FICHA PARA CATÁLOGO

PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

TÍTULO: PITÁGORAS: O Místico

AUTOR: STELLA MARIS MARDEGAN

ESCOLA DE ATUAÇÃO: COLÉGIO ESTADUAL SÃO VICENTE DE PAULA

MUNICÍPIO DA ESCOLA: NOVA ESPERANÇA

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO: PARANAVAÍ

ORIENTADOR: RAQUEL POLIZELI

INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR: UNESPAR – Campus Paranavaí

DISCIPLINA/ÁREA: MATEMÁTICA

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA: UNIDADE DIDÁTICA

RELAÇÃO INTERDISCIPLINAR: NÃO

PÚBLICO ALVO: ALUNOS – 8ª SÉRIE ENSINO FUNDAMENTAL

LOCALIZAÇÃO: COLÉGIO ESTADUAL SÃO VICENTE DE PAULA

AV. ROCHA POMBO, 550

APRESENTAÇÃO: A presente produção didática pedagógica partiu do pressuposto de que a História da Matemática surge como elemento motivador e gerador da matemática escolar, pois se apresenta com um fator bastante esclarecedor dos “porquês” matemáticos tão questionados pelos estudantes. Nas informações históricas estão plantadas as raízes cotidiana, escolar e científica do conhecimento matemático a ser construído.

Por intermédio desta produção didática, desenvolveremos o conteúdo Teorema de Pitágoras, que é uma importante ferramenta em matemática, pois através dele construímos e generalizamos diversas situações matemáticas. Estamos vivendo em um tempo complexo, de mudanças rápidas e profundas em todos os campos. Diante destas mudanças a matemática poderá dar sua contribuição à formação do cidadão, ao desenvolver metodologias que enfatizem a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade de enfrentar desafios. A história é uma fonte de informação para o ensino aprendizagem da Matemática, mostrando ao aluno uma matemática viva, dinâmica, construída ao longo da história da humanidade.

PALAVRAS-CHAVE: História da Matemática, Triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras.

1. Dados de Identificação

Professor PDE: Stella Maris Mardegan

Área PDE: Matemática

NRE: Paranavaí-PR

Escola de Implementação: Colégio Estadual São Vicente de Paula

Público Objeto de Intervenção: Alunos de 8ª séries do Ensino Fundamental

Professor Orientador IES: Raquel Polizeli

Município: Nova Esperança

2. Apresentação/Plano Norteador

Este trabalho é resultado do Programa de Desenvolvimento Educacional –

PDE, desenvolvido sob a forma de capacitação continuada dos professores da rede

pública de ensino fundamental e médio do Estado do Paraná. O formato dessa

produção Didático-Pedagógica é Unidade Didática, que é a elaboração que

desenvolve um tema, aprofundando-o de forma teórica e metodológica.

A presente produção didática foi elaborada, partindo do pressuposto de que a

História da Matemática surge como elemento motivador e gerador da matemática

escolar, pois se apresenta como um fator bastante esclarecedor dos “porquês”

matemáticos tão questionados pelos estudantes. Nas informações históricas estão

plantadas as raízes cotidianas, escolar e científica do conhecimento matemático a

ser construído.

Estamos vivendo em um tempo de mudanças rápidas e profundas no campo

científico, tecnológico, econômico, cultural, ético-político e educacional. Diante

dessas mudanças a matemática poderá dar sua contribuição à formação do cidadão,

ao desenvolver metodologias que enfatizem a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e

a autonomia advinda da confiança na própria capacidade de enfrentar desafios.

O tema desenvolvido nessa produção é: O Teorema de Pitágoras - Sob Uma

Visão Histórica. O público alvo dessa produção são os alunos de 8ª séries do ensino

fundamental.

A justificativa desse tema, é que trabalhando a história, estaremos mostrando

ao aluno uma matemática viva, dinâmica, construindo ao longo da história da

humanidade e que se desenvolve cada vez mais para atender as necessidades do

mundo moderno, vindo a contribuir para um olhar mais crítico dos alunos sobre o

objeto do conhecimento, desenvolvendo assim atitudes e valores favoráveis do

aluno, ao fazer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do

passado e do presente.

