File

GEOMETRI ANALITIK RUANG

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012

Dr. Susanto, MPd

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan kehadirat Alloh SWT atas segala rahmat, taufiq,

dan hidayah-Nya yang telah dilimpahkan, sehingga terselesaikannya buku

pegangan kuliah untuk mata kuliah Geometri Analitik Ruang. Mata Kuliah ini

memuat materi tentang garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan

berderajad dua.

Selanjutnya penulis menyadari bahwa buku ini masih belum sempurna;

untuk itu dimohon tanggapan baik berupa kritik dan saran kepada pembaca demi

kebaikan buku pegangan kuliah ini. Akhirnya mudah-mudahan buku ini

bermanfaat bagi pembaca.

Penulis

iii

DAFTAR ISI

Hal.

HALAMAN JUDUL .. i

KATA PENGANTAR . ii

DAFTAR ISI .. iii

BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA . 1

Titik dalam Ruang Dimensi Tiga 1

Jarak Dua Titik .. 3

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga . 5

Hasil Kali Silang Dua Vektor . 9

BAB II GARIS LURUS .. 12

Letak Garis Lurus Terhadap Bidang Datar 14

Jarak Dua Garis Bersilangan .. 19

BAB III PERSAMAAN BOLA ............ 21

Bidang Singgung Pada Bola . 24

BAB IV LUASAN PUTARAN ..... 27

Suatu Ellips di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X 27

Suatu Parabola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X. 29

Suatu Hiperbola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X........ 30

Suatu Garis Lurus di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X 32

Suatu Lingkaran di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X....... 34

Luasan Putaran Dengan Sumbu Putar Garis Sembarang 35

BAB IV LUASAN BERDERAJAT DUA .. 39

DAFTAR KEPUSTAKAAN . 56

1

BAB I

TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

1.1 Titik Dalam Ruang Dimensi Tiga

Ada beberapa cara menentukan letak suatu titik dalam ruang dimensi tiga.

Cara-cara tersebut didasarkan pada penetapan patokan mula yang digunakan.

Dalam tulisan ini dalam menentukan letak suatu titik menggunakan sistem

koordinat kartesius siku-siku. Patokan mula yang diambil dalam koordinat

kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang

dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Meskipun letak garis-garis yang

saling tegak lurus ini dapat diambil sesuka hati kita, namun diambil kesepakatan

sebagai berikut: sumbu y diambil mendatar, arah ke kanan merupakan arah

positif dan ke kiri merupakan arah negatif. Sumbu y dan sumbu z terletak pada

kertas kita; sedangkan sumbu x tegak lurus pada kertas dan melalui titik potong

sumbu y dan sumbu z. Sumbu x yang menuju kita sebagai arah positif dan arah

lawannya sebagai arah negatif. Pengaturan sistem seperti ini dinamakan sistem

tangan kanan. Hal ini karena jika empat jari tangan kanan dikepalkan sehingga

melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif dan ibu jari akan

mengarah ke sumbu z positif. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang,

yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang

menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, ..., VIII. Oktan-oktan I, II, III,

dan IV di atas bidang xy, dan lainnya di bawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII,

dan VIII berturut-turut tepat di bawah oktan-oktan I, II, III, dan IV.

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat

yz, xz, dan xy, serta dilihat apakah arah positif atau negatif. Oleh karena itu suatu

titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P(x, y, z).

Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x tau absis. Pasangan kedua, yaitu y

disebut koordinat y atau ordinat, dan pasangan ketiga disebut koordinat z atau

2

aplikat. Titik-titik P(2, 3, 4) dan Q(4, -2, 3) berturut-turut terletak dalam oktan I

dan II. Titik O(0, 0, 0) disebut titik asal. Setiap pada sumbu x, ordinat dan

aplikatnya nol, sedang suatu titik yang terletak pada bidang xy, aplikatnya nol.

Selanjutnya untuk menggambar sebuah titik, kita tidak perlu menggambar

balok, tetapi cukup dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis,

ordinat, dan aplikatnya. Sebagai contoh perhatikan koordinat T(3, 5, 4) sebagai

berikut.

Setiap titik yang aplikatnya positif terletak di atas bidang xy dan jika aplikatnya

negatif terletak di bawah bidang xy. Demikian juga untuk bidang-bidang yang lain

(xz dan yz).

Contoh 1.1. Titik A(1, -2,-4) terletak di oktan VI

Titik B(3, 4, -2) terletak di oktan V

Titik C(-2, -3, -5) terletak di oktan VII

Titik D(-4, -1, 6) terletak di oktan III

Gambar 1.1

Y

Z

X

T(3,5,4)

3

1.2 Jarak Dua Titik

Perhatikan gambar 1.2 dibawah ini. Akan ditentukan jarak titik asal O ke

titik P( .BPdan ,AB ,OA ).,, 111111 zyxzyx

Perhatikan OAB yang siku-siku di A, maka 2

12

1222 yxABOAOB

Selanjutnya pada OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa 222 BPOBOP

21

21

21

2 zyxOP

Jarak titik O ke titik P( 111 ,, zyx ).

Selanjutnya akan ditentukan rumus jarak dua titik sebarang, misalnya titik-

titik P( 111 ,, zyx ) dan Q( 222 ,, zyx ). Perhatkan gambar 1.3 di bawah ini.

Y

Z

X

P( 111 ,, zyx )

Gambar 1.2

21

21

21 zyxOP

P(x1, y1, z1)

Q(x2, y2, z2)

Z

4

12 xxAB

12 yyBC

12 zzDQ

Segitiga ABC siku-siku di B, maka 222 BCABAC

212

212

2 yyxxAC

ACPD

Segitiga PDQ siku-siku di D, maka 222 DQPDPQ

2PQ 212

212

212 zzyyxx

212

212

212 zzyyxxPQ

Rumus diatas adalah rumus jarak antara P( 111 ,, zyx ) dan Q( 222 ,, zyx ).

Contoh 1.2. Tentukan jarak antara titik-titik P(1, -2, 3) dan Q(5, 5, 7)

Jawab: 2122

122

12 zzyyxxPQ

222 )37()25()15( PQ

164916 PQ

9PQ

A

D

C B

Gambar 1.3

Y

X

5

1.3 Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

Dalam ruang dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen,

yaitu absis, ordinat, dan aplikat. Misalnya titik D( 111 ,, zyx ); vektor posisi terhadap

titik O dari D ini adalah 111 ,, zyxd = kzjyix 111 .

Vektor-vektor basis kji ,, berturut-turut adalah vektor-vektor satuan yang searah

dengan sumbu-sumbu x positif, y positif, dan z positif. Selanjutnya semua definisi

dan teorema vektor pada bidang sama dengan definisi dan teorema vektor dalam

ruang. Dalam bahasan ini hanya diberikan contoh-contoh untuk vektor dalam

ruang.

