Fizika Pred.2m

8/18/2019 Fizika Pred.2m

1/20

PREDAVANJA – FIZIKA, Doc.Dr.Sc. Suada BIKIĆ

O3.11 Štajnerov obrazacUkoliko se poznaje moment inercije tijela uodnosu na osu koja prolazi kroz centar inercije O , (mase) tijela ( ) tada se može izračunati I 0

moment inercije tijela u odnosu na osu koja je Cd →

paralelna sa pomenutom osom, a nalazi se na r r i,→

i

→

rastojanju d od nje, na slijedeći način ( slika) . mi

r d r r d d r r

m r d m d m r m r

i i i i i

i i i i i i i

, ,

,

→ → → → →

→ →

= + ⇒ = + + ⇒

= + +∑ ∑ ∑ ∑

2 2 2

2 2

2

2

2

2 ⇒

→= 0

Obziro da je r vektor položaja masenog elementa tijela u odnosu na centar mase onda je ∑ ,nadalje je ukupna masa tijela, a

i

→m r i i

m mi∑ = m r i i∑ 2 moment inercije tijela u odnosu na centar mase dobijase konačan izraz

koji se zove Štajnerov obrazac. I md I = +2

0

Iz Štajnerovog obrasca vidi se da je moment inercije tijela u odnosu na osu koja je paralelna osi koja prolazi kroz centar inercije tijela jednak zbiru momenta inercije tijela u odnosu na osu koja prolazi krozcentar inercije tijela i proizvoda mase tijela i kvadrata rastojanja te dvije ose.3.12 Zakon o očuvanju momenta količine kretanja Ovaj zakon nećemo dokazivati nego ćemo koristiti analogije između veličina kod rotacionog kretanja iveličina kod translatornog kretanja.- Moment inercije kod rotacije analogan je masi kod translacije.- Ugaona brzina kod rotacije analogna je trenutnoj brzini kod translacije.

Možemo napisati izraz za količinu kretanja kod translacije K m v→ →

= , analogan izraz koji seodnosi na rotaciju tijela i naziva se moment količine kretanja.

L I → →

= ω

Zakon o očuvanju količine kretanja kod translacije za zatvoren sistem je glasio m v co nst → →

= . , a za zatvorensistem kod rotacije imamo zakon o očuvanju momenta količine kretanja koji glasi . Ovajzakon ćemo ilustrirati slijedećim primjerom ( slika ).

I const ω → →

= .

I 1 1,ω I 2 2,ω

Obzirom da je I 1 1⋅ω = I 2 2⋅ω , a , onda je I I 1 > 2 ω ω 1 2< .

3.13 Zakon kretanja za tijelo koje rotira

Analogan II Njutnovom zakonu kod translacije možemo napisati zakon kod rotacije ako definiramoanalognu veličinu kod rotacije sili kod translacije. Analogna veličini sili je moment sile definiran kao

21


2/20


M r F → → →

= ×

. M rF r F = ∠⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

→ →sin , r

→F →

Slijedi da će analogan zakon kod obrtnog kretanjaII Njutnovom zakonu kod translatornog kretanja biti

F d

dt m v M

d

dt I

→ → →=

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⇒ =

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ω

→. M

→

Ako je I const = . , onda je

. M I → →

= α Formirat ćemo tabelu analognih veličina kod translatornog i rotacionog kretanja.

TRANSLACIJA ROTACIJA

put - s

→

ugao - ϕ

→

masa - m moment inercije - I

trenutna(linearna) brzina v d s

dt

→ →

= trenutna ugaona brzina ω ϕ →

→

= d

dt

trenutno ubrzanje a d v

dt

→ →

= trenutno ugaono ubrzanje α ω → →

= d

dt

količina kretanja(impuls tijela) K m v→

= →

moment količine kretanja L I → →

= ω

sila F d

dt m v

→ →=

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ moment sile M

d

dt I

→ →=

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ω

kinetička energija 2

2

mv E k = kinetička energija 2

2

ω I E k =

Zakon o očuvanju količine kretanja

. m v const ii

n

i

=

→ →

∑ =1

Zakon o očuvanju momenta količine kretanja

. I conii

n

i

=

→ →

∑ =1

ω st

3.14 Sistem sa disipacijom (rasijanjem) energijeMeđudjelovanje tijela sa sredinom kroz koju se tijelo kreće dovodi do rasijanja dijela mehaničke energije.Ovo međudjelovanje predstavlja veoma složen proces, a svodi se na transformaciju dijela mehaničke

energije tijela koje se kreće u druge oblike energije, često u toplotu. Pri kretanju tijela iz tačke A u tačkuB,kod nedisipativnog sistema energija je očuvana te je B

. E E A B=

Međutim u slučaju disipativnog sistema je, te je A E E A > B

, gdje je E E E A B= + ∆

22


3/20


∆ E dio mehaničke energije tijela koji je prešao u drugi oblik energije ili rad uslijed međudjelovanja tijelasa okolinom.

3.14.1 Trenje klizanja Na osnovu iskustva je konstatovano da pri kretanju

tijela po nekoj podlozi je sila trenja koja se javlja F →

pri klizanju tijela, kao vektorska veličina, ima isti F tr →

pravac kao i trenutna brzina tijela ali suprotan smjer,

a veličina te sile je proporcionalna sili kojom to F N →

tijelo normalno djeluje na podlogu.F F tr N ∝

Proporcionalost u jednakost prevodi konstanta µ koja se naziva koeficijentom trenja, a koja ovisi o

materijalima koji se dodiruju kao i o veličini dodirnih površina. Ta konstanta se određujeeksperimentalnim putem.Tada se može pisati da je

F F tr N = µ .

PRIMJER:Odrediti ubrzanje tijela koje se spušta niz strminu ( strmu ravan ) nagibnog ugla α ako je koeficijenttrenja između tijela i podloge µ .

Sa slike se vidi da je aktivna komponenta sileF A − F tr →

zemljine teže u pravcu kretanja tijela te je na

osnovu II Njutnovog zakona F m g A→ →

= sin α F m g N → →

= cosα

α

, ili u skalarnom oblikuF F F A tr → → →

= − ma mg mg= −sin cosα µ

jer sile imaju isti pravac . m g→

Odatle jea g= −(sin cos )µ .

