Základy mechaniky, 1. přednáška

Základy mechaniky, 1. přednáška

Obsah přednášky :

úvod do mechaniky, členění mechaniky

síla - základní veličina statiky

účinky síly, operace se silami

Doba studia :

asi 1,5 hodiny

Cíl přednášky :

Seznámit studenty se základními zákonitostmi statiky.

Něco z historie

Nezbytné znalosti

Výklad

Mechanika je jedním z nejstarších oborů fyziky.Čtenář se doví něco málo z její historie.

Pro studium dynamiky jsou nezbytné některé znalosti,zejména z matematiky. Které to jsou ?

Text je doprovázen animacemi.Klepnutím na tento symbol se animace spustí.

Samotný text první přednášky.

ÚvodZáklady mechaniky, 1. přednáška

Něco z historieMechanika je jedním z nejstarších vědních oborů, jimiž se lidstvo odpradávna zabývalo.Již v antických dobách se lidé zajímali o vztah mezi silou a pohybem, touto silou způsobeným.Filosof pozoruje káru, taženou otrokem a vidí, že dva otroci káru táhnou rychleji.Loď s více veslaři pluje rychleji.Tato každodenní zkušenost nutně vedla k domněnce (nejčastěji připisované Aristotelovi),že čím větší síla působí na těleso, tím větší rychlostí se toto těleso pohybuje.Nulová síla pak znamená nulovou rychlost (když veslaři přestanou veslovat, loď se zastaví).Toto pravidlo bylo bezvýhradně přijímáno (mimo jiné i pro obrovskou autoritu Aristotelovu)až do dob renesance.

Prvním, kdo toto pravidlo zpochybnil, byl italský hvězdář a myslitel Galileo Galilei.Ten nechal po mírně skloněné rovině kutálet váleca v pravidelných časových intervalech si dělal značky, určující okamžitou polohu válce.(Traduje se, že v době neexistence přesné časomíry, zejména pro krátké časy,použil k určení shodných časových intervalů vlastní tep.)Zjistil, že dráha válce v jednotlivých časových úsecích se zvětšuje,a tedy i rychlost se neustále zvětšuje,přestože působící síla (zemská přitažlivost) je stále stejná.Pravidlo, že čím je větší síla, tím je větší rychlost, tedy nemůže být správné,jakkoliv velkým filosofem Aristoteles byl.


Něco z historieK tomuto závěru mohl koneckonců dojít i Aristoteles,kdyby provedl následující myšlenkový pokus :Táhne-li otrok káru, tato se pohybuje určitou rychlostí. Když ji pustí, kára se zastaví.Přesně vzato, zastaví se na určité dráze. Jak bychom mohli tuto dráhu prodloužit ?Nejsnáze tak, že cestu před károu urovnáme a odstraníme překážky.Jestliže cestu nejen urovnáme, ale dokonce vydláždíme rovnými dlaždicemi,bude brzdná dráha ještě větší.Až doposud si všechno můžeme skutečně ověřit reálným pokusem.Zkusme si však představit, že cestu před károu budeme pořád zdokonalovat(a brzdná dráha se bude stále prodlužovat), až bude cesta dokonale hladká !(To však si můžeme právě jenom představit, reálně se nám to nikdy nepodaří.)Bude-li cesta dokonale hladká, pak se kára zřejmě nikdy nezastaví.

To nás vede k závěru, ke kterému dospěl poprvé právě Galileo,že nulová síla neznamená nulovou rychlost,ale nulovou změnu rychlosti (rychlost je konstantní).Čím pak je větší síla, tím je větší nikoliv samotná rychlost, ale její změna.


Něco z historiePočátky moderní mechaniky byly úzce spojeny s astronomií, dalším prastarým vědním oborem.Laskavý čtenář se jistě nebude zlobit, uděláme-li si malý výlet do historie astronomie.Již od starověku lidé vzhlíželi ke hvězdám a snažili se porozumět jejich pohybu po nebeské báni.Vedla je k tomu potřeba spolehlivého kalendáře, který by určoval, kdy sít, kdy sklízet, atd.Později, s rozvojem námořní plavby, k tomu přibyla potřeba navigace.Další příčinou rozvoje astronomie byla víra, že poloha planet tak či onak předurčuje lidský osud.Astrologie se tak stala “živitelkou” astronomie.

Jedním z prvních modelů, popisujících a vysvětlujících pohyb hvězd a planet,byl geocentrický model, pocházející od Ptolemaia.Podle něj se Slunce, stejně tak jako hvězdy, společně otáčejí okolo Země.Tomuto modelu dobře odpovídal zdánlivý pozorovaný pohyb stálic.Horší už to bylo s pohybem Slunce, Měsíce a planet, “bludných hvězd”,jejichž poloha vůči ostatním hvězdám se mění.

