Mat

emat

ik

34 LMFK-bladet 3/2017

Fysi

k

Betegnelsen Newtons mekanik bruges om den klassiske, mekaniske fysik, der ligger forud for de modne discipliner: Einsteins relativitetsteori og kvantemekanikken .

Det er en bekvem, kort betegnelse, men den er ikke ganske dækkende . I bestræ-belserne på at trænge ind i den 'gamle' mekaniks udvikling lad os da genkalde os Isaac Newtons formulering af sin an-den lov, den lyder således i Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica fra 1687, se figur 1:

Anden lov.Forandringen af bevægelsen er al-tid proportional med den påtrykte, bevægende kraft og sker i retningen af kraftens påtrykte retning.

Strengt taget skrev Newton latin, så det-te er fra Andrew Mottes oversættelse fra 1729 . Her bliver forandringen af bevæ-gelsen traditionelt udlagt som tilvæksten i hastighed . Og denne sættes altså til at være direkte proportional med den på-trykte, bevægende kraft . Det store gen-nembrud i Newtons arbejde er, at:

• det er ændringen i hastighed, det dre-jer sig om .

• den afgørende årsag til ændringen er den påtrykte kraft .

• i symboler står der: ∆v F∝ , hvilket han anvendte i en geometrisk metode med rette linier og cirkler a la Euklid .

Men set i bagklogskabens klare lys sav-ner vi en angivelse af

• egenskaberne af genstanden hvis ha-stighed, der er tale om .

• tidens betydning .• massens betydning .• anvendelse af hans fluxioner. Kort og

godt, vi savner: m v F= .

I første lov nævnes begrebet body, altså legeme, en for uklar angivelse . Igen ved vi fra undervisningen, at loven handler om materielle ting med masse, og hvis posi-tion kan fastlægges ved et enkelt punkt –

en partikel . I nogle fremstillinger af den mekaniske fysik betragtes Newton II som en naturlov, som angiver en forbindelse mellem to velkendte størrelser: accelera-tionen og kraften, og i andre er det en de-finition af kraften. Ordet kraft havde på Newtons tid længe været brugt både i na-turfilosofien (Leibnitz' vis viva) og i dag-lig tale, hvilket også kendes fra nutiden i alle mulige og umulige forbindelser (gro-kraft, motorkraft, heste kraft og kraftstik) .

Newton brugte ordet til at angive en vek-selvirkning mellem to legemer (bodies) . Han gik endda så langt som at foreslå, at gravitationskraften mellem to legemer var proportional med produktet af deres masser og omvendt proportional med kva-dratet på deres indbyrdes afstand . Hans enorme succes skyldtes netop, at han på grundlag af sine love, geometrien og gra-vitationskraften kunne udlede Johannes

Keplers tre love, kometers banekurver, samt eftervise, at de kræfter, der virker mellem Månen og Jorden (de himmel-ske, celeste) er af samme art, som dem, der virker mellem Jorden og et lod (de jordiske, terrestriske), som undersøgt af Galilei i hans skråplansforsøg . Newton sammenfattede de foregående århundre-ders mekanik – han stod på skuldrene af giganter og så langt .

Isaac Newton fik med ekstrem succes foretaget en eftervisning af den mulige rigtighed af såvel sine bevægelseslove som sin universelle gravitationskraft; begrebskomplekset blev i hvert fald ikke falsificeret. Han var en travl mand, der både skulle undersøge treenighedslæren, være kongelig møntmester, udvikle op-tikken og udforske alkymien . Hans inte-resse svingede væk fra mekanikken efter udgivelsen af Principia!

Newtons mekanik

Carl Erik Sølberg, lektor emeritus, carleriksoelberg@gmail.com

Figur 1Newtons 2. lov fra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica i en oversættelse fra 1729.

Figur 2Isaac Newton, 1689.

Godkendt af e-handelsfonden

Alle priser og tilbud er excl. moms og gældende indtil andet angives

LabQuest 2

Den mest brugervenlige datalogger til undervisningsbrug - nogensinde...