TRIBOMETAR je sprava pomoću koje se određuje koeficijent trenja. Ugao strmine se mijenja dok setijelo ne počne niz nju kretati jednoliko, u jednakim vremenskim intervalima prelaziti iste puteve. U tomslučaju je

a t = = − ⇒ g=0 sin cosµ µ .

3.14.2 Otpor sredine

Prilikom kretanja tijela kroz fluide ( gasove ili tečnosti ) kada je brzina kretanja tijela daleko manja od brzine kretanja molekula fluida javlja se sila otpora sredine čiji je pravac jednak pravcu trenutne brzinetijela, smjer suprotan, a iznos otpora sredine je proporcinalan brzini kretanja tijela. Konstanta proporcionalnosti je iskustvena. Tada se može pisati da je

F cot v= .

Sila otpora sredine se npr. javlja kod oscilatornog kretanja tijela, te će se amplituda tijela koje oscilujevremenom smanjivati.PRIMJER:

Padanje kapljice kroz zrak (vazduh). Mogu se javiti tri slučaja koja su ilustrovana na slici.

23


4/20


v

Slobodan pad Realno padanje Jednoliko padanje

F ot

→= 0 F ot

→F ot

→

G m G m g→ →

= G m g→ →

= g→ →

=

m a m g F

ma mg cv

c r

ot

→ → →= −

= −

= 6πη

m g F ot

→ →=

Stoksov zakon jednoliko kretanje

Prema Stoksovom zakonu otpor sredine koji se javlja prilikom kretanja tijela sfernog oblika jednak jeF r ot = 6πη , gdje je

η − koeficijent viskoznosti srediner − poluprečnik sferev − trenutna brzina tijela.

3.15 Mjerenje, sistemi jedinica i dimenzija fizikalne veličinePRIMJER:Dužina L iznosi 24 .3m L m= 243

Izmjerena fizikalna veličina brojna vrijednost jedinica

Izmjeriti neku fizikalnu veličinu znači odrediti odnos te veličine i unaprijed proizvoljno izabrane jediniceza tu veličinu. Određivanje jedinice se vrši na dva načina.I- Proglašavanjem određenog dijela jedne fizikalne veličine za jedinicu. Pri tome se zahtijeva velika

tačnost i reproducibilnost. Ovako određena jedinica naziva se OSNOVNOM JEDINICOM.II- Određivanje ( izvođenje ) jedinica pomoću osnovnih jedinica nazivamo IZVEDENIM. Prilikomformiranja izvedenih jedinica služimo se relacijama koje povezuju posmatranu veličinu saosnovnim veličinama za koje su definirane osnovne jedinice. Pri tome se treba znati slijedeće:

a) Za izvođenje svih mehaničkih jedinica dovoljno je definirati tri osnovne jedinice. Za drugeoblasti fizike se uz ove tri osnovne jedinice dodaje još jedna kao predstavnik te oblasti, te se pomoćute četiri jedinice mogu izvesti druge koje su vezane za oblast za koju se uzela četvrta jedinica.

b) Prilikom izvođenja jedinica mora da vrijedi princip koherencije.Pored ovih pravila koje nalaže međunarodni sistem jedinica, sistem nalaže da jedinica za energiju u svimoblastima fizike je ista, a to je Džul.Sada navodimo osnovne SI veličine, a prema tome i jedinice vezane za njih kako slijedi u tabeli.

Redni broj SI-veličine SI-jedinice1 dužina metar ( )m 2 masa kilogram ( )kg

3 vrijeme sekunda ( s )4 jačina električne struje amper ( A )5 apsolutna temperatura kelvin ( K )6 jačina svjetlosti kandela ( )cd

7 količina supstance kilomol ( )kmol

24


5/20


1. Jedan metar ( ) je dužina jednaka 1650763,73 talasnih dužina u vakuumu elektromagnetskogzračenja izotopa kriptona Kr koje odgovara prijelazu elektrona između energetskih nivoa 2p 10 i5d . Ovako definirana jedinica za dužinu je oko 2000 puta preciznija od etalona u Sevru ( etalon napravljen od legure sastava 90% Pt i 10% Ir, sa tačnošću od2

m86

5

µ m ).

2. 1 je masa međunarodne pramjere ( prototipa ) kilograma koji se čuva u Međunarodnom uredu za

utege i mjere u Sevru kod Pariza, uteg u obliku valjka prečnika od 39 i visine39 napravljenog od legure sastava 90% Pt i 10% Ir .

kg

m mm m

3. Jedinica za vrijeme ili vremenski interval je 1 s . Za mjerenje vremena se uvijek koristi neka periodična pojava. Jedna sekunda ( s ) je trajanje od 9192631770 perioda zračenja koje nastaje pri prijelazu elektrona između dvaju hiperfinih nivoa osnovnog stanja atoma 13 Cs ( greška je reda3

10 13− s , tj. 1 s u 300000 godina).4. Stalna električna struja ima jačinu od 1 A ako prolazeći u svakom od dva paralelna, ravna, beskonačno

dugačka provodnika, zanemarivo malenog presjeka, razmaknuta jedan metar u vakuumu, uzrokujeizmeđu njih silu od 2 10 7⋅ − N po jednom metru dužine provodnika.

5. Jedan kelvin ( K ) je temperatura koja je jednaka 273,16-tom dijelu temperature trojne tačke vode.Temperatura trojne tačke vode je ona temperatura na kojoj je voda u ravnoteži u sva tri agregatnastanja , a to je pri pritisku od 610t C T

0

0

00 01 27316= =, ; , K Pa .

6. Jedna kandela ( je jačina svjetlosti koju u okomitom pravcu zrači površina od)cd 1

6000002m crnog

tijela zagrijanog na temperaturu otvrdnjavanja platine pri pritisku 101325 Pa ( 2046,6 K ).7. Jedan mol je količina supstance koja sadrži toliko jednakih čestica (molekula, atoma, elektrona,

jona i sl.) koliko ima atoma u 0 0 izotopa ugljika 612 C. Taj broj je i naziva se

Avogadrov broj. Treba razlikovati količinu supstance od mase supstance, jer su te dvije veličinesuštinski različite iako su proporcionalne. Veza im je

(mol)

12, kg 6 02 1023, ⋅

količina supstance ( )n =−

masa m

mo a masa M

( )

ln ( ).

