1

Faltung gfdyyxgyfxh

Bezeichnungh(x) … Messdatenf(y) … Physikalisches Profilg(x-y) … Instrumentelle

Verbreiterung

Probleme Messdaten „streuen“

(Rauschen) Messbereich ist beschränkt Wie „misst“ man die

instrumentelle Verbreiterung

EntfaltungBestimmung der (unbekannten) Funktion f aus den (bekannten)

Funktionen h und g.

2

Instrumentelle Verzerrung

Spektrale „Reinheit“ der Röntgenstrahlung

Verzerrung an der Beugungsoptik

Nichtkohärente (Compton, Fluoreszenz) und diffuse Streuung Hintergrund

Wie bekommt man die instrumentelle Verzerrung?

Berechnung (Näherung) Messung (Näherung) 121 122 123 124 125

0

20

40

60

80

100

Inte

ns

ity

(a

.u.)

Diffraction angle (o2)

3

Faltungdie Grundmerkmale

Fourier Transformation der Faltung

gFTfFTgfFThFT

Faltung einer Funktion mit der Dirac Verteilung

ff

4

Entfaltungsmethodendie Übersicht

Klassische Stokes Methode mit Gaußschem Glätten der Messdaten

Zerlegen der Messdaten in eine Fourier Reihe

Messdaten werden als eine lineare Kombination der instrumentellen Linienverbreiterung behandelt

5

Die Stokes Methode

gFT

hFTFTf

gFTfFThFT

1

Klassisch Modifiziert

f

gfhg

g

h

g

h

sff

sshshsgf

sgFT

shFTfFT

tgFT

thFT

fFT

2

2

2

2

exp

exp

4exp

2

exp

22

2

21

ff

ff

x

tFTs

6

Die modifizierte Stokes Methode

% Fourier transformationsHH = fft(hyy);GG = fft(gyy);% Smoothing HH and GGsigma = length(HH)/20;x = 1:length(HH);gauss = exp(-(x.^2)/sigma^2);gauss = gauss + fliplr(gauss);HH = gauss.*HH;sigma = length(GG)/20;% ... the same for GG% Inverse Fourier transformft = real(ifft(HH./GG));ft = fftshift(ft);

% Back convolutionFF=fft([fy zeros(1,length(gy)-1)]);GG = fft([gy zeros(1,length(fy)-1)]);ht = real(ifft(FF.*GG));

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

gaus

s

7

Die modifizierte Stokes Methode

die Ergebnisse

121 122 123 124 125

-20

0

20

40

60

80

100

120

2*diff 10

In

tens

ity (

a.u.

)

Diffraction angle (o2)

8

Die Fourier Reihe

m

jj

m

jj

m

jj

m

jj

m

jj

m

jj

yjgSyjgC

dyyjSyjCyxgxh

xjSxjCxf

10

00

10

00

01

00

0

sincos

sincos

2;sincos

Berechnung von Koeffizienten C und S mittels der kleinsten Quadrate

min1

2

1

22

N

n

N

nnn hgfxhxh

9

Berechnung von Fourier Koeffizienten

mjhb

hbb

xhxb

N

nnj

N

nnj

m

iii

N

nnj

N

nnj

m

iii

j

N

nn

m

innii

2,,1;

022

min

1

2

1

22

0

1

2

1

22

0

2

1

2

22

0

2

AMbhAMAMb 1;;; TT

3

2

1

332331330

222221220

112111110

;xh

xh

xh

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

h

10

Berechnung von Fourier Koeffizienten

% Harmonic functionsfc(jj,:) = cos(jj*omega*hx);fs(jj,:) = sin(jj*omega*hx);% Convolution (g*fc) FF = fft([fc(jj,:) ... zeros(1,length(gyy)-1)]);GG = fft([gyy ... zeros(1,length(fc(jj,:))-1)]);phic(:,jj)=(real(ifft(FF.*GG)))';% Convolution (g*fs) FF = fft([fs(jj,:) ... zeros(1,length(gyy)-1)]);phis(:,jj)=(real(ifft(FF.*GG)))';% Calculation of the matrix PHIphic(:,jj) = phic(:,jj)./sigma;phis(:,jj) = phis(:,jj)./sigma;

% Solution of the normal equationsphi=[ones(length(HH),1)./sigma... phic(:,1:jj) phis(:,1:jj)];M = phi' * phi;A = (HH./sigma' * phi)';x = M\B;

% Back convolutionfy = ... ones(1,length(hy))*P(1)/sum(gy);fy=fy +(P(2:(jj+1)))'*fc(1:jj,:);fy =fy + ...(P((jj+2):(2*jj+1)))'*fs(1:jj,:);

Least-square refinement

11

Die Fourier Reihedie Ergebnisse

121 122 123 124 125

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

2*diff 10

In

ten

sit

y (

a.u

.)

Diffraction angle (o2)

12

Die lineare Kombination

4

3

2

1

4

3

2

1

0123

1012

2101

3210

h

h

h

h

f

f

f

f

gggg

gggg

gggg

gggg

gfhdyyxgyfxhn

nmnm

100

010

001

0

1

0

gg

ff

Diskrete Faltung

13

Die lineare Kombination

121 122 123 124 125

0

20

40

60

80

g=0g=0

Inte

ns

ity

(a

.u.)

Diffraction angle (o2)

% Compose the kernellh = length(h);for ii = 1:lh , GG(ii,:)=gt((g0-ii+1):(g0-ii+lh));end

% Solve system of linear equationsfy = (GG\hy)'*sum(gy);

Voraussetzung:Die Intensitäten weit vom Maximum ist gleich null.

Lösung:Die Methode der kleinsten Quadrate

14

Lineare Kombinationdie Ergebnisse

121 122 123 124 125

-20

0

20

40

60

80

100

120

2*diff 10

In

ten

sit

y (

a.u

.)

Diffraction angle (o2)

15

Vergleich der Entfaltungsmethoden

Kritische Fälle: Entfaltung ähnlicher Funktionen und Funktionen mit steilen Flanken

120.5 121.0 121.5 122.0 122.5 123.0 123.5

0

50

100

150

200

250

Intensit

y (cps)

120.5 121.0 121.5 122.0 122.5 123.0 123.5

0

300

600

900

1200

(b)

(a)

Intensit

y (cps)

Diffraction angle (o2)

121.2 121.3 121.4 121.5 121.60

50

100

150

200

250

121 122 123 124 125-40

-20

0

20

40

60

Inte

ns

ity

(c

ps

)

121 122 123 124 125

0

40

80

120

160

Inte

ns

ity

(c

ps

)

Diffraction angle (o2)

16

Zusammenfassung

• Ein limitierter Faktor ist immer der Grad der Glättung in experimentellen Daten

• Lineare Kombination der instrumentellen Profile– Die beste Übereinstimmung zwischen experimentellen und

„rekonvoluierten“ Daten / lange Computerzeit• Die Fourier Reihe

– Die beste Glättung in den entfalteten Daten / die Methode eignet sich nicht für Profile mit steilen Flanken (sonst zu viele Fourier Koeffizienten notwendig)

• Die modifizierte Stokes Methode– Die kürzeste Rechenzeit (sehr schnell mit FFT) / zusätzliche

Glättung der Messdaten notwendig (data preprocessing)