ソフィー・ジェルマン素数について

愛犬ベルのために

最新 2016年 1月 30日

1 更新履歴

初版 2015年 6月 20日

　　 2015年 6月 21日

　　 2015年 6月 27日

　　 2015年 7月 5日

2015年 7月 11日

2016年 1月 30日

2 はじめに

ソフィー・ジェルマン素数とは、ある素数 P において、2P + 1も素数ならば、ソフィー・ジェ

ルマン素数というそうです。そして、素数 2P + 1を安全素数というそうです。こんなものが何の

役に立つのかわかりませんが、これについて、ボケ防止の算数ごっこをしてみましょう。なお、難

しい計算はMaximaというフリーの数式処理言語を使っています。

では、P=2から初めてみましょう。P = 2

2P + 1 = 2× 2 + 1 = 5

3ではP = 3

2P + 1 = 2× 3 + 1 = 7

5ではP = 5

2P + 1 = 2× 5 + 1 = 11

みな、ソフィー・ジェルマン素数ですね。

1

では、7ではP = 7

2P + 1 = 2× 7 + 1 = 15

おや、これは 15 = 3× 5ですから素数ではありませんね。

3 素数候補式

素数を片っ端から調べるのは、非効率です。そこで、素数を生成する式ではないのですが素数候

補式がありますので、それを使って、不要なものを削除することを考えます。

3.1 2, 3を除いた素数候補式

2, 3を除いた素数候補式は 6n+ 1, 6n+ 5です。

たとえば、6n + 0, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4, 6n + 5 において、6n + 0, 6n + 2, 6n + 4 は

２の倍数ですね。また、6n + 3 は 3 の倍数です。ですから、2, 3 を除いた素数候補式は、残った

6n+ 1, 6n+ 5となるわけです。

P = 6n+ 1

2P + 1 = 2(6n+ 1) + 1 = 12n+ 2 + 1 = 3(4n+ 1)

となりますから、3の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま

せん。P = 6n+ 5

2P + 1 = 2(6n+ 5) + 1 = 12n+ 10 + 1 = 12n+ 11 = 6m+ 5

となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。

このままでは半分しか削減できませんので、もっと精度のの高い素数候補式を考えてみましょう。

3.2 2, 3, 5を除いた素数候補式

2, 3, 5を除いた素数候補式は、30n+ 1, 30n+ 7, 30n+ 11, 30n+ 13, 30n+ 17, 30n+ 19, 30n+

23, 30n+ 29です。

先ほどと同じように、30n+ 0, 30n+ 2, 30n+ 4, 30n+ 6,・・・, 30n+ 26, 30n+ 28は２の倍数

ですね。また、残ったうち、30n+ 3, 30n+ 9, 30n+ 15, 30n+ 21, 30n+ 27は 3の倍数です。そ

して、さらに、3n+ 5, 30n+ 25は 5の倍数ですね。すると、残るのは、30n+ 1, 30n+ 7, 30n+

11, 30n+ 13, 30n+ 17, 30n+ 19, 30n+ 23, 30n+ 29の 8つだけですね。

P = 30n+ 1

2

2P + 1 = 2(30n+ 1) + 1 = 60n+ 2 + 1 = 3(20n+ 1)

となりますから、3の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま

せん。P = 30n+ 7

2P + 1 = 2(30n+ 7) + 1 = 60n+ 14 + 1 = 15(4n+ 1)

となりますから、15の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなり

ません。P = 30n+ 11

2P + 1 = 2(30n+ 11) + 1 = 60n+ 22 + 1 = 60n+ 23 = 30m+ 23

となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。

P = 30n+ 17

2P + 1 = 2(30n+ 17) + 1 = 60n+ 34 + 1 = 5(12n+ 7)

となりますから、5の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま

せん。P = 30n+ 19

2P + 1 = 2(30n+ 19) + 1 = 60n+ 38 + 1 = 3(20n+ 13)

となりますから、3の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま

せん。P = 30n+ 23

2P + 1 = 2(30n+ 23) + 1 = 60n+ 46 + 1 = 60n+ 47 = 30m+ 17

となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。

P = 30n+ 29

2P + 1 = 2(30n+ 29) + 1 = 60n+ 58 + 1 = 60n+ 59 = 30m+ 29

となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。

したがって、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があるのは

• 30n+ 11• 30n+ 23• 30n+ 29

です。

8つから 3つに絞れましたが、もっと精度のの高い素数候補式を考えてみましょう。

3

3.3 2, 3, 5, 7を除いた素数候補式

2, 3, 5, 7を除いた素数候補式は、210n+Qです。Qの値は以下のとおり。

1 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103

107 109 113 121 127 131 137 139 143 149 151 157

163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209

の 48個です。

計算の詳細は別紙参照

ソフィー・ジェルマン素数について (2, 3, 5, 7を除いた素数候補式)