Molna masa vodika je 0,002016 , molna masa kisika je 0,032 itd.kg kg

Izvedene jedinice se izvode iz osnovnih jedinica na osnovu algebarskih izraza-upotrebom matematič

kihsimbola množenja i dijeljenja.Izvedene jedinice koje nazivamo DOPUNSKIM su one za ravanski ugao i prostorni ugao, a to su radijan isteradijan respektivno.

3.15.1 Dimenzija fizičke veličineRelacije pomoću kojih izvodimo izvedene jedinice predstavljaju zakone fizike po kojima se određujefizička veličina. U općem obliku ovakve relacije se mogu pisati na slijedeći način

[ ] (*)[ ] [ ] [ ] [ ] Z M L T X = α β γ δ

γ

[ ] Z − izvedena jedinica

[ ] M − osnovna jedinica za masu

[ ] L − osnovna jedinica za dužinu[ ]T − osnovna jedinica za vrijeme

[ ] X − osnovna jedinica za veličinu koja je predstavnik određene oblasti.U mehanici se gornja relacija može napisati u jednostavnijem obliku

[ ] . (**)[ ] [ ] [ ] Z M L T = α β

PRIMJER: Jedinica za energiju je Džul.

25


6/20


[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

E mv

E M v M L

T kg

m

sk g m s= ⇒ = = = = ⇒ = = =−

21 1 1

21 1α β γ ; ; −1 .

3.15.2 Sistemi jedinica u mehaniciKao osnova za formiranje sistema jedinica u mehanici mogu da posluže bilo koje tri fizi čke veličine, a prema tome i jedinice vezane za njih ali takve da nijedna od njih nije izvedena pomoću druge. U praksi seizdvajaju dvije grupe sistema .

I grupa – apsolutni sistemi čije su osnovne jedinice za masu,dužinu i vrijemeII grupa- tehnički sistemi čije su osnovne jedinice za silu,dužinu i vrijeme. Na osnovu ove podjele, a prema jedinicama koje koristimo možemo istaći četiri sistema jedinica što je prikazano na slici.

TEHNIČKI SISTEM pond kilopondcentimetar metarsekunda sekunda

Apsolutni sistem se sastoji od CGS – sistema i MKS- sistema koji je ujedno i SI koji se mora koristiti.Sada ćemo izvesti jedinice za mehaničke veličine.SILA :

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]

[ ]

F d dt

m v F m vt

MKS SI jedinisa F

kg m

s

s

kgm

skgms N Njutn

CGS F

g cm

s

s

gcm

sgcms D dyn N

→ →

−

− −

= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟ ⇒ = ⇒

− = = = =

= = = = =

; (

: ( )

22

22 5

1

1 10

)

U tehničkom sistemu jedinica za silu je osnovna jedinica i zove se kilopond i manja jedinica koja se zove pond.

kilopond = 103 ponda

Težina tijela mase od 1 na površini zemlje jednaka je jednom kilopondu, a težina tijela mase od 1 jednaka je jednom pondu.kg g

m kg= 1 m g= 1

G=1pG=1kp

sila

APSOLUTNI SISTEM

masa dužina vrijeme

Centimetar MetarGramSekunda

K ilogramSekunda

SI-jedinice

26


7/20


Na osnovu ovih definicija, a obzirom na relaciju

TEŽINA= MASA GRAVITACIONO UBRZANJE, tj→→

= gmGslijedi da je

1 1 9 81 9 81 1 1 981 9812 2

kp kg m

s N p g

cm

s D= ⋅ = = ⋅ =, , ; .

PRITISAK:Pritisak je sila koja djeluje na jedinicu površine

p F

S

→ →

= .

Ukoliko se sila mijenja od mjesta do mjesta potrebno je i pritisak odrediti u svakom mjestu zasebno. Utom slučaju pritisak određujemo prema relaciji

p d F

dS

→ →

= .

Jedinica za pritisak će biti

[ ] [ ]

[ ] [ ] )(;

2 PaskalPa

m

N pSI MKS

S

F p ==−⇒=

[ ]CGS p Dcm

− =2

Jedinica u tehničkom sistemu je [ ]TS p kp

m− =

2 i [ ] p

p

cm=

2.

Jedinica koja se veoma često koristila je tehnička atmosfera, a predstavlja hibridnu jedinicutehničkih sistema. Naime po definiciji je

1 tehnička atmosfera(atm)= kp

cm2

, a to je dalje

1 , pri čemu je9 81 10 9 81 10 102 4 2 4kpcm N m Pa Pa− −= ⋅ = ⋅ ≈, , 5

1 105bar Pa= , koji je jedinica SI .MASA:

Jedinica za masu je osnovna jedinica apsolutnih sistema, a i SI koja je već definirana, pa je[ ]

[ ]

MKS SI m kg

CGS m g kg

; − =

− = = −1

1 10 3

U tehničkom sistemu je jedinica za masu izvedena jedinica, te je

[ ] [ ]

[ ]m

F

a

kps

mkpm s hyl= = = =−

21 2 1 .

SPECIFIČNA GUSTOĆA: Za homogeno tijelo je specifična gustoća definirana kao odnos između mase tijela i njegove zapremine. Uslučaju da je tijelo nehomogeno specifična gustoća ( slika) se određuje za svaku tačku tijela, tada je

ρ = dm

dV

. dm

dV

Odavdje je . Obzirom na definiciju jedinica će bitidm dV m dV V

V

= ⇒ = ∫ ρ 1

2

ρ

[ ] [ ]

[ ] [ ] ρ ρ = ⇒ − =

m

V MKS SI

kg

m;

3, [ ] [ ]

333

3;10

m

hylTS

m

kg

cm

gCGS =−==− ρ ρ

27


8/20


SPECIFIČNA TEŽINA:Specifična težina homogenog tijela definira se kao odnos težine tijela i njegove zapremine, a zanehomogeno tijelo je

[ ] [ ]

[ ]σ σ = ⇒ =

dG

dV

G

V . Onda će jedinice biti

[ ] MKS SI N

m

; − =σ 3

; [ ]CGS D

cm

− =σ 3

; [ ]TS kp

m

− =σ 3

i [ ]σ = p

cm3.

