Fakulta biomedicınskeho inzenyrstvı – Teoreticka

elektrotechnika

Prof. Ing. Jan Uhlır, CSc.

Leto 2017

2. Zakladnı vypocty

1

Orientace obvodovych velicin

Napetı i proud musıme identifikovat nejen hodnotami ve voltech a amperech, alei jejich orientacı.

Orientace obou obvodovych velicin je vecı dohody:

• Orientaci napetı mezi dvema svorkami obvodu volıme a vyznacıme sipkou.Napetı povazujeme za kladne, kdyz na svorce, u ktere sipka zacına zjistımefyzikalne kladnou polaritu napetı oproti svorce, ke ktere sipka smeruje. (Prifyzikalne opacne polarite, vyjadrıme napetı zapornou hodnotou).

• Orientaci proudu ve vodici zvolıme sipkou (s plnym hrotem). Proud povazujemeza kladny, kdyz odpovıda proudu fyzikalne protekajıcımu z mısta s vyssımnapetım do mısta s nizsım napetım.

2

1. Kirchffuv zakon

Soucet vsech proudu v uzlu elektrickeho obvodu je v kazdem okamziku nulovy.

R1

C

R2u(t)

i1(t) i2(t)

i3(t)i4(t)

N∑n=1

in(t) = 0.

3

Povsimneme si, ze vyznaceny proud vsech vetvı smeruje do uzlu. Ma-li bytsoucet nulovy (a jiste nejsou vsechny proudy identicky rovny nule), pak nektere

hodnoty proudu budou zaporne. Znamena to pouze to, ze skutecny smer prouduje opacny, nez jsme vyznacili. Kladny smer proudu ve stejnosmernem obvodu je

smer od kladne k zaporne svorce.

4

2. Kirchhoffuv zakon

Soucet napetı podel libovolne smycky v obvodu je v kazdem okamziku nulovy.

i

R1C

R2

u4(t)

u1(t)

u2(t)

u3(t)

n∑1

un(t) = 0.

5

Seriove spojenı rezistoru

R

i(t)i(t)

R1 R2

u(t)u(t)

u1(t) u2(t) ux(t)

⇐⇒

Hledame hodnotu odporu R rezistoru, ktery je ekvivalentnı seriove kombinaciR1 a R2, tedy takoveho rezistoru, ktery v obvodu se zdrojem u(t) nastavı

proud i(t), totozny s tım, ktery prochazı obvodem s rezistory R1 a R2. Z 2.Kirchhoffova zakona muzeme odvodit

6

u(t) = u1(t) + u2(t) = R1i(t) + R2i(t) = (R1 + R2)i(t)

u(t) = ux(t) = Ri(t) = (R1 + R2)i(t) −→ R = R1 + R2.

Je-li zarazeno N rezistoru v serii, je mozno je nahradit jednım rezistorem sodporem

R =N∑

n=1

Rn.

7

Je-li vysledny odpor souctem odporu jednotlivych rezistoru a proteka-li vsemistejny proud, pak muzeme zjistit, jake jsou hodnoty napetı na kazdem z nich.

i(t) =u(t)

R1 + R2u1(t) = R1

u(t)

R1 + R2u2(t) = R2

u(t)

R1 + R2.

Obecne na n-tem rezistoru bude napetı

i(t) =u(t)∑Nn=1 Rn

un(t) = Rnu(t)∑Nn=1 Rn

(n = 1 . . . N).

8

Paralelnı spojenı rezistoru

Hledame jeden ekvivalentnı rezistor (jeho hodnotu R), ktery odvede proud zezdroje napetı stejny, jako ze zdroje odvadı rada paralelne spojenych rezistoru.

R

i(t)

R1 R2u(t)u(t)

i1(t) i2(t) ix(t)

⇐⇒

i(t) = i1(t) + i2(t) =u(t)

R1+

u(t)

R2

ix(t) =u(t)

R= i(t)→ 1

R=

1

R1+

1

R2→ R =

R1.R2

R1 + R2.