したがって、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があるのは

• 210n+ 11• 210n+ 23• 210n+ 29• 210n+ 41• 210n+ 53• 210n+ 71• 210n+ 83• 210n+ 89• 210n+ 113• 210n+ 131• 210n+ 149• 210n+ 173• 210n+ 179• 210n+ 191• 210n+ 209

です。

3.3.1 210n+11のソフィー・ジェルマン素数

210n+ 11のソフィー・ジェルマン素数は以下に例を示す。

(%i1) n:1;

(%o1) 1

(%i2) P:210*n+11;

(%o2) 221

(%i3) factor(P);

4

(%o3) 13 17 Pは素数でない(%i4) n:2;

(%o4) 2

(%i5) P:210*n+11;

(%o5) 431　(%i6) factor(P);

(%o6) 431 Pは素数(%i7) factor(2*P+1);

(%o7) 863 　 2P+1 は素数。431 と 863 はソフィー・ジェルマン素数(%i8) n:3;

(%o8) 3

(%i9) P:210*n+11;

(%o9) 641　(%i10) factor(P);

(%o10) 641　 Pは素数(%i11) factor(2*P+1);

(%o11) 1283 　 2P+1 は素数。641 と 1283 はソフィー・ジェルマン素数(%i12) n:4;

(%o12) 4

(%i13) P:210*n+11;

(%o13) 851

(%i14) factor(P);

(%o14) 23 37 Pは素数でない(%i15) n:5;

(%o15) 5

(%i16) P:210*n+11;

(%o16) 1061

(%i17) factor(P);

(%o17) 1061 Pは素数(%i18) factor(2*P+1);

(%o18) 11 193 2P+1は素数でない

3.3.2 210n+23のソフィー・ジェルマン素数

210n+ 23のソフィー・ジェルマン素数は以下に例を示す。

(%i1) n:1;

(%o1) 1

(%i2) P:210*n+23;

(%o2) 233

(%i3) factor(P);

(%o3) 233 Pは素数(%i4) factor(2*P+1);

(%o4) 467 2P+1は素数。233と 467はソフィー・ジェルマン素数(%i5) n:2;

5

(%o5) 2

(%i7) P:210*n+23;

(%o7) 443

(%i8) factor(P);

(%o8) 443 Pは素数(%i9) factor(2*P+1);

(%o9) 887 2P+1は素数。443と 887はソフィー・ジェルマン素数(%i10) n:3;

(%o10) 3

(%i11) P:210*n+23;

(%o11) 653

(%i12) factor(P);

(%o12) 653 Pは素数(%i13) factor(2*P+1);

(%o13) 1307 2P+1 は素数。653 と 1307 はソフィー・ジェルマン素数(%i14) n:4;

(%o14) 4

(%i15) P:210*n+23;

(%o15) 863

(%i16) factor(P);

(%o16) 863 Pは素数(%i17) factor(2*P+1);

(%o17) 11 157 2P+1は素数でない(%i18) n:5;

(%o18) 5

(%i19) P:210*n+23;

(%o19) 1073

(%i20) factor(P);

(%o20) 29 37 Pは素数でない

もうこのへんで終わりにします。

48から 15に絞れましたが、もっと精度のの高い素数候補式を考えてみましょう。

3.4 2, 3, 5, 7, 11を除いた素数候補式

2, 3, 5, 7, 11を除いた素数候補式は、2310n+Qです。Qの値は以下のとおり。

1 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53

59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107

109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 169

173 179 181 191 193 197 199 211 221 223 227 229

233 239 241 247 251 257 263 269 271 277 281 283

289 293 299 307 311 313 317 323 331 337 347 349

353 359 361 367 373 377 379 383 389 391 397 401

403 409 419 421 431 433 437 439 443 449 457 461

463 467 479 481 487 491 493 499 503 509 521 523

6

527 529 533 541 547 551 557 559 563 569 571 577

587 589 593 599 601 607 611 613 617 619 629 631

641 643 647 653 659 661 667 673 677 683 689 691

697 701 703 709 713 719 727 731 733 739 743 751

757 761 767 769 773 779 787 793 797 799 809 811

817 821 823 827 829 839 841 851 853 857 859 863

871 877 881 883 887 893 899 901 907 911 919 923

929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 983

989 991 997 1003 1007 1009 1013 1019 1021 1027 1031 1033

1037 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1073 1079 1081 1087 1091

