK (x) = 0.5� +� �� ���� ���� �� ��� �� �� ������� �� �� K ������ �����

���� �� ��

FminK (x) = 1− (1− F (x))K ,

PP

Page 102: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

����� �� �� ��� ��� ��� � J�M �� ����� � ���� �� ����� ����������� #����������

�� ��� �� <��������� ����� ���� � ��� r ������� �� ������� �� ������� ����� �� ����� ��

�� ���� ��"�� .�� �������

P (r/2, x/2) =γ(r/2, x/2)

Γ(r/2),

����� γ(r/2, x/2) �� �� ������ �� .�� �������� �� Γ(r/2) �� �� ���� �� .��

�������� 1�� ���� � �� ��W���� � ���� �� ��� �� �� ������ �� �� �������

� ��� �� �� �5 �� �� 35)�

#�� �� 3$�� �� ������� � �� �� �� � �� ��� �� ������ xUPAmax �� �������

� ��� xUPAmin �� �� �� �����

P (KxUPAmax , Q−K + 1) = K

√0.5,

P (KxUPAmin , Q−K + 1) = 1− K

√0.5.

#�� �� 5$' � �� �� ���� � �� � �� δ−1 �� ����� ��� �� �� �"���� ��� ��

������ �� ������� � ��� ������ �� � �� �� ����� ���� ‖hk‖2� ����� �� <��� <���

������ ����� ���� � ��� 2Q ������� �� �������� ����� �� ������ xEPSmax �� �������

� ��� xEPSmin �� �� �

P (KQ− 1Q−K

xEPSmax , Q) = K

√0.5,

P (KQ− 1Q−K

xEPSmin , Q) = 1− K

√0.5.

� ���� �� ������ � �������

��� ����� � �� ����� �� ��� �� �� ���� �� �� .��� ������ !� ��� � �� �-� @����" �����

����� �� � � � �� ����� �� �� ��� ����� &#����� N�NM*� �������� ����� �� ��������

��� �� ��������� �� ����� ���� �� ���� ���� �� � �� -�� � ��� �� �� ��������

���� �� ������ �� ������ � ��� � ��� �� �� ������� �� �� �������� ������ !�

��� ���� �� �������� �� �� � �� ��� ����� �� ���� �� ������� �� ������� ���� ��

������� � ���� ����� �� �������� ��� &���� �����* �� �� ���� �� �� � ��

! �� ����� �� #����� S�M � �� �0, ��� �� � ��� ���������� �� �� ��������� ���. ���

����� �������� �� �� ���� ��� &� ���*� �� ��� ������ �� �� �������� &� ���* �� �������

!�������� �� ������ ��� ������ � ��� @����" ����� �������� �� ��$������� ���� ������

����� �� � ��� �� � ��� �� �� ��� �� �������� �� �� ���� ���� ������ �� � ���

��� � ������� ���� �� �������� �� �� ���� ��� ������� ������� ����� �� ��� �����

�� ���� �� �� 35) &�� �� � �� ���*� ����� ��� �� ������ ��$������� ���� ������ � � �� ����

������ � �� � � ��� �� �� ������ �� ������ �� ��� �� � �� �� �0, &���� � �-

�����*� ,����� �� 35) �� �� �0, ��� ���� �� �5 &����� ��� ���*� ����� ��� �� ��

PO

Page 103: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!,! � ��������� �� �� � �� � ���(� ��� ��� � ���

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Percentage of population

Per

cent

age

of th

e re

sour

ce

The fairness behavior of the power allocation strategies

Equal Rate and BEREqual Proportional SNRUniform Power Allocation

#����� S�M% 1�� Q = 20 ������ ��� K = 16 � �� ) � ������ ����� ��� � (*� . ���� ����/) �

�0� .���� �����/) ��� � �*# .�� �� ���/�

�� � � ��������� ��� � ��� �� �� ����� ������ �� ������� � ���� 1�� ��

�5 � ���� � ��� ������ �� � �� ���������� �� �� �������� ����� �� �������

��� � ������� ! ��� ���� �����(�� !� ���� ������

,����� ����� ��� �� ��� � �� �� �������� ����� � �� ��������� ����� ����� �����

���� �� �� �� �������� �� �� �������� �� ���������� ��� <���� N ��� � ���������

#�� �� ���������� �� � �� ��������� � �����"� �� � �� ���������� �� �� -�� �

�������-�� ��� � �� (����� �� 0� &( 0* �� �� (������ �� ,�0 &( ,*� ���

���� ��2����� �� ��� ������ �� � ���� � ����� ��� �������� ���� �� �� �� ������ ���

�� ���� ����� �����"���� �� � ��� ��������� �� �������� �� ���� �������

��"�� ��&���� '�� �� 0�������� 1�'02

'�$���� � � �� �� ����� �� �� ������� ��� ���. YNJRZ� YNJMZ� �� YNJPZ� �� �� �������

���� ��- ����� ����� �� �� ��� ����� �� � ���� ������ �����"��� YSNZ� ) ����� ��� ��

����� � ��������� YNJOZ� ����� �� ����� �� � ���� ������ �� �� ��������� �� ( 3 ��

PT

Page 104: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

��� ������ �� � ����� � �������� ��� �� ����� ��������� ����� �� ������ ��� YNJMZ

�� ���������� ������ ��� ���� ��� �� 1����� �� �� �������� ��� �� )5 ��� � � ��

����� � �� �� ��- ����� ����� ��� �� ������ �� ��� ��� �� )5 ���� �����

����� � �� ����� ��� ���� ��- ����������� /�� � �� �� ����� �� �'()��'' �� ��

����� �� ��������� �� ��� ����� ��� � �� ���� ��� �� �� ��-� ����� ���� ���� ��

���� ������������ ��� � �� ����������� �� �� 0# ������

#�� �� ���� �� ���� �� ��� ���������� ����� ���������� �� �������� �� �� �� ��

������� ����� ���. �� YNJMZ� /�� � ���� � [������ ����� �� ������� ������ <'()

������������ �� ��� � �� ����� �� �� ����������� ����� ��� �� �� ����� ����� �

1���� ������ �� �� �� �� �� ��������� �� �� k� ���� �� �� ��������� �

uk =

(1− BER

c1

)L

β2k

=

(1− exp(−c2

α2kβ2

kσ2 )

)L

β2k

, &S�NT*

�� ������ �� ������� ��� ���. YNJSZ� �� #��� ������ 0� &# 0* �� �� ������� �� ����

� ��� � �������� ,���[�� �� # 0 ������� �� ������ �� � ��-� �� ��������� � ���������

�� � �� ������ ���� � ���� �� �� ����� ��������� ���� ��� ����� �� ���� ����� ����

��� ��� � �� ����� �� � ���� ��� ��������� �� �� �������� �� �� ,�0 �� �� �����

c1� �� � � ������ � �� �� �� ���� � "��� � �� ����� ���� ����� � "��� �� � �������

� ���

limβ2

k→0uk = 0, and lim

β2k→∞

uk = 0,

!� �� )5 �� �� ��������� ��� �� ������ β2k = 0� �� �� �� ��� � �� ������� �� ��

����� ��� � ������ �� � ������ ���� ��������� ���� �� ��� ���� ���� �� ��

���� �� �� # 0� � � �� ����� ���. �� YNJRZ� !� �� ������ ��� �� �� ��- ����� ����� � ���

���� �� �� ��� � �����"� �� ��� �� ��� ����� �� ����� ���� ���� � ����� ����� �� ���

�������� �� �� �� �� ������� �� &S�NT* �� �� ������� ��� �����"��� �� ���� �� �� β2k

����� ���� ������ /0 γ∗k ������

exp(−c2γ∗k)(1 + Lc2γ

∗k)− 1 = 0, &S�IJ*

�� � �� ����� ����� ����� �� �� ������ ����� &S�S* �

β2k =

σ2

α2k

γ∗k = c. &S�IN*

���� ���� c �� ������ �� �� �� �� ������� �� &S�NT*� ���������� ����� ���� �����

���� c ���� � uk �� ������������� ��� t ≤ c� �� ������������� ��� t > c� �� ������� ��

&S�NT* �� ����������� YSNZ� (�������� ��� ���� �������� /�� ���� ������ &/�* ��� ��

OJ

Page 105: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!,! � ��������� �� �� � �� � ���(� ��� ��� � ���

�� ��- ����� ����� ���� ����� �� -�� � �������- �� ������� ������ �� �� ����

������� ����� ����� � ��� ���. YNJSZ �� YNJMZ� ) /� �� ���� ����� �� ���� �� ������� ��

��� �� �� ������� �� ������� �� ��� ������� ������ ����� �� ������� ����� ����

�� ���� ����� YNIZ� 1�� ���� �� ���� ������ /0 �� ������ �� γNE = γ∗k � ! �� ������

� ��� �� ��� ��������� ������ ��� ���� ������ ���� ��� � �� �� ��� ��� ����� �

��� � ��� ���� �� ��� �� �� ��������

���� �� ����� �� �� ���� ��-� �� )5 �� �������� �� ����� ��������� �����

���� �� ����� �� �� �� � ���� �������� ��$������ ��� ������ � ������� �������

��� ���. YNMSZ �� ���������� ������� ����� �� ����� �� ��� � �� �� ��-� �� �� ��������

�� ��������� ��������� �� ����� �� #�� ��� �� ������ ������������ �� )5 ��

����� ������� ���� ���� ������� ������� � � �� ���� ���� ���� �� � ��� ����� !� ���

������� �� )5 ������ � �����"� �� ��� �� �� ���� �� �� ����� �� �� �� � ����� ����

� �� � ��������� �������� ��� � �� ������� )���� ��� �����"��� �������� ��

��$������� ���� �� ������ �� �� ���� ���� �� � �� ������ �� ����� �� ����� ��

������ ��������� ���� �� ��2����� ������� &��� �� �� ����* �� ����������� ������ �

�� ������ �� ��� �� ����������� �������� YSNZ� ����� ��� �� ����������� �������� ��

������������ ���������� �� �����"��� �� �� �� �� ������ ���� �������� �

minβ2

k

−∑k∈K

uk

s.t.∑k∈K

β2k − PT ≤ 0,

−β2k ≤ 0,∀k ∈ K.

)�� ���� �� XX� ��������� YSNZ� �� �� ���� β2k ���� �� �� �� ��

β2k ∈

{0,

σ2

α2k

γNE

},∀k ∈ K. &S�II*

!� �� ����� ���� ���������� �� �� �� �����"��� ��� � ��� � �� ��� ����������

� �� �0,� ����� �� ����� ��� � �� �� ��� ���� ������ /0 ����� �� γNE �� &S�IJ*�

�������� ����� �� ����� �� ������ ����� �� ���� �� ���� ���� ���� � �� ��� �� ��

�� �����"�� �� � �� �� ������ ��� ��� -�� ������� �� ����� ����� �� �� �� ���� ���

����������� !� �� ����� ����� β2k ������ �� &S�IN* �� ���� � �� �� ����� ���� �����

�� � ����� �� σ2γNEtr[(HHH)−1

]� ���������� �� ������ ��� �� �� ���� ���� �� ������

�� ����� ��� �� /0 �� �� /�� γNE � ��

tr[(HHH)−1

] ≤ PT /σ2

γNE. &S�IS*

!� ���� ���� �� ���� �� �� ���������� � �� ����� �� ������ �� �� ���� ���� �� )5

���� � ������ ����� ����� �� ���� �� ������ !� ��� �������� �� ���� ������ β2k ������

ON

Page 106: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

8� #� K = {1, . . . , K}�

:� ����� ���� H �� � � �� �� � � K) ��� ������ α2k = 1/

[(HHH

)−1]

k,k, ∀k ∈ K�

@� �� � �������� �� .@�:@/ � �� '��) �� � �� 6�

;� ����� �) ���� � � �� k∗ : mink α2k) ��� ������ � ���� � ����� �) K = K − k∗�

-� � �� :�

6� ������ � ����� ��� � � �� �� K ��������� � .@�:8/�

1�� � � �� �� �� K) � β2k = 0�

�� � S�I% �� ���3���� �� � #�� �� (����� .�#(/ ��������

�� &S�IN* �� �� �� �� ������� �� &S�NT*� �� �� �� ��� �� k� ���� �� /� �� uNEk = kNEα2

k�

����� kNE �� ������ ���������� �� ���� ��� ���� α2k &���� ����� * �� �� �� ����

������ � �� ���� �� ������ ����� � �� �� ���� � ��� �"�� �� ���������� �� ��

��� �� �� ������ 1�� ���� ������� �� � S�I ������"�� �� ������ � ��� �� �� ������

��� �� �� ����� #���� � ���� � ��� �� ������ �� �� �� ���� �� �� �� ����� �� �� ���

����� �� � ������ �� ���� ��� ���� ����� � ��� ��� R �� �� � S�I� �� M ��[��� &S�II*�

/�� � �� ���� �� ���� �� ������ �� α2k �� �� ��������� ������ ��� �������

���� ��� ����� �� ������� !� ��� �����∑

k∈K β2k < PT ������ �� ����� �� ��������� ��

&S�IN*� ����� �������� ����� ���W���� ������ ��� ����� ������ �� � ����� ���� ��

��� ����� �� �� /� ��� �� ���� ��� � ��� � �� �� ��� ���� �� ��� ����� �� �� ��

� ��� ��2����� �� �� �������

��"�� '�������� ������� �� ���������

��� ��2����� �� ��� ��������� �� � ���� � ������ ����� ��������� �� ��������

�� ������� ������� #�� ������� ���� �������� ������� ��. ,�0����� ����������

�� �� ������ �� ���� �� �� ��������� ���� ����� �� � �� �� �������� ������ �� ��

����������� ������ �� ����� ����� � �� ����� ��� �� ���� ��� �� # 0 �� �������

�������� �� ����� �������� ��� �������� � ������� �� �� �� &�� ��� �� 5���

�W������* �� �� ������ �� ���� ��� ���� ������ �� ����� �� �� �����

)� )5 �������� ��� Q = 4 ����� �� �� ���� �"�� ��� �� �� �� � ����� ���� � �����

K = 4 ���� ������ )���� �� /0 �� �� ������ ������ � �� ��� PT /σ2� �� �� ���� �� ����

J �, � SI �, �� ���� �� R �,� M = 2 ��� �� ����� �� ������ ����� ��� �� ����� ��� ���.

45 X &�� R�4)(* ������� ) ����� ���� ���� ��� ���� �������� � �� �� �� �� ���

�� ,�0� �� ��� �� �� ������ ���� �� � �� ,�0 �� �� �� �� �� �� ����� ��� �� �-� ��

OI

Page 107: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!,! � ��������� �� �� � �� � ���(� ��� ��� � ���

0 5 10 15 20 25 3010

−6

10−4

10−2

100

102

SNR [dB]

Util

ity p

er u

ser

Mean utility for the power allocation techniques, Q=4

Maximum Sum of UtilityMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

#����� S�V% ���� ����� ��� � �� ��� � ������ ����,�� ��� ��� ������

������������ �� ��� � �� �� �� ������"�� �� �� ( 0� ��� � �� ( , �������� � ��� �

����� ����������� �� �� ( 3 ������� �������� �� ������ � �� �� ����� /0 ������� !�

���� �� ������ �� ( 0 �� �� ( , ��� �� �� � � ��������� ���� ������ ������

�� ( 3 -�� ���� �� ��������� �������� �� �� ����� ��� ��������� /0 ��� � ��

����� �� �� ��2����� �������� ����� �� ������� �� �� �� ���

#���� � �� � ��� �� #����� S�V �� �� �� ��� ���� ��� ������ � �� /0� ! �� � �� �

�� �������� ���� �� �� �����"��� �� �� �� �� ��� �� �� ��� ���� � ������� � ��

( 0 �� �� ( ,� ��� ���������� �� ���� �� �� �� �� ���� ��������� ���� �� �������

���� �� ��� ���������� ! �� �� ���� ���� � ��� �� ( 3 �� �� �� �� �����"�� ��� �

�� ���� ����� �� �� ���� ���� �� ������ ������� �������� � �� ����� �� #����� S�P

�� ��� ,�0 ��� ���� ��. �� /0 ��� �� �������� ������� �� � �� ,�0 �� �� � J�M

� �� ���� �� ������ �� �� ������ �� ��� ����������� )� � ��� � �� ��������� �� ( , ��� ��

�� ������ ���������� ����� � �� �������� ��� � �������� � ��� � �� ���� �� �� ( 0

��������� ! �� ������ � ��� � �� �����"��� �� �� ��� �� �� ���� ���� �� ��� �

���� ������� �� ���� �� ��� ,�0� ��� ���������� ��� �� ��� T �, ��� ,�0 �� 10−2� ���

�� ����- �� � ��� '() ����� ���� �� U# �� � ��� ��� �� �� �� ����� ��� ������

� �� ������� �� ������ ������ �� ������ ���. K = Q� �� �� �������� ��� �� ��� �"�� YVVZ�

��� ���� ����� �� �� ��� ������ � ���� ���� K = Q − 1� �� ,�0 �������� �� ����

OS

Page 108: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

10−1

100

SNR [dB]

BE

R p

er u

ser

Mean BER for the power allocation techniques, Q=4

Maximum Sum of UtilityMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

#����� S�P% ���� ��0 ��� � �� ��� � ������ ����,�� ��� ��� ������

�� ��� ������� ����� ��� ������ /0�

��� ������� �� �� ������ ���� �� ��� ������ ���. ������� YNJSZ �� ������ ����

YNMSZ� ��� � ������� �� �� �� ��� � �������� ���� ���� �� ������ ����� ������ �� ������

�� ����� � �������� �� 5��� ��������� �� �� /�� ,���[�� 5��� ������ ���� ����

� �� ���� �� ������� �� ��� �� �� ����� ��������� �� �� �� ������ �� ���� �����

YNIZ� �� �� ��� �� ��� -��� ����� � �� �� ����� �� ������� ����� ��� �� ,�0 &�� # 0*

���������� ������� �� ���� ����� ��� ���. YNJMZ� !� ����� ������� � �� �� �� ��� �

������� �� �� �� �� �� ����� �� �� �� ��������� ��� �� �� ��� �� �W������ �� �� �����

�� �������� ���������� �������� �� �� /0 �� �� �� ,�0 ���� � �� ���� � �� ���� ��

�� ����� � �� � �� �� �W� ����������� ���� �� ������ !� �� ���� ��� ����� ��������

� ����� ������ �������-� �� ������� ���� � ������� �� �� ����� ��� �����

����������� ������� ������ �� �� ������� ���� �� �� �$����� � �� �� �� )5 �� �����

� ����� �� ����� � ����� ����� ����� ��� �� �� �� ��-� #�� ������� � �� ����

������ � ��� �� ��� ����� ������ � �����"� �� ������� �� �� �������

uk = uk − ckβ2k, &S�IR*

����� ck �� ��$���� ���� ������� ���� ��� ��� ����� ��� ������� �� ��� � �������� �� �����

� ������� �� ��� �� �� ���� ��� �� ����� �� �� �� � �������� ��� �� �� �������� � �$��

OR

Page 109: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!0! ������ �������

�� ��������� �� ,�0 ��� ���� ������ �� �� ��� ,�0 �� ����� �� ���������� ����������

����� ��� � �� � ������ �� ������� ���� ck �� �� ���� � ���� �� ����� �����"��

�������� � uk ��� ������ � β2k � �� �� ���� ����� ��� � �� �� ��� �������� � ������� ��

�� )5 �� ����� � �����"� ����� ��� ������� ��� � ���� ������ ������ !� ���� ������

�� &S�IR* �� ������� ��� ������ � �� ����� ����� β2k� ���

δuk

δβ2k

=δuk

δβ2k

− ck = 0,

�� �� �� � ��� �� � �� � �� ����� ����� ���� �� �������� �� �� �������� ���.

β2k = g(ck)� ���������� �� )5 ��� � �� �� ���� ��� �� �� �������� ���������� �� ������

�� ck ���� � β2k ����������� � � ��������� ���� �� )5 �� �� �������� ���������

�� �������� ���� ����� ��� ���� ���� � �������� � �� ��������� �� �������

� �� � �� ����� �� �� � �� ����� ����� �� ������� �� ��������� ������

�������� ��� � ���� ��������� �� ������ �� ����� �� ����� �� �� �������� ��

�� )5� �� � �� ����� � �� ������� ����� ����� �� ����� �� ��� ����� � αk �� ��

������ ������ � �������� ������ ���������

��� � ����� ����

!� ��� ���� -��� �� �������� ����� �� ���� �� ����� �� ���� ����� ��� �� �� ��������

������� �������� ���� �� �� ������� ���� �� ���� �� ������ �� ����� �������

���� �� �� � ��� �������� �� �������� ������� ��� �� ����� ����� ���� �� �� ����

��� ����� ������ �� ����� Q �� ����� K� �� �� , ���� �� ����� �� �������� 4�

��� �� ����� �� �����$�� ��� �� �������� !� �� '() ����� � �� ���� ���������

������ ������ �� Q ����� �� �� ���� ��� ����������� � ��� �� ��� ���. �� �� ��

�� �� ������ ������ �� ����� ���� �� ���� �� Q� ���� �� ��� �� , � ���

�� ��� ����� �� ����� � ���� �� ��� ����������� ��� �����"��� �� , ���� ��

�������� ��� �� ������ �� ����� ��� ���� ������� �� ����� ������ ����� �� ���������

���� ��� �� ����� ��� �� ���������� �� �� ������ �� &� � �� ���� ���� �����*�

@��-�� � �� ������ �� �� ������ ������ �� ������ � �� ���� ����� � ������� �

���� ����� � ������ ������ �� ����� � ���� � �� ������� � �� ����� �� U# �� ����

� �� ����� ���������� ������ YMMZ� ����� �� �� �� ��� � �� ���������� �� �������

���� ��� �� Q ����� �� ������ ���� ����� �� !� �� ������ �� ����� Q �� ������ ��

�� ������ �� ���� ����� K� �� ��� ��� ���� ����� ������ ���. K,Q → ∞� �� ����

��� ζ = QK ������ ������ �� ��� �� R �������� ���� � ��� ������ � �� ������ ��

����� �� �� � ��� �� �0, �������� YMMZ� �� �� ��� �� 35) �� �� ( 0� ���.

limK,Q→∞

R

Q=

log(

1 +PT

σ2(ζ − 1)

).

