Förkunskapsproblem i matematik? - people.kth.selang/matteprojekt/forkunsk.pdf · Svenska elevers matematikkunskaper i ett 14 ... i ett nationellt perspektiv ... Motsvarande prov

Bengt Johansson, NCM, Göteborgs Universitet

1998-12-13, Bengt Johansson, Inst f ämnesdidaktik, Göteborgs universitet

Förkunskapsproblem i matematik?


Innehållsförteckning Förord 3 Bakgrund 4 De tekniska högskolornas diagnostiska prov 6 Linköpings tekniska högskola Chalmers tekniska högskola Andra högskoleutbildningar Vad anser gymnasielärare om proven? 8 Kommentarer från gymnasielärare Svenska elevers matematikkunskaper i ett 14 internationellt perspektiv Mer om svenska elevers matematikkunskaper 16 i ett nationellt perspektiv Stora förändringar i tillgång på utbildning och i 17 studerandegruppernas storlek och utbildningsbakgrund Lärarnas grundutbildning och vidareutbildning 18 Grundutbildning i förändring 20 Nationellt utvecklingsarbete Internationellt utvecklingsarbete Sammanfattning och diskussion 24 Referenser 29 Bilagor 36


Den grundläggande högskoleutbildningen skall väsentligen bygga på de kunskaper som eleverna får på nationella program i gymna-sieskolan eller motsvarande kunskaper (Högskolelagen 1 kap. 8 §)

Förord Har kunskaperna i matematik förändrats under senare år hos de ungdomar som antagits till civilingenjörsutbildning? Om så är fallet - vilket kunnande har för-ändrats och vad kan orsakerna vara? Borde inte kunskaperna förändras med tanke på de förändringar som skett i läroplaner och kursplaner med nya mål och hjälpmedel och de förändrade krav på utbildning i matematik som ställs i sam-hällsliv och yrkesliv och som grund för fortsatta studier? Vad kan vi lära av de signaler som nyligen kommit från landets tekniska högskolor om försämrade förkunskaper i matematik hos nyantagna studenter? Är försämringarna ett naturligt resultat av förändringar i tillgången på högskoleutbildning och i stu-derandegruppernas storlek, sammansättning och utbildningsbakgrund? Vilka in-satser kan man göra i grundskolan och gymnasieskolan och vad borde samtidigt förändras på högskolan? Detta är några frågor som jag skall försöka belysa och diskutera i denna rapport. Uppdraget att analysera ungdomars matematikkunska-per i övergången mellan gymnasieskola och högskola gavs av Skolverket: Att analysera dokumenterade matematikkunskaper hos de elever som lämnar gymnasieskolans naturvetenskapliga och tekniska inriktningar och vad Skol-verket kan lära av de signaler som under senare tid kommit från landets tekniska högskolor om försämrade förkunskaper i matematik (Skolverket 1998a) (Se Bilaga 1) Min studie har omfattat 3 månaders arbete under vårterminen 1998. Under arbetets gång har regeringen givit Högskoleverket ett mera omfattande uppdrag att - efter samråd med Skolverket - utreda och analysera behovet av förkunska-per inför studier i matematik vid våra universitet och högskolor och föreslå lämpliga åtgärder för att underlätta övergången från gymnasieskolan (Utbild-ningsdepartementet, 1998a). Jag vill tacka de lärare som verkar inom högskolan och som hjälpt mig med underlag till denna studie. Ett speciellt tack vill jag rikta till Christer Bergsten, Gerd Brandell, Jonas Emanuelsson, Jan-Olof Lindström, Folke Norstad, Peter Nyström, Edor Oskarsson, Rolf Pettersson, Allan Svensson, Anders Tengstrand och Hans Wallin. Tack också till de gymnasielärare som välvilligt svarat på och kommenterat en enkät om ett av de traditionella diagnostiska prov som använts och används vid de tekniska högskolorna för att testa studenternas förkunskaper i matematik. Till sist ett särskilt tack till min kollega Göran Emanuelsson som


läst en tidigare version av denna rapport och som vanligt gett mycket värdefulla synpunkter och förslag till förbättringar. Bakgrund Hösten 1997 publicerade Dagens Nyheter (1997-10-31) en artikel med titeln

Kunskapsras bland studenter - Ingenjörsutbildningen hotad. Dåliga mate-matikkunskaper gör det allt svårare att undervisa (Bilaga 2)

På DN:s löpsedel kunde man samma dag läsa

Studenternas mattekunskaper rasar - högskole- och universitetsutbildningar är hotade

I artikeln redovisas försämrade resultat på de diagnostiska prov i matematik som sedan mitten av 70-talet getts i början av årskurs ett på civilingenjörsut-bildningen vid Chalmers tekniska högskola och Linköpings tekniska högskola. Resultaten publicerades och kommenterades senare i flera dagstidningar och i fackpressen (se t ex Ny Teknik 1997-11-06; UNT 1998-01-12). Samtidigt skickade ledningen för Linköpings universitet en skrivelse till Utbildningsde-partementet där man uttryckte oro över utvecklingen och efterlyste åtgärder inom grundskolan, gymnasieskolan och högskolan för att komma tillrätta med problemen (Linköpings universitet, 1997a,b). Resultaten från Göteborg och Linköping finns dokumenterade i två korta PM (Pettersson, 1998a; Norstad, 1997). Under läsåret 1997/98 kom också larmrapporter från övergången mellan grundskola och gymnasieskola. Artiklarna baserade sig på resultat från tidsbe-gränsade diagnostiska prov i matematik som av tradition också getts till elever direkt när de börjar gymnasieskolan och som har liknande karaktär som de prov som ges till nybörjare vid de tekniska högskolorna.

Kråkbergselever sämst i förkunskapstest i matte (Norrbottenskuriren, 1997-11-20)

Det totala matematiska mörkret har inte sänkt sig - än. Allt fler elever kla-rar inte matten (Skolvärlden, 1998-01-15)

Mönstret känns igen. Högskolan klagar på gymnasieskolan som klagar på grundskolan ...


Man kan misstänka att det har hänt något på gymnasiet. När jag talar med gymnasielärare så säger de i sin tur att de måste möta eleverna från nian på en lägre nivå (DN, 1997-10-31)

... undervisningen på grundskolan (är) en viktig förklaring till problemen på gymnasienivå (Skolvärlden, 1998-01-15)

Debatten har tyvärr icke bidragit särskilt mycket till en konstruktiv dialog mellan matematiklärare på de olika utbildningsnivåerna utan snarare befäst för-svarspositioner på den egna nivån. Ett av få undantag är artikeln i UNT (1998-01-12). Se också Brandell & Wallin (1998). Deras analys och slutsatser stämmer för övrigt väl med vad jag kommit fram till i min studie. Proven i matematik vid utbildningens början på gymnasiet och högskolan har som sagt stora likheter med varandra även om innehåll och svårighetsgrad na-turligtvis skiljer sig väsentligt åt. Uppgifterna beskrivs av lärarna som enklare rutinuppgifter som avser testa grundläggande räknefärdighet. Proven är i all-mänhet starkt tidsbegränsade – i genomsnitt någon eller några minuters betän-ketid per uppgift. Som regel får inga hjälpmedel i form av miniräknare eller formelsamling användas. De prov som ofta ges till gymnasieelever i början av höstterminen på NV-pro-grammet omfattar främst uppgifter som testar förmågan att hantera tal i decimal-form, negativa tal och bråk, förenkla algebraiska uttryck, lösa ekvationer och vissa problem i geometri. Motsvarande prov vid de tekniska högskolorna omfattar i regel uppgifter på al-gebra, andragradsekvationer, potensräkning, logaritmer, trigonometri, funktioner och derivata samt i geometri. Syftet med proven har enligt ansvariga lärare inte varit att utvärdera matema-tikutbildningen i grundskolan respektive gymnasieskolan i sin helhet utan främst att kartlägga kunskapsnivån på sådana delar av matematikämnet som uppfattas som mest kritiska och angelägna att behärska i början av respektive utbildning. Proven innehåller som regel inga tillämpningar. Det är därför stora skillnader mellan dessa prov och de nationella ämnes- och kursprov i matematik som ges i slutet av grundskolan respektive i slutet av gymnasie-skolans matematikkurser och som skall ge lärarna stöd vid betygssättningen. Det är inte första gången skola, högskola och massmedia rapporterar om bris-tande förkunskaper i matematik. I början av 70-talet hade t ex de tekniska hög-skolorna en motsvarande "kris" vilket ledde till en lång rad åtgärder (se t ex Håstad, 1981. Se också Dahllöf & Håstad, 1967), bl a utvecklingen av den typ av diagnostiska prov som använts i Göteborg och Linköping och som före-kommit sedan dess vid de flesta tekniska högskolor. Under denna tid utveckla-


des också de förberedande kurser i matematik som sedan dess med mindre för-ändringar genomförts i början av årskurs ett vid landets tekniska högskolor (Pettersson, 1997, 1998b). Många minns säkert larmrapporterna i samband med den misslyckade introduceringen av den sk "nya matematiken" och tillhörande "mängdlära" i slutet av 60-talet och början av 70-talet liksom larmrapporterna från IEA-projektets andra internationella utvärdering 1980 av elevernas matematikkunskaper (SIMS - Second International Mathematics Study) (Se t ex Ds U 1986:5; Hansson, 1987; Greger, 1987). Under hela efterkrigstiden har prestationer i matematik setts som en viktig in-dikator på hur det svenska utbildningssystemet fungerar - inte bara i just mate-matik. När t ex enhetsskolan och grundskolan kom att ersätta det gamla paral-lellskolesystemet och differentieringsfrågan stod i centrum kom elevernas pre-stationer i matematik att användas av både förespråkare för och motståndare till organisatorisk differentiering, nivågruppering och alternativkurser. Ett färskt exempel på olika sätt att använda sig av elevresultat från matematiktest inom skolpolitiken är en artikel i DN Debatt i våras om hur man skall tolka TIMSS-projektets resultat. (1998-03-05. Se också svaret i DN 1998-05-07). Matematikämnet verkar som ett "kritiskt filter" i vårt utbildningssystem (Grevholm, 1993; Emanuelsson & Johansson, 1997) och elevernas prestationer tillskrivs stor betydelse när det t ex gäller förmågan att lyckas vid fortsatta studier inom olika delar av utbildningssystemet.