Contoh 1.3. Jika 4,2,3a dan 5,1,2b , maka

(1) 2a+ 3b = 2 4,2,3 = 3 5,1,2

= 7,7,0

(2) 5a 2b = 30,8,19

Untuk rumus perbandingan berlaku bahwa jika 111 ,, zyxa adalah vektor

posisi titik A, dan 222 ,, zyxb adalah vektor posisi titik B, serta titik C terletak

pada ruas garis AB sedemikian hingga nmCBAC :: , maka vektor posisi titik C

adalah

nm

bmanc

Apabila vektor posisi titik C adalah ccc zyxc ,, , maka diperoleh hubungan

nm

zyxmzyxnzyx ccc

222111

,,,,,,

212121 ,,1,, mznzmynymxnx

nmzyx ccc

nm

mznznm

mynynm

mxnxzyx ccc

212121 ,,,,

6

Jadi nm

mznzznm

mynyynm

mxnxx ccc

212121 ;;

Contoh 1.4. Segitiga OAB dengan O titik asal, A(4, -2, 1) dan B(6, -3, -11). Titik D

terletak pada sisi AB sedemikian hingga 2:3: DBAD .

Tentukan koordinat titik D.

Jawab: Misalkan ),,( DDD zyxD , maka

515

236.34.2

Dx

532

23)3.(3)2.(2

Dy

516

23)11.(31.2

Dz

Jadi

516,

532,

515D .

Apabila 321 ,, aaaa , maka panjang vektor a yang ditulis dengan a adalah

23

22

21 aaaa

Jika 321 ,, aaaa adalah vektor posisi titik A dan 321 ,, bbbb adalah vektor

posisi titik B, maka

AB ab

321 ,, bbb - 321 ,, aaa

332211 ,, ababab

AB 2332

222

11 )()()( ababab

Jika 321321 ,,dan ,, vvvvuuuu maka perkalian titiknya didefinisikan sama

dengan pada vektor di bidang, yaitu:

0dengan cosvuvu

7

Dan dengan mengingat 1 0, ,0kdan ,0 1, 0,j ,0 0, ,1i , maka mudah

dimengerti bahwa:

1i

dan ,0

kkjjikikjji

Sehingga dapat diturunkan sebagai berikut:

vu 321321 ,, . ,, vvvuuu

vu 332211 vuvuvu dan hasil kali dua vektor ini berupa skalar.

Selanjutnya jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama

dengan nol; sebaliknya jika hasil kali titik dari dua vektor yang bukan vektor nol

sama dengan nol, maka dua vektor tersebut saling tegak lurus. Hal ini dapat ditulis

sebagai berikut:

0vatau 0uatau 0 vuvu

Contoh 1.5. Diketahui vektor-vektor

4- 1, 2,cdan ,5 3,- ,1b ,1 2,- 3,a . Tunjukkan bahwa

ketiga vektor ini dapat merupakan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Jawab: Untuk menunjukkan bahwa ketiga vektor membentuk suatu

segitiga, ada dua pertimbangan, yaitu: (1) jumlah ketiga vektor

sama dengan vektor nol; atau (2) salah satu vektornya sama

dengan jumlah dua vektor lainnya.

Mengingat bahwa cba . Maka ketiga vektor membentuk

segitiga. Selanjutnya ditunjukkan bahwasegitiga tersebut adalah

segitiga siku-siku.

Karena ca = 3.2 + (-2).1 + 1.(-4) = 0, maka ca , sehingga

segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor

321321 ,,dan ,, vvvvuuuu yaitu:

vuv

u cos

8

atau

23

22

21

23

22

21

332211u cosvvvuuu

vuvuv

adalah sudut yang dibentuk oleh vdan u

Contoh 1.6. Diketahui 2 2, -1,vdan 1- 3, 2,u .

Nyatakan u sebagai jumlah suatu vektor yang sejajar v dan vektor

yang tegak lurus pada v .

Jawab: Gambar 1.4 berikut ini memberikan ilustrasi dari ketentuan-

ketentuan dalam soal dengan mengambil vva bdan // .

v pada u proyeksiadalah a , maka

vvua

322 2, -1,

311- 3, 2, a

vva

32

= 2 2, -1,92

94 ,

94 ,

92

a

aub - 1- 3, 2, 94 ,

94 ,

92

913- ,

923 ,

920

b

Untuk memeriksa kebenaran perhitungan ini, tunjukkan bahwa a tegak lurus b ,

yaitu 0ba .

v b

a

u

Gambar 1.4

9

1.4 Hasil Kali Silang Dua Vektor

Perhatikan gambar 1.5 berikut ini.

Diketahui kajaiaa 321 dan kbjbibb 321 serta adalah sudut yang

dibentuk oleh a dan b dengan 0 . Hasil kali silang dari a dan b ditulis a

b dibaca a silang b didefinisikan sebagai berikut:

a b = uba sin

dengan u adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan a dan b dan mengikuti

aturan pada sistem tangan kanan.

Memperhatikan definisi tersebut, karena u adalah vektor satuan, maka

a b = sinba

Karena arah u ditentukan dengan aturan pada sistem aturan tangan kanan, maka

dapat disimpulkan bahwa:

b a = )(.sin uab

= - uba .sin

= -( a b )

Sehingga diperoleh hubungan bahwa:

b a = -( a b ) (sifat anti komutatif)

Dari definisi di atas jika a dan b sejajar, yaitu = 0, maka

Gambar 1.5

O

b

a

ba

10

a b = uba sin

a b = 0

Maka dapat disimpulkan bahwa dua vektor yang tidak nol adalah sejajar jika dan

hanya jika hasil kali silangnya sama dengan nol.

Hasil kali silang vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan

vektor, yaitu: )()()( cabacba

)()())( cbcacba (buktikan sebagai latihan)

Selanjutnya akan diperoleh hasilkali silang untuk vektor-vektor satuan kdan ,j ,i ,

dengan menerapkan definisi hasil kali silang di atas sebagai berikut.

i j = kji .2

sin

i j = k

Dengan cara yang sama diperoleh,

jikikj

jki

ijkkij

0

00

kkjj

ii

Sekarang akan dicari hasil kali silang dari

kajaiaa 321 dan kbjbibb 321

a b = )( 321 kajaia )( 321 kbjbib

= )( 321 kajaia ib1 )( 321 kajaia jb2 )( 321 kajaia kb3

= 000 323123211312 ibajbaibakbajbakba

= )()()( 122113312332 babakbabajbabai

a b = 21

21

31

31

32

32

bbaa

kbbaa

jbbaa

i

a b =

321

321

bbbaaakji

11

Dengan mengingat kembali cara menghitung determinan dengan menggunakan

kofaktor-kofaktor baris pertama.