3. Procedimentos/Material Didáticos

• Conteúdos de Estudo

O conteúdo que vai ser abordado nesta Unidade Didática é o Teorema de

Pitágoras, que é considerado uma importante ferramenta em Matemática, pois

através dele construímos e generalizamos diversas situações matemáticas.

Desenvolveremos também o estudo de outros conteúdos que são essenciais para a

compreensão do teorema. Dentre eles, desenvolveremos em primeiro lugar a noção

de ângulo, dando maior ênfase ao conceito de ângulo reto, pois este caracteriza um

triângulo retângulo, que é a base para desenvolver o estudo do Teorema de

Pitágoras.

• Fundamentação Teórica dos Conteúdos

- Conceitos:

a) Geometria

Na antiguidade os egípcios, através da necessidade de se medir a terra,

deram uma explicação empírica para a geometria, que é “medida da terra”. Já os

gregos deram o início ao estudo sistematizado da Geometria, sobretudo com a obra

Os Elementos de Euclides, fazendo com que a geometria deixasse de ser

puramente experimental, por volta de 300 a. C.

b) Ângulos

Os gregos antigos desenvolveram a idéia de ângulo a partir de observações

de estrelas. Denomina-se ângulo a região do plano concebida pela abertura formada

por duas semirretas, que têm a mesma origem.

Em um ângulo podemos destacar:

- O ponto O, origem das semirretas, chamado vértice do ângulo.

- As semiretas OA e OB são os lados do ângulo.

- Indicamos o ângulo por: AÔB.

c) Medindo ângulos

Para medir ângulos, usaremos uma unidade que foi usada pela primeira vez

pelos gregos que é chamada de grau. O aparelho mais usado para medir a abertura

de um ângulo é o transferidor.

d) Classificação dos ângulos

De acordo com o valor das medidas de um ângulo, eles são agrupados em:

agudos, que são ângulos com medida menor que 90º; obtusos, ângulos com medida

maior que 90º e retos, que medem exatamente 90º.

- Ângulo reto, um ângulo especial

O ângulo reto surgiu com a prática de medição dos povos antigos, ao medir a

altura dos objetos, colocando uma vara em posição vertical em relação ao chão.

- Triângulo

Triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados e três

ângulos internos.

Os segmentos: são os lados e os três ângulos: CAB, ABC e BCA.

^ ^ ^

3.1 O Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo possui um ângulo reto (medida igual a 90º) e dois

ângulos agudos.

Por volta de 2.000 a.C., os babilônios já sabiam que qualquer triângulo cujos

lados fossem proporcionais a 3, 4 e 5, como por exemplo: (6, 8, 10), (9,12,15), (12,

16, 20)... eram triângulos retângulos.

Durante as enchentes que aconteciam no Egito, quando o Rio Nilo

transbordava, inundava os terrenos que se localizavam próximos às margens,

apagando as demarcações dos mesmos.

Os homens conhecidos, como estiradores de cordas, precisavam

constantemente marcar e remarcar seus terrenos, que geralmente eram

retangulares. Eles utilizavam uma corda com treze nós, e com ela formavam um

triângulo retângulo com lados que tinham respectivamente 3, 4, 5 nós. Com essa

técnica eles conseguiam formar quadrados.

Dessa forma, os egípcios conseguiam construir um ângulo reto, utilizando

uma corda com 13 nós e fixando uma estaca prendendo o 1º e 13º nó, depois

fixando uma estaca no 5º e outra no 8º nós, formando assim um triângulo retângulo.

O espaço entre cada nó era tomado como unidade de medida.

Os lados nos triângulos retângulos recebem nomes especiais: catetos e

hipotenusas.

3.2 A relação entre os lados do triângulo retângulo : o teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras foi a mais importante descoberta feita na Grécia, há

mais de dois mil anos por Pitágoras e seus discípulos.

A relação pitagórica não nasceu no tempo de Pitágoras, diversas civilizações

anteriores já utilizavam esta relação em construções, medições de terrenos, etc. Mas

foi no tempo de Pitágoras que a relação foi convenientemente demonstrada,

provando que essa relação não é válida apenas para um triângulo retângulo, mas

sim para todos.

