FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Technická mechanika

Autoři textu:

doc. Ing. Ilona Lázničková, Ph.D.

Květen 2013

ePower – Inovace výuky elektroenergetiky a silnoproudé elektrotechniky formou e-learningu a rozšíření prakticky orientované výuky

OP VK CZ.1.07/2.2.00/15.0158

2 FEKT VUT v Brně

Obsah

1 ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU ....................................... 4

1.1 ÚVOD DO PŘEDMĚTU ................................................................................................... 4

2 ÚVOD DO MECHANIKY TEKUTIN ......................................................................... 5

2.1 ZÁKLADNÍ POJMY MECHANIKY TEKUTIN ....................................................................... 5

3 STATIKA TEKUTIN.................................................................................................... 6

3.1 EULEROVA ROVNICE STATIKY TEKUTIN ........................................................................ 6

3.2 STATICKÁ ROVNOVÁHA TEKUTIN V ABSOLUTNÍM PROSTORU ......................................... 8

3.2.1 Tlak v tekutině .......................................................................................... 8

3.2.2 Účinek tekutiny na stěnu nebo ponořené těleso ....................................... 10

3.3 STATICKÁ ROVNOVÁHA KAPALIN V RELATIVNÍM PROSTORU........................................ 13

3.3.1 Prostor pohybující se přímočaře, rovnoměrně zrychleně......................... 13

3.3.2 Prostor otáčející se kolem svislé osy ....................................................... 15

4 KINEMATIKA TEKUTIN ......................................................................................... 17

4.1 ZÁKLADNÍ POJMY ...................................................................................................... 17

4.2 ROVNICE KONTINUITY ............................................................................................... 18

4.2.1 Rovnice kontinuity pro proudovou trubici ............................................... 18

4.3 BERNOULLIHO ROVNICE............................................................................................. 20

4.3.1 Bernoulliho rovnice s uvažováním ztrát .................................................. 23

4.3.2 Bernoulliho rovnice v relativním prostoru .............................................. 24

4.4 DYNAMICKÉ ÚČINKY PROUDÍCÍ TEKUTINY .................................................................. 25

4.5 DYNAMIKA OBTÉKÁNÍ TĚLES ..................................................................................... 26

Aplikace elektrického oblouku 3

Seznam obrázků

OBR. 3-1 K ODVOZENÍ EULEROVY ROVNICE ............................................................................ 6

OBR. 3-2 TLAK V KAPALINĚ PŘI PŮSOBENÍ ZEMSKÉ TÍŽE ........................................................... 9

OBR. 3-3 MĚŘENÍ NA MANOMETRU ........................................................................................ 10

OBR. 3-4 HYDROSTATICKÝ PARADOXON................................................................................ 10

OBR. 3-5 TLAKOVÁ SÍLA NA OBECNOU ROVINNOU PLOCHU ..................................................... 11

OBR. 3-6 VÝSLEDNÁ TLAKOVÁ SÍLA NA PONOŘENÉ TĚLESO .................................................... 12

OBR. 3-7 PROSTOR POHYBUJÍCÍ SE PŘÍMOČAŘE ...................................................................... 13

OBR. 3-8 HLADINA KAPALINY PŘI POHYBU PŘÍMOČARÉM ZRYCHLENÉM.................................. 15

OBR. 3-9 ZÁKLADNÍ PARAMETRY VÁLCOVÉ NÁDOBY ROTUJÍCÍ KOLEM SVÉ OSY ...................... 16

OBR. 4-1 PROUDOVÁ TRUBICE K ODVOZENÍ BERNOULLIHO ROVNICE ...................................... 20

OBR. 4-2 PRAKTICKÉ APLIKACE BERNOULLIHO ROVNICE ....................................................... 21

OBR. 4-3 PRAKTICKÁ APLIKACE BERNOULLIHO ROVNICE – VENTURIHO TRUBICE ................... 23

OBR. 4-4 RYCHLOSTNÍ TROJÚHELNÍK .................................................................................... 25

OBR. 4-5 VĚTA O ZMĚNĚ HYBNOSTNÍHO TOKU ....................................................................... 25

OBR. 4-6 SILOVÝ ÚČINEK KAPALINY NA STĚNU ...................................................................... 26

OBR. 4-7 OBTÉKÁNÍ TĚLESA IDEÁLNÍ A SKUTEČNOU TEKUTINOU ............................................ 27

OBR. 4-8 SÍLY PŮSOBÍCÍ NA OBTÉKANÉ TĚLESO ...................................................................... 27

4 FEKT VUT v Brně

1 Zařazení předmětu ve studijním programu

Předmět Technická mechanika (BTMB/KTMB) patří mezi povinné předměty

bakalářského studijního programu Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídící

technika, EEKR-B, ve 2. ročníku oboru Silnoproudá elektrotechnika a elektroenergetika,

B(K)-SEE. Tento předmět tvoří důležitý základ k dalším předmětům, především Výroba

elektrické energie nebo Strojní zařízení elektráren.

1.1 Úvod do předmětu

Předmět Technická mechanika poskytuje základní informace z oblasti mechaniky

poddajných těles, mechaniky tekutin a termomechaniky. V mechanice poddajných těles je

věnována pozornost základním případům prostých namáhání, pevnostním výpočtům součástí

a kombinovaným případům namáhání. V mechanice tekutin si student rozšíří znalosti

z oblasti statiky a dynamiky tekutin (např. Eulerova rovnice statiky tekutin, rovnice

kontinuity, Bernoulliho rovnice). Poslední část předmětu je věnována termomechanice,

především zákonům termodynamiky, tepelným dějům, základním tepelným oběhům, sdílení

tepla a výměníkům tepla. V numerických cvičeních je uvedená problematika řešena na

konkrétních příkladech, proto jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia a

znalosti na úrovni předmětů Matematika 1, Matematika 2, Fyzika 1 a Fyzika 2.

Student je po absolvování předmětu schopen:

vyjmenovat a popsat základní případy prostých namáhání,

vysvětlit pojmy napětí, hlavní napětí, normálové napětí, smykové napětí,

vyjádřit Hookův zákon a vymezit jeho platnost,

vypočítat tlakovou sílu kapaliny na obecnou rovinnou plochu,

využít při proudění tekutiny rovnici kontinuity a Bernoulliho rovnici,

definovat zákony termodynamiky a popsat jednotlivé veličiny,

znázornit jednotlivé tepelné děje ideálních plynů v diagramech p-V, T-s,

znázornit jednotlivé tepelné děje reálných plynů a par v diagramech p-V, T-s a i-s,

vypočítat základní parametry tepelného oběhu plynové turbíny a par.

Tento studijní materiál je zaměřen na mechaniku tekutin.

Aplikace elektrického oblouku 5

2 Úvod do mechaniky tekutin

Cíle kapitoly: V této kapitole jsou objasněny základní pojmy, se kterými se setkáte

v mechanice tekutin.

2.1 Základní pojmy mechaniky tekutin

Mechanika tekutin je částí obecné mechaniky a zabývá se rovnováhou sil za klidu a

pohybu tekutiny. Mechanika tekutin se zabývá mechanickým pohybem tekutin, tj. pohybem

makročástic, nikoli mikročástic. K mechanice tekutin patří mechanika kapalin

(hydromechanika) a mechanika plynů (aeromechanika).

Tekutina je společné označení pro kapalinu a plyn. Tekutina se považuje za spojité

prostředí – kontinuum izotropické, tj. prostředí, které má stejné vlastnosti ve všech směrech.

Z hlediska vnitřní struktury se od látek v pevném skupenství liší tím, že jejich molekuly se

mohou navzájem volně posouvat (u pevných látek jsou molekuly vázány na neproměnné

rovnovážné polohy) [3].