1093 1097 1103 1109 1117 1121 1123 1129 1139 1147 1151 1153

1157 1159 1163 1171 1181 1187 1189 1193 1201 1207 1213 1217

1219 1223 1229 1231 1237 1241 1247 1249 1259 1261 1271 1273

1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1313 1319 1321

1327 1333 1339 1343 1349 1357 1361 1363 1367 1369 1373 1381

1387 1391 1399 1403 1409 1411 1417 1423 1427 1429 1433 1439

1447 1451 1453 1457 1459 1469 1471 1481 1483 1487 1489 1493

1499 1501 1511 1513 1517 1523 1531 1537 1541 1543 1549 1553

1559 1567 1571 1577 1579 1583 1591 1597 1601 1607 1609 1613

1619 1621 1627 1633 1637 1643 1649 1651 1657 1663 1667 1669

1679 1681 1691 1693 1697 1699 1703 1709 1711 1717 1721 1723

1733 1739 1741 1747 1751 1753 1759 1763 1769 1777 1781 1783

1787 1789 1801 1807 1811 1817 1819 1823 1829 1831 1843 1847

1849 1853 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1891 1901 1907

1909 1913 1919 1921 1927 1931 1933 1937 1943 1949 1951 1957

1961 1963 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2021

2027 2029 2033 2039 2041 2047 2053 2059 2063 2069 2071 2077

2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2117 2119 2129 2131 2137

2141 2143 2147 2153 2159 2161 2171 2173 2179 2183 2197 2201

2203 2207 2209 2213 2221 2227 2231 2237 2239 2243 2249 2251

2257 2263 2267 2269 2273 2279 2281 2287 2291 2293 2297 2309

の 480個です。

計算の詳細は別紙参照

ソフィー・ジェルマン素数について (2, 3, 5, 7, 11を除いた素数候補式)

したがって、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があるのは

• 2310n+ 23結果 2310n+ 47• 2310n+ 29結果 2310n+ 59• 2310n+ 41結果 2310n+ 83• 2310n+ 53結果 2310n+ 107• 2310n+ 83結果 2310n+ 167• 2310n+ 89結果 2310n+ 179• 2310n+ 113結果 2310n+ 227

7

• 2310n+ 131結果 2310n+ 263• 2310n+ 149結果 2310n+ 299• 2310n+ 173結果 2310n+ 347• 2310n+ 179結果 2310n+ 359• 2310n+ 191結果 2310n+ 383• 2310n+ 221結果 2310n+ 443• 2310n+ 233結果 2310n+ 467• 2310n+ 239結果 2310n+ 479• 2310n+ 251結果 2310n+ 503• 2310n+ 263結果 2310n+ 527• 2310n+ 281結果 2310n+ 563• 2310n+ 293結果 2310n+ 587• 2310n+ 299結果 2310n+ 599• 2310n+ 323結果 2310n+ 647• 2310n+ 359結果 2310n+ 719• 2310n+ 383結果 2310n+ 767• 2310n+ 389結果 2310n+ 779• 2310n+ 419結果 2310n+ 839• 2310n+ 431結果 2310n+ 863• 2310n+ 443結果 2310n+ 887• 2310n+ 449結果 2310n+ 899• 2310n+ 461結果 2310n+ 923• 2310n+ 491結果 2310n+ 983• 2310n+ 503結果 2310n+ 1007• 2310n+ 509結果 2310n+ 1019• 2310n+ 551結果 2310n+ 1103• 2310n+ 569結果 2310n+ 1139• 2310n+ 593結果 2310n+ 1187• 2310n+ 611結果 2310n+ 1223• 2310n+ 629結果 2310n+ 1259• 2310n+ 641結果 2310n+ 1283• 2310n+ 653結果 2310n+ 1307• 2310n+ 659結果 2310n+ 1319• 2310n+ 683結果 2310n+ 1367• 2310n+ 701結果 2310n+ 1403• 2310n+ 713結果 2310n+ 1427• 2310n+ 719結果 2310n+ 1439

8

• 2310n+ 743結果 2310n+ 1487• 2310n+ 761結果 2310n+ 1523• 2310n+ 779結果 2310n+ 1559• 2310n+ 809結果 2310n+ 1619• 2310n+ 821結果 2310n+ 1643• 2310n+ 839結果 2310n+ 1679• 2310n+ 851結果 2310n+ 1703• 2310n+ 881結果 2310n+ 1763• 2310n+ 893結果 2310n+ 1787• 2310n+ 911結果 2310n+ 1823• 2310n+ 923結果 2310n+ 1847• 2310n+ 953結果 2310n+ 1907• 2310n+ 971結果 2310n+ 1943• 2310n+ 989結果 2310n+ 1979• 2310n+ 1013結果 2310n+ 2027• 2310n+ 1019結果 2310n+ 2039• 2310n+ 1031結果 2310n+ 2063• 2310n+ 1049結果 2310n+ 2099• 2310n+ 1073結果 2310n+ 2147• 2310n+ 1079結果 2310n+ 2159• 2310n+ 1091結果 2310n+ 2183• 2310n+ 1103結果 2310n+ 2207• 2310n+ 1121結果 2310n+ 2243• 2310n+ 1139結果 2310n+ 2279• 2310n+ 1163結果 2310n+ 17• 2310n+ 1181結果 2310n+ 53• 2310n+ 1223結果 2310n+ 137• 2310n+ 1229結果 2310n+ 149• 2310n+ 1241結果 2310n+ 173• 2310n+ 1271結果 2310n+ 233• 2310n+ 1283結果 2310n+ 257• 2310n+ 1289結果 2310n+ 269• 2310n+ 1301結果 2310n+ 293• 2310n+ 1313結果 2310n+ 317• 2310n+ 1343結果 2310n+ 377• 2310n+ 1349結果 2310n+ 389• 2310n+ 1373結果 2310n+ 437