Veza između specifične težine i specifične gustoće će biti

σ ρ = = = =G

V

mg

V

m

V g g

g⋅= ρ σ .

RAVANSKI UGAO: Ugao u ravni se definira odnosom luka l dužine i poluprečnika kružnicel r (slika), te je

rα

rα =

l

r .

Iz gornje relacije vidi se da je ugao bezdimenziona veličina jer predstavljaodnos između dvije iste fizikalne veličine. Može se zaključiti da je ugao apsolutna veličina jer ne zavisi odizbora sistema jedinica. Jedinični ugao je onaj ugao kod kojeg je dužina luka l jednaka poluprečnikukružnice r . Ovaj ugao se naziva radijan.

Za puni krug vrijedi

α π

π = =2

2r

r rad .

Ako se krug podijeli na 360 jednakih lukova onda je ugao koji odgovara jednom luku jednak jedan stepen(1 ), a puni ugao je jednak 360 0 . Tada je0

2π rad =360 0

1 , a0 0174530

≈ , rad 1 .rad ≈ 57 2960,PROSTORNI UGAO:Prostorni ugao obuhvata konusna površina čiji je vrh smješten u centar sfere, a čije izvodnice idu krozzatvorenu krivu koja se nalazi na površini sfere. Ako je poluprečnik sfere r , a površina kojuobuhvata zatvorena kriva na površinisfere S , tada se prostorni ugao definira kao

Ω = S

r 2

(slika).

Prostorni ugao je bezdimenziona veličina.Jedinica za prostorni ugao je steradijan ( .Sr )Konusna površina obuhvata ugao od 1Sr kada je S r = 2 . Puni prostorni ugao iznosi

r

Ω S

Ω = =4

42

2

r

r

π π Sr .

RAD:Po definiciji je

28


9/20


→ →

∫1

2

[ ] [ ][ ] A Fd s A F s= ⇒ = ⇒ [ ] MKS SI A Nm J ; − = = 1 (Džul);

[ ]CGS A Dcm erg erg J − = = ⇒ = −1 10 7

i[ ]TS A kpm J − = = 9 81, [ ] A pcm erg= = 981 .SNAGA:

Po definiciji je snaga rad izvršen u jedinici vremena. Ako rad nije konstantan onda se snaga definirarelacijom P

dA

dt = .

Jedinica za snagu će biti

[ ] [ ]

[ ] [ ]P

A

t MKS SI P

J

sW Vat = ⇒ − = =; ( )1 [ ]; CGS P

erg

s− = ;

[ ]TS P kpm

s− = , [ ]P

pcm

s= i jedna konjska snaga : 1 75 736KS

kpm

sW = ≈ , koja se više ne koristi.

3.16 Gravitaciono međudjelovanjeGravitaciono međudjelovanje je jako važno jer je svugdje prisutno. Ovo međudjelovanje je specifično jer

postoji samo kao privlač

enje.Iznos gravitacione sile privlačenja jednak je

F m m

r = −γ 1 2

2, gdje je gravitaciona konstanta γ = ⋅ −6 67 10 11

2

2,

Nm

kg.

Iz veličine gravitacione konstante se vidi da je ona veoma mala, te gravitaciono međudjelovanje dolazisamo do izražaja kada su mase tijela velike.

F →

−→F

m1 m2

r

Ovaj zakon je formuliran na osnovu iskustvenih podataka. Naime, do njega možemo doći na bazi I i IIIKeplerovog zakona.I Keplerov zakon: Putanja svake planete je elipsa sa Suncem u jednoj od njenihžiža. sporo II Keplerov zakon: Svaka planeta se takokreće da linija koja je spaja saSuncem prelazi istu površinu u brzo jednakim vremenskim intervalima

dS

dt const = . . S

S

III Keplerov zakon: Kvadrati perioda ma koje dvije planete odnose se kao treći stepeni njihovih srednjihrastojanja od Sunca. U matematičkom obliku se to može napisati kao

T T r r T

r

T

r const C 1

222

13

23 1

2

13

22

23

: : .= ⇒ = = = ,

onda se za bilo koju planetu može napisati relacijaT

r C

2

3 = .

29


10/20


3.16.1 Centripetalna i centrifugalna sila

Jednoliko kružno kretanje smo imali u slučaju kada je linearna brzina v const = . i v v , tada je naosnovu opće relacije za vektor trenutnog ubrzanja koja glasi

t 0 0

→ →= ( )

a dv

dt v v

d v

dt

dv

dt v

v

r n

→ →→

→ →

= + = +0 0 02

0 , tj.

a dv

dt v

a v

r n

t

n

→ →

→

=

=

0

2

0

→, te na osnovu definiranog kretanja je

a a v

r n r t n

→ → →= = =0

2

02

0, ω n→

.

Zna se da je v r const const = = ⇒ =ω ω . . , jer je r const = .Odavdje slijedi da je ,a r const n = =ω 2 .

normalna komponenta ubrzanja postoji ali se ne mijenja, dakle konstantna je. Na osnovu II Njutnovog

zakona onda postoji i sila koja je uzrokom tog ubrzanja. Ona mijenja pravac kretanja tijela i usmjerena jeka centru kružne putanje po kojoj se tijelo kreće. Ta sila se naziva CENTRIPETALNOM SILOM. Kaoodgovor na ovu silu ( III Njutnov zakon i I Njutnov zakon ) se javlja CENTRIFUGALNA SILA koja imaisti intenzitet, isti pravac , a suprotan smjer, tako da se tijelo kreće po kružnici stalnog poluprečnika.

v F cp→

= - F cf →

F cf →

F cp

→= - F cf

→= = =

→ →m a m

v →

r n mr nn

2

02

0ω

F F mr mv

r cp cf = = =ω

22

.

F cp

→

3.16.2 Njutnov zakon gravitacijeVratimo se na I i III Keplerov zakon. Pretpostavimo da se planeta mase kreće po kružnoj putanji poluprečnika

m

r oko Sunca, koje je jednako srednjem rastojanju planete od Sunca.

