Financial Market Dynamics: Topics in Long Memory Modeling

PhD Dissertation

Per H. Frederiksen

Forelæsningsplan

• Hvad er lang hukommelse?– Egenskaber for autokorrelationsfunktionen/spektrummet

– Eksempler for simulerede og empiriske serier

• Problemstillinger ifm. estimering af den lange hukommelse– Kortsigts dynamik i serien, afhandlingens kapitel 1

– Når serien er støjet, afhandlingens kapitel 2

– Udviser serien virkelig sand lang hukommelse, afhandlingens kapitel 3

• Anvendeligheden af serier med lang hukommelse– Sammenhænge mellem sådanne serier, afhandlingens kapitel 4

– Brug af lang hukommelse i rentestruktur-modellering, afhandlingens kapitel 5

– Forecasting af serier med lang hukommelse ved brug af ARFIMA-modeller

– Modellering af lang hukommelse i processen for tilstrømningen af information til aktiemarkederne

Hvad er lang hukommelse

Hvis serien yt udviser lang hukommelse

• vil autokorrelationsfunktionen følge for k → ∞, hvor k er horisonten og d er parameteriseringen af den lange hukommelse. Dvs., at autokorrelationsfunktionen er hyperbolsk aftagende.

• vil den spektrale tæthedsfunktion, defineret via autokorrelationsfunktionen som hvor λ er Fourier frekvensen, følge .

,||~)( 12 dk kck

,||~)( 2dgf

)(/)))((()( tktt yVaryyEk

,)exp()()()(

dkifkyVar t

Eksempler på autokorrelationsfunktioner

-0.5

0

0.5

1

0 50 100

Horisont

AR(1) I(0.4) I(1)

Fit til I(0.4) autokorrelationsfunktionen

0

0.3

0.6

0 50 100

Horisont

Eksponentiel I(0.4) Hyperbolsk

d er estimeret til ca. 0.3 med forklaringsgrad på 66% ved hyperbolsk fit

Eksempler på spektra

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0

Frekvens

AR(1) I(0.4)

Fit til I(0.4) spektra

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0

Frekvens

Fit I(0.4)

d er estimeret til ca. 0.39 med forklaringsgrad på 23%

Empiriske autokorrelationsfunktioner

-3

-2

-1

0

0 1 2 3 4

log(horisont)

log(

acf)

RV BSIV

d er estimeret til ca. 0.3 med forklaringsgrad på 63% ved hyperbolsk fit

Empiriske spektra

-20

-16

-12

-8

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5

Log(frekvens)

Lo

g(s

pek

tru

m)

RV BSIV

d er estimeret til ca. 0.43 med forklaringsgrad på 20%

Problemstillinger ifm. estimering af d

• Estimatet på d bliver biased når der er kortsigts dynamik

Spektrum med kortsigts dynamik

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-6 -4 -2 0log(frekvens)

ARFIMA(0.9,0.4,0) ARFIMA(0,0.4,0)

Estimatet på d er 0.396 for den rene I(d) serie, men 0.584 for serien med kortsigts dynamik!

Løsning

• Brug en mindre båndbredde til estimering

• Modeller logaritmen til konstanten g i spektrummet som et polynomium. Dette giver en bedre approksimation af det faktiske spektrum

• Se afhandlingens kapitel 1

,||~)( 2dgf

Problemstillinger ifm. estimering af d

• Estimatet på d bliver biased når der er støj i serien

Estimatet på d er 0.416 for den rene I(d) serie, men 0.289 for serien med støj!

Spektrum med støj

-6

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0log(frekvens)

I(0.4)+NID støj I(0.4)

Løsning

• Brug en mindre båndbredde til estimering

• Modeller spektrummet for støjen. Dette giver en bedre approksimation af det faktiske spektrum. Eksempelvis kan spektrummet fra før skrives som

Hvis h ikke modelleres vil den asymptotiske fejl være af orden i stedet for

• Se afhandlingens kapitel 2

)||1(||~)( 22 dd hgf

)( 2dmO

)( 2mO

Problemstillinger ifm. estimering af d

• Er serien virkelig I(d) eller er den I(0), men ligner en I(d) serie?• Simuleret trend-model:

Autokorrelationsfunktioner for trend-model

-0.1

0.4

0 10 20

Horisont

K=1 K=3 K=5

td

t ty 5.03

535.0ˆ og ,450.0ˆ ,389.0ˆ531 ddd

Problemstillinger ifm. estimering af d

363.0ˆ og ,430.0ˆ ,398.0ˆ ,398.0ˆ ,419.0ˆ43210 ddddd

Autokorrelationsfunktioner for I(0.4) serie

-0.1

0.4

0 10 20

Horisont

K=0 K=1 K=2 K=3 K=4

Løsning

• Test om serien er I(d) ved at se på de forskellige aggregeringsniveauer• Se afhandlingens kapitel 3

Anvendelighed af I(d) serier

• Finde sammenhængen mellem to I(d) serier

• Brug NBLS til at finde sammenhængen, og FMNBLS til at reducere bias i estimatet – afhandlingens kapitel 4

Realiseret og implicit volatilitet for S&P500 indekset

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1990

0123

1991

0122

1992

0121

1993

0119

1994

0125

1995

0124

1996

0122

1997

0120

1998

0120

1999

0119

2000

0124

2001

0122

2002

0122

RV BSIV

Anvendelighed af I(d) serier

• Forecaste I(d) serier

• Brug en ARFIMA-model til forecasting efter estimering af d og kortsigtsparametrene

Realiseret volatilitet for S&P500 indekset og forecast

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1990

0123

1991

0122

1992

0121

1993

0119

1994

0125

1995

0124

1996

0122

1997

0120

1998

0120

1999

0119

2000

0124

2001

0122

2002

0122

RV Forecast

Anvendelighed af I(d) serier

• Integrere lang hukommelse i renter og rentevolatilitet ved at lade den styrende kræft være en fraktionel Browns bevægelse – afhandlingens kapitel 5

• Lade den proces, der beskriver tilstrømningen af information til aktiemarkedet, være en lang hukommelses proces sådan, at aktievolatilitet og -volume bliver afhængige af den samme I(d)-proces, og derved selv bliver I(d)-processer

• Utallige andre muligheder

Opsamling

• Serier med lang hukommelse har meget specifikke karakteristika

• Der er visse problemer med estimering af den lange hukommelse- afhandlingens kapitel 1,2 og 3

• Serier med lang hukommelse kan bruges i mange sammenhænge- afhandlingens kapitel 4 og 5

• Mulighederne for fremtidig forskning indenfor området er store, da der stadig er mange uafklarede spørgsmål og eksisterende metoder, der kan optimeres.