Rozdíl mezi kapalinou a plynem se projevuje v jejich reakci na vnější tlak, kterému jsou

vystaveny. Kapalina je velmi málo stlačitelná, a pokud nejsou tlaky zvlášť velké, lze kapalinu

považovat za nestlačitelnou. Kapalina je tedy látka, která má při stejné teplotě prakticky stálý

objem, ale může snadno měnit tvar. Kapalina je dokonale pružná, tj. jakmile přestane působit

na kapalinu vnější tlak, nabude kapalina svůj původní objem. Naproti tomu plyn je značně

stlačitelný a vyplní ihned celý prostor, v němž je uzavřen (rozpínavost plynu). Plyn je tedy

látka, u níž lze snadno měnit nejen tvar (jako u kapalin), ale i objem. Na rozdíl od kapalin

nemá plyn volný povrch.

Dále jsou stručně vysvětleny důležité pojmy, se kterými se setkáte v následujících

kapitolách, a v textu již nebudou specifikovány.

Kontinuum – abstraktní fyzikální objekt nahrazující pro účely výpočtů reálné prostředí [5];

zákony, které popisují makroskopické vlastnosti látek, jsou aplikovány na libovolné malé

objemy.

Nestlačitelná tekutina – tekutina, pro kterou je hustota konstantní.

Nevazká tekutina – tekutina bez vnitřního tření.

Ideální tekutina – nevazká tekutina, jejíž částice lze vzájemně posunovat bez vynaložení

práce.

Ideální kapalina – nevazká a současně nestlačitelná tekutina, nepodléhající změnám teploty a

u níž neexistují intermolekulární síly.

Ideální plyn – nevazká a stlačitelná tekutina, která se přesně řídí zákony Boyleovým -

Mariotteovým a Gay-Lussacovým (více kap.).

Podtlak/přetlak – tlak tekutiny vyšší/nižší než zvolený tlak (většinou atmosférický).

6 FEKT VUT v Brně

3 Statika tekutin

Statika tekutin pojednává o rovnováze tekutin a těles do nich ponořených [7]. Tekutina

je v klidu (v rovnováze) vzhledem k souřadnicovému systému, pokud všechny její částice

jsou vzájemně v klidu. Taková tekutina je ve statické rovnováze. Do statiky tekutin patří i

případy tzv. relativního klidu, kdy kapalina je v nádobě a je vůči stěnám v klidu, ale celá

soustava (nádoba + kapalina) konají pohyb [5].

Hlavními úkoly statiky tekutin je určit tlak v obecném místě prostoru vyplněného tekutinou a dále určit výsledný účinek (sílu, moment) tekutiny na stěnu nebo ponořené těleso.

Tlak je důležitou veličinou v mechanice tekutin. Obecně je tlak tekutiny tlaková síla F,

která působí na jednotku plochy A. Pokud je tlak rovnoměrně rozložen, platí

,A

Fp (3-1)

při nerovnoměrném rozložení tlaku je

.d

d

A

Fp (3-2)

Jednotkou je pascal, Pa = N.m-2

. Tlak v tekutině může být vyvolán vlastní tíhou tekutiny

(vnějším silovým polem – tíhovým polem Země) a vnější silou působící na tekutinu

z vnějšku. Tlak působí vždy kolmo na plochu.

Rozdělení tlaku v tekutině za rovnovážného stavu obecně řeší Eulerova rovnice, jejíž

odvození je stručně popsáno v následující kapitole.

3.1 Eulerova rovnice statiky tekutin

Eulerova rovnice je základní rovnice statiky tekutin, která umožňuje stanovit tlak

v prostoru vyplněný tekutinou [4]. Eulerova rovnice statiky tekutin je obecná podmínka

rovnováhy sil působících na tekutinu jednotkové hmotnosti v klidu, a to sil hmotnostních a

tlakových.

z

y

x

pp+dp

dA

ds

dF

a

Obr. 3-1 K odvození Eulerovy rovnice

Pro odvození Eulerovy rovnice si představme malý objemový element tekutiny

s objemem dV (podstava dA a výška ds) a s hustotou ρ (Obr. 3-1). Na tento element působí

vnější elementární síla dF, svírající se směrem ds úhel a. Tato síla zvýší tlak okolní kapaliny

Aplikace elektrického oblouku 7

na stěny vyšetřovaného elementu jak ve směru ds, tak ve směru k němu kolmém. Za

rovnováhy musí platit ve směru osy y

,0cosdd)d(d aFAppAp (3-3)

což je rovnice pro rovnováhu sil působících ve směru osy y. Na tekutinu mohou působit síly

hmotnostní (objemové) a tlakové (plošné). Pokud zavedeme do rovnice místo síly dF sílu

působící na jednotku hmoty, tj. intenzitu vnějšího silového pole K

m

FK

d

d (3-4)

a element hmotnosti dm vyjádříme

,ddd sAm (3-5)

dostaneme z rovnice (3-3) následující vztah

.cosdd a sKp (3-6)

Element dráhy ds i intenzita vnějšího silového pole K jsou vektory a pro skalární součin dvou

vektorů platí

.cosdd asK sK (3-7)

Potom můžeme přepsat rovnici (3-6) do následujícího tvaru

.dd sK p (3-8)

Je potřeba připomenout, že na pravé straně rovnice (3-8) je skalární součin dvou vektorů, tj.

vektoru intenzity vnějšího silového pole K a vektoru elementu dráhy ds, proto musí být ve

vztahu uvedena mezi těmito dvěma vektory tečka, označující skalární součin. Pokud

použijeme analytický výraz pro skalární součin, může mít tato rovnice následující tvar

.dddd zKyKxKp zyx (3-9)

V uvedené rovnici jsou Kx, Ky, Kz složky intenzity vnějšího silového pole ve směru os zvolené

souřadnicové soustavy a dx, dy, dz jsou složky elementu dráhy ds ve směru stejných os.

Intenzita vnějšího silového pole má jednotku m.s-2

a někdy bývá označována jako zrychlení

hmotnostní síly [1].

Rovnice (3-8), popř. (3-9), je Eulerova rovnice statiky tekutin v diferenciálním tvaru,

která umožňuje stanovit přírůstek tlaku dp v prostoru vyplněném tekutinou. Z uvedených

rovnic můžeme říct [4]:

„Přírůstek tlaku v tekutině v libovolném místě je roven práci vnější síly, která působí na

objemový element dané hmotnosti podél příslušné dráhy.“

Práci při tom koná pouze složka intenzity vnějšího silového pole ve směru dráhy, kolmá

složka práci nekoná.

Hladinová (ekvipotenciální) plocha má v úlohách hydrostatiky (statiky kapalin) velký

význam. Hladinová plocha definuje místa s konstantní hodnotou tlaku (p = konst.) a je kolmá

na vektor intenzity vnějšího silového pole K. Z Eulerovy rovnice ve tvaru (3-9) lze jednoduše

odvodit rovnici hladinové plochy. Přírůstek tlaku je pro hladinovou plochu roven nule a

můžeme napsat obecnou rovnici hladinové plochy v diferenciálním tvaru [1]

8 FEKT VUT v Brně

.0ddd zKyKxK zyx (3-10)

Při výpočtu tlaku v libovolném místě tekutiny je nutné integrovat Eulerovu rovnici po

určité dráze. Dráhu můžeme volit libovolně, ale musí začínat v místě, kde známe tlak.

Nejprve budeme řešit Eulerovu rovnici v prostoru, kde lze zanedbat vnější silové pole,

tj. složky Kx, Ky, Kz v daném prostoru jsou rovny nule a z rovnice (3-9) dostaneme

konst.tj.,0d pp (3-11)

Tento tlak se řídí Pascalovým zákonem. Pascalův zákon: „Působí-li na tekutinu vnější tlak

pouze v jednom směru, pak uvnitř tekutiny působí v každém místě stejně velký tlak, a to ve

všech směrech“. [3]. Jinak řečeno: „Tlak vyvolaný vnější silou v tekutině je ve všech místech

tekutiny stejný.“ Tj. tlak se šíří v tekutině rovnoměrně všemi směry.

Vliv vnějšího silového pole lze zanedbat v úlohách, kde rozdíl mezi maximálním a

minimálním tlakem je velmi malý ve srovnání s tlakem provozním [8]. Pascalův zákon se

využívá především u hydraulických zvedáků a lisů, v upínacích zařízeních, brzdných

soustavách. Princip je založen na tom, že pokud působíme na malý píst plochy A1 silou F1,

vyvoláme na velkém pístu plochy A2 sílu F2, platí A1 < A2, F2 > F1. Protože je tlak v celém

objemu tekutiny konstantní, platí

.2

2

1

1

A

F

A

F (3-12)

Výsledkem je možnost získat větší sílu s vynaložením mnohem menší síly.