Mathematics has a unique social role as a prestige subject indicating rationality and intellectual ability. It also has an arbitrarily high social status attached to it, resulting in part from this role and its relationship with science and technology, but also as a result of its historical contingency. This leads to the real problems concerning mathematics and equity. To a significant extent, social rewards (including wealth, status and power) and life-chances are distributed to members of society according to success in the learning of mathematics and its certification. The function of mathematics as a 'critical filter' in society brings with it real social and moral problems, especially with regard to gender, race, social class and 'ability' (Ernest, 1998, p. 81)

De tekniska högskolornas diagnostiska prov Linköpings tekniska högskola Det förkunskapsprov som ges vid Linköpings tekniska högskola får eleverna genomgå den första timmen första dagen vid högskolan. Det är ett anonymt flervalsprov med 15 uppgifter (Norstad, 1997). Det har varit identiskt sedan början av sjuttiotalet. Man har i sin dokumentation valt att presentera resultaten i termer av andelen elever som presterat minst ett visst antal rätta svar och bara


för de elever som kommer direkt från gymnasieskolan och som angivit att de haft högsta slutbetyget i både matematik och fysik. Enligt lärarnas erfarenheter måste man ha åtminstone 8 rätt för att inte de kommande matematikstudierna skall bli alltför arbetskrävande. Därför ser man med stor oro på att andelen elever med de högsta betygen som har minst 8 rätt har minskat från praktiskt taget alla i början av 70-talet till knappt hälften 1997. Kraftigaste försämringen har skett de senaste fyra – fem åren (se Bilaga 3). Kritiken att provet skulle omfatta uppgifter som inte längre ingår i ungdoms-skolans kursplaner och att detta skulle vara orsaken till de försämrade presta-tionerna avfärdar man med följande kommentar

Samtliga uppgifter med möjligen något undantag visar en gemensam ned-åtgående trend, vilket i så fall skulle innebära att hela provet hamnat i kanten av eller utanför skolkursen, vilket är orimligt. (Norstad, 1997)

Resultaten bekräftas enligt lärarna av det faktum att de får ägna alltmer tid åt sådant "som skolan tidigare lyckades lära studenterna". Chalmers tekniska högskola Sedan början av 1970-talet har Chalmers tekniska högskola (CTH) haft en 30 timmars introduktionskurs i matematik (Pettersson, 1997; 1998a). Alla sökande till teknisk högskola brukar sommaren före studierna få hemsänt ett mindre kompendium med en kort förberedande kurs (Pettersson, 1998b). Introduk-tionskursen inleds med ett prov som omfattar 9 uppgifter (Bilaga 4 c). Studen-terna får c 30 minuter på sig. Uppgifterna tas från en uppgiftsbank med c 30 uppgifter och genom att samma uppgift återkommer med jämna mellanrum har resultaten kunnat följas över tid. Fram till 1993 var resultaten anmärkningsvärt stabila, trots att t ex antalet ny-antagna studenter på civilingenjörsutbildningen vid CTH under perioden ökade med c 50%. Försämringarna börjar 1994:

Samtliga (uppgifter) visar på en försämring med cirka 10 procentenheter eller mer för åren 1994 och 1995 jämfört med tidigare. Denna förändring har sedan fortsatt 1996 och 1997 (Pettersson, 1998a, s 6)

I Bilaga 4 a-c framgår hur resultaten förändrats på förekommande uppgiftstyper under åren 1973 - 1997 samt hur provet och tillhörande resultat såg ut när det gavs höstterminen 1997. Preliminära resultat från ht 98 tyder på att utvecklingen nu har vänt. Resultaten är sammantaget något bättre än ht 97 (Rolf Pettersson, muntlig kommunikation).


Andra högskoleutbildningar Andra högskolor och universitet redovisar också försämrade förkunskaper, dock inte lika dramatiska (se t ex Löfwall, 1998). På grund av upptäckta eller befarade försämringar i studenternas förkunskaper har man under de senaste åren genomfört förändringar i både diagnostiska prov och i kursplanerna vilket medfört att resultaten på t ex tentamensskrivningar blivit svårare att jämföra över tid. I de fall det finns jämförbara resultat är inte bilden helt entydig. En klar majoritet rapporterar dock försämrade resultat (Löfwall, 1998) Vad anser gymnasielärare om proven? För att få en bild av de diagnostiska provens relevans i förhållande till mål och innehåll i gymnasieskolans matematikkurser bad jag 25 erfarna gymnasielärare att i enkätform svara på följande frågor (A-C). Enkäten som genomfördes i april 98 finns som Bilaga 5 a,b. Lärarna fick också en kopia på två av de artiklar som rapporterat och kommenterat de aktuella provresultaten (DN, 1997-10-31 (Bilaga 2) och UNT, 1998-01-12 (Bilaga 6)). De uppgifter som lärarna fick ta ställning till är tagna från Pettersson (1998a). Provet med de nio uppgifterna gavs till de studenter som började Chalmers ht 1997 (Se Bilaga 4c). Innehållet får anses typiskt för de diagnostiska prov som förekommit under senaste 20-25 åren på de tekniska högskolorna. A. Ange i en skala från 1-5 hur relevanta de olika uppgifterna är för gymnasiets matematikutbildning idag. 1 = i mycket liten grad och 5 = i mycket hög grad. Ange också i samma skala graden av relevans för åren 1993, 1988 och 1978 i de fall du undervisat i matematik på gymnasiet under dessa år. B. Ange i förekommande fall i vilken eller vilka gymnasiekurser (A - E) som de olika uppgifterna kan förekomma i idag. C. Teknologerna fick inte använda hjälpmedel på det aktuella provet. Hur be-dömer du att lösningsfekvenserna skulle sett ut (uppskattningsvis) om teknolo-gerna fått använda formelsamling och miniräknare typ TI 83 på provet? Jag bad också om en kommentar till svaren och lärarnas uppfattning om orsa-kerna till den rapporterade resultatförsämringen.


Resultatet av lärarnas svar finns sammanfattade i följande tabell. A B C i dag 1993 1988 1978 (A-E) (%) Uppgift 1

3,85 2-5

3,92 2-5

4,22 3-5

4,81 4-5

A A-C

87 (33) 75-100

Uppgift 2

4,96 4-5

5,00 5

5,00 5

5,00 5

A A-C

79 (65) 65-98

Uppgift 3

2,68 1-4

2,83 1-4

3,36 2-5

3,87 2-5

A A-E

24 (24) 24

Uppgift 4

3,12 2-5

3,91 2-5

4,09 3-5

4,27 3-5

C B-D

43 (26) 26-100

Uppgift 5

4,44 2-5

4,57 2-5

4,77 4-5

5,00 5

D A-D

59 (27) 40-90

Uppgift 6

3,48 2-5

3,87 2-5

4,05 3-5

4,53 3-5

A A-D

32 (17) 17-65

Uppgift 7

4,24 2-5

4,35 2-5

4,68 3-5

4,93 4-5

B A-B

41 (34) 34-90

Uppgift 8 3,72 2-5

4.00 2-5

3.95 3-5

4,27 3-5

D C-D

35 (25) 25-95

Uppgift 9

4,10 2-5

4,17 3-5

4,32 3-5

4,47 4-5

A A-C

26 (20) 20-80

För respektive uppgift och år har jag angivit det aritmetiska medelvärdet för lä-rarnas relevansskattning liksom högsta och lägsta värde bland dessa skattningar (fråga A). När det gäller frågan om gymnasiekurser (fråga B) har jag i tabellen angivit det mest frekventa svaret och mellan vilka kurser som lärarnas svar varierar. Den sista kolumnen anger det aritmetiska medelvärdet för de lös-ningsfrekvenser (%) som lärarna uppgivit i svaret på fråga C, kompletterat med högsta och lägsta uppgivna lösningsfrekvens. Siffrorna inom parentes anger lösningsfrekvenserna för respektive uppgift när provet gavs (utan hjälpmedel) vid CTH hösten 1997. I tabellen kan vi se att vikten av att kunna lösa de olika uppgifterna snabbt och säkert utan hjälpmedel enligt lärarnas uppfattning minskat successivt under de senaste 20 åren – för tre av uppgifterna i genomsnitt mer än ett steg. Samtidigt kan man konstatera att endast en av uppgifterna anses vara av sådan låg relevans idag att medelvärdet inte når upp till 3 (2,68 för uppgift 3). Fyra av de nio uppgifterna har i dagens gymnasieskola ett "relevansmedelvärde" på över 4. Skillnaderna mellan de olika lärarnas relevansbedömningar är uppseendeväck-ande stora.


Skillnaderna är också stora mellan lärarnas uppfattningar om i vilken kurs som respektive uppgiftstyp brukar behandlas. De flesta uppgiftstyperna ligger enligt en majoritet av lärarna i början av gymnasiets matematikutbildning – med be-toning på kurs A – ett förhållande som jag skall återkomma till. Lärarnas uppfattningar om lösningsfrekvenser om eleverna haft tillgång till formelsamling och miniräknare skiljer sig också åt - bortsett från uppgift 3. Resultaten pekar på stora skillnader när det gäller uppfattningar av effekten och värdet av miniräknare i undervisningen och på prov. Variationen väcker tankar om matematikundervisningens likvärdighet och kvalité på gymnasiet och om kursplanernas förmåga att styra med nuvarande mål, betygskriterier och kursprov. Den pekar också på ett stort behov av kol-legiala samtal mellan matematiklärare.

Som du ser är vi inte eniga, så man förstår att det inte är lätt. Men för elevernas skull är det viktigt att en samsyn erhålles! (Kommentar från en av gymnasielärarna)

Kommentarer från gymnasielärare En av de mest kritiska gymnasielärarna menar att tiden – ca tre minuter per uppgift i snitt – är på tok för kort. Vilken förmåga mäter ett sådant prov?

Jo, det är väl framförallt rena "drillkunskaper", förmågan att rent meka-niskt haspla ur sig vissa regler och principer. Denna attityd till matema-tiskt kunskapande försöker vi verkligen undvika på gymnasienivå. ... den här typen av "drilltest under tidspress" (borde) verkligen tillhöra det för-gångna.

Det är säkert så att många elever lärt sig lösa uppgifter av den typ som före-kommer i de aktuella proven mer eller mindre mekaniskt utan en djupare insikt att falla tillbaka på när man "glömt hur man gjorde". Men detta kan knappast vara matematikens fel utan snarare matematikundervisningens. De aktuella uppgifterna handlar enligt min uppfattning om grundläggande matematiska idéer, begrepp, metoder och färdigheter och det kan knappast vara en nackdel att kunna lösa dem med snabbhet och säkerhet, speciellt inte om detta är grundat på djup kunskap om de ingående begreppens innebörd. Det man däremot kan vara kritisk mot är den korta tid som studenterna får på sig att lösa de olika uppgifterna. Tre minuter per uppgift och utan hjälpmedel direkt efter ett långt sommaruppehåll ger inte särskilt mycket utrymme för angelägen reflektion och eftertanke. Vilken uppfattning av matematik som ämne får man som student om detta innehåll och denna form av matematikkunnande är det första man möter på den tekniska högskolan?


Samme lärare som ovan menar också att proven inte ger en rättvisande bild av den moderna gymnasieundervisningen. Eleverna får t ex inte visa sin förmåga att undersöka och upptäcka viktiga samband och att lösa komplexa och tidskrä-vande problem med hjälp av moderna hjälpmedel.

Med hjälp av grafritande räknare (kan eleverna) lösa problem som en elev överhuvudtaget inte kunde lösa för 25 år sedan

Detta är naturligtvis helt korrekt. Att proven skulle "täcka" gymnasieskolans nuvarande kursplaner har heller inte hävdats av de lärare som brukar ge proven på högskolan. På denna punkt borde proven utvecklas så att de bättre än idag svarar mot gymnasieskolans kursplaner och mera allsidigt prövar de kvaliteter i studenternas matematikkunnande som högskolan bör bygga sin utbildning på. Ett sådant utvecklingsarbete pågår också på flera högskolor, bl a i Umeå och Växjö. Den aktuella debatten speglar till vissa delar ett mycket gammalt problem. Hur hittar man en god balans mellan färdighet och förståelse i matematik – mellan hur och varför?

