Fisica Generale Polo di Spezia Scuola Politecnica a.a. 2017-18bracco/dida/FGI01-Intro.pdf · G. Bracco.Appunti di Fisica Generale 1 Fisica Generale Polo di Spezia Scuola Politecnica

G. Bracco.Appunti di Fisica Generale 1

Fisica GeneralePolo di SpeziaScuola Politecnica

a.a. 2017-18


0. Ripasso e introduzione di concetti matematici necessari al corso

MEccanica

1. Metodo sperimentale, grandezze fisiche, analisi dimensionale, unità di misura, errori di misura e cifre significative. Cinematica del punto materiale. Vettori posizione, velocità ed accelerazione. Accelerazione radiale e tangenziale. Moto uniformemente accelerato, circolare, armonico. Moti relativi.

2. Relatività galileana, sistemi di riferimento inerziali. Leggi di Newton e loro applicazioni. Forze di contatto: attrito e viscosità. Sistemi di riferimento non inerziali.

3. Quantità di moto. Momento torcente e momento angolare. Forze centrali: gravitazione, forza elastica, forza di Coulomb.

4. Lavoro di una forza, energia cinetica, teorema lavoro-energia, potenza. Forze conservative, energia potenziale, conservazione energia meccanica. Oscillazioni meccaniche e onde. Proprietà delle onde.

5.Dinamica dei sistemi di punti materiali. Cenni al primo principio della termodinamica partendo dal teorema lavoro-energia per un sistema. Corpo rigido.

Programma del corso


ElettroMagnetismo

6. Descrizione dei fluidi per introdurre il flusso. Cariche. Campo elettrico, Lavoro e potenziale elettrico. Legge di Gauss

7.Condensatori e capacità, energia. Correnti e resistenza, circuiti in corrente continua e loro bilancio energetico.

8. Campo magnetico, moto delle cariche in campi magnetici ed elettrici, legge di Biot-Savart, legge di Ampere.

9. Induzione elettromagnetica, campi elettrici indotti, autoinduzione, circuiti RL.

10. Campi magnetici indotti e corrente di spostamento. Equazioni di Maxwell in forma integrale e differenziale. Oscillazioni elettriche e circuiti LC (RLC).

Il programma dettagliato verrà fornito alla fine del corso


Testi di riferimento consigliati:1) C. Mencuccini,V. Silvestrini, Fisica (Meccanica e Termodinamica)-Casa Editrice Ambrosiana, Milano 2) R. Mazzoldi, M.Nigro, C. Voci, Elementi di Fisica-Elettromagnetismo

Altri testi di consultazione e per problemiW.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove: Fisica classica e moderna, Mc Graw Hill, Italia- R. Resnick, D. Halliday, K.S. Krane ( o anche Walker) Fondamenti di

Fisica, Casa Editrice Ambrosiana, Milano- Serway & Jewett, Principi di Fisica, EdiSES

Per spiegazioni: al termine di ogni lezione,O concordando l’incontro con il docente di riferimento o inviando un email “[email protected]”Scaricare Materiale: Aulaweb, www.fisica.unige.it/~bracco al link studenti


Corso:Al termine del corso (giugno) lo studente affronterà uno scritto che consta di due prove parziali (meccanica (ME) e elettromagnetismo (EM)).Le prove consistono di problemi su argomenti svolti e conosciuti dagli studenti. Le soluzioni degli esercizi verranno forniti con le votazioni della prova.

Le due prove parziali (ciascuna di durata 2 ore) possono essere sostenute anche in due appelli successivi della sessione estiva (giugno-settembre) oppure in quella invernale (gennaio-febbraio) oppure in una singola prova (di durata 4 ore). A settembre e a febbraio si sostiene solo la prova complessiva se non si e’ gia’ superata una prova parziale.

I voti delle prove parziali valgono solo per la sessione di riferimento (estiva o invernale)Ogni prova parziale e’ superata se il voto è uguale o superiore a 15.Il voto finale sarà la media dei voti delle due prove parziali. Ricordarsi di iscriversi alle prove scritte sul web per poter prenotare le aule con la capienza opportuna!


Se uno studente ripete una prova parziale (consegna l’elaborato per la correzione) il nuovo voto sostituisce il precedente anche se inferiore.

Gli elaborati consegnati verranno valutati e gli studenti possono, nel giorno di convocazione dell'orale, prenderne visione.

Alla prova scritta si potrà tenere solo l’occorrente per scrivere e la calcolatrice. Inoltre si potrà consultare il formulario che può essere scaricato dal sito.

L’orale vertera’ su tutto il programma svolto e dovra’ essere sostenuto nella sessione in cui si superano le prove scritte (eccezionalmente nella sessione estiva si potrà sostenere nell’appello successivo). L’orale è superato con almeno 18/30.


PrerequisitiAlcuni di questi concetti verranno ripresi nell’introduzione

regole dell’algebra, potenze, equazioni, disequazionitrigonometria, esponenziali e logaritmi

geometria piana e nello spaziospazi vettoriali in 3 dimensioni, assi cartesiani ecomponenti di vettori, matriciprodotto scalare e vettoriale

concetti di geometria analitica, equazione della retta,retta tangente e retta perpendicolare, equazione delle coniche (in particolare la circonferenza)


Regole dell’algebra, potenze, equazioni, disequazioni trigonometria, esponenziali e logaritmi

geometria piana e nello spazio, spazi vettoriali in 3 dimensioni, assi cartesiani e componenti di vettori, matriciprodotto scalare e vettoriale

concetti di geometria analitica, equazione della retta,retta tangente e retta perpendicolare, equazione delle coniche (in particolare la circonferenza)

Numeri reali e complessiVettori e versori, Vettori applicati, componenti sugli assi, somma di vettoriprodotto tra scalari e vettorimodulo di un vettore (distanza), prodotto scalare, prodotto vettorialeSistemi lineari, matrici, inversa di una matrice Prodotto di una matrice per un vettoreDiagonalizzazioneDerivate e integrali

Ripasso di concetti matematici


Vengono definiti vari insiemi numerici che permettono di effettuare operazioni: ogni insieme numerico contiene quello precedente come sottoinsieme (o esiste una corrispondenza biunivoca, p.es N↔Z+ che contiene i razionali pari) e quindi le operazioni possibili nel precedente vengono conservate nel successivo.

•Naturali N =0,1,2,…,n,… servono per contare oggetti e in essi si può sempre effettuare la somma ma non le altre operazioni•Relativi Z=…,-3,-2,-1,0,1,2,3,….. sono un’estensione di N (N ne è un sottoinsieme o meglio un sottoinsieme di Z è in relazione biunivoca con N) e oltre alla somma si può sempre effettuare la differenza•Razionali Q=q=n/m, n,m∈Z estensione di Z per poter effettuare sempre le operazioni di moltiplicazione e divisione (m≠0)•Reali ℜ =Q ∪I dove I è l’insieme degli irrazionali. Permette di esprimere sempre il risultato di operazioni di limite e di poter effettuare misure di grandezze. I numeri ℜpossono essere messi in relazione biunivoca con i punti di una retta, questo ad.es permette di definire le coordinate dei sistemi di riferimento.→In ℜ però non è possibile poter effettuare sempre operazioni come ad esempio l’estrazione di radice o trovare la soluzione di equazioni algebriche.

Esempi: X2+1=0 ovvero x=±√-1, trovare tutte le soluzioni di x5+1=0


•Numeri complessi CNel XIX secolo furono introdotte coppie ordinate di numeri reali (a,b) rappresentabili come un punto del piano (complesso) o in modo equivalente dal modulo ρ e dalla fase o anomalia θ. L’asse x viene detto asse reale e y asse immaginario e le due unità (1,0) e (0,1) vengono detti unità reale e immaginaria e a e b parte reale e immaginaria del numero. Normalmente (0,1)≡i oppure j.

x

y

a

b θ

ρ

E quindi si può scrivere z=(a,b) = a+ibUguaglianza: a+ib=c+id se a=c e b=dSomma: (a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(b+d) (come i vettori del piano)Prodotto: definiamo i2= -1 da cui (a+ib)*(c+id)= (ac-bd)+i(bc+da)In forma polare z=ρ cos θ + i ρ sin θ

Calcoliamo ei θ =∑ (i θ)n/n! = ∑ in θn/n!= separando la parte reale da quella immaginaria ei θ = cos θ + i sin θ quindi un numero complesso z=ρ ei θ = ρ (cos θ + i sin θ) .

La moltiplicazione tra due numeri ρ1 ei θ1 ρ2 ei θ2= ρ1 ρ2 ei (θ1+ θ2). In questa forma un numero viene ruotato della fase del secondo, es. moltiplicare per i= ei π/2

corrisponde a ruotare di π/2 in senso antiorario l’altro fattore. Due numeri a+ib e a-ib vengono detti complessi coniugati. Con tale estensione dei numeri reali, x2 = -1 ha soluzioni x=±i. Es. soluzioni eq.differenziali, moti periodici.Esistono altri insiemi numerici che estendono ulteriormente gli insiemi numerici: quaternioni ad esempio per trattare problemi di meccanica e di relatività speciale.


Esercizio: calcolare le espressioni[(2+i)-6]*(1-i)[(3-6i)*(4-i)]*exp(i π/2)5exp(i 30°)+3-i

Radice quadrata di i

Calcolare il modulo e la fase di [3+2i*(4-i)]

Provare a rappresentare graficamente il numero (funzione)a=5exp(i 2t) che dipende da t, con t che varia con continuità da 0 a π


Matrici e sistemi lineariUn sistema di n equazioni lineari a11x1+ a12x2+… + a1nxn =b1 etc. in n incognite (x1,x2,…,xn)T determina la matrice dei coefficienti

a11 a12 … a1n ed il termine noto (b1,b2,…,bn) T

A= a21 a22 … a2n in forma compatta Ax=b (prodotto righe per………………. .colonne tra A e x) ovvero ∑j Aijxj=bi

an1 an2 … ann (con (.,.)T si indica il trasposto di una matrice cioè lo scambio delle righe con le colonne A cioè (A T) ij=Aji) (a volte si usa la notazione di Einstein dove l’indice ripetuto si intende sommato senza mettere la sommatoria Aijxj=bi)Se det(A)≠0 allora esiste l’inversa di A (A-1) tale che AA-1=A-1A=I matrice identità quindi A-1Ax= A-1b, Ix= A-1b, x= A-1b.Per A= a b si ha che det(A)=|a b|= ad-bc,

c d |c d|


per una matrice 3x3

a11 a12 a13 det(B)=a11(-1)1+1| a22 a23|+a12(-1) 1+2 |a21 a23|+a13(-1) 1+3 | a21 a22 |B= a21 a22 a23 | a32 a33 | | a31a33| | a31 a32 |

a31 a32 a33

Diagonalizzazione di una matrice

Data l’equazione matriciale A v=λ v, i vettori v non nulli che risolvono l’equazione sono detti autovettori e gli scalari λ autovalori della matrice. Nella base degli autovettori la matrice è diagonale.

Equazioni di secondo grado

Data l’eq. ax2+bx+c=0, scriviamola portando il termine noto a secondo membro e moltiplicando per 4a nel seguente modo 4 a2x2+4abx=-4ac, aggiungiamo il quadrato di b affinché il primo membro sia un quadrato perfetto 4 a2x2+4abx+b2=b2-4ac , (2 ax+b)2=b2-4ac da cui2ax +b=±√(b2-4ac), in questa forma le due soluzioni sono facilmente calcolatex1,2=(-b ±√(b2-4ac ) )/2a


Introduzione su derivate e integrali di funzioni

Sia f(x) una funzione, se esiste il seguente limite∆f

lim --------- (rapporto incrementale in x0)∆x→0 ∆x

esso è chiamato derivata della funzione nel punto x0

ed è indicata da

df---dx

e ciò deve valere sia per incrementi positivi che negativi

f

∆f

∆x

x0


Derivate di alcune funzioni utilizzate nel corso

f=costante df/dx=0 f= ax df/dx=af=ax2 df/dx=2ax f=axn df/dx=na xn-1

f=ex df/dx=ex f=ln(x) df/dx=1/xf=cos(x) df/dx=-sin(x) f=sin(x) df/dx=cos(x)

Proprietà delle derivate

d(f+g)/dx=df/dx+dg/dxd(f g)/dx=df/dx g + f dg/dxf(g(x))= df/dg dg/dx

Esercizio: calcolare la derivata rispetto a t di y=exp(x+t2)y= cos(x+sen(t))q= t3-x2t4


Integrale di una funzioneConsideriamo la seguente sommatoria

Σi f(xi) ∆x

se per ∆x→0 tende ad un valore definitoesso è detto integrale di f (definito tra dueestremi di integrazione a e b) E’ evidente che la somma delle aree diciascun rettangolo approssima sempre megliol’area fra la curva e l’asse x diminuendo il valoredi ∆x, quindi l’integrale è geometricamente quest’area e si indica

∫f(x) dx . Se il punto b vien fatto variare, l’integrale è funzione dell’estremo superiore b e questo sarà utilizzato nel seguito.

x

∆xxi

f

a b

b

a


In modo intuitivo e non rigoroso si può trovare il legame fra integralee derivata. Consideriamo il rapporto incrementale della sommatorianel punto x0

(Σ’i f(xi) ∆x) - (Σi f(xi) ∆x)-------------------------------------

∆x

la seconda sommatoria è calcolata finoa x0 mentre la prima fino a x0 + ∆xquindi il rapporto valef(x0 ) ∆x------------ = f(x0 ) anche per ∆x →0

∆x

si intuisce perciò che l’integrale è l’operazione ‘inversa’ della derivata

xx0

f

x0 +∆x


D’altra parte se aggiungiamo una costante ad un integrale, questanon cambia il valore della derivata d---- (∫f dx + cost)=f dxquindi nel caso di un integrale indefinito (senza limiti di integrazione) esiste l’arbitrarietà di una costantesulla funzione ottenuta da un’integrazione, che vien detta primitiva

F= ∫f dx + cost

Questa costante sarà determinata ad esempio dalle condizioni iniziali del moto che si sta considerando.

Si definisce differenziale di una primitiva dF=f(x0)dx la variazioneinfinitesima di F a causa di una variazione infinitesima di x nel puntox0.


Calcolare l’integrale (indefinito) di sen(t), exp(x) e y2

Calcolare l’area sottesa dalla curva 2-t2 tra –1 e +1

Calcolare l’area sottesa della curva 2t tra –1 e 1

Trovare la primitiva della funzione ln(z)

Calcolare il differenziale, rispetto a t, rispetto a x e rispetto a y, della funzione z=exp(x)t2cos(xt)


Vettori e versoriGeometricamente un vettore è un segmento orientato che ha bisogno di tre quantità per essere definito•modulo (lunghezza del vettore)•direzione (retta su cui giace il vettore, esteso anche alle parallele)•verso (una delle due possibilità di orientazione della direzione)

V

Un versore di un vettore è il vettore con uguale direzione e verso ma modulo unitario vIndicheremo il modulo di v con v (senza

barra) v= |v| , il versore di V sarà

indicato da v con |v|=1.

^

^

Modi alternativi di scrittura

( V, grassetto V)→

Nota i vettori ⊥ al pianosi indicano conse uscenti

se entranti ×^


Definito un sistema di assi cartesiano ortogonale, il vettore puòessere individuato da numeri, le sue componenti.Nello spazio 3D occorrono tre numeri per definire un vettore (ℜ3)

x

y

z

v

v=(vx,vy,vz)

vxvy

vz

Dal teorema di Pitagora (essendo ilsistema di assi ortogonale!) il modulo è

________________

v=√ vx2+ vy

2 + vz2

Con proprietà V≥0, =0 se V vettore nullo.

Si può scrivere anche come V I VT. Le componenti cambiano usando un altro sistema di assi (ma il modulo non cambia).Fisicamente il vettore viene definitoin base alle proprietà di trasformazione delle componenti

O


x

y

z

x

y

z

Terna destrorsa Terna sinistrorsa

I versori degli assi si indicano di solito con î ĵ kè bene osservare che si possono definire due terne tra loro differentiche sono l’immagine speculare uno dell’altro come la mano destra

^

e sinistra. Si usa in genere quella destrorsa ancheper la definizione del prodotto vettoriale chevedremo in seguito. La scelta corrisponde a scegliereun’orientazione dello spazio.


Un vettore può essere applicato in un punto o libero.Un vettore libero può essere spostato parallelamente a se stessoo se vogliamo tutti i vettori paralleli e di uguale modulo applicatiin tutti i punti dello spazio sono equivalenti e quindi basta prenderneuno a piacere che rappresenta il vettore classe di equivalenza

O

I vettori liberi sonoindividuati solo dalle componenti (uguali per tutti)mentre quelli applicatirichiedono in più la conoscenza del

P

punto di applicazione. Due vettori sono uguali se possono essere resicoincidenti (utilizzando un rappresentante opportuno delle classe di eq.)Ovviamente vettori uguali hanno le stesse componenti

Per essi la direzione è la stessa (rette parallele)


La somma di vettori è definita dalla regola del parallelogramma

+a b

Spostiamo i vettori parallelamente ase stessi in modo che la punta di acoincida con la coda di b.Il vettore somma s è il vettore che inizia dalla coda da a e termina sullapunta di b.

In termini di componenti

a b

s=a+b

s=(ax+bx, ay+by, az+bz)

Vale la proprietà commutativa e quella associativaa+b= b+a (a+b)+c= a+(b+c)= a+b+c


Il prodotto di un vettore per uno scalare genera un vettore il cui modulo risultante è il prodotto del modulo per lo scalare(se negativo, cambia il verso). In termini di componenti

a s=(a sx, a sy, a sz) se a= -1 si ottiene il vettore opposto--------------------------------------------------------------------------------

Esercizi:Disegnare i punti P=(2,5) e Q=(3,4) e mostrare che il vettore r=Q-Pè uguale al vettore (1,-1) applicato nell’origine

Calcolare il modulo dei seguenti vettori e trovarne il versore corrispondente (1,2,3) (1,1,0) (2,0,1)

Sommare i seguenti vettori: vettore 3D lungo la bisettrice del piano xy con x,y>0 e modulo 3, vettore 3D nella direzione z e lunghezza 2.

Commentare la seguente affermazione: dato un vettore, il suo versore è sempre più corto.


Sono definiti tre prodotti tra vettori.

1) Il prodotto scalare genera uno scalare s = a • b = |a||b| cos αvalgono la proprietà commutativaa • b = |a||b| cos α= |b||a| cos α= b • a e e quella distributiva rispetto alla somma a • (b + c)= a • b + a • c

b

a

α

|a|cos α (oppure |b| cos α) rappresenta la proiezione di a su b(o di b su a). Da questa osservazione si ricava che le

le componenti lungo gli assi si calcolano come ax= a • î ay= a • ĵDovendo calcolare la componente vw di un vettore v lungo la direzione di un altro w in modo analogo si calcola vw=v•w=|v| |w| cos α=|v| cos αSe si usa una terna ortonormale qualunque, e1,e2,e3 (potrebbero essere anche î,ĵ,k) e1•e1=1 e1•e2=0 e1•e3=0 e2•e2=1 e3•e3=1 (in notazione compatta con il simbolo di Kronecker δij che è 1 se i=j e 0 altrimenti, matrice identità, ei•ej= δij) a • b =(a1e1+a2 e2+a3e3) •(b1e1+b2 e2+b3e3)= (a1b1+a2b2+a3b3)

|b| cos α

^ ^

α angolo più piccolofra i vettori

^


Da osservare che s • s = sxsx + sysy + szsz= |s|2

Quindi la distanza fra due punti P e Q è calcolabile come______________

√(P - Q ) • (P - Q )

Es.: Dalla definizione di circonferenzadi raggio r nel piano xy

(P - P0 ) • (P - P0 ) = r 2

(x-x0)2 + (y-y0)2=r 2

P0

P

Q


2) Il prodotto vettoriale genera un vettore

c = a ∧ b il cui modulo è |a||b| sin φ

la direzione è perpendicolare al pianoindividuato da a e b ed il verso è definitodalla regola della mano destra(a b e a ∧ b formano una terna destrorsa) il prodotto è anticommutativoa ∧ b = -b ∧ ain termini di componenti si calcola il determinante (in modo però improprio)

| î ĵ k|| ax ay az|= (aybz- azby) î+ (azbx- axbz) ĵ+(axby- aybx) k| bx by bz|

k=î ∧ĵ , î= ĵ ∧ k, ĵ = k ∧ î

^^

^ ^ ^


Geometricamente il modulo del prodotto vettoriale equivale all’areadel parallelogramma con lati a e b|a||b| sin α

a

b

α|b|sin α

a

b

α

c

a ∧ bIl prisma di spigoli a, b e c ha volume| a • b ∧ c | (prodotto misto di vettori) che è invariante per permutazione ciclica

a • b ∧ c = c • a ∧ b = b • c ∧ a

È da osservare che il prodotto misto per i versori degli assi è positivo se la terna è di tipo destrorso, negativo se sinistrorsa, quindi tale prodotto può essere usato per stabilire l’orientazione dello spazio definita dal sistema di assi cartesiani


Se due vettori sono perpendicolari a • b = 0

se 3 vettori sono complanari a • b ∧ c = 0

una retta passante per P di direzione v r= vt + P

x

y

z

PRetta perpendicolarealla precedente in Pr’= nt + Pcon n • v = 0

Definizione di piano passante per P0=(x0,y0,z0) e perpendicolare a v=(a,b,c)v•(P-P0)=0 cioèa(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

v

n

r

r’


Esercizi: calcolare un vettore 2D perpendicolare a (2,3)

Calcolare in 3D il vettore perpendicolare al piano individuato dai punti (5,2,1), (2,2,1) e (0,1,2)

Trovare un vettore complanare a (1,2,0) (2,1,0)

Scrivere in forma parametrica la retta che passa per i punti (2,0,2) e (3,1,0)

calcolare le rette che passano per (1,1,2) e siano parallela o perpendicolare alla retta x=2 t+1 y=4 t-2 z=5 (sia t il parametro)

Dati i due vettori (1,1,0) e (1,0,1), determinare il terzo vettore che completi la terna in modo che formino un sistema di riferimento sinistrorso. Il sistema è ortogonale?


3) Esiste un terzo prodotto fra vettori (a e b) che è il prodotto tensorialeche genera un tensore di ordine due (es. momenti di inerzia)e si indica s= a ⊗ b ed in termini di componenti

axbx axby axbz s = aybx ayby aybz

azbx azby azbz

Cioè ogni elemento ha due indici Sij=aibj

È possibile definire anche tensori di ordine superiore a due (quindi con più indici) per rappresentare proprietà fisiche particolari (p.es. piezoelettricità dei cristalli Pijk) ma nel corso utilizzeremo principalmente quantità scalari e vettoriali e ci limiteremo al caso del tensore di inerzia di ordine 2

↔

↔


Piezoelettricità

E' la capacità di un cristallo di sviluppare separazione di cariche su facce opposte per deformazione lungo certe direzioni cristallografiche

(Piezo significa pressione). Il tensore Pijk lega il tensore di deformazione cjk

col vettore campo elettrico Ei: Ei=Pijk cjk

Usi: accendini piezoelettrici, oscillatori al quarzo (orologi), sonar, cicalini piezoelettrici, microfoni, attuatori micro e nanometrici


Cambiando il sistema di assi (per rotazione) da Oxyz aOx’y’z’ i valori delle grandezze fisiche possono

•non cambiare (quantità scalari o tensori di ordine zero)

•cambiare come v’x vx con A matrice

v’y = A vy di trasformazione

v’z vz (quantità vettoriali o tensori di ordine uno)

•cambiare come Q’ = A Q A-1

(tensore di ordine due) Q può essere pensata come una matricedi elementi Qij e ogni indice si trasforma come una coordinata

Eccetera. Le proprietà di trasformazione definiscono la loro natura di scalari, vettori, tensori. Per capire questo consideriamo un esempio.


Esempio in 2D: rotazione di un angolo θ degli assi di riferimento

x

y

x’

y’

θP

P

Le coordinate di P cambiano da (x,y) a (x’,y’) (vettore r che individua P)Scriviamole come vettori colonna (x,y)T e (x’,y’)T

(x’,y’)T =A (x,y)T, con matrice che rappresenta la rotazione di θ.cos(θ) sen(θ)

A= -sen(θ) cos(θ) quindi x’=cos(θ)x+sen(θ)y y’=-sen(θ)x +cos(θ)y

Da osservare che la distanza di P da O rimane costante (|r| costante) e questo deriva dal fatto che det(A)= cos2(θ)+sen2(θ)=1 (proprietà generale delle matrici di rotazione pura anche in 3D)

OO

r r


Nel caso il det sia –1 la matrice rappresenta una rotazione con inversione degli assi

x

y

θP

P

OO

r r

x’

y’

P

Or

-cos(θ) -sen(θ)A= -sen(θ) cos(θ) quindi x’=-cos(θ)x-sen(θ)y=-(cos(θ)x+sen(θ)y)

y’=-sen(θ)x +cos(θ)ydet(A)=- cos2(θ)-sen2(θ)=-1, questa operazione ha cambiato l’orientamento del piano xy (uscente dal foglio →entrante nel foglio)Nel caso 3D una tal matrice fa passare da una terna destrorsa a una sinistrorsa. Le matrici di rotazione si chiamano anche ortogonali.


Tutte le quantità fisiche che si trasformano come il vettore r, posizione del punto P, sono quantità vettoriali. Non basta cioè prendere 3 numeri a, b e c e formare una terna ordinata (a,b,c) perché questo sia un vettore dello spazio.Le quantità che non cambiano per trasformazioni di coordinate sono gli scalari. Però non basta prendere un numero. Infatti se prendiamo un valore che corrisponde ad una componente di un vettore (p.es. componente x) e lo supponiamo uno scalare, per rotazione esso si trasformerà come x’=A11x+A12y+A13z. Nel caso 1D, la coordinata x dipende dall’orientazione dell’asse e quindi se l’asse x diventa –x anche la coordinata x cambia in –x

O P

xO

xP

Quindi dal punto di vista dei tensori, la coordinata x anche nel caso unidimensionale non può essere considerata uno scalare nel senso stretto.

G. Bracco - Appunti di Fisica Generale

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Metodo Sperimentale

1) Consiste nel basare lo studio dei fenomeni naturali sulla loro OSSERVAZIONE(descrizione del fenomeno senza intervento da parte dello sperimentatore) 2) sull’ESPERIMENTO (riproduzione di un fenomeno in condizioni accuratamente controllate)3) sulla MISURA (associazione mediante un procedimento univoco e riproducibile di un numero alle Grandezze Fisiche (GF) che intervengono nel fenomeno).

Il procedimento di misura permette di ottenere relazioni quantitative fra le GF espresse da Definizioni (DEF)

Leggi Fisiche (LF) a cui obbedisce il fenomeno. Ogni GF è definita in modo oggettivo dal suo procedimento di misura; due GF si dicono omogenee se si possono confrontare (ovvero stabilire se una è maggiore, minore o uguale all’altra) ed è definita tra loro un’operazione di sommaRisulta chiaro che GF che vengono definite dallo stesso procedimento di misura sono omogenee.


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Presa una GF come unità U è quindi possibile, suddividendo opportunamente U e sommando eventualmente più copie di U, stabilire quante volte U è contenuta nella GF omogenea ad U.Questa operazione permette di trovare la misura della GF rispetto ad U. Poiché le LF (o le DEF) collegano fra loro GF in genere non omogenee, vengono scelte un numero ristretto di GF dette Grandezze Fisiche Fondamentali(il numero è dettato sia dal vincolo di poter rappresentare tutte le GF Derivate, sia dalla convenienza) e tramite LF o DEF si definiscono le GF Derivate.

La GF scelta come unità definisce un campione (realizzazione della GF unità) e tale campione dell’unità di misura deve essere•invariabile (la sua definizione è indipendente dal tempo e dalla posizione nello spazio)• accessibile (lo si deve poter usare facilmente)• riproducibile (si possono fare copie da utilizzare in altri luoghi)queste caratteristiche permettono di non avere arbitrarietà nei campioni.


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Esempi

Se un metro è definito differentemente tra Italia e Svizzerasarebbe impossibile fare scambi commerciali fra i duePaesi.

Ogni volta che compro un chilogrammo di pane voglio avere sempre la stessa quantità di pane.

Se gli autobus partono ogni 10 minuti, posso fare previsioni su quando arriverò alla fermata voluta se la mia definizione di minuto e’ uguale a quella dell’orario.Un orologio che anticipa o ritarda (rispetto a cosa?) non lo permetterebbe.


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Sistema Internazionale (S.I.):

sistema adottato internazionalmente in cui le GF Fondamentali sono (tra parentesi le unità di misura col rispettivo simbolo):

Lunghezza (metro, m), LTempo (secondo, s), TMassa (chilogrammo, kg), MIntensità di corrente (ampere, A), I Temperatura termodinamica (kelvin, K), θQuantità di sostanza (mole, mol) Intensità luminosa (candela, cd)e quelle supplementari di

α angolo piano (radiante, rad) Ω angolo solido (steradiante, sr).


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GRANDEZZE FONDAMENTALI E LORO UNITA’ di MISURAmetro è l’unità di lunghezza ed è la lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un

intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di un secondo si indica con mchilogrammo è l’unità di massa ed è uguale alla massa del campione internazionale

del chilogrammo si indica kg (!!!!!!!!!!!!!!!!)secondo unità di tempo di durata pari a 9 192 631 770 periodi di oscillazione della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale del cesio 133, si indica con s

ampere è l’unità della corrente elettrica e corrisponde a quella corrente costante chescorrendo in due fili di lunghezza infinita e di dimensione trascurabile posti a distanza di 1 m nel vuoto, produrrebbe una forza tra di essi pari a 2 x 10-7 newton per metro di lunghezza, si indica con A

-------------------------------------------------------------------------------------------------------kelvin è l’unità di temperatura termodinamica corrispondente a 1/273.16 della temperatura termodinamica del punto punto triplo dell’acqua, si indica con Kmole è l’unità della quantità di sostanza di un sistema che contiene tante particelle

quanto sono gli atomi in 0.012 kg di carbonio 12, quando si usa devono essere specificati il tipo di entità (atomi, molecole, ioni, elettroni,…) si indica con mol

candela è l’unità di intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette radiazione monocromatica di frequenza 540 x 1012 hertz pari a 1/683 di watt per steradiante, si indica con cd


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angolo pianorapporto fra lunghezza dell’arco e il raggio della circonferenza

α=l/r unità radiante

angolo solido unità steradianterapporto fra l’area della calotta sferica (generata dall’intersezione del cono con vertice nel centro e la sfera) ed il raggio al quadrato della sfera

Ω=A/R2

Grandezze supplementari

l

r

A

R

O

O

O centro

O centro

α

Ω


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Esercizi: convertire in radianti i seguenti angoli 10°, 12°35’1”=12°+35/60°+1/3600°≈12.5836°, 30°

Dato un triangolo isoscele con i lati di 1.2 m, 1.2 m e 0.10 m calcolare l’angolo fra i lati uguali in rad

Calcolare il valore dell’angolo solido che comprende tutto lo spazio

Una sorgente emette acqua uniformemente entro un cono di apertura approssimativamente di 180°. Se dalla sorgente escono 100 l/s, quanta acqua entrerà ogni s in un foro di 1 cm di raggio distante 1.50 m dalla sorgente?


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Il SI è un sistema coerente cioè utilizzando i valori numericidelle GF espresse in unità del SI, si ottengono risultatifinali corretti

esempio: se voglio che la velocità sia espressa in km/h e misuro un tratto di strada in metri e il tempo per la percorrenzain minuti l’insieme di unità (metro, minuto,km/h) non formanoun sistema coerente

infatti se l=1000 m e t=60 min v=l/t=1000/60= 16,666….in unità m/min e non km/h.

Quindi per i calcoli, si deve sempre utilizzare unsistema coerente altrimenti si sbagliano i risultati numerici e non solo …..


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Mission Launch The lander was launched from Cape Canaveral Air ForceStation (CCAFS) Space Launch Complex 17 (SLC-17) onJanuary 3, 1999. Spacecraft Dimensions :1.06 meters (3.5 feet) tall by 3.6 meters (12 feet) wide. Spacecraft Weight

Total: 576 kg (1,270 pounds) Lander: 290 kg (639 pounds)Propellant: 64 kg (141 pounds) Cruise Stage: 82 kg (181 pounds)Aeroshell & Heat Shield: 140 kg (309 pounds)

Mission Timeline: January 3, 1999: Launch, December 3, 1999: Mars Landing, March 1, 2000: End Of Primary Mission

Project Cost:$110 million for spacecraft development, $10 million mission operations;

total $120 million (not including launchvehicle or Deep Space 2 microprobes).

http://mars3.jpl.nasa.gov:80/msp98/news/mco990930.html

Douglas Isbell Mary Hardin Joan UnderwoodHeadquarters, Jet Propulsion Laboratory, Lockheed Martin AstronauticsWashington, DC Pasadena, CA Denver, CO

RELEASE 99-113MARS CLIMATE ORBITER TEAM FINDS LIKELY CAUSE OF LOSSA failure to recognize and correct an error in a transfer of information between the Mars Climate Orbiter spacecraft team in Colorado and the mission navigation team in California led to the loss of the spacecraft last week, preliminary findings by NASA's Jet Propulsion Laboratory internal peer review indicate. The peer review preliminary findings indicate that one team used English units (e.g., inches, feet and pounds) while the other used metric units for a key spacecraft operation. This information was critical to the maneuvers required to place the spacecraft in the proper Mars orbit. …...


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Analisi dimensionale

consiste nel trovare quali GF Fondamentali entrano nella definizionedi una GF a partire dalla definizione della GF (in particolare con che esponente)tale operazione si indica con parentesi quadre [ ].

Grandezze adimensionali sono quelle che, come i numeri puri, non hanno dimensioni: ad esempio la misura degli angoli in radianti viene definita come rapporto tra due lunghezze (lunghezza dell’arco rispetto al raggio della circonferenza) e perciò è adimensionale ovvero tutte le GF Fondamentali vi compaiono con esponente zero.


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Vediamo alcuni esempi limitandoci a GF meccaniche in cui compaiono Lunghezza, Massa e Tempo: velocità scalare v=ds/dt, analisi dimensionale

[v]=[ds/dt]=[ds]/[dt]=LT-1

volume di un cilindro di raggio r e altezza h

V=πr2h, [V]=[πr2h]=[π][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3

da notare che π è un numero puro e quindi non ha dimensioni [π]=1 Nota: si ottiene lo stesso risultato anche per qualunque altro volume trattandosi di grandezze omogenee. Chiaramente le GF Fondamentali che non compaiono si sottintendono elevate a zero

e quindi una scrittura più corretta sarebbe [v]= LT-1M0

Vediamo ora come trovare le unità di misura utilizzando gli stessi esempi velocità scalare v=ds/dt, dall’analisi dimensionale

[v]=[ds/dt]=[ds]/[dt]=LT-1

poiché l’unità per L è il metro mentre per T è il secondo quindi l’unità per v risulta m/s. Indicheremo con l’operazione di trovare le unità di misura diuna GF. P.es. L=m T=s M=kg v=m/s


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volume di un cilindro di raggio r e altezza h

V=πr2h, [V]=[πr2h]=[π][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3

V=πr2h=πr2 h=r2 h=L3=m3

da notare che π è un numero puro [π]=1 π=1

Se anziché il SI si fosse usato il sistema cgs l’analisi dimensionale darebbe lo stesso risultatoV=πr2h, [V]=[πr2h]=[π][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3

ma non per le unitàV=πr2h=πr2 h=r2 h=L3=cm3

Se anziché il SI si fosse usato il sistema Inglese l’analisi dimensionale darebbe lo stesso risultatoV=πr2h, [V]=[πr2h]=[π][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3

inveceV=πr2h=πr2 h=r2 h=L3=in3

L’ operazione [ ] dipende dalla scelta delle GF fondamentali del sistema, scelto il sistema di unità, l’operazione dipende dalle unità di misura di quel sistema. Ciò mostra che le operazioni [ ] e non sono equivalenti dipendendo dal sistema scelto e dalle unità di misura. Questa differenza in genere viene confusa.


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Prima del SI vi erano due sistemi mksa e pratico nel sistema pratico la forza era la GF al posto della massa quindi indicata con F la grandezza forza e con fa la forza di attrito[fa]=Ffa=kgf chilogrammo forzamentre nel SI vedremo che[fa]=MLT-2

fa=N (newton)

Definiamo un sistema (inventato) in cui le grandezze fondamentali sono V (velocità),T,M con unità di misura r (rapido),s,kg [h]=? h=? Con h altezza------------------------------------------------------------------------------

Dalla definizione una lunghezza l=v tquindi [h]=[l]=[v t]=V T = V T M0

h=v t=r s


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Valori misurati e precisione

Ogni misura viene effettuata utilizzando un’opportuno strumento e procedimento di misura (che definisce la GF). Questo implica che esiste un valore minimo che si può apprezzare con lo strumento al di sotto del quale i valori di due GF sono indistinguibili (sensibilità dellostrumento). Questo vuol dire che il valore misurato si conosce entro un intervallo di indeterminazione pari alla sensibilità dello strumento. Ciò limita il numero di cifre che rappresenta il valore numerico della GF misurata.La semiampiezza di questo intervallo è chiamato Errore assoluto ∆E (con le stesse unità della GF a cui si riferisce, cioè omogeneo ad essa, inoltre il valore è sempre positivo). L’errore assoluto fornisce un modo di valutare la precisione di una misura.


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È da osservare che la misura di una GF A si indica correttamente e in modo completo nel seguente modo:A= (Ao±∆A) udm dove Ao è il valore misurato, ∆A il suo errore, e udm l’unità di misura della GF, mancando l’errore e/o l’udm il valore misurato è incompleto.

Es. “Comprami 5 di pane” non specifica esattamente cosa voglio(5 panini, 5 chilogrammi)

Mentre è possibile sottointendere l’errore (vedere la parte di cifre significative), l’udm va sempre esplicitata.Per alcune unità di misura di GF Derivate si utilizzano anche nomi particolari (p.es. per la carica elettrica C (coulomb), per la forza N (newton)). In tal caso anche se l’udm è indicata con lettera maiuscola, il nome per intero (anche se di persona) viene scritto minuscolo.

Scrittura del valore di una GF


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Si definisce Errore relativo ε (o percentuale ε% se si moltiplica quello relativo per 100) il rapporto fra l’errore assoluto e la misura della GF (se quest’ultima è diverso da zero). Tale errore è adimensionale ed è utile per conoscere la precisione relativa di una misura: p.es.

a)misura della larghezza di una porta di circa 1 m viene effettuata con metro a nastro (sensibilità di 1 mm)

b)la distanza fra due incroci di una strada vale 5 km ed è conosciuta a meno di 1 m

la misura a) ha ε=5 10-4, la misura b) ha ε=2 10-4 quindi la seconda ha una precisione relativa migliore nonostante l’errore assoluto sia maggiore.


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Cifre significative

Poiché i valori misurati sono affetti da errore, il numero di cifre con cui il valore può essere scritto dipende dall’errore assoluto stesso. Valori inferiori all’errore assoluto sono privi di significato (poiché ricadono entro l’intervallo di indeterminazione), questo vuol dire che il valore della GF comunque ottenuto deve essere arrotondato al numero di cifre che sono non inferiori a quelle dell’errore (cifre significative). P.es. se si ottiene da un calcolo il seguente valore Ao =1.58254 e si conosce che ∆A=0.2 allora il valore di A va scritto tenendo le cifre fino ai decimi ovvero A=(1.6 ±0.2)udm (poiché la prima cifra trascurata è maggiore di 4 si aumenta di uno) mentre se ∆A=0.03 allora A=(1.58 ±0.03) udm. La cifra più a sinistra è detta cifra più significativa, quella più a destra meno significativa(nel valore 1.58 la cifra 1 è quella più significativa , 8 quella meno).


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È anche possibile non esplicitare l’errore e scrivere direttamente il numero di cifre corretto sottintendendo che l’errore è ±1 sulla cifra meno significativa

questo metodo fornisce grossolanamente l’ordine di grandezza dell’errore e viene utilizzato di frequente nel testo dei problemi per non far calcolare esplicitamente anche l’errore sul valore finale ovvero A=1.58 udm si deve intendere A=(1.58±0.01)udm.

Una scrittura A=2.00 udm non va perciò semplificata in A=2 udmo scritta 2.00000poiché ciò significherebbe nel primo caso A=(2.00±0.01) udm nel secondo A=(2±1)udm, nel terzo A=(2.00000±0.00001)udm.


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Per valutare quante cifre significative compongono un valore è opportuno - scrivere il valore utilizzando le potenze di dieci in modo che esso contenga una sola cifra (unità) diversa da zero prima della virgola - contare tutte le cifre (compresi gli zeri finali) se con notazione decimale.