Příklad (odvození jednotky):

Jednotkou intenzity vnějšího silového pole K je m.s-2

, což je jednotka zrychlení. Odvoďte

jednotku intenzity vnějšího silového pole z rovnice (3-3) a z rovnice (3-9). V rovnici (3-9)

předpokládejte složky Ky a Kz nulové.

3.2 Statická rovnováha tekutin v absolutním prostoru

3.2.1 Tlak v tekutině

V homogenním tíhovém poli působí na tekutinu z hmotnostních sil pouze zemská tíže.

V tomto případě je pouze jedna složka intenzity vnějšího silového pole nenulová. Pro

souřadnicovou soustavu (jak je uvedeno na Obr. 3-1), kde osa z je svislá a směřuje proti

zrychlení g, platí

.,0,0 gKKK zyx (3-13)

Z Eulerovy rovnice (3-9) potom plyne

.dzgdp (3-14)

Pokud bude hustota konstantní, tj. tekutina je nestlačitelná, platí

Aplikace elektrického oblouku 9

.konst

,dd

hgp

zgp

z

zh

, (3-15)

p0

E E

z h

h

z

pp0 p0+gh

gz

Obr. 3-2 Tlak v kapalině při působení zemské tíže

Integrační meze byly stanoveny od hladiny (zde je přírůstek tlaku nulový) pro bod E, ležící na

ekvipotenciální hladině E (Obr. 3-2). Integrační konstanta se určí z okrajové podmínky, tj.

pokud se jedná o rozhraní kapaliny a vzduchu, je konstantou tlak ovzduší p0 (tlak nad

hladinou). Potom pro statický (absolutní) tlak p v nestlačitelné tekutině platí

.00 hpphgpp (3-16)

Ve vztahu je h kolmá vzdálenost od hladiny a ph je hydrostatický tlak. Hydrostatický tlak je

nulový na hladině a roste lineárně s hloubkou pod hladinou. Hydrostatický tlak vyjadřuje tlak

sloupce kapaliny v hloubce h pod hladinou.

Poněvadž tlak kapaliny závisí na výšce sloupce kapaliny, můžeme tlak vyjádřit výškou

kapalinového sloupce, tj. stanovit tlakovou výšku [1]

.g

ph

(3-17)

Při určování tlakového rozdílu pomocí kapalinového manometru se využívá poznatek

plynoucí z rovnováhy tekutiny s kapalinou, popř. rovnováhy mezi dvěma nemísícími

kapalinami. Manometr je U trubice (Obr. 3-3) naplněná měrnou kapalinou o hustotě ρ.

Tekutina má tlak p1 a nad hladinou měrné kapaliny je vnější tlak p2. Pro variantu a) na Obr.

3-3 je tlak p1 > p2, a proto tlak tekutiny vytlačí v trubici U měrnou kapalinu do výšky Δh. Stav

pro variantu b) je opačný: tlak tekutiny je menší než vnější tlak (p2 > p1), a proto hladina

v pravém sloupci je níž než v levém.

Na Obr. 3-3 je na ekvipotenciální ploše E tlak

,b),a) 2121 phgphgpp (3-18)

Jaký je rozdíl tlaků (pro a) p1 – p2, pro b) p2 – p1), můžeme tedy určit z rozdílu výšek Δh,

kterou odečítáme na manometru. Pro variantu a) odpovídá výška Δh přetlaku (p1 > p2) a pro

variantu b) podtlaku (p1 < p2).

10 FEKT VUT v Brně

.b),a) 1221

g

pph

g

pph

(3-19)

p1

p2

a) b)

h

h

E

p1

p2

Obr. 3-3 Měření na manometru

3.2.2 Účinek tekutiny na stěnu nebo ponořené těleso

V této kapitole se budeme věnovat 2. úkolu statiky tekutin, tj. budeme zjišťovat

výsledné účinky tekutiny na stěnu nebo ponořené těleso [1], [8]. Účinkem tekutiny bude tlaková síla.

Celková tlaková síla F působící na rovinnou šikmou stěnu plochy A, která je pod

hladinou, je určena součtem všech elementárních sil dF působících na celé ploše a platí pro ni následující vztah

.T AhgF (3-20)

kde hT je vzdálenost těžiště dané plochy od hladiny. Tlaková síla v hydrostatice působí vždy

kolmo na plochu. Protože elementární síly nejsou na celé šikmé rovinné ploše konstantní,

nepůsobí tlaková síla v těžišti dané plochy A. Velikost tlakové síly roste s hloubkou pod

hladinou, proto působiště výsledné tlakové síly hC je níž než těžiště.

Obr. 3-4 Hydrostatický paradoxon

A) Jaká bude výsledná tlaková síla působící na dno nádoby, které je rovnoběžné

s hladinou?

Dno nádoby má plochu A a výška od hladiny je H. Podle (3-20) je tlak ve všech bodech

plochy stejný, F = ρgHA, a proto působiště tlakové síly je totožné s těžištěm plochy. Výsledná

tlaková síla, jíž kapalina působí na dno je dána vahou kapalinového sloupce o podstavě A,

totožné s plochou dna, a výšce h. Nezávisí tedy ani na tvaru nádoby, a ani na množství

kapaliny v nádobě. Nalijeme-li do různě tvarovaných nádob se stejnou plochou dna kapalinu

do stejné výšky (Obr. 3-4), bude působit na dno ve všech nádobách stejně velká tlaková síla

Aplikace elektrického oblouku 11

[10]. I když nádoby obsahují různá množství kapaliny, sloupec kapaliny (i myšlený) nade

dnem nádoby je vždy stejný. Tento jev se nazývá hydrostatický paradoxon.

B) Jaká bude výsledná tlaková síla působící na šikmou rovinnou stěnu?

Složitější případ je, pokud chceme určit tlakovou sílu na boční rovinné stěny. Tlakové

síly jsou v různých místech různé a působiště výsledné tlakové síly C je níž než těžiště T.

Výsledná tlaková síla je podle (3-20) rovna

.sinTT AxgAhgF a (3-21)

kde a je úhel, který svírá boční stěna s hladinou.

y

p0

hT

x Tx C

x C

T

C

F

F

yT

a

x C

d

Obr. 3-5 Tlaková síla na obecnou rovinnou plochu

Na Obr. 3-5 výsledná tlaková síla F působí na kruhové víko (průměru d) v šikmé

rovinné stěně. Posun mezi těžištěm T a působištěm C výsledné tlakové síly je dáno podílem

kvadratického momentu průřezu JT vzhledem k ose jdoucí těžištěm dané plochy (osa yT) a

lineárního momentu průřezu Sy vzhledem k ose y

.TTCC

yS

Jxx x (3-22)

Lineární i kvadratický moment průřezu se určují v rovině, ve které leží daná vyšetřovaná

plocha (v našem případě víko). Pro zvolený souřadnicový systém podle Obr. 3-5 je lineární

moment průřezu dán jako součin vzdálenosti těžiště od hladiny, tj. vzdálenost xT (!v rovině,

ve které leží vyšetřovaná plocha) a dané plochy A

.T AxS y (3-23)

Kvadratický moment průřezu vzhledem k ose jdoucí těžištěm dané plochy se vypočítá ze

vztahu

A

yT AxJJ d2

T (3-24)

Pro kruhové víko platí JT = πd4/64. Potom pro působiště výsledné tlakové síly platí

T

2

T2

T

4

TC16

4

64

x

dx

dx

d

xx

(3-25)

12 FEKT VUT v Brně

Pokud je boční stěna kolmá na hladinu (a = 90◦), platí hT = xT, hC = xC a výsledná

tlaková síla se vypočítá podle vztahu (3-20). Veličina hT je vzdálenost těžiště vyšetřované

plochy od hladiny. Bereme vždy jen tu plochu stěny, která je pod hladinou.

C) Jaká bude výsledná tlaková síla na křivou plochu?

