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2013

Relatividade Restrita Simultaneidade de Acontecimentos. Dilatação

do Tempo. Contração do Espaço.

Ana Francisca Silva Nº2 12ºJ

João Maria Ferreira Nº19 12ºJ

Escola Secundária Alves Martins

Ana Francisca Silva João Maria

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Índice

Introdução……………………………………………………………………………………….……… 3

Referenciais e Coordenadas…………………………………………………………..….……. 3

Simultaneidade de Acontecimentos………………………………….……….…………... 4

Dilatação do tempo………………………………………………………………………………… 5

Contração do Espaço………………………………………………………………………………. 7

Conclusão……………………………………………………………………………………………….. 9

Bibliografia……………………………………………………………………………………………… 9

Webografia……………………………………………………………………………………………… 9

FS JM

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Introdução

Desde a Antiguidade que tudo o que está à nossa volta e certos fenómenos da natureza foram

difíceis de explicar. Assim, o presente trabalho tem como objetivo explicar certos aspetos

abordados por Albert Einstein na sua famosa Teoria da Relatividade mais concretamente, os

seguintes subtemas: Simultaneidade de Acontecimentos, Dilatação do Tempo e Contração do

Espaço.

A Relatividade Especial é uma teoria publicada em 1905 por Albert Einstein, concluindo

estudos precedentes do matemático francês Henri Poincaré e do físico holandês Hendrik

Lorentz. Esta teoria substitui os conceitos independentes de espaço e tempo da Teoria

de Newton pela ideia de espaço-tempo como uma entidade geométrica unificada. O espaço-

tempo na relatividade especial consiste de uma variedade diferenciável de 4 dimensões, três

espaciais e uma temporal (a quarta dimensão), onde é possível aplicar as noções de geometria.

É nessa teoria, também, que surge a ideia de velocidade da luz invariante. A sua teoria de

relatividade restrita assenta em 2 Postulados:

- Princípio da Relatividade:

O estado de movimento retilíneo uniforme não pode ser detetado.

Nas Palavras de Einstein: "...existem sistemas cartesianos de coordenadas - os chamados

sistemas de inércia - relativamente aos quais as leis da mecânica (mais geralmente as leis da

física) se apresentam com a forma mais simples. Podemos assim admitir a validade da seguinte

proposição: se K é um sistema de inércia, qualquer outro sistema K' em movimento de

translação uniforme relativamente a K, é também um sistema de inércia."

- Princípio da Invariância de Velocidade Da Luz:

A velocidade da Luz não depende do movimento da origem. A velocidade da luz no

vácuo é a mesma para todos os observadores em referenciais inerciais e não depende

da velocidade da fonte que a está a emitir, tão pouco do observador que a está a

medir. A luz não requer qualquer meio para se propagar.

Referenciais e Coordenadas A Teoria da relatividade depende do Termo “Referencial” definido com sendo uma perspetiva

observável no espaço que não apresenta aceleração, no qual uma posição pode ser medida a

partir de 3 eixos dimensionais. Também neste referencial é possível medir o tempo de

acontecimentos.

Na Teoria de relatividade, muitas vezes é necessário calcular a posição de uma partícula a

partir de outro referencial. Suponhamos agora que possuímos um segundo referencial S’ cujos

eixos coincidem com S no momento inicial, mas move-se a uma velocidade constante v ao

longo do eixo x.

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Como não há um referencial absoluto na Teoria da Relatividade, o conceito de movimento não

‘existe’ devido ao facto de tudo se poder estar a mover relativamente a outros referenciais.

Assim é possível definir um acontecimento com coordenadas (t,x,y,z) no referencial S e com

coordenadas (t’,x’,y’,z’) no referencial S’.

Simultaneidade de acontecimentos

Imagine-se dois observadores: um no centro de um comboio a deslocar-se a grandes

velocidades e outro na plataforma quando o comboio passa. Quando o centro do comboio

passa pelo observador na plataforma ele vê dois relâmpagos atingirem a carruagem: um na

frente o outro na traseira.

A luz dos dois relâmpagos chegou ao observador na plataforma ao mesmo tempo uma vez que

as distâncias entre eles e o observador são iguais. Então, ele conclui que os relâmpagos

ocorreram ao mesmo tempo pois ele sabe que a luz dos relâmpagos percorreu a mesma

distância à mesma velocidade (velocidade da luz).

