Fakultet kemijskog inenjerstva i tehnologijeMatematike metode u kemijskom inenjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Studenti : Ana krobica Andreja Prtenjak

2006/2007

UVODpri rjeavanju razliitih inenjerskih problema koriste se periodine funkcije: trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus imaju vanost u praktinoj primjeni u prouavanju signala, titranja, rezonancije i pri rjeavanju problema vezanih uz obine i parcijalne diferencijalne jednadbe

PERIODINE FUNKCIJEtemeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj analiziharmonika analiza predstavlja razvoj dotinih periodinih funkcija u odgovarajui Fourierov redfunkcija f : R R je periodina funkcija ako postoji T 0 takav da vrijedi: f(x + T) = f(x) za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva - broj T se zove period funkcije f(x)

grafovi takve funkcije dobivaju se periodinim ponavljanjem grafa unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODINE FUNKCIJEtrigonometrijske funkcije: - sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

bilo koja periodina funkcija f(x) s periodom 2p moe se aproksimirati trigonometrijskim redom:

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODINIH FUNKCIJA PERIODA 2p U FOURIEROVE REDOVE da bi razvili odgovarajuu periodinu funkciju s periodom 2p u Fourierov red potrebno je izraunati koeficijente Fourierovog reda koje raunamo na temelju ovih izraza:

Izvod koeficijenatapretpostavimo da je f(x) periodina funkcija s periodom 2p, koju moemo prikazati trigonometrijskim redom

(1)

elimo odrediti koeficijente an i bna0 dobijemo integrirajui izraz s obje strane od p do p:

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:

sada emo redom izraunati koeficijente slinim postupkom mnoit emo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:

integrirajui lan po lan proizlazi da je desna strana jednaka:

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna funkcija)primjenjujui svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo izraz:

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir, i posljednji integral je jednak nuli kada je ili iznosi p za svaki proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

moemo izraunati koeficijente b1, b2,... pri emu mnoimo izraz (1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)integracijom tog izraza od p do p dobivamo:

integrirajui lan po lan, desna strana izraza je jednaka:

prvi integral jednak je nuli, sljedei integral takoer je jednak nuli za svaki n = 1, 2,...

posljednji i prvi lan jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:

EULEROVE FORMULEUpisujui n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente, dobivaju se Eulerove formule:

FOURIEROV REDpomou periodine funkcije f(x) s danim periodom 2p, moemo izraunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati trigonometrijski niz:

ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x) koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

Ako imamo periodiku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je djelomino neprekidna unutar intervala i ukoliko postoji njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj toki unutar intervala integracije tada za odgovarajui Fourierov red kaemo da je konvergentan.

PRIMJEDBA:ukoliko Fourierov red odgovarajue funkcije f(x) konvergira, kao to je objanjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije f(x) pa moemo pisati:

- f(x) predstavlja Fourierov red dotine funkcije

ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat e sumu jednaku sumi originalnog reda pa se moe pisati:

PARNE I NEPARNE FUNKCIJEfunkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.Fourierov red bilo koje parne periodine funkcije s periodom 2p je kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:

s koeficijentima

Fourierov red bilo koje neparne periodine funkcije perioda 2p je tzv. sinusni Fourierov red koji zapisujemo:

s koeficijentima

TEOREM 2.Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajuih Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIODprijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan zbog toga to se moe provesti izmjena skaleako je f(t) funkcija perioda T, tada moemo uvesti novu varijablu x tako da nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

ako je onda vrijedi

Fourierov red je sljedeeg oblika

ije koeficijente raunamo prema sljedeim formulama:

moemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T pojednostavljujemo jednadbu:

interval integracije se mijenja i postaje:

posljedino, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente funkcije f(t):

Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:

TEOREM 1.Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red

s koeficijentima:

Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red

s koeficijentima:

POLUPERIODINO PROIRENJE REDAneka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se Fourierov kosinusni red :

s koeficijentima

ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:

s koeficijentima

f(t)ltSlika 1. Funkcija f(t)f1(t)tllf2(t)-l-ltSlika 2. Periodiko ponavljanje parne funkcije perioda 2l Slika 3. Periodiko ponavljanje neparne funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRALkako mnogi praktini problemi ne ukljuuju periodine funkcije poeljno je generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodine funkcijeimamo periodinu funkciju fT(x) sa periodom T i moemo ju pisati pomou Fourierovog reda :

ako uzmemo da vrijedi :uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, oznaimo varijablu integracije sa n dobiva se :

ako je :

onda 2/T = w / p i moemo pisati Fourierov red u obliku

(1)

- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konaan neka T i pretpostavimo da rezultirajua neperiodina funkcija postoji1/T 0 i vrijednost prvog lana da desnoj strani izraza (1) se pribliava nuli w = 2p/T 0 ,beskonaan red (1) postaje integral od 0 do koji predstavlja f(x)

ako uvedemo supstituciju

izraz se moe pisati u obliku

ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konanom intervalu i moe se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj toki i ako integral postoji onda se f(x) moe pisati pomou Fourierovog integrala. U toki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj toki prekida.

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi

Fourierov integral se moe pisati u jednostavnijem obliku

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi

Fourierov integral se moe pisati prema

ORTOGONALNE FUNKCIJEgm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu postoji integral produkta na tom intervalu kojeg emo oznaiti kao:

za funkcije kaemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral jednak nuli:

ne-negativan korijen od se zove norma od i oznaava se sa

Osnovna pretpostavkaSve funkcije koje se pojavljuju su ograniene i imaju svojstvo da integrali koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.

Ortogonalni skup u intervalu ije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu skup je ortogonalan na intervalu duljine 2pmogunost prikaza zadane funkcije f(x) pomou bilo kojeg ortogonalnog skupa g1(x), g2(x)...oblika:

ako red konvergira i predouje f(x) nazivamo ga generaliziran Fourierov red funkcije f(x)njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija

konstante odreujemo pomou izraza:

integral za koji je jednak je kvadratu iznosa , dok su ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije meusobno ortogonalne

ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante zadovoljevaju Besselovu nejednakost:

red na lijevoj strani konvergira pa slijedi: pri

LITERATURAA.E.Kreyzig , Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons Inc (1995)

I. Ivani, Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadbe, Odjel za matematiku, Sveuilite J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)