Určení účinku kapaliny na křivou plochu se převádí na stanovení tří složek [8] ve směru

souřadnicových os x, y, z (souřadnicový systém podle Obr. 3-1):

,

,

,

T

T

VgF

AhgF

AhgF

z

yy

xx

y

x

(3-26)

Fx je vodorovná složka tlakové síly na průmět plochy Ax do roviny kolmé na uvažovaný

směr složky, tj. do roviny yz,

Fy je vodorovná složka tlakové síly na průmět plochy Ay do roviny kolmé na uvažovaný

směr složky, tj. do roviny xz,

Fz je svislá složka tlakové síly a rovná se tíze svislého sloupce kapaliny nad namáhanou

plochou až k hladině a prochází hmotným středem zatěžovacího sloupce. Objem svislého

sloupce kapaliny je skutečný nebo pomyslný objem kapaliny nad namáhanou plochou.

Dp0 A B

C

H

E

D

Dp0

F2

F1

Obr. 3-6 Výsledná tlaková síla na ponořené těleso

D) Jaká bude výsledná tlaková síla na ponořené těleso?

Tlakové síly na ponořené těleso se ve vodorovném směru navzájem ruší. Výsledná

tlaková síla ve svislém směru je vztlaková síla a je dána rozdílem síly F1, která směřuje

vzhůru a působí na spodní část (velikost tíhy sloupce tekutiny omezené v průmětu čarou

ABCDEA), a síly F2 směřující dolů a působící na horní část (velikost tíhy sloupce tekutiny

v průmětu omezené čarou ABCHEA). Tuto skutečnost vyjadřuje Archimédův zákon:

Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno vztlakovou silou, která se rovná tíze tekutiny

tělesem vytlačené

.vz VgF (3-27)

Na ponořené těleso tedy působí tíhová síla FG tělesa a vztlaková síla Fvz v těžišti

objemu vytlačené tekutiny. Obecně mohou nastat tři případy:

FG < Fvz těleso klesá ke dnu (výslednice sil na těleso působí svisle dolů),

FG = Fvz těleso se vznáší (výslednice sil je nulová),

FG > Fvz těleso plave na hladině (výslednice sil působí svisle nahoru).

Aplikace elektrického oblouku 13

3.3 Statická rovnováha kapalin v relativním prostoru

Umístíme-li kapalinu do nádoby, která se pohybuje, mohou nastat případy, kdy kapalina

je vůči stěnám nádoby v relativním klidu. Na kapalinu ale působí objemové (hmotnostní) síly

od pohybu nádoby, které musíme zahrnout do výpočtu. V této kapitole budou probrány dva

případy, kdy kapalina je v relativním klidu – pohyb nádoby přímočarý, rovnoměrně zrychlený a otáčivý kolem svislé osy.

3.3.1 Prostor pohybující se přímočaře, rovnoměrně zrychleně

Uvažujme relativní prostor (nádobu, ve které je umístěna kapalina), který se vzhledem

k absolutnímu prostoru pohybuje přímočaře se zrychlením arp. Pohyb kapaliny je proti

pohybu nádoby, platí tedy a = –arp. Výsledná intenzita v relativním prostoru spojeném

s nádobou je stálá, K = g + a. Hladinové plochy jsou kolmé na vektor intenzity vnějšího silového pole K a jednotlivé složky vektoru intenzity vnějšího silového pole jsou (Obr. 3-7):

.,,0 zzyyx agKaKK (3-28)

z

y

Kg

az h

z

z

Ky=ay

Kz=

-g+

azp0

l

l/2

aO a

B1 B2

y1 y2

hz

b

a

arp

Obr. 3-7 Prostor pohybující se přímočaře

A) Jaká bude rovnice hladiny pro kapalinu v prostoru pohybujícím se přímočaře?

Mějme nádobu naplněnou kapalinou, která se pohybuje ve směru osy y. Při brždění se

hladina kapaliny nakloní podle Obr. 3-7, při zrychlování bude sklon hladiny opačný. Pokud je

nádoba válcová, popř. má tvar hranolu se základnou symetrickou k ose kolmé na směr

pohybu, protíná se rozhraní kapaliny s ovzduším v polovině délky nádoby. Pokud kapalina

během pohybu nevyteče, objem kapaliny se nemění. Protože je celková změna objemu nulová

(v levé části ubude stejné množství kapaliny, co přibude v pravé), je úbytek i přírůstek kapaliny stejný Δz.

Pokud se nádoba pohybuje ve směru osy y, je nenulová pouze y-ová složka zrychlení ay,

az = 0. Na kapalinu v nádobě působí ve svislém směru tíhové zrychlení (Kz = -g) a ve

vodorovném směru síla setrvačného zrychlení (Ky = ay). Rovnice hladinové plochy (3-10)

bude mít tvar

0dd zgyay (3-29)

14 FEKT VUT v Brně

Chceme stanovit výšku hladiny, tj. z-ovou souřadnici, když víme, že pro y = 0 je z = zh. Po

integraci rovnice (3-29) a stanovení integrační konstanty dostaneme

.zzyg

azz h

y

h (3-30)

což je rovnice hladiny pro přímočarý, rovnoměrně zrychlený pohyb. V rovnici hladiny se

k původní výšce hladiny kapaliny v klidu zh přičítá přírůstek, popř. úbytek, výšky hladiny.

Jaká je výška hladiny ve vzdálenosti y1 a y2 (y1 = -y2)? Pro výšky ve vzdálenosti y1, y2 platí

podle (3-30)

., 22211 yg

azzy

g

azy

g

azz

y

h

y

h

y

h (3-31)

Jak plyne z Obr. 3-7 platí

,tgg

a

y

z y

a (3-32)

přírůstek (úbytek) kapaliny pak lze vyjádřit

.yg

az

y (3-33)

B) Jak se stanoví tlak v libovolném místě kapaliny?

Při stanovení tlaku vyjdeme z Eulerovy rovnice ve tvaru (3-9). Pro výpočet tlaku je

potřeba znát alespoň tlak v jednom místě, většinou zpravidla to bývá tlak na rozhraní kapaliny

s ovzduším (nad hladinou je tlak p0 = konst.). Integrujeme Eulerovu rovnici z bodu, kde

známe tlak (bod O), do bodu, kde chceme tlak určit (bod B1).

.)(ddd00

yazzgyazgp yh

z

z

y

y

p

p h

(3-34)

Pro tlak v bodě B1 (y = y1) platí

.0 yahgpp y (3-35)

Tento výraz lze upravit pomocí (3-32) a dostaneme vztah

).(0 zhgpp (3-36)

který je formálně shodný s tlakem v kapalině, na níž působí jen zemská tíže (3-16). Rozdíl je

v tom, že výsledná výška (h+Δz) je svislá vzdálenost uvažovaného bodu od hladiny. Z rovnice

(3-35), popř. (3-36), lze určit tlak v libovolném místě pod hladinou.

C) Jak se změní hladina kapaliny, pokud část kapaliny vyteče?

Pokud je zrychlení velké, může hladina vystoupit nad okraj nádoby a část kapaliny

vyteče z nádoby [1]. Objem kapaliny v nádobě již není konstantní. Dojde k poklesu hladiny,

který ustane, až hladina bude procházet hranou, přes kterou začala kapalina vytékat. Hladina

kapaliny bude rovnoběžná s hladinou, kterou by kapalina měla, kdyby nádoba měla boční

stěny nedovolující vytékání kapaliny. Pokud kapalina vytéká z nádoby, potom pro přírůstek

kapaliny Δz (3-33) platí Δz > (b – zh).

Aplikace elektrického oblouku 15

z

y

p0

z h

bz

Obr. 3-8 Hladina kapaliny při pohybu přímočarém zrychleném

D) Jak se vypočítá tlaková síla na stěny nádoby?

Mějme uspořádání podle Obr. 3-7. Výsledná tlaková síla se určí ze vztahu (3-20).