Tento problém se snažila antická astronomie odstranit zavedením tzv. “sfér”.V centru všehomíra samozřejmě zůstávala Země. Pak však následovaly sféry Měsíce,Merkuru, Venuše, Slunce, Marsu, Jupiteru a Saturnu (více planet tehdy nebylo známo)a teprve pak sféra stálic. Každá ze sfér se otáčela samostatně.Tento model vysvětloval měnící se polohu Slunce, Měsíce a planet jak vůči sobě,tak vůči “pozadí” stálic.


Něco z historieTeprve Mikuláš Koperník a jeho heliocentrický model přinesl náhled zásadně odlišný.(Dlužno říci, že ani tento model nebyl zcela nový. I představa Země, obíhající okolo Slunce,byla formulována již ve starověku. Byla však zavržena a zapomenuta.)Následovalo období bouřlivých diskusí, vášnivého přesvědčování a zatracování.Tato diskuse byla nejen vědecká, astronomická, ale též navýsost teologická.Vždyť kdyby Země nebyla středem Vesmíru, proč by právě na ní Bůh stvořil život !

Průlom do sporu přinesli Galileo Galilei, Tycho Brahe a především Jan Kepler.Galileo Galilei bývá označován za vynálezce dalekohledu. To není tak docela pravdou.Galileo dostal z Nizozemí jakýsi ne zcela fungující vzorek“dívací trubičky”. Po jejím podrobném studiu se mu podařilotrubičku zdokonalit tak, že byla použitelná.Touto trubičkou (jejíž přibližovací schopnost zhruba odpovídaladivadelnímu kukátku, a která ještě neměla ani jméno) poprvépozoroval čtyři měsíce Jupiterovy (bylo to roku 1609).Tím přinesl obrovský argument ve prospěch heliocentrického modelu.Neboť jestliže existují alespoň čtyři vesmírná tělesa,jež prokazatelně neobíhají okolo Země, proč by ostatní měla.(Galileovi odpůrci argumentovali např. také tím, že se přecenepotřebují dívat do Vesmíru jakousi trubičkou, protožechtějí-li se o něm něco dovědět, mohou si to přečíst v bibli.)


Něco z historieJedním z vědeckých účastníků sporu byl dánský šlechtic Tycho Brahe.Ten byl především astronomem - pozorovatelem. Na ostrově Hven pozoroval výbuch supernovyv souhvězdí Kassiopea a tím rozmetal představy o neměnnosti Vesmíru.Poté, co se nepohodl s novým dánským králem, přestěhoval se do Prahyna dvůr císaře Rudolfa II, kde se stal jeho dvorním hvězdářem.Dvacet let života věnoval pečlivému měření poloh planet,čímž poskytl obrovský studijní materiál Keplerovi.Už jenom způsob vedení vědeckého sporu pomocí pozorování a měření objektivní skutečnosti,namísto filosofických a teologických disputací byl v té době něčím zcela novým.

Tycho Brahe byl zastáncem geocentrické teorie. Spor zatím neměl jednoznačné řešení,protože ani ptolemaiovský, ani koperníkovský model zcela neodpovídaly pozorovanéa měřené skutečnosti.Vida tyto disproporce, vytvořil Brahe svůj vlastní model modifikací geocentrického modelu.Podle něj se měly planety otáčet okolo Slunce a spolu s ním pak rotovat okolo Země.Budiž Brahovi přičteno k jeho vědecké cti, že měření prováděl naprosto poctivě,jakkoliv jím samým změřené hodnoty neodpovídaly jeho vlastní teorii.Skloňme se též před jeho houževnatostí, se kterou po léta prováděl rutinní měření,aniž by si mohl být jistý, že tato činnost povede k nějakým užitečným závěrům.


Něco z historieTycho Brahe vytvořil rozsáhlé tabulky, zachycující polohu jednotlivých planetna hvězdné obloze v různých ročních dobách.Tyto tabulky popisovaly velmi detailně subjektivně pozorovanou skutečnost.Tycho Brahe však nebyl natolik matematicky vybaven, aby z tohoto obrovského množství datbyl schopen odvodit nějaké pravidlo.Tohoto úkolu se ujal Brahův současník a Rudolfův dvorní matematik Jan Kepler.(Začal zkoumáním dráhy planety Mars, což bylo velmi šťastné, neboť právě tato planetavykazuje značnou excentricitu své dráhy, narozdíl např. od dráhy Venuše.)Po šesti letech trpělivé práce, po smrti Brahově, který se již nedočkal plodů své práce,dospěl Kepler k řešení, které publikoval ve svém díle Astronomia Nova roku 1609.

Musel pro to odvrhnout všechna vžitá dogmata, včetně toho nejzakořeněnějšího.Ať už se astronomové, astrologové, filosofové a teologové jakkoliv přeli, ať už věřili,že Slunce obíhá okolo Země nebo naopak, v jednom se vždy vzácně shodli.Dráhou, po které to či ono těleso obíhá, je kružnice, tato nejdokonalejší křivka.Bůh si jistě nemohl zvolit jinou křivku, než právě kružnici.

