Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
[email protected] http://www.fuw.edu.pl/~szef/
Fizyka 1- Mechanika Wykład 15
25 stycznia.2018 PODSUMOWANIE
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Prędkość chwilowa Wykres poniżej pokazuje jak możemy mierzyć
prędkość w coraz to krótszych przedziałach czasu. Prędkość chwilowa to tangens kąta nachylenia krzywej
drogi od czasu.
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Prędkość chwilowa a pochodna
Dla ruchu jednostajnego. Niech x(t)=vt, policzmy dx/dt.
t
xv
t
0lim
t
tfttf
t
ftf
dt
df
tt
00limlim
vt
tv
t
vttvvt
t
vtttv
t
txttxvt
dt
dx
tt
ttx
00
00
limlim
limlim
vvt
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Prędkość chwilowa a pochodna
Ruch jedn. Przyspieszony. Niech x(t)=at2, policzmy dx/dt.
t
xv
t
0lim
t
tfttf
t
ftf
dt
df
tt
00limlim
attaat
t
attttta
t
attta
t
txttx
dt
dx
tt
tt
22lim2
lim
limlim
0
222
0
22
00
atat 22
231 3ttntt nn
Możemy uogólnić uzyskany wynik !
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Prędkość i nachylenie krzywej
Wykres położenia względem czasu dla ruchu o stałej prędkości ma stałe nachylenie.
Wykres położenia względem czasu dla ruchu o
zmiennej prędkosci ma zmienne nachylenie.
3.0 s
4.5 m
Dla t= 1,7 s
nachylenie = v = 4.5 m/3.0 s = 1.5 m/s
Rzut poziomy i ukośny
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Ruch w polu grawitacyjnym
Niezależność ruchów: t0=0, x0=0, y0=h Ruch w poziomie zależy tylko od V0X
Ruch w pionie zależy od V0y i przyspieszenia g Rzut poziomy: =0 czas spadania nie zależy od V0
Z rozwiązania równania dla y=0 mamy:
coscos 000 tVtVtVx x
2sin
2
2
0
2
0
gttVh
gttVhy y
g
ht
2
Rzut ukośny
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Tor w rzucie ukośnym to parabola
22
0
2
cos2tan
V
gxxhy Zasięg dla h=0 (żądamy y=0)
2sin2 2
0
g
gVx
Największy dla =/4=450
II zasada dynamiki
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Na dane ciało P działają różne siły nadając mu różne przyspieszenia.
Porównując przyspieszenia możemy porównywać wartości siły.
Przy warunku początkowym: 000 vr
Przyspieszenie możemy mierzyć bezpośrednio, albo mierząc czas t1 przebycia odległości L lub uzyskaną na końcu tego odcinka prędkość v1
L
va
atavatv
t
La
atL
22
22
2
2
1
2
12
1112
1
2
1
II zasada dynamiki (zmienna masa)
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Tabela pomiarów przyspieszeń dla wózka o zmiennej masie.Pomiary na drodze L=1,4m
Okazuje się, że ta stała to w przybliżeniu wartość siły przyciągania ziemskiego obciążnika (bez sznurka).
Iloczyny masy i przyspieszenia F=ma są bliskie stałej (szósty wiersz w tabeli). Z drugiej strony ciężar obciążnika to:
Ns
mkggmF 5,081,9050,0
2
2
1
2
t
La
Stała siła F=mg dla m=50g
pomiar 1 pomiar 2 pomiar 3
l [m] 1,40 1,40 1,40
M [kg] 3,02 2,02 1,02
t [s] 4,15 3,55 2,45
t^2 [s^2] 17,22 12,60 6,00
a [m/s^2] 0,16 0,22 0,47
F=M*a [N] 0,49 0,45 0,48
v (końc)=at [m/s] 0,67 0,79 1,14
t1 dla 0,2m 0,30 0,26 0,19
v (końc)=0,2m/t1 0,67 0,77 1,05 Prędkość z czasu przelotu
Prędkość ze wzoru v=at
II zasada dynamiki (zmienna siła)
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Tabela pomiarów przyspieszeń dla toru powietrznego o zmiennej sile F=mg Pomiary na drodze L=1,4 m, dla wózka o masie M=2,02kg
Okazuje się, że ta stała to w przybliżeniu wartość masy wózka (8-my wiersz niebieski).