Vzdálenost k těžišti plochy hT se určuje od hladiny a vždy pro plochu stěny, která je pod

hladinou (šířka stěny je B). Tlaková síla na levou boční stěnu nádoby je

,)(2

T Bzzzz

gAhgF hh

(3-37)

pro pravou boční stěnu je

.2

T Bbb

gAhgF (3-38)

3.3.2 Prostor otáčející se kolem svislé osy

Mějme válcovou nádobu naplněnou kapalinou (Obr. 3-9). Nádoba se otáčí kolem svislé

osy úhlovou rychlostí ω. Silové pole působící na kapalinu je složeno z tíhového pole a z pole

odstředivých sil. Vektor intenzity vnějšího silového pole je dán součtem vektoru tíhového

zrychlení a záporně vzatého vektoru normálového zrychlení unášivého pohybu

.0,,, 2 KgKrK zrnagK (3-39)

Jednotlivé složky intenzity vnějšího silového pole jsou vyjádřeny pro válcové souřadnice.

A) Jaká bude rovnice hladiny pro kapalinu ve válcové nádobě, která se otáčí kolem

svislé osy?

Diferenciální rovnice ekvipotenciální plochy je

.0dd2 zgrr (3-40)

Integrací této rovnice a stanovení integrační konstanty pomocí bodu O (r = 0, z = z0)

dostaneme rovnici hladiny kapaliny v rotující válcové nádobě

,2

0

22

0 zzg

rzz

(3-41)

což je výška hladiny ode dna nádoby (vyjádřená z-ovou souřadnicí) v libovolné vzdálenosti r

od svislé osy. Jak plyne z této rovnice, jsou ekvipotenciální plochy rotační paraboloidy,

jejichž osa je totožná s osou z.

Při rotačním pohybu válcové nádoby platí tyto důležité závěry:

původní hladina (hladina za klidu) půlí výšku paraboloidu H, tj. nejnižší bod (bod O v ose

z) a nejvyšší bod hladiny (bod C na boční stěně) jsou stejně vzdáleny od hladiny za klidu

16 FEKT VUT v Brně

,2

21

Hhh (3-42)

vzdálenost mezi nejnižším a nejvyšším bodem hladiny kapaliny můžeme určit z rovnice

(3-41), podle Obr. 3-9 bodu O odpovídá výška hladiny z0, bodu C odpovídá výška z0+H,

tj. pro r = R je Δz = H

.2

2222

2121g

RhhhhH

(3-43)

B) Jak se stanoví tlak v libovolném místě kapaliny?

Tlak v libovolném místě kapaliny (např. na Obr. 3-9 bod B) můžeme opět stanovit

integrací Eulerovy rovnice (3-9)

,2

)(dd)(d22

0

0

2

00

rzzgrrzgp B

rz

z

p

p

B (3-44)

kde integrační meze pro z-ovou souřadnici jsou brány od hladiny. Potom pro tlak v bodě B

můžeme napsat rovnici ve tvaru

)(2

0

22

0 zhgpr

hgpp

(3-45)

Podobně jako v předcházejícím případě (prostor pohybující se přímočaře zrychleně) můžeme

říct, že rovnice pro vyjádření tlaku v libovolném místě kapaliny je formálně shodný s tlakem

v kapalině, na níž působí jen zemská tíže (3-16). Uvažovaná výška ale není kolmá vzdálenost

bodu na hladinu.

z

R

b

z h

h1

H

h2

z 0

y

B

r

z Bh

p0

z

O

C

z

Obr. 3-9 Základní parametry válcové nádoby rotující kolem své osy

Aplikace elektrického oblouku 17

4 Kinematika tekutin

Kinematika tekutin se zabývá pohybem (prouděním) tekutin a polohou částic tekutiny

v prostoru v závislosti na čase. Nezajímá se ale o příčiny (síly), které tento pohyb způsobily

[1]. Každý pohyb se vztahuje k nějaké soustavě a vyšetřuje se vzhledem k soustavě souřadnic.

Vzhledem k této soustavě má každá částice tekutiny v každém místě určitou rychlost [3].

V případě nestacionárního proudění jsou parametry proudění tekutiny funkcí času. V proudění

stacionárním odpadá závislost rychlosti, tlaku a hustoty na čase, tyto veličiny jsou časově

stálé.

Pohyb tekutin je složitější než pohyb tuhých těles, protože částice tekutiny se mohou

přemisťovat. I v poměrně jednoduchých případech prostorového proudění vede matematický

popis na nelineární parciální diferenciální rovnice.

Pohyb tekutin lze zjednodušit (idealizovat), např. u kapalin se zavádí zjednodušující

předpoklad, že kapalina je nestlačitelná, uvažuje se ideální kapalina. V řadě případů je

závislost na jedné souřadnici výrazně menší a může se zanedbat. Řešení potom přechází

k proudění rovinnému, popř. k proudění osově symetrickému. V praxi se často vyskytují

případy, v nichž výrazně převládá jeden parametr nad ostatními (např. různá potrubí, kanály,

průtočné části strojů apod.) – v takovém případě řešíme úlohu jako jednorozměrovou –

takovou soustavu pokládáme za proudovou trubici. Výsledky, ke kterým se dojde na základě

zjednodušujících předpokladů, lze aplikovat na skutečné tekutiny, zavede-li se místo

skutečných rychlostí a tlaků střední hodnoty a použijí se opravné koeficienty.

4.1 Základní pojmy

V této kapitole bude věnována pozornost především základním rovnicím popisujícím

proudění tekutin, rovnici kontinuity a Bernoulliho rovnici. Nejprve ale budou uvedeny základní pojmy a definice související s touto problematikou [8], [1]:

Rychlostní pole – souhrn vektorů rychlosti ve všech bodech sledovaného prostoru.

Trajektorie (dráha) – souhrn bodů, které tato částice zaujímá v jednotlivých po sobě

jdoucích časových okamžicích. Je to obecně čára, kterou probíhá částice tekutiny. Za

stacionárního (ustáleného) proudění se trajektorie částic nemění s časem, u nestacionárního

(neustáleného) proudění mohou být trajektorie v každém časovém okamžiku odlišné.

Proudnice (proudová čára) – čára, která sleduje směr proudění a jejíž tečny mají ve

všech bodech směr vektorů rychlostí v těchto bodech. Každým bodem tekutiny prochází jedna

proudnice, proudnice se neprotínají. Při stacionárním proudění se rychlosti nemění s časem a

proudnice splývají s trajektoriemi částic tekutiny. Při nestacionárním proudění mohou být

proudnice vytvářeny různými částicemi tekutiny, takže tvoří obalové čáry jejich trajektorií a nejsou tedy totožné s trajektoriemi částic.

Proudová trubice – trubicovitý útvar, jehož plášť je tvořen proudnicemi. Plášť

proudové trubice má stejné vlastnosti jako proudnice. Protože směr rychlosti je dán tečnami

k proudnicím, je v každém bodě pláště proudové trubice normálová složka rychlosti nulová, a

proto žádná částice nemůže projít stěnou proudové trubice.

Proudové vlákno – proudící tekutina obsažená v proudové trubici.

18 FEKT VUT v Brně

4.2 Rovnice kontinuity

Rovnice kontinuity patří k nejdůležitějším rovnicím při řešení proudění tekutin a

vyjadřuje zákon zachování hmotnosti. Protože v elementárním objemu, ve kterém proudí tekutina, musí být hmotnost tekutiny konstantní, je tedy změna hmotnosti nulová, dm = 0.

Obecná rovnice kontinuity pro nestacionární proudění stlačitelné tekutiny má tvar [8]

,divt

c (4-1)

přičemž divergence (div) v dané rovnici patří mezi diferenciální operace s vektory a

vyjadřuje, zda dané vektorové pole obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané

veličiny [11] a platí

.divz

c

y

c

x

c zyx

c (4-2)

Divergence umožňuje určit tok daného vektorového pole, v našem případě vektoru hustoty

hmotnostního toku. Proto slovní formulace rovnice kontinuity zní:

Divergence vektoru hustoty hmotnostního toku vyjadřuje úbytek hmotnosti v jednotce objemu

za jednotku času.