Förr frågade man vanligen alls icke, hvarför räkningen utfördes på det eller det viset, – och det var alldeles för litet. Nu är man benägen att fråga hvarför så tidigt och så ofta, att frågan huru ej hinner bli ordentligt besva-rad, – och detta är alldeles för mycket. Lagom måste ligga någonstädes mellan de båda ytterligheterna (Velander, 1884)

Av lärarnas kommentarer framgår – inte särskilt överraskande – att den ökade användningen av miniräknare på gymnasieskolan kan vara en naturlig förklaring till en del av de försämringar som redovisats på de aktuella förkunskapsproven – där det ju inte varit tillåtet att använda hjälpmedel som formelsamling och mini-räknare. Man pekar på att ökad användning av miniräknare och andra hjälpmedel är i linje med gymnasiets gällande kursplaner (se t ex Björk & Brolin, 1996) - men även att bruket ibland kanske blivit väl omfattande

- Alla skall kunna lösa andragradsekvationer men på senare år tillåts miniräknare i större utsträckning - De får normalt använda räknare på denna typ av problem - Eleverna löser problemen (t ex uppg 6) approximativt med miniräknare - Logaritmlagarna används men inte utan formelsamling - Självklart skall grafräknarna användas på universiteten. Plötsligt skall eleverna klara uppgifterna med en hand på ryggen - Alltför flitig användning av räknedosa på gymnasiet


En annan förklaring till de försämrade resultaten uppges vara en förskjutning från mera komplexa, sammansatta flerstegsuppgifter i t ex algebra och geometri till arbete med enklare matematiska modeller i ett växande antal tillämpningar - mindre betoning på matematikens inre strukturer och mera på matematikens betydelse i samspelet med andra ämnen.

- Man ägnar nog inte så mycket tid åt sådana "besvärliga" förenklingar (uppgift 3) som förr! - Förenkling, Ja, men inte lika bökiga uttryck - Kursplanen säger "kunna lösa enklare problem". Detta (uppgift 6) är knappast ett enkelt problem involverande sin och cos. ...troligen (har) matematikundervisningen i gymnasieskolan ändrats något från grundläggande matematik till mer tillämpad matematik, varvid man kanske har gjort avkall på en del träning i bl a algebra (Pettersson, 1998a, s 6)

Andra orsaker som nämns är försämrade förkunskaper från grundskolan i bl a algebra och bråkräkning. Trots tydliga siffror som pekar i denna riktning (se t ex Johansson, 1998a) och att t ex algebra behandlas ett par år senare i svensk skola än i många andra jämförbara länder, vill många högstadielärare flytta sådana kunskapsområden ännu längre upp i skolsystemet. ... problematiska områden ... som algebra ... skulle kanske kunna flyttas till gymnasiet ... Andra bitar som kunde ligga utanför grundskolema- tematiken (är) andragradsekvationer och olika funktioner. Det eleverna behövde var mer verklighetsnära matematik (Lundberg, 1998, s 22) Flera lärare anser att dagens gymnasieelever i allmänhet arbetar alldeles för lite med matematiken och att detta är ett av skälen till de rapporterade försämring-arna. I TIMSS-projektet finns resultat som pekar på att svenska elever ägnar mindre tid åt hemarbete än elever i övriga deltagarländer (Skolverket, 1998d). Det gäller både grundskolan och gymnasieskolan. Förhållandet var detsamma vid den föregående IEA-studien 1980 (SIMS). En förklaring till de senaste årens förändringar kan också vara brister i den nya kursutformade gymnasieskolans struktur. - Kurserna A och delvis B ... är ingen utmaning - Detta var enda gången man behövde anstränga sig på matematiklektio- ner, vad det var roligt (gymnasieelev, kurs F) samtidigt som


- vi har många elever som vi har svårt att klara igenom med godkänt i betyget. Vi undervisar mest för dessa kategorier och övriga får klara sig bäst de kan ... Det är i den gruppen blivande civilingenjörer finns. Denna situation hänger säkert ihop med att praktiskt taget alla elever som gått ut grundskolan nu går direkt vidare till gymnasieskolan och att de flesta av dessa kommer in på sitt förstahandsval, också till NV-programmet. Detta innebär att dagens programskolor har en långt svårare uppgift än gårdagens linje-skolor, då vi gått från ett urvalssystem till ett system där målet är att alla skall ha tillgång till önskat program och inriktning, förutsatt att de har godkända betyg i svenska (alt. svenska som andraspråk), engelska och matematik från grundskolan (från läsåret 1998/99). Det nya betygssystemet ställer också störrre krav på lärarnas arbete med elever i behov av särskilt stöd. Samtidigt vet vi att många elever nått målen i kurs A i matematik redan i årskurs 9 (Johansson & Wahlström, 1997). Brister i NV-programmets innehåll och struktur har också framkommit i Skolverkets utvärderingar (Skolverket, 1998b,c. Se också LMNT-nytt, 1998:1; Muhr, 1998).

Naturvetenskapsprogrammet med sin nuvarande uppbyggnad ... erbjuder (inte) det stimulerande och utmanande studiealternativ som de ungdomar som väljer programmet har rätt att kräva (Skolverket 1998c, s 9)

En anledning till bristen på utmaningar kan finnas i omfattningen av NV-pro-grammets karaktärsämnen biologi, fysik, kemi, teknologi A och matematik. De motsvarar tillsammans bara c 35 % av den garanterade tiden medan motsva-rande siffror för yrkesprogrammens karaktärsämnen är 58 %. NV-programmet skall enligt programmålen ge eleverna en god grund för och stimulera dem till fortsatt utbildning och verksamhet med inriktning mot naturvetenskap, matematik och teknik (GyVux 1994/95:14). Brister i det kursutformade systemet anses också göra det svårt att ägna till-räcklig tid åt de grundläggande räknefärdigheterna

Trots en positiv inställning till den nya kursplanens allmänna målsättning anser lärarna att de många systemfelen i det nya gymnasiets struktur med-för stora svårigheter att upprätthålla kunskapsnivån, särskilt när det gäller de grundläggande färdigheterna. (Björk & Brolin, 1998)

Detta problem har också framförts av ansvariga för de nationella kursproven. De har i våra samtal pekat på att dessa kvaliteter i elevernas matematikkun-nande prövas i mindre omfattning idag än vad som varit möjligt i det tidigare systemet med en sammanhängande matematikkurs och tillhörande centrala prov. Det är naturligtvis svårt att i det gemensamma nationella provet i matematik för


kurs A beakta de olika programmens inriktning och t ex ta med lite svårare uppgifter i algebra som borde ingå i den "infärgade" A-kursen på NV-pro-grammet. Det tycks vara möjligt att få de högsta betygen i matematik utan att behöva visa upp den typ av kunnande som testas i de tekniska högskolornas förkunskapsprov. Kanske är det dags att utforma programspecifika delar i matematikproven för t ex NV-programmet? Ett annat sätt att möta detta problem skulle kunna vara att frångå idén om gemensamma kursplaner i matematik för olika program. I undantagsfall kan det finnas behov av alternativa, dvs. sidoordnade, kursplaner i hela eller delar av kärnämnen. Vi tänker här på ämnet matematik som stöd för andra ämnen inom det naturvetenskapliga programmet (Prop 1992/93:250, s 47) På denna punkt finns fortfarande olika uppfattningar i riksdagen, där flera partier föreslagit alternativkurser i bl a kärnämnet matematik (Se t ex 1997/98: UbU10). Några lärare har pekat på att den förvirrade betygssituationen under övergången till det nya betygssystemet kan ha bidragit till den betygsinflation som skedde sista åren med sifferbetyg. Medelbetyget bland N-eleverna ökade då enligt uppgifter från Skolverket från 3,5 till 3,7. Detta är en av flera indikationer på att innebörden i de högsta betygssteget förändrats och inte varit särskilt likvärdigt under senare år – vilket i sin tur kan förklara en del av försämringarna som rapporterats från Linköpings tekniska högskola (Norstad, 1997).

Vikten av att ta reda på vad som leder till goda matematikresultat är naturligtvis enorm i ett teknologiskt samhälle, där matematik ut-gör grunden för undervisningen i naturori-enterande och tekniska ämnen. (Torsten Husén i Inledningen till Å. Murray & R. Liljefors (1983)).

Svenska elevers matematikkunskaper i ett internationellt per-spektiv Svenska elever uppvisar goda resultat i matematik jämfört med elever i många andra länder. Speciellt framgångsrika är våra elever på uppgifter som omfattar matematik i användning och tillämpning. Detta framgår av TIMSS-resultaten på det matematiktest som 1995 gavs till ett urval av elever från samtliga avgångs-klasser i gymnasiet (Johansson, 1998a; Skolverket, 1998d). Resultaten förstär-


ker den bild vi fick på motsvarande uppgiftstyper i TIMSS-testet för 13-åringar (Johansson & Emanuelsson, 1996; Skolverket, 1996a). Bilden blev särskilt tyd-ligt i en OECD-studie (IALS) av ungdomars och vuxnas förmåga att förstå och använda tryckt och skriven information (OECD, 1997a; Skolverket, 1996b). Den stärks också av resultaten på det praktiska kunskapsprov (Performance Assessment) som 1995 gavs till våra 13-åringar inom ramen för TIMSS-projek-tet (Skolverket 1997a). Resultaten skall ses mot bakgrund av den framträdande plats som denna typ av matematikinnehåll och kunnande intagit i kursplanerna till Lgr 80, Lgy 70 och LVux 82. Problemlösning och matema-tiska modeller av särskild betydelse i vardagsliv och samhällsliv och i samverkan med andra äm-nen har haft hög prioritet. Det matematiktest i TIMSS som gavs till våra NT-elever i gymnasiets avgångs-klasser visar ett klart sämre resultat men endast två deltagande länder hade sig-nifikant bättre resultat än Sverige. Vi presterar fortfarande bra på matematik i användning men något sämre på matematikuppgifter som omfattar alge-bra/derivata/integraler och geometri - sådana uppgifter som testar matematiska begrepp, metoder och färdigheter utan direkt koppling till andra ämnesområden. Inte heller här kommer resultaten som en överraskning. I studien av 13-åringarna var det just i algebra och geometri som vi presterade sämst i den in-ternationella jämförelsen. Resultaten är heller inte överraskande om vi jämför våra kursplaner med t ex Frankrikes - vars resultat var signifikant bättre än de svenska - där denna typ av matematik har en mycket starkare ställning än i vårt land (se t ex Sierpinska, 1995).

