Fakulta biomedicınskeho inzenyrstvı – Teoreticka

elektrotechnika

Prof. Ing. Jan Uhlır, CSc.

Leto 2017

4. Vypocty v casove oblasti

1

Laplaceova transformace – aplikace v analyze elektrickych obvodu

Obvodove rovnice s integralnım nebo diferencialnım popisem vztahu mezi obvo-dovymi velicinami

Prechodne deje — napetı (proud) v obvodu se skokem budicı veliciny

2

Laplaceova transformace ve vypoctech elektrickych obvodu

Definice Laplaceova obrazu pro casovou funkci f(t)

F (p) =∫ +∞

0f(t)e−ptdt, s = σ + jω

Definice zpetne Laplaceovy transformace pro obraz F (s)

f(t) =1

2πj

∫ σ+∞

σ−∞F (p)eptds

Prakticke pouzitı Laplaceovy transformace je zalozeno na slovnıcıch, ve kterychjsou k dispozici uzitecne dvojice ” predmet – obraz “

Pro prımou a inverznı Laplaceovu transformaci je mozno pouzıvat take matema-ticky software

3

Vlastnosti Laplaceovy transformace – operace

• Linearitan∑

k=1

akfk(t) ⇐⇒n∑

k=1

akFk(p)

• Posunutı v case

f(t− t0) ⇐⇒ F (p)e−pt0

• Obraz derivacedf(t)

dt⇐⇒ pF (p)− f(0+)

• Obraz integralu∫ t

0f(τ)dτ ⇐⇒ 1

pF (p)

4

Vlastnosti Laplaceovy transformace – signaly

• Jednotkovy impuls

δ(t) ⇐⇒ 1

• Jednotkovy skok

1(t) ⇐⇒ 1

p

• Sinusovy signal, kosinusovy signal (viz derivace)

1(t) sin(ωt) ⇐⇒ ω

p2 + ω21(t) cos(ωt)⇐⇒ p

p2 + ω2

• Exponencialnı impuls

1(t)e−at ⇐⇒ 1

p+ a

5

Pro analyzu v casove oblasti nejcasteji pouzijeme impulsove signaly.Nejjednodussı z nich se nazyva napet’ovy (proudovy) skok.

.ot

u(t)U

0

u(t) =

0, t < 0U, t ≥ 0

Laplaceuv obraz

U(p) =U

p

6

Dalsı signal pro analyzu v casove oblasti oznacujeme jako osamely impuls.

.

.tti

u(t)U

0

u(t) =

0, t < 0U, t ≥ 00, t ≥ ti

Laplaceuv obraz

U(p) =U

p(1− e−pti)

7

Periodicky impulsnı prubeh

.

tT T + ti 2Tti

u(t)U

0

u(t) =

0, kT + ti < t < (k +1)TU, kT ≤ t ≤ kT + ti

u(t) =

0, kT + ti < t < (k + 1)TU, kT ≤ t ≤ kT + ti

k = . . . . ,−2,−1,0,1,2, . . . strıda (duty cycle) d = tiT−ti

Laplaceuv obraz U(p) = Up

(1−e−pti)(1−e−pT )

8

Realny impulsnı signal

u

tr

ti

tf

td

t

vrchol impulsu (ui)

pata

ui

10%ui

50%ui

90%ui

celo tyl

9

• tr je doba trvanı cela (nabehu) impulsu (rise time) a merı se jako cas, kteryimpulsnı napetı potrebuje k prechodu mezi 10%ui a 90%ui.

• tf je doba trvanı tylu (poklesu) impulsu (fall time) a merı se jako cas, kteryimpulsnı napetı potrebuje k prechodu mezi 90%ui a 10%ui.

• td je doba zpozdenı cela impulsu (delay time) a muze byt vztazena k jakemukolicasovemu okamziku, obvykle pred prıchodem cela. Obecne muze byt vztazenai k okamziku pozdejsımu, pak ma zaporne znamenko. Pokud se vztahujek jinemu impulsu, byva merena rovnez vuci okamziku, kdy tento impulsprochazı urovnı 50%ui.