Selanjutnya dengan mengingat sifat determinan bahwa apabila dua baris

suatu determinan ditukarkan maka determinan yang lainnya negatif dari nilai

determinan semula.

b a =

321

321

aaabbbkji

= -

321

321

bbbaaakji

= -( a b ) (bukti sifat anti komutatif)

Contoh 1.7. Diketahui 1 4, ,2 ,1- 2,- ,1 ba

Hitunglah ; ba ; aba . a bb

Jawab: a b = 142121

kji =

1412

i -1211

j +

4221

k

= kji 02 ji 2

aba = ( ji 2 ) ( 0)2 kji

0)2()42( jikjibab

12

BAB II PERSAMAAN GARIS LURUS

Pada gambar dibawah ini l adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dan

sejajar dengan vektor .kcjbiav Untuk menentukan persamaan garis l,

diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis l, maka vPPo // dan vtPPo dengan t

bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O adalah

oooooo rrPPmakazyxrdanzyxr ,,),, dan karena ,vtPPo maka

vtrr o

vtrr o

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi

persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan

tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar

vektor v = adalah vtrr o

Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan vektor garis l

Atau

Z

r0 v

P0

r

P

Y

X

13

cbatzyxzyx ooo ,,,,,,

tcztbytaxzyx ooo ,,,,

tczztbyytaxx ooo ;;

Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan parametrik (kanonik) dari garis l.

Apabila parameter t dari persamaan parametrik ini dihilangkan, maka diperoleh

czz

byy

axx ooo . Selanjutnya disebut persamaan simetrik garis l dengan

bilangan arah a, b, c dan melalui titik (xo, yo, zo).

Persamaan parametrik tersebut terdiri dari dua persamaan yaitu

czz

byydan

byy

axx oooo

Contoh

Tentukan persamaan simetrik dari garis potong bidang-bidang

2x y 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28.

Jawab

Dari dua persamaan bidang tersebut jika dihilangkan x, diperoleh y + 2z = 8. Jika

dihilangkan y, maka diperoleh x = 23

z 3. Selanjutnya dari dua persamaan ini

dapat disusun persamaan simetriknya, yaitu

zxzy

23

3,28

atauzyx

28

23

3

248

33 zyx

.

14

Selanjutnya dapat dicari persamaan garis melalui dua titik. Misalkan titik A(x1, y1,

z1) dan B(x2, y2, z2). Vektor-vektor posisi titik-titik A dan B masing-masing adalah

a = dan b =

15

Misalkan garis l dan bidang tersebut berpotongan, maka koordinat titik

potongnya dicari dengan menyelesaikan x, y, dan z dari tiga persamaan tersebut.

Salah satu cara menyelesaikannya dengan memisalkan bahwa

czz

byy

axx 111 = t

x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct disubstitusikan pada persamaan bidang, maka

diperoleh

A(x1 + at) + B(y1 + bt) + C(z1 + ct) + D = 0

(Aa + Bb + Cc)t + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0

Apabila Aa + Bb + Cc 0, maka akan diperoleh nilai t, sehingga koordinat titik

potong garis dan bidang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai t kedalam

persamaan garis yang memuat t.

Jika Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 dan Aa + Bb + Cc 0 maka titik potong garis dan bidang

adalah (x1, y1, z1).

Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D 0, maka garis dan bidang akan

sejajar.

Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0, maka garis terletak pada bidang

Apakah syarat yang harus dipenuhi agar garis l tegaklurus pada bidang ?

Garis l tegaklurus bidang , apabila vektor arah garis l sejajar dengan vektor

normal bidang . Vektor arah garis l adalah m = dan vektor normal

bidang adalah n = . Maka garis l tegak lurus bidang ,

apabila m = kn dengan k suatu bilangan real.

Contoh

Carilah persamaan bidang yang memuat garis x = 1 + 2t, y = -1 + 3t, z = 4 + t dan

titik (1, -1, 5).

16

Jawab

Ambil dua titik pada garis dengan cara memberi harga t, misal t = 0 dan t = 1 akan

diperoleh titik-titik (1, -1, 4) dan (3, 2, 5). Selanjutnya persamaan bidang yang

dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik-titik (1, -1, 5), (1, -1, 4), dan (3,

2, 5) yaitu

0

1523141115111

zyx

3x 2y 5 = 0

Penyelesaian cara lain yaitu dengan menggunakan vektor arah garis, yaitu m = dan sebuah titik (1, -1, 4) pada garis, serta titik (1, -1, 5) yang diketahui. Dua

titik ini menentukan vektor u = .

Vektor normal bidang yang dicari adalah

m x u = jikji

23100132

Maka persamaan bidang yang dicari adalah

3(x 1) 2(y + 1) = 0

3x 2y 5 = 0

Letak dua garis lurus dalam ruang dimensi tiga. Dua buah garis lurus dalam ruang

mungkin akan berpotongan, sejajar, berimpit, atau bersilangan.

Misalkan diketahui dua garis berikut ini

1

1

1

1

1

1

czz

byy

axx

dan 2

2

2

2

2

2

czz

byy

axx

sudut antara dua garis tersebut sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor-

vektor arahnya yaitu m1 = dan m2 = .

Jika adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut, maka

17

Cos = 2

22

22

22

12

12

1

212121

cbacba

ccbbaa

Dua garis akan sejajar apabila vektor-vektor arahnya sejajar, yaitu m1 = tm2

dengan t suatu bilangan real. Sehingga bentuknya menjadi = t, atau

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

.

Dua garis saling tegak lurus apabila vektor-vektor arahnya saling tegak lurus, yaitu

m1.m2 = 0

. = 0

a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

Dua garis akan berpotongan apabila ada penyelesaian untuk x, y, dan z dari empat

persamaan bidang yang menyatakan dua persamaan garis tersebut.

Contoh

Tunjukkan bahwa garis-garis

62

11

12

24

32

41

zyxdanzyx

berpotongan, dan carilah persamaan bidang yang memuat dua garis tersebut.

Jawab

Dimisalkan bahwa:

kzyxdantzyx

62

11

12

24

32

41

Atau x = 1 4t y = 2 + 3t z = -2 + 6k

X = 2 k y = 1 + k z = -2 + 6k

Maka diperoleh persamaan:

1 4t = 2 k, 2 + 3t = 1 + k, dan 4 2t = -2 + 6k

Dari k = 4t + 1, k = 3t + 1 diperoleh t = 0 dan k = 1 yang memenuhi

persamaan 4 2t = -2 + 6k.

18

Jadi titik potongnya adalah (1, 2, 4).