Endast ett fåtal av eleverna kommer senare att ägna sig åt matematik som vetenskap. För de flesta kommer matematiken att vara ett instrument som är nödvändigt för fortsatta studier eller senare yrkesverksamhet samt i rollen som samhällsmedborgare. Matematikundervisningen bör utformas med detta som utgångspunkt (Skolöverstyrelsen, 1981)

Mathematics (in France) means mathematics of research mathematicians ... the aim of teaching mathematics at the elementary school is not to prepare the child for an active life and future professional work by making him or her solve problems suggested by everyday life, but to teach him or her mathematics, an intellectual activity worthy of developing in itself (Sierpinska, 1995 p. 164)

Resultaten från TIMSS och IALS visar en överraskande god samstämmighet mellan elevernas prestationer och den styrning av innehållet som uttrycks i re-spektive lands kursplaner och provtradition. Ett annat exempel på detta är Nederländerna där resultaten i stort följer samma mönster som de svenska samtidigt som deras kursplaner och prov har mycket stora likheter med våra när


det gäller betoning på matematik i användning (Se t ex van den Heuvel-Panhuizen, 1996). Svenska elever brukar inte nå toppresultat på internationella matematik-tävlingar. Samtidigt kan vi genom fördjupade studier av TIMSS-data se att De högpresterande svenska eleverna i matematik presterar ... i nivå med övriga länders högpresterande elever, i relation till elevprestationer i totalgruppen (Wester & Sigurdsson, under tryckning). Jämförelsen gäller i detta fall de 5% bäst presterande eleverna på gymnasie-skolans naturvetenskapliga inriktningar. Om vi går utanför den lilla grupp av elever som deltar i internationella matematiktävlingar förefaller det alltså vara en myt att våra bästa elever relativt sett presterar sämre än motsvarande elever i andra länder. Det sammanvägda resultatet för våra NT-elever var i stort sett detsamma 1980 (SIMS) och 1995 (TIMSS) om man jämför de matematikuppgifter som var ge-mensamma. Vi ser inte den kraftiga förbättring som vi kunde konstatera för 13-åringarna mellan dessa båda mättillfällen (Johansson & Emanuelsson, 1996). Inte heller detta är överraskande om man jämför den omfattande matematik-fortbildning som grundskolans klasslärare fick under slutet av 1980-talet och början av 1990-talet med den mycket blygsamma matematikfortbildning som förekommit på högstadiet och gymnasiet under samma period. När man tolkar resultaten från TIMSS gymnasiestudie måste man komma ihåg att många länder som fanns med i studien för 13-åringarna inte deltog i gym-nasieundersökningen. T ex deltog inga länder från Sydostasien. TIMSS är också i huvudsak ett resultat av Lgr 80 och Lgy 70 och säger inte särskilt mycket om effekten av våra gällande läroplaner och kursplaner. Mer om svenska elevers matematikkunskaper i ett nationellt perspektiv Samtidigt som våra elever presterar förhållandevis bra i ett internationellt per-spektiv vet vi att många elever inte når upp till de mål som satts upp i våra nya kursplaner. Preliminära resultat från Skolverket visar att 6% av våra elever inte nådde upp till slutbetyget Godkänd i matematik i grundskolan vt 98 medan 13% inte nådde upp till detta betyg (sk provbetyg) på det betygsstödjande nationella ämnesprov i matematik som första gången gavs i årskurs 9 våren 1998 (Skolverket, 1998e). Orsaken till skillnaden mellan slutbetygen och resultaten på de betygsstödjande proven i matematik bör bli föremål för en särskild un-


dersökning, speciellt som motsvarande skillnader i engelska och svenska var mycket små. I våra storstadsområden finns skolor där över 50 procent av eleverna i årskurs 9 inte nådde upp till slutbetyget Godkänd vårterminen 1998. Oroande är också att de svenska TIMSS-resultaten i avgångsklasserna i gymnasiet visar på stora skillnader i prestationer mellan flickor och pojkar till flickornas nackdel, en skillnad som inte fanns för 13-åringarna och inte heller visat sig i gymnasiets nationella kursprov i matematik (Skolverket, 1997b). Skillnaderna är också små mellan flickor och pojkar när det gäller resultaten på det diagnostiska provet i matematik som ges på CTH (Rolf Pettersson, muntlig kommunikation). En förklaring till att flickor som grupp, sammantaget visar sämre resultat i mate-matik i slutet av gymnasiet kan vara att de genom sina linje- eller programval fått en kortare matematikutbildning än gruppen pojkar. Bakom likheter i prestationer ligger skillnader mellan könen när det gäller frågor som intresse för och tilltro till sin egen förmåga att lära matematik – faktorer som kan vara väl så viktiga som prestationer på förkunskapsprov när det gäller fortsatta studier i matematik (se t ex Lindberg & Grevholm, 1998; Svensson, 1996; Wistedt, 1998). En studie av gymnasieelevernas slutbetyg vårterminen 1997 visar på en stor variation i betyg mellan program och skolor, särskilt i matematik. På vissa program klarar endast hälften av eleverna gränsen för godkänd i Matematik A samtidigt som de allra flesta eleverna på Naturvetenskapsprogrammet klarar provet med minst betyget Väl godkänd. På naturvetenskapsprogrammet finns t ex ett par skolor där inga elever fick betyget Mycket väl godkänd på kurs A medan 81 procent av eleverna fick det högsta betyget på skolan med den högsta andelen (Skolverket, 1998f). Det är bl a mot denna bakgrund man skall se regeringens uppdrag till Skolverket att utveckla och fastställa betygskriterier för MVG och det nyligen framlagda förslaget att göra de nationella kursproven obligatoriska samt att utveckla provbanker för att stärka möjligheterna att kvalitetssäkra såväl betyg som resultatredovisning (Prop. 1997/98:169). Erfarenheterna från de första åren med det nya betygssystemet tyder på allvar-liga brister i likvärdighet när det gäller tolkning och tillämpning av kursmål och tillhörande betygskriterier. Om man till detta lägger signaler om stora olikheter i tolkning och tillämpning av skollagens och gymnasieförordningens regelsystem när det gäller frågor om undervisningstid, rätten till prövning, reducerat program, specialutformat program och skillnader mellan gymnasieskolans slutbetyg och den kommunala vuxenutbildningens samlade betygsdokument, så är det mycket tveksamt om betygen är likvärdiga, jämförbara och rättvisa på ett sätt som de studerande som söker till högskolan har rätt att kräva (Johansson & Emanuelsson, 1997; Lustig, 1998).


NV-eleverna är mycket medvetna om hur betygen värderas och väljer taktiskt i den mån de kan. De kanske får höga betyg på de första matema-tikkurserna, men märker sedan hur kraven höjs på Matematik D. Inför risken att sänka sitt jämförelsetal vid ansökan till högskolan, väljer en del Miljökunskap, som anses lättare att få högt betyg på, i stället för Matematik E (Skolverket, 1998b, s 20)

Det faktum att kurs A i matematik värderas högst av samtliga matematikkurser i det nuvarande meritvärderingssystemet har haft en olycklig styrning på ele-vernas matematikstudier. Därför välkomnas förslag till förändringar i rege-ringens senaste proposition om gymnasieskolan

Kurserna B-E bör – med tanke på målen i kursplanerna och på den arbets-insats som därmed krävs av eleverna – ges ett högre poängtal ... Enligt re-geringens bedömning är det rimligt att de kurser som har störst betydelse för högskolestudier får en ökad betydelse vid urvalet till högskolan. Detta gäller bl a de mest kvalificerade kurserna i matematik. Genom revision av antalet gymnasiepoäng kan en sådan effekt erhållas (Prop. 1997/98:169)

Framtiden får utvisa om dessa förändringar räcker – om de går igenom i riks-dagen. Betygens innebörd och värde i vårt nya behörighets-, urvals- och merit-värderingssystem är en kritisk faktor i vårt utbildningssystem - inte bara vid övergången mellan gymnasiet och den teknisk högskolan. Stora förändringar i tillgång på utbildning och i studerandegruppernas storlek och utbildningsbakgrund En av flera tänkbara förklaringar till den resultatförsämring som rapporterats från de tekniska högskolorna är sannolikt de stora förändringar som skett när det gäller antalet ungdomar i de aktuella åldrarna. Antalet 19-åringar har minskat till historiskt låga tal under de år som t ex Chalmers rapporterat de sämsta provresultaten hittills. I början av 90-talet var kullarna med 19-åringar runt 110 000 (enligt SCB). Antalet varierade mellan 107 000 och 114 000 (barn födda mellan åren 1969 och 1974). Därefter har antalet sjunkit till 103 000 år 1994 för att 1997 nå ett bottenläge på 93 000 (barn födda 1978). Detta betyder en minskning i antalet 19-åringar mellan den högsta siffran 1990 och den lägsta 1997 med drygt 18% och en minskning under de kritiska åren 1993-1997 med c 15 % (från 110 000 till 93 000). Under tiden fram till år 2009 kommer antalet att öka stadigt upp till 124 000 (barn födda 1990) för att sedan sjunka på nytt. Att det finns ett samband mellan antalet ungdomar i en årskull och resultaten på de diagnogiska proven stärks av de resultat-förbättringar som rapporterats från flera högskolor ht 98. Antalet 19-åringar har ökat med c 3 % mellan 1997 och 1998.


Samtidigt har antalet utbildningsplatser ökat kraftigt vid våra universitet och vid allt fler högskolor (se t ex Brandell, 1998; VHS, 1998). Antalet 20-åringar i högskoleutbildning har t ex mer än fördubblats under de senaste 10 åren. Antalet nybörjare på civilingenjörsutbildningen har enligt SCB under den senaste 20 års perioden ökat från ca 3 000 till över 6 000 (SCB, 1996). Till detta kommer en högskoleingenjörsutbildning som på 10 år vuxit ut från ingenting till en nästan 8000 registrerade nybörjare (ht 97, SCB). Enligt planerna skall utbyggnaden fortsätta. Bristen på naturvetare och tekniker är stor, särskilt civilingenjörer inom elektronik och informationsteknik/data (se t ex Industri-förbundet, 1998). 1998/99 erbjuds 10% fler än förra året en plats på högskolan. Antalet elever som börjar på gymnasieskolans naturvetenskapliga program har också ökat kraftig under senare år. Liksom för civilingenjörsutbildningen ökar också andelen kvinnor. Läsåret 1997/98 var antalet nybörjare på programmet drygt 25 000 om man räknar in de elever som valt ett specialutformat program med NV-inriktning (Skolverket, 1998c). Om det föreslagna nya nationella teknikprogrammet kommer till stånd kommer kanske tillströmningen av elever direkt från gymnasieskolan till den naturvetenskapliga och tekniska sektorn att öka ytterligare (Prop. 1997/98:169; Reuterberg & Svensson, 1998). Genom den nya gymnasieskolan, det nya betygssystemet, högskoleprovet, det sk basåret, NT-svux och Komvux och det nya systemet för behörighet och urval till högskolan har vi fått en allt mer varierad utbildningsbakgrund hos de studenter som antas till t ex civilingenjörsutbildning. Högskoleprovets matematik-relaterade uppgifter testar t ex i mycket ringa omfattning sådana förkunskaper som de tekniska högskolornas diagnostiska prov är tänkta att mäta (Ögren & Lexelius, 1997). Sambandet mellan denna mångfald i bakgrund och förmågan att genomföra en sådan utbildning borde bli föremål för en särskild studie. Lärarnas grundutbildning och vidareutbildning En parlamentarisk kommitté utreder för närvarande hur man bör reformera den svenska lärarutbildningen. Det finns flera motiv till en sådan reform. Några av de viktigaste finner vi i det nya styrsystemet för svensk skola. Vi har fått nya lä-roplaner - från förskola, förskoleklass och grundskola till gymnasieskola och kommunal vuxenutbildning - nya programplaner och kursplaner och ett nytt betygssystem med tillhörande provsystem och bestämmelser för tillträde, behö-righet och urval till högre utbildning (se t ex Utbildningsdepartementet, 1997; Johansson, 1998b). En av de största förändringen under senare år gäller utan tvekan gymnasieskolan. I början av 60-talet gick c 10% av en årskull i gymnasiet. Läsåret 1997/98 började 98% på gymnasiet varav 85 % kom in på förstahandsval.