Eis o enunciado do famoso Teorema de Pitágoras:

Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é

igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

• Ilustração do Teorema de Pitágoras

- Algebricamente

Fórmula do Teorema de Pitágoras algebricamente: a2 = b2 + c2

a

b

c Exemplo numérico: De acordo com a figura ao lado, temos: 52= 32+ 42

Essa fórmula simples é universal, resume tudo o que falamos sobre triângulos

retângulos e o Teorema de Pitágoras. A linguagem matemática é universal e em

todos os países do mundo símbolos matemáticos tem o mesmo significado.

• Aplicações do Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras tem diversas aplicações práticas nas diversas áreas

de atuação do homem, como por exemplo, na tesoura do telhado e no trabalho do

mestre de obras, para deixar os ângulos retos, mesmo sem conhecê-los.

A área de transportes é considerada muito importante para o

desenvolvimento de um país, o Teorema de Pitágoras esta presente nela também,

contribuindo na sua logística e no seu desenvolvimento cotidiano, no intuito de

dinamizar cada vez mais o setor.

Existem também muitas aplicações do Teorema de Pitágoras dentro da

própria matemática. Podemos citar o cálculo da diagonal de um quadrado e da altura

de um triângulo eqüilátero.

d2 = a2 + a2

d = diagonal do quadrado a = lado do quadrado

l = lado

Triângulo Equilátero h = altura

Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/mylinks/viewcat.php? cid=15&letter=T&min=30&orderby=titleA&show=10

l 2

4. Desenvolvimento das Atividades

As atividades desenvolvidas utilizando a história como recurso para a

aprendizagem matemática devem partir da participação efetiva do aluno na

construção do seu conhecimento em sala de aula. Os estudantes devem participar

da construção do seu conhecimento de forma ativa, reflexiva e crítica. Para que isso

aconteça o professor deve adotar a conduta de orientador das atividades.

A fonte de motivação desencadeada pela História da Matemática concretiza-

se no seu manipulativo em sala de aula e nos livros didáticos que concebem. Fosso

(1995, 1998, 200 e 2001); Miguel (1993 e 1996); Fauvel (1991); Fauvel e Maaen

(1997) e Sebastiani Ferreiro (1998).

Para Sérgio Lorenzato, material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao

processo de ensino-aprendizagem, portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora,

um filme, um livro, um quebra-cabeça, entre outros. Não podemos esquecer que o

uso do MD não substitui o professor; o mesmo, segundo Lorenzato, deve estar

orientando o aluno para que a aprendizagem seja significativa e não uma mera

manipulação ou uma atividade visual, devendo ocorrer discussões, socialização das

ideias aprendidas e logo após ocorre às necessidades de representação formal

(fórmulas, algoritmos, etc.).

Nos últimos séculos, muitos foram os educadores que ressaltaram a

importância do apoio visual ou visual-tátil como facilitador par a aprendizagem. Entre

eles podemos citar: Comenius (1650); Locke (1680); Rousseau, Pestalozzi e Froebel

(1800).

As atividades complementares serão trabalhadas e orientadas pelo professor.

Segundo Stemp (1976) é nessas atividades que os estudantes poderão exercitar

plenamente a sua capacidade de compreensão relacional e ver e viver

transdiciplinarmente a matemática, sob os aspectos cotidiano, escolar e científico.

Serão também desenvolvidas atividades em grupo para que os alunos

percebam as diferenças individuais que sempre ocorrerão e que, por isso, a

colaboração de todos se faz necessária, para a compreensão do assunto em estudo.

Uma das metodologias mais importantes no ensino da matemática é a

resolução de problemas, pois os mesmos desafiam o aluno a buscar soluções

criativas. Portanto, nenhum trabalho pode deixar de incluí-lo nas suas atividades

pedagógicas.

Da mesma forma não se pode esquecer as atividades individuais, que

também são de grande importância, haja vista que as mesmas possibilitam que o

aluno faça uma generalização geral que tudo que conseguiu aprender.

Faremos uso também da tecnologia durante a implementação do projeto,

como TV Pen Drive, Data Show e laboratório de informática.

Serão aplicadas 7 atividades no total.

- ATIVIDADE 1

Apresentação do filme: A história do número 1.

(Vídeo disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=1yVUNFTOp>.

Objetivo: Resgatar o processo histórico do conhecimento, para que o aluno

possa compreender o significado matemático da criação dos números e sua

importância para o desenvolvimento da humanidade.