9

Prevracenou hodnotu odporu oznacujeme jako vodivost G = 1/R a udavame jiv jednotkach siemens [S] (S = Ω−1). Je-li zarazeno N rezistoru paralelne, je

mozno je nahradit jednım rezistorem s odporem R nebo vodivostı G

1

R=

N∑n=1

1

RnG =

N∑n=1

Gn.

Jake jsou hodnoty proudu, ktere kazdym z rezistoru prochazejı zjistıme prinapajenı napet’ovym zdrojem. Pokud vsak zname jen celkovy proud i(t)

vstupujıcı do uzlu, z ktereho jsou do spolecne svorky zapojeny ruzne rezistory,pak je rozdelenı proudu mezi jednotlive rezistory dano:

in(t) =i(t)Gn∑Nn=1 Gn

(n = 1 . . . N).

10

Paralelnı spojenı kapacitoru

CC1 C2UU

⇐⇒

Napetı U , urcuje naboj, ktery je ulozen v kazdem kapacitoru. V kapacitoru C1je ulozen naboj Q1 = C1U a v kapacitoru C2 je ulozen naboj Q2 = C2U .V kapacitoru C je pri temze napetı naboj Q = CU . Za ekvivalentnı budeme obaobvody povazovat, pokud zdroj ulozı do obou obvodu tyz naboj. Tedy

Q = Q1 + Q2 −→ C = C1 + C2.

Je-li zarazeno N kapacitoru paralelne, je mozno je nahradit jednım kapacitorems kapacitou

C =N∑

n=1

Cn.

11

Seriove spojenı kapacitoru

II

u(

u1(T ) u2(T )

C

C1 C2

II

⇐⇒

Necht’ po dobu T prochazı ze zdroje proudu konstantnı proud I . V case T necht’

klesne proud k nule.

Proud I ulozı za cas T v kapacitoru C1 naboj q1(T ) = I.T = C1u1(T ).

Tyz proud ukladal naboj take do kapacitoru C2, takze q2(T ) = I.T = C2u2(T )

a v ekvivalentnım obvodu q(T ) = I.T = C.u(T ).

12

Platı

u(T ) = u1(T ) + u2(T )→ q(T )

C=

q(T )

C1+

q(T )

C2→ 1

C=

1

C1+

1

C2

takze

C =C1.C2

C1 + C2

a pro N kapacitoru1

C=

N∑n=1

1

Cn.

Z uvedene uvahy jiz lze odvodit, jak se na seriove kombinaci kapacitoru rozdelujecelkove napetı.Seriova kombinace kapacitoru ma vzdycky mensı celkovou kapacitu, nez manejmensı ze zapojenych kapacitoru.

13

Seriove a paralelnı spojenı induktoru s nezavislymi magnetickymi toky

Pro seriovou kombinaci N induktoru je mozno najıt jeden ekvivalentnı induktor sindukcnostı

L =N∑

n=1

Ln.

Pro paralelnı kombinaci N induktoru je mozno najıt jeden induktor s indukcnostı

1

L=

N∑n=1

1

Ln.

14

Seriove a paralelnı spojenı zdroju

Zdroje napetı lze radit do serie a vysledne napetı je souctem napetı jednotlivychzdroju

u(t) =N∑

n=1

un(t).

Paralelnı spojenı nelze nikdy pouzıt

Zdroje proudu lze radit paralelne – takove spojenı doda do obvodu proud danysouctem proudu jednotlivych zdroju

i(t) =N∑

n=1

in(t).

Seriove spojenı nelze nikdy pouzıt

15

Delic napetı – realny zdroj→ spotrebic

u0 uz

R0

Rz

spotrebiczdroj

16

Potenciometry

17

* 1 Je to seriove spojenı rezistoru v jedine smycce se zdrojem napetı. Celkovyodpor v obvodu je R = R0 + Rz. Zdroj napetı dodava do obvodu proud

i = u/R. Podstatne vsak je, ze

uz = u0Rz

R0 + Rz.