Ett av många svåra problem som kommittén har att arbeta med är bristen på lärare i matematik, no och teknik. Man har gjort en rad satsningar, bl a genom det sk basåret. Lärarutbildningskommittén skall överväga behovet av ytterligare insatser. Regeringen annonserar i sitt 10-punktsprogram (Utbildningsde-partementet, 1998b) en satsning på naturvetenskap, teknik och miljö i form av en kurs om 20 poäng som skall erbjudas pedagogisk personal i förskola, grund-skola och gymnasieskola. Anmärkningsvärt nog finns inte någon motsvarande satsning på utbildning i matematik. Många studier har visat att det krävs ett omfattande förnyelsearbete, inte minst i grundskolan, om vi skall kunna täcka det ständigt ökande behovet av matema-tiker, naturvetare och tekniker och kompetenta lärare inom dessa ämnesområden (Se t ex Prop. 1997/98:150). Inte minst gäller det att få fler flickor och elever från socialgrupp tre samt från multikulturella och flerspråkiga miljöer att välja den aktuella inriktningen (Svensson, 1996; Secada et al, 1995; Trentacosta et al, 1997) I skollagen finns bestämmelser om vilka krav som skall ställas på undervisande personal. Varje kommun och landsting skall sträva efter att för undervisning i gymnasieskolan, gymnasial vuxenutbildning och påbyggnadsutbildning anställa lärare som har forskarutbildning (SFS 1997:1212). Vid en förfrågan hos SCB fick jag nyligen preliminär information gällande år 1995 att andelen lärare i fysik med forskarutbildning i fysik var nästan 1 på 10 medan andelen lärare i matematik med forskarutbildning i matematik var mindre än 1 på 200. Resultaten från det sk TIMSS-projektet visar toppresultat i fysik bland vår NT-elever men medelmåttiga resultat för samma grupp i matematik (Skolverket, 1998d). En av flera tänkbara orsaker kan vara den stora skillnaden i utbild-ningsnivå mellan de båda lärargrupperna i gymnasiet, som för övrigt också gäller på grundutbildningsnivån (Universitetskanslern, 1995). En fråga man ställer sig är alltså om det finns ett samband mellan den förhållandevis korta utbildningen i matematik hos svenska gymnasielärare och våra NT-elevers för-kunskaper inför högskolestudier i matematik. Samtidigt måste man komma ihåg att gymnasieskolan nu omfattar i stort sett alla ungdomar i de aktuella åldrarna och att i runda tal hälften av det totala tjänsteunderlaget för matematik utgörs av kurs A - en något fördjupad grund-skolekurs med krav på tydlig inriktning mot respektive program. Gymnasie-lärare i matematik skall också undervisa de elever i matematik som inte nått upp till slutbetyget Godkänd i matematik i grundskolan och som därför studerar inom ramen för ett individuellt program. Dessa gymnasielärare behöver enligt min uppfattning inte i första hand kunskaper i matematik på magisternivå eller forskarutbildningsnivå utan snarare fördjupade kunskaper i matematikämnets


didaktik med betoning på elever i behov av särskilt stöd. Men båda kategorierna behövs! (Johansson, 1998b). Grundutbildning i förändring Nationellt utvecklingsarbete Vid flera tekniska högskolor och universitet pågår sedan en tid ett utvecklings-arbete med nya diagnostiska prov i matematik för nyantagna studenter. Proven är bättre anpassade än de gamla till gymnasieskolans gällande läroplan och kursplaner och bättre relaterade till det utvecklingsarbete inom grundutbild-ningen i matematik som på många håll pågått och pågår parallellt och som i flera fall finansierats av Högskoleverkets grundutbildningsråd (se t ex Heden-borg & Tengstrand 1997). Utvecklingsarbetet har bl a omfattat olika försök att förbättra rekryteringen av och undervisningen för kvinnliga studerande (se t ex Wistedt, 1998). Andra exempel är försök med nya examinationsformer (se t ex Högskoleverket, 1997; Trowald, 1997) och datoranvändning i högskolans matematikundervisning (se t ex Bergsten, 1998). Åsikterna om hur grundutbildningen i matematik bör förändras till innehåll och form är långt ifrån samstämmiga. Vissa ämnesföreträdare vid universiteten menar att det i första hand är matematikutbildningen vid högskolan och inte gymnasieskolan som behöver revideras.

Utbildningen vid teknisk högskola vilar på en grund som väsentligen lades på 1800-talet ... Utbildningen vilade på en teoretisk grund som var i har-moni med den beräkningsteknik som användes i praktiken. ... Den nya be-räkningstekniken ersätter nu den traditionella, och all teknisk och naturve-tenskaplig utbildning, från gymnasium till teknisk högskola och forskar-utbildning, står inför utmaningen att förnya sig och utnyttja de nya möjlig-heterna ... Det fundamentala steget är att reformera matematikutbildningen mot en syntes av symbolisk och numerisk matematik som kan ge de rätta grunden för utnyttjande av modern beräkningsteknik inom tekniska ämnen. Enastående nya möjligheter finns för att härigenom höja både nivå, kvalitet och effektivitet hos utbildningen ... gymnasiet verkar mer öppet för reform, vilket hotar systemets jämvikt (Johnson, 1998)

Tillträdande rektorn vid Chalmers tekniska högskola, Jan-Erik Sundgren, anser också att den matematiska utbildningen vid högskolan behöver reformeras (KunskapsStaden Göteborg, 2/98). Grundutbildningen i matematik var för några år sedan föremål för en särskild utvärdering från Kanslersämbetet (Universitetskanslern, 1995; Högskoleverket, 1996). I rapporten efterlystes bl a en ökad rekrytering av kvinnliga studerande


och mer omfattande och bättre utbildning av matematiker för näringsliv och offentlig förvaltning. Bedömargruppen ansåg också att gymnasielärarutbild-ningen i matematik i Sverige är för grund, vilket gör att studenterna har för dåliga förkunskaper, och önskade därför en översyn av gymnasielärarutbild-ningen inom ämnet matematik. Samtidigt kan man konstatera att lärarutbildningen och fortbildningen i peda-gogik och ämnesdidaktik för universitetslärare är mycket begränsad med små möjligheter att t ex följa den ganska omfattande forskning om undervisning och lärande i matematik som rapporterats under senare år (Se t ex Bieler, 1994; Bishop, 1996; Grouws, 1992; Sierpinska & Kilpatrick, 1998; Steen, 1992). Det vore önskvärt om den sittande lärarutbildningskommittén kunde få tilläggsdirektiv som också omfattade lärarutbildning och kvalificerad lärar-fortbildning för högskolans lärare (Utbildningsdepartementet, 1997). Forsk-ning om lärande i t ex matematik på högskolan borde vara en naturlig del av forskningen om och i matematik vid alla matematikinstitutioner (Bowden & Marton; Burton, 1998). Högskolelagens krav på forskningsanknytning borde gälla även anknytning till utbildningsvetenskaplig forskning. De flesta lärare som jag kommit i kontakt med under mitt arbete med denna rapport efterlyser regelbundna tillfällen till utvecklande samtal och diskussioner mellan matematiklärare på olika nivåer i utbildningssystemet. Man menar att de kraftiga besparingar på lärarsidan som skett under senare år har gjort det allt svårare att få tid till sådana diskussioner. Allt mindre tid till undervisning kombinerat med större och mera heterogena grupper har inte gjort situationen bättre.

Och diskussioner om hur vi skulle kunna utveckla undervisningen i mate-matik, det förekommer överhuvud taget inte idag (gymnasielärare i Skolvärlden nr 1, januari 1998).

Resultaten visar att många elever inte är väl förberedda när de kommer till matematiktäta utbildningar ... Vidare märks att gymnasielärarna i all-mänhet inte känner till detta (Karlsson, 1996).

Många talar om positiva erfarenheter av tidigare system med fortbildningskon-sulenter och gymnasieinspektörer. Man efterlyser kollegiala samtal som kan dokumenteras i rekommendationer och handlingsprogram med utrymme för återkommande uppföljning, utvärdering, återkoppling och utveckling. Det finns flera exempel på att utvecklingen kan ta denna positiva riktning. Ett exempel kommer från det sk ADM-projektet som nyligen publicerat en rapport från ett samarbete mellan gymnasielärare i matematik och matematiklärare från våra universitet och högskolor. Rapporten beskriver grundläggande uppgiftsty-


per och innehåll som de medverkande gymnasie- och högskolelärarna enats om att eleverna från gymnasieskolans NV-program (minst D-kursen) bör behärska - med respektive utan räknare - för att vara väl förberedda för högskolans ma-tematikstudier. Det gäller främst inom områdena algebra, trigonometri, derivata, kurvritning och integraler (Björk & Brolin, 1998). En viktig fortsättning på detta arbete skulle kunna vara en diskussion om hur väl eleverna bör behärska de aktuella uppgiftstyperna med avseende på förståelse och färdighet. Andra exempel är idéskriften Heureka om undervisningen i matematik, natur-vetenskap och teknik (LR & SAF, 1998) och det sk harmoniseringsprojektet i Göteborg där man koncentrerat sig på övergången mellan grundskola och gymnasieskola (Göteborgs utbildningsförvaltning, 1998). Redaktionen för tid-skriften Nämnaren rapporterar om ett ökat intresse för diskussioner och utbyte av erfarenheter. Bäst syns detta i det förhållandevis stora antalet artiklar från gymnasielärare i matematik som kommit till redaktionen under 1998. En kartläggning nyligen genomförd av Grundutbildningsrådet visar att dator-stöd förekommer i ungefär hälften av alla matematikkurser i grundutbildning i matematik vid våra universitet och högskolor (Bergsten, 1998). Hur påverkar datorbaserade matematikverktyg och undervisningsprogram i matematik den grundläggande matematikundervisningens innehåll, form och resultat? Studien visar att åsikterna bland lärarna varierar mycket. Rådets referensgrupp i ma-tematik anordnade i september 1998 ett särskilt idé och diskussionsseminarium om dessa viktiga frågor: "Datorstödd eller Datorstörd matematikundervisning?" (http://www.hgur.se/general/matte/Mattekonferens3.pdf). En rapport med bidragen från denna konferens beräknas komma ut senare i höst. En intressant studie av matematikundervisningen vid våra gymnasieskolor och intresset för matematik inom naturvetenskapsprogrammet har också nyligen genomförts med medel från Forskningsrådsnämnden, FRN (Laksov, 1998). Lärare och elever från 10 gymnasieskolor i Stockholmsområdet har i form av samtal och diskussioner givit sin syn på matematikämnet. Rapporten innehåller en lång rad konkreta förslag till förändringar av matematikundervisningens innehåll och organisation i gymnasieskolan. I detta sammanhang vill jag också nämna att Nationalkommittén för matematik vid Kungliga Vetenskapsakademien har bildat en kommitté för matematikut-bildning (SKM). Syftet är att verka för en förbättrad utbildning i matematik på alla nivåer från skola till universitet. Speciellt skall den verka för en förbättrad lärarutbildning i matematik. Kommittén skall även främja den matematikdidak-tiska forskning som är under framväxt i Sverige (http://www.sm. luth.se/ ~gerd/skm/). Glädjande är också att regeringen föreslagit att Göte-borgs universitet får statliga medel till ett permanent nationellt resurscentrum för


matematik och matematikutbildning fr.o.m. 1999 (http://www. regeringen. se/databas/press-904733375.html). Internationellt utvecklingsarbete De problem som uppmärksammats i diskussioner om den svenska matematik-utbildningen finner vi på många andra håll i världen (se t ex London Mathe-matics Society, 1995; Bekken, 1997; Blomhøj, 1998; Brenner & Jacobsson, 1994). I USA (Californien) har debatten nått en sådan nivå under det senaste året att den fått beteckningen "Math War" (Bekker & Jacob, 1998). Här gäller det i första hand ungdomsskolan. För att svara upp mot de nya utmaningar som grundutbildningen i matematik vid universitet och högskolor står mitt uppe i har ICMI - The International Commission on Mathematical Instruction - tagit initiativ till en sk ICMI Study: On Teaching and Learning of Mathematics at University Level (ICMI-bulletin, nr 43. Se också http:// NIEVAX. nie.ac.sg: 8000/~wwwmath /icmi/). I sin projektplan pekar man särskilt på de senaste årens stora ökning av antalet studenter vid universitet och högskolor och allt större skillnader i ålder, tidigare utbildning, erfarenheter, attityder, och förkunskaper. Kursplaner och undervisning i matematik i gymnasieskolan har genomgått stora förändringar under 90-talet vilket lett till ökade skillnader mellan gymnasieskola och högskola när det gäller utbildningens mål och ut-formning. Tillgången till allt fler och kraftfullare datorer, bättre programvara och nya grafritande och symbolhanterande räknare skapar viktiga frågor om ämnets innehåll och omfattning i hela utbildningsväsendet. Kraven ökar hela ti-den på matematikämnet att vara till nytta för ett växande antal universitetsutbild-ningar. Den specialisering, differentiering och integrering som hela tiden sker inom och mellan universitetens vetenskapsområden har vidgat och komplicerat relationen mellan matematik som ämne för utbildning och matematik som veten-skaplig disciplin (se t ex Emanuelsson, 1998; Johansson, 1998b). Hur skall kursutbudet i matematik se ut för att svara mot dagens krav och vem skall ha ansvaret för utbildningen? I vilken omfattning skall matematikunder-visningen koncentreras till våra matematiska institutioner och vilken undervis-ning i matematik kan med fördel ske i direkt anslutning till andra vetenskaps- och utbildningsområden där matematiken används och tillämpas?