• ti doba trvanı impulsu

10

• u periodicky se opakujıcıch impulsu se uvadı

– kmitocet nebo perioda opakovanı impulsu

– strıda (duty cycle), tj., pomer doby trvanı impulsu k dobe trvanı paty, opetmereno v urovni 50%ui

Obvod RC buzeny skokem napetı – integracnı obvod

.

R

C

u1(t) uC(t)

11

V RC obvodu se bude kapacitor pres rezistor nabıjet. Pocatecnı napetı nakapacitoru v case t = 0 necht’ je uC(0).

V case t→∞ pujde uC(t)→ U . Nabıjecı proud klesne k nule tehdy, kdy senapetı na zdroji vyrovna s napetım na nabitem kapacitoru.

Pro proud v obvodu lze napsat rovnici

Ri(t) = U − uC(t) = U −(

1

C

∫ t0i(t)dt+ uC(0)

)

K jejımu resenı pouzijeme Laplaceovy transformace.

Zname obraz skoku (1p ), obraz pocatecnı podmınky pro funkci

(f(t)⇐⇒ 1pf(0)) a obraz integralu funkce (

∫ t0 f(t)dt⇐⇒ 1

pF (p)).

12

Pro Laplaceuv obraz proudu I(s) pak lze napsat

RI(p) =U

p−(

1

pCI(p) +

uC(0)

p

)

a po uprave

I(p) =U − uC(0)

R

1

(p+ 1τ ), kde τ = RC

Ve slovnıku Laplaceovych obrazu nalezneme 1p+a ⇐⇒ e−at

Resenı tedy popisuje casovy prubeh proudu pro t ≥ 0

i(t) =U − uC(0)

Re−

tτ

τ = RC je casova konstanta a ma rozmer v sekundach.

13

Pro obvod lze nakreslit jeho operatorovy model a rovnici zapsat prımo z nej

U.1(t) U/p

R R

i(t)I(p)C

1/pC

uC

I(p) =

U−uC(0)p

R+ 1pC

=U − uC(0)

R

1

p+ 1RC

F (p) =1

(p+ a)⇐⇒ f(t) = e−at

i(t) =U − uC(0)

Re−

tτ , kde a = 1/τ τ = RC

.

14

Normalizovany casovy prubeh proudu

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

cas t/τ

i/i 0

i0 = U−uC(0)R

15

Pro napetı uC(t) dostaneme

uC(t) = U − (U − uC(0)) e−tτ = U(1− e−

tτ ) + uC(0)e−

tτ

a pro uC(0) = 0

uC(t) = U(1− e−tτ )

nebo Laplaceovou transformacı

UC(p) = Up .

1pC

R+ 1pC

= Uτ .

1p (p+1

τ )

Slovnık: F (p) = 1p (p+a)⇐⇒ f(t) = 1

a

(1− e−at

)

a = 1τ , uC(t) = U

(1− e−

tτ

)

16

Graficky prubeh nabıjenı ukazuje obrazek, a to pro prıpad, zeuC(0) = 0, U = 1V , RC = τ = 1 s, napr. R = 100 kΩ a C = 10µF.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

ua

ub

tab

τ

cas t [s]

uC(t)

[V]

17

Z obrazku lze vycıst nektere vlastnosti napetı na kapacitoru:

• smernice tecny exponencialy na pocatku prechodneho deje je rovna casovekonstante τ ,

• po uplynutı doby t = τ dosahne exponenciala priblizne 63% z ustalenehodnoty,

• po uplynutı casu odpovıdajıcıho trem casovym konstantam je napetı na ka-pacitoru vetsı nez 95% ustalene hodnoty,

• po uplynutı casu odpovıdajıcıho peti casovym konstantam je napetı na ka-pacitoru vetsı nez 99% ustalene hodnoty,

• zvolıme-li na exponencialnım prubehu dve libovolne urovne napetı ua a ub,muzeme pri zname velikosti ustalene hodnoty U vypocıtat dobu tab, po kte-rou exponenciala bude probıhat mezi napetımi ua a ub

tab = τ ln

(U − uaU − ub

).