Do obecné rovnice kontinuity se zavádí několik zjednodušujících předpokladů:

stacionární proudění stlačitelné tekutiny )0/( t

,0div c (4-3)

stacionární proudění nestlačitelné tekutiny .)konsta0/( t

,divz

c

y

c

x

c zyx

c

(4-4)

tato rovnice platí také pro nestacionární proudění nestlačitelné tekutiny.

4.2.1 Rovnice kontinuity pro proudovou trubici

V technických úlohách se často řeší jednorozměrné proudění tekutiny v proudové

trubici, která je neproměnná s časem. Průřez se mění pouze s jednou souřadnicí s (křivočará

souřadnice podél vhodně určené osy proudové trubice), tj. A = A(s). Pro tento případ jsou

uvedeny tvary rovnice kontinuity pro různá zjednodušení:

nestacionární proudění stlačitelné tekutiny proudovou trubicí s proměnným průřezem

,t

AAcs

(4-5)

stacionární proudění stlačitelné tekutiny (hustota, průřez a rychlost jsou funkcemi

souřadnice s, tj. ρ(s), A(s), c(s), 0/ t )

,0

Ac

s (4-6)

Aplikace elektrického oblouku 19

stacionární proudění nestlačitelné tekutiny .)konsta0/( t

.0

Ac

s (4-7)

Po integraci rovnice (4-6) dostaneme

mQAc .konst (4-8)

což znamená, že hmotnostní průtok Qm stlačitelné tekutiny proudovou trubicí je konstantní.

Hmotnostní průtok udává hmotnost tekutiny, která proteče proudovou trubicí za jednotku času

(kg.s-1

).

Po integraci rovnice (4-7) dostaneme

VQAc .konst (4-9)

což znamená objemový průtok QV nestlačitelné tekutiny proudovou trubicí je konstantní.

Objemový průtok udává objem tekutiny, který proteče za jednotku času (m3.s

-1).

Objemový a hmotnostní průtok jsme získali z rovnice kontinuity pro stacionární

proudění v proudové trubici.

Praktická aplikace rovnice kontinuity:

Čerpadlo načerpá 5 l vody za sekundu. Přívodní potrubí má průřez 50 cm2 a výtokovým

potrubím proudí voda rychlostí 8 m.s-1

. Určete rychlost v přívodním potrubí a průměr

výtokového potrubí.

Dáno:

QV = 5 l.s-1

= 5 dm3.s

-1 = 0,005 m

3.s

-1, A1 = 50 cm

2 = 0,005 m

2, c2 = 8 m.s

-1.

Řešení:

Rychlost v přívodním potrubí určíme z objemového průtoku (4-9)

1

111A

QccAQ V

V

Protože objemový průtok je konstantní, platí

.2211 cAcA (4-10)

Z této rovnice určíme průměr výtokového potrubí

2

112

2

112

4

c

cAd

c

cAA

Výsledky:

c1 = 1 m.s-1

, A2 = 28,2 mm

Závěr:

Rychlost proudící tekutiny se zvýší (sníží), pokud se zmenší (zvětší) průřez potrubí.

20 FEKT VUT v Brně

4.3 Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice, stejně jako rovnice kontinuity, patří k nejdůležitějším rovnicím,

které se používají při řešení proudění tekutin. Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování

mechanické energie. Tato rovnice byla odvozena pro jednorozměrné stacionární proudění

nestlačitelné tekutiny v proudové trubici v homogenním tíhovém poli. V průřezech proudové trubice je rychlost rovnoměrně rozložena.

Mechanická energie zahrnuje energii kinetickou Ek (související s pohybem tekutiny) a

energii potenciální (tíhovou Epg a tlakovou Epp). Z hlediska zákona zachování energie roste

kinetická energie na úkor energie potenciální [10]. Mechanická energie vstupující tekutiny

(průřez trubice je A2) a vystupující tekutiny (průřez trubice je A2) je

.2

1

,2

1

2

2

22

2p2k2p2m

1

2

11

1p1k1p1m

mghmcp

mEEEE

mghmcp

mEEEE

gp

gp

(4-11)

g

= konst.

h h2

h1

z

y

A1

A2

c

p1

c1

c2

p2

Obr. 4-1 Proudová trubice k odvození Bernoulliho rovnice

Protože platí zákon zachování energie

.,konst2

1 2 mghmcp

m

(4-12)

lze napsat Bernoulliho rovnici ve tvaru energií (J)

,2

1

2

12

2

22

1

2

11 mghmc

pmmghmc

pm

(4-13)

popř. při řešení proudění tekutiny je někdy výhodnější počítat energie vztažené na jednotku

hmotnosti, proto Bernoulliho rovnice bývá vyjádřena i ve tvaru měrných energií (J.kg-1

)

.2

1

22

2

22

1

2

11 ghcp

ghcp

(4-14)

Bernoulliho rovnice ve tvaru výšek má tvar

Aplikace elektrického oblouku 21

,22

2

2

221

2

11 hg

c

g

ph

g

c

g

p

(4-15)

ve které jednotlivé členy mají jednotku metr a nazývají se tlaková výška (viz (3-17)), výška

rychlostní a výška potenciální.

Př.: Napište Bernoulliho rovnici ve tvaru tlaků.

.22

2

2

221

2

11 hg

cphg

cp (4-16)

A) Praktické aplikace Bernoulliho rovnice – hydrodynamický paradoxon

Pokud tekutina proudí trubicí s různými průměry, mění se rychlost jejího proudění, tím

se mění kinetická energie a mění se i potenciální energie tlaková. Mějme vodorovné potrubí

podle Obr. 4-2a), ve které se mění průřez. Podle Bernoulliho rovnice (4-15) můžeme napsat

,22

2

22

2

11

g

c

g

p

g

c

g

p

(4-17)

protože potenciální výška je stejná, platí h1 = h2.

Proč je výška kapaliny ve druhém sloupci níž? Podle (4-10) se rychlost tekutiny zvýší,

pokud se zmenší průřez potrubí. Pokud se ale zvýší rychlost, zvýší se kinetická energie na

úkor energie potenciální tlakové. Ve druhé trubici je výška sloupce menší, protože je zde

menší tlak.

Hydrodynamický paradoxon: V zúženém místě trubice proudí kapalina rychleji a tím se

snižuje její tlak.

Proč je tekutina ve 3. sloupci níž než v 1. sloupci, přestože průřezy jsou stejné?

Skutečná (reálná) tekutina má vnitřní tření, a proto je celková mechanická energie ve 3.

sloupečku menší. Rychlost je sice v 1. i ve 3. sloupečku stejná, ale snížení celkové energie se

projeví v nižší potenciální tlakové energii a tekutina vystoupá u 3. sloupečku níže.

p0

p0

cv

Av

A

h

1

2

1 2 3

a) b)

Obr. 4-2 Praktické aplikace Bernoulliho rovnice

B) Praktické aplikace Bernoulliho rovnice – výtoková rychlost ve stěně nádoby

Výtoková rychlost kapaliny otvorem ve stěně nádoby není stejná ve všech místech

stěny. S rostoucí hloubkou výtokového otvoru pod hladinou rychlost vzrůstá a od určité

vzdálenosti otvoru pod hladinou lze považovat závislost výtokové rychlosti na hloubce za

přímo úměrnou. Pokud je výtokový otvor malý ve srovnání s hloubkou pod hladinou,

můžeme předpokládat, že výtoková rychlost je v celém průřezu konstantní.

22 FEKT VUT v Brně

Mějme nádobu, jejíž hladina je regulována (h = konst.) nad středem výtokového otvoru

(Obr. 4-2b)). Výtokový otvor je malý vzhledem k ploše hladiny kapaliny, platí Av << A. Nad

hladinou a na výstupu z výtokového otvoru je stejný tlak p0. Bernoulliho rovnice má tvar

,02

02

00 g

c

g

ph

g

p v

(4-18)

ze které dostaneme Torricelliho rovnici, vztah pro výtokovou rychlost ideální kapaliny (h =

konst., Av << A)

hgcv 2 (4-19)

Jaký bude vztah pro výtokovou rychlost ideální kapaliny, pokud se výška hladiny bude měnit?