Napetı uz vzniklo rozdelenım napetı zdroje na dve casti, na napetı na rezistoruR0 a na Rz – vytvorili jsme delic napetı, se kterym se setkame v nescetnem

mnozstvı modelu realnych zarızenı.

* 2 Je to model spojenı realneho zdroje napetı se spotrebicem. Uvedli jsme, ze vpraxi neexistuje dokonaly zdroj napetı. Kazdy realny zdroj napetı je v

nejjednodussım prıpade nutno modelovat idealnım zdrojem napetı a rezistoremreprezentujıcım jeho vnitrnı odpor. Baterie muze mıt napr. napetı 12 V a vnitrnı

odpor 0,1 Ω.

18

Dıvame-li se na jakoukoli dvojici svorek, ktera ma poslouzit jako zdroj napetı(napajecıho stejnosmerneho nebo strıdaveho, ci impulsnıho), vzdy za nı

musıme videt obvod v nejjednodussım prıpade namodelovany napetım u0 aodporem R0.

K tomuto modelu se vazı nasledujıcı pojmy:

Napetı naprazdno je napetı, ktere na svorkach realneho zdroje zmerıme, kdyznenı pripojen spotrebic, Rz →∞, i→ 0.

unaprazdno = u0

Proud nakratko je proud, ktery bychom namerili, kdybychom svorky zdrojezkratovali (mnohdy lze jen na papıre). Tehdy Rz → 0

inakratko =u0

R0

Zajımave pouzitı obou udaju vede na vyjadrenı

R0 =unaprazdno

inakratko,

19

Uvedeny vztah pro vypocet R0 lze vyuzıt k vypoctu ve slozitem obvodu nebo i kpraktickemu merenı, pokud zkratovanı nevede k destrukci a merenı naprazdno

lze dostupnymi prıstroji provest.

Dalsı vyznamna uvaha spocıva v hodnocenı dusledku, ktere ma zatezovanızdroje ruznymi zatezemi (pokud nam situace dava ve volbe zateze volnost)

1. Pozadujeme co nejvetsı napetı (napet’ovy rozkmit), napr. na vystupu portupocıtace. Nejvetsı mozne napetı je u0 pri nulovem proudu zatezı (kdyz jeodpojena) nebo ma velmi veliky odpor. S rostoucım proudem do zateze (sklesajıcım zatezovacım odporem) vsak napetı realneho zdroje klesa.

2. Pozadujeme velky proud, napr. pro rozsvıcenı indikacnı LED. V realnemzdroji vsak s rostoucım proudem (klesajıcım odporem zateze) klesa napetı.Maximalnı proud je proud nakratko, pri nulovem napetı na zatezi.

20

3. Pozadujeme maximalnı vykon odevzdany do spotrebice pro dane napetıU vnitrnıho zdroje a dany vnitrnı odpor zdroje R0. Pro vykon na zatezi vzavislosti na velikosti zatezovacıho odporu Rz platı:

Pz = uz.i = URz

Rz + R0.

U

Rz + R0=

U2Rz

(Rz + R0)2=

Pzi

(Rz + R0)2,

kde Pzi je idealnı vykon, ktery by zdroj U dodal pri nulovem vnitrnım odporuzdroje.

Vykon v zatezi v zavislosti na jejım odporu

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

Pz/Pzi

log(Rz/R0)

Nejvetsı vykon odevzda realny zdroj tehdy, kdy se zatezovacı odpor rovna jehovnitrnımu odporu. Jde o vykonove prizpusobenı. Toto maximum predstavuje

ctvrtinu vykonu, ktery by do teze zateze dodal zdroj s nulovym vnitrnım odporem.

21

Veta o nahradnım zdroji – Theveninuv teorem

Necht’ je delic napetı uvnitr zarızenı a na svorky takoveho zarızenı chcemepohlızet jako na zdroj s vnitrnım odporem a vnitrnım idealnım zdrojem.

u0 u′0uz uz

R01R02

R′0 RzRz

⇔

spotrebicspotrebic zdrojzdroj

22

Vlastnosti realneho zdroje lze identifikovat z napetı naprazdno a proudunakratko. Tedy

u′0 = u0

R02

R01 + R02,

R′0 =

R02u0

R01 + R02u0

R01

=R01R02

R01 + R02.

