FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

1

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

Přednáška 2.

P Ř E D N Á Š K A 2

S T A T I K A

STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮ

2

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika

Přednáška 2

STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮStatikou hmotných objektů (konstrukcí, soustav) rozumíme rozbor různých typů podepření hmotných objektů a výpočet reakcí v podporách.

Hmotný objekt je obecně objekt s přiřazenou hmotností. Podle velikosti je můžeme rozdělit podle následujícího schématu

Geometrický objekt s přiřazenou hmotností

a)hmotný bod b)hmotná křivka c)hmotné těleso

d)zvláštní případ - deska

3


Přednáška 2

Ve statice se obvykle bere zřetel na hmotnost geometrických objektů v technické praxi v případě, že je třeba uvážit ve výpočtu a posouzení konstrukce účinek vlastní tíhy. Vlastní tíha konstrukce se potom projevuje jako konstantní silový účinek podobně jako jiná síla působící na konstrukci.

V dynamice se hmotnost objektu uvažuje vždy (dokonce záleží na jejím rozložení v tělese) v souvislosti se zrychlením pohybu, neboť se tím vyvozují dynamické silové účinky v konstrukcích nebo na ně působících .

4


Přednáška 2

Volné hmotné objekty nejsou ve svém pohybu nijak omezeny.

Používaná terminologie

Počtem stupňů volnosti rozumíme počet nezávislých parametrů , jimiž je poloha objektu v prostoru jednoznačně určena.

Vázaný hmotný objekt má možnost změny polohy omezenou nebo zcela zrušenou vazbami. Vazba je zařízení, které pohyb objektu omezuje (pohyb dán předem zadanou funkcí) nebo dokonce znemožňuje. Říkáme, že vazby ruší stupně volnosti hmotného bodu (někdy se vazby nazývají vedení). Působí-li na vázaný hmotný objekt vnější síly vznikají ve vazbách určité síly takové, aby nastala silová rovnováha. Tyto síly nazýváme reakcemi.

Jednoduchá a vícenásobná vazba podle toho, jaký počet (r) stupňů volnosti vazba ruší.

Reakce, která vzniká v určité vazbě, je určena tolika parametry - složkami, kolik stupňů volnosti uvažovaná vazba ruší (odebírá).

5


Přednáška 2

Na hmotném objektu (konstrukci) ve statice požadujeme, aby byla zajištěna vazbami jeho nepohyblivost při zatížení vnějšími silami. Potom z podmínek rovnováhy můžeme z daného zatížení vypočítat neznámé reakce. Je to možné, je-li hmotný objekt pevně podepřen.

Zda je objekt pevně podepřen zjistíme rozborem počtu stupňů volnosti objektu, rozborem účinku vazeb a dostaneme tak kritérium podepření.

Označujeme:m - počet stupňů volnosti volného hmotného objektur - počet stupňů volnosti, které jsou schopny odebrat

(zrušit) použité vazby- kritérium podepření jako číslo, které charakterizuje polohovou variabilitu hmotného objektu.rms

6


Přednáška 2

Podle hodnoty kritéria podepření s rozlišujeme objekty (konstrukce) dle následující tabulky.

0det A

Podepření je doplňující podmínka

tvarově(kinematicky) staticky

s

> 0 neurčité přeurčité

= 0 určité

< 0 přeurčité neurčité

Počet stupňů volnosti volného objektu a počet stupňů volnosti odebraných vazbami nám určují i počet rovnic rovnováhy a počet reakcí, jinak řečeno tedy:

m - počet podmínek rovnováhyr - počet neznámých sil (reakcí) v rovnovážné soustavě vnějších sil

V případě, že , nemá soustava rovnic pro výpočet rekcí řešení a nastal výjimkový případ podepření.

0det A

7


Přednáška 2

STATIKA HMOTNÉHO BODU

Volný hmotný bod má

v prostoru 3 stupně volnosti, neboť jeho poloha je určena třemi parametry ( souřadnicemi ), m=3

v rovině má hmotný bod 2 stupně volnosti, m=2.

Vazby

Vazba na plochu (vedení po ploše) - zamezuje pohyb ve směru normály k vodící ploše, odebírá 1 stupeň volnosti (SV). Vyvozuje 1 složku reakce. Nemá - li plocha křivost, mluvíme o vedení po rovině (např. rovina daná osami xy)

nz

x

yR

m1

r = 1

8


Přednáška 2

Vazba na křivku - fixuje v prostoru 2 souřadnice, umožňuje pohyb hmotného bodu po křivce, odebírá 2 stupně volnosti. Je to vazba dvojnásobná a vyvozuje 2 složky reakce. V rovině zamezuje vedení po křivce pohyb ve směru normály a odebírá 1 stupěn volnosti.