Prvo definirajmo period kod kružnog kretanja. To jevrijeme( ) za koje tijelo obiđe puni krug, a frekvencijaT

( v ν ) je broj obrtaja koje tijelo napravi za vrijeme od jedne sekunde. Onda jem

T =1

ν .

Na osnovu definiranih veličina dobijamo

v r

T r v

r T = = ⇒ = = =2 2 2 2π πν ω πν .

F

r

Sada se vratimo na III Keplerov zakon

T

r C T Cr

2

32= ⇒ = 3 , te na osnovu prethodne relacije je T . Komparacijom ova dva izraza je

r

v

22 2

2

4=

π

Cr r

vv

C r

32 2

22

24 4= ⇒ =

π π 1⋅ .

30


11/20


Obzirom da je

F mv

r

m

r C r C

m

r cp = = ⋅ ⋅ = ⋅

2 2 2

2

4 1 4π π .

Ako je sila koja djeluje na jednu planetu usmjerena ka Suncu, onda je možemo shvatiti kao privla čenjeSunca. Ako Sunce privlači planetu silom koja je srazmjerna masi planete, ZAŠTO onda planeta ne bi privlačila Sunce silom koja je srazmjerna masi Sunca? Obzirom na konstataciju izraženu pitanjem,

možemo konstantu proporcionalnosti pisati u slijedeć

em obliku4 2π γ

C mS = ,

pa sila privlačenja ima oblik F mm

r

S = γ 2

.

Ovo je Njutnov zakon gravitacionog međudjelovanja. Sam Njutn nikada nije formulirao zakon gravitacijeu ovom matematičkom obliku, već samo u obliku srazmjere. Brojna vrijednost gravitacione konstante jeeksperimentalno određena tek nakon 70 godina od Njutnove smrti, koju je izmjerio Kevendiš i daokonačnu formu zakonu gravitacije. U čast Njutna koji je postavio osnove za formuliranje tog zakona on jei nazvan Njutnovim zakonom gravitacije. 3.16.3 Potencijal gravitacionog polja, jačina gravitacionog poljaKoristimo osnovnu relaciju koja vrijedi za potencijalno polje, a to je

F d r dU dU

dr F

dU

dr

m m

r dU m m

dr

r U r

m m

r

r → →

∞

⋅ = − ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = −∫γ γ ,

,,

( )2 2

γ

U r m m

r ( )

,

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

γ .

To je potencijalna energija tijela mase u gravitacionom polju tijela mase . Potencijal gravitacionog polja tijela mase jednak je

m,

m

m

V r m

r ( ) = −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥γ .

Jačina gravitacionog polja definira se kao sila kojom to polje djeluje na jediničnu masu te je

E

m m

r m E

m

r G G= − ⋅ ⇒ = −γ γ

,

,2 2

1

.Gravitacionu silu na površini Zemlje nazivamo težinom tijela. Onda je

mgmm

r g

m

r const

Z

Z

Z

Z

= ⇒ = =γ γ 2 2

. ,

pa gravitaciono ubrzanje ne ovisi o masi tijela, što i eksperimenti potvr đuju. Jačina gravitacionog polja jevektorska veličina.PRIMJER 1.Uvjet da se tijelo obr će oko Zemlje svodi se na ravnotežu gravitacione (centripetalne ) sile i centrifugalnesile . Onda dobijamo

γ γ mm

r h

mv

r hv

m

r h

Z

Z Z

Z

Z ( ) ( )+ =

+ ⇒ =

+2

2

.

Ako je ih = 0 mgmm

r

Z

Z

= γ 2

, dobija se gm

r

Z

Z

= γ 2

, te je

v gr Z = , a to je I kosmička brzina.

PRIMJER 2.Odrediti potencijalnu energiju tijela mase na visini h iznad površine Zemlje. Potencijalna energijatijela na površini Zemlje jednaka je

m

31


12/20


U r mm

r Z

Z

Z

( ) = −γ , a na visini h je U r hmm

r h Z

Z

Z

( )+ = −+

γ , onda je rad potreban da se tijelo prebaci sa

površine Zemlje na visinu h jednak

U r h U r Z Z ( ) ( )+ − = − +γ

mm

r h

Z

Z

+γ mm

r

Z

Z

=

= + −+

=


13/20


ω 2

,ma m y= − ω 2

te na osnovu II Njutnovog zakona oblik sile koja ostvaruje prosto oscilatorno kretanje tijela mase m je.F m y ky k m= − = − ⇒ =ω 2

To je tz. restituciona sila koja je uvijek usmjerena ka ravnotežnom položaju tijela na šta ukazuje znakminus u izrazu za silu. Konstanta k je koeficijent proporcionalnosti u izrazu za restitucionu silu.Restituciona sila je proporcionalna udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja. Period harmonijskog

kretanja možemo odrediti na osnovu relacijek m

k

m T

k

mT

m

k = ⇒ = ⇒ = ⇒ =ω ω

π π 2 2

2

22 24 4 ⇒

T m

k = 2π .

Iz ove relacije vidi se da period harmonijskog kretanja ovisi o masi tijela i konstanti k , dok ne ovisi oamplitudi prostog oscilatornog kretanja. Ovaj izraz ima opći karakter.Matematičko klatnoMatematičko klatno je po definiciji materijalna tačka obješena o nit koja je neistezljiva i čija se masamože zanemariti ( masa niti ).Sa slike se vidi da je

F mg A = sinθ .Za male uglove θ , tj. male amplitude θ ( mala odstupanja od ravnotežnog položaja) l može se sa velikom tačnošću uzeti da je

sinθ θ ≈ .Tada je F mg A = θ .

Pošto je AO l AO

l= ⇒ =θ θ . Obzirom na navedenu A x

aproksimaciju može se pisati da je AO x= , onda je θ O F A

F mg x

l

mg

l x kx k

mg

l

T mk

mmg

l

lg

A = = = ⇒ =

⇒ = = =2 2 2π π π

⇒

, mgF N

T l

g= 2π .

Fizičko klatnoTo je stvarno tijelo obješeno o tačku izvedeno izO

ravnotežnog položaja za mali ugao θ . Moment sile težekoji uzrokuje oscilovanje je

M mgL= − sinθ .Za male uglove je

sinθ θ ≈ , pa je M mgL= − θ .

