1

ベクトル解析（3）

5. 点の運動とベクトル

6. 勾配

7. 発散

8. 回転

2

5. 点の運動とベクトル

r

v

)(tP

)( ttQ

r

x

y

平均速度:t

r

kjir zyx

P

:

平均加速度:t

v

trr

v )( : lim0

tvdt

d

tt

速度

kjikjiv zyx vvvdt

dz

dt

dy

dt

dx

2

2

0lim

dt

d

dt

d

tt

rvva

加速度

kjikjia zyxzyx aaa

dt

dv

dt

dv

dt

dv

2

2

2

2

2

2

, ,

dt

zd

dt

dva

dt

yd

dt

dva

dt

xd

dt

dva

zz

y

yx

x

5.1 速度と加速度

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx

3

5.2 加速度の接線成分と法線成分

)(tP)( ttQ

C

v

v

21 vvv

dt

dv

tta

ttt

vvvlimlim

0

1

0

22

0

2

0

/limlim

v

t

tv

ta

ttn

v

曲率半径:

/PC/PQ

PCPQ

)0( 0

tv

t

vvvvv 11 //

接線方向成分

ttt ttt

2

0

1

00limlimlim

vvva

法線方向成分

2

v

adt

dva

aa

nt

nt

nta

2 vv v

v 2v

1v

v

/ 2

2 tvv v

4

例題２

kjir bttatat sincos)( sincos22

jit

t ttba

a

dt

d

kjitr btatatvtdt

d cossin)()(

rv

22||||)( batv vr

nta nt aa

曲線半径曲率

３章　例題２

: /1:

sincos

sincos

//

2222

2222

22

t

t

jit

t

tntn

ba

a

ba

tata

ttba

aa

ba

abav

va

dt

dva

n

t

22

2222

)(

0

t

5

運動量:

5.3 面積速度

)(tr

rr d

O

)(tv

)(tA)(tA

P

Q

vr mvm角運動量の変化率

arv

rvvv

rvr

vr mdt

dmm

dt

dmm

dt

dm

dt

d )(

の間に動径OPが通過する面積 t

2

2

1sin

2

1rrrrS

面積速度

v

r2

1

2

1

2

1 22

0lim

r

dt

dr

t

S

dt

dS

t

5

角運動量:

vA r2

1)(

dt

dSt

t vr)2

1

2

1(

2

1rrrrr

6

):( 定数中心力 kkdt

dm r

vF

vrS

A 2

1

dt

d

)(2

1

dt

d

dt

d

dt

d vrv

rA

0)]([2

1)(

2

1 rrvv

vrvv

m

k

dt

d

∴面速度は一定

面積速度一定法則

質点が，つねに定点Oに向かっている力（中心力という）の作用を受けて運動しているときには、その点Oのまわりの面積速度は一定である。

7

例題２

kjir bttatat sincos)(

kjit btatatvdt

d cossin)(

rv

])cossin()cos(sin[2

)cossin()sincos(2

1

2

1

kji

kjikji

atttbtttba

btatabttata

vrA

問題

も求めよ。また、面積速度

を求めよ。、加速度速度接線方向と法線方向の

き、がと与えられているとでの位置ベクトル時刻

)(

)()(

)(

tA

tatv

tt r

kjir

kjir

tttt

ttet t

1283)( )2

sin)( )1

2

3

2

2

8

1.6 点の周りのベクトルのモーメント

のモーメントの周りのベクトル点

を始点とするベクトル点

の位置ベクトルに対する点定点

F

FrM

F

r

o

P

Po

:

:

FFFrM pOP )sin()180sin(

rF

p

FrM

o

P

rωωωv

rωv

sin

OPNP

NP

vP

lo

を半径とする円運動

の速度ベクトル１点

剛体内のの周りに回転しているを通る直線点

N

9

例題

kjikjikji 322 ,2 ,22 BCABOA のモーメント点のまわりのBC o )2

のモーメント点のまわりのBC A )1

ABr

BCAB rM

A

B

C

ji

kji

rM

322

211

BCABBCAB

oBr

BCoB rM

A

B

C

o

10

例題

めよにあるときの速度を求質点が点

転している。ラジアンの角速度で回毎秒

を通る軸の周りに質点が２点

)4,6,3(

2

)2,3,1(),2,1,0(

P

Ao

)42(21

2

42

kjiω

kji

oA

oA

oA

kjir 253 oP

)1424(21

2

253

42121

2kji

kji

rωv

A

Today’s Point

11

Chap. 6

Chap. 7

勾配

kjizyx

grad

z

A

y

A

x

AA

zA

yA

xdiv zyx

zyx

AA

kjiA zyx AAA 発散

),,( zyxスカラー場

kjiA zyx AAA

zyx AAA

zyxrot

kji

AA

Chap. 8

法線:

回転

ベクトル場

ベクトル場

12

6. 勾配 6.1 スカラー場とベクトル場

zyx ,,

等位曲面 czyx ,,

等位曲線 cyx ,

スカラー場

x

y

z

等位曲面

yx, cyx ,

等位曲線

を含む等位曲面)1,1,1( 1

23,,

22

222

Pyx

zyxzyx

例題

2 111

1231,1,1

21

23,,

22

222

yx

zyxzyx

2

)1(223

22

22222

zx

yxzyx

ベクトル場 kjirψ hgft )(

流線

13

6.2 勾配

kjizyx

grad

zyxzyx

kjikji

grad

例題1 yzyx sin2 スカラー場

kji

zyx

点（0，1，π ）

スカラー場 空間内での変化率

ベクトル微分演算子（Hamilton演算子） ナブラ（nabla）

ixy2

kj

jyzzx cos2 kyzy cos

14

6.3 等位面

zyxP ,,

単位ベクトル

kjiu zyx uuu

zyx tuztuytuxQ ,,

t

zyxtuztuytux

du

d zyx

t

,,,,lim

0

点Pから点Qへの移動にともなう関数 の変化率

方向微分係数

zu

yu

xu

du

dzyx

u

du

d

の作る角とu :