Ele previu que o observador sentado no centro da carruagem no comboio irá ver o relâmpago

de frente antes do de trás porque na sua perspetiva o centro do comboio está a aproximar-se

da luz proveniente do relâmpago que atingiu a frente e a afastar-se da luz do relâmpago que

atingiu a traseira. Mas o que é que o passageiro vê?

Como o seu amigo na plataforma previu, ele vê o relâmpago da frente primeiro mas a sua

conclusão não é a mesma… Como Einstein mostrou, a velocidade dos relâmpagos no

referencial do comboio tem de ser igual à velocidade da luz. Como a distância que a luz dos

relâmpagos viajou até chegar ao centro do comboio é a mesma, ela só pode concluir uma

coisa: se ela viu o relâmpago da frente primeiro é porque foi o primeiro a acontecer.

Então, qual é a interpretação correta: o observador na plataforma que diz que ambos

aconteceram ao mesmo tempo ou o observador no comboio que defende que o relâmpago da

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frente aconteceu antes do de trás? Einstein diz-nos que ambos estão corretos, cada um no seu

referencial. Esta é uma das principais conclusões da teoria da relatividade restrita de Einstein.

De acordo com Galileu, estas conclusões não teriam qualquer sentido uma vez que o tempo

era absoluto independentemente do referencial em que se estava a estudar. Então, como é

que a luz dos relâmpagos, emitidos ao mesmo tempo, percorrendo a mesma distância, teriam

tempos de chegadas diferentes?

Dilatação do tempo

Em 1913, Einstein publicou um Texto de como poderiam ser explicadas as transformações

conhecidas como as transformações de Lorentz, para descrever a simultaneidade de

acontecimentos de acordo com o seu referencial.

Ao discutir o conceito de tempo, Einstein mostrou que a simultaneidade é um conceito

relativo. Assim, o que é simultâneo para um observador poderá não ser para outro que se

move com movimento retilíneo uniforme em relação ao primeiro.

Vamos supor que queremos medir o intervalo de tempo gasto para ocorrer um fenómeno.

Uma das consequências dos postulados de Einstein é que o valor desse intervalo de tempo vai

depender do referencial em que está o observador.

Se tivermos dois observadores situados em dois referenciais inerciais diferentes, um tendo

velocidade constante em relação ao outro, os intervalos de tempo medidos por esses

observadores serão diferentes. Assim, o tempo medido pelo observador que se encontra no

referencial onde o evento está a acontecer mede um determinado intervalo de tempo,

designado por intervalo de tempo próprio.

Considere a seguinte situação:

Um observador A e outro observador B que está dentro de um comboio, estando equipados

de relógios. Dentro da carruagem existe um dispositivo C capaz de emitir Luz e detetá-la,

acima deste dispositivo está um espelho que reflete os raios emitidos por C. Assim, um raio

emitido pelo dispositivo C é refletido no espelho e volta para C onde é detetado, permitindo

medir o intervalo de tempo ∆t ocorrido entre os dois acontecimentos. Este intervalo de tempo

designa-se por intervalo de tempo próprio uma vez que é o intervalo de tempo medido entre

dois acontecimentos ligados a um referencial inercial estático.

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Os dois observadores medem o mesmo valor para o intervalo de tempo: ∆t = 2d/c

Imagine agora que o comboio tem um movimento retilíneo uniforme com velocidade

constante v relativa ao observador A em repouso no solo.

O observador B mediu o mesmo intervalo de tempo do primeiro teste, mas o observador A

medirá um intervalo de tempo ∆t’ diferente do anterior, pois para ele o raio de luz percorreu

uma distância diferente da anterior. Observem a distância percorrida pelo raio de luz:

A partir do qual, podemos deduzir o tempo ∆t’:

Factor de Lorentz

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Conclusões:

, Logo a velocidade da luz é uma velocidade máxima e, à exceção da própria

luz, nada pode viajar a esta velocidade;

Como → : o intervalo de tempo no referencial exterior é maior e

por isso é que se diz que existe dilatação do tempo.

Quanto maior for a velocidade v maior será o efeito da dilatação do tempo;

Se então ∆t’ = ∆t o que está de acordo com a relatividade de Galileu: a

relatividade restrita engloba a relatividade galileana;

Exemplo da dilatação do tempo:

Um observador dentro de um comboio em movimento com velocidade v = 0,2c m/s vê uma luz

a percorrer a altura do comboio. Esta luz demora 5s a percorrer este caminho. O observador A

em repouso na plataforma afirma que a luz demorou 5,1031 s a percorrer o caminho.