23

Nortonuv teorem

Zdroj napetı spojeny v serii s rezistorem lze nahradit zdrojem proudu sparalelnım konduktorem.

Zdroj proudu paralelne spojeny s konduktorem lze nahradit zdrojem napetı vserii s rezistorem.

u = i/G, R = 1/G, i = u/R, G = 1/R

i

uG

R

> >

Ekvivalenci dokazeme shodou napetı naprazdno a proudu nakratko u obouzapojenı.

24

Graficka konstrukce ke druhemu Kirchhoffovu zakonu

Delic z rezistoru R1 a R2 je pripojen ke zdroji napetı U .

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4.54

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

R1 =15Ω

R1 = 15ΩR2 = 25Ω

R2 = 25Ωu1

u1

u2

u2 u

UU

i

Nakreslili jsme dva grafy. Pocatkem prochazı graf u = R1 · i, bodem u =

U prochazı graf u = U − R2 · i Resenı rovnice dane druhym Kirchhoffovymzakonem lezı v prusecıku obou grafu. V grafu vidıme, jak se rozdelilo napetı U ajaky proud tece obvodem.

25

Protoze graficka konstrukce vychazı jen z Kirchhoffova zakona, lze ji pouzıt i pronelinearnı nesetrvacne dvojpoly popsane obecnou voltamperovou zavislostı.

4.50 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0.05

0.1

0.15

0,2

i1 = g(u1)

i1 = g(u1)R2 = 20Ω

R2 = 20Ω

u1

u1

u2

u2

u[V]

UU

i[A]

26

Princip superpozice

– v linearnım obvodu s vıce zdroji se ucinky zdroju superponujı.

Aplikace principu superpozice pro zvolenou obvodovou velicinu:

1. Zdroje napetı nahradıme zkratem a zdroje proudu nahradıme rozpojenymobvodem.

2. Jeden z nahrazovanych zdroju nechame v obvodu pusobit. Hledanou velicinuvypocteme z pusobenı tohoto zdroje.

3. Hledanou velicinu postupne vypocteme za podmınek uplatnenı vsech zdroju,kazdeho samostatne. Zıskame tak tolik vysledku, kolik je v obvodu zdroju.

4. Hledanou velicinu vypocteme sectenım vsech dılcıch vysledku. Nezbytne jerespektovat orientaci obvodovych velicin.

27

Princip superpozice

u =?

i = 5mA

U1 = 10VU2 = 20V

R1 = 3000Ω

R2 = 3000Ω R3 = 3000Ω

u = −i (R1 ‖ R2 ‖ R3) + U1R1 ‖ R3

R2 + R1 ‖ R3+ U2

R1 ‖ R2

R3 + R1 ‖ R2

u = −5 + 10/3 + 20/3 = 5 V

Princip superpozice lze aplikovat jen u linearnıho obvodu a nelze ho uplatnit provypocet rozptyleneho vykonu. Problematicka muze byt aplikace na obvody s

vıce rızenymi zdroji.

28

Trasfigurace hvezda – trojuhelnık a trojuhelnık – hvezda

1

1

22

33

0

R01

R02R03

R23

R13 R12

R12 = R01+R02+R01R02

R03R23 = R02+R03+

R02R03

R01R13 = R03+R01+

R03R01

R02

R01 =R12R13

R12 + R13 + R23R02 =

R12R23

R12 + R13 + R23R03 =

R23R13

R12 + R13 + R23

29

Obecny dvojbran

Existenci obvodovych elementu, ktere patrı do kategorie dvojbranu, jsme jiz zmınili,jsou to rızene idealnı zdroje a idealnı operacnı zasilovac. Jde o elementy, kterese stykajı s dalsımi soucastmi obvodove struktury ctyrmi svorkami, ktere vsakmuzeme vetsinou povazovat za dve dvojice (brany), ktere k sobe z funkcnıhohlediska patrı (rıdicı – vstupnı a rızena – vystupnı dvojice svorek). Presto se vteorii obvodu setkame s ekvivalentnım oznacenım dvojbranu pojmem ctyrpol.