Clearly no university department can teach all branches of mathematics. Are there fundamental branches of the subject which should be in all pro-grammes? How should the balance be struck between suitable major com-ponents? (ICMI Bulletin nr 43, p. 10).

Hur kan samarbetet förbättras mellan lärare i matematik vid universitetens och de tekniska högskolornas matematiska institutioner och lärare som undervisar i matematik inom ramen för andra kunskapsområden där matematiska metoder och modeller är ett viktiga och nödvändiga verktyg - och med lärarutbildare och


matematikdidaktiker som försöker utveckla kunskap om undervisning och lärande i matematik? ICMI studien skall enligt planerna om några år resultera i en bok som säkert kommer att bli ett värdefullt bidrag till utvecklingen av universitetens och hög-skolornas grundutbildning i matematik.

The primary aim of this ICMI study is ... to pave the way for improvements in the teaching and learning of mathematics at university level for all students (ICMI Bulletin nr 43, p. 5)

Sammanfattning och diskussion Vad kan vara orsak till rapporterade försämringar i resultat på högskolornas förkunskapsprov i matematik? Som jag hoppas har framgått av mina försök till analyser finns det inte något enkelt svar. Här följer en sammanfattning av vad jag anser vara bidragande faktorer och vad man skulle kunna göra för att för-bättra den aktuella situationen. Stora förändringar i grundskolans och gymnasieskolans kursplaner i matematik samtidigt som högskolornas diagnostiska prov i stort sett varit oförändrade Vikten av att snabbt och säkert kunna lösa uppgifter av den typ som förekommer på de tekniska högskolornas förkunskapsprov har enligt gymnasielärarnas uppfattning minskat successivt under de senaste 20 åren. Samtidigt är det få lä-rare som anser att proven innehåller uppgifter som ligger utanför gymnasiets kursplaner. Flera uppgiftstyper anses av många lärare fortfarande vara i hög grad relevanta och de flesta behandlas enligt en majoritet av lärarna i början av gymnasiets matematikutbildning (kurs A) – men alltså inte med samma krav på färdighet som tidigare. Lärarnas skattningar stämmer väl med den förskjutning som skett i gymnasiets kursplaner, nationella prov och läromedel under den aktuella perioden – mindre betoning på matematikens inre strukturer och räk-nefärdigheter och mera på matematikens betydelse i samspelet med andra äm-nen, en förskjutning som bl a hänger samman med att gymnasieskolan byggts ut till en skola för alla. Motsvarande förändringar i matematikundervisningens inriktning har under samma period skett inom grundskolan med mindre betoning på algebra, geometri och bråkräkning och mer betoning på problemlösning och matematiska modeller av särskild betydelse i vardagsliv och samhällsliv och för samverkan med andra ämnen.


De mycket goda resultaten på matematik i tillämpning som svenska ungdomar visat upp i de senaste årens internationella studier måste vi naturligtvis försöka förbättra och utveckla ytterligare. Men samtidigt är det angeläget att förbättra undervisningen inom de delar av matematikämnet där svenska elever visat förhållandevis sämre resultat och som bedöms som angelägna att behärska inför matematikintensiva utbildningar inom gymnasieskolan och högskolan (Se t ex Emanuelsson m fl, 1997; Skolverket, 1997c; Björk & Brolin, 1998). En översyn och revidering av grundskolans och gymnasiets kursplaner i matematik (B-E) pågår fn på Skolverket och jag utgår ifrån att den aktuella frågan beaktas i detta arbete. Ett motsvarande utvecklingsarbete pågår på många högskolor och det är mycket angeläget att dessa arbeten samordnas med revideringen av skolans kursplaner. Man kan naturligtvis undra över varför det inte skett några större förändringar under de gångna 20-25 åren i de tekniska högskolornas fördiagnostiska prov när grundskolans och gymnasieskolans kursplaner förändrats och förändringar också borde ha skett inom grundutbildningen i matematik vid högskolan. Samtidigt måste vi vara tacksamma mot lärarna vid Chalmers och Linköpings tekniska högskola att vi idag har tillgång till provresultat under så lång tid på ett grundläggande matematikinnehåll. En fråga man ställer sig är om vi inte borde bygga in kvaliteter i våra nationella ämnes- och kursprov som gör det möjligt att följa kunskapsutvecklingen inom centrala områden av matematikämnet över tid. Riksdagen har tidigare vid flera tillfällen genom sina revisorer efterlyst denna typ av longitudinella uppföljningar (se t ex Nämna-rens red. & Lövgren, 1981; Ljung, 1991; Pettersson, 1995). Ökad tillgång till och ökade möjligheter att använda hjälpmedel som grafritande räknare och datorer Det råder stor enighet bland lärarna om att tillgången till och bruket av räknare och datorer på gymnasieskolan har bidragit till de rapporterade resultaten på de tekniska högskolornas förkunskapsprov. Man övar inte lika mycket som tidigare att snabbt och säkert kunna lösa förekommande uppgiftstyper. Samtidigt får eleverna möta nya sidor av matematiken och nya möjligheter att lära sig lösa problem som tidigare var svåra eller omöjliga att hantera i en gymnasiekurs. Det finns stora skillnader i uppfattningar bland matematiklärare inom hela ut-bildningsväsendet om vilken roll som dessa hjälpmedel skall spela i undervis-ning och på prov och hur tillgång, användning och utveckling borde påverka matematiken som ämne för utbildning. I en nyligen publicerad doktorsavhand-ling diskuteras dessa frågor och hur gymnasieskolans undervisningstradition i matematik har påverkats av informationsteknologins verktyg (Dahland, 1998). ADM-projektets och Grundutbildningsrådets initiativ kring dessa frågor är an-


dra exempel på arbeten som bör följas upp och utvärderas (Bergsten, 1998, Björk & Brolin, 1998). Förhållandevis kort och grund utbildning i matematik bland gymna-sielärare som undervisar i matematik - och lite utrymme för rele-vant fortbildning. Alltför få möjligheter till dialoger mellan mate-matiklärare på gymnasiet och högskolan Flera utredningar har pekat på att gymnasiets matematiklärare i allmänhet har en alltför kort utbildning i matematik, inte minst i ett internationellt perspektiv. Andelen lärare med forskarutbildning i matematik är katastrofalt liten i förhål-lande till ämnets betydelse i skolan och till skollagens krav på forskarutbildade lärare i gymnasiet. Detta betyder inte att alla gymnasielärare i matematik i första hand behöver en magister- eller forskarutbildning i matematik. Fördjupade studier i matematikämnets didaktik är mycket angelägna och säkert mera frukt-bara för de lärare som i huvudsak arbetar med kurs A i matematik och med matematik på individuella program. Motsvarande utbildningsbehov finns också i grundskolan, där bristen på lärar-studerande och utbildade lärare i matematik och no är stor och väntas öka. Hur det är med behovet av lärarutbildning hos de lärare som undervisar i matematik vid våra universitet och högskolor har jag haft svårt att få en klar bild av. Jag föreslår att den sittande lärarutbildningskommittén får ett utvidgat uppdrag att titta även på denna kategori lärare och undersöka vilka förbättringar som är önskvärda och möjliga både på kort och lång sikt. Det finns goda skäl att tro att den stora statsningen på matematikfortbildning av lärare på främst låg- och mellanstadiet under slutet av 80-talet och början av 90-talet hade en avgörande betydelse när det gäller de prestationsförbättringar som svenska 13-åringar visade 1995 i det sk TIMSS-projektet. Avsaknad av fortbildningsinsatser på högstadiet och gymnasiet skulle kunna vara en för-klaring till varför vi inte sett motsvarande förbättringar i matematik hos våra N-elever. Sambandet mellan kvalificerad fort- och vidareutbildning i matematik och matematikdidaktik och utbildningsresultat borde bli föremål för fördjupade studier i ett särskilt projekt. Brister i det kursutformade NV-programmets innehåll och struktur och till-hörande brist på tid för undervisningsinnehåll som passar blivande tekno-loger. Svårigheter att individualisera undervisningen i matematik på NV-programmet Gymnasieskolans kursutformade struktur har många fördelar men skapar också problem. Praktiskt taget alla elever som gått ut grundskolan går nu direkt vidare till gymnasieskolan och de flesta av dessa kommer in på sitt förstahandsval, också på NV-programmet. Kommunerna skall sträva efter att tillhandahålla programplatser i den utsträckning som de efterfrågas av eleverna. En effekt av


detta har blivit att kurs A i matematik är svår att klara för många elever på vissa yrkesprogram samtidigt som det finns många elever som behärskar större delen av A-kursen redan i grundskolans årskurs 9 (Johansson & Wahlström, 1997). Den inriktning som A-kursen enligt målen för NV-programmet skall ha verkar svår att upprätthålla när elevgrupperna är så heterogena som de är och de nationella kursproven skall passa alla elever oavsett program. En elev kan få högsta betyget på kurs A inom ramen för NV-programmet utan att ha förbättrat sin kunskapsnivå särskilt mycket jämfört med vad som redan uppnåtts i grundskolan. Samtidigt är då i poäng räknat en dryg tredjedel av gymnasiestudierna i matematik avklarade för de elever som tänkt läsa kurserna A-E. Det återstår då bara c 15% av den undervisningstid som sammanlagt avsatts för matematikämnet i grundskolans och gymnasie-skolans timplaner. De förslag till förändringar i poängsättning som finns i den senaste propositio-nen om gymnasieskolan innebär definitivt förbättringar på denna punkt (prop. 1997/98:169). Kanske är det också dags att utforma programspecifika delar i matematikproven för t ex NV-programmet. Ett annat sätt att möta problemen skulle kunna vara att frångå idén om gemensam kursplan i matematik A för samtliga program och utveckla en särskild uppsättning matematikkurser för NV-programmet och det föreslagna Teknikprogrammet - med större omfattning än i nuvarande timplan. Här finns olika uppfattningar i riksdagen, där flera partier föreslagit alternativkurser i bl a kärnämnet matematik. Frågan känns igen från 50- och 60-talets diskussion när parallellskolesystemet avskaffades och vi fick vår nuvarande grundskola. Med början i enhetsskolans försöksverksamhet in-fördes alternativkurser i bl a matematik, men dessa avskaffades i förarbetena till Lpo 94 (Skolverket 1997c). Jag föreslår att frågan om matematikundervisningens organisation och diffe-rentiering blir föremål för ett allsidigt forsknings- och utvecklingsprojekt som sträcker sig från förskola till högskola och där undervisningens mål, innehåll och form beskrivs och analyseras i relation till den prov- och utvärderingskultur som är så typisk för matematikutbildning. Det är hög tid att summera upp de erfarenheter som vi fått av olika sätt att organisera för lärande i matematik i efterkrigstidens utbildningsrevolution även i ett internationellt perspektiv och inte minst mot bakgrund av framgångsrikt utvecklingsarbete bland svenska matematiklärare samt de senaste årens forskning om inlärning och undervisning i matematik och om kopplingen mellan social bakgrund, studiesocial miljö, studieval och studieresultat (Boaler, 1997; Emanuelsson m fl, 1995; 1996; Laksov, 1998). Bristande likvärdighet i tolkning och tillämpning av gymnasieskolans kursplaner och tillhörande betygskriterier. Brister i regelsystemet för betygssättning och tillhörande meritvärderings-, behörighets-, urvalssystem