Teprve když Kepler připustil, že dráha planet by nemusela býtnutně kružnice, ale její obecnější podoba,začaly mu výpočty konečně souhlasit s Brahovými čísly.(Uvědomíme-li si, že všechny poměrně náročné výpočty dělal ručně,nejen bez kalkulačky, ale i bez logaritmického pravítka,musíme smeknout.)

Zdánlivá dráha planety Marsna pozadí vzdálených hvězd.


Něco z historieNejprve na Marsu, pak na ostatních planetách se přesvědčil, že polohu každé planetyv kterýkoliv okamžik lze vypočíst z jednoduchého modelu, vyjádřeného dvěma pravidly,později nazývanými První a Druhý Keplerův zákon :

1. Každá planeta obíhá okolo Slunce po eliptické dráze,v jejímž jednom ohnisku se Slunce nachází.

2. Obvodová rychlost planety se mění tak,že její plošná rychlost je konstantní.

Plošnou rychlostí je myšlena plocha, vyplněná průvodičem planety od Slunce, za jednotku času.K těmto pravidlům později Kepler přidal další, Třetí Keplerův zákon :

3. Čtverce oběžných dob planet jsou úměrné trojmocím hlavních poloos dráhy.

Tento konečný model Vesmíru působil jako bomba. Náhle všechno do sebe zapadalo.Každé z nesčíselného množství Brahových měření bylo možno zpětně vypočístpodle jednoduché teorie. Konečně byly planety tam, kde by podle teorie měly být.Bylo jasné, že Vesmír vypadá právě takto.(O existenci jiných planetárních soustav, neřkuli jiných galaxií, se tehdy nevědělo.Prvním, kdo předpověděl jejich existenci, byl Giordano Bruno,a ten byl jako nebezpečný radikál a kacíř inkvizicí upálen. I Galileo měl s inkvizicí problémy.)


Něco z historieVraťme se však k mechanice.Její základní kámen položil britský vědec, sir Isaac Newtonsvými třemi zákony, publikovanými poprvé r. 1687v historickém dílePhilosophiae Naturalis Principia Mathematica(Matematické principy přírodních věd).Prvním z nich se vracíme ke Galileovi a k jeho myšlence,že nepřítomnost působící síly neznamená nulovou rychlost,ale nulovou změnu rychlosti.

1. Každé těleso setrvává ve stavu klidunebo rovnoměrného přímočarého pohybu,pokud není přinuceno vnějšími silamitento svůj stav změnit.

Newton ji formuloval ve svémPrvním Newtonově zákonu,zákonu setrvačnosti :


http://nl.wikipedia.org/wiki/Afbeelding:NewtonsPrincipia.jpg

Něco z historiePrávě ono „nebo rovnoměrného přímočarého pohybu“ zdůrazňuje nulovou změnu rychlostia tedy konstantní (byť nenulovou) rychlost.Druhý Newtonův zákon nám pak říká jaký je ten vztah mezi působící silou a změnou rychlosti,touto silou způsobenou.Známe ho jako zákon síly :

2. Změna rychlosti tělesa je přímo úměrná působící síle,konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa.

Změnu rychlosti, vztaženou na jednotku času, dnes nazýváme zrychlením.V Newtonově době se však tento pojem ještě nepoužíval.

3. Dvě tělesa, která jsou v interakci,na sebe navzájem působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

Třetí Newtonův zákon, zákon akce a reakce,vypovídá o vzájemném silovém působení mezi tělesy :


Něco z historieK těmto zákonům přibývá ještě všeobecně známý (viz historka o jablku) zákon gravitační :

Dvě tělesa jsou k sobě navzájem přitahována siloupřímo úměrnou jejich hmotnosti a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi nimi.

Tyto zákony jsou nejen zákony „nebeské mechaniky“, podle nichž se pohybují planetyna své pouti okolo Slunce,ale obecně platnými „zákony pohybu“,podle nichž také např. kmitá tenká membrána telefonního sluchátka.

Skutečnost, že veškerý pohyb, počínaje pohybem galaxií, hvězd a planeta konče např. pohybem míče, poskakujícího po hřišti,se řídí jediným jednoduchým pravidlem,nás nemůže nepřivést k myšlenkám o Bohu.


Něco z historiePrvním důkazem platnosti Newtonových zákonů byla potvrzená předpověďanglického astronoma Edmonda Halleyho, Newtonova současníka a kolegy.Ten roku 1703 právě na základě aplikace čerstvé vědecké novinky, Newtonových zákonů,předpověděl návrat komety, která podnes nese jeho jméno, v roce 1758(předtím byla pozorována naposledy v r. 1682).Britský patriot Halley ve své předpovědi vyjádřil víru, že ...„Upřímné potomstvo jistě neodmítne přiznat, že toto bylo poprvé objeveno Angličanem.“Když byla kometa na vánoce uvedeného roku, šestnáct let po Halleyho smrti,skutečně pozorována, byla tím nejen jeho předpověď,ale hlavně Newtonovy zákony pohybu stvrzeny.