Iloraz siły i przyspieszenia M=F/a=mg/a są bliskie stałej. Z drugiej strony masa wózka to M=2,02 kg:
kga
mg
a
FMaMF 5,2
2
1
2
t
La
Stała masa wózka - M
pomiar 1 pomiar 2 pomiar 3
l [m] 1,40 1,40 1,40
M [kg] 2,02 2,02 2,02
t [s] 3,50 2,40 2,00
t^2 [s^2] 12,25 5,76 4,00
a [m/s^2] 0,23 0,49 0,70
m [kg] 0,05 0,10 0,15
F=mg 0,50 1,00 1,50
M=F/a 2,19 2,06 2,14
v (końc)=at [m/s] 0,80 1,17 1,40
t1 dla 0,2m 0,26 0,18 0,15
v (końc)=0,2m/t1 0,77 1,11 1,33
Prędkość ze wzoru v=at
Prędkość z czasu przelotu
II zasada dynamiki
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Ruch harmoniczny Pomiar przyspieszenia: Położeniem równowagi jest x=0 Przyjmijmy, że x(0)=R i vx(0)=0 ruch harmoniczny:
Druga zasada dynamiki daje:
m
k
Tm
k
Tgdzietxta
tRtx
2
22
2
4
2
cos
Siła z jaką działa sprężyna zależy wyłącznie od położenia wózka
mTmk
T ~4 2
22
xm
ka
xkamxkFx
II zasada dynamiki
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym
Pomiar okresu drgań sprężyny dla różnych mas
Druga zasada dynamiki daje:
txT
txm
kta
Tgdzietxta
tRtx
2
2
2
2
cos
constT
mkm
kT
2
222 44
mk
Tk
mT
22
2
2
22 444
Ruch harmoniczny (sprężyna k=1,95N / 0,3m, k =6,5 N/m)
masa [kg T [s] T^2 k=4m/T^2
0,05 0,56 0,31 6,36
0,10 0,78 0,61 6,52
0,15 0,95 0,90 6,58
Ruch harmoniczny (sprężyna k=7,6N / 0,2m, k =38 N/m)
0,15 0,41 0,16 36,07
0,15 0,41 0,16 36,07
Wartości współczynnika sprężystości k wyznaczane z pomiaru siły i wychylenia są zgodne z wartościami uzyskanymi z pomiaru okresów i mas.
III zasada dynamiki
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
BA FF
Siły akcji i reakcji są równe co do wartości.
Zasada akcji i reakcji
BBAA amam
A
B
B
A
m
m
a
a
Przyspieszenia są odwrotnie proporcjonalne do mas:
A
B
B
A
k
m
m
v
v
tav
II zasada dynamiki
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Badając okres drgań wózka T, przy zmierzonej masie wózka – m, możemy wyznaczyć stalą sprężystości sprężyny
m
N
s
kgskgk
T
mk 4,24,216,0/15,040
42
2
2
2
2
2
2
4,
T
m
T
mTm
Równanie oscylatora
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Rozwiązanie takiego równania łatwo odgadnąć:
xkxmxkamxkFx ..
xm
kx ..
tRtxtRtxtRtx cos,sin,cos 2...
m
k
TTm
kgdzie
2
22 42
,
tRtatRtvtRtx cos,sin,cos 2
Rozwiązanie równania oscylatora
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Wartości współczynników A i B wyznaczamy z warunków początkowych:
Ruch jest płaski, odbywa się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory r0 v0.Torem ruchu w ogólnym przypadku jest elipsa. W szczególnym przypadku torem ruchu może być odcinek lub okrąg.
0,0 0000 valboralbovr
Odcinek gdy:
tv
trtr
Btvv
Atrr
sincos
0
0
00
0
0
0000 rvivr
Okrąg gdy:
tBtAtr sincos
Regulator Watta – układ LAB
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Regulator Watta
Siła dośrodkowa jest wypadkową siły reakcji i siły ciężkości:
Kulka w wirującym naczyniu
RgmF
Układ obracający sie
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Kulka w wirującym naczyniu Regulator Watta
Równowaga sił w układzie obracającym się
0 amFRgm b
Energia potencjalna
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym.
Siła ciężkości działająca na masę m:
BAAB
B
A
B
A
AB rrmgrrmgdrmgrdrFW
Możemy wprowadzić energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego
mgyrgmEp
Pracę możemy wtedy wyrazić przez zmianę energii potencjalnej
pBpApAB ErErEW
Siła ciężkości jest siłą zachowawczą
Energia potencjalna
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Siła zachowawcza Siła jest zachowawcza (konserwatywna), jesli praca przez nią wykonana zależy tylko od położenia punktów początkowego (A) i końcowego (B). Można ją wyrazić przez zmianę energii potencjalnej
Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości. Jeśli droga jest zamknięta to praca jest równa zeru
Cyrkulacja – krążenie
pBpAp
B
A
AB ErErEdrrFW
0 rdrFrdrF
A
A
F
Siłami zachowawczymi są wszystkie siły centralne. Kulombowska, grawitacyjna, sprężystosci etc.
rirFF
Siła – energia potencjalna
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Otrzymujemy:
dzdydxrd ,,
Wykonana praca przy infinitezymalnym przesunięciu:
pdEdrrFdW
Zmiana energii potencjalnej:
dz
dE
dy
dE
dx
dErF
dr
dW ppp ,,
dz
dE
dy
dE
dx
dEF
ppp,,
Znajomość potencjału siły zachowawczej jest równoważna znajomości samej siły. Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej, istotne są tylko jej zmiany.