Erfarenheterna från de första åren med de nya kursplanerna och tillhörande betygssystem tyder på allvarliga brister i likvärdighet när det gäller tolkning och tillämpning av kursmål och tillhörande betygskriterier. Om man till detta lägger signaler om stora olikheter i tolkning och tillämpning av skollagens och gymnasieförordningens regelsystem när det gäller frågor om undervisningstid, rätten till prövning, reducerat program, specialutformat program och skillnader mellan gymnasieskolans slutbetyg och den kommunala vuxenutbildningens samlade betygsdokument, så är det mycket tveksamt om betygen är likvärdiga, jämförbara och rättvisa på ett sätt som de studerande som söker till högskolan har rätt att kräva. En omfattande studie om hur väl betygssystemet och tillhörande regelsystemet fyller sin tänkta funktion när det gäller behörighet och urval till högskolan är enligt min uppfattning akut. Bereder vi plats för de nybörjare som har störst förutsättningar att fullfölja sina studier med goda studieresultat? En fråga som vore intressant att få närmare belyst är hur studenter med olika resultat på de fördiagnostiska proven klarar sina högskolestudier i matematik. Borde det inte räcka med att man har kunskaper som motsvarar gällande be-hörighetskrav? Hur klarar studenter med olika resultat på proven och med olika resultat på tentamensskrivningar i matematik sina högskolestudier i andra ämnen än matematik? Kursplanernas i gymnasieskolan förmåga att i sin nuvarande form styra utbildningen i önskvärd riktning borde också bli föremål för djupare analys. Vad och vem bestämmer idag vad våra elever får lära sig i matematik? Vilken roll spelar våra läromedel? (Emanuelsson, 1998). Samtidigt är det viktigt att undervisningens innehåll och form vid våra högskolor utvecklas så att de bättre än idag kan möta allt fler behöriga studenter med allt större variation i utbildningsbakgrund. Ett sådant utvecklingsarbete pågår som nämnts på många högskolor och bör stödjas på alla sätt. Kraftig minskning av antalet studenter i de aktuella åldersgrupperna samtidigt som vi fått fler platser på högskolan och fler utbildningsvägar och högskolor att välja mellan Under 90-talet har det skett stora förändringar i storleken av de årskullar som lämnar gymnasiet. Antalet har varierat mellan 114.000 och 93.000. Detta kan vara en av förklaringarna till de försämrade resultaten vid de tekniska högsko-lorna. En annan kan vara den kraftiga ökningen av antalet antagna till civil-ingenjörsutbildningarna under senare år - från 3000 till 6000 under de senaste 20 åren. Samtidigt har högskoleingenjörsutbildningen på 10 år vuxit ut från ingenting till nästan 8000 registrerade nybörjare ht 97. Enligt planerna skall utbyggnaden fortsätta.


Hur skall kursutbudet i matematik se ut för att svara mot dagens krav och vem skall ha ansvaret för utbildningen? I vilken omfattning skall matematikunder-visningen koncentreras till våra matematiska institutioner och vilken undervisning i matematik kan med fördel ske i direkt anslutning till andra vetenskaps- och utbildningsområden där matematiken används och tillämpas? Hur kan samarbetet förbättras mellan lärare i matematik vid de matematiska institutionerna och andra lärare som undervisar i matematik inom ramen för andra kunskapsområden där matematiska metoder och modeller är ett viktiga och nödvändiga verktyg - och med matematikdidaktiker som försöker utveckla kunskap om undervisning och lärande i matematik? Till sist Det är viktigt att matematikämnet studeras i en sådan form och i sådana sam-manhang att dess värde kommer till uttryck och glädje i de olika program och utbildningsvägar där ämnet ingår som en av flera samverkande delar.

... en obenägenhet att gå utanför de egna ämnena innebär en risk för att eleverna upplever undervisningen som en palett av ämnesklickar med ringa inbördes sammanhang och föga kontakt med den komplexa omvärl-den (Andersson, 1998)

Det är min fasta övertygelse att den nödvändiga utvecklingen av svensk mate-matikutbildning kan bli framgångsrik om vi intresserar oss mera för elevernas intresse av och möjligheter att lära matematik och mindre för deras bristande förkunskaper

Och må iag tilstå at iag har förstått huruledes det är giörligt at en ung Swensk dräng/ som allenast kan tala och skrifwa sitt modersmål/ dessa wetskaper (matematiska) til hela Rijkets märckeliga tienst skulle kunna grundeligen lära ... der han allenast wore uppmuntrad af förmodan at så-dant för honom lönte mödan (Duhre, 1721).


Referenser Andersson, B. (1998). Ämnesdidaktik. Ett kunskapsområde vid Göteborgs

universitet. Institutionen för ämnesdidaktik. Bekken, O. m. fl. (1997). Matematikundervisningen i Norge. Grunn-

leggende problemer, og tiltak for en bedre matematikk for alle. Slut-rapport fra arbeidsgruppe nedsatt av Kirke-, utdannings- og forsknings-departementet. Kristiansand: Høgskolen i Agder.

Becker, J. P. & Jacob, B. (1998). 'Math War' Developments in the United States (California). ICMI Bulletin No. 44, June 1998, pp. 16-25.

Bergsten, C. (1998). Datoranvändning i högskolans matematikundervis-ning: Resultat från en enkätundersökning. Stockholm: Grundutbildnings-rådet, HSV (Under tryckning).

Biehler, R., Scholtz, R. W., Strässer, R. & Winkelmann, B. (Eds.) (1994). Didacitics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht: Kluwer.

Bishop, A. (Ed.) (1996). International Handbook of Mathematics Education. Part I and II. Dordrecht: Kluwer.

Björk, L.-E. & Brolin, H. (1996). Using new technology as a tool to in-crease student understanding of calculus. In T. D. Scott (Ed.), Proceedings from the International Conference on Technology in Mathematics Teaching 1995. Napier University.

Björk, L.-E. & Brolin, H. (1998). Matematik. Från gymnasieskolans NV-program till högskolan. En rapport från ADM-projektet. Uppsala uni-versitet, Institutionen för lärarutbildning.

Blomhøj, B. (1998) Bestyrelsens beretning 1997. Forum för matematik-kens didaktik 2(1), 2-3.

Boaler, J. (1997). Experiencing School Mathematics: Teaching Styles, Sex and Setting. London: Open University press.

Bowden, J. & Marton, F. (1998). The University of Learning. Beyond Quality and Competence in Higher Education. London: Kogan Page.

Brandell, L. (1998). Nittiotalets studenter. Bakgrund och studiemönster. Stockholm: Högskoleverket.

Burton, L. (1998). Mathematicians and their Epistemologies - and the learning of mathematics. Paper given to Group 1 of ERME1 Confer-ence, 27-31 August, 1998, Osnabrueck, Germany.

Brandell, G. & Wallin, H. (1998). Från elit- till massutbildning. Nämnaren 25(2), 2 – 5.

Brenner, P. & Jacobsson, C. (1994). På jakt efter en främmande fågel - Innovativ matematikutbildning i Europa. Grundutbildningsrådets skrift-serie nr 10. Stockholm: Grundutbildningsrådet.

Dahland, G. (1998). Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola. Ett studium av hur en didaktisk tradition har påverkats av informations-


teknologins verktyg. Rapport nr 1998:05. Institutionen för pedagogik. Göteborgs universitet.

Dahllöf, U. & Håstad, M. (1967). Matematik och ingenjörer: en inten-sivstudie. Nordiska rådet utredningsserie, 1967:10. Stockholm: Fritzes hovbokh.

DN. Löpsedel 1997-10-31. DN. 1997-10-31. Kunskapsras bland studenter. DN. 1998-03-05. DN Debatt: "Bluff att Sverige är världsbäst". DN. 1998-03-07. DN Debatt: "Svenska elever i tätposition". DsU 1986:5. Matematik i skolan. Översyn av undervisningen i matematik

inom skolväsendet. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Duhre, A. (1721). Första Delen af en Grundad Geometria, Bewijst Uthi de

Föreläsningar / som äro håldna på Swänska Språket Uppå Kungl. Fortifications Contoiret. Stockholm.

Emanuelsson, G. (1998). Matematik är det väl lätt att undervisa i? Nämnaren 25(1), 37-41.

Emanuelsson, G. & Johansson, B. (1997). Matematik - det kritiska filtret. Pedagogiska Magasinet nr 2. Maj 1997.

Emanuelsson, G., Johansson, B., Nilsson, M., Olsson, G., Rosén, B. & Ryding, R. (red.) (1995). Matematik - ett kärnämne. Nämnaren TEMA. Mölndal: Göteborgs universitet, Institutionen för ämnesdidaktik.

Emanuelsson, G., Rosén, B., Ryding, R. & Wallby, K. (red.) (1997). Algebra för alla. Nämnaren TEMA. Mölndal: Göteborgs universitet.

Emanuelsson, G., Wallby, K., Johansson, B. & Ryding, R. (red.) (1996). Matematik - ett kommunikationsämne. Nämnaren TEMA. Mölndal: Göteborgs universitet.

Ernest, P. (1998). A Postmodern Perspective on Research in Mathematics Education. In A. Sierpinska & J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics Education as a Research Domain: A search for Identity. An ICMI Study. Dordrecht: Kluwer.

Greger, K. (1987). Tre förlorade år? Nämnaren 14(2), 40-42. Grevholm, B. (1993). Det gäller Sveriges framtid. Nämnaren 20(2),32-34 Grouws, D. A. (Ed.)(1992). Handbook of Research on Mathematics

Teaching and Learning. New York. Macmillan. GyVux 1994/95:14. Naturvetenskapsprogrammet. Programmål, kurspla-

ner, betygskriterier och kommentarer. Programmaterial för gymnasies-kola och gymnasial vuxenutbildning.

Göteborgs utbildningsförvaltning (1998). Didaktisk progression. Godkänd eller icke Godkänd det är frågan. Harmoniseringsprojektet 2, 1996-1998. Göteborg.

Hansson, P.-Y. (1987). De tre förlorade åren. Nämnaren 14(1), 38-41.


Hedenborg, M. & Tengstrand, A. (1997). Examinationsformer för att förbättra studenternas kommunikationsförmåga och kreativitet i mate-matik och datalogi - slutrapport. Växjö University.

Håstad, M. (1981). Svensk matematikundervisning 1950-1980: från "badkarstal till baskravsprat". Malmö: Malmö Utbildningsproduktion.