Untuk mencari persamaan bidang yang memuat dua garis tersebut

ditentukan vektor normalnya dulu, yaitu dengan perkalian silang dari vektor-

vektor arah garis, yaitu 6,1,12,3,4 21 mdanm

Vektor normal bidangnya adalah 61123421

kjimxmn

kjin 2620

Jadi persamaan bidang yang dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik (1,

2, 4) dan tegak lurus n yaitu:

20(x 1) + 26(y 2) (z 4) = 0

20x + 26y z = 68.

Telah diketahui bahwa garis dengan persamaan c

zzb

yya

xx 111 ,

mempunyai bilangan-bilangan arah a, b, dan c atau mempunyai vektor arah m =

. Selanjutnya akan ditentukan bilangan-bilangan arah dari garis tersebut

ke dalam persamaan simetrik (kanonik), misalnya melenyapkan x, kemudian

melenyapkan y dari dua persamaan bidang tersebut.

Dengan melenyapkan x didapat

(A2B1 A1B2)y + (a2C1 A1C2)z + (a2D1 A1D2) = 0

Dengan melenyapkan y diperoleh

(A1B2 A2B1)x + (B2C1 B1C2)z + (B2D1 B1D2) = 0

Dari dua persamaan tersebut diperoleh

12212112

2112

1221

1221

1221

1221

BABAz

CACABABADADAy

CBCBBABADBDBx

Terlihat bahwa bilangan-bilangan arah (vektor arah) dari garis tersebut adalah

m =

19

Atau dalam bentuk determinan menjadi

21

21

21

21

21

21 ,,BBAA

CCAA

CCBB

m

Jarak Dua Garis Bersilangan

Misalkan diketahui dua garis g1 dan g2, jarak garis g1 dan g2 ditentukan

dengan cara sebagai berikut. Dibuat bidang melalui garis g2 dan sejajar g1. Pilih

suatu titik P pada garis g1. Maka jarak garis g1 dan g2 sama dengan jarak titik P ke

bidang .

Contoh

Berapakah jarak garis g1 : 7x 4z 38 = 0, 7y 5z + 37 = 0 dan

garis g2 : 7x + 8z 16 = 0, 7y 3z = 15

Jawab

Persamaan bidang yang melalui garis g1 adalah anggota berkas bidang

(7x + 4z 38) + t(7y 5z + 37) = 0. Atau 7x + 7ty + (4 5t)z 38 + 37t = 0.

Vektor normal bidang ini adalah n = .

Sedangkan vektor arah garis g2 adalah

.49,21,567007

,30

87,

3780

m

Bidang yang melalui g1 sejajar g2, maka harus dipenuhi

0., nmyaitunm

. = 0

-8 + 3t + 4 5t = 0

t = -2

Jadi bidang yang melalui g1 dan sejajar g2 adalah 7x 14y + 14z 112 = 0 yang

disederhanakan menjadi x 2y + 2z 16 = 0.

Pilih titik P(0, 3, 2) pada garis g2, maka jarak P ke bidang x 2y + 2z 16 = 0 adalah

20

d = 6441

162.23.20

Jadi jarak garis-garis g1 dan g2 adalah 6.

Soal-soal

1. Carilah persamaan parameter dan persamaan simetrik garis lurus yang melalui

titik-titik (1, -2, 3) dan (4, 5, 6).

2. Carilah persamaan simetrik garis potong bidang-bidang x + y z = 1 dan 3x

3y + 7z = 9, serta tentukan vektor arahnya.

3. Carilah persamaan simetrik garis yang melalui titik (4, 0, 6) dan tegak lurus

pada bidang x 5y + 2z = 10.

4. Carilah persamaan garis yang melalui titik (-5, 7, -2) dan tegak lurus pada

vektor-vektor dan .

5. Carilah persamaan garis yang melalui titik (5, -3, 4) dan memotong tegak lurus

sb x.

6. Carilah persamaan garis yang melalui titik (2, -4, 5) yang sejajar dengan bidang

3x + y 2z = 5 dan tegak lurus pada garis g: 11

35

28

zyx

7. Carilah persamaan bidang yang memuat garis-garis

g1 : x = -2 + 2t, y = 1 + 4t, z = 2 t dan

g2 : x = 2 2t, y = 3 4t, z = 1 + t

8. Carilah persamaan bidang yang memuat garis g1 : x = 3t, y = 1 + t, z = 2t dan

sejajar dengan garis g2 : 2x y + z = 0, y + z + 1 = 0.

21

BAB III PERSAMAAN BOLA

Bola dengan pusat titik O (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh

dengan cara mengambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola. Sehingga

).,,( zyxrOP

Pada gambar diatas

222 zyxrOP jari-jarinya r = r

r2 = x2 + y2 + z2.

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada bola

berlaku x2 + y2 + z2 = r2. Ini berarti persamaan bola dengan pusat O dan berjari-

jari r adalah:

x2 + y2 + z2 = r2.

Selanjutnya akan dicari persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat M(a, b,

c).

Ambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola, maka vektor

).,,( czbyaxrPM

P(x,y)

O

Z

Y

X

r

22

rrrPM .22

).,,( czbyax ).,,( czbyax

r2 = (x a)2 + (y b)2 + (z c)2.

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola yamg memenuhi persamaan tersebut

diatas, maka setiap titik (x, y, z) pada bola memenuhi persamaan tersebut. Hal ini

berarti persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a, b, c) adalah:

(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = r2.

Contoh

Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (1, 3, 2) dan melalui titik (2, 5, 0).

Jawab

Jari-jari bola adalah jarak dua titik tersebut, yaitu

.3441)2()35()12( 222 r

Persamaan bola yang dicari adalah persamaan bola dengan jari-jari 3 dan

berpusat di titik (1, 3, 2), yaitu:

(x 1)2 + (y 3)2 + (z 2)2 = 9

Jika dijabarkan menjadi x2 + y2 + z2 2x 6y 4z + 5 = 0.

M

O

Z

Y

X

P(x,y,z)

23

Rumus persamaan bola yaitu (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = r2 dapat ditulis sebagai

berikut: x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + a2 + b2 + c2 r2 = 0

Jika 2a = A, -2b = B, -2c = C, dan a2 + b2 + c2 r2 = D, maka persamaan bola

tersebut dapat ditulis sebagai berikut

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0

Nampak disini bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam x,

y, dan z dengan ciri-ciri: (a) tidak memuat suku-suku xy, xz, atau yz, dan (b)

koefisien-koefisien x2, y2, dan z2 selalu sama.

Selanjutnya akan ditentukan titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0.

