Flerpartikelsystem

Kapitel 10 (avsnitt 10.1-4)

Masscentrum

Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem)

Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem)

Kinetisk energi (flerpartikelsystem)

Masscentrum

Fram tills nu har vi behandlat alla våra objekt som punktpartiklar. Det vill säga vi har inte brytt oss om hur de är utformade. I vissa fall är det enkelt att beskriva rörelsen hos ett objekt, exempelvis en boll, men för att beskriva rörelsen hos en klubba är det inte lika enkelt. I det här fallet måste man behandla klubban som ett flerpartikelsystem, där varje del av klubban har en annan rörelsemönster än de andra delarna. Lyckligtvis finns det en speciell punkt i klubban vars rörlse kan beskrivas med de rörelseekvationerna som vi känner till. Denna punkt kallas för masscentrum.

Masscentrum hos ett flerpartikelsystem är den punkt som om (a) hela systemets massa är koncentrerad där (b) alla externa krafter verkar där.

Vi börjar med det enklaste fallet där vi har två partiklar med massorna m1 och m2 och som befinner sig på positionerna x1 respektive x2. s1 och s2 är avtånden som beskriver partiklarnas positioner relativt masscentrumets possition xCM. Från jämviktförhållandet:

m1s1 = m2s2, kan vi få ett uttryck för xCM.

m1(xCM – x1) = m2(x2 –xCM)

m1xCM – m1x1 = m2x2 –m2xCM

xCM = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) (i)

Detta var definitionen av masscentrumets position för tvåpartikelsystem i en dimension. För ett system med n partiklar och total massa M, kan (i) skrivas som:

(ii)

I tre dimensioner uttrycks masscentrumets koordinater enligt följande:

(iii)

Lägesvektorn för masscentrum i tredimensioner blir därför:

rCM = xCMi + yCMj + zCMk (iv)

Från relationerna (iii) och (iv) kan vi nu ge ett uttryck för masscentrumets läge i vektorform.

n

1iiiCM xm

M

1x

n

1iiiCM xm

M

1x

n

1iiiCM ym

M

1y

n

1iiiCM zm

M

1z

n

1iiiCM m

M

1rr

Masscentrum hos kroppar

Om vi nu skulle vilja bestämma en kropps masscentrum så skulle vi nog inte vilja summera över varje atom i i kroppen. Om vi skulle kunna beskriva formen på en kropp matematiskt så kan vi med hjälp av integraler bestämma kroppens masscentrum. Det allmänna uttrycket för masscentrumets läge blir:

dmM

1CM rr

dm

r

dm är en masselement av kroppen som befinner sig på position r. Känner man till kroppens densitet så kan man uttrycka dm som:

dm = dxdydz och på så sätt lösa integralen.

Men vi ska inte ge oss in på att lösa integraler av flervariabler, utan vi ska hålla oss till de fall där vi kan använda oss av en variabel i integrationen. Sådana fall uppstår när man har symmetriska föremål.

Ett exempel på ett sådant fall (se figur) är en kon. Konen ser identisk ut på xy planet som på xz planet.

z

y

x

x

Bestämning av en kons masscentrum

Vi har en massiv kons vars masscentrum vi vill bestämma. Vi känner till konens höjd h, semivinkeln och konens densitet .

Vi börjar först med att bestämma konens massa M. Från figuren kan vi se att radien (y) hos konen ges av xtan. Om vi tittar på en tunn skiva med tjockleken dx på avståndet x från konens spets, så kan vi få dess massa dm:

dm = x2tan2dx, integrerar vi denna funktion från x=0 till x=h får vi konens massa M:

htan

h x

y

xtan

dm = x2tan2dx

3

htan

3

xtandxtanxM

32

h

0

32

h

0

22

Om vi placerar konen längs x-axeln med spetsen på origo så vet vi att (på grund av symmetrin) maccentrumets läge för y och z koordinaten är lika med noll. Det återstår bara att bestämma masscentrumets läge längs x-koordinaten xCM.