Dnes víme, že tyto zákony nejsou obecně platnými pravidly,že pouze dobře popisují velmi širokou škálu fyzikálních jevů.Existují však dvě okrajové skupiny jevů,které nelze vysvětlit pomocí Newtonových zákonů.Jsou to jednak jevy, týkající extrémně velkého prostorua extrémně velkých rychlostí, např. galaxie (relativistická fyzika),jednak jevy, týkající se extrémně malých těles, atomových částic (kvantová fyzika).Je však zřejmé, že v běžné technické praxi zcela vystačíme s klasickou,tzv. newtonovskou mechanikou, nádhernou svou jednoduchostí.

zpět na úvod


Nezbytné znalostiDiferenciální počet, derivace, integrály, jejich symbolické značení.

xdtdx

ydxdy

rdtrd

dttf

2t

1t

dttf

derivace x podle t (podle času)

derivace y podle x (podle souřadnice)

derivace vektoru r podle t (podle času)

integrál funkce f v čase (časový integrál)

určitý integrál funkce f v čase (časový integrál v mezích)


Nezbytné znalostiPojem skaláru a vektoru, vektorová algebra.Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací.

rr r

vektor - má velikost a směr,

pouze velikost vektoru,

kzjyixrrrr zyx

zyx rrr

,,

zyx ,,

kji

,,

složky vektoru ,r

úseky na osách x, y a z (souřadnice bodu),

jednotkové vektory - mají velikost 1 a směr os x, y a z.

x

z

y

r

yr

xr

zr

ik

j



Velikost vektoru je :

2222z

2y

2x

2z

2

y2

x zyxrrrrrrrr

Směr vektoru je dán směrovými úhly :

- úhel od osy x k vektoru r, - úhel od osy y k vektoru r, - úhel od osy z k vektoru r.

x

z

y

r

rrxarccos

rrzarccos

rryarccos

Velikosti složek jsou naopak :

cosrrx cosrrz cosrry



x

y

r

yr

xr

i

j

=

V rovině je situace podstatně jednodušší.Velikost vektoru je :

222y

2x

2

y2

x yxrrrrrr

= - úhel od osy x k vektoru r,

Směr vektoru je dán směrovým úhlem :

x

y

rr

arctan

Velikosti složek jsou naopak :

cosrrx sinrry



Skalární a vektorový součet a součin.Vektorový součet :

a

b

c

x

y

i

j

z

k

kzjyix

kzzjyyixx

kzjyixkzjyix

bac

ccc

bababa

bbbaaa

bac xxx

kde :

bac zzz bac yyy

Výsledkem vektorového součtu je vektor.



Skalární a vektorový součet a součin.Skalární součin :

a

b cosbabad

Skalární součin dvou rovnoběžných vektorů (=0) :

ba0babad cos

Skalární součin dvou kolmých vektorů (=90º) :

090babad cos

Výsledkem skalárního součinu je skalár (číslo).



Skalární a vektorový součet a součin.Vektorový součin :

kyxyxjxzxzizyzy

zyxzyxkji

bac

abbaabbaabba

bbb

aaa

a

b

c

kzjyixc ccc

abbac

abbac

abbac

yxyxzxzxzyzyzyx

sinbac

Výsledkem vektorového součinu je vektor.


Nezbytné znalostiPoužité značení.označení : jednotka : fyzikální veličina :g = 9.81 [m/s2] - gravitační zrychlenít [s, min, hod, ...] - čass, x, y, ... [m, mm, km, ...] - dráhav [m/s, km/hod] - rychlosta [m/s2] - zrychlení [º, rad] - úhel natočení (někdy označován

jako úhlová dráha), fázový posuv [rad/s, s-1] - úhlová rychlost, kruhová frekvence [rad/s2] - úhlové zrychleníF [N] - sílaG [N] - gravitační sílam [kg, t] - hmotnostI [kg·m2] - hmotový moment setrvačnostiJ [m4] - plošný moment setrvačnostip, H [kg·m/s] - hybnost hmotyI [N·s] - impuls sílyA [J, kg·m2/s2] - mechanická práceE [J] - energief [-, Hz] - koeficient smykového tření, frekvence


Nezbytné znalosti

jednotka : fyzikální veličina :[m] {metr} - délka[s] {sekunda} - čas[kg] {kilogram} - hmotnost[A] {ampér} - elektrický proud[K] {kelvin} - teplota[cd] {kandela} - svítivost[mol] {mol} - látkové množství

doplňkové jednotky :[rad] {radián} - úhel 1 rad = (180/)º 57,3 º[srad] {steradián} - prostorový úhel

r

r

r

1 rad

Základní jednotky.

v mechanice vystačíme s těmito třemi


Nezbytné znalosti

zpět na úvod

Řecká abeceda :

alfa ný beta ksí gamma omikron delta pí epsilon ró dzéta sigma éta tau théta ypsilon ijóta fí kappa chí lambda psí mí omega


Základy mechaniky, 1. přednáškaMechanika je spolu s astronomií nejstarším oborem fyziky.Některá její pravidla byla na empirické úrovni známa již stavitelům pyramid.Pojednává o působení sil na tělesa a o účincích tohoto působení.Podle charakteru tohoto působení a podle charakteru samotných tělesse pak mechanika dělí do dalších odvětví.