9

• 2310n+ 1409結果 2310n+ 509• 2310n+ 1433結果 2310n+ 557• 2310n+ 1439結果 2310n+ 569• 2310n+ 1451結果 2310n+ 593• 2310n+ 1469結果 2310n+ 629• 2310n+ 1481結果 2310n+ 653• 2310n+ 1493結果 2310n+ 677• 2310n+ 1499結果 2310n+ 689• 2310n+ 1511結果 2310n+ 713• 2310n+ 1541結果 2310n+ 773• 2310n+ 1553結果 2310n+ 797• 2310n+ 1559結果 2310n+ 809• 2310n+ 1583結果 2310n+ 857• 2310n+ 1601結果 2310n+ 893• 2310n+ 1619結果 2310n+ 929• 2310n+ 1643結果 2310n+ 977• 2310n+ 1649結果 2310n+ 989• 2310n+ 1679結果 2310n+ 1049• 2310n+ 1691結果 2310n+ 1073• 2310n+ 1703結果 2310n+ 1097• 2310n+ 1709結果 2310n+ 1109• 2310n+ 1733結果 2310n+ 1157• 2310n+ 1751結果 2310n+ 1193• 2310n+ 1763結果 2310n+ 1217• 2310n+ 1769結果 2310n+ 1229• 2310n+ 1811結果 2310n+ 1313• 2310n+ 1829結果 2310n+ 1349• 2310n+ 1871結果 2310n+ 1433• 2310n+ 1889結果 2310n+ 1469• 2310n+ 1901結果 2310n+ 1493• 2310n+ 1913結果 2310n+ 1517• 2310n+ 1931結果 2310n+ 1553• 2310n+ 1943結果 2310n+ 1577• 2310n+ 1961結果 2310n+ 1613• 2310n+ 1973結果 2310n+ 1637• 2310n+ 1979結果 2310n+ 1649• 2310n+ 2003結果 2310n+ 1697

10

• 2310n+ 2021結果 2310n+ 1733• 2310n+ 2039結果 2310n+ 1769• 2310n+ 2063結果 2310n+ 1817• 2310n+ 2069結果 2310n+ 1829• 2310n+ 2081結果 2310n+ 1853• 2310n+ 2099結果 2310n+ 1889• 2310n+ 2111結果 2310n+ 1913• 2310n+ 2129結果 2310n+ 1949• 2310n+ 2141結果 2310n+ 1973• 2310n+ 2153結果 2310n+ 1997• 2310n+ 2171結果 2310n+ 2033• 2310n+ 2213結果 2310n+ 2117• 2310n+ 2231結果 2310n+ 2153• 2310n+ 2273結果 2310n+ 2237• 2310n+ 2279結果 2310n+ 2249• 2310n+ 2291結果 2310n+ 2273• 2310n+ 2309結果 2310n+ 2309

です。

3.5 2, 3, 5, 7, 11, 13を除いた素数候補式

2, 3, 5, 7, 11, 13を除いた素数候補式は、30030n+Qです。Qは 5760個です。

• 30030n+ 23結果 30030n+ 47• 30030n+ 29結果 30030n+ 59• 30030n+ 41結果 30030n+ 83• 30030n+ 53結果 30030n+ 107• 30030n+ 83結果 30030n+ 167• 30030n+ 89結果 30030n+ 179• 30030n+ 113結果 30030n+ 227• 30030n+ 131結果 30030n+ 263• 30030n+ 173結果 30030n+ 347• 30030n+ 179結果 30030n+ 359• 30030n+ 191結果 30030n+ 383• 30030n+ 233結果 30030n+ 467• 30030n+ 239結果 30030n+ 479• 30030n+ 251結果 30030n+ 503