OM

Page 110: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

1 2 3 4 5 68

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Number of Users

Sum

Rat

e [b

its/s

/Hz]

Sum Rate for the power allocation techniques, SNR=20 dB, Q=6

Equal Rate and BERUniform Power AllocationMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

#����� S�O% 1�� Q = 6 ������ ) ���� �� ��� � . ������ �� � �� ��� � ����� ��������� ����,�� 4

� �0�) � (*�) � �#�) ��� � �#0�

@��-��� �� �������� ������� ��� ���� � ��� � ���� ����� ������ �� ����� K

� �����"�� �� ��� �� ��� �� ����� ������ �� ����� Q� !� �� ������ �� ����� Q

�� ����� �� , �� � �� �� �� ������ ������ �� ����� K� ,������� �� ��� �� �� ��$��

�������� � ��������� �� �� ������ �� ���� K ������ ����� �� ���� ����� � �� ����� ���

��� ���� ����� �� ������� #����� S�O ������ �� ��� ��� �� ��. �� ������ �� ����� �����

���� ����� � ������ �� ���� ��� �� �0,� �� 35)� �� ( ,� �� �� ( 0� !� �� ����

�� ��� �� �� �����"�� �� �� ������ �� ����� �� ���� �� �� ������ �� ������ !� ���

������� � ��� ����� � ����� ��� �"�� �� ����������� �������� ��� � �� ��� ��-�

�� �� ��� ����� ��� M ������ �� �� ��� �� ( 0 �� ��� M �������"� ������ ���

���� � ����� ��� � �� �� ��� � ���� ��� ���������� �� ���������� �������� �� ���� �� ��

��� ���� ����� �� ��� �� ���� �� ����� '�$���� � � �� �� ������� ��� �� ,�0

��������� �� ��� ,�0 ��� �������� � �� ������ �� ����� ��������� ! �� ����� �� #�����

S�T �� ��� ,�0 ���������� ��. �� /0 ��� �� �0,� �� 35)� �� ( ,� �� �� ( 0

��� R�4)( &45 X* ������� ��� ,�0 �� �� ����� � ������� �� �� ������ �� ������

�� ����� ��� �� �� ������ �� ������

!� ����� �������� �� , ��� �����"��� �� � �� ���������� �� �� �� ��� �

����� � ���� ��� �� �������� 4� ����������� �� �� ������ #�� ��� �������� �� ��

OV

Page 111: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!0! ������ �������

2 3 4 5 610

−8

10−6

10−4

10−2

100

Number of Users

Sum

BE

R

Sum BER for the power allocation techniques, SNR=20 dB, Q=6

Equal Rate and BERUniform Power AllocationMinimum Sum BERMaximum Sum Rate

#����� S�T% 1�� Q = 6 ������ ) ���� �� ��0 � . ������ �� � �� ��� � ����� ��������� ����,�� 4

� �0�) � (*�) � �#�) ��� � �#0�

)�������� <���� & )<* �������� ������� ����� ����� ���� �� ������ �� ��� � �� � ���

�� ����������� �� �� �� ���� ���� �� �����"��� �� � �� ���������� �� ��� ����

!� ��� ������� � �� ������ � �� ��-�� ���� �� ����� � �� �� ������ �� �� ��

������ ���� ��� �� �� �������� ���� � � ������ ��� ����� �� �� ���� ����� �� �������

)����� ������� �� ��� � �� � ����� ����� � ��� ��-�� �� ��������� � �� �� �� �� �

�������� �� �� ���� ���. ��� � �������� !� �� ���� �� ����� �� �� ������� ��������

��� �� � �� �� '�� � �� ������� ������� ��������� �������� � �� ��� ������ �� � ��

35) �� �� �0, �������� �� -�� � �������-� ��� ��������� ��� �� ��� � ��������

�5 � ! �� ���� ����� �� ����� S�S � �� �������� ����� �� �� 35) �� ��� ������ ��

� �� �� �0,� �� � �� �5 �������� � ��������� ���������� ���� ���� !� ���

������� � �� �� ����� � �� ������ �� ������ ����� &�� �� ����� ���* �� ������ ��� ��

�0, �� ��� �� 35)� �� �� �5 �� �������� � ��������� ��������

��$�� .�� ������� �� '53 ���������

��� ��� �� �� �� 5�G ������ �� �� � ������ �� ���� �� ��������� � �� ��

��������� �� �� �W� ������ �� �� '@<� 5���� � �� �� 5�G ������ �� �������� ��

�������� ����� � '�� � �� ��������� �� ��� '() ������ ����� ���� �� ����� �����

OP

Page 112: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

8� #� K = {1, . . . , K}�

:� ����� ���� H ��� � � �� �� � � K�

@� ������ α2k = 1/

[(HHH

)−1]

k,k, ∀k ∈ K�

;� �� � �������� .��������� �� � ����,��/ �� #����� @�6�8 � �� '��) �� � �� F�

6� ����� �) ������ � ����� � �� ����� � ��� ������ K ← K − {k∗ ∈ K : mink α2k

}) ���

�� � �� :�

E� �� |K| = ∅) � ������� '�� � �

F� ������ � ����� ��������� ��������� � ��� �� � ������� �� #����� @�6�8) ��� '�� �

�� � S�S% #����� ���� ��� �������

�� ����� K �� ������� ���� �� �� ������� -��� ��� ����� �� ,�0 �� �� ������������

����� �� �� ����� ��� ��� /0 γt� ��� ������ �� ��������� ��� �� 35)� �� �0,�

�� �� �5 ��� /0 �������� �� ��������� ��� ����� ���� ���� ��� ���� � �� ������

����������� ����������

#���� ��� �� 3$�� �� /0 ��� ��� ���� k �� �� ���� �� ������ � γt� ���.

γUPAk = γn α2

k

K≥ γt,

�� � �� ����� �� ����� ��� ��� ���� �� �� �

α2k ≥ |K|

γt

γn, ∀k ∈ K,

����� � �� ������"�� � �� �� �� ����� K � �� �� ������ �� �����"��� +� �� ����

���� ��� �� 5/.

tr[(HHH)−1

] ≤ γn

γt

�� �� �� � ��� ����� �� ���� � ������� ��� �� ����� ����� � �������� �� ���

�������� ���� ����� #�� �� ��� �� 5$' �� �������� �� ��� �������� � �� �

‖hk‖2 ≥ δ−1 γt

γn, ∀k ∈ K,

�� �� �� � ���

��� �������� ����� �������� �� ������"�� �� �� � S�S� ! ���� � � �� �����

&���� N � R*� �� �� �� ������ �� �������� ��� �� �� ���� �������� �� �� ������ &��� R*

OO

Page 113: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

+!0! ������ �������

5 10 15 20 25 303

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8Mean number of served users vs. target SNR, Q=8 antennas, SNR=30 dB

Num

ber

of u

sers

[K]

SNR requirement per user [dB]

ERBEPSUPA

#����� S�NJ% 1�� Q = 8 ������ ) ���� ������ �� ����� � �� � . � #&0 ��,��������

�� ���� ��� ���� ����� �� ������� ���� �� �� �� ���� ����� K &��� M*� ����� � �� �� ���

� ������� �� ���������� �� �� ���� ������ � ��� �� �� �� ��� �� ���������� 1���

�� �� ��� �� �������� �� �� � ��� �� ����� ����� ����� �� �������� ��� ��� P� +�

�� ���� ���� �� �� �������� ���� �� �� � �� ��� �� ����� �� ������ ������� �� ����

�� ����� �� ���� &��� V*� ���� �� )5 ��� ���� �� ������ ������ �� ����� �� ���

����� �� ���� ���� �� ��� ������� �� ������ ���������� �� �� ����� ���� �� ������

!� ����� � �� �� �� ���������� �� ��� ��� �������� ����� ��������� ��

�� ����� ���� �� ��� � ��� �� �� �������� �� � )5 ��� Q = 8 ������ �� ���� ��

������ �� K = 8 ����� �� �� �� � �������� ����� �� /0 �������� �� �� �� � ���

�� �� ��� �� �� ������� ! �� ������ � �� /0 �� γn = PTσ2 = 30 �,� �� � ��

����� ������ �� �� ���� /0 ������� �� �� ��� /0 �� ����� ���� M � SJ �,� #�����

S�NJ ��[��� �� ���� � � ��� ���� �������� � ������� ���� ����� ����������� ��� � ��

��� ������ �� ������ ����� ��� ������ � �� /0 ����������� ����� ��[��� �� ���� �����

�� �� �� ����� ���� ! �� ��� � �� 35) ����� ������� � �� ���� ������ �� ����� ��

� � ������� �� � �� ���������� �� �� ������� �� ������ ������ +� �� ���� ���� ��

�0, ������ �� ������ ������ �� ������ �� �� � �� ���������� �� ��� �"��� � � �� ����

���� ������� #�� �� �� �5 ����� �������� ��� � ��������� �� ���� ������ ����

OT

Page 114: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � +! ��� � ��������� �� ������ �������

���������� ��� ��� �� ���� � ���������� �� �������� ���� � �� �� ��� � ���� ��������

��� ��� ��� ���� �� �� ����� ���� ����� ����� ��� �� �����$ �� YVVZ�

��" '������

���� ����� �� ������ � �� ����� ����� ��������� �� �� ������ ������ ����� �

#���� ����� ������ ������ ��� ���� ����� �� �� � �"��� ������ � �� ���� ��

�������� ����� �� � ����� � �� ��� � ������� � �� �� ������ ��� ������� '��������

�� �� �����"��� �� �� �� 5�G�'@< ������ ��� ����� ������ �� �� � � � � ��� ��

�������� ����� �� �� �� ������ (�������� ���� ��������������� �� �� ���� /0 ������ ���

���� �� ���� �� � �� � �� 3������ 5���� ) ����� &35)* �� �� ������ ���������

� ��� /0 &��� �� �� ,�0* ��� ����� ���� &�0,* �� �� �� ���� ��������� ��� ��

�������� ����� � ���� �� ������� � ����� �� � ���� ���������% �� (����� ��

0� &( 0* �� �� (������ �� ,�0 &( ,*�

)��� �� �� �0, �� �� 35) �� ������� � ��� ������ �� ��� 5��������

/0 &�5 *� ����� � ���� �� � ��������� �� �� �����$ ���� �� � �� �����"���

�� �� �� � ��� �� �� �������� ��������� (�������� �� �������� ����� ���������

��[��� �� ������� �����$ ������ �� �������� ��� �� �� �� �� ����� ��� ��� ����

����� ����� ���������� ) ������� ��������� �� ��������� �� ���� ���� ���� � ��

����� � � ��� �� ���� �� ��� �5 �� ����� � ������� � ��������� ������� ���� ��

35) �� �0,�

#�� �� �� ��� �������� ��� ��� �� �� �������� ������� ���. �� ������ ��� ��

�� �� ������� ��� ,�0� �� ������� � ���� � ��� ���� ��� ������� �� �� ����

������� �� �� ����� ����� ��� <'()% �� ������ ��� �� �� ����� ! �� ����� � ��

��2����� ������� �� �� ����� � ������� �������� �������� � �$��� ���� � �����

&�� ������� �* ,�0 ������� ���� �� ��$����� �������� ������� ��������� �� ��� �

�������� �� ����� ���� ��� ������ �� �� �� ���������� � �� �� �� ������ �� ������

TJ

Page 115: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

������� �

�!���� ��� ��������

!� ��� ������ �� ����� �� ��� ����� � �� ��� �� ������ )� � �� ���� ��� �� � ���

������ �����"��� �� ��������� �� ����������� �� �� ������ )5 ��� ����� ���� �

���� ����� � �� �� � ��� ���� ��� ���� �� �� ��� ���� �� ������ �� ����� ���� ��

������ �� ������ �� ������ !������ �� )5 �� ����� ������� ��� �� �-� ���� ����

��� ������ ��� ������ ���. ���������� �� ����� �� �� ������ �� '@< ����� ����

� ������ ���� )� � �� ���� ������ ���� ����� ����� �� � �� ������ ���� ����� �� ��

�� ����� �� �� �������� ���� �� ���� ���� ���� �� ��� ���� ������ �������������

��� ������� �� ��� ����� �� �� �������� �� ������ �� ����� ������� �� � �

-� ��� ����� �� ��� ��������� �������� �� ������ �� ����� ����� �� �� ������ ��

�� ������ �� ������ (�������� ���� �������� ��������� �� � �"�� �� ���� �� ��������

���� �������� �� �� ������������ ������ �� ��������� ���� �� ����� � �� �����

���� ����� � ������ �� ����� ��� �� ���������� �� �� �������� #�� ������� ��������

���� �� �� ������ �� ��� ����������� �� ����� �� ����� � ���� �� ����� ������ ���

������ �������� �� -�� � �- � �� ���� ��� � �� � ��������� � �� �����

� ������� �� ��� �����$ ������ ���������� �� ���� ���� ���� �� ���� ��� ���� ��

��� ��� �� �� ����� �� �����"�� � �� ���� /�� ������ �������� �� �����������

������� � ��� ����� ��������� �� �� ��� �� ����� ������� ��� ���� ������

�� ����� �� ����� �� �������� �� ����� R�I� #�� �� ���� ������ �� ������

��� $�� ����

��� Q����� )5 �� ��� �������� �� K ���� � ���� ����� �� ���� �� � �� ��

����� �� �� ��� ����� �� �� ���������� 1��� K ≤ Q� ��� �� �� � ���� �������

�� �� �� � ������ �� �� �����"��� ����� ,�0 �� ����� �������� ��� � �

��� �� ����� ���� �� YNJTZ� ����� �� �� ��-�� � �� �� ����� �� �� ����� � ��

�� ������ &�������� ����� YNMRZ� ��� �� �������� �����*� �������� ���� �� ��$�������

TN

Page 116: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

������ ������ �� ����� �� �� ��� ���� �� ���� �� ��� ��������� �� �����

)� � �� �� ������ �� ���� ��� ��� ����� ���� ���� �� ���� �� ���� �� ���� �����

���� ����� ����� �� � �� ������ ���� ����� �� ���� �� ��� � �� ����� ����������� ��

�� ��� ������ � �� ����� �� � �� U# ���������� �������� � �� �����

)��� �� ����������� �� )5 �� �������� �� � �� � � ��������� ����� ����

�� ������ !� ����� ������ �� ������������ ���� �� ����� ������� ���� 4� �� ���� ��

����� �� &���. ,�0* �� /0� ����� � ����� �� �������� � � ������ ������ �� ��� ���

����� �� ����� !� �� ��2����� �� � �����"� �� �� �� �� ������ � ��� �� �����

���� �� �� ��� � ����� �� ��������� !� �� ������� �� �� ������ ����� ���� ��

�� ���� �������� � ������ ����� YNJTZ� ����� � ���� ������ ��� ���� ������ �������

�� ����� �� �� �������� ������ �� ��������� +� �� ���� ���� �������� ���W����

��������� ������� ��� '(� �� ���� ���� �� YNNJZ� YNNNZ� �� �� �� ���������� ��� ��� ����

������ �� �� ������� �� �� ������ ��� � �� /���� �� �� � ��#��� ��� ������ ���

�� � �� �������������� ��������� �� ���� ������� �� � ������ �� �� � ��#�� �������

������ �� ��� ��� �"��� �� ��� �� ����� ������� �� �� � ��� ,�� �������� ��� � ��

������ �� ���� �������� �� ����� �� ����� � ��� �� ����� �� �� ����� �������� � ��

����� �� ����� � �� ������� � � ������ �� �� YNMMZ� /������ ���� ��� �� �� ����� � ��

��� �� ������ ������ ������ �� ��� ����� ���� ���� �� ��[����� �� �� �����

� �� ����� ���� ����� � ������� !� ���� ���� �� ����� ������� �� �� ���� �

�� �� ������ �� ����� ,� � ��� ��������� �� �� ��� ����� ��� � �� ����� ����

�� ������ �� ����� ������� �� ������ �� ������ �� �� �� ���� ���� �� ���� ���W����

�� ����� ������ ���� �$��� ���� �� ����� ������ ���� �� ��-��� ����� �� �����

� �� �����$ ������ ���������� �� ���� �����

���� ����� �� ��� ���������� �� �� ������ �� ������� ��� ������ �� �� ��

����� ������� �� ��� � �� ���� ��� ��������� ��� ��� YNSIZ� ����� �� �����

�����"� �� ��� �� ��� ��� � �������� � ��� ��� ��� �������� ��� �� ������ +�

�� ���� ���� ����������� ������������ ��� � �� (���)�� �� ���������� �� ��

����� �� �� ��� ���� ��� YNMVZ ��� � ���� � �� �� �� ��-� !����� �� ������ � �� ��

��� � ���������� �� ������ � �� �� ��� ������ �� �� ��������� ����� �� ������ � �����

��� ������������ ��� ��� �� � ��������� /�� � �� ������� ��� ������ ���� ���

������ � �������� � �� ��$���� ����������� �� �� )5 �� �� ��� �� �� !� ��� ����

-��� ��� ����� � �� ������ �� ��� ��� ����� &��* �� � ������� �� ���� �� ��

�� ��� �������� � �� ������������ ��� � �� (����"��� �� �� �� 0� &( 0*� �����

�� ������� �� ����� � � �� �� �������� ������ �� �� (����"��� �� �� (������ 0�

&((0*� ��� ������ ������� �� ��� � �� ���������� ����� �� ��������� �� ���������

�� � �������� ��� +� �� ���� ���� ������ ������� �������� �� ��������� ��� �

�� ������� �� ������ �� � �� ���������� YNITZ� !� ��� ������ �� ((0 �� ������� �� � �

TI

Page 117: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

,!&! 8����� �� ��������� ����� � �

������� �� ��������� �� � �� ����� � �� �������� �� �� �������� ����� ���������

�� ������ �� ��� ������� �� �� ((0 � �� ����� ���� ���� � �� ������� ������

��� �� 5��� ���������� YNIZ ���� �� ������ ((0�

��� *������ ��� ������� ����������

,����� ����������� � ����� �������� � ��� �� �� ���� ���� ��� �� ��� ���� U���

#������ &U#* ����� ����������� ��� &S�N*�

yk = αkβksk + wk,∀k ∈ K, &R�N*

�� � �� /0 ��� �� k� ���� &������� ��� ����� ����� σ2 ��� �� ��� ����� ��� ��

����� ��* �� ����� ��

γk =α2

kβ2k

σ2,

����� 4)( ����� � ��� ���� ������� � �� �� �������� ������ �������� ��� � �

�� ������ � � ����� � �� ������� � �� �� �������� �� ��� ����� ��� ���� �����

�������� ��� ���� ���� �� &R�N* �������� �� � �� ������� ����� � ��� �� ������

��� ���� �� �� �������� ������������ !� �� ����� �� .������ �� ,�0 ���������� ��� ��

����� � ��� ��� /0� #�� �� �� ���� ������� �� ����� � �� �������� ,�0

��� 4)( ���� � ����� �� YNRTZ �� �� �� ���� �� ��� �����

BER(γ) ≈ c1exp(− c2γ

2m − 1),

����� m �� �� ������ �� ��� �� �� ����� ���� c1 = 0.2� �� c2 = 1.6� !� �� �����

��� �� �� � ���� �������� �� �� ����� ����� �� �� ���� ������ �� � � ����

���� ����� �W������� ��� ������ ������ � �� �� ������� �� �� ���������� �� �� ���

����� ����� ��� � ������ �� ���� ��� ����� �� ���������� �� ��� �� �� �� � ���� �������

��� �� ������ �� � �� � �� 4� ����������� �� ����� ������ ��� � �� ����

����� � �� ���������� ���������� 0� ���� ��� �� ����� ��������� �� ��

� �� ������ �� ����� �� �� ����� ��� �� ��� � ������ ������� ��� � ����� ��

I � �� �� ���� ������� ��������-� ������ ��� ��� !� � ���� �� ����� ����� ��

������ � ��������� �� �� ����� ��� ��"� �� �� ��� ,�0� !� �� ��� ,�0 �� �� � ���

������ ������ �� ��� ��� ����� ��� ��� ������ ���������

5���� � � �� �� '() ����� ����� ������������ �� ��������� ���� �� ����� ��

�� ����� � ���������� ������ ��� ��� ���� ���� �� �� ����� ����������� ��$���� �

� ���� ������� ������� !� ��� �� ����� ����� �� #����� R�N �� �� ����� � ���� ��

����� � �� ��� ���� ��� �� �� �� � ���. �� ‖hk‖2� �� � �� ����� �� ������� �

����� ����� ��� ���� ��� ����� ���� #����� R�N ��[��� �� ����� �� ����� � � �� ��

TS

Page 118: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510

0

101

102

103

User index

Cha

nnel

pow

er (

linea

r)Channel (single−user and multi−user) and their corresponding assigned bits, Q=20

Square of the Norm of the Single−User ChannelEquivalent Multi−user channel (alpha)

2 6 2 2 4 4 4 4 4 4 4 6 2 6 2

NUM.OFBITS

#����� R�N% 0������ �� ������ � ������ � �� ��� � �� ���� ����� �� � ���� .�� ���� �����/)

����� �� � �,������� ������) αk �� .;�8/) ���� � ����������� .���� ��� �����/� !� ������

�� �� ��� ����� ��� ��� � �� � �� � ����� ��� � �#0 ������� � ���� �� ��� ���� �� �

����� ���� ������ ������ �� �� '() ������� ���. �� α2k� 1���� ��� �� ����� ��� ���

������ ��� ���� � )5 ��� Q = 20 ����� �� K = 15 ����� �� �� �� � ) ������ �����

��� ‖hk‖2 ���� �� �������� � ��� � ���� � �� �� �� ����� �� ��� ����� α2k ����

����� ����� �� ������ ���� ����� �� ��� ���. �� ��� �� �� ����� �� ����� ���� ���� V�

(�������� � �� �������� � �� ����� �� �� ����� ���� �� �� �� ���� ����� ��[���

� �� ��������� ���� �� ����� �� ����� � ���������� ������ ���������� �� �����

������� �� �� �������� !� � ������ � �� �� � ��� ��� ��� ��� ��� ����� ��

������� � �� ����� ���� �� �� � � ����� ���� �� R�4)( &45 X*� NV�4)(� �� VR�

4)(� ��� ����� R�I�R ��� ������ ��� �� !� �� ���� � �� ������� � �� ����� ��� ����

����� �� ����� � αk ������ �� ������ ������ �� ����

��� �� ����� ������� �� �� � �� ������� �������� �� �� )5 �� ����� � ��������

����� ����� �� ������ &�������� ����� * �� ���� ��� !� ��� �� ������� �������� ���������

�� �� ����� ����� �� �� ������ ������������� ����� �� ��������� ���� �� �����

�� �� ����� � ����������� +� �� ��� ���� �� )5 ��� � ����� �� ��� �� &������ ��

��� ��� ����� * � �� ������ +� �� ���� ���� �� )5 ��� � ������ � �����"� �� � ��

TR

Page 119: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

,!&! 8����� �� ��������� ����� � �

���������� ����� ��� �� �� ����� ��� ����� ����� ���������� ��� ������ �� �� (�����

(������ 0� ����� &((0* ������ �� �� �� �� (����� �� 0� &( 0* �������

,�� �� ��� �� ��� � ���� �� �� � ��#�� ������� ������ �� �� ����� � ����� �

���� ��� �� ��� �� �� ��� ������ �� �� ����� � ��� �� U# ����������� �����

��� ���� ������� �� � ��� ����� ,����� ���� ��� ����� �������� �� (������ ((0�

����� ��� �� � ��� ���������� � �� ( 0 �� ��������� �� �� � ��#�� �� �� /����

������ !������ ����� ���� ������ ����� �� ((0 ��� � ���� �� � ���� ���� 5���

���������� ���� �� ((0� � ���� � ���� ����� ���� ���� ������ �� �� ���

�� ((0 ����� ��������� � �� �� ���� ����� ���� (������ ((0 �� ������ � �� ������

��� �� ��� ����� �� ������ �� ����� ������� �� ������ �� ������ � � �� �� ������

"���� ��&���6���� �� ��� '�� �� 3���� 1�'32

���� �������� �� �� ��� ���� �� �� ������� ��� <���� N� �� �� ���� �������� � �������

�������� � �� �� ���� ����� � �� ��� � �� ��� ����� �� �� � ����� �� ��� ����� � ��

����� �� ��� U# ����������� ���� ������ �� ����� �������� � -� ��� ����� � ��

����� �� ����� ���� αk ��� U# ���������� ��[�� �� ��������� ���� �� ����� �

�� ���� ����� � ������� � � �� ���� ���� ���� (�������� ��� -��� �� ��� �������

��[��� �� �����"��� �� �� � �� ����������� ����� ����������� � ���� ���� �� ����

����� � ��� � �� ���� ������ !� �� ���� �� ( 0 �� �� ��������� �%

maxmk

∑k

mk &R�I*

s.t.∑k∈K

β2k ≤ PT , &R�S*

BERk ≤ BERt,∀k, &R�R*

mk ∈ M,∀k, &R�M*

������ ��� � �������� ������� �� �� M �� ������ � �� ����� �� �� ������ � ����� ����

������ ��� 0 &�� ����������*� � ��� M = {0} ∪M� ) ��$������ ��� �� ( 0 ������

�� �� �������� ����� �� � �� ������ �� ��� ��� ����� �� ��� � ������ �� �� ��

� ��� ���� ������� ���� �������� �� �� �������� �� ���� � � �� �� ������

��� ������ �� ���� � ��� ���� �� �� ���� �� ����� � �������� � �������� ����� ����

������ � ���������� �� ����� �� ������ �� ���� !� �� ������ �� ����� K �� ��� � ��

������ �� ����� Q� �� � ������ �� ���������� �� |M|Q� ����� �� �� ��� ���� �

����� ���� ���� Q = K = 6 &RJTV ���������� �� |M| = 4*� �������� ��� ������ � ���

�� K �� Q �� �������� ����� ��� � �� ����� �� (�������� �� �� -��� ���� �� �� /0 ��

���� � �� ���� ��� �� ������ ��� � ����� ���� �� �� � �� /0 ���� � ����

�� ��� � ������ �� ��� ����������� ������ ���� /0� � ��� ����� � ����� �� ��

TM

Page 120: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

8� #� K = {1, . . . , K}�

:� #� mk = maxM, ∀k ∈ K�

@� ����� ������ ���� H ��� � � �� �� K� ������ α2k�

;� ������ β2k ��������� � .;�E/) ��� � � �� ����� PS =

∑k∈K β2

k�

6� �� PS ≤ PT �� |K| = ∅) � ������� '�� � �

E� ������ pk

(mi

k, mjk

), ∀k ∈ K) ���� mi

k � � ������ ������� ��� mjk � ����� ��� �� M�

F� #���� k∗ : maxk pk

(mi

k, mjk

)) ���. � � �� �� � ���� ����� ����) ��� ������ � ������ ��

�� mik ← mj

k�

�� mik ∈ M) �� � �� ;� �� �) ������ � �� k∗ ���� � � �� ����� � �� K ← K − k∗) ��� ��

� �� :�

�� � R�N% �� ���3���� �� � #�� �� 0�� .�#0/�

�� ����� ���� ����� � ������� !� ��� ������ �� ��2����� �� � ������ �� �� �����

�� ���� �� �������� � �� � � ������� ���� �������� � ���� �� ���� ���� ����� �� K

������� Q� ���������� ��� -��� �� ��� � ������ ������ �� �� � ������ ���-�

!� ��� �� ���� �� �� �� ����� � ��� �� ���� ������ �� )5 �� � ������� ��

�������� ����� � ���. ������ �� ����� � �� �� ������� ��� � ��� �� �� � �����"�

�� �� ���������� ����� ��� �� �� ������ ������ ��� �� ���������� �� �� ��������� ����

�� ������ &�����*� ��� ��� �� ����� ������ � �� �������� ��� ��� �� � ������

������ �� ���� � ��� � �� ��� ������ �� �� ���� #���� ��� � �� ������� &R�R*

���� �� ����� ����� β2k �������� �

β2k =

σ2 (2mk − 1)c2α2

k

log

(c1

BERt

), &R�V*

����� �� �� �� �� �������� �� ������� � ��[��� �� ����� ������� �� ����� ����

����� ��� ��"�� 1�� ������ �� � ��� �������� � �� ������ �� � �� �� �� ����

����� � �� ��� �W����� � ��� ����� � �������� ��� ������ �� ������ ��� �� �� ������

�� ����� <������� �� ��� �� ����� ��������� � �� ���� � ������ �� ��� � �-� ���

�� �� ������ ���� �� ������ )������� � �� ����� ��� ��"� &�� ��� ��� ����� * ���

�� k� ���� �������� ���� mik � mj

k� ����� mik > mj

k� �� � �� ��� �� ����� �� �� �����

���� ���� ��� ������ ���� mi ��� �� i� ����� �� ����� �������� �� �������� �

pk

(mi

k,mjk

)=

1

α2k

(2mi

k − 2mjk

)if mj

k ∈M,∑i∈K

2mi

α2i−∑

i∈K2mi

α2i

if mjk /∈M,

&R�P*

TV

Page 121: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

,!&! 8����� �� ��������� ����� � �

firstusers users users

first firstsecond second secondthird third third

#����� R�I% � ����� �� � ���� �� ��������� ��� � �� ���� �����3�����

����� �� �� K ����� �� ����� �� �� k� �� �� ����� �� ����� � αi �� �������

��� �� ����� �� K� !� ��� � �� �� ���� ��� �� �� �� ��� ����� ����� � �� ������

������ �� ���� �� �������� �� ��� �� �� ����� ��� �� ����� � ������� ���� ���� ���

������ �������� ��� ��� � ������� � ������ �� ��� ����� ��� ��"� ��� ��� ���� ��� ��

����� � ���� �������� ������ � �� �������� ������ �� �� ������� �� �� �������� ��

���� ���� �� ��� ���������� 2������ �� ����

��� ( 0 ������ �� �� � R�N �� ������ � �� � ��#�� ��������� �� ����� �� ���

����� ���� αk ����� �������� �� �� �� ���� ����� ������ � �� �������� ��� �� /����

������� ,���[�� �� ( 0 ���-� � �� ���� #���� � ���� � ����� �� ����� ��� �� ������

���� ��� �� M ���� N�R� !� �� ����� ������� �� &R�S* �� �� �� � �� &��� M*� ��

������ �� ������� ����� ���� ���� � ������ �� ����� ��� ��"� �� ����� ���� ���� � �� ��

������� ���� �� ������ �� ��� �� �� �������� �� ������ �� �� ��� �� ���� �����

������ �������� ��� �� ����� ���� ���� ���� ���. �� ���� � ���� ���� ����� ��

�� �� �� �� �������� ��� ���� V �� P� ��� )5 ������� �� ������ �� ��� �� �� �� ����

����� �� �� � �� ���� � ������ � ����� ��� �� ������ ���� ��� � ��� R� +��������

� ����� � ���� �� ���� �� �� �� ���� ����� &��� P*� �� �� ����� ��� ��"� �� ��

�������� ����� �� �� ��� � �� ������ &��� I*� �� � �� ����� �� �� ����� ����

� �� ���� ���� ��� ������ ������� ���� �� ����� ������� �� �� � �� �� �� �� ��

�� ���� ����� �� ���� &��� M*� ���� ������ ������ ���� �� �� �� � ��������� /0

������ �� � ����������� ��� �� ��� ����� �� ������ �� �� �� �"��� �� �� ����� �

"���� ��&���6���� �� ��� ������ 3��� 1��32

!���� �� �����"��� �� � �� ����������� ����� ����� �� � ����� � ��� ����� � ������ �

��� �� ��� ������ �� ��� ��� ����� � 1�� ��� ������� �� � �� ���������� ��

��� �"��� ����� � �� ������� � �� ����� ����� ������ ������� �� ��� ��� !�

�� ����� �� ����������� &�� �� �� ��� ����� ��� �� �������* ��� ����� ���� �� ���������

������ �� �� �������� ���� ��� �� ���� ��� �� ����� �� � ������ ������ �����

��� �� �� � � ��� �������� � �� ������ !������ �� �� �� ������� �� � �� �����"���

�� ������ ���� ��� ������ �� ����� ��� �� ������ ���� � �# � � �� �����

��� �� ��� �� (���) � ���� ��������� ���� �� � ����� �� �� #����� R�I� ������

TP

Page 122: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

8� #� K = {1, . . . , K}�

:� ����� ���� H ��� � � �� �� K) ��� ������ α2k�

@� #� mk = m = maxM, ∀k ∈ K�

;� ������ β2k ��������� � .;�E/�

6� �� � �������� �� .;�G/ � �� �� '��) ������ � ������ �� �� mi ← mj) ���� mj < mi .�

����� ��� �� � �/� ����� �) � ������� '�� � �

E� �� mi ∈M �� � �� ;�

����� �) ���� � ��� � �� k∗ : mink α2k) ��� � ��������� ���� � ����� �) K = K−k∗�

-� � �� :�

�� � R�I% �� ���� ������� 0�� .��0/�

�� ��� ���� �� ����� �� ����� ��$���� �������� ��� � � �� �� ���� � ���� ���� �� ��

��������� �� �� ���� ���� � ������� �� ���������� �� �� ������ ����� #�� �� �� ��� ��

�� ���� ����� �# ���� �� ���� �������� � ��� �"� ���� ������� �� �� ������ ����� 1��

������ �����"���� ��� �� �� ����� ��� � ����� �� XX� ���������� ��� �� �0, �� ��

�������� ������ ����� ��� ������ �� �� ��������� � ������ ���� ��� ���.

maxmk

mink

mk

s.t.∑k∈K

β2k ≤ PT ,

BERk ≤ BERt,∀k,

mk ∈ M,∀k.

)���� �� ������ �� ���� ��� ��� �� �������� ����� ���� �� ����� �� ��

������ �� ���� �������� �� ���� ���� �� ���� �� �� ( 0� ����� ��� � ��� ������ ��

��� �� ������� � �� ������ �� ������ ��� �� ������ �� ���������� �� �������� /��� �

�� ������� � �� ����� ������� �� ��� �������� �� �� � �� ���������� ���� ��

��� �"��� �������� �� ���� �� ���� �� �� ����� � �� �� )5 ���� � ������ ����� �����

�� ������� )������� � �� ������ �� ��� �� mk = m,∀k ∈ K� �� ���� �� �� ����� � ��

tr[(

HHH)−1]≤ PT

σ2

c2

log (c1/BERt)1

2m − 1, &R�O*

����� ��� �������� �� ������ �� ���������� �� ������� �� �� ����� ����� �����

β2k �� &R�V* ���� �� ������ �� ��� �� ��� � �� ������ ,��� �� &R�O*� � ������ ��

�������� �� �� � R�I% ���� �� ������ ����� ��� �� ���� ��� �� ������ ���� N�R� !� ��

TO

Page 123: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

,!&! 8����� �� ��������� ����� � �

������ �� ������� �� &R�O* �� �� �� � ��� � ������� �� ������ �� ��� ��� ������ ��� ���

M� 1��� �� ������ �� ��� �� �� ����� �� ���� ��� ���� ����� �� ����� αk �� �������

�� ���� �� �� �� ���� ������ ��� V� �� ��� �� ������ �� ��� �� �� ���� ����� ����

�� �������� ���� ��� ��2����� �� ��� � ����� � ��� ����� � ������ �� ����� ���

���� �� ������� ���� ����� ��� ��"�� ) �����- �� ��� ����� �� � �� �� �����

������ ���� �� �������� � ������� ��� � �� ��2����� �� ������� �� ����� ��� �� ���

����� ��� ��"�� )� ����� �� � ��� ��� ������ ������� �� ���� ��� ������

"���� ����,�� ��3

!� ����� � ���� �� ������� ������� �� �� ((0� � �� �������� �� ��� ������ �����

����� � ��� �� 5��� ���������� ���� �� ((0� �� ���� � �� ���������� &��

���� �� ������ �� ��� ��� ����� * �� ���� ����� �� �������� ����� ��������� �� ����������

�� ���� ������ ���� �� ������ � ��-� � ���� ������ ����� �� ((0 ��� � ����� ,���[��

�� ���� �� ���� �� ����� �� ������ �� ��� �� �� ((0 �� ���� � ����� 0�� ��� &R�P*�

�� � ��� ����� �� ��������� ��� �� ������ ����� �� �W���� � ��������� )� �� ((0 ����

�� ��� �� �� � � ������ �� ����� ��� ����� ��� ���� ����� ���� �� �������� �����

��������� �� ���� ��� ���� �� ����� #�� ��� �������� �� ���� � �������� ��� ����� �

������� �� ����� ��� ��"� �� �� ������� � � �� ���� ���� �������� ������� �� ��

������ �� ���� � ������� �� ������ ��"�� ���� �� �$����� � ���� �� �� ����� ������� ��

�� � ��� ��� ��������� �� ������ ��� �� ���� ��� �� �� ���� ����� ����� ���� �����

�� �� ����� PT � .���� �� ���� �� �� ((0� ��� ������ �� �� /���� ��������

����� �� �� � ��#��� /�� ������ �� ���� �� ������ �� ���� ������

"���" '�������� �������

/�� � �� /0 �� �� ������ ������ � �� ��� PT /σ2� �� � �� ������ � �� ���� ��

�� ��-�� �� L = 1024 ��� ��� ��� 5�0 �� J�N� ����� �� ����� � ��� �� ��� ,�0�

��� �� � � ����� ���� �� R�4)( &45 X*� NV�4)(� �� VR�4)(�

#��� �� � � �� ��������� � �� �� �� ������� �� �� ������� �� ������� �� �"���

�� �� ����� � ��� #����� R�S ��� ����� � ���% Q = 6 �� K = 5� ������ �� �� �� ���

��� ���� � ��[��� �� ����� ���� αk ��� ��� �� �� ��� ������ (�������� �� ��� ��[�� ��

������ �� ��� ��� ����� ���� �� ��� �� �� ������� � �� ������ ) ��� ����� ��

� �� �� �� �� �� ���������� �� �� ( 0� �� ����� ���� � �� � �� �� ������� ((0�

�� �� ����� ���� �� �� � �� �� ((0� ! �� �������� � �� ((0 ���� ��

����� �� ���� ����� ��� ��"� & � �� NJ ��� ��� ����� �� �������*� ������ ��

( 0 ��� �� �� ������ ��� �� �� IJ ��� ��� ����� � ��� (������ ((0 ����������

�� ((0 �� ��������� �� ��� �� ���� ����� ��� ���� ����� �� �� � ���� ���� ��

TT

Page 124: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

User index

Cur

ve: C

hann

el g

ain

(line

ar)

/ Bar

s: N

umbe

r of

bits

per

sym

bol

MSRModified MMRMMR

#����� R�S% ���� �� ��� �� ������ �� �� ��� � �����3���� �� � �� ��������� ������ )

Q = 6, K = 5� !� ���� ���� �� � ������ ���� αk ��� ��� � ���

������ ���������� �� �� ( 0� (�������� � �� ����� �� ��� ����� � �� ������� ((0

��� �� 5��� ���������� ���� �� ���� � ((0� � ��� �� ���������� �� ���� ����� ����

������� ����� �������� �� ������ �� ��� ��� �� ����� +� �� ���� ���� ���� S �� �� �

������ �� �� ((0 �� �� ������� ((0� ������ �� ( 0 �������� � ���� ��� �� �-�

�� �� �� ����� ��������� ��� ������� ((0 ��� � ���� ���������� � �� ( 0 ��

�� ((0�

��� �� ����� ��������� ���� � �� ������� � �� ��� �� ���� � ������ ���

�� ������ ����� �� ���� � ����� ���������� ���� �� ������ )���� ����� �������

���� ���� ������� ������� �� 3������ 5���� ) ����� &35)* �� ������� �� ���� � ��

����� �� ������� ��� � ���� �� ������ ���. �� k� ���� �� ������� � ��� ������ �� �����

β2k = PT

|K| � �� � �� )5 ���� �� ��� ��� ���� ����� ��� ��� ��� � �� ������� ��

����������� ���� ��� ������ �����"�� �� � �� ������ ����� �� ������ � ���� ���� ����

���� ����� �W������ � �� �� ����� �������� !� �� ���� �� ������ ��������

��� ���� � �� � �� ,�0 ����������� �� �� ������������ �� �������� �� � ��������

����� � �� � R�S ������"�� �� ���������� ����� ��� �� �� ��� ���� � � �� 35) ���

�������� ����� �� �� �������� ������ #���� � ���� � � �� ����� &���� N � R*� !� ��

NJJ

Page 125: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

,!&! 8����� �� ��������� ����� � �

8� #� K = {1, . . . , K}�

:� ����� ���� H ��� � � �� �� � � K�

@� ������ α2k = 1/

[(HHH

)−1]

k,k, ∀k ∈ K�

;� ������ � ����� ��������� β2k = PT

|K| �

6� �� BERk ≤ BERt, ∀k ∈ K �� � ������� '�� � �

�� �) ���� �� � ����� � �� ����� � ��� ������ K ← K− {k ∈ K : mink α2k

}�

E� �� |K| = ∅) � ������� '�� � � �� �) �� � �� :�

�� � R�S% (������ *���� ��������� �� ��0 ��� ���� �

�� ��� ���� �� � �� ,�0 �������� �� ���� ����� ���� ����� �� ����� ��� αk ��

�� �� ���� �� �� �� ���� ����� K &��� M*� ���� �� ������ ��� �� ���� ����� �����

�� ,�0 ������� &��� M* �� �� ���� �� �� ���� &��� V*� /�� � ����� ��� ���� ��

�� �� ���� �� ���� ��� �� ����� �� ����� � αk ��� � �� ��������� ��� �� ��� S

����� ���� �� ��������� ���� ������ +� �� ���� ���� � �� �� ��������� � �� ��

�� �������� �� �� ���� � &���* ���� �� ������ ����� �� �� ���� � � �����������

����������� YPTZ� #�� ��� �������� �� ��� ���� ���� ���� ���� �� �� ����� �� � ��

�������� ��� �� ������ ������ �� ��� ��� ����� � �� � �� ,�0 �������� (��������

�� �������� ����� ���� �� ������� ���� ��� �� ( 0 �� �� ���� ���� ��� �����

�������� �� ����� ����� �� �����������

#�� �� ��� ���� ���� � �� ������ � �� )5 �� Q = 4 ������ �� � �� ������

�� ���� ����� ��� ��� � � �� ������� ������ ������ ������ J �� 4� ����� �� ���

������ �� ���� ����� ��� � � �� K = 2� ! �� ���������� � ��-� ���������� ��������

N ��� ��� ����� R�4)(� ����� 1/2 �� 1/3 ��� ���� �� ������ ��� NV�4)( �� VR�4)(

��������� �� ������ ��� ��� �� ���� � �� ���� ���� �� ������ �� ��� �� R�4)(� ���

��� �$���� �������� �� �� ������ � �� �������� �� �� ��� ������ �� ������ ��

���� ����� �� �� ������ �� ��-� ����������� ���������� �� ��� �$���� ��������

��� ��� � � �� I� R� �� V� ��� R�4)(� NV�4)(� �� VR�4)(� ��������� �� ����� ������ ��

�� ������ ������ � ��� ��� �� ���� ���������� ������ �� ��� �� �� � �� � ��������

�� #����� R�R� ���� � �� ������ � �� ������������ ��� ��� �� � ������� �� ��-�

�� �� �� �� ���� �� �� ������ ��� ��� �� ��������� ������� �� �� ���� �� ���� �

�� ���� ���� �� �� ��� ������ � ������������� ���� �� ��� �� �������� ��"� �� ��

������� ����� �� �� � ������ ���-� ��� <���� V�

#���� � �� ������� �� #����� R�R �� �������� �� ������ �� �� 5�G �� ���� �� ������

NJN

Page 126: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

0 5 10 15 20 25 30 35 400

1

2

3

4

5

6

SNR [dB]

Thr

ough

put d

eliv

ered

by

the

Phy

sica

l Lay

er [c

orre

ct p

acke

ts p

er u

nit t

ime]

Throughput for the bit allocation schemes in comparison with other schemes, Q=4

Exhaustive SearchMaximum Sum RateModified Maximum Minimum RateMaximum Minimum RateBest userUPA, 64−QAMUPA, 16−QAMUPA, 4−QAM

#����� R�R% !������ ��� �� ��������� �� � �� ���� ����� � . � #&0 ��� � �� ��������� ����

�������� � � ������������ �� � ����� � ��) ��� � � � �� � ' �� J�� ����� ������� .;�J��)

8E�J��) ��� E;�J��/ �� (������ *���� ����������

��-�� ��� ��� ��� ��. �� /0� ! �� ����� � �� ����� ������� ��������� ���� �����

���� ���� ������ ��� �� 35) ������ �� �� ��������� ����� � �� �����

���������� ��� ���������� �� �� ( 0 �� � ��� � �� �������� ����� ��� ���� ����

���� ����� ��� ((0 ����� �� � �� ���������� ������ � �� ���� �������� �� ���

������ �� ��� ��� �� ������ ��� ����� �� �� ��� ���� ����� �������� ������

�� R�4)( �� NV�4)(� �� ��� ������� �� �� ������ �� ���� ����� �� �� �� � ����� ��

��� ��� � �� �� ������ �������� �������� ��� �� ������ �� ������ 5���� � � �� ��� ����

� ��� � ��� � ������ �� �� S� �� ����� ���� �� ������ �� �� J�I � �� ���� �� �����

�� �������� �� � ��� � ����� ��� ������� ((0 �������� �� ��� � ��� �� �� ����

�$ ������ ���������� �� ���� ����� � � �������� �� �������� ����� ��� � ���� �

������� ���� ����� �� �� ( 0�

��� ��������� �� �� ���������� �� �� ��������� �� �� ( 0 �� �� ((0 �� �����

������� �� ������� �� #����� R�M� ����� �� ��� ��. �� ���������� �� �� �����

������� �� �� �������� ��� ���� �� � ���� ��� ���� �� �� ������ ��[��� ��$����

������ �� �� /0� ������ ���� J �, � RJ �,� �� ���� �� R �,� ! �� �� ��� � ����

NJI

Page 127: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

,!&! 8����� �� ��������� ����� � �

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.5

1

1.5

2

2.5

Approx. of the stdev of the throughput [correct packets per unit time per user]: 1/4 x sqrt[(max−mean)2+(mean−min)2]

Mea

n R

ate

[cor

rect

pac

kets

per

uni

t tim

e pe

r us

er]

Approximation of the mean vs. standard deviation plot for the bit allocation techniques, Q=K=4

Maximum Sum RateMaximum Minimum Rate

SNR=0

SNR=20

SNR=20

SNR=40

SNR=40

#����� R�M% ����� ������ �� � ���� � . ������ �������� ��� ��� � �� ��������� ����,�� �

��� ����� ��� � �� ������� �� ������ ������ �� �� �� ����������� !� ��� ��

((0 ���� � �� �� �� ���� ���� ����� ��� ������� � ��� ����� � ������ � ��� ��� ��

����������� �� ����� �����$� !� ��� �� ������� �� �������� � ��� ������ �� ��� �

�� ����� �������� �� � �� ����������� (�������� ���� /0 ��� ������ ��� ��

���� ������ �� �� ( 0 ��� ������ � �� ((0� ! �� �� ��� �� ���� � �� ������

�� ��� � �� �� � �� �� ,�0 ������� ���� �� �� � ��� �� ������ ��� ��� ��

( 0 �� �� ((0 �������� �� ���� ���� � ������ �� ������������� �� ������ #��

��� ������ �� ���������� �� �� ����� ������� ���� � "��� � �� /0 ���������

�� ����� �� �� ������ �� �� ���� #�� �� �� ������ � �� �� �� ���� ���� � ���

�������� �����"��� �� � �� ���������� ��� � ������ �������� ������� ������ �� �����

��� � ��� �������� ��������� �� �� ������ � �� �����"����

#�� �� �� ������ �� ����� �� �� � Q = 6 �� ����� � ���� �� ������� �� �� �

�� ������ �������� �� ���� �� �� ������ �� ����� �� �� �� � /��� �� ������ �� ����� ��

���� �� �� �� ����� �������� �� � �����"� �� ����������� ! �� ����� �� #�����

R�V �� ��� �������� ��� ��� ��� ��. �� ������ �� ���� ������ ��� ������� �� ������

�� ����� ���� �� ���� �� ���������� �� �� �������� ������ ������ � ����� ��

������ ���� �� �� ����� �� ��� �� ������ �� ������ �������� ���� K = Q = 6

NJS

Page 128: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 62

3

4

5

6

7

8

9

10

Number of active users

Thr

ough

put d

eliv

ered

by

the

phys

ical

laye

r [c

orre

ct p

acke

ts p

er u

nit t

ime]

Throughput delivered by the physical layer vs. the number of active users for the bit allocation schemes,Q=6, SNR= 20 dB

Exhaustive SearchMaximum Sum RateModfied Maximum Minimum RateMaximum Minimum Rate

#����� R�V% !������ ��������� �� � �� ���� ����� � . � ������ �� ����� � �� ��� � �#0 ���

��0 �� ��������� ������ �� Q = 6 ������ �

�� ���� ���� ��� � �� ���������� ��� �� ���� �� ������� ��� ( 0 ����� ����

������ �� ������ ������ � ��$��� ���� ����� ��� � �� ������� ����� �� �� ����� �����

����� �� �� ���� ������� ����� �� �� ��� ���� +� �� ���� ���� �� ����� �� ��

�������� �� �� ((0 �� ���� �� ����� � ��� ������ �� ��� ������ �� ��� � �� �����

�� ���� ������� �� ���������� ���� ������ �� ��� ������� ((0 ��� �� � ���������

���������� ��� 5��� ���������� ���� �� ((0 �� ������ � ���� ����� /�� �

���� �� �� ������� ������ �� ���� ������� ��� �� ���� ,�0 �������� �� �������� �

���� �� ��� ����� ��� /0� �� �� �������� ( 0 �������� ������ � �����������

��� '������

1���� �� ����� �� � ��� ������ ��� ���� ��� ��� ����� �� �������� �����

������� ��� �� ��� �� ���� ������ �� ����� �� ������ #�� ���� �� ���� ��� �����

���� ����� ������ ������ �� ����� �� ������ �� ����� �� �������� � �� ��� ������

��� ������ �����"��� �� �� ��� �� ������ ��� ������ ��� ��� ����� �� �������

� ���� ������� � ������� ����� ���������� ��� �������� +� �� ��� ���� �� �����

���� �� ������� �� ��� ����� ���� ����� ��� �"�� �� � �� ���������� �� ���������

� ��� �������� ������� +� �� ���� ���� �� �����"��� �� �� ��� �� &( 0* �����

NJR

Page 129: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

,!+! ����������

�� ��� � �� ���������� ����� -��� ���� ��� ����� �� ����� ������ ��� ((0 ��

���� ��� ������� � � �� ���� ������� � �� ��� �� �� ��� ������ ,����� �� ((0

�� �� ( 0� �� ���� �������� ������� ������� �� �� �������� ������ ������� ��

������� ����� �������� �� ���������� ����� �� �� ( 0 ��� ���� ���� ���� ��

���� � ��� �� �� �����$ ������ �� � �� ���������� �� �� �������� ������ ����

������ �� ���� �� ��������� �� �� � ��#�� �� �� /���� �������� 1�� �� ���� ���

���� � �� �� ���� ���� ���� ���� � �� �� � �� ����� �� �� ��������� ��������� !������

�� �����$ ������ ���������� �� ���� ���� �� ����� ���� �� �� 2��� �����"��� ��

�� �-� ���� ���� ��� �� ������ ��� �� �� '@<�

NJM

Page 130: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � ,! 8����� �� ���������

NJV

Page 131: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

������� �

"������� ��� ������ ��� �

���� ������� ��������� #�$%

1�� �� ������� �� ������� ������ ��� �� ��� �� �� �� � ����� �� �� �� � �����������

�� ����� ���������� ���� �� ������ �������� �� ������� �� �������� �����������

������ ��� ���� ����� !� �� ��� ������ ��� �� �������� ����� �� ���� ���� ��� ���

�� �� � ���������� � �������� #�� ������� �� ����� �� ������ � �� ����� �� ��

�������� ����� ������ �� ��� � �� ������ �� ����� �� ����� � ��������� �� ����� ���

+#'(� ���� �� ������ ��� ��� �� ���� ������ ���� ������� �� /5����� ��� ���������

�� ����� ���� �� �� �� � ������ �� ����� �� ��� ����� � �� ���� ������� � ��� �

�� �� �� �"� � ����� ��� ������� �� �� � ������� �� ����� ��� ������� ����� ��

��� ������ �� �� ������� ���� ����� ��� � ������ �� ���� ���� ���� ��� �� ��

�������� �� �� ���� ����� � �� �������� �� �� ��� �� ���� �������� ���� � ��

������ ���� ��� �� ������ �������� �� ���� ���� �� -�� �- � ���� � �� ���������

�� �� ������ ���

!������ ��� ����� �� ��� � ������� � �� � ������� �� ����� ��� ������� �� � ��

�� ���� � �� ������ � �� �� -�� �� ���� ���� �� �� ������ ��� �� ��

�������� ������ �� � � ������ ���� � ���� ���� �� ���� ��� �� ��������� 5���� � �

�� ��� ������ ����� ������ ��� ������� �� ������ ������ ���� �� ������ ��� ���

������ ���� ���� ����� ���� � ������� �� ������ !������ ������ �� �� ��������

����� ��� ������� �� �� ����� ������ ��� ����� �� ������ � �� �������� ��

���� ���� ��� �� � ������� ���������� �� ����� �������� �� �� ������� ��� �� �� ����

��� ������� �� � +#'( ����� ��� �� �� � ������ #���� ����� ����� ����� �

���� �� �������� ���� ���� �� ��������� ����� ������� �� ���� �� �������� �

�� �� ���������� ����� � �� ����� � �� ���� �� �������� ���� ��� ���� �� �������

�� ���� �� �������������� � ������� �� �� ����� � ������ � ������ � ��� ������ ���

NJP

Page 132: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

�� ����� �� ��� ���������� ����� �� � ���� �� �� ��������� �������� )� ��

����� ���� ���-� ��� ������ �� �� �������� �������� �� �� ((0 �� �������� ������

�������� �� ������ �� ���� ��$����� ����� ���� ���� �� ���� ��� �� ����� ����� ��

�� �� ����� �� ��$���� ������� ������� ) ��� ���� �� � �� �������� ������� ��

�� ��� ��� ���� +#'(����� ���� ��� @)/ ���������

��� �������� �� ��� ����� �� �����"�� � �� ���� #���� �� ���������� �� ����� ��

�� ��� ������ �� �� ���� �� ����� ����� ������� �� ����� M�I� ����� �� �����

��������� ������ ��� ���� �� �� ������ �� ��� �� ����� M�S� �� ����� ��$���� ������ �

� �� �� �������� ������ #���� �� /5����� ������ �� �� ��2����� ������� �� ������ ��

��� ���� ���� ����� ������� �� ������� ��� ��$���� ������� �� ���� ����� !� �����

M�R� �� ��� ����� &�� ��* ����� ����� �� ���������� ������ ��� ���� � ����� �����

������� ��� ��������� �� �� �� ����� � ������ �� ���� �� ���� ���� ,����� ���� ������

����� M�M �� ��� �� �������� ������� ��� �� ���� ���� ��� ���������

��� $�� ����

)���� ���� ������� �� �������� ������������ �� ���� � ��� ���� ��� � �� �� �� �

������� �� ������������ ����� ����� ���� �� �������� ��� �� �� �� � [������

�������� � YNJZ� +� �� �� ���� �� �� � ����� ������ ������ �� ����� ����������

YVZ� !� ��� ������ �� ����� �� �� �� )5 �� �� ���� ��- �� +#'(����� 1��� ��� @)/�

���� � YNMPZ� )� �� YPTZ �� �������� �� ���������� �� ���� ������ ����� � �� �����

�� � �� �� ������ )5 �� �� ��� ������� 1�� �� �� � ������ ����� ����

����� ��� ����������� ������ �� ���������� �� ������ �� ����� �� /5����� �� YOTZ�

���������� �� ���� �� �� �� ������ ��� �� ��� ���� �* �� ���� �������� &�� � �������*

�� ��* �� ����������� ������ �� �� ����� ��� ��� ����� �� �����������

!� �� ���� ������� ����� �� � ������ �� ����� K ������� �� ������ �� �����

Q� ���. K > Q� �� �� ������ �� ������ ��� )5 �� �������� �� K ����� ��� ������

�� Q ��� ��� ���������� ����� ��� �� ���� �� ��� '������� (� �� � )����� & '()*

������� �� ��� ������� �� ������������� ����� &�� ������ ��* ������ ,����� �� ��

/5����� ������ YOTZ� ��������� �� ����� �� ������ ��� ���. YOOZ ��� � ���� � �� ��

�� ��- �� '()��'() ����� �� YTJZ ��� � ��������� � �� � �� ���������� ���� �� ��

���������� �� �� �������� ������ !� YTNZ� �� ����� ����� �� ��� � ����� �������� ��

YOOZ � -� ��� ����� �� �� � �� ��� ����������� �� �� ������ �� �� ����� 4� ��

�� ������ &4� * �������� '�$���� � � ������� ������� �� ���� ������� �� ��� �����

��� ���� ������ �� ����� ���� �� �� ������>�� ����� ����� � ���� Q����� ������

��� ��������� ��� ����� ������� �� ���� �����

)� � �� ���� ���� �������� �� ���������� ��� ��� ����� ��� ��������� �

NJO

Page 133: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!&! ����� � ���� � ��

�� �������� � ����� �� ���� �� ��� �� ����� ����������� �� ����� &��

��* ����� YNSNZ� ����� ��� �� ������ ��� ������ ��� ) �� ������ ����� ����������

�������� �� :�� ������ &U#* YORZ� ����� �������� ������ � ���������� ��� ��� ������

� �* ������ ���� ��- ���������� YRVZ� YIVZ� ��* '��� 5��� ������� ����� ����� ��

������ ��� ����� YIJZ� �� ���* ���� ��"�� ����� ��������� ��� ������ ��������

� ��� �� ����������� ���������� YMOZ� '�$���� � � YPSZ� �� ����� ���������� � �

� ������ �� �������� ������������ 1�� U#� �� )5 ����� �� � �� ������� ����� �

��� ���������� ��� ��� Q ����� �� �� ������ ��� ����������

+� �� �� �� ����� ����������� �� )5 �� ������� �� ������������� @�������A

��%� ��� ��� ����������� ,� ����� �� ��� � ������� �� ����� ������"��� &��

�� �� �����"���* ����� 4� ��������� 1���� �� �� � ������ ����� ���������

��� ���� ���� ���� ����� YNJTZ� #�� ������� ��� <���� N �� �� �������� ������ �� ����

�� �� �������� ����% �� �������� ���W���� ��������� ������� ��� '������ (� ��

���� &'(�* �� YNNNZ� YNNJZ� YNNMZ� �� YNNSZ� �� �������� �������� ��� +������ #��������

'������� (� �� � )����� &+#'()* �� ���. YNNPZ� YNNTZ� �� YNNVZ� +� �� ���� ���� �� �����

�� YNINZ ��� �������� � ������ �� ������ �� �������� ������ �� ������ 5���� � � �� YNINZ�

�� @�����<��� � ������ �� ������� �� � � ������"� �� � ������� ����� ���

��� ��� �� ��� �� ����� �� � ����� ������ ��� ��� �� U# ����� ����������

������ �� ��������� �� �� ������ ���� ������ �� ����� �������� ���� � ������

�� ����� � ���� �� ����� ����� ��������� �� ���� ������ ��� � ��� �� <���� I�

#�� �� ���� �� ��� ��� �� ������ �� �������� ������������ ��� �� �� � ������

�� ������� ���� ��� ���� �� ���� ����� ��� ����� ������� ������ �� ���� (��������

�� &��������* ���� �� �� ����� ��� � �� ������� �� ����� � ������ �� ��������

������ �������� �� �� ���� ��� �������� ���� �� ����� �� ��� ����� ��� �� �����

������ ��� �� ����� ����� �������� � �� � �� �������������� � ������� � ������ ��

���� �� �������� !������ ��� ����� �� ������ � �� ����� �������� � ���� �� �

��� ������� �� �� ������ �� ������ +#'( ������

��� ������ ��������

��� ����� �� ������"�� �� #����� M�N� ��� ������� �� �� ������ ��� �� � �������� �� K

����� �� �� �� ��� ������ �� Q ����� ���������� �� � ��� �� �� ������ ���� ����� �

�� �� Q����� )5 ��� �� �� ���� '() ������� !� �� ���� ���� K �� ������ �� Q�

���� �� �������� ���� ���� �� �� �-���� YNJZ� �� ���� ���� �� ��� ������ �� ������

��� ����� � � �� ��������� ����� ������������ ����� ��� ���� � -��� �� ���� � ��

����� � �� �2��� ���������� �� ����� ��� (�������� ����� �� �����"��� ����������

�� ��������� ��������� �� �� ��� ����� �� ����� �� &M�N*� ����� �� ���� � � ��������

NJT

Page 134: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

Scheduling

Signalsfor the

users inthe cell

PerfectCSI

Requirements

Beamforming& power andbit allocation

At mostQ usersper input

N-pointIFFT

.

...

N inputs N inputs

.

.

|Q

.

.

|QQ

antennas

Qantennas

FFTSubcarrierselection

Bitsuser 1

FFTSubcarrierselection

Bitsuser K

FFTSubcarrierselection

Bitsuser k

#����� M�N% ����� ������� �� � � ��� 5� ������ ������ #�� ���������� .�#�/) � ����

*��� .�*/ ��� �� � � �� ��� ����� ) ���. � �������� � �� 1�� ��� ����� � ��� �� � N

��������� ) � �* ������� � 2��� 1������ .21/ ��� �� �����������) ��� � ����� ������� �����

��� �� ���������� !� N ���� �� � �� Q � �� ���� � �11! ����� �� � �1$� � ��� �

� �������� ) ������� ��� ��������� ���� � ����� � ��� ��������� � � � � ���� � �

���������� � �� �� � �* ���� � ������� �������

�� �� ���� ���� � �� ���� ���� �� � ��� ������ )������� � �� N ���������� ���

���� ����� � �� �� ����� Kn � �� ������� �� ���� ��������� n �� ����� ��

y(Kn) = H(Kn)B(Kn)s(Kn) + w(Kn) ∈ C|Kn|×1, &M�N*

������ ��$���� � � &I�R*� ���� Kn ������"�� � �� ���� ���� �� ��������� ��� ���������

n �� ��� �� ����� ������ �� Kn� ����� �� ������ ���� ����� �� ���� �� �� �� �� ��

��2����� �� ��� ������ ��� �������� k ���� ������ ������ � �� k� ���� �� �� �� Kn�

���. �� k� ������� �� y(Kn) (s(Kn)) �� �� �������� &�������* ���� ��� ���� k �� �� ��

Kn �� ��������� n� H(Kn) �� �� |Kn| × Q ���� �� [������ ����� ���� �� n�

���������� �� k� ��� �� ����� ������ �� 1×Q ����� �� �� ����� ���� ��� �� k� ����

�� n� ���������� ���. hTk,n� ���� ��������� ����� ����������� �� ������ �� �� ����

�� #������ ������� �� �� ����� ���� �� �������� �� �� L�� ����� ����� htk �� n

���������� ���. fHn ht

k� ����� fHn ht

k� ����� fHn = [ 1 exp(−j2πn/N) . . . exp(−j2πn(L − 1)/N) ]�

��� ����� � htk �� �������� � �� ���������� �� ������ � -���� �� )5� 1���� ���

�� ����� ��� �� ����� [w(Kn)]k ��� ��������� �� ��� ��� ���� �� ���������� "�������

���� �� .����� ����� ���� �� ��� ������ σ2k,n� )� ��� � �� ����� ��������� ��

������ �� B(Kn) = [b1(Kn)b2(Kn) . . . bK(Kn)] ∈ CQ×K �

)� �� �� ��� � ���������� ��� U# ����� ����������� �� ���� ���� �� &M�N* ��

�� ������� � ���� ���� � ����������

yk(Kn) = αk(Kn)βk(Kn)sk(Kn) + wk(Kn),∀k ∈ Kn,

NNJ

Page 135: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!&! ����� � ���� � ��

�� ����� α2k(Kn) ����� �-� ���������� ���� <��� ���� ����� ���� �� ��� 2(Q−|Kn|+1)

������� �� �������� ���. α2k(Kn) ∼ 1

2χ22(Q−|Kn|+1)� )� ����� �� #����� I�N� � ��� ���� ������ ��

���� � �� � ����� ���� ����� ��� ���� � ����� ������� ������ ��� ���� � ��� �"� ��

����������� ��� ����� � �� ���� �"�� 4)(� ��� ����� �� �������� ,�0 �� YNRTZ

BERk(Kn) ≈ c1exp(− c2γk(Kn)

2mk(Kn) − 1

), &M�I*

����� mk(Kn) �� �� ������ �� ��� ��� ����� �� �� ������ ���� �� n� ���������

�� ���� k� c1 = 0.2� c2 = 1.6� �� γk(Kn) ������ � �� /0 ��� �� k� ���� ���������

n� ���. γk(Kn) = α2k(Kn)β2

k(Kn)/σ2k,n(Kn)� !� � �������� ������� �� ������ �� ��� ���

����� mk(Kn) ���� ����� ����� ��������� �� ��� ����� ����� ��� ����� ���� �� ���

��� ����� ������� �� �����"��� �� � ������� ������ � �� ��� �� ����� ��

����������� ���.

maxN−1∑n=0

∑k∈Kn

mk(Kn) &M�S*

s.t.