Obecne pripust’me operaci, pri nız se rozhodneme v obvodu zvolit dve dvojicesvorek s tım, ze se pokusıme ohranicit cast obvodu mezi nimi tak, ze se elementyv ohranicene casti stykajı s vnejsım obvodem jen temi zvolenymi ctyrmi svorkami.Pak budeme chtıt popsat tuto ohranicenou cast obvodu popisem, ktery by byl navnitrnım usporadanı nezavisly a pri upravach vne teto struktury nemenny.

30

Obecny dvojbran – schematicka znacka a veliciny na svorkach obou bran

u1 u2

i1 i2

Jednu moznost univerzalnıho popisu vzajemneho vlivu obvodovych velicin nasvorkach obou bran ukazuje nasledujıcı dvojice rovnic

u1 = Z1,1 i1 + Z1,2 i2

u2 = Z2,1 i1 + Z2,2 i2

Parametry Zi,j se oznacujı jako impedancnı (odporove) parametry, majı rozmerohmu.

31

Obecny dvojbran – moznosti popisu vztahu mezi velicinami na jeho branach

Lze dokazat, ze forem popisu dvojbranovych obvodovych vztahu je celkem sest.Krome jiz uvedene dvojice rovnic s impedancnımi parametry Z to jsou

i1 = Y1,1 u1 + Y1,2 u2

i2 = Y2,1 u1 + Y2,2 u2

kde Yi,j jsou admitancnı (vodivostnı) parametry – rozmer siemens

a dvojice hybridnıch popisu s parametry bezrozmernymi, odporovymi a vodi-vostnımi

u1 = H1,1 i1 + H1,2 u2 i1 = K1,1 u1 + K1,2 i2

i2 = H2,1 i1 + H2,2 u2 u2 = K2,1 u1 + K2,2 i2

32

Obecny dvojbran – moznosti popisu vztahu mezi velicinami na jeho branach

Zbyvajıcı dve dvojice rovnic se oznacujı jako rovnice kaskadnı s parametry Ai,j

a inverzne kaskadnı Bi,j

u1 = A1,1 u2 −A1,2 i2

i1 = A2,1 u2 −A2,2 i2

u2 = B1,1 u1 + B1,2 i1

−i2 = B2,1 u1 + B2,2 i1

S temito popisy se setkame jen ve specializovanych publikacıch.

Pro dobrou orientaci v teorii obvodu vetsinou postacı porozumet popisu s para-metry Z, Y a H .

33

Vyznam dvoubranovych parametru

Vrat’me se k popisu branovych obvodovych velicin, napr. pro parametry Z. Pros-tou uvahou pozname, ze parametry Z jsou ctyri konstanty, ktere umoznı popsatzavislost ”vseho na vsem“. Vidıme, ze napetı na vstupnıch svorkach zavisı naproudu, ktery jimi proteka (Z1,1) s tım, ze se ve vstupnım obvodu – jeho napetı,muze nejak projevit i proud vystupnıch svorek (Z1,2), ktery je zavisly na napetıvystupnıch svorek (Z2,2). To vsak muze ovlivnovat i vstupnı proud (Z2,1).

Podobnou uvahu o vzajemnych vazbach muzeme provest pro kteroukoli branovouvelicinu. Navıc se snadno presvedcıme, ze analogicke uvahy lze provadet vekteremkoli typu rovnic. Dusledkem toho je skutecnost, ze vsechny typy parametrujsou vzajemne prevoditelne.