Assim, o tempo é mais dilatado para os referenciais que se movem a uma velocidade

constante e a este fenómeno se designa de Dilatação do tempo. O intervalo de tempo entre

dois acontecimentos é o menor possível se eles ocorrerem no mesmo lugar (∆t próprio). Se

ocorrerem em lugares diferentes haverá dilatação do tempo.

“O TEMPO PASSA MAIS LENTAMENTE PARA O REFERENCIAL EM MOVIMENTO”

Contração do Espaço

Outra consequência notável de Teoria da relatividade Especial é que os comprimentos que

medimos de corpos em movimento são relativos, isto é, diferem dependendo do movimento

em relação aos observadores considerados.

Por outras palavras, um metro nem sempre implica o mesmo espaço, depende do observador

e da sua velocidade relativa, a única coisa que permanece constante é a velocidade da luz ou

relação espaço-tempo.

Quando a medição do comprimento do objeto é realizada com o objeto em repouso em

relação ao observador, o comprimento medido é designado por comprimento próprio do

objeto.

Imagine-se a seguinte situação:

O João está em repouso em relação a uma plataforma de comboios (referencial S). A Maria

está situada num comboio que se desloca a uma velocidade v constante em relação à

plataforma (referencial S’).

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O João pega numa régua para medir o comprimento da plataforma (comprimento próprio).

Como a Maria não consegue medir o comprimento da plataforma com uma régua, ela mede o

tempo com demora a atravessar a plataforma (tempo próprio).

Então para o João o comprimento da plataforma é definido por e para a Maria é

definido por:

e como sabemos pelo tema anterior que

Conclusões:

Há contração do espaço na direção da velocidade do referencial;

Quanto maior for a velocidade do referencial, maior será o efeito da contração;

O comprimento próprio é o maior dos comprimentos medidos;

Se , então , tal como prevê a relatividade galileana.

Exemplo de Contração do espaço:

A Maria viaja no comboio com velocidade de v = 139 m/s e o João encontra-se num referencial em

repouso relativamente à Maria. O João mede um comprimento de 50 m enquanto a maria mede

49,9999999999946 m.

Assim podemos entender por que razão não reparamos nos efeitos da contração do espaço no nosso

quotidiano. As diferenças entre os comprimentos são quase nulas. Para velocidades muito inferiores à

velocidade da luz, os efeitos de relatividade são imperceptíveis.

“ O COMPRIMENTO DE TUDO É MAIS PEQUENO EM REFERENCIAIS EM MOVIMENTO”

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Conclusão

A partir deste trabalho podemos retirar uma breve noção dos conteúdos referidos na

introdução. No tema da Simultaneidade de Acontecimentos é possível concluir que dois

acontecimentos simultâneos num referencial inercial podem não o ser noutro referencial

inercial que esteja em movimento com velocidade constante em relação ao primeiro.

O tema da dilatação do tempo mostra-nos que relógios que se deslocam em relação a outro

num referencial inercial em repouso “andam” mais devagar para um observador no referencial

em repouso e que esse efeito é descrito pela Transformação de Lorentz.

Assim, tal como aconteceu na dilatação do tempo, também a contração do espaço é descrita

pela transformação de Lorentz. Comprimentos de corpos ligados a referenciais em movimento

são relativos e mais pequenos relativamente a um referencial inercial em repouso.

Bibliografia

TIPLIER, Paulo A; MOSCA, Gene. PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS, 5ª ed. W.H.

Freeman and Company. (2004)

VENTURA, Graça; FIOLHAIS, Manuel; FIOLHAIS, Carlos; PAIXÃO, José A. 12F- Física, 1ª ed. Texto

Editores. (2009)

Webografia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_da_relatividade

http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity

http://fisicamariaines.com/re/contracao.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dilata%C3%A7%C3%A3o_do_tempo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Relatividade_da_simultaneidade

http://plato.if.usp.br/~fma0374d/aula4/node2.html

http://www.fisica.ufjf.br/disciplinas/fismod/capitulo1.pdf

http://www.efeitojoule.com/2008/06/universidade-dilatacao-do-tempo.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_factor

http://en.wikiversity.org/wiki/Special_Relativity

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