N−1∑n=0

∑k∈Kn

β2k(Kn) ≤ PT , 0 ≤ n ≤ N − 1, &M�R*

BERk(Kn) ≤ BERt, 0 ≤ n ≤ N − 1, ∀k ∈ Kn, &M�M*

mk(Kn) ∈ M, 0 ≤ n ≤ N − 1, ∀k ∈ Kn, &M�V*

������ ��� � �������� ������� �� �� M �� ������ � �� ����� �� �� ������ � ����� ����

������ ��� 0 &�� ����������*� � ��� M = {0} ∪M� �� �� ����� �� �� M �� ��� �

������ �� M � ��� �� Kn ����� �� ����� � �� ������ �� �� n� ���������� �� � ��

������ � �� ����� ��� �� ��� ,�0 ������������ +��� ������ ���� ��� ��� ��

������"��� �� �� ����� ����� ���2�� � ,�0 �� �� ������������ ,������� ��� �

��������� �� �������� �� ������ � ����� )� � ���� �� ��� ��� � ������ ������� ��

�� ����� ��� ���������� ��� ����� �� �� � ��� �� ��� � ��� � �� &M�R*� !� ��� ��� ����

���������� �������� �� ��� ������ �� ������� &M�R* �� ������ �� � ����� �����

��� ��������� �� �������� ��� ����� M�R�I� ��� ��� �� �� ��� �� ,�0 ��������� �� ���

��� � ������ � ��� �� ,�0 ��� ��������� �� ���� � �� &M�M*� � ��� ��� �� �����������

�� � ��� ����� ����� �� � ��� � ��� �� ���������� �� ������ '�� � �� ��������� ��

� ���������� �� ��� � ��� �� �� ��� �� ���� �� ��������� ,�0 ������� �� &M�M* ��

������� (�������� � ��� � ��� ����� ���������� ��� �� ������ !� &M�I* �� �������� ���

&M�M*� � �� ��� � ��� � �� ����� ����� ������� �

β2k(Kn) =

σ2k,n

(2mk(Kn) − 1

)c2α2

k(Kn)log

(c1

BERt

), &M�P*

����� �� �� ������� ��� &M�R* � ������ �� � ���� ������ !� �� �� ����� ������� �

�� ����� � �� ����� �����"��� ��2����� �� &M�S*�&M�V* �� � /5����� �� ���������

NNN

Page 136: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

���� �� YOTZ� #�� ��� ������ �� ���� �� �� ������� ��� �* �� �������������� ��������

& ����� M�S* ����� ���� Q ����� ��� ���������� �� ��* �� ��� ����� �� �� ������

����� ����� ������� �� ����� M�R�

��� *�����!��(���� ���������� ���� ����

#���� �� /5����� ������ �� �� ���� �� �� &M�S*�&M�V* �� ��������� ,��� �� ���� ����

��������� �� �������� � ��� �� ����� ��� ������ ��� ��$���� ������� �� ���� �����

$���� 5* ����������� �� ��� ��7������ ������

)� /5����� �� ��������� ���� �� �� � �� ������ � � �� � ���� �� �� ��� ��

�� ����� ���� �� ���� ������ �� ���� ���� �������� �������� � ��� �� ������ ��

���� ��� ) � � ���� � ������ ��� � ������� ������ ��� ������ �� ���� ��� ������ N = 1

����������� K = 10 ����� ������� Q = 3 ����� �� )5� �� S �� � � ���� ��������

������ ��� �� ���������� &M = 4 ������� ����*� ��� � ������ �� ���������� ��

CT =(KQ

)MQ = 7680� !� N ���������� �� �� � �� �� � ������ �� ���������� �� (CT )N �

����� ���� ��� �������� � ���� ���� ���� ��� �� � ������ ������ �� �����������

! �� ����� �� YOOZ �� ����� �� ����� � ������"��� �� ���� �� '()��'()

����� ��� � �������� ������� ��� � !���������� � /���� 0�� & !/0* �� /5����� ���

��� ���� �� �� ��� ����� �� � ��� � �� �� � YOOZ� �� �� /5����� ������ �� ��� ����

���� ����������� �� ����� ����� ��������� �����"���� �� -���� � �� /5����� ���

5���� � �� �� ���� �� �� &M�S*�&M�V* �� � ����� � �� �� �-���� /5����� �� X����-

���� ��� ���� � �� �� /5����� ��� ���������� ����� ��������� �� �������� ��� � �����

�� ����� �� ���������� ��� ��$���� ������� �� ���� ����� ! �� ����� � �� �� �

������ ���� ������� �� ��� �����$ ������ ���������� �� ���� ���� �� ����� � ���

�� �������������� ������

$���� � ��� ������� ���� ��������

#���� ��� �� ����� �� ��������� n� �� ����� � Kn �� ������ �� ����� |Kn| �� ���� �� �� ������ �� ����� Q� ��� �� �� �� � �� �� �� ��������� ���� � �� ������

������ ��� �� ����� ���� �� �� �� Kn� !����� �� ����� �� �� ������ �� ��� �� ��� ���

�� ������ ��� � �� ��� ���� &M�P* �∑

β2k(Kn) ∝∑ 1/α2

k(Kn) = tr(H(Kn)HH(Kn))−1�

��� ��2����� �� � ��� �� ���� m ���� ���� �� �� Kn ���� � tr(H(Kn∪m)HH(Kn∪m))−1

�� �������� #�� ��� �������� H(Kn ∪m) = [H(Kn)Thm]T � ��� � �� ��� � ��� �

H(Kn ∪m)HH(Kn ∪m) =

(H(Kn)HH(Kn) H(Kn)h∗

m

hTmHH(Kn) ‖hm‖2

).

NNI

Page 137: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!+! 8��� ��� (� ��� ������� � ��� ����

3���� �� ��������� �� � ��- ������� �� tr(H(Kn ∪m)HH(Kn ∪m))−1 �� ��� �

tr(H(Kn)HH(Kn))−1 +1 + ‖ (H(Kn)HH(Kn)

)−1 H(Kn)h∗m‖2

‖hm‖2 − ‖ (H(Kn)HH(Kn))−1/2 H(Kn)h∗m‖2

, &M�O*

����� �� ������ � ����� � ��� ���� ���� ������ ��� �� ���� ��������� !� �� )5 ��

������"� �� ������ �� ��� ���������� �� �� ��� ������ �� &M�O* �� �� ���� � ��� ��

�������������� ����� ��� �� �� � ������ )�������� � &M�O*� �� ��� ����� ���. � ���

������ ‖hm‖2� ���� � ���� �"� �� �� Kn� �� ��� �� )5 �� ������ � � ��� �� ���

�� ���� m ���� � &M�O* �� �������� ��� Kn ������ Q ������ ��� ���� ���� �� O(|Kn|3)�� �� ������� �� �� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ����� ���� �� ���������� ���� ���

������ ������ �� ������ ���������� ���� ���� �������� ��������� �� ���������

$���� .������ � ������ ���� ��������

.���� �� ���� ������ ���� m� �� ���������� �� &M�O* �� ������"�� ���� �� ����� �����

h∗m �� ������� � �� ���� �� H(Kn)� � ��� H(Kn)h∗

m = 0� ����� 0 �� � �"���� ������

���� ���� �� ���� ��W�� � ���� �� ����� ������� �� ������ � ����� �� � �� �

�� �� ������ ����� ����� �� � ������� � ������ � � �� ���� �� H(Kn)� #�� ���

�������� �� )5 ���� ������ ��� ��������� n �� ���� m ���� �

m : minm‖H(Kn)h∗

m‖2, &M�T*

��� Q ����� � Kn� ) ����� ��� ���������� ������� ���� ���� � O(|Kn|)� � ����

��- �� ����� ����� ��� ���� ����� ��� � �� ��� ��� ��� ���� �� ����� �� &M�T*� )�

� ������ ���� � �� � ���� �� ������ )����� � �� ������ � �� ������� �� Kn �� ��

m� ����� �� � �� �� Kn ���� ����� �� ������ #�� ��� ���� �� �� � ����� �� ��

����� ������ �� ������ � �� �� �� ������� ����� ��� �� ����� ��� +�� �� ��� ����

H(Kn)hm �� hT1 hm + hT

2 hm �� �� ����� ���� +� �� ���� ���� �� hm = h2� ��� H(Kn)hm

������� hT1 hm +‖hm‖2� �� ������ ��� �������� �� )5 �� ���� �� ������� � �� ��

H(Kn)hm �������� � &M�T*� ���������� �� hT1 hm +‖hm‖2 < hT

1 hm +hT2 hm� ���. ‖hm‖2 < hT

1 hm�

��� �� ������ hm = h2 ��� � �� ��������� ����� �� �� ����� ���� /������ ���� � ��

� �� � �� ���� ����� ������ �� ����� ��� � ��� �� ��� ����� ������ ����� ��� �

������� �� �������� ����� � ������� ��� � �$��� ����� ���� �� ������ �� ����� �� �������

$���" � ������ -�� �8���� ���� ��������

1�� �� ��� ���� ���� O(|Kn|)� �� ���� �"�� �� � ������ �� �� ����� ������ ����

����� �� �������� � ������� �� ��� �� ������ ��� YNSNZ� !� �� ������� ������ �� ����

������ �� �� ���� ���� �� YNMOZ� ����� ������ � �� �� � ���� ���� ���������� ������

�� ������ ��� ��� ���� ���� � �� /0 ����������� �� ������� '�$���� � � ��� �����

NNS

Page 138: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

YNMOZ �� ���� �� ������ /0 ���������� �� ���� �� ������ �� �� �� � �������

#�� �� ����� ������ � �� �� /0 �� ��������� �� YNMTZ � � ����� ��� �� ������ ����

! �� �� ������ � �� ���� �"�� �� � ������ �� �� ������ �������� � ������

�� ������ ���� #�� ��� �������� ����� ��� � �� ����� � hk ���� �� ����� �� Kn ��

������ �� H(Kn)� !� ����� ��� �� ��� ������� � �� ��� ���� &R�V* �∑

k∈Knβ2

k(Kn) ∝∑k∈Kn

1/α2k(Kn) = tr(H(Kn)HH(Kn))−1� ���. �� ���� ����� ������� �� �� ������� �� ��

���� H(Kn)HH(Kn)� ����� �� ����� ��� �� ��� �� ��� ���� �� �� ��������� �

tr(H(Kn)HH(Kn))−1 =adj(H(Kn)HH(Kn))det(H(Kn)HH(Kn))

,

����� adj(·) ������ �� ���� �� �2����� �� � �� ������ � �� �� �� ��� ��� � ��

��������� �� �� ���������� <������� �� ������������ H(Kn) =[HT

x HT]T� �����

Hx = [h1h2]T ������ �� ����� � �� ������ ���� � ���� "���� �� ���� &�� �� �� �� ����*

�� H �� �� ����� ���� �� ���� ������ 3���� ��������� ���� � ��- �������

det(H(Kn)HH(Kn)) = det(HxHHx )det(HHH − HHH

x (HxHHx )−1HxHH),

�� �� �� ��� �� �� ���� ��� �� J� ��� �� �������� ��� � �� �� J� ! �� �� ������� �

det(HxHHx ) = ‖h1‖2‖h2‖2 − |hH

1 h2|2 = ‖h1‖2‖h2‖2(1− c21,2), &M�NJ*

����� c1,2 = |hH1 h2|

‖h1‖‖h2‖ �� �� ������) �� � ������ ������ h1 �� h2 ������ �������� ��

�� �� ���� �� 0 ≤ c1,2 ≤ 1% �� ���� ����� ������ �� h1 �� h2 �� ������� � ������ ��

����� ����� ���� h1 = h2� ���������� �� ������ �� ���� � ����� ���� ����� ��� ���� �

����� ������� �� &M�NJ* 2������ �� ��� �� �� ������) �� � ������ c1,2 � �������

�� ��� ��� �-� ���� ����-� �� ������%

• 1�� Q = 2 ������ �� ��� c1,2 ��[��� �� ������� �� �� �� � ������ h1 �� h2�

• '�$���� � � &M�T*� �� ���� �"��� ���� �� c1,2� ���. ‖h1‖‖h2‖� -�� ��� ����� ����� ����� � ���� �� ���� �� ������ �� ��� �� � ��������� �� �� � �� �� ���

������� ���� �� ����� ������� )� � ���� �� �� h1 = ph2� ����� p �� �� � ���

����� ���� �"��� hH1 h2 = p‖h1‖2� ����� �� �������� �� �� ����� p� !� ��

���� �"��� �� ��� ����� c1,2 = 1� �� ���� ������ �� ������ �� ��� �� � �� p�

• ��� ��� c1,2 �� �� �� ��������� �� �� ����� i�j ��� ������ ci,j � ������ ��

�������� ��� � �� J �� �� �� ���� �� �� ���� H(Kn) ���� �� ����

) ���� ������ ��� �� ���� �� �� ����� ��� K = 2 ����� �� Kn� ���. k = {1, 2}� �����

����� � �� ��������� � hk� �� �� ������ �� H(Kn) = [h1h2]T � �� �

det(H(Kn)HH(Kn)) = ‖h1‖2‖h2‖2 − |hH1 h2|2, &M�NN*

NNR

Page 139: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!+! 8��� ��� (� ��� ������� � ��� ����

8� #� n = 0� !� � �� ��� ��������� n ��� �������� �� Kn) ��� � ���� �������3���

:� �� n = N − 1) � ������� '�� � � ����� �) �� n← n + 1�

@� #���� k : mink ck(Kn)� ��� � �� k � Kn) ���. Kn ← Kn + k�

;� �� |Kn| < Q) �� � �� @� ����� �) �� � �� 8�

�� � M�N% ( �� ��� ����� �� �� �� � ����� �������

�� � �� ��� �� (H(Kn)HH(Kn))−1� ����� ��������� �� ���� ����� � � �� ���� ����� ��

tr(H(Kn)HH(Kn))−1 =‖h1‖2 + ‖h2‖2

det(H(Kn)HH(Kn))=‖h1‖−2 + ‖h2‖−2

1− c21,2

, &M�NI*

����� �� � ��� ���� � ���� �������� ������� �� ��������� �� (‖h1‖‖h2‖)2� �����

lim‖h1‖→∞

tr(H(Kn)HH(Kn))−1 =‖h2‖−2

1− c21,2

&M�NS*

����� �� ������� �� h1 �= h2� ��� ��� ������ ������ �� �� ��� �� � �� �� ��� ‖h2‖ → ∞�

�������� �� ��� ������� �� ��� ���� h1 → h2� �� ����� �� � ���� c1,2 → 1� � ��� ��

limc1,2→1

tr(H(Kn))HH(Kn))−1 =∞. &M�NR*

���������� � �� ���� ����� � ����� ���� ����� ������ ���� �� ��� "��� �� ���� ����

�� ����� �� ���� �� ���� ����� ����� � ������ � ��� ������ ��� ���. YOOZ� �����

������� ���� �� 2����� �� ��� �� �� �� � ������ � ��� �� ����� ��� �� �����������

1�� �� �������� ���� �� �� ���� ���� ��� ��������� �� ���� ���� � �� ����

������ � ���� Q ����� ��� ���������� �� � �� ��� ��� � �� ������ ���� ����� �

�� �� '() ������� ��� ���� �"��� ��������� ���� �� ��� ���� ����� ����������

��� �� �� Kn �� ��� ����� ����� �� )5 �� � �� ���������� ��� ���� �� Q �����

���� ���� ��� ���������� #�� ��� �������� �� ������� ��� �� ����� ���� k ��� �����

Kn �� ������� ����� �� ��������� �� �� ������ ���� �"�� �� � ������ ���� �� �����

�� Kn ������ � �� �� ��� � ��� �"�� �� ����������� ���.

ck(Kn) = maxk′∈Kn

|hHk hk′ |

‖hk‖‖hk′‖ ,∀k.

��� ��������� �� ������"�� �� �� � M�N� #�� ��� ���������� �� )5 �� ��� �� ����

����� ������� ������ ������� ��� ���� �� ����� � �� ���� ���� ���� �

� ���������� ��� ��� S� )� ������ �� ������ ��� �� �� ��� � ��� ����� �� �����

����������� ���� ��������� �� ������ ��� Q ����� ���� �� ����� ��� ��������� n� ��� ���

NNM

Page 140: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

R� 1��� ��������� �� �� � �� )5 ����� �� ��� �������� ��� �� ��� ���������� ���

��� I� 1��� �� )5 �� Q ���� ���� ����� ��� ���������� � �� ������� �� �� ������

) ����- �� ������% �������� � &M�O*� �� ���� �"��� �� ��� �� �� ���� �� �� ����� �� ����

��� ������ ‖hk‖2� ����� �� �� ��� ��������� ��� ����� �� �� �� �� �����

��� *�����!��(���� ���� � ��� �������

!� ��� ������� �� ���� ��������� �� ��� � �������� � +#'( �� �� (����� ��

0� &( 0* ��� ���� � ������ ���� ���� �� �� �������� ������ ������ ��� ���� �����

�������� )������ �� �� ������� �� �������� � ���� �� ���� ���� ��� ������

$�"�� ����� ���� ����� #������ ��&���� '�� 3��� 1��'32

! �� ���� ���� ���� � �� �������������� �� ����� �� ���� ��$������� ���

������ � ������ �� �������� �� ������ ���. �� ����� � ����� ���� �� ����� �

�� ���� ����� � ������ ��� &��� #����� R�N*� !� �� ���� �������� ��� ����� ������ �� ��

���� �� �� �� ����� �� �� )5 �� � ������� �� �������� ����� � ���. ������ �� ����� �

�� �� ������� !� �� ���� �� � ��� �� �� � �����"� �� �� ����������� ��� ���

�� ����� ������ �������� ��� �� �� ���� � ������������ �� ����� ������ �� ��

������� �� �� ����� �� �� ���� � ���� �� ����� ������ �� <���� N� ��� � �� /����

�� �� � ��#��� ��� ������ ��� �� � �� �������������� ��������� �� ���� ������� ��

� ������ �� �� � ��#�� ������� ������ �� ��� ��� �"��� �� ��� �� ����� �������

�� �� � ��� 1��� �� ������ �� ��� �� � ������� ���� ���������� �� ����� �� ���������

YNIJZ� 1�� �� �� � ������ � �� �� ������ � � �� ���� �� � ��� �������� ����� ��

��������� ���� �� ����� � �� ����� ���� ����� � ������ �� ����� � ��� �� ���� ���

���� ����� ���� �� ��� ���� ����� ���� ������� ������ �� � '() �������

5���� � �� ���������� �� �� ������� �� ������ �� ��� ��� ���� k ��������� n ��

mk(Kn)� ����� ��� �� l�� ����� ������ �� ������ � mjl (Kn) ����� �� mi

l(Kn)� �����

mil(Kn) > mj

l (Kn)� ����� �������� &R�P*� �� ����� ����� �� �� ������ �������� � �

pl,n

(mi

l(Kn),mjl (Kn)

)=

σ2

l,n

α2k(Kn)

(2mi

l(Kn) − 2mjl (Kn)

)if mj

l (Kn) ∈M,∑k∈Kn

σ2k,n

2mk(Kn)

α2k(Kn)

−∑k∈Knσ2

k,n2mk(Kn)

α2k(Kn)

if mjl (Kn) /∈M,

&M�NM*

����� �� �� K ����� �� ����� �� �� l� �� �� ����� �� ����� � αi �� �������

��� �� ����� �� K� +� �� ��� ���� �� mjl (Kn) ∈ M �� ����� ����� ����� ����� � ���� ��

�������� �� �� ����� �������� �� �� ��� �� mil(Kn) �� mj

l (Kn) ��� ��� ����� � ��� ��

���������� &R�V*� +� �� ���� ���� �� mjl (Kn) /∈ M� ��� �� � �� �� �� �� ��� �����

������ ���� �� ���� ������� ���� �� �� �� ���� ������ ��� �� ���� ����� � α2k(Kn)

NNV

Page 141: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!,! 8��� ��� (� ��� ��� � �� �� ���������

8� !� � Kn � ������� �� � � ��� ��������� � �������

:� #� mk(Kn) = maxM, ∀k ∈ Kn, 0 ≤ n ≤ N − 1�

@� ����� H(Kn) ��� ������ α2k(Kn)�

;� ������ β2k(Kn) ��������� � .;�E/) ��� � ��� � �� ����� PS =

∑N−1n=0

∑k∈Kn

β2k(Kn)�

6� �� PS ≤ PT �� Kn = ∅, 0 ≤ n ≤ N − 1) �� '�� �

E� ������ pk,n

(mi

k(Kn), mjk(Kn)

), 0 ≤ n ≤ N − 1, ∀k ∈ Kn ��������� � .6�86/ ) ���� mi

l(Kn)

� � ������ ������� ��� mjl (Kn) � ����� ��� ��M�

F� #���� {n, k} : maxn maxk pk,n

(mi

k(Kn), mjk(Kn)

)) ��� ������ � ������ �� �� mi

k(Kn) ←mj

k(Kn)�

G� ���� ��� ����4 mik(Kn)← mj

k(Kn), ∀k ∈ Kn�

H� �� mik(Kn) ∈ M) �� � �� ;� �� �) Kn ← Kn − k) � mk(Kn) = maxM, ∀k ∈ Kn) ��� �� �

�� @�

�� � M�I% #��������,����� �� ���������4 ��#0 ��� ���0�

������ ����� !� ���� ���� �� ��� ��� � ��� �� ����� � ������� ���� ���� ��� ������

�������� �� �������� �� ���� ���� �� ��� ���������� �� �� ��� ������� 2������ �� ����

��� (( 0 ������ �� �� � M�I �� ���� �� �� � ��#�� ��������� �� � �� ���� ��

�� /���� ������� ��������� �������� �� ��� ����� ���� αk ������ � ��� ��������

�� �� �� ���� ����� ������ �� � � ��� ��� �� �� (� ��<����� (����� (������

0� &(((0*� ��� ����� M�R�S� /�� � ��� �� ����� ��?���� �� ����� ��������

,���[�� �� (( 0 ��� ���� � ����� �� ����� �� �� �� Kn ������ �� �� ��������������

� ������� ����� ��� �� ������ ���� ��� �� M ���� I�R� !� �� ����� ������� ��

&M�R* �� �� �� � �� &��� M*� �� ������ �� ������� ����� ���� ���� �� ������� ���� �

������ �� ����� ��� ��"� �� ����� ���� ���� � �� �� ������� ���� �� ������ �� ��� ��

�� �������� �� ������ �� �� ��� �� ���� ����� ������ �������� ��� �� ����� ����

���� ���� ���. �� ���� � ���� ���� ����� �� �� �� �� �� �������� ��� ���� V �� P� ���

)5 ������� �� ������ �� ��� �� �� �� ���� ����� �� �� � �� ���� � ������ � ����� ���

�� ������ ���� ��� � ��� R� +�������� � ����� � ���� �� ���� �� �� �� ���� �����

&��� T* �� ������������� ���������� �� �� ����� ��� ��"� �� �� �������� ����� ��

� ��������� �� �� ��� � �� ������ &��� I*� ��� ������ ������� ���� �� �����

������� �� �� � �� �� ���� �� �� �� ���� ����� ��� �� ���������� �� ���� &��� M*�

NNP

Page 142: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

$�"�� *���� �����

)� ���� �� ������ �� ���� � &M�S*�&M�V* �� ������ � ���� ��� ����� � �������� ��

5������ � '���� &� * ���� �� ������ �� �� ������ � ���������� �� ��� ���

����� ��� �� �� ���� ����� �� ����������� !� ����� �� �� � �� ����� ������� �

&R�S*� ��� ��������� ����� ������� ��� � �� �������� � ��∑

k∈Knβ2

k(Kn) ≤ PT /N, 0 ≤n ≤ N − 1� !� ���� ���� �� ��� � �� � �� � ��� ��� ��������� �� �� ������ �� ����� K ��

��� �������� ����� �� �� ����� �� � ��� ������ ���� �������� ���� ����� ��� � ��

���� ��� ���������� ���. �� �� PT /N ��� � �� ����� ���������� �� ���� ���� � �����

����� ������ �������� ��� ���� �� ������ � �� ������� ��� ��������� �� �� �� �����% ��

� �� ��������� ��� ��������� ������� � ��� � �� � � ����� �� PT /N +Pn� ����� Pn

����� �� ����� �� ������ ����� ��� �� ���������� ������� �������� � � �� n�� ����

����� �� �� �� � �� ������ &�� ���� ���� ��* �������� ��� �� ���������� �� ���� �

��- (!(+ ����� �� YNIRZ� ������ � ������ ����� ������������ ������ �� �� ���� �����

�� ���� �� ������ ����� ����� � �� ��� �W����� +�� �������� ������ �� �� ���� ���� �

�� ���� �������� ���� ���� ����������� ��� ����� M�M ��� ��� ��

��� ��� ������ ������� ��� �� � �� � �� ��� �� ++'/� ����� ��� � ��� �� ���������

���������� � &�� ������� �* ��� ��� ��������� �������� � �� �������� ����� ������ )�

& ��* �������-� �� ���� �� ������ �� �� ���������� ���� ����� �������� ����� �� ���

����� ��������� �� �� �� �� ���� ����� �� ��� �� ��� �� �������� (( 0 ���

�� ����� ��� �� ����� ��� ��������� ��� ����� ������ ) ����� �� ���� �� ����� ��

������ ���� �� ���� ��� ������ ���� �� )5 � ������� �� ��� �� ������ #��

�� ���������� �� ����� M�M� ����������� ������������ YNMVZ �� �� �� �����������

1�� �� �� � ������ � ���� � �� ��� �������� �� ���� � ������ �� �������� /0�

�� ���� �� �� &����* �� �� ����� ���� +� � �� ���� ��� �� ��� ����� ����� � ���

maxk ‖hk‖� �� ������ �� ��� ���������� ��� ���������� ��� �� ������ ������ �� ��� ���

����� �������� �� ,�0 �������� ����� �� ����� ����� ����� � �� �� -�� �� ��

$�"�� 3����� ��� ����� ����

!� b = 2 ��� &S ������� �� �� ����������* �� �������� � ����� �� ������� ����� ���

� �� ������ �� ������ � ������ �� bT = Q × N × b ��� �� ������ ��� ���� ��� �����

����� ����� ���� �� �� ��� ���� �� )� � ���� �� �� Q = 3 �� N = 64� ��� bT = 384 ��� ��

������ ��� ���� ���� /�� � �� +#'( ����� � ������ ������ �� Q×N×Mmax = 1152

��� �� �� ������� ����� Mmax = 6 �� �� ������ ����� ��� ��"� �� ��� ����� � ���� ����

���� �� ������� �� �� ����� ������ � ���� �� ������ �� ������� +#'( ����� �

�� ��� �� ���� ���� � ��� �"� �� ���������� �� �� ������ ���������� � �� ����� �� ���

��������� � ��� ����� �� ���� � ������� � ������ �� ���� �� ���� ����

NNO

Page 143: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!,! 8��� ��� (� ��� ��� � �� �� ���������

�������� ���

) ������ � ����� �� � ��� �� ��� ����� �� �� ��� ������ �� ��� �2��� �����������

����� �� �� �� � �� ��������� �������� �� YTRZ �� ���������� ������� ����� �� ����� �� ��

����������� '�$���� �� �� ����� �� ������� ���� �� � ������ �� �� ���������� ��

������� ��� ��� ���������� ������ �� �� )5 ����� �� ����� �� ���� ����� �� ��

����� ��-� � �� (( 0 ��������� �� ��� ��������� ����� �� �� )5 �� ��� ��

��� ���������� � Nb �2��� ����������� ���������� �� �������������� �� �����

�� �� ���� ���� ����� Nb ����������� �� �� ��� ��� ���� ��� �� ������� � b′T = bT /Nb�

#� ����� �� �������� ���� ��� �� Nb = 2� ��� b′T = 192� �� �� Nb = 4� ��� b

′T = 96�

+��� ���� +�����>����� �� ��� +����� /��� @+++/A

)����� ����� � ������ �� ���� ��� �� ������ ���� �� Q �� � ����� � ��� ����

������ ��� �� ����� �� ��� ���������� ! ���� ����� � �� �� ����� ��

����� ��� �� ��� �� Q ��[��� �� � � ����� ������ !� ��� �� ����� �� ��� ������

��� �� ����� � �� ������� � �� ����� ����� ������ ������� �� ��� ��� ���� �������

�� ������� ���� ����� �� ��� �� ����������� &�� �� �� ��� ����� ��� �� �������*� !� ����

������ �� )5 �����"�� �� ������ �� ����� � �� ������ �� �� � �� ���������� ����

�� ��� �"�� YNITZ� #������ ������ ��� ���� ��� � �� ��� �� �� ������� ��� ���. YNNTZ�

����� ����� �� �� � ������ �� ���� �������� � ������ �������� ��� +#'() �����

� ������� ������� ������� ���� ����� �� ������� ���� ���������� ���� ������ ��

��� ���� �� ��� ����� ��� ���� ���� ������ �� YMPZ �� �� ������� ������� ���� �����

�� ���� �� ��� �� � �� �������� ��� �� �-� �� ���� ���� �� �� ����������� ) �������

���� �� ������� �� �� ������ �� ������ ����� � �� ���� �������� �� <���� I�

��� ������ �� ��� ��������� �� �� ��������� � ������ ���� �� �������� �

maxmk(Kn)

mink

mk(Kn), 0 ≤ n ≤ N − 1,

s.t.

N−1∑n=0

∑k∈Kn

β2k(Kn) ≤ PT , 0 ≤ n ≤ N − 1,

BER(Kn) ≤ BERt, 0 ≤ n ≤ N − 1, ∀k ∈ Kn,

mk(Kn) ∈ M, 0 ≤ n ≤ N − 1, ∀k ∈ Kn.

��� ������ �� ���� ��� ��� ���� �� ��� ��� �� �������� ����� ���� �� �����

�� �� ������ �� ���� �������� �� ���� ���� ���� �� � ��� � ���� �� �� (( 0�

����� ��� � ��� ������ �� ��� �� ������� � �� ������ �� ������ ,��� �� ���� ��

(� ��<����� (����"��� �� �� (������ 0� &(((0* ������ �� �� � M�I �������

������ � �� �� ��� ���� � �� (( 0� �� �� ��� ���� �� ����� ��������� n ����

���� ���� ��� ��"� ���� �� �� ���� ���� �� �� ��� ���������� ��� ��� O�

NNT

Page 144: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

18

SNR [dB]

Ave

rage

Thr

ough

put [

bits

/sym

bol/s

ubca

rrie

r]Achievable Rate for the User Clustering + MMSR Spatial Bit Allocation, K=20, Q=3

Exact TraceScalar ProductTrace SimplificationRandom Approach

#����� M�I% ������� �� �� � ����� �� � �� ��� ����� ���� �� ��#0 ����� �� ��������� ��

��� �� ������ � . � ���� SNR = PT /σ2 �� K = 20 ��� Q = 3�

��� ���!����� ��������

!� ��� ������� ���� ��� ���� � ��� �� �������� ������� �� ������ �� ����� ��"�� ���

����� ���� ) YNVJZ� � ��� ���� �W�� ���������� ��� MJ �� ����� ��� �� � �����

��� +#'(����� 1��� ��� @)/� +� � ��� ���� ��� ��������� �� ����� ����� �� ��� ���

���������� σ2k,n = σ2,∀n,∀k� �� �� /0 �� ������ � �� ��� PT /σ2� '�$���� � � ������

1��� ��� @)/ ������ YNMPZ� �� N = 64 ���������� ����� ����� ���������� 4)(

����� ���� �� ���������� ���M = {2, 4, 6} ��� ��� ����� ���� ��� ���� ��� �� ��� �� �������������� �������� ������� �� ����� M�S� �� ����

�� (( 0 �� ������ ! �� � ��� �� #����� M�I �� ����� �������� �� ���� �� ������

�� ��� ��� ����� ��� ��������� ��. �� /0� ���� K = 20 �� Q = 3� ! �� ��������

� �� �������� �� �� ��� ��� ��� �� �� ��� ���������� �� ������� �� ����

�������� ���� ����� ��� ������ �� �������� �� ������� ��� �� ��� ���� �������

�� ��� �� ��� �� ��� ����� �� ���� ��� � ��� ���� �������� �� ����� M�S ������ ��

�� �� ����������� ��� ����� ���� �� �� �� � ������ � �� � ���������� �� ���

���� ������� �� ���� ��� �� �� ���� ��� ��� ������ � �� ����� ������� �� ���

NIJ

Page 145: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!0! � �������� #�������

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

18

SNR [dB]

Ave

rage

Thr

ough

put [

bits

/sym

bol/s

ubca

rrie

r]

Achievable Rate for the Proposed Multi−Carrier Spatial Bit Allocation Schemes, K=5, Q=3

Per Subcarrier Exhaustive Search + Power ReusePer Subcarrier Exhaustive Search − No Power ReuseMulti−Carrier Maximum Sum RatePer Subcarrier Maximum Sum Rate + Power ReusePer Subcarrier Maximum Sum Rate − No Power Reuse

#����� M�S% ������� �� �� � ����� �� #$����1$� �� ��������� ����,�� �� ��� �� ������

� . � ���� SNR = PT /σ2� �� � �� �) K = 5 ��� Q = 3�

��� �� ������ ���� �� �� �� � ������ �$��� �� ��� �����$ ������ ���������� ��

���� ����� �������� � �� ������ ��� �� ��� ���� �����

������ �� �������� �������������� ������ ��� �� �� �� ��� ��� ������ � ��

���� �� ������� ���� �� ����� ������ ! �� ����� �� #����� M�S �� ����� �������� ��

������ ��� �� ���� �� ������ �� ��� ��� ����� ��� ��������� ��. �� /0� ���� K = 5 ��

Q = 3 ������ �� ���� ���� ��� �� � � +�� �������� � �� �������� ����� ������� ���

�� ����� ����� ������ ���������� �� ���� ������ �� �� ���� ���� � ����� ��� ����

�� ������� �� ���������� �������� ���� ���� ���� �� ������ �� ����� ���������

��� ���������� �� �� (( 0 �� ����� � �� �������� �� /0� �� ��$������� ��

������ ���� �� /0 ��������� < �� �� �� ���� � ������ ��� ����� ����� �� ���� � ��� � ��

� �� � ������� ������ ��� ��� /�� � �� �� ���� �� �� ������ ��� ����������

����� ����� ������ ���� ���� �� ����� �� ����� �� �� �� �� ��� �"���

������ ���� �� ���� ������� �� ���� ��� ��� K = 20 ����� �� �� ��� ������ ��

������ #����� M�R ����� �� ����� �������� �� ������ ��� �� ���� �� ������ ��

��� ��� ����� ��� ��������� ��. �� /0� )���� �� ���������� ��� �� � �� � �������

������� �� ���� � ��� � �� ��� �� �� ���� � ����� ����� ������� !� �� )5 ������� ���

NIN

Page 146: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

18

SNR [dB]

Ave

rage

Thr

ough

put [

bits

/sym

bol/s

ubca

rrie

r]Achievable Rate for the Proposed Multi−Carrier Spatial Bit Allocation Schemes, K=20, Q=3

Global Maximum Sum RatePer Subcarrier Maximum Sum Rate + Power ReuseGlobal Maximum Minimum RatePer Subcarrier Maximum Minimum Rate + Power ReuseRandom User Clustering + Power ReuseOpportunistic − Global

Maximum Sum Rate Curves

Maximum MinimumRate Curves

#����� M�R% ������� �� �� � ����� �� #$����1$� ����� �� ��������� ����,�� �� ��� ��

������ � . � ���� SNR = PT /σ2 �� � ���� ����� �� �� �) K = 20 ��� Q = 3�

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

SNR [dB]

Use

d P

ower

per

Sub

carr

ier

Degradation for User Clustering based on Scalar Product + MSR , K=20, Q=3

Per SubcarrierGroups of 2Groups of 4Groups of 8

#����� M�M% *���� ���������� �� � ��������� ��� ����� ��� � �� �� �� � ����� ������ ��

�#0 ����� �� ���������) �� K = 20 ��� Q = 3�

NII

Page 147: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

0!4! ����������

����� ��� ��� ����� ����� ���������� ���. �� (((0� �� ���������� �� ��� �"��

��� ������ � �� (( 0� �� �� ���� �� ���� ��� �� �� ������� �� �� )5 �������

������� ���� �� ������ ��� ����� � ������ ������� �� �� )5� !� �� ���� ������ � ���

�� ������� ��� ������ � ����� �� ����� �� ������ #�� �� ��� �� ��� � �����������

������������ ��� � �� �������� ���� /0 ������ �� �� ������ �� �� ������ ���

�� ���� � ����� �������� �� /0 ����� �� ����� �� ������� �� ���������� �� �����

������ ���� � ���� � ���� �� ������ �� ��� ��������� ���� ���������� �� /0 ��

(((0 �� ����� �� � �� (( 0�

#�� �� �� #����� M�M �� ����� ����� ��� ��������� �� �� ��� ��� ������ � �� /0�

��� K = 20 �� Q = 3� ��� ��2����� �� � ��� �� ��� � �� ����� �� ����� �� ��� �����

�� ������ �� ��� �� �2��� ����������� ����� �� ������ ��� ����� ������������� ���

���� ����� ����� ������ � �� (( 0 ��������� �� ��� ��������� ����� ��� ������ ����

��� ���� �� ���� ����� ���� �� ��� ����������� ���������� �� ���� ��� Nb = {2, 4, 8}����������� /�� � �� ��� ����� � ���� ��� �� ����� ������� ��� ��������� �� �� �

N� �� � ������ �� R ���������� ���� �� ���� ���� ��� �������� �� ��� ���� � ����

�� ��� ���� �� �� ��� �� �2��� ���������� ��� ������ ��"� �� �� �������� �������

�� �� ��������� ������� �� �� ����� � ���������� ��������� � ���� �� �����������

���������� ���� ����� YNVNZ� ����� ��� � �� � �� �� �������� ��������� ��

��" '������

��� ����� ��� ������� �� �� ����� ������� �� ���� ������ �� ��� ������ � ��

� ��������� ���������� ��������� �� ���� �������� �� ��������� �������� ��������� ��

�� +#'( ���� ���� ��� ���� �� �������� �� ����� � ������ � ���� ���� �� ���

��������� �� ���� � �� ���� ��� �� ��� ����� � �� ������� ��2����� �� +#'( ������

�� � /5����� �� ��������� ���� ��� ���������� ������� �� ����� �� ������ �� �

�� ����� � �� �� � ������ ���� �� ���� ������ ��� �� �� �� �"� � ������ ���

������ ��� (�������� � �� ���� ������� � ���� ���� �� ��������

)��� �� �� ����� �� ������ � �� ����� ������ � ���� �� �� ���� �����

��� �������� #���� ���� � ����� ����� ������ �� �������� � ������ �� ���� ���� ��

�� �������������� �� ����� �������� ����� ��� �� ����������� ����������� )���

�� �� ��������� ��� ���� �������� � ������ �� ���� ���� ��� ����� �� �� �� ������

�� �������� ��� �� ����� �������� ����� ��� ������� ��� ������ �� �� ������ �� ��

������ ��� +�� �� � ����� � ��� ���� ������ ��� �� ����� ����� ���������� ������

�� ���� ��� ������ � �� ��� ���������� �� ���� �� ����� �� ������ �� ��� �� ��

��� ���� ��� �� �2��� ����������� ����� �� �����$ ������ ���������� �� ���� ����

�� ���� �� ���� �� ���� ����

NIS

Page 148: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 0! �������� �� ����� ��� � �������� ��� �������� 5�%'

#�� �� � �� ���� ����� �� ���� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ������ 1��� ��� @)/

������������ � ���� � ����� ������� �� ����� �� �� ������ �� ���� ���� ����

������ ��� ������ ��� ,������ �� �����$ ������ ���������� �� ���� ����� ���� �����

�� �����$ ������ ���������� �� ���� ���� �� ������ � �� �� �� �������� ������

)� � �� ���� �������� �������� �� ���������� �� ������ &�� ��� �� � ��� �� ��

�� �� ������������* ����� � ������� �� �� �������� �� �� )����� 5����

NIR

Page 149: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

�������

���������� ��� ������� ����

5����� �� ��� �� ��� ���� ����� �������� �� ��������� �� � ������� ������ ���� �

�� ����� � ���������� �� �� ������ �� ������ (�������� �� ��2����� �� � ���� �� �������

�������- &�� �� �� �* � � �"� �� ������ ������������� 5���� � �� �� �����������

�� ������� ����� �� �� � �� �� ������ �� ��� ��� ������ ��� �� ����� ����� ���� � ��

����� �� �� ������ �� �� �� �� ��� ��� �� ����� �� �� ���������� ��������� !�

��� ���-� ������� �� ���� �� � ���������� �� �� ��������� ��� ���� �� ��������� �

������� ������� ���� � �� �� �� �� ������ ���-� /��� �� ��� ���� ������ ��� ��� ����

�� ���� �� ���� �� ������ � ������ ���-�

������ � �� � ��� �� �� ������ ���������� �� �� � �� ������� ����� ��

�� ��� �� ��������� ������ ������ ������� �� ���������� ��� ��� ����������� ��

�� ������"�� ���%

• ) ������� � ���� �� ���� ���� ��� ���������� ����� ��� �� �� ������ ����������

���� � ���� ��� ����� �� ������� �� � ������ ���������� �� �� ����������

!� ���� ������ �� �� ������ �������� �� �� ����� �� ������ �� �� ����������

�� �� ������ �� ��� ������������ ��������� ���������� �� ����� ����������� ��

����������� ������ � ���� �� �� � �� ����� �������� �� �� �� �����

• ��� ������� ���� �� ���� �� ���� �� � ������ � �� ������ � ��� ���� ��� ����� ��

�� ������ ����� �������� ��� �� �� ��-��� �� ���� � ������ � �� ������

��� �� ��������� �� �� ��� ���� �� �� ������� ������� �� �� ������� !� ���

������ ������� �� �� ����� � ������ �� � ���� � ���� �� ��������� � � ��

��� ���- ���������� �� ������ ��������� ��� � �� ������� � ���� �����������

�������� ���� � �� ������� ��� ����� ����� ������ �� �� ���� ������� ��� ����

�� �� ��� ������ ����� 4� �������� �� ����� (�������� �� ��� �� � ���� � ��

�������� ��� � �� �� ��� ���� ��� ���� ������� �� ������� �� �� ������ �������� ����� ��

NIM

Page 150: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 4! ���������� �� ����� � ����

��� �� � � ��[��� �� ��� �� �� ������ �� �� ������� 5���� � �� �� �� ���� ��

�������� ��������� ���� �� �� ������� 0� �� � �� <��� ������ � �� ����[� �� ����

�� ��� ������ � ��� � �� � ��������� ���2�� �� ������� � �� � ������ ���������

� ������� �W���� � ��������� ���� �� ����� � �� � � ��� �� ���� ��������

���� �� ����� �� #�� ������� ��� ����� ��� � ���� � ����� �� �� �� ����

��������� �������� � ��� ��� ����� � �� ��- �� ����� ������� ��� � ����� ������

��������� �� �� ������������� ���� � �� ������ ��� �����

��� ��� ����������� �� ������ # �� �� ����� ����� �� �������� �����

��������� �� �� �� �����%

• )� ��������� ������� ��������� ���� ���� ���� ����� ���� ����� �����

��������� �� �� ������� ����� �� ������� �� ��� ��� ��� �� �� ��� ��������

��� ������� � ���� ��� ��� �� �� � � ���� �� ��� �� ��� ����������� �� �� ��

������� �� �� ��� �� �� ���� �����

• )� ������� � ���� &�� �� ���� /0 ������* �� �� ����� ����� ��������� ��

��������� ! �� ��� � �� ������� ����� ����� ���� � �� ������ ��� ��

���� /0� �� �� ������� ��� ,�0 ���� � ����� �-� �� ������ ��������� ���

,�0 � ����� ����� (�������� �� ������� ������ ��� � ��� ������ ��� �� ��

�� ,�0����� ������� ����� ��������� �� �� ��2������ �� �� ������ ��� ��$����

�������� ��� � �� �� ����� ,� ������"��� �� ����� ����� �� �� ��� ,�0� �� 35)

����� �� � �� �� �����

• ) ��������� �� �� ��� �������� ��� ��� �� �� ������ ���� �� ��� ������ ��� �

��� ,�0� �� �� �� &���� �� ��� �����*� ! �� ��� � �� �� ������� ���������

���� ��� � � ������� � ���������� �� ���� �� ,�0� ����� ���� �� ��� �����-

�� ���� ��������� �� �� ������� �� �� ��� �� �� ����6� -��� ����� ���� ���������

�� �� ���� �������� �� �� ������� �������� ������� ��������� �� ����� � ��

���� �� � ����� �� �������� ������� �� �� ����� � �� �� �� �

• ) ������� �� ����� ���� �� �� �������� ����� �� �� �� ������ ������ ) ���

�������� �� ��������� ����� �� ������ �� ������� ����� ����� �� �� ��� ��

�� ,�0 ������� ����� �� �� �� ������ ����� �� �� ������� � ���� ��� � ������ ��

������� �� ��� �� �� @����" ������� ����� ������ � ����� � ���� ��� �� ��������

�� �� .��� ������ ���� �� ��������� ����� � ������ �� ������ �� ��� �� �� ��������

���������� �� ���� �� �� �� ��������

���� ����� �� ������� �� �� ��������� ���������� �� �� ��������� ����� �� �� �����

���� ������ )� �� �� �� ������ ���-� ���� � ���� �� �� �������� ��� ������ ���

�� � �� �������� ���. �� �� ��� ��� �� ��������� �� �������� �� ������� ��������

NIV

Page 151: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

� ������ ��� ����� ���������� � �� �� ��� �� �� (�������� ����� �� ����� ��

��2����� �������� �� ����� ������ �� ���� ��� �� �-� �� ����������� �� � ��� ��� ����

�������� ���������� ������� ���� �� �� ��� ������ ������ �� /0� �� ���� ������

�� �� �� ������� �� ���� �� �������� ! �� ���� �� ������ ���- � ��� ������� �����

&�� � �* � ����� �� ������� �� �� ��������� �� ���� �� ����� ������� �� �� �� �

���� � ���� 0������� ��� ������ ���� ������ ��� �� �� �� ������� ���� � �� �� ����

����� �� ������ �� ���� ������� �� �� �� ���� ���� �� �� ��� �������� (�������� ��

������� �������� �� �� ��������� � � ������ �� �� ����� ����������� �������

)��� �� �� �� ����� ������� �� ���� ���� �� ������ !� ��� ���� ���� ������

��%

• ��� �� ����� ������� �� �� ������� � �� ��� ���������� �������� ����

����� �������� ����� �� ������ ������� ���� ���� ��� �� �������� �����������

#�� ������� �� ��������� ����� ���� ��� �� ����� ��� ��������� �� �� �����

�� ����� � �� ������ ��� ����� ����� �� �� ���������� ���������

• ��� �� ����� ���� �� �� �� �� ���� � �������� ����������� ��� ������� ������

��� � �� �� ������� ����� �� �� ������ �� ������ �� �����"��� �� �� ��� ��

�� �� �����"��� �� �� ������� ��� !� ��� ������ ��� ������ �� ��������

� ��� �� � ��������� ������� ������ ���� �� �������� ���� � ��� ������

���������� �� ���� �����

!� ��� ������ ���� ����� ������� ��� �� �� ����� ���� �� ������ � � ��� ��

��$���� �� �� �� � �� �����$ ������ ���������� �� ���� ����� �� �� ������ ��

� �� ���������� �� �� �������� ������ #�� �� �� ����� �������� ���� -��� ����

��� � �� ���� � �� ������� �� ����� � ������ �� �� � � ����� ����� ����� �� -��

��� ��� �� ���� ��� ���������

#�� �� ������ " �� ������ � �� ����� ��������� �� ���� �������� ��� ���������

��������� ��� ��� ����������� �� �� �� �����%

• ��� ��� �� ����� ������� �� ������� � -� ��� ����� �� ���������

���������� )���� ���� �� �����$ ������ �� � �� ���������� �� �� ��������

�������� �� �� ���� ��� � �� ���� ���� ������ �� ��

• )���� ���� ������� �� �� � ������ �� ����� � ������� ���� �� ��� �� �������

�� ����� ��� ������� ����� ��� ����������� ���������� ��� ������� ���� �����

• ��� ����� ����� ����� ���� ������ �� �������� �� �� ����� ��������� �����

�� �� ����� ������� �� �� ��������� �� ��� ��������� ����� !� ���� ���� ��

������ ����� �� �� ���� �� ���� ��������� �����

NIP

Page 152: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

����� � 4! ���������� �� ����� � ����

• �� ���� �� ���� ��� ������ �� ������� ��� ���� ��������� ��� �� �� � ������� ������

����� �� ��� �� ��� ���������� �2��� ����������� �� �� ���� ��� �� � �����

� ��� ������ �� ��� � ����� �� ��� ���������� ����� �� ������� ��� �������

���� ���- �� �������������� ������ ��� �� ���� ��� ���� � �� ������ ������� �� ����� �

-� ��� ����� � ��� ���������� � ������ � ���� ���� ���������� ����� �� ����� +���

��������� ���� �� �������� � ������ �� ���� ��� �� �������� ������ �� ���� ����

���� �� ���� �� �� /5����� ��� ������� �� ����� �� ����� �� ���� �� ���2�� ��

��������� ���-� ����� �� �� � ������ �� ���� ����� � ������� ����-� � �� � !�

�� ���� �� /5����� ������ �� �� ��2����� ������� ���� ���� � ������ �� ������ ��

!� ��� ���������� ������ ����� -��� ���� �� ���� ������� ��������� ��������� ���-

���� ��� ��� ������������� �� �� � ��� � �� ����� -��� ����� �� �� ���� �� ������

�� ���� ��� ������� ��������� !� ��� ������ ��������� ��� � ��$�� ���� ������

����� � ���� �� ��������� � ������� #���������� �� �������� �� ������������

������ ����� ������ ���� �� ����� ���� �� �� �������� �� ������ ��������� ��� ��

���� �� ����� ��� �� �� ���������� �� �� �������� ��������� ���� � �� �� ����

(�������� �� ����� ���� � ��� ��� �� �� � ����� ��� ����� �� �� �����������

��- �� �� �� � �� ������� ����� ���� ���� �� �� ���� ���� ����� ������ � ����

�� � ������ �� ������� ����� �� ������ �� �� ������ �� ����� ������ !� ����

����� �� �� � ���� �� ����� �� �� ���������� �� �� �� ���� ����� �� ������

#�� �� �� ������ ��� ��������� �� �� ����� ���� � �� �� 2���� �������� ���

������� )04 �������� ���� �� �� ������� ��� �� �� �� ��-��� ��� ���� ���� �� �� ��

������ ��� �� ������ ��� ������ �� ������� ����������� ��� � �� ��� �� � �� ������

����� �� �������� � �� �� � ��� �- ������ �� �� ���� ������ �� ������� �� ������� �

�� �� � � �� ���� � �� �W���� � �����

�� ���� ��� &�� � �� ���*% �� ��� ��������� �� ������ ��� �� ����� ���� ��

������� �� '@<� �� �� ������ ��� ������ �� �� ��� � �� �� ��� �� �� ���� ���

������

NIO

Page 153: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

��������!�

K8L #� #������) !�#� 0�������) ��� *��� C��� ��) M��� ������ $� ��� ��� 5����� &����� )N

)%%% ���� ������ ����4���) ���� ;8) ��� 87) ��� F; O G7) ������ :77@�

K:L <� C������ ��� *�0� C����) M� ��������� *�� ������ �� ��� D���� $� ���)N ��!����� �� )%%%

+������� ���� ����� ����4���) A��� :77@) ��������� � �4%%������� ����������%∼�������%�

K@L ��C� !�) M�� ���� ����� D��� 0����� � #����� (��,���� ������ �������� �� 5�����

����� &����� )N )%%% ���� ������ ����4���) ���� @H) ��� E) ��� 8@G O 8;F) A��� :778�

K;L 0�-� -�������) M� *�� ������ �� �������� ������ )N )%%% #����� ����� �� )���������

#�����) ���� @:) ��� :) ��� 8:; O8;:) ���� 8HG6�

K6L ���� !����� ��� 0�-� -�������) M��������� J������ !���� �� ���������� !���� ���

�������� )N )%%% 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������) ���� 8@) ��� E) ��� HE@OHEH)

���� 8HH6�

KEL -�A� 1� ���� ��� ��A� -�� ) M�� D��� �� 5����� ������������ �� � 1����� ����������

��� ( ��� ������� ������ )N +������� (������� ���� ������) ���� E) ��� @) ��� @88O@@6)

���� 8HHG�

KFL ��A� *�����P) $��� -���) 0�(� &����) ��� B� ���� ���) M�� �������� �� ���� ������������ 4

� C�� � -����� 5����� )N (�� ������� �� ��� )%%%) ���� H:) ��� :) ��� 8HG O :8G) 1������� :77;�

KGL #�&� $������) &� ���$���) ��� �� #������ ) M-��� � ������� 4 !� <���� �� #����� $���� ��

�� 5����� &����� )N (�� ������� �� ��� )%%%) ���� H:) ��� :) ��� :8H O :F7) 1������� :77;�

KHL #� #������ ��� !�#� 0�������) M0� ���� �������� �� 5����� &����� 4 � !�������

��������)N �� (�� . �� ��� 6�� )������������ ������� �� +������� (������� ���������

���� ������ 7+(�8) ������ :77:�

K87L 2� 5��� ��� -��� -������� ) M5����� ����������� ������������ )N )%%% ������ (�� ������

����4���) ���� 8F) ��� @) ��� :HO;G) ��� :777�

K88L B� 5��������) Q� #�������) ��� #� #����) M!� ������� 0����� �� � -�� ��� ����

������� ������)N �� (�� . �� ��� ������� � �� )��������� � ��� �� ��� ������ 7)��8)

���� :77;�

K8:L $� 1�������� ��� A� !�����) "�� #�����) ���������) ��4 ��! *�� ) ���) 8HH8�

NIT

Page 154: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

;���������

K8@L �� !�����) M������� �� ����������� -�� ��� ������ )N %������� #����� ����� ��

#��� ���� ������) ���� 87) ��� 6G6 O 6H6) &������� 8HHH�

K8;L �� -��� ��) #��� A����) &� A�����) ��� #� <� ����) M������� D��� �� ���� ������ )N

)%%% 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������) ���� :8) ��� 6) ��� GE;OF7:) A��� :77@�

K86L -�0� 0����� ��� A��� ���+) M#�����!������� ������ ��� 5����� ������������ )N )%%%

#����� ����� �� ���� ������) ���� ;E) ��� @6FO@EE) ���� 8HHG�

K8EL �� ��������) A� *����� ) ��� #� #����) M1����� ������ 4 �����������!������ ���

������������ � ��� )N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;;) ��� E) ��� :E8HO

:EH:) ������ 8HHG�

K8FL B� ���� ��� �� #�����) M� -������ $����� !���� ��� (����� ��� $������� �����������)N

�� (�� . �� ��� )%%% 9��� ���� #� ������� ������� � 79#8 ����) #������� :77:�

K8GL !��� �����) M������ �� ������� ������ )N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����)

���� ;) ��� E) ��� :6:;O:6@7) ������ 8HHG�

K8HL &� A����� ��� �� -��� ��) M$��� *���� ������ � � !$�� ��� ���� �������

������ )N ��!����� �� )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) A��� :77;) ��������� �

�4%%� �� ����������%*��������� %&����

K:7L -� ����� ��� #� #����) M�� � ��������� !������ �� � ���������� -�� ��� �������

������)N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;H) ��� F) ��� 8EH8 O 8F7E) A��� :77@�

K:8L 5� Q�) $�*� <��������) ��� A��� ���+) M!����� ��� ������������ *�������� ��� !��� �����

�� �� ����������� *���#��������)N ��!����� �� )%%% #����� ����� �� ���� ������) ����

:77;) ��������� � �4%%������������������%∼������K::L ��B��� �� �) M5����� �� $��� *����)N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� :H) ��� @)

��� ;@H O ;;8) ��� 8HG@�

K:@L #� <� ����) &� A�����) ��� �� -��� ��) M$�����) ��������� 0�� ) ��� #������ ������� ��

-�� ��� ���� ������� ������ )N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;H) ��� 87)

��� :E6G O :EEG) ������ :77@�

K:;L *� <� ���� ��� $�&��� ! �) M#�� ������� �� � <���� -�� ��� ������� ������ ���

(����� $������� $�����)N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;H) ��� G) ��� 8H8: O

8H:8) ���� :77@�

K:6L 5� Q� ��� A��� ���+) M#�� ������� �� � -�� ��� <���� ������� ������)N � ����� �� )%%%

#����� ����� �� )��������� #�����) ��������� � �4%%������������������%∼������K:EL 1� 0� ���1������) C�A� 0�� D��) ��� D� !� ���� ) M!��� �� ����������� ��� *���� ������

��� �������� 5����� #� �� )N )%%% 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������) ���� 8E) ��� G)

��� 8;@FO8;;H) ������ 8HHG�

K:FL �� <� � �� ��� (� �����) M������ ����������� ( ��� !��� �� ������ ����� )N �� (�� .

�� ��� )%%% :;�� 9��� ���� #� ������� ������� � 79#8) ��� 8HHH�

NSJ

Page 155: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

K:GL !� �� ����� ��� A� �� !��� ) %������ �� )��������� #������ 5���� #���� �� !�������) A�

5���� R #�� ) 8HH8�

K:HL 5� Q�) 5� 0��) #� ����) ��� A��� ���+) M������� 5����'����� ��� -�� ��� <���� �������

���� ������ )N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� 67) ��� 8) ��� 8;6 O 86:) A������

:77;�

K@7L 5� Q�) M��������� ��� ���������� �� ����� �� ������������ ���������� )N (�<�< #�����,

�������� ���'������) :77:�

K@8L #� ���� ��� D� <����������) ��'�- �����4������ ��������� ������ �

�4%%���� ����������%∼����%��S�� ��������) :77@�K@:L B� <� ������) #� <����� ��) ��� B� B����) M$������� ������� ��������� �� ��������

&����� 5� C���������������� �����������)N 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������)

���� :8) ��� 6) ��� G7: O G88) A��� :77@�

K@@L &� A�����) #� <� ����) ��� �� -��� ��) M�� � $����� �� -�� ��� ������������ ���

������� ������ )N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� 67) ��� :) ��� FEGOFG@) ���

:77;�

K@;L #� <� ����) -� C�����) #� #����) #� A����) ��� �� -��� ��) M������� ����� ��� -�� ���

<���� ������� ������ )N �)��� +������� �� ������ (�� ������ ��� +������� #����������)

:77@�

K@6L &� A�����) #��� A����) #� <� ����) ��� �� -��� ��) M#�� *���� ������� 5����'�����

��� ����������� -�� ��� ������� ������ )N �� (�� . �� ������� ������� � �� �������,

������, ��� �������) &������� :77:�

K@EL 0��� ����� ��� 0�-� -�������) M������������ ���� 1����� ������ �� $���� ��� ���� )N

)%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;G) ��� 6) ��� 88@6O88;H) ��� :77:�

K@FL �� Q�) M$����������� 0�� ��������� �� �������� ������������ 4 � ��� ������ <���)N ��

(�� . �� ��� )%%% +������� �� ��������� ������ (�� ������) $������� :77:�

K@GL �� Q� ��� ��#� ����) M���������� !����) J�������) ��� 0� ����� ��������� �� ������ ��

1����� ������������ )N �� (�� . �� ��� ������� � �� )��������� � ��� �� ��� ������) ����

:77;�

K@HL -� ��������� ��� $�!��� #����) M#�����!������� ����� *���� ��� ��� ����� 1���� �����

�����3���� �� #$�� $������� !��� �� ���)N �� (�� . �� �&�) )������������ ������� ��

�������, ������, ��� %�� ����� �8) #�������������� 8HHG�

K;7L $�A� ��33��� � ��� 5��� C�3�����) MB�� ������ $������� �������� *���� $�� ����

�� ������� ������ ��� ����� �� $���� ��)N �� (�� . �� ��� 6=�� )%%% ��������� 9��� ����

#� ������� ������� � 79#8) ����� :77@�

K;8L 0�1�B� 1� ���) A��� B����) ��� ���� 5����� �����) M*�������� ��� *��������������

!��� �� ���)N �� (�� . �� ��� %����� )������������ +������� �� ������ (�� ������ ��� ��� �

���� ������) #������� :77@�

NSN

Page 156: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

;���������

K;:L �� #���� ��� �� B� ���) M�� � ������� �� ���� ������� ������ �� *�����

#��� ����������)N ��!����� �� )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) :77;) ��������� �

�4%%����� ����������%∼�� ���%�

K;@L 5� 0�� ��� A��� ���+) M�� � ������� �� ����� �� 5����� ������ �� �������

������ )N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;H) ��� 87) ��� :6G7O:6H6) ������

:77@�

K;;L A� ������� ��� *� 1�� ��) M������ 5��� ��������� �� �� ������ ������ ����� � !�

��T�� �������)N )%%% #����� ����� �� ������ (�� ������) ���� 68) ��� F) ��� 8F8EO8F:8) A���

:77@�

K;6L 1� 0� ���1������) D� !� ���� ) ��� C�A� 0�� D��) MA��� ������ *���� ������ ���

����������� �� 5����� &����� ( ��� ������ ����� )N )%%% 5������ �� ���� ��� ����� ��

���� ������) ���� ;E) ��� 87) ��� 8@8@O8@:;) ������ 8HHG�

K;EL �� ���� �� ��� �� ��� ��) M������ ��� #�������� !��� �� �����������)N �� .���!���

�� �������� �� +������� ���� ������) D� -�����) ��� �0� *�� ) :778�

K;FL -� ��������� ��� $�!��� #����) M����� 1���� ����� �����3���� ��� ����� �� $�������

!��� �� �����������)N �� (�� . �� )%%% )������������ ������� � �� ���'����� (�������

���� ������8) ������ 8HHG�

K;GL A�C� ����� ) M����� �� !��� ���� $���� �� ���� ������� $������� �����������)N �� (�� .

�� ��� )%%% +������� ���� ������ ��� /��������� ������� � 7+/8) #������� 8HHH�

K;HL �� #����� ��� B� ����) M#��������� �� ������� ����������� *������ )N �� (�� . �� ��� )%%%

"��!�� #��� ���� ������ ������� � 7" *$%*�8) &������� :778�

K67L UU) M#������ �� � ����� �� $������� ����������� *������ �� ���������� #�&0

��� ���� )N )%%% #����� ����� �� 9��� ���� #� �������) ���� 6@) ��� 8) ��� 8GO:G) A������ :77;�

K68L UU) MA��� $��� *���� *��������� ��� $������� �����������)N �� (�� . �� ��� )%%% =��

)������������ ������� �� ������ ��� ��� #� ���0��� ��� ����� ������ 7)��#�8) #�������

:77:�

K6:L �� A�� ����� B� ����) M0�� ��������� ��� � ����������� -�� ��� ������� ������)N ��

(�� . �� ��� )%%% =�� )������������ ������� �� ������ ��� ��� #� ���0��� ��� ����� ������

7)��#�8) #������� :77:�

K6@L B����� ��� �� #�����) M������� �� �� �∞ ��� �1 �����3���� ��� ����������� $�������

!��� �� ���)N �� (�� . �� ��� )������������ ������� �� )��������� #����� 7)�)#8) A����A���

:77:�

K6;L -� $���� ��� &�$� #���������� ) MD��������� �� $������� ����������� ��� �� ���� #��

�������)N �� (�� . �� )������������ ������� � �� � ����� �, ���� �, ��� ������ (�� ������

7)���(8) ��� :77;�

K66L �� B������ ��� #�5� ����) M#�����!��� ������� ���� 4 D����� -��� �� � #�� 0��)N

�� (�� . �� ��� :>�� �������� ������� � �� ���� ������, ������ ��� �������) ������

:77:�

NSI

Page 157: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

K6EL $��� -���) 0�5� B�� A��) ��� ��A� *�����P) M!��� �� #������� �� #����� ������� ��� #� �� )N

)%%% ���� ������ ������) ���� E) ��� 88) ��� ;H8O;H@) &������� :77:�

K6FL #� !���) D� <�� ��� *����) �� ����� ) ��� B� $� ���) M������� D������ ��� �1$�%#$���

�� �� 5����� &����� )N )%%% #����� ����� �� ���� ������) ���� 67) ��� 88) ��� 8FHG O

8G87) &������� :77:�

K6GL �� *���) �� B������) ��� D� #�������� ) M� <�����*��������� !����,�� ���

&����������� ����������� �����( �� ������������4 *�� � ��� ��)N ��!����� ��

)%%% #����� ����� +������� ���� ������) A��� :77@) ��������� � �4%%��� ������

��� ����%��%� %��%��� %����� %���S���������%�

K6HL 5� 0��) 5� Q�) ��� A��� ���+) M!� �������� �� ����������� �� (����� ����� �� 5�����

#� �� )N )%%% #����� ����� �� +������� ���� ������) ���� @) ��� 8) ��� GEOHE) A������ :77;�

KE7L �� #���� ��� �� B� ���) M� ������� �� �� !���� �����) $*�) ��� ����������� ��� ����

������� ������ �� ���� ( �� )N ��!����� �� )%%% #����� ����� �� ���� ������) :77;)

��������� � �4%%����� ����������%∼�� ���%�

KE8L $� #�����3�P� ��� &� ��������) M������� ������ !��� ���� �����3���� #���� ���

����� �� #� �� )N �� (�� . �� ��� )%%% 6?�� 9��� ���� #� ������� ������� � 79#8 ����)

������ :77@�

KE:L �� 5����� �����) 0�1�B� 1� ���) !� <�����) ��� A��� B����) M*�������� �� ����������� ���

�����( �� ������������ )N �� ������ �� )%%% #����� ����� �� +������� ���� ������) A���

:77;) ��������� � �4%%���������%5�0D$%D&!%����%�S��������

KE@L A� �� &� ��) �� A���) ��� 5� ( ����) M!��� �� *���� ��� �� ���� 5����� #� �� )N ��

(�� . �� ��� @�� �� ������� �� %������ #� ���������) ��� :77;�

KE;L $�A� ��33��� � ��� 5��� C�3�����) M!������ �� ���3���� ��� ������ &����� �� �����

( �� �� � !�� !��� �� ������ $������� �� � �������� #� ��)N �� (�� . �� ��� )%%% (� ��

&� ������� � �� ���� ������, ������� ��� ������ (�� ������ 7(�&)�8) ���� :77@�

KE6L 5� Q� ��� 5� 0��) M$����� �� 1������ �� ������ �� #����� ������� #� �� ��

������� ������ )N ��!����� �� )%%% #����� ����� �� ���� ������) ���� :77;) ���������

� �4%%������������������%∼������KEEL D� 2��� ��� $�&��� ! �) M$���� �� ��� ������� ���4 � 1��������� !�����" �� �������

������ ������ )N )%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;H) ��� 6) ��� 87F@O87HE)

��� :77@�

KEFL $�&��� ! �) *� <� ����) ��� D� 2���) M$���� ���������� ��� !�����" �� ������� ����

������ )N �� ������ �� )%%% #����� ����� �� )��������� #������

KEGL D� 5���) �� ��� � ������ ) ��� #�#� *�����) M$���� �� -��� 0����� ��� ���� 1�����

������� ������ )N �� (�� . �� ��� )��������� #����� +������� 7)#+8) ������ :77;�

KEHL $� �������� ��� ���� *���3�&����) M*���������� ����� � �� #�������� ��� ���� ��� ������ ���

����� �� $������� #$��)N �� (�� . �� ��� )������������ ������� � �� � ����� �, ���� �, ���

������ (�� ������ 7)���(8) ��� :77;�

NSS

Page 158: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

;���������

KF7L #� #������ ��� �� Q����) M!��� ������ �����3���� ��� ����� �� ���� #� �� )N )%%%

#����� ����� �� ������ (�� ������) ���� 6:) ��� 8) ��� :8; O ::E) A������ :77;�

KF8L C�C� 5���) 0�$� ����) ��� C��� D�����) M*���������� ��������� �� ���� ��� ����

5����� ������������ #� �� )N )%%% #����� ����� �� ���� ������) ���� 67) ��� 8:) ���

8HE7O8HEH) $������� :77:�

KF:L �� *� ������ ���) M���������� !��� �����0������� $� ���4 !����� � ������������ ��

����������� #� �� )N (�<�< ������������) �� ����������) &������� :77;�

KF@L J�B� #������ ��� �� B����) M������� ��� $������� !��� �� ��� ������� ��� � ������ ��

���� ������)N �� (�� . �� ��� A@�� ������� ������� � �� �������, ������ ��� �������)