R1

R2

Kyvný prut - dokonale tuhá přímá tyč opatřená na koncích dokonalými kulovými klouby. Realizujeme vlastně vazbu na kulovou plochu nebo kružnici (rovině). Odebírá 1 stupeň volnosti a vyvozuje 1 složku reakce, která má směr osy kyvného prutu.

m1

R

9


Přednáška 2

Podepření hmotného bodu a výpočet reakcí

Hmotný bod lze pevně podepřít 3 kyvnými pruty v prostoru a 2 kyvnými pruty v rovině. Na hmotný bod potom působí svazek sil, ve kterém jsou:

z

x

y

F1F2

Fn

R1

R2

R3

primární vnější síly - známá zatížení

Tni FFFF ,....., 21

sekundární vnější síly - neznámé reakce T

j RRRR 321 ,,

Kritérium podepření (v prostoru)

033

s

rms

Jedná se tedy o staticky určitý případ.

10


Přednáška 2

z

x

y

F1F2

Fn

R1

R2

R3

Postup výpočtu

1) Přerušíme vazby a nahradíme reakcemi , o kterých předpokládáme, že vyvolávají v prutu tah (značíme šipkou vektoru síly směrem od bodu). Vyjdou-li reakce záporné, působí v obráceném smyslu a vyvolávají tedy v prutu tlak.

2) Nahradíme-li svazek zatěžovacích sil výslednicí platí

jR

iF rF ir FCF

3) Výslednice musí být v rovnováze s neznámými silami reakcí

rF jR 1,,31,33,3

0 133

nn

FCCRFCRC ijij

s podmínkou 0det 3 C

kde členy matice jsou směrové kosiny sil známého zatíženíčleny matice jsou směrové kosiny neznámých reakcí

C 3C

11


Přednáška 2

STATIKA TUHÉHO TĚLESA

Tuhé těleso se účinkem sil nedeformuje. Směr, resp. působiště vektoru síly se tedy nemění vlivem deformací tělesa.

Změnu polohy ( přemístění ) lze popsat posuvem ( translací ) libovolného bodu tělesa a otočením ( rotací ) kolem osy procházející tímto bodem.

Vektor posunutí má v prostoru 3 složky posunutí kolem ve směru os x,y,z a 3 složky pootočení kolem os x,y,z. To znamená, že volné tuhé těleso má v prostoru 6 stupňů volnosti ( m = 6 ).

12


Přednáška 2

Vazby tuhého tělesa

R

1) Kyvný prut – jednoduchá vazba, odebírá 1 stupeň volnosti (r = 1).

Ry

Rx

Rz

2) Kulový kloub – kloub připouštějící otáčení v libo-volném směru, ruší 3 stupně volnosti (r = 3). Vyvozuje 3 složky reakcí, např. ve směru x,y,z. Lze jej nahradit 3 kyvnými pruty.

13


Přednáška 2

3) Válcový kloub

a) posuvný – ruší 4 stupně volnosti (r = 4). Umožňuje tělesu posun ve směru osy kloubu a pootočení kolem této osy. Vyvozuje 4 složky reakcí – 2 silové a 2 momentové.b) neposuvný – ruší 5 stupňů volnosti (r = 5). Ponechává tělesu jen pootočení kolem osy kloubu. Vyvozuje 5 složek reakcí, 3 silové a 2 momentové.

4) Vetknutí – vazba, která ztotožňuje část tělesa s podporou, znemožňuje jakýkoli pohyb, ruší všech 6 stupňů volnosti (r = 6). Vyvozuje 6 složek reakcí, 3 silové a 3 momentové.

T

zyx

T

zyx MMMMRRRR ,,,,,

14


Přednáška 2

Před výpočtem je třeba posoudit polohovou variabilitu tuhého tělesa, protože zrušení 6 stupňů volnosti lze realizovat mnoha kombinacemi vazeb. Obvykle lze jednotlivé vazby nahradit kyvnými pruty.

Výpočet reakcí

Na tuhé těleso působí soustava mimoběžných sil . 1) Přerušíme vazby a jejich působení nahradíme složkami reakcí . 2) Sestavíme podmínky rovnováhy zatížení a složek reakcí

iF iR

6,1 n,1n6, 6,1 6,6

6 0

ij FARA

Z toho řešením dostaneme vektor složek reakcí

ij FAAR 16 přičemž 0det 6 A

Když nastává výjimkový případ, a to pokud: 0det 6 A

1. existuje přímka protínající paprsky všech 6 složek reakcí,2. protíná-li se více než 3 složky reakcí v jediném bodě,3. leží-li více než 3 složky reakce v jediné rovině.