Mechanika vnějších sil (někdy se označuje jako „mechanika absolutně tuhých těles“)pojednává o působení sil na tělesa „zvnějšku”.(Tyto síly mohou způsobit např. pohyb tělesa.)

Mechanika vnitřních sil (někdy se označuje jako „mechanika poddajných těles“)pojednává o tom jak se vnější síly, na těleso působící, přenáší vnitřním objememtělesa a jak je materiál tělesa namáhán.(Namáhání může vést až k destrukci tělesa, jeho rozbití, zlomení, roztržení apod.)

Na VŠB - Technické univerzitě Ostrava se mechanikou vnějších silzabývají předměty, vyučované katedrou mechaniky(např. základy mechaniky a další).Mechanikou vnitřních sil se pak zabývají předměty, vyučovanékatedrou pružnosti a pevnosti (např. pružnost a pevnost a jiné).Tento učební text se bude zabývat mechanikou vnějších sil,v menší míře pak vybranými kapitolami mechaniky vnitřních sil.

Základy mechaniky, 1. přednáškaMechanika vnějších sil

V mechanice vnějších sil bývá obvyklé formulovat předpoklad absolutně tuhých těles.

Těleso pokládáme za absolutně tuhé (nedeformovatelné).Nebereme v úvahu změnu tvaru, způsobenou vnějšími silami.

Je zřejmé, že tento předpoklad není zcela správný,neboť každé skutečné těleso se působením sil deformuje.V mnoha případech však je možno tuto deformacia její účinky zanedbat(je-li těleso z tuhého materiálu, jako je např. ocel).

Pokud naopak deformace tělesa vlivem působících silnení zanedbatelná (např. je-li těleso z měkké pryže),pak tento zjednodušující předpoklad přijmout nelze.Mechanika vnějších sil, působících na poddajná tělesa,je přirozeně podstatně složitějšía přesahuje rámec tohoto učebního textu.

Poznámka : V mechanice vnitřních sil se předpoklad absolutně tuhého tělesa nezavádí,protože namáhání materiálu tělesa (jeho napětí) je příčinně svázáno s jeho deformací.

mechanika

dynamikastatika

Mechaniku vnějších sil pak lze dále dělit na statiku a dynamiku.

Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu.

Dynamika se zabývá působením silna pohybující se tělesaa vyšetřováním pohybu tělesv závislosti na působících silách.



1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti.

Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém,jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit.

2. Newtonův zákon - zákon síly.

Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle,přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa.

Fam

hmotnost · zrychlení = síla

3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce.

Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu,na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727)ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687).Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů.

Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice :

tedy

Základy mechaniky, 1. přednáškaNewtonův gravitační zákon.

Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou tělesa nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy.

m1 m2

r

G

G

V matematické podobě pak :

221

rmm

G

= 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,m1 - hmotnost jednoho tělesa,m2 - hmotnost druhého tělesa,r - vzdálenost mezi tělesy.

221 sm 819

rmg ,

gmG

m1 = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,r = 6 378 km - poloměr Země.

Na povrchu Země pak je :

Přitažlivá (tíhová) síla pak je :

kde g je gravitační zrychlení :

V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů.

Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem.Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesalze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu.

V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa.To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná.Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu.

Soustavu těles nazýváme mechanismem.

Bod - je objekt, jenž nemá žádné rozměry (ale má jistou hmotnost).

Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný.

Soustava těles - je objekt, složený z několika těles,

jejichž vzájemná poloha se může měnit.


Základy mechaniky, 1. přednáškaTento učební text bude rozčleněn do tří úseků.

14. přednáška

10. přednáška

11. přednáška

12. přednáška

13. přednáška

1. přednáška

2. přednáška

3. přednáška

4. přednáška

5. přednáška

6. přednáška

7. přednáška

8. přednáška

9. přednáška

Statika

Pružnost a pevnost

Zde se budeme zabývat působením vnějších sil na pohybující se tělesa, vztahem mezi silami a pohybem.

Zde se budeme zabývat působením vnějších sil na tělesa, která jsou v klidu.

Zde se budeme zabývat důsledky silového působení na vnitřní namáhání materiálu.

Dynamika

Základy mechaniky, 1. přednáškaStatika

Statika je přirozeným základem mechaniky. Začala se vyvíjet historicky nejdřívea dává nám základní nástroje pro analýzu silového působení.Těmito nástroji je vyšetřování silové rovnováhy a uvolňování vazeb.(Oba tyto postupy budou dále podrobně vysvětleny.)

Síla, její charakteristiky, účinky, operace se silami.Silové soustavy, jejich klasifikace, výslednice, rovnováha.

Vazby, uvolňování, výpočet reakcí.Přenos silových účinků mezi navzájem vázanými tělesy.

Ve statice se postupně seznámíme se dvěma základními okruhy problémů :

Kromě těchto základních problémových okruhůbudou probrány ještě některé doplňkové kapitoly.

Základy mechaniky, 1. přednáškaStatikaSíla, silová soustava

Síla - základní fyzikální veličina ve statice

Pro jednoznačnost dalšího výkladu by bylo vhodné definovat pojem „síla“.Přijmeme-li za jeden ze základů mechaniky druhý Newtonův zákon ve tvaru :

hmotnost · zrychlení = síla

kde zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti, změnu pohybu, je možno definovat :

„Síla je příčina změny pohybového stavu hmotného objektu.“

Hmotným objektem zde samozřejmě rozumíme hmotný bod, těleso nebo soustavu těles.Sílu při číselném vyjádření uvádíme v jednotkách 1 newton.V praxi se toto označení zkracuje na 1 N.

Síla 1 N udělí tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 m/s2.

Těleso o hmotnosti 1 kg je přitahováno k Zemi gravitační silou 9,81 N.


Síla je charakterizována svou velikostí a směrem působení.Je to tedy vektorová veličina (podobně jako rychlost, intenzita elektrického pole apod.).Opakem jsou skalární veličiny,charakterizované pouze svou velikostí (hmotnost, elektrický náboj apod.).

F

G

D

Sílu označujeme nejčastěji písmenem z anglického slova force - sílaněkdy však také jinými písmeny : gravitační síla

dynamická síla, apod.Ve schematických náčrtech sílu symbolicky zobrazujeme jako šipku.

F

Šipka svou délkou symbolizuje velikost síly, svým směrem určuje směr působení síly.Hovoříme-li o směru síly, odlišujeme pojmy „směr“ a „orientace“ síly.Např. směr je vodorovný, orientace je doprava nebo doleva,směr je svislý, orientace je nahoru nebo dolů.V tomto smyslu je při určitém směru vždy jen dvojí možná orientace.Síla vždy působí v určitém konkrétním bodě, který nazýváme působiště síly.Závěrem lze tedy shrnout, že :

Síla je určena svou velikostí, směrem, orientací a působištěm.

Základy mechaniky, 1. přednáškaStatikaÚčinky síly

Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým.

Momentový účinek - moment síly.

Představme si obraz, visící na stěně, a uvažujme dva odlišné případy působení sílyna tento obraz (není myšlena tíhová síla).V obou případech se jedná o stejně velkou sílu, působící stejným směrem (svisle dolů).Obě síly mají tedy stejný silový účinek.

Síla působí ve středu spodnívodorovné hrany obrazu. Síla působí v rohu obrazu.

Odlišný účinek obou sil je zřejmý :V prvním případě se s obrazem nebude nic dít, ve druhém případě se obraz natočí.

Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem (viz předchozí strana).

Tento příklad názorně demonstruje odlišný momentový účinek obou sil.Rozdíl je v kolmé vzdálenosti mezi závěsným bodem a silou.Je zřejmé, že zatímco silový účinek je zcela určen samotnou silou,momentový účinek je kromě síly určen také polohou tohoto závěsného bodu.Ten se v mechanice obecně nazývá momentový bod.




Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem.


Jestliže přímku, na níž leží vektor síly, označíme jako nositelku síly,a kolmou vzdálenost momentového bodu od nositelky síly označíme jako rameno síly,můžeme definovat moment síly :

Účinky síly Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým.


Moment síly je dán součinem síly a ramene síly.

rFM F

r

nositelka síly

rameno sílymomentový bod

moment síly

Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem.

Rameno síly je kolmá vzdálenost momentového bodu od nositelky síly.



Momentový účinek - moment síly.Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem.

Je zřejmé, že jedna určitá síla, se zcela jednoznačným, určitým silovým účinkem,má různé momentové účinky k různým momentovým bodům.Naproti tomu síly stejné velikosti a směru, ležící na stejné nositelce,mají k danému momentovému bodu stejný momentový účinek.Lze tedy definovat důležitou vlastnost síly :

F

nositelka síly

momentový bod

moment síly

Síla je volná po své nositelce.




F

nositelka síly

momentový bod

moment síly

To znamená, že jestliže určitou sílu posuneme po její nositelce, její účinky se nezmění.Silový účinek se nezmění, protože síla má pořád stejnou velikost a směr,momentový účinek se nezmění, protože síla působí pořád na stejném rameni,(přestože se změnilo její působiště).

Přeložíme-li však sílu na jinou nositelku, její momentový účinek se změní.

Síla je volná po své nositelce.




Povšimněme si odlišného smyslu orientace síly a momentu.Síla je orientována nahoru nebo dolů, doprava nebo doleva.Moment síly je orientován ve směru nebo proti směru hodinových ručiček.Dvě síly stejného směru mají k momentovému bodu, ležícímu mezi nimi,opačný moment.

Základy mechaniky, 1. přednáškaStatikaOperace se silami, skládání a rozklad sil

Při řešení praktických úloh se obvykle setkáváme se současným působením několika sil.Je třeba znát jejich výsledné účinky. Seznámíme se nejprve se skládáním dvou sil.Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka.Vektorový obrazec obou sil doplníme na rovnoběžník,výslednice pak je dána úhlopříčkou tohoto rovnoběžníka.

VF

2F

1F

Matematický zápis této operace má tvar:

21V FFF

VF

2F

1F

Výslednici můžeme určit dvěma způsoby :

Postup grafický - ve zvoleném měřítku přesněnarýsujeme rovnoběžník sil, změříme úhlopříčkua opět pomocí měřítka určíme velikost výslednice;směr výslednice je dán přímo směrem úhlopříčky.

Postup početní - vektorový obrazec doplnímeo úhel mezi silami F1 a F2 a úhel mezi silou F1a výslednicí FV. Velikost a směr výslednice FVpak vyplývají z cosinové a sinové věty.

cos212

22

1V FF2FFFV

2

FF

sinarcsin


Při řešení praktických úloh se obvykle setkáváme se současným působením několika sil.Je třeba znát jejich výsledné účinky. Seznámíme se nejprve se skládáním dvou sil.Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka.Vektorový obrazec obou sil doplníme na rovnoběžník,výslednice pak je dána úhlopříčkou tohoto rovnoběžníka.

VF

2F

1F

Samotný fakt,že výsledný silový účinek dvou silje dán stejným pravidlem,jakým se řídí rozměryjednoduchých geometrických obrazců,je zajímavou hříčkou přírody.Nutně nás vede k úvahám o hlubším řádu bytí.


Opačným postupem, než je skládání sil, je rozklad síly do dvou směrů.Vektorový obrazec, jakož i uvedené vzorce, mají stejnou platnost, jako při skládání.Jde však o postup opačným směrem :jednu výslednici FV rozkládáme na dvě dílčí síly - složky F1 a F2.

21V FFF

1

2

VF

VF

2F

1F

Nejprve vedeme počátečním a koncovým bodem rozkládané síly rovnoběžky se směry 1 a 2,do nichž chceme sílu rozložit.Průsečíky rovnoběžek pak určují koncové body jednotlivých složek rozkládané síly.

V21 FFF


Skládání rovnoběžných sil.Z vektorového obrazce, představujícího složení dvou rovnoběžných sil (rovnoběžník se „zploštil“),vyplývá, že skládání rovnoběžných sil je jediným případem, kdy se síly prostě sčítají.

VF

2F

1F

Rovněž uvedené vzorce pro velikost a směr výslednice se pro úhel = 0º podstatně zjednoduší :

00F

0FFFFFFFF2F0FF2FFF

V

2

212

212

2212

1212

22

1V

arcsinsin

arcsin

cos

Velikost výslednice dvou rovnoběžných sil je tedy dána prostým součtem obou sil,její směr je shodný se směrem těchto sil.Velmi podobně se skládají dvě rovnoběžné, avšak opačně orientované síly ( = 180º).

VF

2F

1F

00F

180F

FFFFFFF2F180FF2FFF

V

2

212

212

2212

1212

22

1V

arcsinsin

arcsin

cos

cos 0 = 1sin 0 = 0

cos 180º = -1sin 180º = 0

Souhrnně lze tedy říci, žerovnoběžné síly se prostě sčítají s ohledem na znaménko(což znamená, že opačně orientované síly se odečítají).

21V FFF

21V FFF


Skládání kolmých sil.I pro skládání (nebo rozklad) kolmých sil použijeme pravidlo rovnoběžníkaa dříve uvedené vzorce pro = 90º.

VF

2F

1F

1

2

22

2121

22

21V

FF

FF90FF2FFF

arctan

cos

cos 90º = 0sin 90º = 1

Se skládáním a rozkládáním kolmých sil se setkáme v souvislosti s kartézským souřadnýmsystémem x-y. Složky pak obvykle označíme Fx a Fy.

F

yF

xF

21V FFF

yx FFF

sincos

V2

V1

FFFF


Skládání více než dvou sil.V praxi zřídka kdy vystačíme se skládáním dvou sil.Obvykle je třeba nalézt výsledný silový účinek soustavy více než dvou sil.

