Félévi követelmény (nappali)Félévi követelmény (nappali)

előadásokon rövid zárthelyi (min. 5)előadásokon rövid zárthelyi (min. 5) gyakorló feladat beadása és bemutatása a gyakorló feladat beadása és bemutatása a

gyakorlatokon (max. 10 perc)gyakorlatokon (max. 10 perc) Min. 3 zh. jegyből és a gyakorlatokon Min. 3 zh. jegyből és a gyakorlatokon

tapasztalt munka alapján gyakorlati jegy tapasztalt munka alapján gyakorlati jegy Pótzárthelyi csak különleges esetben.Pótzárthelyi csak különleges esetben.

A félév tananyagaA félév tananyaga

A természetes szám fogalma A természetes szám fogalma HalmazelméletHalmazelmélet Számok írásaSzámok írása Matematikai logikaMatematikai logika Racionális számokRacionális számok Természetes számokTermészetes számok OszthatóságOszthatóság Számrendszerek Számrendszerek

Számfogalom kialakítása Számfogalom kialakítása problémák felvetéseproblémák felvetése

Hány pénzed van?Hány pénzed van? Mennyi pénzed van?Mennyi pénzed van? Hány családod van?Hány családod van? Hány tagú a Hány tagú a

családod?családod? Heisenberg Heisenberg

(atomfizikus) írása a (atomfizikus) írása a nyelvről – a szavak nyelvről – a szavak jelentésejelentése

Egy – az egység Egy – az egység fogalmafogalma

A természetes A természetes számok fogalmaszámok fogalma Halmazelméleti Halmazelméleti

megközelítésmegközelítés Axiomatikus Axiomatikus

megközelítésmegközelítés

A fogalomalkotás problémájaA fogalomalkotás problémája

Mefisztó: . Szavakhoz tartsd magad! HiábaMefisztó: . Szavakhoz tartsd magad! Hiába a bizonyosság templomábaa bizonyosság templomába biztos kapun így léphetsz be csak.biztos kapun így léphetsz be csak. Tanítvány: De a szóhoz fogalom is tapad.Tanítvány: De a szóhoz fogalom is tapad. Mefisztó: Jó, jó! Túlságosan sok még az Mefisztó: Jó, jó! Túlságosan sok még az

aggodalmad;aggodalmad; éppen hol nincsenek fogalmak,éppen hol nincsenek fogalmak, megfelelő szó hamarost akad.”megfelelő szó hamarost akad.”

Misztifikált számokMisztifikált számok

Az egy – egység fogalma – törtek száműzéseAz egy – egység fogalma – törtek száműzése A számok vizsgálata: a világ harmóniájának A számok vizsgálata: a világ harmóniájának

leírása érdekében történtekleírása érdekében történtek Páros és páratlan számok – műveletekPáros és páratlan számok – műveletek Tökéletes szám egyenlő a nála kisebb osztóink Tökéletes szám egyenlő a nála kisebb osztóink

összegével 1+2+3=6 1+2+4+7+14=28összegével 1+2+3=6 1+2+4+7+14=28 Baráti számpár: bármelyik egyenlő a másik Baráti számpár: bármelyik egyenlő a másik

osztóinak összegével (220, 284), (1184,1210)osztóinak összegével (220, 284), (1184,1210)

A püthagóreusok zeneelméleteA püthagóreusok zeneelmélete

Szümphónia – összecsengés (négy kalapács Szümphónia – összecsengés (négy kalapács hangja) - rezgésszámokhangja) - rezgésszámok

Oktáv 2:1Oktáv 2:1 Kvint 3:2Kvint 3:2 Kvart 4:3Kvart 4:3 A konszonáns hangközök az 1,2,3,4 számokkal A konszonáns hangközök az 1,2,3,4 számokkal

jellemezhetőkjellemezhetők

HarmóniaHarmónia

Az alaphangot adó húr legyen 12 egységAz alaphangot adó húr legyen 12 egység 12:9=8:6,12:9=8:6, 9=(6+12)/2, 8=(6*12)/((6+2)/2)9=(6+12)/2, 8=(6*12)/((6+2)/2) Az aránypár második tagja a külső tagok Az aránypár második tagja a külső tagok

számtani közepe, a harmadik tagja a külső számtani közepe, a harmadik tagja a külső tagok harmonikus közepe: „arany tagok harmonikus közepe: „arany aránypár” aránypár”

„„háromszögszámok”háromszögszámok”

O O OO O O O O O O O OO O O O O O O O O O O OO O O O O O O O O OO O O O 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=101+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 AZ N-IK „HÁROMSZÖGSZÁM” AZ N-IK „HÁROMSZÖGSZÁM” (n+1)n/2(n+1)n/2

„„téglalapszámok”téglalapszámok”

O O O OO O O O O O O OO O O O O O O O 3*4=12 O O O O 3*4=12 2*5=102*5=10 Az n-ik n(n+1) alakú szám az első n páros Az n-ik n(n+1) alakú szám az első n páros

szám összegeszám összege Térbeli alakzatokból köbszámok összegét Térbeli alakzatokból köbszámok összegét

számoltákszámolták

SzámírásSzámírás

kínaikínai

Halmazelméleti alapfogalmakHalmazelméleti alapfogalmak

Halmaz: dolgok, tárgyak, fogalmak, Halmaz: dolgok, tárgyak, fogalmak, személyek összessége. személyek összessége.

Jelölés: H={a,b,c} az a halmaz, amelynek Jelölés: H={a,b,c} az a halmaz, amelynek elemei a, b és celemei a, b és c

Szemléltetés: Venn-diagramSzemléltetés: Venn-diagram

Műveletek halmazokkalMűveletek halmazokkal

ÚnióÚnió

MetszetMetszet

KülönbségKülönbség

A U B

A B

A \ B

Komplementer A

Halmazok úniójaHalmazok úniója

A={a II. évfolyamos, szőke, vagy vörös A={a II. évfolyamos, szőke, vagy vörös hajú hallgatók összessége}hajú hallgatók összessége}

B={a II. évfolyamos, barna, vagy vörös B={a II. évfolyamos, barna, vagy vörös hajú hallgatók összessége}hajú hallgatók összessége}

AUB={A II. évfolyamos, barna, vagy AUB={A II. évfolyamos, barna, vagy szőke, vagy vörös hajú hallgatók szőke, vagy vörös hajú hallgatók összessége}összessége}

Alaphalmaz: az AVKF nappali tagozatos Alaphalmaz: az AVKF nappali tagozatos hallgatóihallgatói

Descartes szorzatDescartes szorzat

Rendezett pár fogalmaRendezett pár fogalma Descartes szorzat A x B ={¸(a,b)|a€A,b€Descartes szorzat A x B ={¸(a,b)|a€A,b€} – példa: } – példa:

koordinátarendszerkoordinátarendszer Ha A=B, akkor AxA=AHa A=B, akkor AxA=A22 jelölés is használatos jelölés is használatos Ha A, vagy B üres halmaz, akkor AxB={}Ha A, vagy B üres halmaz, akkor AxB={} Általánosítás Általánosítás

AA11xAxA22x….Ax….Ann={a={a11;a;a22;…a;…ann)|a)|a11€A€A11;a;a22€A€A22…a…ann€A€Ann}}

y

x

Megfeleltetések, relációk, Megfeleltetések, relációk, függvényekfüggvények

Irányított kapcsolat (szülő, gyerek Irányított kapcsolat (szülő, gyerek kapcsolat)kapcsolat) Megfeleltetés – kétváltozós (binér) relációMegfeleltetés – kétváltozós (binér) reláció

AA x x BB , (a,b) , (a,b)€€azt jelentiazt jelentihogy a hogy a relációban áll b-velrelációban áll b-velkisiskolás kisiskolás feladatok között nagyon gyakori! (pl. nevek-feladatok között nagyon gyakori! (pl. nevek-virágok)virágok)

Nem irányított kapcsolat (megtett út és a Nem irányított kapcsolat (megtett út és a szükséges idő kapcsolata)szükséges idő kapcsolata)

Halmazok számosságának fogalmaHalmazok számosságának fogalma

Azonos számosságú, vagy számosságilag Azonos számosságú, vagy számosságilag ekvivalens halmazoknak nevezzük azokat ekvivalens halmazoknak nevezzük azokat a Ha H1 1 és Hés H2 2 halmazokat, amelyekhez létezik halmazokat, amelyekhez létezik

olyan leképezés, amely kölcsönösen olyan leképezés, amely kölcsönösen egyértelműen (bijektív) képezi az egyik egyértelműen (bijektív) képezi az egyik halmazt a másik halmazra. halmazt a másik halmazra.

Jelölés: |HJelölés: |H11|=|H|=|H22||

A természetes számok fogalmának A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítésehalmazelméleti megközelítése

Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogyLegyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy Legyen benne üres halmazLegyen benne üres halmaz Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor

tartalmazza a Htartalmazza a HUU{x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem. {x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem.

Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú halmazokathalmazokat

Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – reprezentáns halmaz.reprezentáns halmaz.

Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B| Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B| Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában

található halmazok számosságát természetes található halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.számoknak nevezzük.

A természetes számok halmazaA természetes számok halmaza

A természetes számok halmaza végtelen A természetes számok halmaza végtelen számosságú,számosságú,

Jelölése: N={1,2,3,…..}Jelölése: N={1,2,3,…..} MegjegyzésekMegjegyzések

Minden véges halmaz számossága egy természetes Minden véges halmaz számossága egy természetes számmal adható meg.számmal adható meg.

A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk.lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk.

A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám!A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám! A véges halmaz számosságának megállapításához a A véges halmaz számosságának megállapításához a

gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.

A természetes számok axiomatikus A természetes számok axiomatikus értelmezése értelmezése

AlapfogalmakAlapfogalmak Természetes számTermészetes szám A nulla (0)A nulla (0) rákövetkezésrákövetkezés

AxiómákAxiómák

A természetes számokra A természetes számokra vonatkozó axiómákvonatkozó axiómák

A 0 természetes számA 0 természetes szám Minden természetes számnak van egy természetes Minden természetes számnak van egy természetes

rákövetkezője, amely szintén természetes számrákövetkezője, amely szintén természetes szám Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0

rákövetkezője lennerákövetkezője lenne Különböző természetes számok rákövetkezője is Különböző természetes számok rákövetkezője is

különböző.különböző. Ha egy T tulajdonság olyan, hogyHa egy T tulajdonság olyan, hogy

Igaz a kIgaz a k00€€N számra, továbbáN számra, továbbá Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges

k(k>=kk(k>=k00, k, k€€N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére is, akkor a T tulajdonság minden k>=kis, akkor a T tulajdonság minden k>=k00 természetes számra igaz természetes számra igaz lesz (teljes indukció axiómája).lesz (teljes indukció axiómája).

Műveletek természetes számokkalMűveletek természetes számokkal

ÖsszeadásÖsszeadás|A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB||A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB| SzorzásSzorzás|A|=a, |B|=b, ab=|AxB||A|=a, |B|=b, ab=|AxB| KivonásKivonás|A|=a, |B|=b és B|A|=a, |B|=b és B, azaz a<=b, a-b=|A\B|, azaz a<=b, a-b=|A\B| OsztásOsztása,ba,b€€N, a:b az a cN, a:b az a c€€N, melyre bc=aN, melyre bc=a

A számfogalom bővítéseA számfogalom bővítéseMűveleti tulajdonságokMűveleti tulajdonságok

KommutatívKommutatív

A+b=b+a, ab=baA+b=b+a, ab=ba AsszociatívAsszociatív

(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) DisztributívDisztributív

(a+b)c=ac+bc(a+b)c=ac+bc