11

• 30030n+ 263結果 30030n+ 527• 30030n+ 281結果 30030n+ 563• 30030n+ 293結果 30030n+ 587• 30030n+ 323結果 30030n+ 647• 30030n+ 359結果 30030n+ 719• 30030n+ 389結果 30030n+ 779• 30030n+ 419結果 30030n+ 839• 30030n+ 431結果 30030n+ 863• 30030n+ 443結果 30030n+ 887• 30030n+ 449結果 30030n+ 899• 30030n+ 491結果 30030n+ 983• 30030n+ 503結果 30030n+ 1007• 30030n+ 509結果 30030n+ 1019• 30030n+ 551結果 30030n+ 1103• 30030n+ 569結果 30030n+ 1139• 30030n+ 593結果 30030n+ 1187• 30030n+ 629結果 30030n+ 1259• 30030n+ 641結果 30030n+ 1283• 30030n+ 653結果 30030n+ 1307• 30030n+ 659結果 30030n+ 1319• 30030n+ 683結果 30030n+ 1367• 30030n+ 701結果 30030n+ 1403• 30030n+ 713結果 30030n+ 1427• 30030n+ 719結果 30030n+ 1439• 30030n+ 743結果 30030n+ 1487• 30030n+ 761結果 30030n+ 1523• 30030n+ 779結果 30030n+ 1559• 30030n+ 809結果 30030n+ 1619• 30030n+ 821結果 30030n+ 1643• 30030n+ 839結果 30030n+ 1679• 30030n+ 881結果 30030n+ 1763• 30030n+ 893結果 30030n+ 1787• 30030n+ 911結果 30030n+ 1823• 30030n+ 953結果 30030n+ 1907• 30030n+ 971結果 30030n+ 1943• 30030n+ 989結果 30030n+ 1979• 30030n+ 1013結果 30030n+ 2027

12

• 30030n+ 1019結果 30030n+ 2039• 30030n+ 1031結果 30030n+ 2063• 30030n+ 1049結果 30030n+ 2099• 30030n+ 1073結果 30030n+ 2147• 30030n+ 1091結果 30030n+ 2183• 30030n+ 1103結果 30030n+ 2207• 30030n+ 1121結果 30030n+ 2243• 30030n+ 1139結果 30030n+ 2279• 30030n+ 1181結果 30030n+ 2363• 30030n+ 1223結果 30030n+ 2447• 30030n+ 1229結果 30030n+ 2459• 30030n+ 1271結果 30030n+ 2543• 30030n+ 1283結果 30030n+ 2567• 30030n+ 1289結果 30030n+ 2579• 30030n+ 1301結果 30030n+ 2603• 30030n+ 1343結果 30030n+ 2687• 30030n+ 1349結果 30030n+ 2699• 30030n+ 1373結果 30030n+ 2747• 30030n+ 1409結果 30030n+ 2819• 30030n+ 1433結果 30030n+ 2867• 30030n+ 1439結果 30030n+ 2879• 30030n+ 1451結果 30030n+ 2903• 30030n+ 1481結果 30030n+ 2963• 30030n+ 1493結果 30030n+ 2987• 30030n+ 1499結果 30030n+ 2999• 30030n+ 1511結果 30030n+ 3023• 30030n+ 1541結果 30030n+ 3083• 30030n+ 1559結果 30030n+ 3119• 30030n+ 1583結果 30030n+ 3167• 30030n+ 1601結果 30030n+ 3203• 30030n+ 1619結果 30030n+ 3239• 30030n+ 1643結果 30030n+ 3287• 30030n+ 1649結果 30030n+ 3299• 30030n+ 1679結果 30030n+ 3359• 30030n+ 1691結果 30030n+ 3383• 30030n+ 1733結果 30030n+ 3467• 30030n+ 1751結果 30030n+ 3503

13

• 30030n+ 1763結果 30030n+ 3527• 30030n+ 1769結果 30030n+ 3539• 30030n+ 1811結果 30030n+ 3623• 30030n+ 1829結果 30030n+ 3659• 30030n+ 1871結果 30030n+ 3743• 30030n+ 1889結果 30030n+ 3779• 30030n+ 1901結果 30030n+ 3803• 30030n+ 1913結果 30030n+ 3827• 30030n+ 1931結果 30030n+ 3863• 30030n+ 1961結果 30030n+ 3923• 30030n+ 1979結果 30030n+ 3959• 30030n+ 2003結果 30030n+ 4007• 30030n+ 2039結果 30030n+ 4079• 30030n+ 2063結果 30030n+ 4127• 30030n+ 2069結果 30030n+ 4139• 30030n+ 2081結果 30030n+ 4163• 30030n+ 2111結果 30030n+ 4259• 30030n+ 2141結果 30030n+ 4283• 30030n+ 2153結果 30030n+ 4307• 30030n+ 2213結果 30030n+ 4427• 30030n+ 2231結果 30030n+ 4463• 30030n+ 2273結果 30030n+ 4547• 30030n+ 2279結果 30030n+ 4559• 30030n+ 2291結果 30030n+ 4583• 30030n+ 2309結果 30030n+ 4619• 30030n+ 2339結果 30030n+ 4679• 30030n+ 2351結果 30030n+ 4703• 30030n+ 2363結果 30030n+ 4727• 30030n+ 2393結果 30030n+ 4787• 30030n+ 2399結果 30030n+ 4799• 30030n+ 2423結果 30030n+ 4847• 30030n+ 2441結果 30030n+ 4883• 30030n+ 2459結果 30030n+ 4919• 30030n+ 2501結果 30030n+ 5003• 30030n+ 2531結果 30030n+ 5063• 30030n+ 2543結果 30030n+ 5087• 30030n+ 2549結果 30030n+ 5099