Encaminhamento da Atividade: Após o término do filme, será dado um

espaço para que ocorram algumas discussões e registros escritos acerca do filme,

através de algumas indagações:

a) Quem eram os povos sumérios? Por que eles precisavam dos números?

b) Quais os povos que criaram o cúbito? Por quê?

c) O que é o sistema binário? Onde ele é utilizado?

d) Quais os povos que criaram os algarismos para facilitar a escrita dos

números?

e) O que afirmava Pitágoras quanto à formação do mundo?

f) Você achou interessante saber um pouco sobre a história da matemática?

O que mais lhe chamou atenção a atenção no filme?

- ATIVIDADE 2

Noções de Ângulo

Objetivos: Lembrar a noção de ângulo, exercitar a medição através do

transferidor, revisar a classificação dos ângulos e discutir alguns aspectos históricos

da matemática no que diz respeito à noção de ângulo.

1) Analise as figuras e veja quantas mudanças de direção ocorreram em cada

uma delas:

Neste momento será discutido que em cada mudança de direção ocorrerá a

formação de um ângulo. Deverão ser feitas atividades para que ocorra a medição de

ângulos usando o transferidor, ocorrendo também a escrita dos ângulos usando a

linguagem matemática.

Serão discutidos aspectos históricos que poderão ser desenvolvidos através

de um texto produzido pelo professor ou pesquisa feita pelos alunos.

Peça aos alunos que separem os ângulos medidos em três grupos: agudos,

obtusos e retos, trabalhando assim a classificação dos ângulos.

Falar sobre a importância do ângulo reto nas medições dos antigos.

Desafio: Peça que os alunos façam uma lista de objetos que eles observaram

no caminho para casa que lembrem ângulos.

Material utilizado: transferidor e régua.

Esta atividade foi baseada no livro: História da Matemática em Atividades

Didáticas, citado nas referências (pág. 128, 129 e 130).

2) Usando o transferidor, determine a medida de cada um dos ângulos dados:

3) Para chegar à escola, Carlos realiza algumas mudanças de direção como

mostra a figura a seguir:

Determine as mudanças de direção que formam ângulos retos que estão

representados nos vértices:

(A) B e G (B) D e F (C) B e E (D) E e G

Fonte: BRASIL, Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação – Prova Brasil: ensino fundamental, Matrizes da referência. Tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; INEP, 2008. 193 p.

- ATIVIDADE 3

Construção de um triângulo retângulo, usando barbante como os estiradores

de cordas no Antigo Egito.

Objetivo: Mostrar a origem do triângulo retângulo para que o aluno perceba

que ele não nasceu simplesmente dentro das páginas de um livro e sim que tem um

porquê a sua criação. Questionar os alunos sobre a importância do triângulo

retângulo para a humanidade.

Material: 2 metros de barbante, 3 estacas de madeira e régua.

Essa atividade será realizada ao ar livre, onde haja terra, para fixar as

estacas, ou pode ser realizada em sala fixando as estacas sobre uma prancha de

isopor.

Serão distribuídos aos grupos pedaços de barbante de aproximadamente

2metros e uma régua. Em seguida, eles receberão as seguintes orientações: Meça

15 cm a partir do 1º nó e faça treze nós. Com a ajuda de estacas, prenda no chão

juntos o 1º e 13º nós e com as outras estacas prenda o 5º e 8º nós.

Neste momento serão discutidos com os alunos a história do triângulo

retângulo e feitas algumas argumentações.

a) Quantas unidades têm cada lado do triângulo construído?

b) Que nome recebe este triângulo? Por que ele recebe esse nome?

c) O que você sabe sobre o ângulo oposto ao lado de 5 unidades?

d) Você saberia citar algumas aplicações do triângulo retângulo nos dias de

hoje?

e) Achou importante conhecer a história do triângulo retângulo? Por quê?

- ATIVIDADE 4

Pesquisa no laboratório de informática sobre Pitágoras.

Objetivo: Familiarização dos alunos com o assunto em questão e

desenvolver o gosto pela pesquisa.

Os alunos após a pesquisa individual serão divididos em grupos de 4 alunos,

onde discutirão o que pesquisaram e farão um relato aos colegas;

Fonte para pesquisa: Google Acadêmico e www.brasilescola.com.br.