18

Nad vyrazy pro napetı na kapacitoru a proud obvodem lze uvest nasledujıcıprakticke uvahy:

• prechodny dej lze urychlit jenom zmensenım casove konstanty τ = R.C,

• zmensenı casove konstanty lze docılit zmensenım kapacity C, coz v praxinemusı byt vzdycky mozne,

• zmensenı casove konstanty lze docılit zmensenım odporu R; to ale vedek vetsımu proudu i(0) = U/R, coz nemusı snaset zdroj impulsnıho napetı.

Zkracovanı prechodnych deju v elektronickych obvodech je vzdy bojems prırodou.

19

Necht’ napetı u1(t) = U skokem prejde v case ti z hodnoty U na hodnotuu1(ti) = 0. Jedna se o buzenı impulsem:

0,0 1,0 2,0 3,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 1,0 2,0 3,00,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 1,0 2,0 3,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

t [µs]

t [µs]

t [µs]u

[V]

u[V

]u

[V]

20

Pokud bylo uC(0) = 0, vytvorı se v case ti pocatecnı podmınka pronasledujıcı prechodny dej

uC(ti) = U(1− e−tiτ )

Pak z vyrazu pro prechodny dej s pocatecnı podmınkou uC(ti) a nulovymbudicım napetım dostaneme

uC(t) = 0− [0− uC(ti)] e−t−tiτ

uC(t) = uC(ti)e−t−tiτ

21

Buzenı periodickymi impulsy

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,00,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,00,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

t [µs

t [µs]

t [µs]

u[V

]u

[V]

u[V

]

22

Na prvem grafu vystupnıho signalu je casovy prubeh na vystupu z obvodus casovou konstantou τ = 50 ns (tedy 5 % z periody impulsnıho prubehu), nadruhem grafu je casova konstanta obvodu nastavena na 5µs (tedy petinasobek

periody). V tomto druhem prıpade se chovanı obvodu da interpretovat jakointegrace. Povsimneme si, ze vystupnı napetı obvodu na konci prechodnehodeje osciluje kolem hodnoty 7 V. To je hodnota integralu z periody vstupnıhoprubehu (10 V a 70 % periody). Napetı se ”vlnı“, ale pokud bychom casovou

konstantu zvetsili, zvlnenı by se zmensilo, avsak ustalenı na hodnote integraluby trvalo dele.

23

Obvod RC buzeny skokem napetı – derivacnı obvod

R

C

u1(t) uR(t)

24

Pokud uC(0) = 0 je napetı na vystupu derivacnıho obvodu pro t < 0 rovnouR(0−) = 0. Pro t ≥ 0 platı

uR(t) = Ue−tτ

Normalizovany prubeh

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

τ

cas t/τ

uR/U

25

Pri buzenı osamelym impulsem skocı vstupnı impuls z hodnoty napetıu1(t) = U v case ti zpet na nulovou hodnotu. Pak bude

uR(t) = (0 + uC(ti)) e−t−tiτ = (uR(ti)− U) e−

t−tiτ pro t ≥ ti

Pokud bylo pred prıchodem impulsu v case t = 0 vystupnı napetı nulove, bude

uR(ti) = Ue−tiτ uR(t) = U (e−

tiτ − 1) e−

t−tiτ pro t ≥ ti

A pokud by prechodny dej v prubehu casu ti τ skoncil, tedy uR(ti) ≈ 0,pak

uR(t) = −U e−t−tiτ pro t ≥ ti

26

0,0 1,0 2,0 3,0

0,0 1,0 2,0 3,0

0,0 1,0 2,0 3,0-12,0

-8,0

-4,0

0,0

4,0

8,0

12,0

-12,0

-8,0

-4,0

0,0

0,0

4,0

4,0

8,0

8,0

12,0

12,0

t [µs]

t [µs]

t [µs]u

[V]

u[V

]u

[V]