P.es. 0.0020 diviene 2.0 10-3 quindi ha 2 cifre significative (gli zeri prima del 2 non contano), 3000. (notare il punto alla fine) diviene 3.000 103 ovvero 4 cifre significative, invece 3000 (senza punto finale) diviene 3 103 ovvero con 1 cifra significativa. Da notare che gli errori vengono solitamente forniti con una cifra significativa, due nel caso di misure di notevole precisione.(Nota: nel caso di numeri superiori all’unità con zeri finali come 3000 alcuni testi riportano che hanno 1 sola cifra significativa poiché gli zeri successivi non contano, poiché ciò dà luogo a fraintendimenti, nel presente corso non useremo questo modo di procedere.)NOTA: a volte per indicare gli errori si usa anche la notazione con parentesi ovvero 17.64±0.03=17.64(3) dove il 3 indica l’errore sulla cifra meno significativa 4.


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Nelle operazioni è bene tener presente le seguenti regole pratiche: a) nella somma di numeri conta sempre l’errore assoluto maggiore che limita il numero di cifre significative del risultato,b) nel prodotto, il numero di cifre significative è uguale al numero minimo di cifre significative presenti nei fattori.

Quindi nella soluzione di problemi il numero di cifre del risultato non può essere superiore a quello minimo dei dati.

Ordini di grandezza

per esprimere ordini di grandezza si arrotonda il valore esprimendolo con opportune potenze di dieci. P.es. l’ordine di grandezza di 3580 è 103, quindi l'ordine di grandezza è una stima arrotondata alla potenza di dieci più vicina (per 6450 è 104). Le unità SI vengono usate assieme ai prefissi SI, che tengono conto degli ordini di grandezza


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Unità di misura e conversione fra differenti unità

Dall’analisi dimensionale si conosce il contenuto delle GF Fondamentali per le quali viene definito l’unità campione U (nel S.I. metro m, secondo s, …) e quindi le unità di misura delle GF Derivate. Utilizzando gli esempi precedenti poiché [v]=[L][T]-1 l’unità di misura di v sarà il m/s (o ms-1) e per i volumi il m3 . Abbiamo già visto che per alcune unità di misura di GF Derivate si utilizzano anche nomi particolari (carica elettrica C (coulomb), forza N (newton), frequenza hertz (Hz), capacità elettrica farad (F), ...) ma queste sono riconducibili sempre alle udm delle GF fondamentali. Scegliendo diverse unità U per le GF Fondamentali si ottengono diverse unità di misura per le GF Derivate con valori numerici differenti. È necessario perciò poter passare da una unità ad un’altra per effettuare calcoli in unità coerenti (ovvero di uno stesso sistema di unità come quello Internazionale).


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Infatti, anche se matematicamente 1=1 (uno=uno) è un’ovvia uguaglianza tra le grandezze adimensionali, le seguenti sono chiaramente errate (anche se le misure ai due membri si riferiscono a grandezze omogenee come è necessario per poterle confrontare): 1m =1 cm, 1 cm = 1 in (inch), 1 m3=1 l (litro)

mentre sono corrette le seguenti 1m= 100 cm, 2.54 cm=1 in, 1 m3=103 l.

Per passare da un’unità ad un’altra si può utilizzare il procedimento che si basa sul moltiplicare il membro di un’eguaglianza per il rapporto unitario fra le diverse unità in modo che l’uguaglianza non cambi. Vediamo alcuni esempi.Velocità: 60 km/h = x m/s dove x è il valore da trovare. Poiché 1 km= 103 m il rapporto 1km/103 m è unitario e quindi (103 m /1km) 60 km/h= 60 103 m/h semplificando le unità di misura come se fossero monomi, d’altra parte 1 h=3600 s quindi il rapporto 1h/3600s è unitario da cui (1h/3600s) 60 103 m/h=60 (10/36) m/s infine 60 km/h= 60 (10/36) m/s= 16.6666.. m/s≈ 17 m/s arrotondato alle opportune cifre significative

Densità (rapporto tra massa e volume): 5 g/l= 5 (1kg/103 g) g/l= 5 10-3 kg/l= 5 10-3 (1 l/10-3 m3) kg/l=5 kg/m3


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Multipli e sottomultipli vengono utilizzati perché le unità di misura di un sistema non sempre sono le più convenienti in tutti fenomeni. Basti pensare alle misure di lunghezza: se 1 m è utile in molte circostanze su scala umana, ciò non è più vero su scala atomica o su scala galattica. Per limitare il numero di zeri da utilizzare (il raggio della prima orbita di Bohr dell’atomo di idrogeno vale circa 0.00000000005 m) e per ragioni legate anche alle cifre significative si utilizzano i prefissi che moltiplicano l’unità per potenze di dieci con esponenti multipli di 3 o -3.Multipli: chilo k =103 , mega M=106, giga G=109 , tera T=1012 , peta P=1015 , exa E=1018 zetta Z=1021, yotta Y=1024

Sottomultipli: milli m=10-3, micro µ=10-6, nano n=10-9 , pico p=10-12, femto f=10-15, atto a=10-18, zepto z=10-21, yocto y=10-24

• Da osservare che per il kg i multipli e sottomultipli si formano a partire dal g e non dal kg quindi si scrive Mg e non kkg oppure mg e non µkg

Esempi: le trasmissioni a modulazione di frequenza si trasmettono tra 88 e 108 MHz (mega hertz=106 Hz, con hertz unità di misura della frequenza), mentre i telefonini funzionano a 900 MHz e 1.8 GHzle dimensioni atomiche sono inferiori a 1 nm (nano metro= 10-9 m), i condensatori più piccoli sono quelli da 1pF (pico farad= 10-12F, con farad unità di misura delle capacità elettrica)Problema: 1 anno luce=distanza percorsa dalla luce in un anno a quanti metri corrisponde con 2 cifre significative?


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Esempi di sottomultipli di unità di misura

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Fisica Generale Polo di Spezia Scuola Politecnica a.a. 2017-18bracco/dida/FGI01-Intro.pdf · G. Bracco.Appunti di Fisica Generale 1 Fisica Generale Polo di Spezia Scuola Politecnica