- ATIVIDADE 5

Construção de um quebra-cabeça para demonstrar o Teorema de Pitágoras.

Objetivo: Através dos jogos as ideias podem ser exploradas de forma mais

significativa e interessante, os alunos se sintam mais à vontade, livre das

imposições, superando assim os obstáculos cognitivos e emocionais.

Material: EVA, esquadro, canetinha, lápis de cor e tesoura.

Procedimento: Os alunos serão divididos em grupos com no máximo quatro

participantes e farão o desenho do quebra-cabeça em EVA e em seguida

desenvolverão o desafio sobre a atividade, com a orientação do professor.

Desafio: Tente, junto com seu grupo, descrever o que vocês concluíram com

a justaposição das peças que foram formadas nos dois quadrados menores e

encaixadas no quadrado maior.

Fonte: IMENES, Luiz Marcio. Descobrindo o Teorema de Pitágoras –

Vivendo a Matemática. Scipione: São Paulo.

- ATIVIDADE 6

Descobrindo o Teorema de Pitágoras através das informações históricas.

Objetivo: Formular o Teorema de Pitágoras a partir de informações históricas

sobre sua construção; demonstrar o Teorema de Pitágoras algebricamente e

interpretar o mesmo e suas aplicações.

Material: EVA, esquadro, lápis de cor e tesoura.

Usando EVA, os alunos construirão a representação do Teorema de

Pitágoras, que talvez seja a usada pelos pitagóricos para fazer a dedução do

mesmo.

Fonte: IMENES, Luiz Marcio. Descobrindo o Teorema de Pitágoras –

Vivendo a Matemática. Scipione: São Paulo.

Terminada a construção, com a orientação do professor, os alunos farão a

demonstração do Teorema, utilizando a linguagem algébrica, chegando assim, a

mais importante propriedade dos triângulos retângulos, que é o famoso Teorema de

Pitágoras.

- ATIVIDADE 7

Aplicando o Teorema de Pitágoras na resolução de problemas.

Objetivo: Desenvolver a liberdade do aluno em resolução de problemas,

utilizando o Teorema de Pitágoras.

Situação 1: Durante um vendaval na cidade de Cascavel, ocorreu a quebra

de uma árvore de 9m de altura, caindo sobre um carro. A parte do tronco que restou

em pré forma um ângulo reto com o chão, a ponta da parte quebrada está a 3m da

base da árvore. Baseando-se nas informações, qual a altura do tronco que ficou em

pé?

Situação 2: Hélio e Ana partiram da casa dela com destino à escola. Ele foi

direto da casa para a escola e ela passou pelo correio e depois seguiu para a

escola, como mostra a figura a seguir. De acordo com a figura a baixo, à distância

percorrida por Ana foi maior que a percorrida por Hélio em quantos metros?

Fonte: BRASIL, Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação – Prova Brasil: ensino fundamental, Matrizes da referência. Tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; INEP, 2008. 193 p.

Situação 3: Com a ajuda de um mapa rodoviário, representado pela figura

abaixo, um motorista de uma empresa de entrega de colchões precisa descobrir a

distancia entre duas cidades X e Y, pois dependendo da distância precisa abastecer

no caminho, para não correr o risco de ficar sem combustível durante a viagem,

atrasando as entregas. Calcule a distância entre as duas cidades.

Situação 4: Dois barcos partiram em sentidos diferentes: O barco”Brisa” vai

para o norte e o barco “Vendaval” vai para o leste. Os barcos tem respectivamente

velocidades constantes de 30km/h e 40km/h. Qual será a distância entre eles após

06 horas?

Situação 5: Observe o desenho e responda:

- Qual a medida do segmento AB?

- Qual o perímetro da figura?

- Qual a medida Y da diagonal AD?

4. Avaliação

Avaliar não é simplesmente atribuir notas, promover ou reter o aluno, mas

deve ser parte integrante do processo ensino-aprendizagem e também um

instrumento de investigação da prática pedagógica, ocorrendo assim uma reflexão

sobre a ação dessa prática.