Praca a energia potencjalna
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Rozciąganie sprężyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile sprężystości:
kxdx
xdExF
p
2
2
00
ksdxxkdxxFW
ss
Kosztem tej pracy rośnie energia potencjalna:
2
2kxxEp
Stąd siła sprężystości:
Gdy puścimy sprężynę energia potencjalna zamienia się na kinetyczną
Zasada zachowania energii
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Ruch pod wpływem siły sprężystości:
Ruch harmoniczny:
constmvkx
constxExEE kp
22
22
txE
tAv
txE
tAx
Amk
kAp
2
2
2
2
cos
cos
sin
sin
22
2
2
2kAEEE kp
22 mkmk
Zasada zachowania pędu
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Oddziaływanie dwu ciał Układ rozpada się pod wpływem sił wewnętrznych. Jeśli na początku wszystkie obiekty spoczywają,
0i
ip
to po rozpadzie suma pędów musi też pozostać zerowa. Dla dwu ciał: (vi<<c)
2
1
1
21
2
12
2211 0
m
m
v
vv
m
mv
vmvm
Zasada zachowania pędu
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Zderzeniem całkowicie niesprężystym (całkowicie nieelastycznym) nazywamy zderzenie, w wyniku którego ciała pozostają trwale złączone (lub nie poruszają się względem siebie) Gdy jedno z ciał spoczywa, Pęd początkowy:
11vmpi
Pęd końcowy:
221 vmmpk
Zasada zachowania pędu:
1
21
12 v
mm
mv
pp fi
Zderzenia sprężyste (z.z.e+z.z.p.)
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Przed zderzeniem
m1
Po zderzeniu
m2 m1 m2 v v=0 v2 v1
z.z.p. 221111 vmvmvm
222
22
22
2
11
2
1 vmvmvmz.z.e.
1
2
12 vv
m
mv
z (2) 212
2
2
12
2
1
2
1 vvm
mmvvm
211112 vvmvvvvm
vmm
mmvvvmvvm
21
2111112
Zasada zachowania momentu pędu
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
FrM
Równanie ruchu:
IprL
MFrpv
dt
pdrp
dt
rd
dt
prd
dt
Ld
0
constLM
0
Przykład: Wirujące koło
1. Koło i student(ka) nie wirują 2. Student rozkręca koło przy pionowej osi
koła z momentem pędu w górę (co się dzieje z krzesłem?) Krzesło rotuje z momentem pędu w dół.
3. Zatrzymujemy ręką rotację koła. Co się dzieje z krzesłem?.
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
L1 = L2 = L3 Krzesło zatrzymuje się
Pytanie 1 [1] Spoczywam trzymając rotujące koło [2] Odwracam oś rotacji koła, a krzesło zaczyna rotować Pytanie: Co się stanie jeśli [3] odwrócimy jeszcze raz?
(a) rotacja ustaje; (b) zwiększa się 2x; (c) pozostaje b.z.
[1] [2]
??
[3]
Fizyka 1 - Wykład 14 25.I.2018
Dwukrotne odwrócenie koła
LNET
LW LS
LNET
LW
LNET
brak obrotu
LW
[1] [2] [3]
Fizyka 1 - Wykład 14 25.I.2018
Prawa ruchu –walec na równi
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Dla symetrycznej bryły (walec, obręcz, kula)
rarx
Ruch postępowy (wzdłuż równi)
TQma sinRuch obrotowy (względem środka masy)
r
ITrTI
Eliminując siłę tarcia, T
21
sin
sin2
mr
I
ga
r
Iamamg
r
Ima
Walec na równi – z tw. Steinera
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
Zagadnienie można rozwiązać inaczej, korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równią):)
rmgIO sin
Otrzymujemy:
OI
rmgra
2sin
2mrIIO
Z tw. Steinera
21
sin
mr
I
ga
2
2 sin
rmI
gmra
Prawa ruchu
25.I.2018 Fizyka 1 - Wykład 14
sin2
1ga rura
walec sin3
2ga
Walec: 1/3 szybciej !
2
2 sin
rmI
gmra
21
sin
mr
I
ga