Persamaan ini bisa diubah dengan melengkapi kuadrat dari x, y, dan z sebagai

berikut:

(x2 + Ax + .41

41

41)

41()

41()

41 22222222 DCBACCzzBByyA

.41

41

41)

21()

21()

21( 222222 DCBACzByAx

Dari persamaan ini dapat dengan mudah ditentukan titik pusat dan jari-jari bola,

yaitu:

jarinyajariadalahDCBAr

danpusatnyatitiksebagaiCBAM

222

41

41

41

,)21,

21,

21(

Contoh

Tentukan pusat dan jari-jari bola, jika diketahui persamaan bola tersebut adalah

sebagai berikut: x2 + y2 + z2 10x 8y 12z + 68 = 0.

Jawab

Dengan proses melengkapkan kuadrat, persamaan bola diubah menjadi:

24

(x2 10x + 25) + (y2 8y + 16) + (z2 12z + 36) = 25 + 16 + 36 68

(x 5)2 + (y 4)2 + (z 6)2 = 9

Ini berarti bola berpusat di titik (5, 4, 6) dengan jari-jari 3.

Soal diatas dapat juga diselesaikan dengan menggunakan rumus, sehingga

diperoleh:

Titik pusat bola )21,

21,

21( CBAM = ))12(

21),8(

21),10(

21( M = (5, 4, 6)

Jari-jari bola adalah DCBAr 22241

41

41

r = 68)12(41)8(

41)10(

41 222

68361625 r

39 r

Bidang Singgung Pada Bola

Misalkan bola dengan persamaan (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = r2;

dan suatu titik T(x1, y1, z1) pada bola. Akan dicari persamaan bidang singgung pada

bola di titik T(x1, y1, z1). Bidang singgung di titik T dan jari-jari bola melalui T saling

tegak lurus, ambil sebarang titik V(x, y, z) pada bidang singgung, maka

111 ,, zzyyxxTV pada bidang singgung

Pusat bola adalah P(a, b, c), maka

),,( 111 czbyaxPT

Karena 0. TVPTmakaPTTV

25

0..

0).(

PVPTPTPT

PVPTPT

r2 - . = 0

(x1 a)(x a) + (y1 b)(y b) + (z1 c)(z c) = r2.

Ini adalah persamaan bidang singgung bola dengan persamaan (x a)2 + (y b)2 +

(z c)2 = r2; di titik T(x1, y1, z1) pada bola.

Contoh

Tentukan persamaan bidang singgung pada bola (x 3)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 9 di

titik (1, 3, 3).

Jawab

Titik (1, 3, 3) terletak pada bola, sebab koordinat-koordinatnya memenuhi pada

persamaan bola. Maka persamaan bidang singgung pada bola di titik (1, 3, 3)

adalah:

(1 3)(x 3) + (3 1)(y 1) + (3 2)(z 2) = 9.

-2x + 2y + z 7 = 0.

Soal-soal

1. Tuliskan persamaan bola yang pusatnya di titik (-6, 2, -3) dan jari-jarinya 2.

2. Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (2, 4, 5) dan menyinggung

bidang xy.

3. Carilah persamaan bola jika diameternya adalah ruas garis yang

menghubungkan titik (-2, 3, 7) dan (4, -1, 5).

4. Tentukanlah pusat dan jari-jari bola dengan persamaan : 4x2 + 4y2 + 4z2 4x +

8y + 16z 13 = 0.

5. Carilah persamaan bola-bola yang bersinggungan yang titik-titik pusatnya

berturut-turut (-3, 1, 2) dan (5, -3, 6) dan jari-jarinya sama.

26

6. Carilah persamaan bola dalam kuadran pertama yang jari-jarinya 6 dan

menyinggung bidang-bidang koordinat.

7. Carilah persamaan bola dengan pusat (1, 1, 4) dan menyinggung bidang x + y =

12.

8. Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik (3, 1, -3), (-2, 4, 1), dan (-5, 0,

0) yang titik pusatnya terletak pada bidang 2x + y z + 3 = 0.

9. Tentukan persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung bidang

x + 2y + 3z + 3 = 0 di titik T(1, 1, -3).

10. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola (x 3)2 + (y + 2)2 + (z 1)2 =

25 yang sejajar dengan bidang 4x + 3z 17 = 0.

27

BAB IV LUASAN PUTARAN

Misalkan sumbu x diambil sebagai sumbu putar dan kurva yang diputar

terletak pada bidang YOZ. Persamaan kurva yang diputar adalah

0),(0

zyfx

Selanjutnya diambil T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva. Maka dipenuhi :

xo = 0 dan f(yo , zo) = 0.

Ambil T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva.

Maka dipenuhi

0,(0

00

0

zyfx

Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang yang melalui T dan tegak

lurus sumbu putar, yaitu sumbu dengan bola yang pusatnya pada sumbu x,

misalkan titik O dan jari-jarinya OT.

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah

x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Selanjutnya dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo sehingga diperoleh persamaan

luasan putarannya.

Berikut ini akan dicari bermacam-macam persamaan luasan putaran.

3.1 Suatu Ellips Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X

Persamaan ellips pada bidang XOY berbentuk

1

0

2

2

2

2

by

axz

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi

zo = 0

28

122

2

2

by

ax oo

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


x= xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

1222

2

2

b

zyax

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar

sumbu x.

Jika sumbu putarnya sumbu y maka persamaan ellipsoida diperoleh sebagai

berikut.

Persamaan ellips yang diputar adalah

1

0

2

2

2

2

by

axz

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada ellips.

O

Z

X

Y

29

Maka harus dipenuhi

1

0

2

20

2

20

0

by

axz

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0.


x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


y= yo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


122

2

22

by

azx

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar

sumbu y.

Titiktitik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0, -b, 0), (0, 0, a), dan (0,

0, a).

3.2 Suatu Parabola Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X

Persamaan parabola pada bidang XOY berbentuk:

pxyz

20

2

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada parabola.

Maka harus dipenuhi

zo = 0

yo2 = 2pxo

Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah

x= xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


30

y2 + z2 = 2px.

Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida putaran dengan sumbu putar

sumbu x.

3.3 Suatu Hiperbola Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X

Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk

1

0

2

2

2

2

by

axz

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada hiperbola. Maka harus dipenuhi

zo = 0

122

2

2

by

ax oo



x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


x= xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


1222

2

2

b

zyax

O

X

Y

Z

31

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua dengan

sumbu putar sumbu x.

Titik puncaknya ada dua yaitu (-a, 0, 0) dan (a, 0, 0).

Jika hiperbola pada bidang XOY tersebut diputar mengelilingi sumbu y maka

diperoleh persamaan luasan sebagai berikut.

Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk

1

0

2

2

2

2

by

axz

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada hiperbola. Maka harus dipenuhi

zo = 0

122

2

2

by

ax oo

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0.


x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


X

Z

Y O

32

y = yo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


122

2

22

by

azx

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun satu dengan

sumbu putar sumbu y.

Beberapa titik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, 0, a), dan (0, 0, -a).