34

Odvozenı dvoubranovych parametru

Mejme elektricky obvod uvnitr dvojbranu a hledejme pro nej hodnoty Zi,j. Po-kud zname usporadanı soucastek, pouzijeme znalostı o vypoctech obvodovychvelicin ve znamem obvodu. Pokud nezname usporadanı, budeme parametry hle-dat merenım. Zopakujme zapis imedancnıch rovnic

u1 = Z1,1 i1 + Z1,2 i2

u2 = Z2,1 i1 + Z2,2 i2

Z obou rovnic popisujıcıch dvojbran plyne:

Z1,1 =u1

i1, kdy i2 = 0 Z1,2 =

u1

i2, kdy i1 = 0

Z2,1 =u2

i1, kdy i2 = 0 Z2,2 =

u2

i2, kdy i1 = 0

35

Ze vztahu, ktere jsme uvedli, plynou nasledujıcı popisy a postupy identifikaceparametru :

• Z1,1 – vypocteme (zmerıme) vstupnı impedanci (odpor) pri rozpojenychvystupnıch svorkach (i2 = 0)

• Z1,2 – vypocteme (zmerıme) napetı na rozpojenem vstupu (i1 = 0), kdyzdo vystupnıch svorek vteka proud i2 – zpetna prenosova impedance.

• Z2,1. – vypocteme (zmerıme) napetı na rozpojenem vystupu (i2 = 0), kdyzdo vstupnıch svorek vteka proud i1 – prenosova impedance.

• Z2,2 – vypocteme (zmerıme) vystupnı impedanci (odpor) pri rozpojenychvstupnıch svorkach (i1 = 0)

36

Delic napetı jako dvojbran

u1 u2

i1 i2

R1

R2

Pridrzıme-li se uvedenych postupu, dostaneme:

Z1,1 = R1 + R2

Z1,2 = R2

Z2,1 = R2

Z2,2 = R2

37

Obecny postup resenı obvodu s rezistory a stejnosmernymi zdroji

Obvodove schema a graf obvodu

u1

u2

R2

R3 R4

R5

R6

R1

38

Graf a jeho casti

uzlyv tve

Pocet vetvı grafu v; v = 8Pocet uzlu grafu u; u = 6Pocet zdroju napetı Nu; Nu = 2Pocet zdroju proudu Ni; Ni = 0Pocet obvodovych rovnic pro uzlova napetı podle prveho Kirchhoffova zakonaXu = u− 1−Nu; Xu = 3Pocet obvodovych rovnic pro smyckove proudy podle druheho Kirchhoffova zakonaXi = v − u + 1−Ni; Xi = 3

39

Nezavisle uzly a smycky

uzel 1 uzel 2 uzel

uzel 0 (referencnı)

smycka 1 smycka 2

smycka 3

40

Metoda uzlovych napetı

R1

R2

R3 R4

R5

R6

u1 u2 u3

u0 = 0

UA

UB

41

Rovnice s pouzitım vodivostı: G = 1/R

G1(u1 − UB) + G3(u1 − u2) + G5(u1 − (u3 + UA)) = 0G2u2 + G3(u2 − u1) + G4(u2 − u3) = 0

G6u3 + G4(u3 − u2) + G5(u3 + UA − u1) = 0

uprava pro vyjadrenı neznamych napetı

u1(G1 + G3 + G5)− u2G3 − u3G5 = UBG1 + UAG5

−u1G3 + u2(G2 + G3 + G4)− u3G4 = 0−u1G5 − u2G4 + u3(G6 + G4 + G5) = −G5UA

resenı maticovym poctem s inverzı vodivostnı matice (G1 + G3 + G5) −G3 −G5

−G3 (G2 + G3 + G4) −G4

−G5 −G4 (G6 + G4 + G5)

−1 UBG1 + UAG5

0−UAG5

=

u1

u2

u3

42

Postup resenı prıkladu v Matlabu

R1=100; R2=200; R3=300; R4=300; R5=200; R6=100;

G1=1/R1; G2=1/R2; G3=1/R3; G4=1/R4; G5=1/R5; G6=1/R6;

UA=10; UB=10;

G=[G1+G3+G5 -G3 -G5;-G3 G2+G3+G4 -G4;-G5 -G4 G6+G4+G5]

I=[UB*G1+UA*G5 0 -UA*G5]’