Onda jednačina kretanja glasi

M

M I mgL

I d

dt mgL

d

dt

mgL

I

= = − ⇒

= − ⇒ + =

α θ

θ θ

θ θ

2

2

2

20.

O

L θ C

mg

33


14/20


Rješenje ove diferencijalne jednačine ima slijedeći oblik

θ θ ω ϕ θ

θ ω ω ϕ θ

ω θ ω ϕ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + = − ⋅ +0 0 0 02

22

0sin( ) cos( ); sin( )t d

dt t

d

dt t 0 . Onda je

− ⋅ + + ⋅ +ω θ ω ϕ θ ω ϕ 2 0 0 0 0 0sin( ) sin( )t mgL

= I

t , odnosno

− + = ⇒ = ⇒ =ω ω π 2 2 22

0 4mgL I

mgL I T

mgL I

.

Konačno je period oscilovanja fizičkog klatna jednak

T I

mgL= 2π , gdje je

I − moment inercije tijela u odnosu na osu oscilovanja koja prolazi kroz tačku O, L − udaljenost centra mase tijela i tačke O.4.2 Energija tijela koje se harmonijski kreće

y

Neka se tijelo kreće bez disipacije energije. Tada je

E E const k p+ = . Kinetička energija po definiciji jednaka je

E mv

k =2

2.

Potencijalna energija jednaka je radu sile kojatreba da je jednaka restitucionoj sili F ky= na

putu , te je elementarni rad jednak elementarnoj y potencijalnoj energiji tijela mase m kada se izvedem iz ravnotežnog položaja za kako slijedi y0 dy ,dA dE kydy p= =

onda je ukupna potencijalna energija tijela kada se pomjeri iz

ravnotežnog položaja za veličinu jednaka y A E k ydy ky

p

y

= = =∫0

2

2.

Ukupna energija tijela koje se harmonijski kreće jednaka je

mv kyconst C

2 2

2 2+ = =.

Slijedi grafički prikaz zavisnosti energije harmonijskog kretanja tijela od elongacije.

E

C

E C k = E C p = E k

E p

y

34


15/20


4.3 Amortizirane ( prigušene ) oscilacijeUvjet koji mora biti ispunjen da se tijelo harmonijski kreće jest da na njega djeluje sila oblika F kx= − ,gdje je x udaljenost tijela od ravnotežnog položaja. Realni sistem gubi energiju prilikom kretanja uslijedmeđudjelovanja sa okolinom. Tijelo nailazi na otpor sredine te je stvarni oblik jednačine kretanja tijela

F kx cv= − − ,gdje je c konstanta otpora sredine, a− v − brzina kretanja tijela. Dalje se može pisati

ma kx cv= − − , ili m d x

dt c

dx

dt kx

2

2 0+ + = .Oscilator je definiran masom, konstantom k i konstantom . Uvode se nove konstante da bi se smanjio

njihov broj i to

c

ω 2 = k

m i β =

c

m2, onda diferencijalna jednačina glasi

d x

dt

dx

dt x

2

222 0+ + = β ω .

Za ovu diferencijalnu jednačinu se pretpostavlja da ima rješenje slijedećeg oblika x e

t = ⋅α koje mora zadovoljavati dobijenu jednačinu. Onda je

dx

dt e

d x

dt

et t = =⋅ ⋅α α α α ;

2

22 .

Nakon zamjene u jednačinu dobijamo

α β α ω α β α ω α β β ω

α β β ω α β β ω α β β ω

α α α

β β ω β β ω

2 2 2 21 2

2 2

1 22 2

12 2

22 2

1 2

2 0 2 02 4 4

2

2 2 2 2

e e e

x e e x e e

t t t

t t t t

⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅

+ ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ = − ± −

⇒

= − ± − ⇒ = − + − = − − − ⇒

⇒ = =

,

, ;

;

Opće rješenje jednačine je linearna kombinacija ova dva rješenja, tj.

x a x a x e a e a et t = + = +⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

− ⋅ − ⋅ − − ⋅1 1 2 2 1 2

2 2 2 2 β β ω β ω t .

Ovo je opće rješenje jednačine kada je ω β < . To je PRVI SLUČAJ. To rješenje ćemo kvalitativno

grafički prikazati x

x0

prigušenje

t

DRUGI SLUČAJ imamo kada je ω β = , tada opće rješenje ima slijedeći oblik

, a kvalitativni grafički prikaz je( ) x e a a aet = + =− ⋅ − ⋅ β 1 2t β

x

kritično prigušenje x0

t

35


16/20


TREĆI SLUČAJ imamo kada je ω β > , tada je

β ω 2 2− = ( )( )− − = − =1 2 2 2 2ω β ω β i iω , te je

( ) ( )( ) ( )[ ]

x e a e a e e a t ia t a t ia t

e a a t i a a t

t i t i t t

t

= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ −

= + ⋅ + − ⋅ ⇒

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

− ⋅

β ω ω β

β

ω ω ω ω

ω ω

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

⋅ =

kada se uzme realni dio rješenja onda je opće rješenje za prigušeno oscilovanje( ) x ae t t = ⋅− ⋅ β ω α cos + .

Iz jednačine se vidi da se amplituda osciliranja sa vremenom smanjuje. Naime, amplituda je jednaka. x t ae t 0 ( ) =

− ⋅ β

Slijedi kvalitativni grafički prikaz prigušenog oscilatornog kretanja. x

x0

t

Kod prigušenog oscilatornog kretanja definira se logaritamski dekrement kao prirodni logaritam dvijeuzastopne amplitude, tj.

( ) (σ β

β

β = = = = −− ⋅

− ⋅−ln ln ln

x

x

ae

aee t

t

t

t t 01

022 1

1

2

2 1 ) β t .