14

• 30030n+ 2573結果 30030n+ 5147• 30030n+ 2591結果 30030n+ 5183• 30030n+ 2603結果 30030n+ 5207• 30030n+ 2609結果 30030n+ 5219• 30030n+ 2633結果 30030n+ 5267• 30030n+ 2669結果 30030n+ 5339• 30030n+ 2693結果 30030n+ 5387• 30030n+ 2699結果 30030n+ 5399• 30030n+ 2729結果 30030n+ 5459• 30030n+ 2741結果 30030n+ 5483• 30030n+ 2753結果 30030n+ 5507• 30030n+ 2759結果 30030n+ 5519• 30030n+ 2771結果 30030n+ 5543• 30030n+ 2813結果 30030n+ 5627• 30030n+ 2819結果 30030n+ 5639• 30030n+ 2861結果 30030n+ 5723• 30030n+ 2903結果 30030n+ 5807• 30030n+ 2921結果 30030n+ 5843• 30030n+ 2939結果 30030n+ 5879• 30030n+ 2963結果 30030n+ 5927• 30030n+ 2969結果 30030n+ 5939• 30030n+ 2993結果 30030n+ 5987• 30030n+ 3011結果 30030n+ 6023• 30030n+ 3023結果 30030n+ 6047• 30030n+ 3053結果 30030n+ 6107• 30030n+ 3071結果 30030n+ 6143• 30030n+ 3089結果 30030n+ 6179• 30030n+ 3119結果 30030n+ 6239• 30030n+ 3131結果 30030n+ 6263• 30030n+ 3149結果 30030n+ 6299• 30030n+ 3161結果 30030n+ 6323• 30030n+ 3203結果 30030n+ 6407• 30030n+ 3221結果 30030n+ 6443• 30030n+ 3233結果 30030n+ 6467• 30030n+ 3281結果 30030n+ 6563• 30030n+ 3299結果 30030n+ 6599• 30030n+ 3323結果 30030n+ 6647

15

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• 30030n+ 28109結果 30030n+ 56219− > 30030n+ 26189• 30030n+ 28139結果 30030n+ 56279− > 30030n+ 26249• 30030n+ 28163結果 30030n+ 56327− > 30030n+ 26297• 30030n+ 28169結果 30030n+ 56339− > 30030n+ 26309• 30030n+ 28181結果 30030n+ 56363− > 30030n+ 26333• 30030n+ 28211結果 30030n+ 56423− > 30030n+ 26393• 30030n+ 28271結果 30030n+ 56543− > 30030n+ 26513• 30030n+ 28289結果 30030n+ 56579− > 30030n+ 26549• 30030n+ 28313結果 30030n+ 56627− > 30030n+ 26597• 30030n+ 28331結果 30030n+ 56663− > 30030n+ 26633• 30030n+ 28349結果 30030n+ 56699− > 30030n+ 26669• 30030n+ 28361結果 30030n+ 56723− > 30030n+ 26693• 30030n+ 28373結果 30030n+ 56747− > 30030n+ 26717• 30030n+ 28403結果 30030n+ 56807− > 30030n+ 26777• 30030n+ 28421結果 30030n+ 56843− > 30030n+ 26813• 30030n+ 28433結果 30030n+ 56867− > 30030n+ 26837• 30030n+ 28439結果 30030n+ 56879− > 30030n+ 26849• 30030n+ 28481結果 30030n+ 56963− > 30030n+ 26933• 30030n+ 28499結果 30030n+ 56999− > 30030n+ 26969• 30030n+ 28529結果 30030n+ 57059− > 30030n+ 27029• 30030n+ 28559結果 30030n+ 57119− > 30030n+ 27089• 30030n+ 28571結果 30030n+ 57143− > 30030n+ 27113• 30030n+ 28601結果 30030n+ 57203− > 30030n+ 27173• 30030n+ 28631結果 30030n+ 57263− > 30030n+ 27233• 30030n+ 28643結果 30030n+ 57287− > 30030n+ 27257• 30030n+ 28673結果 30030n+ 57347− > 30030n+ 27317• 30030n+ 28709結果 30030n+ 57419− > 30030n+ 27389• 30030n+ 28733結果 30030n+ 57467− > 30030n+ 27437• 30030n+ 28739結果 30030n+ 57479− > 30030n+ 27449• 30030n+ 28751結果 30030n+ 57503− > 30030n+ 27473• 30030n+ 28793結果 30030n+ 57587− > 30030n+ 27557• 30030n+ 28799結果 30030n+ 57599− > 30030n+ 27569• 30030n+ 28811結果 30030n+ 57623− > 30030n+ 27593• 30030n+ 28823結果 30030n+ 57647− > 30030n+ 27617• 30030n+ 28841結果 30030n+ 57683− > 30030n+ 27653• 30030n+ 28859結果 30030n+ 57719− > 30030n+ 27689• 30030n+ 28883結果 30030n+ 57767− > 30030n+ 27737