Výtokovou rychlost odvodíme z Bernoulliho rovnice ve tvaru

.02

)(02

00 g

c

g

pyh

g

p v

(4-20)

Jaký bude vztah pro výtokovou rychlost ideální kapaliny, pokud budou tlaky nad hladinou a

vně výtokového otvoru různé?

Výtokovou rychlost odvodíme z Bernoulliho rovnice ve tvaru

.02

02

21 g

c

g

ph

g

p v

(4-21)

Ve skutečné kapalině bude skutečná výtoková rychlost cv,sk menší vlivem tření a navíc

v otvoru ve stěně nádoby se objevuje vlivem setrvačnosti částic kapaliny a kapilarity tzv.

kontrakce (zúžení) výtokového paprsku [8]. Plocha skutečného výtokového otvoru Ask je totiž

menší. Ve výpočtu výtokové rychlosti a objemového průtoku skutečné tekutiny se zavádí

korekční součinitelé, rychlostní φ = cv,sk/cv a kontrakční ε = Ask/Av. Jejich součin μ = φε se

nazývá výtokový součinitel. Potom pro skutečnou kapalinu platí

hgAcAQhgc vvvvv 2,2 sk, (4-22)

Hodnota výtokového součinitele je pro malý otvor 0,60-0,65, pro velký otvor 0,65-0,70.

Je-li výtokový otvor velký ve srovnání s jeho hloubkou pod hladinou, nelze již

předpokládat, že výtoková rychlost bude v celém průřezu konstantní. Skutečný objemový

průtok je

,dd2

1

sk,

h

hA

v hcbAcQ

v

(4-23)

kde pro rychlost c platí vztah (4-19), b je šířka výtokového otvoru, h1 a h2 jsou vzdálenosti

horního a spodního okraje výtokového otvoru od hladiny.

C) Praktická aplikace Bernoulliho rovnice – měření průtoku – Venturiho trubice

Pro měření rychlosti a tím i objemového průtoku se používá tzv. Venturiho trubice

(Obr. 4-3). Vstupní část je shodná s průměrem potrubí, do něhož je trubice vložena. Na konci

trubice je připojen difuzor, který se zase zvolna rozšiřuje na průměr hlavního potrubí. Zúžená

část je rovna polovině až třetině vstupního průměru.

Aplikace elektrického oblouku 23

c2

h

p1

p2

A1A2

c1c2

Obr. 4-3 Praktická aplikace Bernoulliho rovnice – Venturiho trubice

Při řešení takové úlohy většinou známe průřezy trubice. Je-li osa vodorovná, má

Bernoulliho rovnice tvar (4-17). Rovnice má 4 neznámé: 2 tlaky a 2 rychlosti. Rozdíl tlaků

v průřezech A1 a A2 lze určit měřením na U manometru, pomocí naměřené hodnoty rozdílu

výšek Δh. Rozdíl tlaků určíme ze vztahu (3-19). Z rovnice kontinuity ve tvaru (4-10) určíme

jednu z neznámých rychlostí. Pak můžeme dopočítat druhou rychlost a následně i objemový

průtok podle (4-9).

D) Praktická aplikace Bernoulliho rovnice – stanovení teoretického výkonu průtočné

vodní elektrárny

Teoretický výkon průtočné vodní elektrárny mezi dvěma profily 1 a 2 vypočítáme ze

vztahu

,21

t

EEP

(4-24)

s využitím Bernoulliho rovnice ve tvaru měrných energií (4-14), popř. výšek (4-15)

dostaneme

.2

2

22

2

112121

aa

VQ

g

cc

g

pphhgP

(4-25)

Ve vztahu je v rychlostní složce zahrnut činitel vyjadřující nerovnoměrnost rozdělení

rychlosti v profilu toku (a1, a2).

Pozn.: Dokážete u jednotlivých členů Bernoulliho rovnice (4-13)-(4-16) a rovnice (4-25)

odvodit jednotky?

4.3.1 Bernoulliho rovnice s uvažováním ztrát

Při proudění skutečných tekutin vznikají v důsledku vnitřního tření síly, které působí

proti pohybu částic tekutiny [8]. Pro stacionární proudění nestlačitelné tekutiny s uvažováním

ztrát se uvádí rozšířená Bernoulliho rovnice, která ve tvaru výšek má následující tvar

.22

2

2

221

2

11zhh

g

c

g

ph

g

c

g

p

(4-26)

Srovnáním s rovnicí (4-15) vidíme, že na pravé straně rovnice přibyl jeden člen, tzv. ztrátová

výška hz, odpovídající ztrátě tlaku vlivem viskozity, pz = ρghz. Pokud je proudění nestlačitelné

tekutiny trubicí neproměnného kruhového průřezu průměru d a délky l izotermické, platí pro

výpočet ztrát třením univerzální vztah [8]

24 FEKT VUT v Brně

,2

2c

d

lpzt (4-27)

Ve vztahu je Λ je součinitel tření a závisí na Reynoldsově čísle a relativní drsnosti kr

.,Re),(Re, rrd

kk

cLcLk

(4-28)

V těchto rovnicích je c charakteristická rychlost, L je charakteristický rozměr (u potrubí

to je průměr), a je kinematická a dynamická viskozita, k je střední drsnost stěn (střední

výška nerovnosti, tabelované hodnoty pro různé materiály stěn). Reynoldsovo číslo Re nám

určuje, o jaký typ proudění se jedná. Pro Re < 2300 je proudění laminární (vláknové), pro

Re > 10000 je proudění turbulentní v celé trubici. Mezi těmito hodnotami je přechodová

oblast laminárního proudění na turbulentní.

Pokusy bylo zjištěno, že při laminárním proudění nemá drsnot potrubí podstatný vliv na

velikost tření tekutiny o stěny a součinitel tření Λ můžeme vypočítat z rovnice

.Re

64 (4-29)

Při turbulentním proudění závisí součinitel tření Λ i na drsnosti potrubí. Pro hladké trubky

kruhového průřezu se používají vztahy

.10Re10proRe

184,0

,108Re2300proRe

3164,0

65

5

4

4

(4-30)

Pro drsná potrubí kruhového průřezu určujeme součinitel tření z Colebrookova diagramu [8].

Pro trubky nekruhového průřezu můžeme k přibližnému stanovení ztrát třením použít

uvedené vztahy, dosadíme-li místo charakteristického rozměru L a průměru d hydraulický

průměr

.4O

Adh (4-31)

Ve vztahu je A plocha průtočného průřezu potrubí a O je smáčený povrch.

Při proudění tekutiny v potrubí se vyskytují i tzv. místní ztráty (příčinou je odtržení

proudu tekutiny od stěny). Tlaková ztráta místními vlivy je úměrná dynamickému tlaku

,2

2cpzm (4-32)

kde ζ je součinitel místních ztrát, který se určuje experimentálně, a jeho hodnoty lze najít

v tabulkách (např. Tab. D-4 [9]).

4.3.2 Bernoulliho rovnice v relativním prostoru

Při proudění v relativním prostoru se setkáme se třemi rychlostmi, absolutní rychlost c,

relativní rychlost w a unášivá rychlost u. Vztah mezi těmito rychlostmi je dán vektorovou

rovnicí

Aplikace elektrického oblouku 25

.uwc (4-33)

a platí mezi nimi tzv. rychlostní trojúhelník (Obr. 4-4). Relativní rychlost w je rychlost

tekutiny vzhledem k relativnímu prostoru, unášivá rychlost u je rychlost určitého bodu

relativního prostoru vzhledem k prostoru absolutnímu.

c

u

w

Obr. 4-4 Rychlostní trojúhelník

Bernoulliho rovnice stacionárního proudění v relativním prostoru pro nestlačitelnou

tekutinu s uvažováním ztrát má tvar

,2222

2

2

2

2

221

2

1

2

11zhh

g

u

g

w

g

ph

g

u

g

w

g

p

(4-34)

kde u je obvodová rychlost (pro otáčivý pohyb u = rω).

Pozn.: Při výpočtu relativního proudění dosazujeme do rovnice kontinuity relativní rychlost.