Högskoleverket (1996). Högskoleverkets uppföljningsinsatser med anled-ning av den nationella utvärderingen av grundutbildningen i matematik. Redovisning av regeringsuppdrag 1996-02-14.

Högskoleverket (1997). Examinationen i högskolan. Slutrapport från Högskoleverkets examinationsprojekt. Högskoleverkets rapportserie 1997:39R.

ICMI-Bulletin nr 43, dec 1997. On the Teaching and Learning of Mathematics at University Level. Discussion dokument.

Industriförbundet (1998). Kunskap och kompetens. Industrins behov av högskoleutbildade 1997. Stockholm: Industriförbundet.

Johansson, B. (1998a). Bra resultat för gymnasiet i TIMSS. Nämnaren 25(1), 2-3.

Johansson, B. (1998b). En reformerad lärarutbildning - ett ämnesdidak-tiskt perspektiv. PM till Lärarutbildningskommittén 1998-05-06.

Johansson, B. & Emanuelsson, G. (1996). Visar TIMSS att vi är på rätt väg? Nämnaren 23(4), 2-7.

Johansson, B. & Emanuelsson, J. (1997). Utvärdering i naturkunskap och matematik. Stockholm: Skolverket.

Johansson, H. & Wahlström, L.-O. (1997). Godkänd på kurs A redan i nian? Nämnaren 24(3), 34 – 37.

Johnson, C. (1998). Reformera ingenjörsutbildningen. Göteborgs-Posten 1998-05-16, s 4.

Karlsson, A. (1996). Universitetsstudenters förkunskaper i matematik. Eventuella brister och vad de kan bero på. Pedagogiskt/didaktiskt exa-mensarbete 10p, Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet.

KunskapsStaden Göteborg 2/98. Bilaga i GP och Arbetet Nyheterna 4 oktober, 1998, s 4.

Laksov, D. (1998). Rapport fra FRN-prosjektet: Informationsprojekt om matematik för gymnasiet (971460:5 A 11-5/1205). Stockholm: KTH.

Lindberg, L. & Grevholm, B. (1998). Kvinnor och matematik. Rapport från en konferens i Göteborg, 20-21 april, 1996. Göteborgs universitet, Institutionen för ämnesdidaktik.

Linköpings universitet (1997a). Uttalande angående förkunskaper i mate-matik. Skrivelse till Utbildningsdepartementet 1997-11-04. (Dnr U97/ 4487/UH).


Linköpings universitet (1997b). Angående förfrågan om ytterligare ma-terial angående förkunskaper i matematik. Svar till Utbildningsdeparte-mentet 1998-02-25 (Dnr U97/4487/UH).

Ljung, G. (1991). Centrala prov i matematik på NT-linjerna 1985-1989. Analys av innehåll och resultat. PRIM-gruppens rapport nr 6. Stochholm: Högskolan för lärarutbildning, Institutionen för pedagogik.

LMNT-nytt 1998:1, april. LR & SAF (1998). Heureka - en idéskrift om undervisning i matematik,

naturvetenskap och teknik. Stockholm: Lärarnas Riksförbund och Svenska Arbetsgivareföreningen.

London Mathematical Society (1995). Tackling the Mathematics Problem. London: London Mathematical Society, Institute of Mathematics and its Applications, Royal Statistical Society.

Lundberg, M. (1998). Lärare om kursplaner i biologi, fysik, kemi, ma-tematik och teknik. Linköpings universitet, Institutionen för pedagogik och psykologi.

Lustig, L. (1998). Gymnasiebetygen olämpliga som urvalsinstrument. SvD 1998-06-06.

Löfwall, S. (1998). Gymnasieelevernas kunskaper i matematik - är det kris? Matematikersamfundets utbildningsdagar, Karlstad 13-14 mars, 1998.

Muhr, G. (1998). The Effects of the Implementation of Lpo 94 and the Free Enrolment on the Mathematics Subject on the National Science Programme. MA in Education. The University of Greenwich School of Education.

Murray, Å. & Liljefors, R. (1983). Matematik i svensk skola. Utbildningsforskning. Fou-rapport 46. Stockholm: Skolöverstyrelsen och Liber Utbildningsförlaget Norrbottenskuriren, 1997-11-20. Kråkbergselever sämst i förkunskapstest i

matte. Norstad, F. (1997). Resultat av diagnostiska prov vid Tekniska Högskolan

i Linköping. PM 1997-11-14, Matematiska institutionen, Linköpings universitet.

Ny teknik 1997-11-06. Teknologer klarar inte matten. Kunskaperna har förändrats drastiskt under 1990-talet.

Nämnarens red. & Lövgren, E. (1980). Klarar SÖ proven? Nämnaren nr 1, 1980/81.

OECD (1997a). Literacy skills for the knowledge society. Further results from the international adult literacy survey. Paris: OECD Publications.

OECD (1997b). Education at a Glance. OECD Indicators 1997. Paris: Centre for Educational Research Innovation.


Pettersson, A. (Red.) (1995). Centrala prov i matematik på NT-linjerna 1990-1994. Analys av innehåll och resultat. PRIM-gruppens rapport nr 10. Stochholm: Lärarhögskolan i Stockholm, Institutionen för pedago-gik.

Pettersson, R. (1997). Förberedande kurs i matematik vid Chalmers tek-niska högskola. Göteborg: Chalmers tekniska högskola.

Pettersson, R. (1998a). Resultat av diagnostiska prov i matematik för ny-antagna teknologer vid civilingenjörslinjerna Chalmers, 1973-1997. Preliminär version 1998-03-04. Matematikersamfundets utbildningsda-gar, Karlstad 13-14 mars, 1998.

Pettersson, R. (1998b). Kort förberedande kurs för blivande teknologer. Göteborg: Chalmers tekniska högskola.

Regeringens proposition 1992/93: 250. En ny läroplan för gymnasiesko-lan, m.m.

Regeringens proposition 1997/98:150. 1998 års ekonomiska vårproposi-tion.

Regeringens proposition 1997/98: 169. Gymnasieskola i utveckling - kvalitet och likvärdighet.

Reuterberg, S. E. & Svensson, A (1998). Vem väljer vad i gymnasiesko-lan? Förändringar i rekryteringsmönstret efter den senaste gymnasiere-formen. Rapport 1998:06. Göteborgs universitet, Institutionen för peda-gogik.

SCB (1996). Civilingenjörer i siffror. Bakgrundsmaterial om universitet och högskolor 1996:2. Örebro: Statistiska centralbyrån.

Secada, W. G., & Fennema, E., & Adajian, L. B. (Eds.) (1995). New Directions for Equity in Mathematics Education. Cambridge: Cambridge University Press.

Sierpinska, A. (1995). Some Reflections on the Phenomenon of French didactique. Journal für Mathematic-Didaktik 16, 163-192.

Sierpinska, A. & Kilpatrick, J. (Eds.) (1998). Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity. An ICMI Study. Book I and II. Dordrecht: Kluwer.

Skolverket (1996a). TIMSS. Svenska 13-åringars kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Rapport nr 114. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (1996b). Grunden för fortsatt lärande. En internationell studie av vuxnas förmåga att förstå och använda tryckt och skriven information. Rapport nr 115. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (1997a). Praktiska uppgifter i TIMSS för 13-åringar i mate-matik och naturvetenskapliga ämnen. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (1997b). Gymnasieskolans kursprov vårterminen 1997. Resul-tatredovisning till skolorna. Stockholm: Skolverket.


Skolverket (1997c). Kommentar till grundskolans kursplan och betygskri-terier i matematik. Stockholm: Liber distribution.

Skolverket (1998a). Uppdrag att analysera dokumenterade matematikkun-skaper hos de elever som lämnar gymnasieskolans naturvetenskapliga och tekniska inriktningar och vad Skolverket kan lära av de signaler som under senare tid kommit från landets tekniska högskolor om försämrade förkunskaper i matematik. Stockholm: Skolverket 1998-06-17.

Skolverket (1998b). Naturvetenskapsprogrammet. Basrapport från utvär-deringen av gymnasieprogram 1997. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (1998c). Fem gymnasieprogram under omvandlingstryck. Utvärdering av gymnasieprogram 1997. Huvudrapport. Skolverkets rapport nr 149. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (1998d). TIMSS. Kunskaper i matematik och naturvetenskap hos svenska elever i gymnasieskolans avgångsklasser. Rapport nr 145. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (1998e). Pressmeddelande 1998-07-08. Skolverket (1998f). Analys av slutbetygen i gymnasieskolan vårterminen

1997. Dnr 98:207. Stockholm: Skolverket 1998-06-25. Skolvärden 1998-01-15. Det totala matematiska mörkret har inte sänkt sig

- än, s 14-15. Skolöverstyrelsen (1981). Supplement. Matematik på NT-linjerna. Svensson, A. (1996). NT-resan. Så får högskolan fler studenter till natur-

vetenskap och teknik. Nothäfte Nr 6, 1996. Stockholm: Skolverket och Högskoleverket.

Steen, L. A. (Ed.) (1992). Library Recommendations for Undergraduate Mathematics. The Mathematical Association of America.

Trentacosta, J., & Kenney, M. (1997). Multicultural and Gender Equity in Mathematics Classroom. The gift of Diversity. 1997 Yearbook of NCTM. Reston, Va: The National Council of Teachers of Mathematics.

Trowald, N. (1997). Uppfattningar om examination – en intervjustudie av högskolelärare. Högskoleverkets skriftserie 1997:3S.

Universitetskanslern (1995). Nationell utvärdering av grundutbildningen i matematik. Kanslersämbetets rapport 1995:5.

UNT, Uppsala Nya Tidning. 1998-01-12. Sämre matematikkunskaper? Utbildningsdepartementet (1997). Dir. 1997:54. Direktiv till kommittén om

lärarutbildningen (U 1997:07). Utbildningsdepartementet (1998a). Uppdrag till Högskoleverket att utreda

och analysera högskolestudenters förkunskaper i matematik. Regerings-uppdrag 1998-03-19 (U97/4487, U98/1389/UH).

Utbildningsdepartementet (1998b). Vårbudget 1998. Faktablad om 1998 års ekonomiska vårproposition.


Utbildningsutskottets betänkande 1997/98:UbU10. Gymnasieskolfrågor. van den Heuvel-Panhuizen, M. (1996). Assessment and Realistic Mathe-

matics Education. Utrecht: Freudenthal Institute. Velander, J. P. (1884). Ämnet räkning i folkskolan. Svensk läraretidning

3:årg. Verket för högskoleservice, VHS (1998). Årlig statistik för antagna till

universitet och högskolor. Wester, A. & Sigurdsson, B. (under tryckning). Högpresterande gymna-

sieelever i TIMSS. Svenska gymnasieelevers prestationer i matematik och fysik i ett internationellt perspektiv. Umeå: Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet.

Wistedt, I. (1998). Recruiting Female Students to Higher Education in Mathematics, Physics and Technology. An Evaluation of a Swedish Initiative. Stockholm: National Agency for Higher Education.

Ögren, G. & Lexelius, A. (1997). Kvantitativa uppgifter i antagningsprov. Några nationella och internationella exempel på uppgiftstyper som mäter kvantitativ förmåga. PM nr 123, 1997. Umeå universitet, Enheten för pedagogiska mätningar.

Documents

Förkunskapsproblem i matematik? - people.kth.selang/matteprojekt/forkunsk.pdf · Svenska elevers matematikkunskaper i ett 14 ... i ett nationellt perspektiv ... Motsvarande prov