27

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

-4,0

-4,0

-4,0

-8,0

-8,0

-8,0

-12,0

-12,0

-12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0,0

0,0

0,0

4,0

4,0

4,0

8,0

8,0

8,0

12,0

12,0

12,0

t [µs

t [µs

t [µsu

[V]

u[V

]u

[V]

28

Na obrazku je naznacena situace analogicka k prıkladu buzenı integracnıhoobvodu periodickymi impulsy. Nejprve je uveden prıklad buzenı obvodu impulsys periodou 1µs a strıdou 0,7 (impuls):0,3 (mezera) s tım, ze casova konstanta

obvodu je 0,1µs. V druhem prıpade je casova konstanta obvodu 5µs.

V prvem prıpade lze priznat obvodu roli obvodu derivacnıho, protoze generujejednotlive impulsy, ktere svou polaritou a kratkostı trvanı pripomınajı derivaci

skoku (derivace idealnıho skoku je nekonecne kratky impuls).

29

Clanky RL

integracnı obvod derivacnı obvod

R

R L

L

u1(t)u1(t) u2(t)u2(t)

Pro integracnı i derivacnı clanek slozeny z induktoru a rezistoru platı, pri buzenıskokem napetı nebo impulsy, identicke vztahy jako pro clanky RC.

Casova konstanta je τ =L

R.

30

Obvod LR se spınacem

V obvodu s induktorem muzeme vytvorit situaci, kdy se na svorkach nekterychsoucastek muze objevit napetı vyssı, nez ma kterykoli zdroj napetı. Tovyuzıvame v tzv. spınanych zdrojıch a regulatorech napajecıch napetı.

Princip takovych obvodu je zalozen na skutecnosti, ze induktor hromadı energiiv magnetickem poli, ktere je vytvoreno prochazejıcım proudem. Proto ma

prochazejıcı proud setrvacne chovanı. Pokud spınac skokem zmenı odpor vobvodu, prechodny dej bude vychazet z pocatecnı podmınky, dane proudempred prepnutım. Platı tedy, je-li proud pred sepnutım urcen mensım odporem

nez je odpor pripojeny po prepnutı, vznikne na svorkach pripojeneho rezistoruskok napetı s vetsım napetım, nez ma zdroj, ktery do induktoru proud zavedl.

31

Spınanı induktivnı zateze

0,5H

1kW

10V

0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms

0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms

50 ms

150 mA

100 mA

0 mA

50 mA

0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms

-225V

-150V

-75V

0

75V

150V

2W

sepnuto vypnuto

proud induktoru

napìtí na induktoru

32

Obrazy vztahu mezi obvodovymi velicinami na svorkach elementarnıch dvojpolu

.

uR(t) = RiR(t) ⇒ UR(p) = RIR(p)

iR(t) = GuR(t) ⇒ IR(p) = GUR(p)

uL(t) = LdiL(t)

dt⇒ UL(p) = pLIL(p)− LiL(0+)

iL(t) =1

L

∫ t

0uL(τ)dτ + iL(0+) ⇒ IL(p) =

1

pLUL(p) +

iL(0+)

p

uC(t) =1

C

∫ t

0iC(τ)dτ + uC(0+) ⇒ UC(p) =

1

pCIC(p) +

uC(0+)

p

iC(t) = CduC(t)

dt⇒ IC(p) = pCUC(p)− CuC(0+)

33

Operatorove modely kapacitoru pro obvodove rovnice

oxx

UC(p) = 1pCIC(p) +

uC(0+)p

UC(p) UC(p)

1pC

IC(p)

uC(0+)p

pC

CuC(0+)

IC(p) = pCUC(p)− CuC(0+)

34

Operatorove modely induktoru pro obvodove rovnice

IL(p)

UL(p) =

= pLIL(p)− LiL(0+)

UL(p)

pL

1pL

LiL(0+)

iL(0+)p

IL(p) = 1pLUL(p) +

iL(0+)p

35