3.4 Suatu Garis Lurus Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X

a. Misalkan persamaan garis yang diputar adalah

pmyxz 0

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis yang diputar. Maka harus dipenuhi

zo = 0

xo = myo + p



x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

O

X

Z

Y

33


x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


x2 m2(y2 + z2) 2px + p2 = 0.

Persamaan ini merupakan persamaan kerucut.

b. Misalkan garis yang diputar menyilang sumbu x, maka persamaannya

berbentuk

pmyxkz


zo = k

xo = myo + p



x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


1)( 222

2

22

kmpx

kzy

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun satu.

O

X

Y

Z

34

3.5 Suatu Lingkaran Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X

Misalkan persamaan lingkaran pada bidang XOY berbentuk

222 )(

0rbyx

z


222 )(

0rbyx

z

oo

o



x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2


(x2 + y2 + z2 r2 b2)2 = 4b2(r2 x2).

O

X

Y

Z

35

Persamaan ini merupakan persamaan torus.

3.6 Luasan Putaran Dengan Sumbu Putar Garis Sebarang

Misalkan persamaan sumbu putarnya adalah

czz

byy

axx 111

dan persamaan kurva yang diputar adalah

0),,(0),,(

2

1

zyxfzyxf

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva yang diputar. Maka harus dipenuhi

0),,(0),,(

2

1

ooo

ooo

zyxfzyxf

Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang melalui T dan tegak lurus

sumbu putar dengan bola yang pusatnya di titik P yang terletak pada sumbu putar

dan berjari-jari PT. Di sini dapat diambil P(x1, y1, z1).

Persamaan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah

a(x xo) + b(y yo) + c(z zo) = 0.

Persamaan bola yang pusatnya di titik P(x1, y1, z1) dan berjari-jari PT adalah

X

Y O

Z

36

(x x1)2 + (y y1)2 + (z z1)2 = (xo x1)2 + (yo y1)2 + (zo z1)2


2

12

12

12

12

12

1 )()()()()()(0)()()(

zzyyxxzzyyxxzzcyybxxa

ooo

ooo

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan luasan putaran.

Contoh

Tentukan persamaan luasan yang terjadi dari perputaran parabola

xyz

40

2

mengelilingi garis

120xz

y

Jawab

Persamaan sumbu putar adalah

120xz

y

Vektor arah dari sumbu putar ini adalah m = .

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada parabola.

Maka harus dipenuhi

zo = 0

yo2 = 4xo

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah

-1(x xo) + 0(y yo) 2(z zo) = 0 atau

x + 2z = xo + 2zo

Persamaan bola yang pusatnya di titik P(0, 0, 1) dan berjari-jari PT =

222 )1( ooo zyx adalah x2 + y2 + (z 1)2 = xo2 + yo2 + (zo 1)2.


x + 2z = xo + 2zo

x2 + y2 + (z 1)2 = xo2 + yo2 + (zo 1)2.

Selanjutnya didapat x + 2z = xo.

37

Akibatnya yo2 = 4xo = 4(x + 2z) = 4x + 8z.

Dengan mensubstitusikan xo, yo, dan zo diperoleh

x2 + y2 + (z 1)2 = (x + 2z)2 + (4x + 8z) + 1

Setelah dijabarkan dan disederhanakan, diperoleh persamaan luasan yaitu:

Y2 3z2 4xz 4x 10z = 0.

Contoh

Diketahui persamaan garis g =

120

xyz

Tentukan persamaan luasan yang terbentuk dari garis g yang diputar mengelilingi

sumbu x.

Jawab

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis g.

Maka harus dipenuhi

120

oo

o

xyz

Persamaan bidang yang melalui titik T dan tegak lurus sumbu x adalah x = xo.

Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2.


x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2.

Kita mempunyai yo = 2x + 1. Selanjutnya dengan mensubstitusikan xo, yo, dan zo

diperoleh persamaan

x2 + y2 + z2 = x2 + (2x + 1)2 + 0.

Setelah dijabarkan dan disederhanakan diperoleh persamaan luasan yang

ditanyakan yaitu:

-4x2 + y2 + z2 4x 1 = 0.

38

Soal-soal

1. Suatu ellips dengan persamaan

01640

22 zxy

diputar mengelilingi

sumbu x. Tentukan persamaan ellipsoida putaran yang terbentuk.

2. Jika suatu hiperbola dengan persamaan

1916

022 zx

y diputar mengelilingi

sumbu x. Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi.

3. Suatu parabola dengan persamaan

zxy

20

2 diputar mengelilingi garis

20xy

z. Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi.

4. Suatu parabola dengan persamaan

zyx

20

2 diputar mengelilingi sumbu z.

Tentukan persamaan luasan yang terjadi.

5. Suatu garis

10zx

y diputar mengelilingi garis dengan persamaan

3320

zyx

. Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi.

39

BAB V LUASAN BERDERAJAD DUA

Berikut ini akan diselidiki suatu luasan yang terjadi dari suatu ellips dan

hiperbola yang letak dan besarnya berubah menurut aturan tertentu.

1. Pada bidang XOY terletak ellips dengan persamaan

1

0

2

2

2

2

by

axz

Pada bidang YOZ terletak ellips dengan persamaan

1

0

2

2

2

2

cz

byx

Kedua ellips diatas mempunyai puncak-puncak yang sama pada sumbu y.

Selanjutnya ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan

sebagai berikut.

a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY,

b) titik pusatnya tetap pada sumbu z,

c) dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang YOZ,

dan

d) ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Berarti ellips pada bidang YOZ merupakan garis arah dari ellips yang bergerak.

Adapun persamaan luasan yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.

Misalkan ellips

1

0

2

2

2

2

by

axz

digerakkan sehingga terletak pada bidang z = dan

setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar

sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips

1

0

2

2

2

2

cz

byx

sehingga memenuhi )1(1 22

222

2

2

2

cbyatau

cby

oo

40

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi ba

yx

o

o

Atau 22

22

2

22 .b

ba

yba

x oo )1( 22

c

= a2 )1( 22

c

.

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z = tersebut adalah:

122

2

2

oo yy

xxz

atau

1)1()1( 2

22

2

2

22

2

cb

y

ca

xz

Dengan mengeleminasi dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida dengan titik pusat O dan sumbu-

sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jika dua diantara a, b, dan c adalah sama, maka ellipsoida tersebut merupakan

suatu ellipsoida putaran. Jika a = b = c, maka ellipsoida tersebut merupakan bola.

x0

O

X

Y

Z

y0

41

2. Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan

1

0

2

2

2

2

by

axz

dan persamaan garis arah dari ellips yang bergerak adalah hiperbola pada bidang YOZ dengan persamaan

1

0

2

2

2

2

cz

byx

Selanjutnya ellips digerakkan dengan aturan:


b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z,

c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.

Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z = dan setengah

sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x

dan sumbu y.


1

0

2

2

2

2

cz

byx

sehingga memenuhi )1(1 22

222

2

2

2

cbyatau

cby

oo


yx

o

o

atau 22

22

2

22 .b

ba

yba

x oo )1( 22

c

= a2 )1( 22

c

.


122

2

2

oo yy

xxz

atau

42

1)1()1( 2

22

2

2

22

2

cb

y

ca

xz


122

2

2

2

2

cz

by

ax

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida berdaun satu dengan titik

pusat O dan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jika a = b maka diperoleh hiperboloida putaran.


1

0

2

2

2

2

by

axz

dan garis arah dari ellips yang digerakkan adalah hiperbola dengan persamaan

1

0

2

2

2

2

cz

by

x

Aturan untuk menggerakkan adalah sebagai berikut.


O

y0 x0

Z

Y

X

43






dan sumbu y.


1

0

2

2

2

2

cz

by

x sehingga memenuhi - )1(1 2

222

2

2

2

2

c

byataucb

yo

o


yx

o

o

atau 22

22

2

22 .b

ba

yba

x oo )1( 22

c

= a2 )1( 22

c

.


122

2

2

oo yy

xxz

atau

1)1()1( 2

22

2

2

22

2

cb

y

ca

xz


122

2

2

2

2

cz

by

ax

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua dengan

titik pusat O dan sumbunya adalah sumbu z.

Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan hiperboloida putaran berdaun

dengan titik pusat O dan sumbunya adalah sumbu Z.

44


1

0

2

2

2

2

by

axz

dan garis arah dari ellips yang bergerak adalah parabola pada bidang YOZ dengan

persamaan

pzyx

20

2

aturan untuk menggerakkan ellips adalah:







dan sumbu y.


sehingga memenuhi yo2 = 2p.


yx

o

o

y0 x0

O

Z

X

Y

45

atau xo2 = pbay

ba

o 222

22

2


122

2

2

2

2

py

pba

xz


zc

pby

ax

22

2

2

2 2

Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida ellips dengan titik puncak di O.

Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan paraboloida putaran dengan

sumbu z sebagai sumbu putarnya.

5. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan

persamaan

1

0

2

2

2

2

cz

byx

O

Z

X

Y

y0 x0

46

dan garis arahnya berupa ellips pada bidang XOY dengan persamaan

1

0

2

2

2

2

by

axz

Aturan untuk menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut.

a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ,

b) titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x,

c) hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula, dan

d) titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah.

Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x = dan

setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturut-

turut adalah yo dan zo.

Dari garis aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga

harus dipenuhi

)1(

)1(1

2

2222

2

22

2

222

2

2

2

2

aczatauy

bczsehingga

cb

zyjugadan

abyatau

by

a

oooo

o

oo

.

Jadi persamaan hiperbola yangbterletak pada bidang x = adalah

1)1()1( 2

22

2

2

22

2

ac

z

ab

yx

Dengan mengeliminasi dari persamaan hiperbola diatas dapat diperoleh

persamaan

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Persamaan ini merupakan persamaan hiperbola berdaun satu.

47

6. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan

persamaan

1

0

2

2

2

2

cz

byx

dan garis arahnya berupa ellips pada bidang XOY dengan persamaan

1

0

2

2

2

2

by

axz






Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x = dan

setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturut-

turut adalah yo dan zo.

Dari garis aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga

harus dipenuhi

)1(

)1(1

2

2222

2

22

2

222

2

2

2

2

aczatauy

bczsehingga

cb

zyjugadan

abyatau

by

a

oooo

o

oo

.

Jadi persamaan hiperbola yangbterletak pada bidang x = adalah

1)1()1( 2

22

2

2

22

2

ac

z

ab

yx

48

Dengan mengeliminasi dari persamaan hiperbola diatas dapat diperoleh

persamaan

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida berdaun dua dengan sumbu y

sebagai sumbunya.

7. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan

persamaan

1

0

2

2

2

2

by

ax

z

dan garis arahnya berupa parabola pada bidang YOZ dengan persamaan

pzyx

20

2






Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x = dan setengah

sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturut-turut

adalah yo dan zo.

Berdasarkan aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga

yo2 = 2p.


yx

o

o

atau xo2 = pbay

ba

o 222

22

2

Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z = tersebut adalah:

49

122

2

2

2

2

py

pba

xz

Dengan mengeleminasi dan persamaan hiperbola ini, diperoleh persamaan

zc

pby

ax

22

2

2

2 2

Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida hiperbolis dengan sumbu z

sebagai sumbunya.

8. Pandang persamaan ellipsoida 122

2

2

2

2

cz

by

ax

Titik pusat ellipsoida ini adalah (0, 0, 0).

Sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z yang masing-

masing panjangnya 2a, 2b, dan 2c.

Titik-titik puncaknya ada enam yaitu (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0, -b, 0), (0, 0, c),

dan (0, 0, -c).

Persamaan bidang singgung pada ellipsoida dapat dicari sebagai berikut.

Misalkan T(x1, y1, z1) merupakan titik singgung tersebut. Persamaan garis yang

melalui T dengan bilangan-bilangan arah p, q, dan r adalah

rzz

qyy

pxx 111

Koordinat-koordinat titik-titik potong garis ini dengan ellipsoida diatas, diperoleh

sebagai berikut.

1)()()( 22

12

21

2

21

c

rzb

qya

px

Setelah dijabarkan, persamaan diatas menjadi

0222 21

21

212

2

2

2

2

2

2

crz

bqy

apx

cr

bq

ap

Salah satu akar dari persamaan kuadrat ini adalah 1 = 0.

50

Agar garis menyinggung ellipsoida maka haruslah 1 = 2 = 0.

Hal ini hanya terjadi untuk 0222

21

21

21

crz

bqy

apx

Dengan mengeliminasi p, q, dan r diperoleh

0)()()( 211

211

211

czzz

byyy

axxx

Persamaan ini merupakan persamaan garis yang menyinggung ellipsoida di T.

Jadi persamaan bidang singgung di T pada ellipsoida adalah

121

21

21

czz

byy

axx

Misalkan T(x1, y1, z1) suatu titik diluar ellipsoida. Dari titik T dibuat bidang-

bidang yang menyinggung ellipsoida.

Misalkan P(xo, yo, zo) suatu titik singgung dari bidang singgung yang melalui titik T.