3F

2F

1F

4F

i

iV FF

Operace se silami, skládání a rozklad sil

Postup grafický - vektory sil ve zvoleném měřítku za sebou „řetězíme“ tak, že ke koncovému bodu jedné síly připojujeme počáteční bod další síly. Takto pokračujeme se všemi silami. Výslednice je pak dána počátečním bodem první síly a koncovým bodem poslední síly.Vzniklý vektorový obrazec se obvykle nazývá „složkový obrazec“.

3F

2F

1F

4F

VF


Skládání více než dvou sil.Operace se silami, skládání a rozklad sil

Postup početní - lze rozdělit do tří kroků :

1) Každou sílu Fi rozložíme na složky Fix a Fiy ve směru os x a y.

x

y

1yF

1F

1xF

iiiy

iiix

FFFF

sincos

2) Prostým součtem x-ových a y-nových složek všech sildostaneme x-ovou a y-novou složku výslednice.

iii

iiyVy

iii

iixVx

FFF

FFF

sin

cos

3) Z jednotlivých složek výslednice FV vypočteme její velikost a směr.

x

y

VyF VF

VxFVx

Vy

2Vy

2VxV

FF

FFF

arctan


x

y

3F2F

1F

4F

VF1 2

3

4

úhel se měří od osy x kladně proti směru hodinových ručiček,záporně ve směru hodinových ručiček


Postup početní - lze dobře algoritmizovat a řešit v tabulkovém procesoru (např. MS Excel).

i F[N]

i

[º]

Fix=Fi·cos i

[N]

Fiy=Fi·sin i

[N]

1 16 22º 14,84 5,99

2 7 135º -4,95 4,95

3 5 -112º -1,87 -4,64

4 10 -17º 9,56 -2,92

17,9 11º

17,58

3,38

1) rozklad jednotlivých sil

2) součet složek jednotlivých sil3) výslednice

0) zadání

výslednice FV = 17,9 N, úhel V = 11º



Postup početní - lze dobře algoritmizovat a řešit v tabulkovém procesoru (např. MS Excel).

Poznámka : Při vyhodnocování funkce arctan je třeba brát v úvahu nejen samotnou hodnotuargumentu, ale také podílem jakých čísel argument vznikl.Např. arctan(1/2)=arctan(0.5)=26.6º, ale arctan(-1/-2)=arctan(0.5)=-153.4º.Podobně arctan(-1/2)=arctan(-0.5)=-26.6º, ale arctan(1/-2)=arctan(-0.5)=153.4º.Obecně pro funkciarctan platí : je-li : - jmenovatel j<0 + jmenovatel j>0

+ čitatel č>0 výsledek 90,180º výsledek 0,90º

- čitatel č<0 výsledek -180º,-90º výsledek -90º,0

č>0

j>0

č<0

j>0

č>0

j<0

č<0

j<0

Funkce arctan je obvykle naprogramována tak, že dává výsledek v intervalu -90º,+90º. Je-li jmenovatel kladný, je tento výsledek správný. Je-li jmenovatel záporný, je třeba výsledek posunout o 180º.


Silová dvojice.Operace se silami, skládání a rozklad sil

Silová dvojice jsou dvě síly stejně velké, stejného směru ale opačné orientace.

Je zřejmé, že výslednice těchto dvou sil je nulová.Výsledný silový účinek silové dvojice je nulový.Síly však mají rovněž momentový účinek.

momentový bod

r

a M

F

F

rFaFarFM

Silový účinek silové dvojice je nulový.Momentový účinek silové dvojiceje dán součinem velikosti síly a ramene síly.

Rameno je kolmá vzdálenost mezi nositelkami obou sil. Výsledný vzorecneobsahuje rozměr a, určující polohu silové dvojice vůči momentovému bodu.Momentový účinek tedy nezávisí na poloze momentového bodu.Lze tedy definovat důležitou vlastnost silové dvojice :

Silová dvojice je volná v rovině.

To znamená, že silová dvojice má stejné účinky,ať se nachází kdekoliv v rovině.Její silový účinek je nulový, momentový účinek je k libovolnému bodu stejný.


Přeložení síly mimo nositelku.Operace se silami, skládání a rozklad sil

Zavedení pojmu „silová dvojice“ nám umožňuje překládat sílu mimo její nositelku.Konstatovali jsme, že síla je volná na své nositelce.To jest posuneme-li sílu kamkoliv po její nositelce, účinky síly se nezmění.Nelze jednoduše překládat sílu mimo její nositelku, aniž by se její účinky změnily.Lze však sílu přeložit mimo její nositelku, doplníme-li její momentový účinek.

r

F

F rFM

rovnocennénahrazení


Obsah přednášky :

úvod do mechaniky, členění mechaniky

síla - základní veličina statiky

účinky síly, operace se silami

Documents

Základy mechaniky, 1. přednáška