49

• 30030n+ 28901結果 30030n+ 57803− > 30030n+ 27773• 30030n+ 28943結果 30030n+ 57887− > 30030n+ 27857• 30030n+ 28949結果 30030n+ 57899− > 30030n+ 27869• 30030n+ 28961結果 30030n+ 57923− > 30030n+ 27893• 30030n+ 28991結果 30030n+ 57983− > 30030n+ 27953• 30030n+ 29021結果 30030n+ 58043− > 30030n+ 28013• 30030n+ 29033結果 30030n+ 58067− > 30030n+ 28037• 30030n+ 29063結果 30030n+ 58127− > 30030n+ 28097• 30030n+ 29069結果 30030n+ 58139− > 30030n+ 28109• 30030n+ 29093結果 30030n+ 58187− > 30030n+ 28157• 30030n+ 29129結果 30030n+ 58259− > 30030n+ 28229• 30030n+ 29153結果 30030n+ 58307− > 30030n+ 28277• 30030n+ 29171結果 30030n+ 58343− > 30030n+ 28313• 30030n+ 29189結果 30030n+ 58379− > 30030n+ 28349• 30030n+ 29201結果 30030n+ 58403− > 30030n+ 28373• 30030n+ 29213結果 30030n+ 58427− > 30030n+ 28397• 30030n+ 29219結果 30030n+ 58439− > 30030n+ 28409• 30030n+ 29231結果 30030n+ 58463− > 30030n+ 28433• 30030n+ 29261結果 30030n+ 58523− > 30030n+ 28493• 30030n+ 29273結果 30030n+ 58547− > 30030n+ 28517• 30030n+ 29279結果 30030n+ 58559− > 30030n+ 28529• 30030n+ 29303結果 30030n+ 58607− > 30030n+ 28577• 30030n+ 29339結果 30030n+ 58679− > 30030n+ 28649• 30030n+ 29363結果 30030n+ 58727− > 30030n+ 28697• 30030n+ 29369結果 30030n+ 58739− > 30030n+ 28709• 30030n+ 29411結果 30030n+ 58823− > 30030n+ 28793• 30030n+ 29423結果 30030n+ 58847− > 30030n+ 28817• 30030n+ 29429結果 30030n+ 58859− > 30030n+ 28829• 30030n+ 29453結果 30030n+ 58907− > 30030n+ 28877• 30030n+ 29483結果 30030n+ 58967− > 30030n+ 28937• 30030n+ 29489結果 30030n+ 58979− > 30030n+ 28949• 30030n+ 29531結果 30030n+ 59063− > 30030n+ 29033• 30030n+ 29591結果 30030n+ 59183− > 30030n+ 29153• 30030n+ 29609結果 30030n+ 59219− > 30030n+ 29189• 30030n+ 29621結果 30030n+ 59243− > 30030n+ 29213• 30030n+ 29651結果 30030n+ 59303− > 30030n+ 29273• 30030n+ 29663結果 30030n+ 59327− > 30030n+ 29297

50

• 30030n+ 29681結果 30030n+ 59363− > 30030n+ 29333• 30030n+ 29693結果 30030n+ 59387− > 30030n+ 29357• 30030n+ 29699結果 30030n+ 59399− > 30030n+ 29369• 30030n+ 29723結果 30030n+ 59447− > 30030n+ 29417• 30030n+ 29741結果 30030n+ 59483− > 30030n+ 29453• 30030n+ 29759結果 30030n+ 59519− > 30030n+ 29489• 30030n+ 29801結果 30030n+ 59603− > 30030n+ 29573• 30030n+ 29819結果 30030n+ 59639− > 30030n+ 29609• 30030n+ 29831結果 30030n+ 59663− > 30030n+ 29633• 30030n+ 29849結果 30030n+ 59699− > 30030n+ 29639• 30030n+ 29873結果 30030n+ 59747− > 30030n+ 29717• 30030n+ 29891結果 30030n+ 59783− > 30030n+ 29753• 30030n+ 29933結果 30030n+ 59867− > 30030n+ 29837• 30030n+ 29951結果 30030n+ 59903− > 30030n+ 29873• 30030n+ 29993結果 30030n+ 59987− > 30030n+ 29957• 30030n+ 29999結果 30030n+ 59999− > 30030n+ 29969• 30030n+ 30011結果 30030n+ 60023− > 30030n+ 29993• 30030n+ 30029結果 30030n+ 60059− > 30030n+ 30029