4

h3

4

htan

M

1

4

xtan

M

1dxtanx

M

1xdm

M

1x

442

h

0

42

h

0

23CM

Bestämning av masscentrum hos en böjd stång

Vi har en massiv stång som är böjd till en halvcirkel med radien R. Stången har en linjär densitet (vanligt att man ger densitet i massa/längd när man har en konstant tvärssnitt) och vi vill bestämma dess masscentrum. Här är det lämpligt att vi uttrycker masselementen dm i term av (i radianer) och radien R.

dR

y

x

dm = Rd

Stången är symmetrisk kring x axeln, så vi behöver endast bestämma masscentrumen längs y- axeln. y-koordinatens position ges av Rsin, och masselementen dm ges av Rd. Stångens massa M fås ur:

M = R

Vi kan nu bestämma yCM genom att integrera från = 0 till =

R2

cosM

Rdsin

M

R)Rd(sinRydm

M

1y 0

2

0

2

0CM

Exempel

Lokalisera masscentrum för ett system med tre partiklar utspridda enligt figuren.

m1= 0.5 kg

m3= 2 kg

m2= 1.5 kg

1-1

-2

2

x

y

2-2-1

1

Exempel

En kvadrat med sidorna 2R har ett hål med radien R/2. Hålets läge relativt kvadratens mittpunkt är (R/2, R/2) se figur. Lokalisera läget för masscentrum relativ kvadratens mittpunkt. Anta att kvadraten har ytdensitet .

2R

Exempel

Lokalisera masscentrum för en tunn tråd som formar en kvartscirkel med radien R. Tråden har en linjär densitet

R

Gör det själv

Tre sidor av en kub med sidolängden L tas bort enligt figuren. Lokalisera läget för masscentrum.

z

x

y

L

Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem)

Varför behöver vi känna till masscentrum? Detta kommer och blir tydligt under detta avsnitt.

Vi börjar med att ge ett uttryck för masscentrumets hastighet genom att derivera masscentrumets läge med avseende på tiden.

Den totala rörelsemängden P kan därför skrivas som:

n

1iii

n

1i

ii

CMCM m

M

1

dt

)(dm

M

1

dt

)(dv

rrv

n

1iiiCM mM vvP

Ur detta samband får vi slutsatsen:

Den totala rörelsemängden hos ett flerpartikelsystem motsvarar en enda imaginär partikel med massan M (M = mi) och hastighet vCM.

Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem)

Vi kan uttrycka kraftekvationen F = ma, genom att derivera masscentrumhastigheten med avseende på tiden, dvs:

F = Md(vCM)/dt = MaCM. (i)

I ett isolerat system så vet vi att summan av alla interna krafter är lika med noll. Med andra ord om (i) är skilld från noll så är F lika med summan av alla externa krafter som påverkar en punkt (masscentrum) med accelerationen aMC och massan M.

Fext = MaCM.

Eller så kan man använda Newtons andra lag:

Fext = dP/dt. DVS:

Ändringen av den totala rörelsemängden hos ett flerpartikelsystem är lika med summan av alla externa krafter.

I ett isolerat system är Fext = 0, så från relation (i) ser vi att vCM måste vara konstant.

Exempel

En partikel med massan m1 = 2 kg har positionen r1 = 2i +3j m och hastigheten v1 = -i + 5j m/s, medan en annan partikel med massan m2 = 5 kg och positionen r2 = -5i + j m, har hastigheten v2 = 3i -4j m/s. Bestäm (a) rCM (b) vCM (c) den totala rörelsemängden P (d) Läget för masscentrum 2 s senare, i frånvaro av externa krafter.

Exempel

Ett 6 kg objekt skjuts iväg från en höjd på 100 m. Start hastigheten är 50 m/s och riktningen är 53˚ relativt marken. Vid ett tillfälle exploderar objektet i två fragment. 4 kg fragmenten slå i marken 200 meter längre bort från starten. Bestäm var den andra fragmentent slår i marken, utgå från att både fragmenten slår i marken samtidigt. Räkna med g = 10 m/s2.