4.4 Prinudno osciliranje.Rezonancija

Na oscilator prikazan na slici djeluje vanjska perodična sila data relacijomF F t v = 0 0sin( )ω , te jednačina kretanja glasi

m d x

dt c

dx

dt kx

2

2 = − − + F t 0 0sin( )ω ili

d x

dt

dx

dt x

F

mt A t

2

22 0

0 0 02+ + = = β ω ω ω sin( ) sin( )

Interesuje nas rješenje ove jednačine i to u funkcijikružne frekvencije vanjske ( prinudne ) sile. Ono ćeimati pretpostavimo slijedeći oblik

x t A t ( ) ( ) sin( )= −ω ω ϕ 0 0 .Vidimo da smo pretpostavili da amplituda oscilovanjaovisi o kružnoj frekvenciji vanjske ( prinudne ) sile.

Sada ćemo uvrstiti pretpostavljeno rješenje udiferencijalnu jednačinu. Onda slijedi da je

dx

dt A t

d x

dt A t

= ⋅ −

= − ⋅ −

( ) cos( )

( ) sin( )

ω ω ω ϕ

ω ω ω ϕ

0 0 0

2

2 0 02

0

− ⋅ − A t ( ) sin( )ω ω ω ϕ 0 02

0 +2 β A t ( ) cos( )ω ω ω ϕ 0 0 0⋅ − +ω 2

A t ( ) sin( )ω ω ϕ 0 0 − = = F t 0 0sin( )ω

m

36


17/20


=

A

Pišemo dobijenu jednačinu u proširenom obliku primjenjujuć adicionu teoremu. Tada je− ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ − =

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

⋅ ⋅ + −

A t A t

A t A t

A t A t A t

t A A

( ) sin( ) cos ( ) cos( ) sin

( ) cos( ) cos ( ) sin( ) sin

( ) sin( ) cos ( ) cos( ) sin sin( )

sin( ) ( ) sin ( ) cos

ω ω ω ϕ ω ω ω ϕ

β ω ω ω ϕ β ω ω ω ϕ

ω ω ω ϕ ω ω ω ϕ ω

ω β ω ω ϕ ω ω ϕ

0 02

0 0 02

0

0 0 0 0 0 0

20 0

20 0 0 0

0 0 0

2

0

2 2

2

[ ][ ]

A

t A A A

A t

( ) cos

cos( ) ( ) sin ( ) cos ( ) sin

sin( )

ω ω ϕ

ω ω ω ϕ β ω ω ϕ ω ω ϕ

ω

0 0

2

0 0 02

0 02

0

0 0

2

⋅ +

+ ⋅ + ⋅ ⋅ −

=

Da bi ova jednakost bila ispunjena moraju biti zadovoljene slijedeće dvije jednačine

{ }[ ]2 0 0 2 0 0 02 0 β ω ω ϕ ω ω ω ω ϕ ⋅ ⋅ + − ⋅ = A A A( ) sin ( ) ( ) cos { }[ ] A A A( ) ( ) sin ( ) cosω ω ω ω ϕ β ω ω ϕ 0 02 2 0 0 02 0⋅ − + ⋅ ⋅ =

2 02

02 0

0

β ω ϕ ω ω ϕ ω

⋅ + − =sin ( ) cos( )

A

A (*)

2 (**)002

02 βω ϕ ω ω ϕ cos ( ) sin− − =

Izrelacije (**) se dobija

tgϕ βω

ω ω =

−

2 02

02

. (***)

Zamjenom sinϕ ϕ

ϕ

=+

tg

tg1 2 i cosϕ =

1

1 2+ tg ϕ u relaciju (*) dobijamo

( )( )

ω ω

ϕ

β ω ϕ

ϕ ω

202

20

2

0

0

1

12

1−

++ ⋅

+=

tg

tg

tg

A

A, dalje je na osnovu relacije (***)

( )( ) ( )

ω ω β ω β ω

ω ω ω

β ω

ω ω

2

0

2

0

0

2 02

0

0

202

2 02 22

21

4− + ⋅

⋅

− = +

− ⇒

A

A A

A( )

( )ω

ω ω β ω 0

0

202 2 2

024

=− +

.

Odredimo za koje ω 0 će A( )ω 0 biti maksimalno. Prvi uvjet za dobijanje optimalne vrijednosti A( )ω 0

jeste da jedA

d

( )ω

ω

0

0

0= . Onda je

( )( )[ ]−

− +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − ⋅ = A0

202 2 2

02

3 22

02

02

02

1

4

8 2 2

ω ω β ω

β ω ω ω ω 0

2

( )2 02 2 02 02 2 2 β ω ω ω ω β − − = ⇒ = − ⇒

ω ω ω β 02 22= = −r .

Ovo je tz. rezonantna kružna frekvencija, te je optimalna ( maksimalna ) amplituda osciliranja

A A A

r ( )( )

ω

ω ω β β ω β β β ω β

=− + + −

=+ −

0

2 2 2 2 2 2 4

0

4 2 22 4 8 4 4 8 4

A A

r ( )ω β ω β

=−

0

2 22 .

37


18/20


Na slici je dat grafički prikaz ovisnosti amplitude osciliranja o kružnoj frekvenciji vanjske sile.

A( )ω 0

1 -jače prigušenje2- slabije prigušenje3- bez prigušenja

3

2

1

ω 0 ω

U idealnom slučaju, kada nema prigušenja, tj. β = 0 , amplituda pri rezonantnoj frekvenciji bi bila

beskonačna. Kada su prisutni gubici uslijed otpora sredine, rezonantna frekvencija je nešto manja od ω ,tim više što je prigušenje veće.Rezonancija može ponekad biti opasna i dovesti do uništenja objekata kao što su mostovi, zgrade i sl. Raditoga npr. vojnici mijenjaju korak kada prelaze most.Rezonancija je vrlo važna pojava i susreće se u mnogim mehaničkim, akustičnim, električnim i drugimuređajima.