Destarte, avaliar é acompanhar o desempenho no presente, orientar as

possibilidades de desempenho, orientar as possibilidades de desempenho futuro e

mudar as práticas avaliativas insuficientes, buscando novos caminhos para superar

problemas e fazer surgir novas práticas educativas. (LIMA; 2002, p. 31)

Em relação a dimensão pedagógica, a avaliação deve fornecer aos

professores as informações sobre como está ocorrendo a aprendizagem, assim é

fundamental que os resultados expressos pelos diversos instrumentos de avaliação

forneçam informações sobre as competências que cada aluno desenvolveu e a

linguagem matemática que utilizou para comunicar adequadamente suas idéias.

Os instrumentos de avaliação devem também contemplar as explicações,

justificativas e argumentações orais, porque muitas vezes revelam aspectos do

raciocínio que não ficam evidentes, mas avaliações escritas.

Ao observar o trabalho individual do aluno o professor obtém as pistas do que

ele não está compreendendo, analisa suas tentativas de chegar a solução do

problema e podendo assim planejar a intervenção adequada para auxiliar o aluno a

refazer o caminho de maneira correta.

É na sala de aula, através de observações que o professor determina os

critérios, as estratégias e os instrumentos de avaliação, para que ocorram os

avanços e perceba-se as dificuldades, ocorrendo assim as intervenções no processo

ensino-aprendizagem quando necessárias.

A concepção de avaliação segundo as diretrizes curriculares (2002, p. 33),

não deve ser uma escolha individual do professor, mas deve envolver toda a

comunidade escolar, para que se concretize um trabalho pedagógico relevante para

a formação dos alunos.

As noções que o estudante traz: que são decorrentes da sua vivência devem

ser consideradas pelo professor, de modo a relacioná-la com os novos

conhecimentos abordados nas aulas de matemática. Só assim será possível que as

práticas avaliativas tenham suas verdadeiras funções, que é o ensino e a

aprendizagem.

5. Orientações/Recomendações

O mais importante quando o professor trabalha com atividades envolvendo a

história, é desenvolver no estudante o espírito explorador, indagador e ao mesmo

tempo de análise e síntese, dessa maneira, eles alcançarão um crescimento

intelectual mais significativo. As atividades devem ser bem atrativas e desafiadoras

de modo a provocar a curiosidade do estudante.

O professor, ao usar a história da matemática como um recurso pedagógico

adicional, deverá fazê-lo de maneira consistente, ou seja, fazer uso de fontes

confiáveis e não recorrer apenas a sites da Web ou apenas nas poucas informações

trazidas nos livros didáticos adotados.

Referências

BOYER, Carl. História da Matemática . São Paulo: Edigard Blucher, 1996. BRITO, Arlete de Jesus; CARVALHO, Dione Lucchesi. Utilizando a História no Ensino da Geometria . In: MIGUEL, Antonio. et. al. História da Matemática em Atividades Didáticas. 2 ed. rev. São Paulo: Livrarias da Física, 2009. BRASIL, Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação – Prova Brasil: ensino fundamental, Matrizes da referência. Tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; INEP, 2008. 193 p. CÂNDIDO, Suzana Laino. Formas num Mundo de Formas . 2 ed. São Paulo: Moderna, 1997. EYES, Howard. Introdução a História da Matemática . Tradução Higyno H. Domingues. Campinas-SP: Unicamp, 2004. GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática Nova . José Ruy Giovanni, Benedireot Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. Coleção: A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 1998.

IMENES, Luiz Márcio. Vivendo a Matemática – Descobrindo o Teorema de Pitágoras . Scipione, São Paulo, 1983. MENDES, Iran Abreu. Atividades Históricas para o Ensino da Trigonometri a. In MIGUEL, Antonio. et al. História da Matemática em Atividades Didáticas. 2 ed. rev. São Paulo: Livrarias da Física, 2009. MIGUEL, Antonio; BRITO, Arlete de Jesus; CARVALHO, Dione Lucchesi. et al. História da Matemática em Atividades Didáticas . . 2 ed. rev. São Paulo: Livrarias da Física, 2009. PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação . Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática. 2008. TOSSATO, Cláudia Miriam. Ideias e Relações . 8ª serie: livro do professor. Cláudia Miriana Tossato. Edilaine do Pilar F. Piracchi. Violeta Maria Estephan. Curitiba: Nova Didática, 2002.