Exempel

Ett objekt med massan m1 = 1 kg befinner sig i origo vid tiden t = 0 s, och rör sig med en hastighet på 2i m/s. Objektet påverkas av en kraft F1 = 10j N. Ett annat objekt med massan m2 =2 kg befinner sig på x = 10 m vid tiden t = 0 s, och rör sig med en hastighet på 4j m/s. Det objektet påverkas av en kraft F2 = 8i N. Bestäm (a) positionen och hastigheten för masscentrum vid t = 0 s (b) objekternas individuella acceleration (c) accelerationen hos masscentrum (d) bekräfta (c) med kraftekvationen för masscentrum (e) var befinner sig masscentrummet vid t = 2 s.

Exempel

Två klossar med massorna m och 2m hålls samman av en komprimerad fjäder på insidan av en låda med längden 4L och massan 3m. Lådans mittpunkt befinner sig i läge x = 0. När fjädern släpps kommer både klossarna att befinna sig på avståndet L från lådans ändar i det ögonblicket de förlorar sina kontakter med fjädern. Visa att lådans position skiftas med L/6 efter att klossarna kolliderat och fastnat på lådans ändsidor. Alla ytor är friktionsfria.

m 2m

LLLL

x = 0

Gör det själv

En person med massan 75 kg befinner sig på ena ändan av en 4 m lång och 25 kg tung likformig plattform som är stillastående och vilar på ett friktionsfritt underlag. Personen

börjar röra sig mot andra änden av plattformen med en hastighet på 2 m/s relativt platformen. Bestäm (a) systemets masscentrum relativt personen (b) Plattformens hastighet (relativt marken) när personen rör sig mot andra änden (c) plattformens förflyttningssträcka när personen når den andra änden.

Kinetisk energi (flerpartikelsystem)

Låt oss titta på ett flerpartikelsystem från en observationspunkt O. Lägesvektorerna ri, rCM och ri’ anger lägen för partikeln mi, flerpartikelsystemets masscentrum och partikel mi läge relativt masscentrum. Vi kan därför beskriva läget för partikeln m i:

ri = rCM + ri’ (i)

Derivatan av ri med avseende på tiden ger hastigheterna i relation (i):

* mirCM

ri

ri’

O

vi = vCM + vi’ (ii)

Från (ii) kan vi uttrycka kinetiska energin för mi som:

Ki = ½mivi2 = ½mi(vCM

2 + vi’2 + 2vCMvi’) (iii)

Den totala kinetiska energin för alla partiklarna blir:

K = Ki = ½(mi)vCM2 + ½mivi’2) + 2vCM mivi’) (iv)

mivi’) i relation (iv) är partiklarnas totala rörelsemängden relativ masscentrum, dvs MvCM’. vCM’är hastigheten hos masscentrum relativt masscentrum vilket är noll och (iv) kan därför skrivas som:

K = ½(mi)vCM2 + ½mivi’2) = KCM + Krel

KCM är kinetiska energin hos masscentrum och Krel är partiklarnas kinetiska energin relativt masscentrum. K = KCM + Krel

Exempel

En boll med massan 1.5 kg rör sig med en hastighet på 4 m/s österut. En annan boll med massan 2.5 kg har hastigheten 8 m/s och rör sig västerut. Bestäm (a) masscentrums hastighet (b) KCM och Krel.

Exempel

En partikel med massan m1 = 5 kg rör sig med hastigheten 4j m/s. Partikeln kolliderar elastiskt med en annan partikel som befinner sig i vila och har massan m2 = 3 kg. Bestäm KCM och Krel.

Gör det själv

Bestäm den kinetiska energin KCM och Krel när (a) en 5 kg kropp med hastigheten 12 m/s, kolliderar med en stillastående kropp med massan 1 kg (b) en 1 kg kropp med hastigheten 12 m/s, kolliderar med en stillastående kropp med massan 5 kg.