&������� :77:�

KF;L J�B� #������) ��D� #�������� ) ��� �� B����) M2��� 1������ ���� ��� $������� #�����

������� ��� �� ����� �� ���� ������ )N )%%% #����� ����� �� ������ (�� ������) ���� 6:)

��� :) ��� ;E8O;F8) 1������� :77;�

KF6L 0� C���� ��� -� �����) M*���� ������ ��� ����������� ��� #� �� 5� ������� !��� �� ���

0������ ������ )N )%%% #����� ����� �� +������� ���� ������) ���� 8) ��� ;) ��� E@GOE;G)

������ :77:�

KFEL �� ���� ��) M*������� ������ �� #����� ������� ��� �� 0��� �� � ������ � ������

����� )N �� (�� . �� ��� )%%% )������������ ������� � �� � ����� �, ���� �, ��� ������ (�� ������

7)���(8) ����� :77@�

KFFL �� 5�� ��) Q��� �����) ��� #� #����) M����� �� *������� ��� 1� �� 0������� )N �� (�� . �� ���

)����������� 3��� � ������ �� ���� ������ 7)3�8) 1������� :77;�

KFGL B� ����) �� #�����) ��� ���� A�� �����) M!������ �� ���3���� ��� � ����� �� ����

������� ������)N �� (�� . �� )%%% )������������ ������� � �� � ����� �, ���� �, ��� ������

(�� ������ 7)���(8) ����� :77@�

KFHL *� <� ����) $�&��� ! �) ��� 0� D�����) M�������� �� ����������� � ��� $��� ������ )N

)%%% #����� ����� �� )��������� #�����) ���� ;G) ��� E) ��� 8:FFO8:H;) A��� :77:�

KG7L D� $���) !� D�) ��� Q�1� B����) M�������� �� !��� �� ��� #�������� ��� ����� �� ����

#� �� )N �� (�� . �� ��� )%%% )������������ ������� � �� � ����� �, ���� �, ��� ������

(�� ������ 7)���() ����� :77@�

KG8L �� A�����) 0� *�������) ��� 0� *����P) M$�� !������ �� �$���B$04 � �� �+���������

$�� 0�� *�� ���� ������������ 5����� #� ��)N �� (�� . �� )%%% 9��� ���� #� �������

������� � 79#8) ��� :777�

KG:L -� �����) $� !������) ��� #� <���V) M#���������� �� !$�� �� � D���*���� 0�����)N )%%%

#����� ����� �� )��������� #�����) ���� 67) ��� ;) ��� E7GOE:7) ����� :77;�

KG@L �� ����) #� #������) ��� 0�5� B�� A��) M$������� �����( �� ���� #��������)N ��!�����)

:77@�

NSR

Page 159: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

KG;L 0�5� B��) �� ����) ��� ��A� *�����P) M����� �� $���� �� ��� ���� 5����� #� �� ��

D����� 0������� )N �� �� (�� ������� �� ��� A6�� ������� ������� � �� �������, ������ ���

�������) &������� :778�

KG6L #� #������ ��� �� Q����) M!��� #���� ����� �� ���� #� �� 4 ����������� ��� #��������

#������ )N � ����� �� %�&��)( 5������ �� +������� ���� ������ ��� /����������

75+/8) A��� :77;�

KGEL 2� !� ��� 0�#� ����) M����� �� $���� �� ��� � $��� *���� �������)N )%%% ���� ������

������) ���� F) ��� G) ��� @F7O@F:) ���� :77@�

KGFL B� <� ������ ��� #� <����� ��) M!� ����� �� ������ $���� �� �� *���� $�� #� ��

�� #��������)N )%%% #����� ����� �� ���� ������) ���� 6:) ��� ;) ��� 6;EO6;H) ����� :77;�

KGGL 1� #��) !�$� !���) <� C�3� ) ��� A� D���) M$������ #�� ��������� .$#�/ �� ������

#$��%!$�� ( ��� � #��� ������ �� � ����)N )%%%1�� #����� ����� �� /���������)

���� H) ��� 8) ��� EH O G8) 1������� :778�

KGHL �� -���� ��� $� A�� ��) ������� ��� )���� ��!������ � "���� �� ��� #����� �� /(�

����������� 1������) 8HFH�

KH7L 0� C�����) !�$� !���) 1� #��) ��� <� C�3� ) M1�������D��� ������� �� #��� ������ �� �

#���� �� $������ #�� ���������)N )%%% #����� ����� �� 9��� ���� #� �������) ���� 67) ��� ;)

��� 87:; O 87@G) A��� :778�

KH8L B� Q�� ��� B� D��) M*���������� �� #�����$��� ��� ������������ .#$��/ �� #��������)N

)%%% #����� ���� �� +������� ���� ������) ���� 8) ��� ;) ��� E88 O E8G) ������ :77:�

KH:L �� C�� ������ ��� D� !� ���� ) M������� ������ ��������� ��� �1$���� �� #��� ������

#� �� �� D����� !��� ������ 0� ����� )N #� ��� �� &����� � &�����) :77:) ��������� �

�4%%������� �� ���������%����� %:77:%!0S:77:�E;�����

KH@L UU) M������� 0� ����� ��������� �� #$����� �� 5����� ��������� &����� �� �1$�

#��������)N �� (�� . �� ��� 2:�� ������ 5���� ������� � �� ��� )%%% ���� ����� �� ����

7)/�**�8) A��� :77:�

KH;L *� <�����������) D� ��� $�� *����) ��-��� ����� ) �� -� ������ ) ��� B�A� $� ���) M� ��������

�1$�%#$�� �������)N )%%% 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������) ���� 8G) ��� 88)

��� :@8: O :@:8) &������� :777�

KH6L 5�A� B���� ��� A�1� $����) M� #����� ��� ����� #���� ��� $������� ����������� �� #$��

������ 0����)N �� (�� . �� ��� #���� )%%% +������� �� �������� �� ������ ��� ����� (�� ������)

���� :777�

KHEL <�C�&� D�� ��� Q�C� C���) M*���������� ����� � �� #��� #�����!��� #�������� �� �����

(���� 1������4 2����1������ D����� *���� ���)N )%%% #����� ����� �� 9��� ���� #� �������)

���� 6@) ��� :) ��� @@HO@67) ���� :77;�

KHFL Q� ��� ��� <���C� D�) M#�������� ������� �� ���������� 5����� &����� )N (�� ������� ��

��� )%%%) ���� GH) ��� 8) ��� FE O GF) A������ :778�

NSM

Page 160: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

;���������

KHGL 5� D�) C�C� Q�) D��� 5���) ��� <�C�&� D��) M������ ������� 1��� J������� �� 5�����

&����� 4 � �� ��� � &�� �������)N �� (�� . �� ��� )%%% )������������ ������� � ��

���� ������) ��������� :77:�

KHHL B� 1�� ��� �� D����) M�� �������� �� #�������� ������� �� 5����� ��������� &����� )N

)%%% +������� ���� ������) ���� H) ��� 6) ��� FEOG@) ������ :77:�

K877L $�*� *������) M� (��'�� 1�������� ��� ������������ ���� ���� ������ )N (�<�< #�����)

��� :77@�

K878L �� *� ������ ���) �� �� *���3�&����) ��� ���� D����� �B�������3) M�� *���� ��������� #������

��� �� ���� #����� � &�� � ��� ����������� 0��� �� �� �1$������ #� ��)N )%%%

#����� ����� �� +������� ������ ������) ���� @) ��� @) ��� G7GOG:7) ��� :77;�

K87:L 0� -����� ) � (���� �� "�� #����� 7������� %������8) ����� �� �) ���) 8HHF�

K87@L ��(� #�������) &��� ��������) ��� $�A� -������) M�+���� *���� ������ ��� *������ ��

5����� $�� &����� )N )%%% #����� ����� �� ���� ������) ���� 67) ��� :) ��� :H8O@7@)

1��� :77:�

K87;L $� -������ ��� &� ��������) M*���� ������ ��� 5����� $��)N )%%% (�������

���� ������) ���� F) ��� :) ��� ;GO6;) ����� :777�

K876L ���� ���C��3�� ��� #��� 5�����) M-��� !���� ��� � $� ��� �� #�������'������) �������

5����� &����� )N )%%% ���� ������ ����4���) ���� @H) ��� 88) ��� 8:EO8@8) &�������

:778�

K87EL !� *���) M*���� ������ �� �� �� -��� !����� ���������� � � (����� �� �$�� � �� �

.�������� ��� �� #���� /)N �<� < #����� ��� ��� #� ��� �� ���'������ �� �������� 7�(8, �����)

A������ :77;�

K87FL �� ����� ��� 2� �����) M#�������� -��� ��� *���� ������ �� 5����� &����� )N )%%%

#����� ����� �� ������� ������) ���� ;G) ��� 6) ��� G@H O G;:) ��� :77@�

K87GL 5� Q�) -� -��� ) ��� A��� ���+) M$� ������ ����� �� *���� ������ ��� $����� #�� ������

D��� )N )%%% 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������) ���� :7) ��� 6) ��� 8876 O 8886) A���

:77:�

K87HL $� B��� �B���� ) M�� ����� ����� #������ ��� �������� !��� �� ��� �����)N �<�< (������

:@=;22= 75��� B;?=8 ��� :=AB?B@ 7��� � B;??8�

K887L 0� <� #������� ��� 0�0� #�����) M�� �+���� ���������� ������� ��� $�! ���������� )N )%%%

���� ������ ������) ���� ;) ��� @) ��� G7 O G:) ���� :77@�

K888L A� ��������) M*������� �� D������ ��� $�!)N �� (�� . �� ��� )%%% )������������ ������� � ��

���� ������ 7)8) A��� 8HHH�

K88:L D����� B��) A� !������) ��� A��� ���+) M$� ���� $��� J�# D������ ������� 1�� �����������

#� �� )N �� (�� . �� )������������ ������� � ���� ������ 7)8) 8HHH�

NSV

Page 161: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

K88@L ��#� C�������) C� 0���������) ��� $�D� A��� ) M������������� �+���� ������ *����

��������� ������� ��� ����������� ������������ #� �� )N )%%% #����� ����� ��

���� ������) ���� ;G) ��� 8) ��� :@ O :F) A������ :777�

K88;L $�5� D��) M�� ������ �� D������ 1�� ������� �$#D)N �� (�� . �� )%%% )������������

������� �� �� ���� ��� ������) ��� :777�

K886L �� 2������ ���������) �� -�3���) ��� �� -����) M&���������� ���������� ������� ���

�$#D���� $�! ���������� )N )%% (�� ������� ���� ������) ���� 867) ��� E) ��� ;8; O ;8G)

$������� :77@�

K88EL ��Q� 5���) 0�#� ����) C��� D�����) ��� 0�$� ����) M����� �� �1$� �� �������

#���������) ��) ��� *���� ���������)N )%%% 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������)

���� 8F) ��� 87) ��� 8F;F O 8F6G) ������ 8HHH�

K88FL $� C�����) -� D�) ��� B� D��) M������������� �+���� ������� ��������� ��� *���� ������

��� �1$��)N )%%% #����� ����� �� +������� ���� ������) ���� :) ��� E) ��� 8867 O 886G)

&������� :77@�

K88GL #� *W� ������) ����� ������ ���������� ��� $����!��� &����� ������� �� �!�� #9 /��������

*�$� !� � ) :77@�

K88HL �� �����) #� ������) ��� *� <������) MJ�# ����� ������� 0� ����� ��������� !����,�� ���

1��� #�������� �� �1$�� �� �� ��������� 5����� ���� #� �� )N )%%% #����� ����� ��

$���� ������) ���� ;H) ��� ;) ��� @E: O @F7) $������� :77@�

K8:7L C� ������) D�D� B��) C� ���� ��) ��� Q�B� D��) M�� � ( � �� D����� *���������� ���

$������ #�������� ��� �� ��������� �� ����� �� �1$�)N �� (�� . �� ��� )%%% "��!��

#��� ���� ������ ������� � 7" *$%*�8) &������� :778�

K8:8L A� D��) 0� <� #�������) ��� A� �� ���+) M������ �� ���������� ���

������������ #� �� )N ��!����� �� )%%% #����� ����� �� ���� ������) :77@) ��������� �

�4%%���� ����������%∼P������%�K8::L ���� ���) M�� ��������� �� #��������� !��� ��� � ������������� C��� ��� *������)N ��

(�� . �� ��� ���� ��������� ������� � 7�8) ����� :77@�

K8:@L $� ����� ��� �� C���) M5�������� ������� 5����*������ <�� ��� �� <��D�#!)N �� (�� . �� ���

=�� )������������ *����+�������) #������� :77:�

K8:;L =� 2��� ��� �� ��� ��) M*���� ��������� ��� �� D������ ��� #����� ������� ��� �� ����

#� �� )N �� (�� . �� ��� )������������ ������� � �� � ����� �, ���� �, ��� ������ (�� ������

7)���(8) ����� :77@�

K8:6L C�C� 5���) M������� #�����$��� ����������� ��� ��� �������*���� ��������� �� ����� ��

���� 1�� 1����� ������� ������ )N �� (�� . �� ��� 6?�� 9��� ���� #� ������� ������� �

79#8) ������ :77@�

K8:EL ������ ) M( �� 1��� J������4 1��� ��������� �� ������� ��� ( �� )N �� (�� . �� ��� 2B�� ������

5���� ������� � �� )%%% ������ ��� ���� ������ �� ������ 7)/�**�8) A��� :77:�

NSP

Page 162: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

;���������

K8:FL A� Q� D� ������ ��� �� 0��������) M� (��'�� 1�������� ��� �� ���� ��� ������ 1�����

�� ���������� )N �� (�� . �� ��� :>�� ������ �������� ������� � �� ���� �����, ������,

��� �������) ������ :77:�

K8:GL �� C��3 ��� �� #������) M�������� ��� ������������ �� #�������� ������� ��� 5�����

���������� )N �� (�� . �� ��� 6�� %������� (������� ��!��� ���� ������ ������� �) :77@�

K8:HL B� 2� ��� C�A�0� D��) M!� ( � �� $���� �� ������ �� B���#���� 5����� #� �� 4 �������

-��� ) 1����� � �� ) �����( �� #��������)N $��� �!� #� ��� �� ��������) :778) ���������

� �4%%��� ��������� ����%��%� %��%��� %����� %��� S������

K8@7L !� #������� ��� D� <����������) M�������� ������� �� 5������� �������� ������ )N �� (�� .

�� ��� %������� ������ (�� ������ ������� � 7%��)(*8) #������� :77;�

K8@8L $� ��������) $�*� *������) ��� ���� *���3�&����) M0����!��� #�������� ��� 5����� ����� ��

��#� #� �� ����� $�"���� 1����� �������)N �� (�� . �� ��� )������������ ������� ������

(�� ������ ��� ��� ����� ������ 7)��(�8) A��� :77@�

K8@:L B� 2� ��� C�A�0� D��) MA��� ������� *���� ��� ��������� ��������� �� 5����� &�����

�� ������ $���� ��)N �� (�� . �� ��� ������ ����� ��� ����� ������ ������ (�� ������

+�������) ���� :77:�

K8@@L 0� C����) M�������� ����� �� $���� �� ����� B��� 1����� ��� ���� )N �� (�� . �� ���

)������������ ������� �� )��������� #����� 7)�)#8) A����A��� :77:�

K8@;L 0� A���) $� ���) ��� 5� B���) M� J�������� ��� ��� �� 1����� ��� $� ����������

��� 0� ����� ��������� �� #���� ������� #� �� )N �% &����� � &��< #&�A>B)

���� :) ��� 6) ��� 878F O 87:G) #������� :77@) ��������� � �4%%����� ������

������%∼P���%����� %������ ���

K8@6L B� �������3) M1�������� �� *������� !����)N #�� 5������ �� ����� �) ���� ;E) ��� :) ���

;EHO;FF) A��� 8HH8�

K8@EL UU) M*������� #�������)N #�� 5������ �� ����� �) ���� F) ��� 8) ��� FFOH8) ���� 8H6:�

K8@FL 0��� ������� ��� #��� ���� ) (��� ����� �� �������� ����� �, =�� %������� &�� Q���4 ��-����

B���) :77:�

K8@GL B� 1�) 0� 0�����) $� ������ ��) $� ��3��) ��� �� =�) M��� �'����� �� <������ 1�������

���� #������ ����� )N �� (�� . �� ��� 6�� )������������ ������� � �� )��������� ������

�������� ��� ��������� 7)���8) 8HHH�

K8@HL B� #� ��� B� #��) M�� ��������� �� !��� ������ �� *���� #������� ( ��� � &����

��� ��� �� �� ������� 1����� )N �� (�� . �� ��� (������� �, ������� ��� ���� ������

������� �) ����� :77@�

K8;7L C� =�) MB�� � � D������� �� -���X ���� ������� �� � *� G7 Q��� YN ���������

���'������, % ���� � +������ (����<) ����� :77@) ��������� ���� �4%%����� � ������% ��@%

����� ����Y�� ���S��Z;:@:77�

NSO

Page 163: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

K8;8L -� Q�� ��� =�Q� 2��) M�������3X �����<������� *������� #������� 5� 0����� #������4

1��� $� �����!��� ����� � !��� �������� �!��� D��� )N )%%% #����� ����� �� ������� �

��� ������) ���� ;H) ��� @) ��� @;H O @E7) ���� :77;�

K8;:L D� �� ����� ��� A� 0���� ) M������� #�����4 ��P����� ��� ������� )N )%%%1��

#����� ����� �� /���������) ���� 87) ��� @) ��� @:7O@:G) A��� :77:�

K8;@L A� ��� ��� #� *������) M��#� ����� �� $������� ������� ������ !��� �� ��� ��� �$��

#� �� )N )%%% #����� ����� �� ������ (�� ������) ���� 6:) ��� E) ��� 86E;O86F@) A��� :77@�

K8;;L �� *� ������ ���) �� �� *���3�&����) ��� ���� D����� �B�������3) M�� ������� � ������

A��� ����������� $� ��� �� � ������1$� ����� �� #� ��)N �� !� ��!������ �� ��� %�&��)(

5������ �� +������� ������ �������

K8;6L A� A����) �� ������) ��� 5�B� !�����) M#����� !�B *�������� ��� *���� $�� #� �� ��

#��������)N �� (�� . �� ��� 6?�� )%%% 9��� ���� #� ������� ������� � 79#8) ������ :77@�

K8;EL ���� B������) !�D� ���3��) ��� <� !����) M����������� ������ B�������� ��� �

���������� ��� 0�� 1������� ��� #��������)N ��!����� �� )%%% #����< �� )����< #�����)

��� :77:�

K8;FL 2� $������) =� #��) ��� A�5� ����) M�+���� ���� ���� ��� ������ ��� B���������� #������

�� 5����� ������ �!� &����� )N )%%% ���� ������ ����4���) ���� @G) ��� 87) ��� F:OFG)

������ :777�

K8;GL $� ��������) �� *� ���� � ���) ��� ���� *���3�&����) M#����� #�������� ������� ��� 5�����

#� �� )N �� (�� . �� )������������ ������� � �� � ����� �, ���� �, ��� ������ (�� ������

7)���(8) ����� :77@�

K8;HL #�!� ���� ��� ��A� -��� ��) M$����� �� 1������ �� ������� ���������4 � (��'�� <���)N

)%%% #����� ����� �� ���� ������) ���� ;H) ��� H) ��� 86E8O86F8) #������� :778�

K867L A��� ���+) M� ����������� ������)N �/�) �� <, #B%B<: #� �< ��! ������) ��� H8�86F) 8HH8�

K868L $� *��33� ��� D��� ��� ���) M����� �� $���� ���������� !�����"4 �������� ��� *����������

����� � �� � *���������� 1��� #��������)N �� (�� . �� ��� "��!�� #��� ���� ������ ������� �

7" *$%*�8) &������� :77:�

K86:L �� 0��) ����� �������� �� )������ � ��� ��� ����� ������ A�� 5���� ��� #�� ) 8HF@�

K86@L ���� ���C��3�� ��� #��� 5�����) M� 0������ -��� ������� � $� ������ *���� ������ ��

�$�� 5����� $�� &����� )N �� ��'����� ��� )%%% #����< �� +������� ���<

K86;L �� ��������� ��� B�<� *���) MA����� ������ *���� ��� ���� ��� ������ ��� $���� #�� ����

!��+� �� �$�� &����� �� D��#� 0������� )N )%%% #����� ����� �� ������ (�� ������)

���� 68) ��� G) ��� :7@8 O :7;:) ���� :77@�

K866L ��A� -��� �� ��� �� #����-��) M<����������� <������������� �J�� ��� 1����� ������ )N

)%%% #����� ����� �� ���� ������) ���� ;6) ��� 87) ��� 8:8G O8:@7) ��� 8HHF�

NST

Page 164: Fairness Analysis of Wireless Beamforming Schedulers

;���������

K86EL 0� C���� ��� *��� B�����) M���������� ������� ��� *���� ������ �� #���������� ����� ��

������������ )N �� (�� . �� ��� B;;6 )%%% )������������ ������� � �� ���� ������ 7)8)

A��� 8HH6�

K86FL ���� #� G7:�88��8HHH) *�� 884 5����� D�& ������ ���� ������ .���/ ��� *� ���� D����

.*BQ/ #����'����� 4 B��� ���� *� ���� D���� �� � 6 -B3 ����) 8HHH�

K86GL �� C�� ������ ) &����� � ���� ����� ������ �� !����!��� �������� �������� ���� *��� ����������

*�$� $� ������) :77:�

K86HL ��#� ������ ��� ��#� #�� �) M�������#���� !����$��� ��� ������� ���� ��� ��������� ������

5����� #� �� )N )%%% 5������ �� ���� ��� ����� �� ���� ������) ���� 8E) ��� E) ��� H@F O

H6:) ���� 8HHG�

K8E7L A� ����� ��� *� #�����) M������ ����� ��� B�������%: �� $�"���� ������ #������� )N $&�/

A%&)>?6$) ���� 8HHG�

K8E8L $� �������� ��� ���� *���3�&����) M0����'������� ������ ����� ��������� ��� �1$�

0������� )N �� (�� . �� ��� 2�� )%%% )������������ ������� �� ������ (�� ������ ���

)��������� #� ������� 7)��()#8) $������� :77:�

NRJ