)1( u

cosdu

d

rddzz

dyy

dxx

d

)( kjir dzdydxd

スカラー場 t

方向微分係数

関数φの全微分

15

等位面

czyx ,,

スカラー場 の等位面

を通る等位面に垂直点は z)y,P(x,,

czyxzyxP ,,,, を通る等位面点

点Pに接近して点Qをとる 0 ccPQd

kjir zyxPQ PからQへの微小変位

0 r ・d r に対する の増分

のすべての接線に垂直における等位面は点 c P

n

法線ベクトル

16

例題１

kji zyx 222

原点Oを中心とする球面 2222 czyx 等位面

222 zyx スカラー場 2222 czyx 等位面

0cはこの等位面に垂直である

kji zyxOP 点Pを通る半径

OP2

等位面であるこの球面に垂直

17

例題２

du

dP

P

zxyx

の方向への方向微係数での単位ベクトル

の値での

勾配

スカラー場

kjiu

849

11,1,3)3

1,1,3)2

)1

log 232

)1

1,1,3 )2 zyx

pdu

d

u )3

jy

x2

i223log2 zxyx kzx32

kji zxy

xzxyx 3

222 23log2 kji 54927

kjikji 54927849

1 ・

54198)27(49

1

6118)3(4 2

法線における接平面と単位上の点放物面 )5 ,2 ,1( 22 Pyxz

kjir )(),( 22 vuvuvu

)2,1(

)5,2,1(

例題3

1 42 22

)5,2,1(at

zy

yx

x

Pgrad

)5(4

)2(

2

)1(

z

yx

法線の方程式

0542

0)5()2)(4()1(2

)1,4,2()5,2,1(

zyx

zyx

P の平面方程式を通り法線方向が

22 yxz

例 3222 zyx )1 ,1 ,1 (P球面 上の点 における単位法線ベクトルと接平面

3),,( 222 zyxzyx

kjihzyx

grad

法線ベクトルは

　単位法線ベクトル　

では　

)(3

1

222222)1,1,1(

kjih

hn

kjikjih

zyxP

kjig )1()1()1(

)1,1,1(),,(

zyx

Pzyx を結ぶベクトルはと平面上の点

0)1( 1)-y( )1(

)1,1,1( 0

zzy

xx

P

での接平面は従っては直交。と ghgh

3

0)1(2 1)y(2 )1(2

zyx

zx

20

例題4

yzxyyx 222 )1

1,1,1P 3

x

4

y

2

z

kjikji

n 24329

1

243

243

222

におけるP(1,1,1) 上の１点3 222 yzxyyx曲面

微分係数xyz 接線方向に 3)

接平面の方程式 2)

法線ベクトル 1)

の方向に対する

22 yxyx

22 2 zxyx

y

yz

z2

21

の方向微分係数xyz 法線方向に対する 3)

kji xyzxyz

1,1,1P kji

kjikjin 24329

1

29

9243

29

1

0121413 zyx 9243 zyx

0111243 kjikji zyx

２）接平面の方程式

0 pr -kjir zyx

kjip p

r

pr

22

問題

を求めよ勾配 .1

2323)1 zxyyx

yzxexy cos)2

du

d

Pzyxy

方向への微係数単位ベクトル

におけるについて、点スカラー場

kjiu

223

1

3,4,2 .2 222

とする時|| , .3 rkjir rzyx

rr

r)1

3

1)2

rr

r 2

log)3r

rr

の方程式を求めよにおける接平面と法線曲面上の点 oP .4

)2 ,1 ,1( 5

5)1 022

Pyx

z

)1 ,1 ,1( )2 0

4 22

Pez yx

23

7. 発散

kjiA zyx AAA ベクトル場

ベクトル場Ａの発散（divergence）

との内積微分演算子

kjikjiAA zyx AAAzyx

div

・

kjiAxyzeyzyx 2232 sin

例題１

xyzez

yzy

yxx

div 2232 sin

AA

32xy

z

A

y

A

x

AA

zA

yA

x

zyxzyx

22 cos yzzxyzxye22

7.1 発散

24

スカラー場2

2

2

2

2

2

)(zyx

graddiv

kjizyx

grad

zzyyxx

graddiv

2

2

2

2

2

2

zyx

ラプラシアン（Laplacian)

2 graddiv

zyyx 2cos22

スカラー場例題２

2

2

2

2

2

22

zyx

zyzy 2cos2cos482

zy 2cos510

25

8. 回転

kjiA zyx AAA ベクトル場

との外積微分演算子

zyx AAA

zyxrot

kji

AA

kjiA

y

A

x

A

z

A

x

A

z

A

y

Arot xyxzyz

ベクトル場Ａの回転 (rotation)

kjiA zyexy yz 3log2 ベクトル場例題

zyexy

zyxyz 3log2

kji

A ki xyyezy

yz 23

1

26

A、ベクトル場スカラー場

AAA

kjiA

y

A

x

A

z

A

x

A

z

A

y

A xyxzyz

kji

y

A

x

A

z

A

x

A

z

A

y

A xyxzyz

kji xyxzyz A

yA

xA

zA

xA

zA

y

AAA

27

A、ベクトル場スカラー場

0 0 A

とおいてB

yzzyBx

0

22

yzzy

.0 ,0 zy BB 0B 0

y

A

x

A

zz

A

x

A

yz

A

y

A

x

xyxzyzA

0222222

yz

A

xz

A

zy

A

xy

A

zx

A

yx

A xyxzyz

0 A

28

29