U=inv(G)*I

G = I =

0.0183 -0.0033 -0.0050 0.1500

-0.0033 0.0117 -0.0033 0

-0.0050 -0.0033 0.0183 -0.0500

U =

8.6607

2.5000

0.0893

43

Vysledek resenı prıkladu v Micro-Capu

R1

100

R2

200

R3

300

R4

300

R5

200

R6

100

V1

V2

1:-1.339

2:2.5

3:8.661 4:89.286m

5:10.089

44

Metoda smyckovych proudu

R1

R2

R3 R4

R5

R6

UA

UB i1 i2

i3

45

Rovnice pro smycky

R1i1 − UB + R3(i1 − i3) + R2(i1 − i2) = 0

R2(i2 − i1) + R4(i2 − i3) + R6i2 = 0

R3(i3 − i1) + R5i3 + UA + R4(i3 − i2) = 0

uprava pro vyjadrenı neznamych proudu

i1(R1 + R2 + R3)− i2R2 − i3R3 = UB

−i1R2 + i2(R2 + R4 + R6)− i3R4 = 0

−i1R3 − i2R4 + i3(R3 + R4 + R5) = −UA

resenı maticovym poctem s inverzı odporove matice (R1 + R2 + R3) −R2 −R3

−R2 (R2 + R4 + R6) −R4

−R3 −R4 (R3 + R4 + R5)

−1 UB

0−UA

=

i1i2i3

46

Postup resenı prıkladu v Matlabu

R1=100; R2=200; R3=300; R4=300; R5=200; R6=100;

UA=10; UB=10;

R=[R1+R2+R3 -R2 -R3;-R2 R2+R4+R6 -R4; -R3 -R4 (R3+R4+R5)]

U=[UB 0 -UA]’

I=inv(R)*U

R = U =

600 -200 -300 10

-200 600 -300 0

-300 -300 800 -10

I*1000 = (proudy v miliamperech)

13.3929

0.8929

-7.1429

47

Vysledek resenı prıkladu v Micro-Capu

R1

100

R2

200

R3

300

R4

300

R5 200

R6

100

V1

V2

13.393m

12.5m

20.536m 8.036m

7.143m

892.857u

48

Linearnı obvod

• Parametry R, C, L a rıdicı konstanty u rızenych zdroju nezavisı na zadneobvodove velicine

• Nesetrvacne obvody popisujı soustavy linearnıch rovnic

• Setrvacne obvody popisujı integrodiferencialnı rovnice s konstantnımi koefi-cienty

49

Obvody ve stacionarnım ustalenem stavu (SUS)

• Kapacitory jsou nabite, neprochazı jimi proud, z obvodu je pri vypoctu SUSvyjmeme

• Induktory prochazı ustaleny proud a chovajı se pri vypoctu SUS jako zkrat

Zakladnı vypocty vyuzıvajı zjednodusujıcıch uprav

• Ekvivalencı seriovych a paralelnıch spojenı rezistoru

• Transformacı zdroju podle Nortona

• Transformacı delicu napetı podle Thevenina

• Principem superpozice v obvodech s vıce zdroji

• Rozdelenım zdroju a naslednou aplikacı principu superpozice

• Formulacı soustav rovnic podle 1. a 2. Kirchffova zakona50

Stacionarnı ustaleny stav – obvodove veliciny v obvodech se stejnosmernymizdroji (SUS)

– na svorkach obvodovych elementu je stejnosmerne napetı a proteka jimi stejnosmerny proud

– proud a napetı na svorkach rezistoru se rıdı Ohmovym zakonem

– na svorkach kapacitoru je stejnosmerne napetı urcene pripojenym obvodem a proud je nulovy(kapacitor nahradıme pro vypocet SUS rozpojenym obvodem)

– na svorkach induktoru je nulove napetı a proteka jım proud urceny pripojenym obvodem (induk-tor nahradıme pro vypocet SUS zkratem)

– proud zdrojem napetı je urcen vnejsım obvodem (s rozpojenymi kapacitory a zkratovanymiinduktory)

– napetı na svorkach zdroje proudu je urceno vnejsım obvodem (s rozpojenymi kapacitory azkratovanymi induktory)

51