4.4 Dynamické účinky proudící tekutiny

Při řešení dynamických účinků proudící tekutiny na těleso (stěnu) vycházíme z věty

o změně hybnostního toku (průtokové hybnosti), nebo také hybnostní nebo impulzová věta [1].

z

y

A1

A2

H1

H2

c1

c2

Obr. 4-5 Věta o změně hybnostního toku

Integrální věta o změně hybnostního toku [8]:

Výslednice všech sil působících na tekutinu uzavřenou ve vhodně zvolené kontrolní ploše je

při stacionárním proudění dána vektorovým rozdílem hybnostního toku na výstupu

z kontrolní plochy a na vstupu do ní (Obr. 4-5).

Výsledná síla působící na tekutinu je

26 FEKT VUT v Brně

,12 HHF (4-35)

kde pro hybnostní toky platí

., 2211 21cHcH 21 VV QQ (4-36)

Síla vyvolaná proudící tekutinou musí být stejně velká, ale opačně orientovaná

,21tek HHFF (4-37)

Při výpočtu relativního proudění se dosazuje místo absolutní rychlosti rychlost relativní.

Praktická aplikace věty o změně hybnostního toku

Typickým příkladem aplikace věty o změně hybnosti je stanovení silových účinků

paprsků kapaliny na kolmou stojící/unášenou stěnu.

Protože paprsek kapaliny proudí ovzduším, je tlaková energie konstantní a rovněž se

nemění polohová energie vodorovného paprsku. Neuvažují-li se hydraulické odpory po

dopadu na stěnu, musí být odtoková rychlost c2 stejná jako přítoková c1. Kapalina se roztéká

po kolmé stěně a složka vektoru rychlosti c2 do směru síly F je nulová.

u

F

c2

c2

c1

A

Obr. 4-6 Silový účinek kapaliny na stěnu

Pokud se stěna nepohybuje, uvažujeme absolutní rychlosti. Pokud se ale stěna

pohybuje, musíme dosazovat relativní rychlost w = c – u. Výsledná síla působící na stěnu,

která se pohybuje, je podle (4-36) a (4-37) a vztahu pro objemový průtok (4-9)

2

11 )()( ucAucQF V (4-38)

Pokud se stěna nepohybuje, je unášivá rychlost nulová (u = 0) a výkon paprsku je taky

nulový.

4.5 Dynamika obtékání těles

Určení sil působících na obtékané těleso patří k praktickým úlohám mechaniky tekutin.

Má aplikace nejen v letectví, automobilovém průmyslu, energetice, vodohospodářství, ale i ve

stavebnictví při řešení silových účinků na budovy, mostní konstrukce, komíny apod. [1].

Při relativním pohybu tělesa a tekutiny dochází k obtékání tělesa - k přemísťování

jednotlivých částic tekutiny vzhledem k povrchu tělesa. Je jedno, jestli se pohybuje tekutina

vzhledem k tělesu, a nebo těleso vzhledem k tekutině - důležitý je relativní pohyb tekutiny a

Aplikace elektrického oblouku 27

tělesa [10]. Při stacionárním proudění se částečky tekutiny pohybují po proudových čarách

(proudnicích) [4].

FD

FD´

FCFA

Obr. 4-7 Obtékání tělesa ideální a skutečnou tekutinou

Vložíme-li do ideální tekutiny těleso (např. kouli), změní proudnice svůj tvar. Při

obtékání koule je největší hustota proudnic v řezu D-D´, kde bude i největší rychlost tekutiny,

a jak plyne z Bernoulliho rovnice i nejmenší tlak. V přítokovém místě A i v odtokovém místě

C bude stejná rychlost i stejný tlak. Tlakové síly budou ve vodorovném směru vyrovnány (FA

= -FC). V místech D a D´ budou tlaky menší než v A a C, v obou místech budou mít ale

stejnou hodnotu. I ve svislém směru budou tlakové síly vyrovnány (FD = -FD´). Uvedené

závěry platí pro tělesa libovolného tvaru. Můžeme říct, že při obtékání tělesa ideální tekutinou

nepůsobí na těleso ani dynamický vztlak, ani odpor, protože proudnice dokonale sledují

povrch tělesa.

Při obtékání tělesa skutečnou tekutinou se mění směr i velikost rychlosti tekutiny [8].

U skutečných tekutin vznikají v důsledku vnitřního tření silové účinky mezi proudící

tekutinou a obtékaným tělesem, působící proti směru relativního pohybu tělesa v tekutině.

Silovými účinky rozumíme síly, které vyvolává tekutina na obtékaný profil. Ty je možno

rozložit na složku rovnoběžnou se směrem pohybu Fx (odpor tělesa) a položku kolmou ke

směru pohybu Fy (vztlaková síla). Výsledná síla se označuje jako hydraulická (aerodynamická) síla.

Fx

Fy

c∞

Obr. 4-8 Síly působící na obtékané těleso

Vztlaková síla Fy působí kolmo na vektor rychlosti nenarušeného proudu a vzniká při

nesymetrickém obtékání tělesa (vektor rychlosti tekutiny není ve směru osy symetrie) nebo při obtékání nesymetrického tělesa.

Při obtékání reálných těles, symetrických k vektoru rychlosti, je nenulová pouze složka

Fx, odpor tělesa. Odpor tělesa je síla, která působí proti směru pohybu, a vyjadřuje se empirickým vztahem

,2

2

pxx Ac

cF (4-39)

28 FEKT VUT v Brně

kde cx je součinitel celkového odporu, Ap je charakteristická plocha, c∞ je rychlost

nenarušeného proudu. Charakteristická plocha je plocha průmětu tělesa do roviny kolmé k ose

symetrie (např. největší příčný průřez tělesa).

Pro rychlosti značně menší než rychlost zvuku se odpor tělesa skládá z několika složek:

třecí odpor – výsledný silový účinek tečných napětí v mezní vrstvě na povrchu

obtékaného tělesa

,2

2

c

AcF fff (4-40)

tlakový (tvarový, profilový) odpor – vzniká při odtržení proudu od tělesa a vzniku vířivé

oblasti

,2

2

c

AcF ppp (4-41)

indukovaný odpor – je spojen se vznikem vztlaku, např. na koncích křídel letadel.

Ve vztazích (4-40) a (4-41) je cf součinitel třecího odporu, cp je součinitel tlakového odporu,

Af je plocha, na níž se těleso stýká s tekutinou.

Ve většině případů se vyskytuje výsledný odpor složený z třecího a tlakového odporu a

vyjadřuje se vztahem (4-39). Dohodou může být plocha stanovena jako Af [8].

Pozn.: Mezní vrstva je tenká vrstva, která vzniká vlivem viskozity na každém tělese, kolem

kterého proudí tekutina, nebo které se samo v tekutině pohybuje.

Aplikace elektrického oblouku 29

Seznam použité literatury [1] Drábková S. a kol.: Mechanika tekutin. Ediční středisko VŠB – TUO, Ostrava, 2007.

[2] Hašek O., Nožička J.: Technická mechanika pro elektrotechnické obory. Díl II.

Hydromechanika a termodynamika. SNTL Praha, 1968.

[3] Horák Z., Krupka F.: Fyzika. Příručka pro vysoké školy technického směru. SNTL

Praha, 1981.

[4] Horák Z., Krupka F., Šindelář V.: Technická fysika. SNTL Praha, 1961.

[5] Janalík J., Šťáva P.: Mechanika tekutin. VŠB-TU Ostrava, dostupné z:

http://www.338.vsb.cz/PDF/Janalik,Stava-MechanikaTekutin.pdf

[6] Mechlová E., Košťál K. a kol.: Výkladový slovník fyziky pro základní vysokoškolský

kurz. Prometheus, 1999.

[7] Nožička J. a kol.: Mechanika a termomechanika pro elektroenergetiku. SNTL/ALFA

Praha, 1987.

[8] Raček J.: Technická mechanika. Mechanika tekutin a termomechanika. Brno:

Nakladatelství Novotný, 2007.

[9] Raček J.: Technická mechanika. Úlohy z mechaniky tekutin a termomechaniky. Brno:

Nakladatelství Novotný, 2008.

[10] Reichl J.: Encyklopedie fyziky. Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/

[11] Rektorys K. a spol.: Přehled užité matematiky I. SNTL Praha, 1988.