15


Přednáška 2

STATIKA TUHÉ DESKY

Tuhá deska je tuhé těleso, které má 1 rozměr (tloušťku) výrazně menší než zbývající dva rozměry ( ). Tuhá deska má ve své rovině 3 stupně volnosti (m = 3). V této rovině působí i vektory vnějších sil a reakcí. V tomto případě nazýváme úlohu tuhé desky rovinnou úlohou nebo 2D úlohou (dvojdimenzionální).

bat ,

t

a

b

16


Přednáška 2

x

y

a

b

R1y

R1x

R1

R2

1) Kyvný prut – odebírá 1 stupeň volnosti (r = 1)2) Pevný kloub (označen a ) – ruší 2 stupně volnosti (dvojná vazba), (r = 2). Umožňuje pootočení. Vyvozuje 2 složky reakcí a lze jej nahradit 2 kyvnými pruty.3) Posuvný kloub (označen b ), tzv. vedení po přímce – ruší 1 stupeň volnosti (r = 1), umožňuje posun a pootočení. Vyvozuje 1 složku reakcí v normále k přímce (resp. ke křivce) posunu. Lze jej v jistých mezích nahradit kyvným prutem.4) Vetknutí – pevné spojení tuhé desky s podkladem. Ruší všechny 3 stupně volnosti (r = 3) tuhé desky v rovině.

17


Přednáška 2

Výpočet reakcí desky

1. Posouzení statické určitosti.2. Přerušíme vazby a nahradíme jejich působení složkami reakcí.3. Sestavíme podmínky rovnováhy

0det platit musí přřito

0

31

3

3

AFAAR

FARA

ij

ij

Je-li jedná se o výjimkový případ. 0det 3 A

18


Přednáška

PODEPŘENÍ HMOTNÉHO OBJEKTU

Vhodnou kombinací vazeb můžeme dosáhnout podepření tuhého tělesa nebo tuhé desky, které je staticky a tvarově určité.

Podepření tuhého tělesa v prostoru – 6 stupňů volnosti

F

kulový kloub

vedení po křivcevedení po ploše

F

neposuvný válcový kloub

kyvný prut

01121316 s 011516 s

19


Přednáška 2

FF

posuvný válcový kloub

kulový kloub

kyvný prut

kyvný prut

kyvný prut

kyvný prut

vedení po ploše

012416 s 013316 s

c) d)

20


Přednáška 2

Výjimkové případy

Příklady výjimkového případu podepření tělesa nastanou, když tělesov prostoru při zrušení všech 6 stupňů volnosti může konat virtuální (tj. malý, možný, myšlený) nebo reálný posun, eventuelně pootočení. Výjimkový případ nastane, když existuje tzv. nulová přímka soustavy sil, tj. přímka, ke které je statický moment reakcí nulový.

nulová přímka

nulová přímka

nulová přímka

21


Přednáška 2

Podepření tuhé desky v rovině

Používají se tyto typy podepření:1. kyvný prut – odebírá 1 stupeň volnosti a vyvolává 1 složku reakce2. posuvný kloub – odebírá 1 stupeň volnosti a vyvolává 1 složku

reakce3. neposuvný kloub – odebírá 2 stupně volnosti a vyvolává 2 složky

reakce4. vetknutí – odebírá všechny 3 stupně volnosti a vyvolává 2 složky

reakce

vetknutí

neposuvnýkloub

posuvnýkloub

neposuvnýkloub

kyvnýprut

033 s 011213 s011213 s

22


Přednáška 2

Nastane-li u staticky a tvarově určitého podepření tuhé desky případ, u něhož v důsledku nevhodného uspořádání vazeb může dojít k přemístění, hovoříme o výjimkovém případu.

23


Přednáška 2

Příklady realizace

Statické schéma Statické schéma

24


Přednáška 2

Kloubové uložení paty stožáru Kloubové uložení trubkové konstrukce

25


Přednáška 2

Uložení ocelového nosníku na sloup

26


Přednáška 2

Uložení vazníku

27


Přednáška 2

Typizované mostní ložisko

28


Přednáška 2

Uložení rohových sloupů bruselského pavilonu

Patní kloub rámu

29


Přednáška 2

Uložení stojek Žďákovského mostu

Documents

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů