FISICA II (ELETTROMAGNETISMO ed OTTICA)

Titolare del corso : Alexis Pompili (Dipartimento Interateneo di Fisica, stanza 106, piano-I, 080-5443208)

Modo piu’ semplice/veloce di contattarmi : alexis.pompili@ba.infn.it

Ricevimento: giovedi’ 11-13, 15-17

Lezione 23 : Autoinduzione & circuito RL-serie

Autoflusso

Consideriamo un circuito in cui fluisce una corrente ;

secondo la Legge di Ampere la corrente produce

un campo magnetico che, in ogni punto dello spazio,

è proporzionale ad .

Possiamo calcolare il flusso del campo attraverso il circuito,

chiamato autoflusso o flusso concatenato perchè dovuto al campo

generato dal circuito stesso, che è quindi proporzionale ad e si scrive:

!

il coeff. di proporzionalità (autoinduttanza) dipende dalla forma del conduttore

ed è espresso nell’unità di misura (derivata) «henry»

"

# = %& ' ()* = ⁄,- ./ ' 0)-1

"

"

"

!

2, ! ∝ " ⟹ 2,= 1"

Suppongo ora la corrente non sia costante !

Questa variazione nel tempo può essere ottenuta

variando la f.e.m. applicata o la resistenza o entrambe:

"

5(7)

R(7)

" spira

circuito pilota

2

Autoinduzione

... ma secondo la legge di Faraday dell’induzione elettrom. nel circuito viene indotta una f.e.m.:

questo caso «speciale» di induzione viene chiamata autoinduzione.

Si scrive:

Quando cambia nel tempo anche il flusso attraverso il circuito (l’autoflusso) varia:

f.e.m. autoindotta :

! "#(%) = (!())

*( = −,"#,) = − (,!,)

costante (dipende dalla geometria)([ma se la forma cambia: ]*( = −,((!),)

3

Autoinduzione

... ma secondo la legge di Faraday dell’induzione elettrom. nel circuito viene indotta una f.e.m.:

questo caso «speciale» di induzione viene chiamata autoinduzione.

Si scrive:

Quando cambia nel tempo anche il flusso attraverso il circuito (l’autoflusso) varia:

f.e.m. autoindotta :

agisce sempre in modo da opporsi al cambiamento della

! "#(%) = (!())

*( = −,"#,) = − (,!,)

costante (dipende dalla geometria)(

!*(

[ma se la forma cambia: ]*( = −,((!),)

3

Autoinduzione

... ma secondo la legge di Faraday dell’induzione elettrom. nel circuito viene indotta una f.e.m.:

questo caso «speciale» di induzione viene chiamata autoinduzione.

Si scrive:

Quando cambia nel tempo anche il flusso attraverso il circuito (l’autoflusso) varia:

f.e.m. autoindotta :

agisce sempre in modo da opporsi al cambiamento della

! "#(%) = (!())

*( = −,"#,) = − (,!,)

costante (dipende dalla geometria)(

!*(

Sia p.es. antioraria la corrente inducente ! ; due sono i casi :

!-.,/))0<0! aumenta

! diminuisce

,!,) > 2

,!,) < 2

*( < 2

*( > 2

[ma se la forma cambia: ]*( = −,((!),)

!-.,/))0 >0 (antioraria)

(oraria)

!-.,/))0!-.,/))0

Per indicare che un conduttore ha un’autoinduttanza apprezzabile si usa il simbolo dell’induttore(anche se non è concentrata in un punto ma è una proprietà del circuito nel suo insieme) 3

Transitorio nel quale si stabilisce una corrente in un circuito

Questo processo è dovuto alla comparsa della f.e.m. autoindotta

che si oppone alla variazione della corrente (ed agisce mentre la

corrente aumenta da zero fino al suo valore costante finale).

Per tener conto di questo fenomeno - pur se l’autoinduttanza non è

concentrata in un punto - si introduce l’induttore che rappresenta qui

l’autoinduttanza del circuito :

Quando una f.e.m. viene applicata ad un circuito chiudendo un

interruttore la corrente non raggiunge istantaneamente il valore

corrispondente alla legge di Ohm, ma sale gradualmente

avvicinandosi a tale valore (valore a regime).

L’autoinduttanza va considerata come la sede della f.e.m. autoindotta

e va immaginata come un generatore di f.e.m. circuitale che però

agisce nella maglia in modo opposto al generatore presente :

(per via del segno -). In tal caso l’equazione della maglia si scrive come:

! = #$

$

##

#%

!

# !

$

%

#% = −%'!'(

#%

# + #% = $! # − %'!'( = $!4

Circuito RL con generatore - I

Questa equazione differenziale di 1° grado puo’ essere risolta separando le variabili :

Parimenti si può immaginare che l’induttore sia un elemento

circuitale ai capi del quale vi è la caduta di potenziale :

Integrando (si tenga conto che quando ):! = 0

$ % &

$ = −$& + )% $ = )% + &*%*+

(−$&) = +&*%*+

./ − ! =

0/1!12 −/0 12 =

1!! − ⁄. /

2 = 0 −45

6 /0 12′ −= 4

5

8 1!′!′ − ⁄. / −/0 2 = 9: ! − ⁄. / − 9: − ⁄. /

−$&= +&*%*+

5

)

Circuito RL con generatore - I

Questa equazione differenziale di 1° grado puo’ essere risolta separando le variabili :

Parimenti si può immaginare che l’induttore sia un elemento

circuitale ai capi del quale vi è la caduta di potenziale :

Integrando (si tenga conto che quando ):! = 0

$ %

&

'

$ = −$' + &% $ = &% + '*%*+

(−$') = +'*%*+

./ − ! =

0/1!12 −/0 12 =

1!! − ⁄. /

2 = 0 −45

6 /0 12′ −= 4

5

8 1!′!′ − ⁄. / −/0 2 = 9: ! − ⁄. / − 9: − ⁄. /

Esponenziando ambo i membri:

;<=>6 = ;?@ 8< ⁄A = <?@ < ⁄A = = ;?@ 8< ⁄A = B ;<?@ < ⁄A = = ;?@ 8< ⁄A =

;C?@ < ⁄A =

−./ ;<=>6= ! − ./

;C?@ < ⁄A = B ;<=>6 = ;?@ 8< ⁄A =

! = ./ 1 − ;<

=>6

−$'= +'*%*+

5

!"

Circuito RL con generatore - II

Il 2° termine in parentesi decresce

all’aumentare tempo e la corrente

raggiunge asintoticamente il valore

dato dalla legge di Ohm;

lo fa tanto più rapidamente quanto più la

costante temporale del circuito è piccola.

Discutiamo il risultato trovato:# $

%

&

!"

$

$ = #% ( − *+

%&, ≡ #

% ( − *+,. con . = &

%−#&= +&0$0,

,00

$. piccola

. grande

Si noti la similitudine matematica con il corpo che si muove in un fluido viscoso :

# − %$ = &0$0, simile a ... 2 − 345 = 6050,

[ p.es. F=mg ]

suggerendo le seguenti corrispondenze:

% ↔ 34& ↔ 6# ↔ 8

6

!

"

Circuito RL senza generatore (extracorrente di apertura)

L’equazione del circuito adesso è:

Supponiamo invece di aprire il circuito una volta stabilita la (portando l’interruttore dalla posizione 1 alla 2 e cosi facendotogliendo la f.e.m senza aprire il circuito) :

# $

%

&

$

$ =#

%()

%

&* ≡

#

%()

*

, con , =&

%

−#&= +&/$

/*

*00

$

, piccola

, grande

Stavolta la corrente diminuisce esponenzialmente all’aumentare del tempo

secondo la costante di tempo [diminuisce di 1/e (~63%) in 1t ]

1

2

3 = %$ + &/$

/*

−4 =5

"

64

67−"

567 =

64

4−8

9

: "

567′ −= 8

<=

> 64′

4′

Esponenziando ambo i membri: ()%&* = (?@$)?@ ⁄# %

−"

57 = BC 4 − BC

!

"

DEFG ⁄< = H D)=I: = DFG>

, =&

%

Anche stavolta l’induttanza tende ad opporsi alla variazione di corrente per cui all’apertura del circuito la corrente non va a 0 immediatamente ma si ha un effetto di scarica che si osserva sull’interruttore definita extracorrente di apertura.

7