3.6 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17を除いた素数候補式

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17を除いた素数候補式は、510510n+Qです。Qは 92160個です。

3.7 Pがメルセンヌ素数の場合

Pがメルセンヌ素数 22k+1 − 1とすると、

2P + 1 = 2 ∗ (22k+1 − 1) + 1

= 22k+2 − 2 + 1

= 22(k+1) − 1

= (2k+1 + 1)(2k+1 − 1)

となり、2P + 1は必ず合成数になりますので、ソフィー・ジェルマン素数にはなりません。

51

4 ソフィー・ジェルマン素数の連鎖

ソフィー・ジェルマン素数の連鎖を考えて見ましょう。

連鎖の数 素数 2P+1

1 P 2P+1

2 2P+1 2(2P + 1) + 1 = 4P + 3

3 4P+3 2(4P + 3) + 1 = 8P + 7

4 8P+7 2(8P + 7) + 1 = 16P + 15

5 16P+15 2(16P + 15) + 1 = 32P + 31

このように、連鎖してゆきます。一般に連鎖の数 = mとすると、

2mP + (2m − 1) (1)

となります。では、連鎖の例を示します。

(%i16) P:2;

(%o16) 2

(%i17) factor(2*P+1);

(%o17) 5

(%i18) factor(4*P+3);

(%o18) 11

(%i19) factor(8*P+7);

(%o19) 23

(%i20) factor(16*P+15);

(%o20) 47

(%i21) factor(32*P+31);

(%o21) 5 19

52

P = 210n+Qにおいて、2P + 1があるものを追跡してゆくと

P 2P+1 2P+1 2P+1 2P+1

210n+11 210n+23 210n+47 5の倍数

210n+23 210n+47 5の倍数

210n+29 210n+59 7の倍数

210n+41 210n+83 210n+167 5の倍数

210n+53 210n+107 5の倍数

210n+71 210n+143 7の倍数

210n+83 210n+167 5の倍数

210n+89 210n+179 210n+149 210n+89ループ

210n+113 210n+227 210n’+17 5の倍数

210n+131 210n+53 210n+107 5の倍数

210n+149 210n+89 210n+179 210n+149 210n+89ループ

210n+173 210n+137 5の倍数

210n+179 210n+149 210n+89ループ

210n+191 210n+173 210n+137 5の倍数

210n+209 210n+209ループ

より、

• 210n+ 89→ 210n+ 179→ 210n+ 149→ 210n+ 89ループ• 210n+ 209→ 210n+ 209ループ

のループがあることがわかる。でも、素数候補だから必ずしも続くとは言えない。

そこで、210n+ 89を試してみると、

(%i1) n:1;

(%o1) 1

(%i2) P:210*n+89;

(%o2) 299

(%i3) factor(P);

(%o3) 13 23

Pは素数ではなかった。(%i4) n:2;

(%o4) 2

(%i5) P:210*n+89;

(%o5) 509

(%i6) factor(P);

(%o6) 509

(%i7) factor(2*P+1);

(%o7) 1019

(%i8) factor(4*P+3);

53

(%o8) 2039

(%i9) factor(8*P+7);

(%o9) 4079

(%i10) factor(16*P+15);

(%o10) 41 199

P→ 2P+1→ 4P+3→ 8P+7まで続いた。(%i11) n:3;

(%o11) 3

(%i12) P:210*n+89;

(%o12) 719

(%i13) factor(P);

(%o13) 719

(%i14) factor(2*P+1);

(%o14) 1439

(%i15) factor(4*P+3);

(%o15) 2879

(%i16) factor(8*P+7);

(%o16) 13 443

P→ 2P+1→ 4P+3まで続いた。

54

P = 2310n+Qにおいて、2P + 1があるものを追跡してゆくと

2310n+23→ 2310n+47→ 5の倍数2310n+29→ 2310n+59→ 7の倍数2310n+41→ 2310n+83→ 2310n+167→ 5の倍数2310n+53→ 2310n+107→ 5の倍数2310n+83→ 2310n+167→ 5の倍数2310n+89→ 2310n+179→ 2310n+359→ 2310n+719→ 2310n+1427→ 5の倍数2310n+113→ 2310n+227→ 35の倍数2310n+131→ 2310n+263→ 2310n+527