Fisica Generale 1

8/11/2019 Fisica Generale 1

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Giorgio Pietro Maggi

Lezioni di Fisica GeneralePer il corso di laurea in Ingegneria Edile

A.A. 2002/2003(in costruzione)

Politecnico di Bari


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Premessa.

Le Lezioni di Fisica Generale qui proposte non vogliono in alcun modo sostituire il libro di testo, essevanno invece considerate complementari ad esso.Il libro di testo1. di norma tratta i vari argomenti in maniera pi ampia, in molti casi osservando il problema da pi

punti di vista e mettendolo in relazione con altri argomenti collegati, in qualche caso anche conrichiami storici.

2.

corredato da numerose figure, che servono a rendere pi chiari i fenomeni di cui si discute e leargomentazioni utilizzate.

3. riporta numerose tabelle .4. per ogni argomento vengono riportati numerosi esempi e problemi svolti.5. Alla fine di ogni argomento, riporta una raccolta di quesiti e di esercizi, alcuni dei quali con le

soluzioni, che forniscono un grande aiuto nella comprensione dei fenomeni fisici discussi.

Le Lezioni dal canto loro rappresentano comunque un importante lavoro di sintesi dei vari argomentitrattati e quindi, in questo senso, possono facilitare il raggiungimento dellobiettivo finale, cio quellodi completare la preparazione dellesame di Fisica Generale nel pi breve tempo possibile senzadisperdersi su argomenti meno importanti. Ma proprio perch costituiscono una sintesi, rischianopresentare una visione dei fenomeni fisici trattati molto parziale.

Quindi, queste lezioni vanno usate in connessione con il libro di testo. Quello a cui si fattoriferimento nel prepararle il classico:

David Halliday- Robert Resnick, Jearl Walker - FONDAMENTI di FISICA Casa EditriceAmbrosiana


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IntroduzioneLa Fisica: presentazione.Nella vita quotidiana si incontrano frequentemente fenomeni che sono oggetto di studio della Fisica.Consideriamo ad esempio lautomobile: pur in uno spazio cos ristretto si verificano tutta una serie difenomeni fisici:!

innanzitutto il moto sia come moto di insieme di tutta lautomobile, ma anche il moto dei singoliparticolari come il moto di rotazione delle ruote, il moto alternativo dei pistoni nei cilindri, etc.Cosa determina il moto dellautomobile? Quali sono le condizioni che determinano un moto dirotazione (come quello delle ruote), oppure alternativo (come quello dei pistoni) o di semplicetraslazione (moto di insieme dell'automobile)? Dove e come si pu intervenire per migliorare lasicurezza nellautomobile, per es. perch il sistema ABS migliora le prestazioni dell'automobilenella frenata?

! trasformazione dellenergia interna contenuta nel carburante (la benzina) in movimento meccanico.In quali condizioni questa trasformazione si realizza con la massima efficienza?

! fenomeni elettromagnetici: motorino di avviamento, alternatore, batteria, corrente elettrica,lampadine, emissione di luce dai fari, assorbimento di onde elettromagnetiche per ascoltare laradio, per ricevere una telefonata col cellulare.

Se anzich lautomobile considero unabitazione, anche qui possiamo identificare alcuni fenomenifisici:! al posto del moto c da chiedersi come mai labitazione non crolla, come possibile farla

resistere a varie sollecitazioni: vento, terremoti, scoppi, urti.! problemi legati al riscaldamento dellabitazione nei mesi invernali e al raffreddamento in quelli

estivi, alla conservazione dei cibi (frigorifero): in che modo si possono raggiungere questi obiettivispendendo il meno possibile?

! anche in una abitazione si verificano fenomeni elettromagnetici a cominciare dal passaggio dicorrente nella resistenza del forno elettrico o della griglia elettrica, lemissione di luce dallelampadine dellimpianto di illuminazione, alla captazione delle onde elettromagnetiche per ilfunzionamento della radio e del televisore, per finire a quei processi che avvengono allinterno deicircuiti elettronici.

Chi usa lautomobile ha anche familiarit con alcune grandezze fisiche:! Velocit (rapidit con cui cambia la posizione dellautomobile = lo spazio percorso diviso per il

tempo impiegato a percorrerlo, misurata dal tachimetro)! Accelerazione(rapidit con cui cambia la velocit dellautomobile = la variazione di velocit diviso

per il tempo impiegato)! Percorso effettuato(misurato dal contachilometri).! Spostamento(lo spostamento differisce dal percorso effettuato. il segmento orientato che ha

come primo punto la posizione di partenza e come secondo punto quella di arrivo. Supponiamoche con lautomobile si sia andati dallabitazione al supermercato e poi si sia tornati a casa, lospostamento zero (la posizione di arrivo coincide con quella di partenza) mentre il percorso

effettuato sicuramente maggiore di zero). Lo spostamento caratterizzato da un modulo, ladistanza tra il punto di arrivo e quello di partenza, da una direzione, quella della retta passante dalpunto di arrivo e da quello di partenza (per due punti passa una sola retta), ed un versoquello dalpunto di partenza al punto di arrivo.

! Volume(del serbatoio misurato attraverso lindicatore di livello della benzina)! Cilindrata(volume complessivo dei cilindri del motore)! Pressione(dei pneumatici, misurata con il manometro)! Temperatura(dellacqua nel radiatore, misurata dal termometro)! Potenza(del motore, indicato sul libretto di circolazione: la base per il calcolo della tassa di

circolazione)! Coppia(massima. una caratteristica del motore che solitamente i costruttori riportano sui depliant

della vettura, una coppia massima pi elevata indica la capacit della vettura di variare pi

rapidamente la propria velocit (ripresa))!

Tensione(della batteria solitamente 12 Volt)! Corrente elettrica(la carica elettrica che attraversa una sezione del circuito elettrico in un secondo)! Resistenza elettrica(la capacit di un circuito elettrico ad opporsi al passaggio di corrente elettrica)


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! Frequenza(giri al minuto del motore misurata dal contagiri, per esempio 3000 giri al minuto,frequenza dellonda radio sintonizzata dallautoradio, per esempio 102 MHz, megahertz)

Esempi di leggi fisiche.

F =ma II legge di Newton

V = RI Legge di Ohm

!= 1"T

2

T1

#

$% &

'(

Rendimento massimo di una macchinatermica operante tra le temperature T1e

T2con T1>T2

Per controllare i fenomeni fisici, per farli cio avvenire quando a noi fa pi comodo, nella maniera incui desideriamo necessario conoscerli, sapere cos che influisce su di essi, quali sono le cause che lideterminano: conoscere cio le leggi della Fisica.Queste non sono altro che delle relazioni tra le grandezze fisiche.

chiaro che per poter confrontare i due membri di una relazione occorre misurare le grandezzecoinvolte nella relazione.

Grandezze fisiche.Cosa sono le grandezze fisiche?I fisici hanno adottato un atteggiamento pragmatico.Una grandezza ha significato in fisica se per essa stato definito un metodo di misura ed stataassegnata una unit di misura o campione.Questa definizione quella che va sotto il nome di definizione operativa delle grandezze fisiche (*).

Data una grandezza fisica, si pu scegliere un campione e si possono stabilire dei criteri perconfrontare il campione con la grandezza che si vuole misurare.

Per eseguire misure di lunghezza, per esempio quella di un segmento AB, bisogna scegliere ilcampione: possiamo prendere il segmento C. Poi bisogna specificare il metodo di misura: si riporta ilcampione C a partire dal punto iniziale A e si determina quante volte il campione, ed i suoisottomultipli, sono contenuti nel segmento AB.

A B

Campione C

Sottomultipli del campione

Si scriver: d = 3.6 Campioni

Non necessario definire un campione per ogni grandezza fisica.Le grandezze fisiche, infatti, sono legate da relazioni: definizioni o leggi fisiche; tali relazioni possonoessere usate per definire i campioni delle grandezze derivate.Per esempio la velocit legata allo spazio percorso d e all'intervallo di tempo impiegato "t dallarelazione

(*)Si noti che la fisica non pretende di dare una spiegazione di tutto: non pretende cio di spiegare cos' la "lunghezza",cos' il "tempo", cos' la "massa", cos' la "carica elettrica", etc. Tutto quello che fa cercare di determinare come questepropriet dei corpi intervengono nell'evoluzione di un fenomeno naturale, lasciando al futuro il compito di rispondere aqueste domande fondamentali. L'esperienza ci mostra che con il progredire della conoscenza si riesce a rispondere adalcune di esse: stato trovato, per esempio, che il calore altro non che una forma di energia, i fenomeni magneticisono provocati dal moto di cariche elettriche, le onde luminose sono delle particolari onde elettromagnetiche, etc.


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v =d

!t

per cui, se abbiamo definito un campione per le lunghezze ed uno per il tempo, abbiamoimmediatamente anche definito il campione di velocit: proprio la velocit di quelloggetto chepercorre il campione di lunghezza in un campione di tempo.

Supponiamo che le grandezze usate in fisica siano solo tre, la distanza d, il tempo t, e la velocit v.Essendoci una relazione tra queste grandezze (la definizione della velocit), sufficiente specificare icampioni e la metodologia di misura per due sole di esse per specificare completamente il campione ela metodologia di tutte e tre le grandezze. Nell'esempio precedente due il numero minimo digrandezze per le quali necessario specificare il campione e la metodologia di misura per definirecompletamente il sistema di unit di misura, cio per definire completamente le unit di misura per tuttee tre le grandezze.

Le due grandezze per le quali viene fissato il campione si diranno fondamentali, la terza sar dettaderivata. Ciascuna delle tre grandezze che stiamo considerando pu essere scelta come fondamentale:si potrebbero scegliere per esempio come grandezze fondamentali la distanza e gli intervalli di tempo,oppure il tempo e la velocit.

Una volta fatta la scelta delle grandezze fondamentali si dice che stato fissato il sistema di unit dimisura; una scelta diversa delle grandezze fondamentali corrisponde ad un sistema di unit di misuradiverso. Grandezze che sono fondamentali in un sistema di unit di misura possono essere derivate inun altro e viceversa.Una volta scelte le grandezze fondamentali c' ancora una arbitrariet nella definizione dei lorocampioni, per cui si possono avere sistemi di unit di misura che differiscono per il campione usato peruna o pi grandezze fondamentali.Il numero di grandezze usate in fisica ovviamente molto pi grande di tre. A titolo di esempio nellatabella 1 sono elencate alcune della grandezze usate in meccanica. Il numero di grandezze fondamentalinon per molto grande: per lo studio del moto dei corpi, in meccanica, il numero di grandezzefondamentali richiesto tre (lunghezza, tempo, massa).

Tabella 1Esempi di grandezze usate in Fisica

Grandezze fisiche SimboliLunghezza L,R,

Tempo t,TMassa m,M

Velocit v,

r

v

Accelerazione a,r

a

Forza F,

r

F

Lavoro L,WEnergia K,U,EPotenza P

Quantit di moto p,QMomento della forza

r

!,

r

M

Momento della quantit di moto

rl,

rL

Quali sono i criteri che guidano nella scelta delle grandezze fondamentali?Essenzialmente sono legati alla semplicit con cui si riesce a definire il campione ed alla suaaccessibilit, cio alla possibilit di poter tarare gli strumenti di misura direttamente con il campionestesso.


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Un buon campione di misura deve essere accessibile, riproducibile, ma deve essere anche invariabile.Quest'ultima esigenza non sempre conciliabile con le altre due.

In passato per la misura di lunghezza sono stati usati dei campioni derivanti da parti del corpo umano:pollice, piede, braccia, yarda. La yarda era definita come la distanza tra la punta del naso e la punta delledita del braccio teso. Questo un campione molto accessibile, trasportabile, ma quanto invariabile? E'ovvio che persone di statura diversa hanno una distanza naso-punta_delle_dita diversa. Si potrebbepensare di far riferimento, per definire il campione, ad una particolare persona, per esempio al re: ma, inquesto caso, il campione non sarebbe pi tanto accessibile e subirebbe comunque delle variazioni sianel corso dell'esistenza del re che all'atto della sua successione. A tutto questo si aggiunge poi ladifficolt di riportare la mano e la testa sempre nella stessa posizione.E' facile immaginare che l'uso di campioni di questo tipo poteva andare molto bene per gli avvocati,perch ovviamente dovevano succedere molte diatribe quando si vendevano o acquistavano terreni, maera sicuramente inadeguato per lo sviluppo scientifico, il quale richiede che ricercatori che si trovanoanche molto distanti tra loro, sia nello spazio che temporalmente, devono poter confrontare i risultati diesperimenti, cio, i risultati di misure.E' stato istituito un ente internazionale con il compito di studiare problemi relativi alla scelta dellegrandezze fondamentali, alla definizione dei campioni di misura, etc. E' l'Ufficio Internazionale dei Pesie Misure che ha sede a Sevres vicino Parigi.

Esiste anche una Conferenza Internazionale di Pesi e Misure che si riunisce periodicamente ed in cuivengono formulate delle raccomandazioni e suggerite delle soluzioni e delle metodologie di misura. Ivari Stati che partecipano alla conferenza possono poi adottare le raccomandazioni della conferenzaemanando delle leggi.

La XIV Conferenza Generale dei Pesi e Misure del 1971 ha suggerito di adottare il SistemaInternazionale (SI) basato sulle seguenti grandezze fondamentali e i rispettivi campioni:

Unit fondamentali (7) campione simbolo

Lunghezza Metro mMassa kilogrammo kg

TempoCorrente elettricaTemperatura Termodinamica

Intensit luminosaQuantit di Materia

Unit supplementari (2)

Angolo pianoAngolo solido

SecondoAmpereKelvin

CandelaMole

radiantesteradiante

sAKcdmol

radsr

La stessa conferenza internazionale ha adottato dei prefissi per indicare i multipli e i sottomultiplidell'unit di misura (campione), cosa molto utile quando l'intervallo di valori che le diverse grandezzepossono assumere piuttosto ampio.Come appare dalla tabella i multipli e sottomultipli differiscono di fattori 10, il Sistema Internazionale quindi un sistema metrico decimale.


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deca

etto

kilo

Mega

Giga

Tera

Peta

Esa

Multipli

10

102

103

106

109

1012

1015

1018

da

h

k

M

G

T

P

E

deci

centi

milli

micro

nano

pico

femto

atto

Sottomultipli

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

d

c

m

n

p

f

a

1 2 3 4 5 6 7

0

3

6

9

12

15

lunghezza(metro,m

)

massa(kilogrammo

,kg)

tempo(sec

ondo,s

)

correnteelettrica(ampere,A

)

temperaturatermodinamica(k

elvin,

inte

nsitluminosa(candela,c

d)

quantitdisostanza(mole,m

ol)

incertezze relative del campione delle unit fondamentali

precisioni richieste dalle applicazioni industriali

L'incertezza relativa espressa come 1/10 . Nel grafico rappresentato l'esponente n.n


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Il campione della lunghezza.La misura di una lunghezza in Fisica corrisponde alla stessa operazione che si fa in geometria permisurare la distanza tra i due estremi di un segmento rettilineo, operazione che abbiamo descritto in unesempio precedente. Per completare la definizione della lunghezza come grandezza fisica occorrefissare l'unit di misura o il campione. Nel Sistema Internazionale il campione di lunghezza il metro.

Vediamo come storicamente evoluta questa unit di misura.

Nel 1790 la costituente francese decise di porre fine al problema dei sistemi di unit di misura,affidando ad una commissione di esperti il compito di sostituire i sistemi tradizionali con uno chefosse semplice ed avesse i campioni ben definiti. Della commissione facevano parte illustri scienziaticome Lagrange e Laplace. Questa commissione si convinse che la grandezza, meno soggetta avariazioni temporali ed accessibile ai mezzi dell'epoca, a cui ancorare, mediante una definizione, ilcampione di lunghezza, fosse la dimensione della Terra. Precisamente si convenne di misurare lalunghezza del meridiano terrestre (tracciato sull'ellissoide geodetico di riferimento) passante per Parigie di prendere come campione una frazione di esso, che corrispondesse ad una lunghezza comoda, cionon molto diversa da quelle in uso, ormai selezionate dalla pratica e dal tempo. Al termine dellemisurazioni del meridiano terrestre, durate 7 anni, fu costruita e depositata a Parigi una sbarra diplatino puro che, alla temperatura del ghiaccio fondente, presentava fra i suoi estremi una distanza pari

alla 40 milionesima parte del meridiano terrestre1

. A questa lunghezza fu dato il nome di metro, nomeche fu poi attribuito anche alla sbarra. Esso differiva di poco dalla Yarda britannica (1 m = 1.1 Y). Ci siaccorse in seguito che il meridiano terrestre era pi lungo, di 3422 m, di quanto era risultato dalleprime misure. Per evitare di correggere il campione e quindi tutte le copie in circolazione, si preferabbandonare ogni riferimento al meridiano terrestre e considerare come metro la lunghezza dellasbarra. Con il perfezionarsi delle tecniche di misura, ci si rese conto che c'erano delle variazioni dilunghezza nel metro dovute a variazioni di temperatura, che presto divennero intollerabili. Vennecostruito un nuovo campione di lunghezza uguale al precedente, che venne depositato a Sevres, pressoParigi nel 1889, insieme ad apparecchi precisi all'uno su un milione per la costruzione delle copie.Questo campione tuttora in uso costituito da una sbarra di platino-iridio, che presenta elevatecaratteristiche di inalterabilit chimica e meccanica, e scarsa sensibilit alle variazioni di temperatura. Suquesto campione sono stati costruiti dei campioni secondari, distribuiti agli uffici nazionali dimetrologia di tutto il mondo. Questi ultimi vengono usati per tarare altri campioni pi accessibili.Tuttavia anche questo metro campione presenta degli inconvenienti. La sbarra campione potrebbeandare distrutta per qualche calamit o il metallo che la compone potrebbe alterarsi con il passare deltempo in maniera imprevedibile. Inoltre copie ottenute mediante un comparatore dotato di microscopiocon un forte ingrandimento, hanno una precisione di 2-5 parti su 107, limite imposto dalla grossolanitdei tratti che definiscono gli estremi del campione. Tale precisione inferiore a quella raggiunta inalcune applicazioni industriali o in alcuni esperimenti di Fisica. Oltre alla precisione inadeguata, che l'obiezione pi importante, anche scomodo confrontare le lunghezze con la sbarra campione, perch ilconfronto va fatto alla temperatura a cui conservata la sbarra, per evitare variazioni di lunghezza dellasbarra dovuta a variazioni di temperatura. Altre cause di imprecisione sono dovute alla reazione elasticadel campione conseguente alla interazione con il corpo che si vuole misurare.Queste difficolt furono superate con la definizione, adottata per accordo internazionale nel 1961, diuna unit naturale di lunghezza basata su una radiazione atomica. Poich gli atomi di una data specie

sono identici anche le radiazioni da loro emesse sono identiche. Perci il campione della lunghezzadefinito sulla base delle propriet degli atomi riproducibile dappertutto. La sbarra metrica campione stata confrontata accuratamente con la lunghezza d'onda della luce arancione emessa dal cripto 86(questo isotopo stato scelto perch pu essere ottenuto con grande purezza in modo relativamentefacile e a buon mercato). Si deciso che 1 650 763,73 lunghezze d'onda del 86Kr costituiscono unmetro. Questa definizione quindi compatibile con la definizione basata sulla distanza tra i tratti incisisulla sbarra di Sevres ma ha il vantaggio di essere circa 100 volte pi precisa. Inoltre il campione puessere riprodotto in molti laboratori di tutto il mondo, visto che gli atomi sono universalmentedisponibili e tutti gli atomi di una data specie sono identici ed emettono luce della stessa lunghezzad'onda.

1Se la lunghezza del meridiano terrestre 40 000 000 m, allora il raggio terrestre sar:

RT =lunghezza meridiano

2!=

40000000m

6, 28=

40000km

6, 28=6369km


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Nella XVII Conferenza Generale dei Pesi e Misure, tenuta nell'ottobre del 1983, la definizione delmetro campione stata ulteriormente modificata. Oggi il metro campione viene definito come ladistanza percorsa dalla luce nel vuoto in un tempo pari a 1/299792458s. Questa definizione si basasul fatto che la velocit della luce nel vuoto una costante universale. La misura di una lunghezza vienecos ricondotta ad una misura di tempo, che la grandezza che sappiamo misurare con la massimaprecisione. Questo cambiamento ha reso ancora pi accessibile il campione della lunghezza e haconsentito un ulteriore miglioramento di due ordini di grandezza della precisione nelle misure dilunghezza.

Il campione del tempo.Il tempo si concepisce come qualcosa che scorre, indipendentemente dalla nostra volont, e, in questosuo fluire, marca gli avvenimenti in maniera da ottenere una sequenza cronologicamente ordinata dieventi. Nella maggior parte dei problemi fisici non siamo interessati a questo aspetto del tempo (tempoassoluto), bens alla misura dell'intervallo di tempo tra due eventi successivi.

La ricerca del campione di tempo presenta delle maggiori difficolt rispetto a quello della lunghezza edella massa, perch non pu essere materializzato come invece stato fatto per le altre due grandezze.Nel cercare il campione del tempo, l'attenzione dell'uomo stata attratta da quei fenomeni che siripetono nel tempo sempre nello stesso ordine e con le stesse modalit. Questi fenomeni sono dettiperiodici ed il susseguirsi delle varie fasi a partire da una scelta arbitrariamente come iniziale, fino aritornare in essa detto ciclo. L'intervallo di tempo necessario per percorre un ciclo detto periodo.Per definire operativamente il tempo, bisogna fissare il periodo campione (o unit di misura). Lamisura di un intervallo di tempo tra due eventi successivi (durata di un fenomeno) si effettua contandoquante volte il ciclo campione, nella ipotesi che la sua durata non vari, si ripete tra i due eventisuccessivi.Il problema diventa quindi quello di scegliere il fenomeno periodico campione. L'attenzione statarivolta ai fenomeni astronomici. Il pi familiare la rotazione della terra intorno al proprio asse chedetermina la lunghezza del giorno. Esso fu usato fin dall'antichit come campione di tempo ed ancoraoggi alla base del campione del tempo civile.Il campione di tempo, il secondo, definito come 1/86400 parte del giorno solare medio. Per giornosolare si intende l'intervallo di tempo che intercorre tra due passaggi successivi del sole sopra lo stesso

meridiano terrestre. Perch giorno solare medio? L'orbita descritta dalla terra intorno al sole ellittica ela velocit di rivoluzione non costante, di conseguenza anche la durata del giorno solare varia durantel'anno. Occorrerebbe quindi misurare la durata delgiorno per tutto un anno e poi derivarne il valore medio.Il tempo cos ottenuto detto tempo universale T.U. E'chiaro che per poter attuare questa procedura occorredisporre di un buon orologio terreste, tarato sulleosservazioni astronomiche, come per esempio i pendoli,gli orologi a quarzo, etc.).Tuttavia il tempo determinato sulla base della rotazioneterrestre non adeguato per misure di alta precisione, acausa di una lenta diminuzione della velocit di rotazione

della terra. Queste variazioni di velocit sono di unaparte su 108in un anno. Per questo motivo l'attenzione stata rivolta all'altro moto periodico della terra, la suarivoluzione intorno al sole. Il secondo stato alloradefinito come una frazione dell'anno tropicale, che iltempo che intercorre tra due equinozi di primavera. Inparticolare, al fine di evitare problemi derivanti da unavariabilit nella durata dell'anno tropicale, il secondo stato definito come la 1/31556925,97474(2) dell'annotropicale 1900. L'aver fissato l'anno, il 1900, rende ilcampione invariabile ma non accessibile.Pi recentemente, per migliorare le misure di tempo, per

disporre di un campione facilmente riproducibile, legato2Da questa definizione ricaviamo che ci sono 31556925,97474 secondi in un anno (cio allincirca #107 secondi in unanno che per pi semplice da ricordare).

N

H

H

H

N


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a qualche propriet fondamentale, l'attenzione stata rivolta alle propriet degli atomi. Sono cos staticostruiti degli orologi atomici, che sfruttano le vibrazioni periodiche di alcuni tipi di atomi o molecole.Tanto per fare un esempio, consideriamo la molecola di ammoniaca NH3. Questa molecola ha unastruttura a piramide, con gli atomi di idrogeno ai tre vertici della base e l'atomo di azoto posto al verticedella piramide. L'atomo di azoto pu trovarsi da un lato o dall'altro rispetto al piano individuato dai 3atomi di idrogeno. In realt l'atomo di azoto oscilla tra queste due posizioni con una frequenza di circa24 miliardi di oscillazioni al secondo. Con le moderne tecniche si in grado di usare il moto dell'atomodi azoto per controllare le oscillazioni di un circuito elettronico che quindi si sincronizza con leoscillazioni della molecola di ammoniaca.Anche altre sostanze hanno propriet analoghe a quelle dell'ammoniaca. Nel 1967 la XIII conferenzaGenerale dei Pesi e Misure ha scelto come campione internazionale di tempo il secondo definito conun orologio atomico basato su una particolare vibrazione dell'atomo di Cesio 133. In particolare ilsecondo definito come il tempo necessario perch vengano compiuti 9192631770 cicli dellaparticolare vibrazione degli atomi di cesio. Tale definizione del secondo diventata operativa il 1gennaio 1972. Il tempo misurato con questo orologio ha una precisione di una parte su 1012, chemigliora di circa un fattore 1000 la precisione ottenibile con il campione astronomico.

Il Campione della massaLa massa una propriet intrinseca dei corpi, che potr essere compresa correttamente solo con lostudio della dinamica che affronteremo nelle prossime lezioni.Il campione internazionale di massa un cilindro di platino-iridio conservato nel Laboratorio di Pesi eMisure di Sevres. La massa del campione per definizione 1 Kg.Come si detto per le lunghezze, ogni nazione possiede almeno un ottimo campione di massa, in baseal quale si costruiscono quelli via via meno precisi, che si usano nella vita di tutti i giorni. Sul modocon cui si devono confrontare le masse per determinare la loro misura in termini dell'unit di misuraparleremo tra qualche lezione e faremo vedere che necessario ricorrere a metodi dinamici. D'altro latomostreremo, quando parleremo della Gravitazione Universale, che massa inerziale e massagravitazionale coincidono, cos che per il confronto delle masse si pu ricorrere alle bilance.

La precisione che si riesce a raggiungere nella calibrazione di copie di due parti su 100 milioni (10-

8). Anche per le masse, dato il vasto campo di variabilit (la massa dell'elettrone dell'ordine di 10-30

Kg, quella dell'universo di 1050 Kg), si useranno metodi diversi e non sempre diretti per ladeterminazione delle masse nei vari intervalli considerati.

Unit di massa atomicaSu scala atomica disponiamo di un secondo campione di massa, che per non una unit del Sistema

Internazionale. E' la massa dell'atomo di 12C, al quale, per accordo internazionale, stata assegnata lamassa atomica di esattamente 12 unit atomiche di massa. La massa di altri atomi pu essere misuratacon elevata precisione usando uno spettrometro di massa. E' stato necessario ricorre ad un secondo

campione di massa perch le attuali tecniche di laboratorio ci permettono di determinare le masse degliatomi in termini di unit di massa atomica con una precisione maggiore di quella ottenibile in terminidel Kg campione.La relazione tra i due campioni :

1 u =1.6605402 10-27KgIl campione di massa, non essendo legato ad una propriet fondamentale, presenta gli stessiinconvenienti presentati dal campione del metro e che avevano portato alla ridefinizione del metro intermini di propriet atomiche prima e della velocit della luce poi.Sarebbe sicuramente auspicabile poter disporre anche per la massa, cos come per la lunghezza e iltempo, di un campione atomico. Il campione di unit atomiche basato sul carbonio 12 non perusabile per una ridefinizione del Kg campione. La relazione tra le due unit precisa soltanto al livellodi una parte su 107. A tutt'oggi la precisione delle copie che si ottengono per paragone con il Kgcampione molto migliore di quelle ottenibili utilizzando il campione atomico.


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Altri sistemi di unit di misura.

"cgs": Questo sistema per quel che riguarda la meccanica utilizza le stesse grandezzefondamentali del SI, cambiano invece le unit di misura (i campioni): il centimetro per lalunghezza e il grammo per la massa. L'unit di tempo la stessa nei due sistemi diriferimento.

"britannico": Le grandezze fondamentali della meccanica sono la lunghezza, misurata in piedi, la forzamisurata in libbre, e il tempo misurato in secondi. Il sistema britannico non unsistema decimale (per esempio un piede uguale a 12 pollici). Attualmente i campionidi libbra e di piede vengono definiti sulla base del kilogrammo e del metro del sistemaSI. Per esempio un pollice uguale 2.54 cm.

"Sistema pratico degli ingegneri": utilizza come grandezze fondamentali la lunghezza (metro) , iltempo (secondo) e la forza, la cui unit di misura il kilogrammopeso che corrispondeal peso del campione di massa del SI, quando si trova al livello del mare e a 45 dilatitudine.

Grandezze derivate dalla lunghezza.

Le grandezze derivate dalla lunghezza sono le superfici, i volumi e gli angoli.Le superfici si possono esprimere per mezzo di funzioni omogenee di secondo grado delle lunghezzeda cui dipendono :

triangolo 1/2 base $altezzaparallelogramma base $altezzacerchio #$raggio al quadratoetc.

Ci si esprime simbolicamente mediante una equazione dimensionale:

[S] = [L2

]Si intende per dimensionedi una grandezza, l'esponente, o gli esponenti, a cui vengono elevate legrandezze fondamentali.Nel caso della superficie solo la lunghezza L ha un esponente diverso da zero: esso vale infatti 2. Sidir pertanto che la superficie ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato. Nel SI poich il metro unit di misura della lunghezza, l'unit di misura delle superfici il m2. Questo equivale ad averassunto come campione di superficie un quadrato di lato unitario.In maniera analoga, l'equazione dimensionale del volume :

[V] = [L3]

e l'unit di misura del volume nel SI il m3.

Nella vita comune gli angoli si misurano in gradi,l'angolo giro corrisponde a 360 gradi.In fisica useremo un'altra unit di misura: il radiante.La misura di un angolo in radianti si ottiene dividendola lunghezza dell'arco di cerchio sotteso, l, per il raggiodel cerchio, r. Il rapporto di due lunghezze ovviamente un numero puro; quindi gli angoli sonograndezze adimensionali. Tuttavia si preferisceaggiungere l'unit, rad[iante], accanto al numero, perchiarezza.

L'angolo giro uguale a 2#radianti, l'angolo retto a #/2radianti. L'angolo di 1 radiante quello che sottende unarco di lunghezza l pari al raggio r.

L'equazione dimensionale per l'angolo si scriver come

!

lr

! =

l

r


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[angolo] = [L0]

Analogamente, l'angolo solido sotteso da un cono convertice in O definito come il rapporto tra la superficie Stagliata dal cono sulla superficie sferica di raggio r ecentro in O ed il raggio r al quadrato:

! =S

r2

Le sue dimensioni sono:

[angolo solido] = [L2][L-2] = [L0]

Anche l'angolo solido una grandezza adimensionale,ma si usa indicarlo con una unit di misura che losteradiante(sr). L'angolo solido totale uguale a 4#sr.

Grandezze derivate dalla massa e dalla lunghezza.La densit di un corpo, %, esprime la massa contenuta nell'unit di volume. Per un corpo omogeneoessa data da:

! =m

V

L'equazione dimensionale si scrive:

![ ]= M[ ] L"3

[ ]

e si misura in kilogrammi per metro cubo (kg/m3).

A titolo di esempio la densit dell'acqua circa 1000 kg/m3. La densit dell'aria circa 1000 volta pipiccola (vedi la tabella delle densit sul libro di testo).

Quando una delle dimensioni del corpo che stiamo osservando molto pi piccola rispetto alle altredue ed uniforme, come nel caso di una lastra, di un foglio,., allora si pu definire una densitsuperficiale, &, che uguale alla massa contenuta nell'unit di superficie. Per un corpo omogeneo essa data da:

! =

m

S


![ ] = M[ ] L"2[ ]

e si misura in kilogrammi per metro quadro (Kg/m2).Quando poi due delle dimensioni del corpo sono trascurabili rispetto alla terza ed uniformi, come nelcaso di un filo, di una sbarra, etc, allora si pu definire una densit lineare, ', che uguale alla massa

contenuta nell'unit di lunghezza. Per un corpo omogeneo essa data da:

! =m

l


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![ ]= M[ ] L"1[ ]

e si misura in kilogrammi per metro (Kg/m).

Grandezze derivate dal tempo.Come grandezza derivata dal tempo, considereremo la frequenza. Essa si riferisce ad un fenomenoperiodico ed esprime il numero di cicli compiuti nell'unit di tempo. Se n il numero di cicli compiutinell'intervallo !t, allora la frequenza f data da:

fn

t=

!

Se "t proprio uguale al periodo T del fenomeno periodico allora n uguale a 1, per cui si pu anchescrivere:

fT

=

1

L'equazione dimensionale della frequenza, tenuto conto che n un numero, e quindi senza dimensioni,si scrive:

f[ ]= T !1[ ]

Nel SI l'unit di misura della frequenza chiamata hertz (Hz, 1Hz = 1s-1).

Grandezze derivate dalla lunghezza e dal tempo.Abbiamo gi incontrato una di queste grandezze: la velocit. Abbiamo definito la velocit media di uncorpo in moto come lo spazio percorso diviso il tempo impiegato:

v

d

t=

!

L'equazione dimensionale della velocit si scrive come:

V[ ]= L[ ] T!1[ ]

Nel SI la velocit si misura in metri al secondo (m/s).

Un'altra grandezza derivata dalla lunghezza e dal tempo l'accelerazione.Per dare un'idea delle prestazioni di una automobile, una delle caratteristiche che viene elencata iltempo necessario per far passare la velocit della vettura da 0 a 100 Km/h, per vetture sportive questo

tempo al di sotto dei 10 s. L'accelerazione una misura della rapidit con cui cambia la velocit. Essa definita come:


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av

t=

!

!

dove "v la variazione di velocit subita nell'intervallo di tempo "t.L'equazione dimensionale :

a[ ] = v[ ] T!1[ ] = L[ ] T!2[ ]

Nel SI l'accelerazione si misura in metri al secondo al quadrato (ms2 ).

Nel caso di una vettura che passa da 0 a 100 Km/h in 10 s, l'accelerazione media :

a =!v

!t=

100km

1h

"#

$%

10s=

100&1000m

3600s

"#

$%

10s=2.78

m

s2


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Risultato di una misura.Supponiamo di voler misurare la distanza tra due punti A e B. Basta disporre lo strumento di misura,in questo caso un metro graduato, sul segmento AB, facendo coincidere un estremo del segmento conl'inizio del metro graduato e poi leggere la posizione di B sul metro graduato. Per distanze di qualchemetro, il metro graduato suddiviso in decimetri, centimetri e poi in millimetri. Per cui se tra A e B cisono 2 metri, pi 1 decimetro, pi 5 centimetri, pi 2 millimetri, diremo che la distanza tra A e B 2.152 m e scriveremo:

dAB= 2.152 m

Cio indicheremo la distanza tra A e B con un numero seguito dall'unit di misura.L'unit di misura essenziale per specificare completamente il risultato di una misura ed errore grave ometterla.Il fatto di rappresentare il risultato della misura con il numero 2.152 ha un suo preciso significato.Ogni misura, infatti, affetta da errore. Scrivere quindi che la distanza tra A e B 2.152m significaattribuire alla misura un errore dell'ordine del millimetro, cos come scrivere 2.15 m significa attribuirealla misura un errore dell'ordine di 1 centimetro, mentre scrivere 2.1524 significa attribuire un erroredell'ordine del decimo di millimetro. Il numero delle cifre specificate viene detto numero di cifresignificative (N.B. anche lo zero pu essere una cifra significativa). Un millimetro, un centimetro, undecimo di millimetro rappresentano l'errore assoluto, (A, in ciascuno dei tre casi. Si definisce errore

relativo, (r, il rapporto tra l'errore assoluto e la misura.

!

!

r

A

misura=

Nei tre casi avremo:Misura Errore assoluto, (A Errore relativo, (r2.152 m 0.001 m 0.0005 = 0.05%2.15 m 0.01 m 0.005 = 0.5%2.1524 m 0.0001 m 0.00005 = 0.005%

Propagazione dellerroreBisogna fare attenzione quando si usano delle relazioni per calcolare grandezze derivate: la misura diuna grandezza derivata non pu avere un numero di cifre significative maggiore di quello dellegrandezze fondamentali da cui dipende.Bisogna distinguere due casi:

- La grandezza derivata uguale alla somma o alla differenza di altre grandezze. In questo casova considerato l'errore assoluto: l'errore assoluto della grandezza derivata non pu essere pipiccolo del pi grande degli errori assoluti delle singole grandezze da cui dipende. Esempio:sul tetto di una abitazione alta 5.34 m, disposta un'asta, che funziona da parafulmine, lunga0.754 m. Determinare l'altezza dal suolo dell'estremit superiore del parafulmine.

5.34 m + Altezza dell'edificio: l'errore in questo caso di 0.01 m0.754 m = Altezza della sbarra: l'errore di 0.001 m6.09 m _ Altezza complessiva: l'errore di 0.01 m, non pu essere pi piccolo

del pi grande degli errori.

Se la lunghezza dell'asta fosse stata misurata in maniera molto pi approssimata, diciamo con un erroredell'ordine di 0.1 m, allora anche l'altezza complessiva avr lo stesso errore.

5.34 m + Altezza dell'edificio: l'errore in questo caso di 0.01 m0.7 m = Altezza della sbarra: l'errore di 0. 1 m6.0 m Altezza complessiva: l'errore di 0.1 m, non pu essere pi piccolo

del pi grande degli errori.

- La grandezza derivata si ottiene mediante operazioni di moltiplicazione o divisione da altregrandezze. In questo caso va considerato l'errore relativo: l'errore relativo della grandezzaderivata non deve essere pi piccolo dell'errore relativo delle singole grandezze da cui


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dipende.[L'errore relativo deve essere dello stesso ordine del pi grande degli errori relativi].Supponiamo di voler calcolare la velocit di una automobile che ha percorso 100 m in 9.0 s.Il risultato della divisione 11.1111111...... con un numero infinito di 1. Ma noi sappiamodalla maniera con cui sono state specificate sia la distanza che l'intervallo di tempo, chel'errore sulle due misure dell'ordine dell'1% (1 m su 100 m, 0.1 s su 9.0 s), per cui anche ilrisultato del rapporto non pu avere una precisione maggiore dell' 1 %(*). Si scriver pertantoche la velocit v=11.1 m/s (0.1 m/s su 11.1 m/s )1 %).

Errori nelle misure.Abbiamo affermato che ogni misura affetta da errore. Gli errori che si possono commetterenell'eseguire una misura si distinguono in due categorie:errori sistematici ed errori casuali.Gli errori sistematici dipendono dallo strumento di misura e dal metodo di misura, essi si ripresentanosempre alla stessa maniera eseguendo pi volte la stessa misura. Una volta scoperta la causa dell'erroresistematico, esso pu essere corretto.Facciamo un esempio. Vogliamo usare il contachilometri di una automobile per misurare la distanza tradue punti. Il contachilometri essenzialmente conta i giri delle ruote: moltiplicando il numero di giri perla circonferenza delle ruote si ottiene la distanza percorsa.Questo prodotto viene fatto all'interno dello strumento assumendo un certo valore per la circonferenza

della ruota, fissato al momento della taratura da parte del costruttore. Supponiamo ora che per renderepi stabile la vettura questa venga abbassata montando delle ruote di diametro pi piccolo: essendosiridotta la circonferenza della ruota, il contachilometri misurer, per un certo percorso, un valore pielevato di quello effettivo. Fino a che sulla vettura ci saranno ruote pi piccole, le misure dei percorsisaranno sempre pi alti dei valori effettivi.Per valutare l'entit dell'errore sistematico occorre ripetere la misura con uno strumento differente oimpiegando un metodo diverso.

Gli errori casuali, a differenza di quellisistematici, si presentano con un diversovalore ogni volta che si esegue una misura,e dipendono da tutti quei fattori che

influenzano la misura in maniera casuale.Proprio a causa del fatto che l'errorecasuale si manifesta ora in un senso ed orain senso opposto, si pu ottenere unastima pi precisa della misura di una certagrandezza ripetendo pi volte la misura eassumendo come risultato il valore mediodelle n misure. L'errore in tal caso ridotto

di un fattore n rispetto all'errore dellasingola misura.Se si riporta in un istogramma ladistribuzione delle frequenze, il numero di

volte la misura capita in un determinatointervallo, si ottiene, nell'ipotesi che glierrori siano veramente casuali, una tipicadistribuzione a campana. (Nell'istogrammavengono riportati i valori delle frequenze

diviso per l'ampiezza dell'intervallo "x, in modo che l'area al di sotto dell'istogramma sia uguale a 1).Ovviamente la larghezza di tale distribuzione, che si indica con &, d una indicazione della precisionedelle misure.Il significato di & il seguente: la probabilit che eseguendo una nuova misura il risultato differiscadal valore medio della distribuzione meno di &, del 68,3%.Tale probabilit sale al 95.5 % se sirichiede che il risultato differisca dal valore medio meno di 2&, ad addirittura al 99.7% se si richiedeche uno scarto pi piccolo di 3&.

(*)Nel caso considerato le due grandezze erano state misurate all'incirca con la stessa precisione. Nei casi in cui le duegrandezze sono misurate con precisioni molto diverse, occorre ricordarsi che il risultato del rapporto non pu avere unaprecisione migliore di ciascuna delle due determinazioni.

.1

.2

Distribuzione delle fre uenze media = 12.5

5 6.5 8 9.5 11 12.5 14 15.5 17 18.5 20


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.1

.2

!" +"

valore medio

5 6.5 8 9.5 11 12.5 14 15.5 17 18.5 20

area = .68

Funzione gaussiana


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Il metodo scientifico.La conoscenza scientifica, dopo essere rimasta ferma per quasi due millenni sulle posizioni diAristotele, ha subito negli ultimi 400 anni, da Galilei in poi, una brusca accelerazione che le haconsentito di progredire velocemente nella comprensione dei fenomeni naturali.Questo travolgente successo dovuto al metodo di indagine della Fisica moderna, introdotto appuntonel 1600 da Galilei.La fisica una scienza sperimentale. Essa cio non si basa su speculazioni intellettuali, come

accade per esempio per altre branche del pensiero umano: la filosofia, la teologia, la matematica, etc; mala speculazione intellettuale per essere accettata deve superare la prova degli esperimenti.Se due teorie spiegano una stessa classe di fenomeni, molto facile in Fisica stabilire quale delle due quella corretta. Se le due teorie non coincidono, ci sar almeno un fenomeno naturale in cui leprevisioni delle due teorie devono differire. Si eseguono degli esperimenti per studiare questofenomeno: i risultati sperimentali consentiranno di ritenere una delle due teorie e di rigettare l'altra.All'inizio del secolo la struttura atomica non era ancora ben compresa: uno dei modelli atomici, quellodi Thompson, assumeva che la carica elettrica positiva era diffusa uniformemente all'interno del volumeoccupato dall'atomo (r~10-10m), e che gli elettroni fossero dispersi all'interno della carica positiva inmaniera da rendere l'atomo globalmente neutro. Per testare questo modello Rutherford studi ilprocesso d'urto tra particelle alfa (nuclei dell'elio, aventi carica +2) ed atomi di oro e cont il numero diparticelle alfa che rimbalzavano all'indietro sugli atomi di oro. Come dimostreremo studiando gli urti, leparticelle alfa possono tornare all'indietro solo se si scontrano con una particella avente una massa pigrande della propria. Nel modello di Thompson non semplice immaginare come questo accumulo dimassa possa prodursi: se si assume per l'atomo la struttura suggerita da Thompson non ci dovrebberoessere particelle alfa diffuse all'indietro. Rutherford invece cont un numero di particelle alfa diffuseall'indietro significativamente maggiore di quello atteso: questo risultato sperimentale suggeriva unastruttura atomica in cui la massa e la carica positiva era concentrata nel nucleo (rn~10

-15 m) con glielettroni che si muovevano attorno al nucleo occupando il volume tipico dell'atomo (ra~10

-10 m).L'esperimento di Rutherford permise anche di stimare le dimensioni del nucleo atomico che risultaronoessere 5 ordini di grandezza pi piccole di quelle atomiche.

In Fisica si distinguono due metodi di indagine, quello induttivoe quello deduttivo.Nel primo caso, si parte dall'eseguire una serie di osservazioni sul fenomeno. Possibilmente esso vieneripetuto pi volte in Laboratorio, cio in una situazione controllata, che consente di variare a piacimento

ciascuna delle grandezze fisiche che si pensa intervengano nello svolgimento del fenomeno. Siottengono cos una serie di correlazioni tra le grandezze fisiche e sulla base di queste correlazionipossono essere formulate delle regole empiriche. Dalla osservazione di pi fenomeni possibile poitrovare delle relazioni pi generali in grado di spiegare tutta una classe di fenomeni.Un esempio di questo tipo di approccio costituito dalla formulazione della legge di gravitazioneuniversale da parte di Newton, che noi studieremo in dettaglio durante il corso.L'astronomo Tycho Brahe esegu una serie di misure sulla posizione dei pianeti riferita al sole. Sullabase di queste osservazioni, Keplero stabil delle regole empiriche, le tre leggi che regolano il moto deipianeti:

! i pianeti si muovono su orbite ellittiche.! il segmento che congiunge il centro del sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi

uguali.!

Il quadrato del periodo di rivoluzione proporzionale al cubo della distanza media del pianeta dalsole.

Egli forn cos una descrizione cinematica del moto dei pianeti.Pi tardi Newton forn anche la spiegazione dinamica, determinando la forza, la legge di gravitazioneuniversale, che responsabile del moto osservato da Keplero.

r

r

F u=!Gm m

r r

1 2

2

Non solo questo: la legge di gravitazione universale anche in grado di spiegare perch i corpi sulla

terra cadono verso il basso (la famosa mela), un fenomeno che a prima vista non ha niente in comunecon il moto dei pianeti.Nell'altro tipo di approccio, quello deduttivo, si parte invece da qualche indizio di natura sperimentale,oppure da una intuizione dello scienziato circa il modo di comportarsi della natura, e si formula un


19/65


20/65


21/65

x, essendo una distanza, ha le dimensioni di una lunghezza e le indicheremo con [L].Anche xoha le dimensioni di una lunghezza e le indicheremo con [L].

Il secondo termine vot ha dimensioni [v] [T], ma le dimensioni di vd

t=

! sono [v] = [L] [T-1]. Il

secondo termine ha anch'esso le dimensioni di una lunghezza [L] [T-1] [T] = [L] .Anchel terzo termine, tenendo conto che le dimensioni di a sono

[a] = [v] [T-1] = [L] [T-1] [T-1] = [L] [T-2],

ha le dimensioni di una lunghezza [a] [T2] = [L] [T-2] [T2] = [L].

Quindi tutti e tre i termini hanno le stesse dimensioni.

[L] = [L] + [L] + [L]

Questa propriet pu essere usata per verificare la consistenza di una relazione tra grandezze.Supponiamo che, durante la risoluzione di un problema, sorga il dubbio se la distanza percorsa sia datadal prodotto di v per t o dal rapporto di v per t. Ossia

d = vt oppure da d =v

t

Scriviamo le equazioni dimensionali per le due espressioni:

[L] = [L] [T-1] [T] = [L] [L] = [L] [T-1] [T-1] = [L][T-2]

Quindi la prima delle due espressioni corretta, la seconda no.

E' possibile anche ricavare la dipendenza di una grandezza fisica da altre grandezze da cui si suppone

possa dipendere basandosi soltanto sulle equazioni dimensionali.Supponiamo di voler ricavare la dipendenza il tempo impiegato da un grave a cadere da una altezza h.E' noto che un corpo pesante (grave), lasciato da una certa altezza, cade lungo la verticale.Le grandezze in gioco sono:

- la distanza percorsa h- il tempo trascorso dall'inizio del moto "t- un'altra grandezza potrebbe essere la massa m del corpo- ed infine bisogna tenere conto che il moto avviene in vicinanza della terra. Di questo si tiene

conto introducendo l'accelerazione di gravit g. Essendo una accelerazione, g ha

dimensioni [L] [T-2] e vale 9.81m

s2

.

Posso scrivere: "t = k mxgyhz dove k una costante adimensionale che il metodo nonriesce a determinare, x,y,z sono invece gli esponenti da determinare. Applichiamo l'equazionedimensionale:

[T]= [Mx] [LT-2]y[Lz] = [MxLy+zT-2y]

Perch l'equazione sia soddisfatta occorre che:

x=0 * x=0-2y=1 * y = -1/2y+z=0 * z =-y=1/2

La dipendenza cercata allora "t = k g-0,5h0,5ossia !t = k h

g.


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In effetti la dipendenza corretta !t =2h

g.

Secondo esempio: Determinare il periodo t di un pendolo costituito da un corpo di massa m sospesoad un filo di lunghezza l.

Come prima t= kmxgylz con k costante adimensionale.


[T]= [Mx] [LT-2]y[Lz] = [MxLy+z T-2y]

che soddisfatta se:

x = 0

-2y = 1 * y = - 12

y+z = 0 * z = - y =1

2

La dipendenza cercata allora t kg

=

l. In effetti la dipendenza corretta t

g=2!

l.


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Sistemi di riferimento.Il primo argomento che affronteremo nello studio della fisica, riguarda il moto dei corpi.Cosa si intende per moto? Come si pu descrivere il moto di un corpo?Si dice che un corpo in moto se la sua posizione varia con il tempo.Intanto possiamo osservare che il moto un concetto relativo, nel senso che per parlare di moto di uncorpo bisogna specificare rispetto a cosa il corpo varia la sua posizione.Dobbiamo quindi sviluppare un formalismo che ci consenta di specificare la posizione di un corpo

rispetto ad un altro, per essere poi in grado di poter descrivere come varia tale posizione.Per definire la posizione di un punto nello spazio useremo un sistema di riferimento cartesiano, eduseremo anche le regole della geometria euclidea, come il teorema di Pitagora, le formule dellatrigonometria, etc Finora non ci sono evidenze che la geometria euclidea non dia una buonadescrizione del mondo fisico.

Posizione di un punto su di una retta.Per rappresentare la posizione di un punto su di una retta si sceglie in maniera arbitraria un punto dellaretta, O, comeorigine del riferimento e si fissa sempre in maniera arbitraria un verso sulla retta (rettaorientata, asse orientato).

Utilizzando la definizione operativa dellalunghezza si pu misurare la distanza tral'origine O ed il generico punto sulla retta: sia dper il punto P e d' per il punto P'.Si assegna al punto la coordinata x uguale alladistanza da O presa con il segno pi(+) se ilpunto viene dopo O quando la retta vienepercorsa nel verso fissato, con il segno meno(-),se il punto viene prima di O quando la retta vienepercorsa nel verso fissato. (Nel caso della figura,la coordinata di P positiva, quella di P' negativa.)

Posizione di un punto nel piano. Rappresentazionecartesiana.Per specificare la posizione di un punto in un piano sipu introdurre un sistema cartesiano formato da due assiorientati perpendicolari tra loro, l'asse x e l'asse y. Leorigini sui due assi orientati vengono fissate in maniera dacoincidere con il loro punto di intersezione. Inoltre

l'orientazione dell'asse y viene scelta in modo che l'asse xper sovrapporsi all'asse y deve essere ruotato di 90 insenso antiorario.La posizione di un generico punto P del piano pu esseredescritta specificando la coppia ordinata (x,y), in cui xrappresenta la posizione del punto proiezione Pxsull'assex (determinata utilizzando la definizione precedentementedata di posizione di un punto su una retta) e, in manieraanaloga, y rappresenta la posizione del punto proiezionePysull'asse y. (I punti proiezione Pxe Py sugli assi x e ypossono essere determinati in maniera univoca mandandoda P le perpendicolari rispettivamente all'asse x e all'asse

y.)

O

P

P'

d

d'

P! x = +d

P'! x' = -d'

O Asse x

Asse y

P

Px

Py

x

y

O Asse x

Asse y


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Posizione di un punto nel piano. Rappresentazione polare.Una maniera alternativa per rappresentare la posizione del punto P nel piano quella di specificare lacoppia ordinata (r,+) in cui r la distanza di P dall'origine O e + l'angolo che la retta passante per O e P ed orientata da O a Pforma con un asse orientato arbitrariamente scelto nel piano, peresempio l'asse x.L'angolo, espresso in radianti, positivo se l'asse di riferimento,nel nostro caso l'asse x, deve essere ruotato in senso antiorarioper sovrapporlo alla retta orientata passante per O e P, negativoin caso contrario.Le due rappresentazioni cartesiana (P,(x,y)) e polare( P ,(r,+)), sono ovviamente equivalenti. Valgono infatti leseguenti relazioni per passare dall'una all'altra delle duerappresentazioni.

x r r x y

y r sinarc g

y

x se x

arc g yx

se x

= = +

=

= >

= + 0, maggiore di zero),sia x(t1+"t) la posizione occupata

dal punto materiale all'istante ditempo (t1+"t).La velocit media nell'intervallo "t sar data da:

( ) ( )v

x

t

x t t x t

txm

= =+ !"

"

"

"

1 1

.

Definizione della velocit istantanea (vettoriale)Si definisce velocit istantaneaall'istante di tempo t1il limite del rapporto incrementale:

v x t1( ) = !t " 0lim x t

1+ !t

( )# x t

1( )!t

Il rapportox t

1 + !t( )" x t1( )

!tsi chiama infatti rapporto incrementale.

Dall'analisi matematicasappiamo che il limite del rapporto incrementale uguale alla derivata,rispetto al tempo, della funzione x(t) calcolata all'istante di tempo t1.

vx

t1

( ) =!t " 0lim

x t1+ !t( ) # x t1( )

!t=

t = t1

dx t( )

dt

Dal grafico orario si pu vedere che al tendere di "t a 0, il punto 2 tende al punto 1. Per cui la velocitistantanea, all'istante di tempo t1, corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente al grafico nelpunto 1.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

!x

!t(m/s)

!t (s)

vx

t1

( )=!t" 0lim

x t1+ !t( ) #x t1( )

!t

!x

!tin funzione di !t


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Nell'esempio che stiamo facendo, conoscendo l'espressione analitica della funzione rappresentata nelgrafico, possiamo calcolare esplicitamente la velocit istantanea all'istante di tempo t1.

v x (t1) = lim!t" 0x(t1 + !t) # x(t1)

!t=

lim!t"0

xo + vo(t1 + !t) + 12ao (t1 + !t)

2[ ] # xo + vo (t1)+ 12ao(t1 )2[ ]!t

=

lim!t"0

xo + vot1 + vo!t + 12ao(t1 )

2+ aot1!t +

12a o(!t)

2[ ] # xo + vo (t1) + 12ao(t1 )2[ ]!t

=

lim!t"0

xo + vot1 + vo!t + 12ao(t1 )

2+ aot1!t +

12a o(!t)

2#xo #vo (t1) #

12a o(t1 )

2[ ]!t

=

lim!t"0

vo!t + ao t1!t + 12ao(!t)

2[ ]!t

= lim!t"0

vo + aot1 + 12ao (!t)[ ] = vo + aot1

Possiamo concludere che la velocit all'istante di tempo t1

vx (t1) = vo + aot1

che anche il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto 1.

L'istante di tempo t1 stato scelto in maniera arbitraria, il risultato del limite del rapporto incrementalesar sempre lo stesso qualunque sia l'istante t1 fissato. Cos possiamo affermare che il valore dellavelocit istantanea a qualunque istante di tempo t dato da:

vx(t) = v

o + a

ot = 11.4! 5.0t

da cui si vede anche che vo la velocit del punto materiale all'istante t=0.

Relazione tra la velocit vettoriale istantanea e la velocit scalare istantanea.

Definizione della velocit scalare istantaneaIn analogia con la definizione della velocit vettoriale istantanea, la velocit scalare istantanea sidefinisce come:

0

5

10

15

20

25

t (s)

t1

!x

! t

0 1 2 3 4 5t1+!t

x(t1+!t)

x t

2

1

vx t1( ) =dx(t)

dt t1= !t"0lim

x t1 +

!t( )#x t1( )!t


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v s t1( ) = !t " 0lim percorso effettuato

!t

Si osservi dalla figura che, quando "t tende a zero, il percorso effettuato in "t diventa uguale al valoreassoluto dello spostamento. Pertanto:

v s t1( ) =lim!t"0percorso effettuato

!t= lim

!t"0

!x

!t= lim

!t"0

x(t1 + !t)# x(t1)

!t= vx t1( )

La velocit scalare istantanea uguale al modulo della velocit vettoriale.

Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

t1

!x

! t

0 1 2 3 4 5t1+!t

x(t1+!t)

x t1

2

1

v x t1( ) =dx(t)

dt t1= !t"0lim

x t1 + !t( )#x t1( )!t


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Moti rettilinei: definizione dell'accelerazione.Anche la velocit istantanea pu essere rappresentata in un grafico. Riportiamo sull'asse delle ascisse iltempo, e sull'asse delle ordinate la velocit. Siccome la velocit non una lunghezza, occorrer definireanche per la velocit un coefficiente di proporzionalit: per esempio 1 tacca corrisponde a 2 m/s.

grafico della velocit istantanea

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5t (s)

v(m/s)

v1

v2

t1 t2

Il grafico della velocit determina la corrispondenza tra l'istante di tempo e la velocit del puntomateriale in quell'istante. Nel nostro esempio il grafico della funzione una retta, avente coefficienteangolare ao.

Definizione dell'accelerazione media.Come appare dal grafico, la velocit non costante, ma varia con il tempo. Possiamo perci calcolarcil'accelerazione, cio la rapidit con cui varia la velocit. Operando come abbiamo fatto per la velocit,consideriamo l'intervallo di tempo "t = t2- t1. L'accelerazione media nell'intervallo "t si definisce comeil rapporto tra la variazione di velocit subita dal punto materiale nell'intervallo "t = t2- t1 e l'intervallodi tempo, ossia:

a

v

t

v v

t tm = =

!

!

"

"

2 1

2 1

Poich si tratta di un moto unidimensionale lungo l'asse x, possiamo aggiungere il pedice xall'accelerazione cos calcolata. Questo significa interpretare l'accelerazione come componente x delvettore accelerazione. Come nel caso della velocit rimandiamo questa verifica al momento in cuiintrodurremo l'accelerazione come vettore.

av

t

v v

t txm

x x1= =

!

!

"

"

2

2 1

Applicando questa definizione al particolare moto che stiamo studiando otteniamo:

av a t v a t

t t

v a t v a t

t t

a t t

t t axm

o o o o o o o o o

o=

+ ! +

!

=

+ ! !

!

=

!

!

=2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

( ) ( )


44/65

Come per la velocit, anche nel caso dellaccelerazione possiamo passare all'accelerazione istantaneaper una migliore descrizione del moto.

Definizione dell'accelerazione istantanea.L'accelerazione istantanea all'istante di tempo t1 si definisce come il limite del seguente rapportoincrementale:

ax (t1) = lim !t"0!v

!t= lim

!t" 0

vx (t1 + !t) # vx (t1)

!t

Utilizzando la definizione di derivata, possiamo dire che l'accelerazione all'istante di tempo t1 ugualealla derivata della funzione vx(t) calcolata al tempo t1.

a tdv t

dtxx

t t

( )( )

1

1

=

=

Applicando questa definizione al particolare moto che stiamo studiando otteniamo:

ax (t1) = lim !t"0vo + ao (t1 + !t)#vo # ao (t1)

!t= lim

! t" 0

ao!t

!t= lim

!t"0ao = ao

L'accelerazione istantanea all'istante di tempo t1 uguale all'accelerazione media nell'intervallo di tempo"t = t2- t1, questo perch l'accelerazione costante durante il moto. Infatti, poich l'istante di tempo t 1stato scelto arbitrariamente, l'accelerazione ad un generico istante di tempo si potr scrivere come:

a tdv t

dtxx

( )( )

=

Nel nostro caso:a t

dv t

dt ax

x

o( )( )

= = .

O v v i a m e n t e a n c h el'accelerazione pu essererappresentata in un grafico.E s s e n d o c o s t a n t e ,l'accelerazione rappresentatada una retta parallela all'assedelle ascisse, che interseca l'assedelle ordinate alla coordinata ao.

'

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 1 2 3 4 5

t s

Acc

elra

zio

Serie3

o

1 2


45/65


46/65

Risoluzione formale delle equazioni differenziali.Cominciamo col supporre di conoscere l'andamento della velocit istantanea vxin funzione del tempo,supponiamo per esempio che l'andamento sia quello mostrato nel grafico.

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

Per determinare la legge oraria del moto dobbiamo risolvere l'equazione differenziale:

dx(t)

dt=v x (t)

Proviamo a calcolare lo spostamento subito dal punto materiale nell'intervallo di tempo [0,t] a partiredall'istante iniziale t=0.

Dividiamo l'intervallo[0,t] in n intervalliciascuno di ampiezza" t. Abbiamo cosdefinito n+1 istanti ditempo:

0to+ "tt1= to+ "t

t2= to+ 2"tti= to+ i"ttn= to+ n"t = t

Lo spostamento subitodal punto materialenell'intervallo di tempo "t, tra ti-1e ti, sar dato da:

! i= vxm,i!t

dove abbiamo indicato con vxm,ila velocit media del punto materiale nell'i-esimo intervallo di tempo,cio tra ti-1e ti. Ovviamente lo spostamento complessivo nell'intervallo di tempo tra 0 e t, si ottienesommando su tutti gli intervalli di tempo.

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)


47/65


48/65

piccolo l'intervallo di tempo "t, cio quanto pi grande il numero n di intervalli in cui viene divisol'intervallo di tempo tra 0 e t, tanto pi piccola la differenza tra il valore minimo ed il valore massimoassunti dalla funzione vx(t) nell'intervallo tra ti-1e ti, e, quindi, tanto migliore l'approssimazione vxm,i~ vx(ti-1). Si pu anzi affermare che queste due quantit coincidono nel limite per "t che tende a 0, o,equivalentemente, quando il numero degli intervalli, n, tende all'infinito.

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

Allora possiamo affermare che lo spostamento subito dal punto materiale nell'intervallo di tempo tra 0e t dato da:

x(t) ! xo =lim n"# vx (t i!1)$ti=1

n

%

Tale limite , per definizione, l'integrale tra 0 e t della funzione vx(t), e si scrive:

x(t) !x o = vx (t)dt

o

t

"


49/65

Si noti che in tale integrale abbiamo indicato la variabile di integrazione in corsivo per distinguerla dalsimbolo t con cui abbiamo indicato l'estremo superiore dell'intervallo di tempo [0,t] in cui stiamocalcolando lo spostamento del punto materiale. Poich l'istante t generico ( stato fissatoarbitrariamente), l'equazione precedente vale qualunque sia l'istante di tempo t. Pertanto l'equazioneoraria del moto del punto materiale si pu scrivere in maniera formale come:

x(t) = xo + vx (t)dt

o

t

!

L'espressione:

x(t) = k + vx(t)dt

o

t

!

dove k una costante arbitraria, rappresenta la soluzione generale dell'equazione differenziale da cuisiamo partiti. Esistono cio "infinito alla uno" soluzioni dell'equazione differenziale di primo grado,tante quante sono le possibili scelte della costante arbitraria k. Infatti, siccome la derivata di unacostante sempre uguale a zero, cambiando la costante additiva nell'espressione di x(t) non si cambia ilvalore della derivata di x(t). Per passare dalle "infinito alla uno" soluzioni dell'equazione differenziale,alla equazione oraria del moto bisogna fissare la costante additiva ksulla base delle condizioni iniziali.

Si richiede che x(0) sia uguale a xoe questo fissa il valore della costante additiva k. Nel nostro caso k proprio uguale a xo. Nel caso di una equazione differenziale del secondo ordine le costanti dafissare sulla base delle condizioni iniziali sono due, come vedremo nei prossimi esempi. (Si tengacomunque sempre presente che in analisi si dimostra che esiste una ed una sola soluzionedell'equazione differenziale che soddisfa anche il problema dellecondizioni iniziali.)Torniamo ancora alla definizione dell'integrale:

vx (t)dt0

t

=limn"# vx (t i$1 )%ti=1

n

&

Osservando il grafico della funzione vx(t), vediamo che man mano che diminuiamo l'ampiezza degli

intervalli, l'area ricoperta dai rettangoli si avvicina sempre pi all'area compresa tra l'asse dei tempi e lacurva vx(t) e delimitata dagli estremi dell'intervallo di tempo, 0 e t. Possiamo quindi interpretarel'integrale

vx (t)dt

o

t

pu essere appuntointerpretato comel'area delimitatadall 'asse delleascisse e dalla curva

che rappresenta lafunzione integrandae compresa tra gliestremidell'intervallo diintegrazione.Useremo questainterpretazione perrisolvere alcunesemplici equazionidifferenziali, fintanto che il corso dianalisi non vifornir i metodigenerali per la soluzione delle equazioni differenziali.

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)


50/65

Bisogna fare attenzione, nel valutare geometricamente l'integrale, che le aree vanno sommate colproprio segno. Intervalli di tempo in cui la funzione positiva danno luogo ad aree positive, intervalli ditempo in cui la funzione negativa danno luogo ad aree negative.

Moto rettilineo uniforme.E' un moto rettilineo che avviene con velocit costante, uguale alla velocit iniziale:

v t t vx ox( ) cos= =

dove vox rappresenta appunto la velocit del punto materiale al tempo t=0 (vox = vx(0)).

Nel paragrafo precedente abbiamovisto che l'equazione oraria delmoto data da:

x(t) = xo + vx (t)dt

o

t

!

dove xo la posizione del puntomateriale all'istante di tempo t=0 el'integrale si calcola determinandol'area delimitata dall'intervallo diintegrazione [0,t], dall'asse delleascisse e dalla curva cherappresenta la velocit. Nel casoche stiamo esaminando, cio con

vxcostante, l'area cercata propriol'area del rettangolo di lati t e vox ,cio voxt. Pertanto l'equazioneoraria del moto :

x(t) = x o + v o xt

Moto rettilineo uniformemente accelerato.E' un moto rettilineo caratterizzato da una accelerazione costante, uguale a quella iniziale:

ax(t) = k = aox

Nel paragrafo precedente abbiamo risolto la seguente equazione differenziale

dx(t)

dt=v ox

con vox costante. Ora invece vogliamo trovare l'espressione della velocit partendo dalla conoscenzadell'accelerazione costante, ax(t)=aox. Dobbiamo perci risolvere la seguente equazione differenziale:

dv t

dt a

x

ox

( )=

Confrontando le due equazioni differenziali, si vede che esse sono formalmente identiche: nellaseconda vxgioca il ruolo di x e aoxquello di vox. Ovviamente anche la soluzione avr una struttura

0

v (m/s)

t

vo

t (s)


51/65

simile.

0

a (m/s )2

t

ao

t (s)

v t v a tx ox ox( ) = +

Formalmente dunque, la soluzione all'equazione differenziale

dv t

dt a t

x

x

( )( )=

si scrive come:

vx (t) = vox + ax (t)dt0

t

!

dove voxrappresenta la velocit del punto materiale all'istante di tempo t=0 e l'integrale pu esserecalcolato valutando l'area compresa tra l'asse delle ascisse e la curva che rappresenta l'accelerazione edelimitata dagli estremi dell'intervallo di integrazione.

Possiamo ora fare un passoulteriore e determinare lalegge oraria del moto.

Riportiamo in un grafico lavelocit in funzione deltempo. Essa sa rrappresentata da una rettache interseca l'asse delleordinate nel punto vox eavente una pendenza pari adaox.

Come abbiamo vistop receden temen te , l asoluzione dell'equazione

differenzialedx t

dt v tx

( )( )=

si pu scrivere come:

v (m/s)

vo

0t t (s)


52/65

x(t) = xo + vx (t)dto

t

!

L'integrale, al solito pu essere valutato calcolando l'area sotto la curva della velocit che in questo caso l'area di un trapezio di basi vx(0)=voxe vx(t) ed altezza pari a t:

vx (t)o

t

dt =1

2vox + vx (t)( )t =

1

2vox + vo x + ao xt( )( )t = vo xt +

1

2ao xt

2

La legge oraria del moto dunque data da:

x t x v t a to ox ox( ) = + +1

22

Facciamo una osservazione: nell'esempio precedente per determinare l'espressione della legge oraria stato necessario risolvere due equazioni differenziali:

dx t

dt v tx

( )( )=

dv t

dt a

x

ox

( )=

e questo ha richiesto la conoscenza di due costanti, la velocit iniziale e la posizione iniziale. Infatti ilproblema che abbiamo affrontato stato quello di determinare la funzione x(t) soluzione dell'equazionedel secondo ordine

dv t

dt a

d x t

dt a

x

o x o x

( ) ( )= ! =

2

2

Per passare dalle infinito alla due soluzioni dell'equazione differenziale, all'unica che descrive il motodel punto materiale stato necessario fissare le condizioni iniziali del problema, cio i valori assuntidalla velocit e dalla posizione ad un istante di tempo t, che noi abbiamo assunto coincidente conl'istante iniziale to = 0.Questo vero non solo per il moto uniformemente accelerato. Ogni qualvolta l'accelerazione unafunzione nota del tempo o della posizione, integrando le due equazioni differenziali del primo ordine:

dv t

dt a t

dx t

dt v t

x

x x

( )( )

( )( )= =

corrispondenti alla seguente equazione differenziale del secondo ordine:

d x t

dt a tx

2

2

( )( )=

possibile determinare la legge oraria del moto se vengono anche specificate le condizioni iniziale delmoto, cio la posizione e la velocit assunte dal punto materiale all'istante iniziale to = 0.


53/65


54/65

con una velocit iniziale volungo la verticale, cio parallela, o antiparallela, ar

g . In questo caso il moto rettilineo, ed avviene lungo la verticale. Introduciamo perci un asse orientato verticale diretto versol'alto, l'asse y.

12

18

4

0 3 4 5t (s)

(m)

t = voy/g

t = 2voy/g

y max= v oy/2g

La componente dell'accelerazione lungo questo asse quindi costante e vale ay= - g.

-20

-10

10

0

0 1 2 3 4(s)

y (m/s)

5

= voy /g

t = 2voy/g

Si tratta quindi di un moto rettilineo uniformemente accelerato. L'equazione oraria di tale moto datada:

y(t) = yo + voyt +1

2ayt

2= y o + voyt!

1

2gt

2

vy = v

oy+ a

yt = v

oy! gt

ay =!g

dove yo e voysono la posizione del punto materiale e la sua velocit all'istante t=0.


55/65

Problema:determinare le caratteristiche del moto di una palla lanciata verso l'alto con una velocit di20 m/s, trascurando gli effetti della resistenza dell'aria.Fissiamo l'origine dell'asse verticale y, diretto verso l'alto, nel punto da cui parte il moto, chesupponiamo sulla superficie terrestre, e cominciamo a misurare il tempo dall'istante in cui inizia ilmoto. In queste ipotesi yo= y(0) = 0 m, mentre voy= 20 m/s. Le leggi del moto diventano:

y(t) = voyt!

1

2 gt2

vy = v

oy! gt

Osservando l'equazione della velocit si vede che inizialmente il corpo si muover verso l'alto:inizialmente infatti la componente y della velocit positiva. Col passare del tempo, poichl'accelerazione diretta in verso opposto al moto, la velocit del corpo diminuisce fino ad annullarsi.Come mostrato nel grafico della velocit, questo avviene al tempo t =voy/g.

In seguito la componente y della velocit diventa negativa, questo

significa che il corpo comincia a muoversi verso il basso. Pertantoall'istante t = voy/g in cui la velocit si annulla, si ha una inversionedel moto (vedi il grafico di y in funzione del tempo). Quindiy(t=voy/g) rappresenta la massima quota raggiunta dal corpo.

y max =y t =vo y

g

!

"# $

%=vo y

vo y

g&

1

2g

v2 o y

g2 =

1

2

v2 o y

g

A partire dal tempo t=voy/g, la velocit del corpo aumenta in modulo, mentre la quota diminuisce. Dopoun certo tempo dall'istante iniziale, il corpo ritorna nel punto di partenza. Questo intervallo di tempo,che poi la durata del moto, pu essere determinato imponendo, nell'equazione del moto, che y sia

uguale a zero e cercando gli istanti tempo in cui questa condizione verificata.L'equazione ammette due soluzioni: t = 0, checorrisponde alle condizioni iniziali, e t = 2voy/g checorrisponde all'istante di tempo in cui il corporitocca terra. La differenza tra questi due tempi dla durata del moto. Si osservi che la durata delmoto esattamente uguale al doppio del temponecessario per raggiungere la massima quota.Quindi il moto di discesa dura esattamente quantoil moto di salita.Possiamo calcolare la velocit del corpo quando

tocca terra, sostituendo il tempo t = 2voy/g nell'espressione della velocit. Si trova:

vy!finale =vy t =2voy

g

"

#$ %

&=vo y!g

2voy

g=!voy

Il modulo della velocit con cui il corpo ritorna al suolo lo stesso di quella con cui era stato lanciato.Possiamo anche esprimere il modulo della velocit, invece che in funzione del tempo, come unafunzione della quota y.

=0 o y=-gt=0

t =voy

g

y=0 voyt!1

2gt

2= 0

t =2v oy

gt = 0


56/65


57/65


58/65

-1

1

3

5

7

9

11

13

15

-10 10 30 50 70

t (s)

v(m/s)

L'espressione precedente si pu anche scrivere nella forma

v v ex xo

t

=

!

"

dove.= 1/b, ha le dimensione di un tempo [T], e si misura in secondi. t ha quindi il significato di unintervallo di tempo e si chiama costante di tempo.Se si confronta il valore della velocit ad un certo istante di tempo, diciamo t1, con il valore dellavelocit dopo una costante di tempo, cio al tempo t1+., allora si vede

vx (t1 +!)

vx(t1 )=

vxoe"t 1+!

!

vxoe

"t 1

!

= e"t1 +!

!" "

t1

!

#

$%%

&

'((= e

"!

!= e

"1=

1

e

che la velocit all'istante t1+t si ridotta di un fattore 1/e rispetto al valore della velocit all'istante ditempo t1(si noti che l'istante t1 iniziale stato fissato arbitrariamente e quindi pu essere qualunque

valore tra zero ed infinito secondi).Questa osservazione ci permette di definire la costante di tempo come l'intervallo di tempo occorrenteper ridurre di un fattore 1/e (circa un terzo) la funzione esponenziale.Se si confronta invece il valore della velocit all'istante t = 0 s con quello all'istante t = 5., si ottiene:

v

v t

v e

v e e

e

x

x

xo

xo

(5 )

( ) .

!

!

! !

!

=

= = = = =

"

""

0

1 1

148 41

55

55

Il valore della velocit dopo 5 costanti di tempo si ridotto a meno dell'uno per cento del valoreiniziale: questo il motivo per cui si afferma che i fenomeni esponenziali, come il moto che abbiamodescritto, si esauriscono dopo 45 costanti di tempo.

Ora cerchiamo di tracciare la tangente al grafico della velocit all'istante di tempo t=0 s. Utilizzandol'interpretazione geometrica della derivata, possiamo affermare che la tangente dell'angolo formato dallaretta tangente al grafico della velocit per t = 0 s proprio uguale alla derivata della velocit(l'accelerazione) calcolata al tempo t=0 s.Poich per ipotesi nel caso in esame l'accelerazione data da:

ax =

dvx

dt= !bv

x "

t=0

dvx

dt t=0

= !bvxo

= !

vxo

#

D'altro lato anche calcolando la derivata si ottiene:

d vx o

e!

t

"#

$% &

'(

dt=v

x o

d e!

t

"#

$% &

'(

dt= v

x oe!

t

"

d ! t"

#$

&'

dt=!

vx o

" e

!t

" )t = 0

!v

x o

"


59/65

-1

1

3

5

7

9

11

13

15

-10 10 30 50 70

t (s)

v(m

/s)

!

vxo

"t

180-!

tan g(180 ! ") =vx o

#t=!tan g(") =!

dv x

dt t=0=! !

v x o

$

%&

'(=

v x o

$

da cui !t =" . La costante di tempo t dunque l'ascissa del punto di intersezione della retta tangente algrafico della velocit a t = 0 s con l'asse delle ascisse.

Una volta nota la velocit in funzione del tempo possibile risalire alla legge oraria. Interpretando ladefinizione di velocit come equazione differenziale si pu scrivere:

dx

dt v v ex xo

t

= =

!

"

Da cui, moltiplicando ambo i membri per dt ed integrando tra 0 e t secondi, si ottiene:

dx =v xoe!t

" dt # dxxo

x(t)

$ = vxoe!t

"dt0

t

$

Effettuando i calcoli si ottiene:

x[ ]xox(t)

= !vxo"e!t

"#

$%&

'(t=0

t

) x(t) ! xo =!v xo"e!t

" ! !vxo"( )=v xo" 1!e!t

"*

+, -

./

ed infine:

x(t) = xo+ v

x o! 1" e

"t

!#

$% &

'(

La posizione del punto materiale all'istante di tempo t=0 s xo, mentre la posizione raggiunta per t chetende ad infinito xo+vx o.. Il punto materiale percorre il segmento di estremi xo e xo+vx o.. Lospostamento dunque vx o..


60/65

0

10

2030

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70

t(s)

x(m)

!

Velocit in funzione della posizione.Per determinare la velocit in funzione della posizione si pu! o eliminare il tempo dalle soluzioni;

16.

o eliminare il tempo dall'equazione differenziale.Nel primo caso avremo:

( )x t xv

b eo

xo bt( )= + ! !1 v v ex xo

bt=

!

da cui

b x ! xo

( )! vx o

= !vx o

e!bt

" vx = v

x o! b x ! x

o( )

Nel secondo invece si parte dall'equazione differenziale:

dvdt

bvx

x=!

E si moltiplica membro a membro per lo spostamento, dx, subito dal punto materiale nell'intervallo ditempo dt. Proprio dall'osservazione che vxnon mai nulla per t maggiore o uguale a 0 s, deriva cheanche dx sempre diverso da zero qualunque sia l'intervallo infinitesimo dt scelto per t maggiore ouguale a 0 s (dx=vxdt).

dv

dt dx bv dx

x

x=!

Portando dt a dividere dx, al primo membro dell'espressione precedente, si ottiene:

dvx

dx

dt= !bv

xdx " dv

x v

x( ) = !bv

xdx " dv

x = !bdx

Sommando membro a membro su tutti gli intervallini infinitesimi di tempo compresi tra t=0 s e ilgenerico istante di tempo t, tenendo conto che la velocit e la posizione al tempo t=0 s sonorispettivamente vx oe xo, mentre le stesse quantit al generico istante di tempo t sonno rispettivamente vxe x, si ottiene:

dvx

vx o

vx

= "bdxx

o

x

! # v x[ ]vx o

vx

="b x[ ]x o

x

Ed infine:

vx ! vxo = !b(x! x o ) " v x =v x o! b(x ! xo )


61/65

Moto armonicoConsideriamo ora il caso in cui l'accelerazione dipenda dalla posizione del punto materiale, inparticolare esamineremo il caso in cui l'accelerazione proporzionale all'opposto della posizioneattraverso la costante /p

2. Cio:

d x

dt

xp

2

2

2= !"

La costante /p si chiama pulsazione angolare e le sue unit di misura sono s-1. Questa l'equazione

differenziale del moto armonico.Come appare dall'espressione precedente l'accelerazione nulla nell'origine del sistema di riferimento,x=0, negativa per x>0 per cui tende a far diminuire la velocit del punto materiale quando si muovenel verso positivo fissato sull'asse x, e far crescere il modulo della velocit quando il punto materiale simuove nel verso negativo fissato sull'asse x. Parimenti l'accelerazione positiva per x


62/65

( ) ( )( ) ( )

d b t

dt

d

dt

d b t

dt

d

dt b t b t

2

2

2cos cos

sen cos! !

! ! ! != = = "

Abbiamo cos ottenuto due soluzioni indipendenti (infatti le due soluzioni non possono essere ottenutel'una dall'altra moltiplicandola per un fattore). Si pu dunque pensare di ottenere l'integrale generalecome combinazione lineare delle due soluzioni:

x a t b t= +sen cos! !

in cui i parametri a e b sono le due costanti arbitrarie che vanno determinate in base alle condizioniiniziali.La soluzione precedente si pu scrivere anche in modo diverso. Supponiamo di aver fissato i parametria e b che compaiono nell'espressione precedente: sempre possibiledeterminare due nuovi parametri A (costante positiva) e 0otali che:

a A

b A

o

o

=!

=

sen

cos

"

"

Infatti quadrando e sommando si ottiene

( )a b A A A Ao o o o2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ = + = + =sen cos sen cos! ! ! !

e dividendo la prima per la seconda si ottiene:

a

b o=

! tan"

Baster infatti prendere

A a b ar anga

b

o= + = !2 2

" cot

Con questi nuovi parametri l'integrale generale

x A t A to o

= ! +sen sen cos cos" # " #

Che ricordando che cos( ) cos cos sen sen! " ! " ! "+ = # si pu scrivere nella forma:

( )x A to

= +cos ! "

che rappresenta l'integrale generale dell'equazione differenziale del moto armonico.La costante positiva A si chiama ampiezza del moto armonico. Ricordando infatti che la funzionecoseno pu assumere valori tra -1 e 1, allora si vede che la posizione del punto materiale sull'asse xpu assumere i valori tra -A e A.La traiettoria coincide con il segmento, sull'asse x, di estremi [-A ,A.].L'argomento del coseno,/t+0oche un angolo, si chiamafase; 0o, invece, sar lafase iniziale, il valoredella fase all'istante t = 0 s. La costante /si chiamapulsazione angolare.Dall'integrale generale possiamo immediatamente ricavare l'espressione della velocit:

( )vdx

dt A t

x o= = ! +" " #sen

Anche la velocit limitata e pu assumere valori tra -A/e A/.

Verifichiamo innanzitutto che il moto armonico un moto periodico. Si pu vedere infatti che il puntomateriale ripassa per la stessa posizione con la stessa velocit ogni T secondi. T viene chiamatoperiododel moto armonico.


63/65

( )( ) ( )

( )( ) ( )

x t T) x t

v t T) v t

A t T A t

A t T A tx x

o o

o o

( ( )

( ( )

cos cos

sen sen

+ =

+ =

+ + = +

! + + = ! +

" # " #

" " # " " #

Le due eguaglianze precedenti risultano vere contemporaneamente se le fasi a primo e secondomembro differiscono al minimo di 2#. Cio:

( )[ ] [ ]! " ! " #t T to o+ + $ + = 2

Da cui si ottiene:

!T = 2" # T =2"

!

che ci fornisce la relazione tra il periodo e le pulsazione angolare del moto armonico.

Tornando al terminefase,con cui abbiamo chiamato l'argomento della funzione coseno, possiamoosservare che tale termine si usa anche nel linguaggio comune per indicare un particolare stato di unsistema soggetto a un fenomeno ciclico. Particolarmente note sono le fasi lunari. Le espressioni "luna

nuova", "primo quarto", "luna piena" e "ultimo quarto" ci permettono di specificare in quale parte delciclo lunare ci troviamo.Allo stesso modo la fase, in un moto armonico, ci permette di stabilire in quale parte del ciclo si trova ilpunto materiale.Cos se la fase uguale a 0, il punto materiale si trova nel punto estremo della traiettoria sul semiassepositivo, x=A. La velocit in questo caso nulla.Se la fase uguale a 90 (#/2), la posizione del punto materiale coincide con l'origine del sistema diriferimento, mentre la velocit -/A. Il punto materiale passa per l'origine mentre si muove nel versonegativo dell'asse x.Se la fase 180 (#), il punto materiale si trova all'estremo della traiettoria sul semiasse negativo, x=-A.La velocit anche in questo caso nulla.Quando la fase invece uguale a 270 (3#/2) il punto materiale si trova ancora nell'origine del sistema

di riferimento ma que

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Fisica Generale 1