Berdasarkan uraian diatas persamaan bidang singgung di titik P adalah

1222 czz

byy

axx ooo

Karena bidang singgung melalui T, maka dipenuhi

121

21

21

czz

byy

axx ooo

Ini berarti setiap titik singgung dari bidang singgung pada ellipsoida yang melalui

T, terletak pada bidang dengan persamaan

121

21

21

czz

byy

axx

Persamaan ini merupakan persamaan bidang kutub dari titik T terhadap ellipsoida

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Tampak bahwa, jika T terletak pada ellipsoida maka persamaan bidang kutub dari

T merupakan persamaan bidang singgung di T. Persamaan batas bayangan

ellipsoida oleh sinar-sinar yang melalui T(x1, y1, z1) adalah

51

1

1

2

2

2

2

2

2

21

21

21

cz

by

ax

czz

byy

axx

Contoh

Carilah m sehingga bidang x 2y 2z + m = 0 menyinggung ellipsoida

1936144

222

zyx

Jawab

Misalkan T(xo, yo, zo) suatu titik singgung ellipsoida

Maka dipenuhi 1936144

222

ooozyx

Persamaan bidang singgung ellipsoida di T adalah 1936144

ooozzyyxx

Atau xox + 4yoy + 16zoz 144 = 0.

Bidang singgung ini harus berimpit dengan bidang x 2y 2z + m = 0

Ini berarti harus dipenuhi

m

zyx ooo 1442

162

41

atau xo =

yo = -21

zo = 81

Karena titik T(xo, yo, zo) pada ellipsoida, maka 1)9(64)36(4144

222

Atau = 8.

Untuk = 8 diperoleh m = -18 dan untuk = -8 diperoleh m = 18.

Jadi nilai m yang ditanyakan adalah m = 18.

9. Pandang persamaan hiperboloida berdaun Satu

52

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Titik-

titik puncaknya yang terletak di sumbu-sumbu koordinat ada empat yaitu: (a, 0,

0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), dan (0, -b, 0).

Selanjutnya dengan cara seperti pada ellipsoida diperoleh persamaan bidang

singgung pada hiperboloida berdaun satu di titik singgung T(x1, y1, z1) yaitu

121

21

21

czz

byy

axx

Demikian juga dengan persamaan bidang kutub dari titik T(x1, y1, z1) terhadap

hiperboloida bardaun satu yaitu

121

21

21

czz

byy

axx

Berikut ini akan diubah bentuk bentuk persamaan hiperboloida berdaun satu.

Misalkan persamaan hiperboloida berdaun satu adalah

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Bentuk ini dapat dinyatakan sebagai

22

2

2

2

2

1by

cz

ax

atau

by

by

cz

ax

cz

ax

11

Berarti ada dua susunan garis pada hiperboloida berdaun satu yaitu

(1)

by

cz

ax

by

cz

ax

1

1

(2)

by

cz

ax

by

cz

ax

1

1

dengan , , , parameter.

Akan dibuktikan bahwa garis-garis dalam satu susunan saling bersilangan.

Misalkan persamaan garis-garis dalam satu susunan tersebut adalah

53

by

cz

ax

by

cz

ax

1

1

11

11

dan

by

cz

ax

by

cz

ax

1

1

22

22

Andaikan kedua garis tersebut berpotongan maka terdapat harga x, y, dan z

sehingga

(1) 2

2

1

1

2

2

1

1 11

denganby

by

cz

ax

Berarti 012

2

1

1

by

atau y = b.

(2) 2

2

1

1

2

2

1

1 11

denganby

by

cz

ax

Berarti 012

2

1

1

by

atau y = -b.

Sehingga diperoleh suatu kontradiksi yaitu b = y = -b (karena b 0.

Jadi pengandaian diatas adalah salah dan haruslah kedua garis dalam satu

susunan adalah bersilangan.

10. Pandang persamaan hiperboloida berdaun dua

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Hiperboloida ini hanya mempunyai satu sumbu simetri yaitu sumbu x.

Titik-titik puncak ada dua yaitu (a, 0, 0) dan (-a, 0, 0).

Panjang sumbu-sumbunya adalah 2a, 2b, dan 2c.

Dengan cara seperti pada ellipsoida, diperoleh persamaan bidang singgung di titik

T(x1, y1, z1) yaitu

121

21

21

czz

byy

axx

Demikian juga persamaan bidang kutub dari titik T(x1, y1, z1) terhadap

hiperboloida berdaun dua, yaitu

54

121

21

21

czz

byy

axx

Jika titik T terletak pada hiperboloida berdaun dua maka bidang kutub dari T

menjadi bidang singgung di T.

11. Pandang persamaan paraboloida elliptis zb

pby

ax

22

2

2

2 2

Titik puncak ada satu dan sumbu simetrinya adalah sumbu z.

Dengan cara seperti pada ellipsoida, diperoleh persamaan bidang singgung di

T(x1,y1,z1) pada paraboloida elliptis yaitu:

)( 1221

21 zz

bp

byy

axx

Persamaan bidang kutub dari T(x1,y1,z1) terhadap paraboloida elliptis adalah

)( 1221

21 zz

bp

byy

axx

Jika titik T pada paraboloida elliptis maka bidang kutub dari T menjadi bidang

singgung di T.

12. Pandang persamaan paraboloida hiperbolis

)0(,2 222

2

2

pzb

pby

ax

Dengan cara seperti pada ellipsoida dapat diperoleh persamaan bidang singgung

di titik T(x1, y1, z1) pada paraboloida hiperbolis yaitu

)( 1221

21 zz

bp

byy

axx

Jika titik T pada paraboloida hiperbolis, maka bidang kutub menjadi bidang

singgung.

55

Soal-soal

1. Tentukan semua titik-titik puncak ellipsoida 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36, yang terletak

di sumbu-sumbu koordinat.

2. Tentukan irisan paraboloida hiperbolis )0(,2 222

2

2

pzb

pby

ax

dengan

bidang XOY.

3. Tentukan irisan bidang x 2 = 0 dengan ellipsoida 141216

222

zyx

4. Tunjukkan bahwa bidang y + 6 = 0 memotong paraboloida hiperbolis

zyx 645

22

dalam bentuk parabola, dan tentukan puncak dan parameter

parabolanya.

5. Tentukan persamaan bidang singgung ellipsoida 4x2 + 16y2 + 8z2 = 1 yang

sejajar dengan bidang x 2y + 2z + 17 = 0.

56

DAFTAR KEPUSTAKAAN

Kletenic, D., Problems in Analytic Geometry, Moscow: Peace Publisher, t.th.

Moeharti Hadiwidjojo, Ilmu Ukur Analitik Bidang Bagian III, Yagyakarta: FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1994.

Moeharti Hadiwidjojo, Vektor dan Transformasi dalam Geometri, Yagyakarta: FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1989.

Purcell, Edwin J (Penterjemah: Rawuh, Bana Kartasasmita), Kalkulus Dan Geometri Analitis Jilid II, Jakarta: Erlangga, 1984.

Thomas, George B., JR., Calculus and Analytic Geometry, Tokyo, Jakarta Publications Trading Company, Ltd, 1963.

Documents

File