5. Mehanički talasi ( valovi ) 5.1 Formiranje mehaničkih talasa I osnovni pojmovi

Energija se može prenositi od jednog mjesta do drugog na dva nač

ina. Jedan nač

in je kretanječ

estica(tijela ), dok je drugi, harmonijsko kretanje. Periodični poremećaji u sredstvu koji se javljaju u pravilnimrazmacima zovu se talasi. Pri širenju talasa čestice sredstva (elastične sredine ) ostaju na svojim mjestima,oscilirajući oko položaja ravnoteže, dok se širi samo stanje osciliranja preko kohezionih sila, jer se česticeelastične sredine drže na okupu zahvaljujući njima. Talas je u stvari osciliranje koje se širi kroz prostor(elastičnu sredinu ) i na taj način prenosi energiju izvora talasa kroz prostor odnosno elastičnu sredinu.Izvor talasa je dio prostora u kome se javilo osciliranje, odnosno dio elastične sredine koji je prvi izvedeniz ravnotežnog položaja.Pored mehaničkih talasa, za koje je potrebna elastična sredina, postoje ielektromagnetski talasi koji se šire i kroz

vakuum, a kod kojih se vektor električnog i vektor magnetskog polja mijenja sa vremenom.

Talasi mogu biti LONGITUDINALNI ili TRANSVERZALNI.

Talasi kod kojihč

estice elastič

ne sredine osciliraju u pravcu prostiranja talasa nazivamoLONGITUDINALNIM, a talase kod kojih čestice elastične sredine osciliraju okomito na pravac prostiranja talasa nazivamo TRANSVERZALNIM talasom.Talasi mogu biti linearni ( linijski ), površinski i prostorni ( talas na žici, talas na površini vode, zvučnitalas ).Posmatrajmo sinusoidalni talas koji se širi u pozitivnom smjeru ose x , pravac u kojem je zategnuta žica(slika ).

38


19/20


s x t ( , )

c

x

λ

Svaka čestica žice pri tom oscilira po sinusoidalnoj vremenskoj funkciji frekvencijom ν =1

T I fazom koja

zavisi od položaja čestice na žici u odnosu na isvor talasa koji se poklapa sa koordinatnim početkomkoordinatnog sistema. Za određeni trenutak je na slici dat oblik žice, tj. Talasa koji je sinusoidalnog oblikaI koji predstavlja udaljenost s čestica elastične sredineod ravnotežnog položaja ovisno o položaju čestica u odnosu na izvor, odnosno ovisno o x .Dok čestica u izvoru talasa ( početak žice ) napravi jednu punu oscilaciju, talas pređe određeni put prostirući se kroz homogenu sredinu konstantnom brzinom , a koji se naziva talasnom dužinomc λ .To je udaljenost najbližih tačaka elastične sredine koje se nalaze u istoj fazi, tj. Istom stanju osciliranja.

Obzirom na definiciju talasne dužine može se pisati relacija

λ = ⋅ ⇒c T λ ν

= ⋅ ⇒c1

c = ⋅λ ν .Ova relacija ima opći karakter, vrijedi za sve talase mehaničke i elektromagnetske.Što je čestica sredine udaljenija od izvora talasa to će kasnije zatitrati, to će više kasniti u fazi u odnosu načesticu koja je u izvoru talasa. Ako je udaljenost čestice od izvora x , tada je razlika u fazi proporcionalnasa x , tj.

∆ϕ = ⋅k x .

Iz definicije talasne dužine slijedi da je

2π λ = ⋅k , ili k =2π

λ

.

Ova veličina se naziva talasni broj, a općenito će fazna razlika biti jednaka

∆ϕ π

λ =

2 x .

Šireći se od izvora, talas zahvata sve nove I nove čestice sredine. Geometrijsko mjesto tačaka do kojihdopre osciliranje u određenom trenutku, a nalaze se u istoj fazi naziva se talasni front. Zamišljene pravceduž kojih se prostiru talasi , pravac duž koga se širi osciliranje čestice do čestice sredine nazivamotalasnim zracima. Zrake talasa su okomite na talasne fronte.

S

talasni zrak talasni front talasni zrak talasni frontSferni talas Ravni talas

Kod ravnog talasa izvor se nalazi jako daleko od talasne fronte.

39


20/20


5.2 Brzina prostiranja transverzalnih poremećaja

F →

Posmatrat ćemo transverzalne

poremećaje na zategnutom užetu.F S →

F →

u t ⋅ Neka je

c t ⋅ T µ = −ml

linearna gustoća užeta , tj.

Masa po jedinici dužine , F →

− sila kojom je uže zategnuto. Kada u trenutku t = 0 , slobodnom kraju užetadamo mali transverzalni pomak brzinom , taj će se poremećaj širiti kroz uže brzinom i nakon vremenau ct preći put c ⋅ t te stići do tačke T ( slika ). Za to vrijeme, lijevi kraj užeta se pomakne za ⋅u t . Obziromna II Njutnov zakon

F d

dt mv Fdt d mv= ⇒ =( ) ( ), gdje je

Fdt − impuls sile, a promjena količine kretanja.d mv( ) −Sa slike se vidi da je

F F ut ct F F u

cS S : := ⇒ = ⋅ .

Impuls te sile za kratki vremenski interval t je: F u

ct ⋅ ⋅ .

Obzirom da je uže u trenutku t = 0 mirovalo, onda je promjena količine kretanja koja se desi za vrijeme t užeta jednaka: µ ⋅ ⋅ct u . Nakon izjednačavanja ovih izraza dobija se

F u

ct ct u

F c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒µ

µ

2 c F

=µ

.

5.3 Brzina prostiranja longitudinalnog poremećajal

S Udarimo štap poprečnog presjeka

F →

S silom F →

. Prema Hukovom

zakonu imamo da jeS

F

S E

l

l=

∆, gdje je

∆l E − modul elastičnosti materijala(Jangov modul elestičnosti ), al − početna dužina štapa.

∆l Iz Hukovog zakona sila je jednaka

F E S l

l= ⋅ ⋅

∆.

Neka se ovaj poremećaj širi brzinom c kroz štap i nakon vremena t dođe do kraja štapa, tj. c l

t = . Pri

tome se štap pomjeri kao cjelina za dužinu ∆l brzinom u lt

= ∆ .

Impuls sile F će biti F t E S l

lt E S

ut

ct t E S

u

ct ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

∆.

Obzirom da je štap u trenutku t = 0 mirovao, onda je promjena količine kretanja koja se desi za vrijeme t

štapa jednaka : . Naime zbog udarca štap se pomjerio zaum ⋅ ∆l brzinom u lt

= ∆

, pa je promjena količine

kretanja štapa jednaka

Documents

Fizika Pred.2m