Digital dataopsamling

l Trådløs dataopsamling via USB, Wi-Fi og Bluetoothl Brug den med iPad, iPhone, Android, PC og Macl Op til 5 eksterne sensorer - samtidigt...l Del med 5 eller flere enhederl Over 90 forskellige sensorer - med AutoIDl 5 indbyggede sensorer: Lyd - lufttemperatur - lys - accelerometer og GPSl Indbygget periodisk system l Dansk software - gratis opdateringl Kan fungere som alm. måleinstrument med sensor l 5 års garanti !Best.nr. Labquest2

BESTSELLERPRIS kr. 3.350,-

Se mere på vores webshop: www.skolebutik.dk - eller ring 4470 4000

Familiedrevet siden 1987...

1987-2017 30 år med naturfag

Ohaus Scout SKX-vægte

Best.nr. SKX-123 Scout SKX 120g/0,001g

BESTSELLERPRIS kr. 2.795,-Best.nr. SKX-222 Scout SKX 220g/0,01g

BESTSELLERPRIS kr. 1.995,-Best.nr. SKX-622 Scout SKX 620g/0,01g

BESTSELLERPRIS kr. 2.795,-Best.nr. SKX-1202 Scout SKX 1200g/0,01g

BESTSELLERPRIS kr. 3.150,-Best.nr. SKX-2201 Scout SKX 2200g/0,1g

BESTSELLERPRIS kr. 1.995,-Best.nr. SKX-BLUE Scout SKX Bluetooth Kit

BESTSELLERPRIS kr. 787,-Best.nr. SKX-USB Scout SKX USB Interface kit

BESTSELLERPRIS kr. 487,-

Vægtfyldebestemmelse og mol-vejning er mulig.Leveres med netadapter, men kan også anvendes med batterier.

OHAUS nye Scout SKX-serie kan anvendes med Verniers LabQuest2 eller Logger PRO 3.13.x via USB-kabel eller Bluetooth Smart

Et lille udpluk af det store program af vægte fra OHAUS: Se mere på www.skolebutik.dk... NYHED

Digital dataopsamling

lTilslut trådløst via Bluetooth Smart eller kablet via USBlAlle 17 sensorer med genopladelige batterierlOplades via medfølgende USB kabel eller ladestationlGratis app: Graphical AnalysisTM4 til alle platformelMulighed for datadelinglID er mulig for alle sensorer via ApplIntet interface nødvendiglKan kombineres med Vernier datalogger LabQuest2l5 års garanti

NYHED

Se vor specialprisliste på www.skolebutik.dk...

LMFK-annonce #2-2017.indd 1 05-04-2017 16:20:02

Mat

emat

ik

36 LMFK-bladet 3/2017

Fysi

k

Leonhard Eulers mekanikNewtons Principia satte ikke alene Eng-land, men også kontinentet på den anden ende . Et sted, hvor der var grobund for nye tanker, var Bern, hvor Bernoulli-klanen herskede . Bernoulli'erne var me-stre udi matematikken, og i huset havde de oven i købet en opvakt discipel nem-lig, Leonhard Euler . Det var under løs-ningen af mekanikopgaver ved hjælp af Newtons geometriske metode, at selv han kom i vanskeligheder . Siden beskrev han sin nød i forordet til Mechanica si-ve motus scientia analytice fra 1736 så-ledes, se figur 3:

... Bliver derefter de selvsamme spørgsmål kun en smule ændret, så vil han med sine egne anstren-gelser næppe kunne besvare dem, med mindre han griber sin tilflugt til analysen og udvikler de samme sætninger efter den analytiske me-tode. Dette var netop tilfældet for mig, da jeg begyndte at studere Newtons principper og Hermanns kinematik, hvor jeg nemlig til løs-ningen af mange opgaver troede at have forstået nok. Selv opgaver, som kun afveg en smule (fra Newtons eksempler), kunne jeg ikke løse.

Også her er der tale om en oversættelse fra latin af J . Ph . Wolfers fra 1848 . Euler klager altså over, at når blot opgaverne afviger en anelse fra Newtons egne ek-sempler, magter han ikke at løse dem med hans geometriske metode . Men bruger han sin egen og Bernoulli'ernes analyse, så går det. Euler finder altså anvendel-sen af analysen, differentialregningen, så frugtbar, at den fortjener offentliggørel-se, hvilket netop sker i Mechanica sive motus scientia analytice, hvor det hed-der, se figur 5:

Er hastigheden for punktet A lig c, så bliver

dc npdtA

=

hvor n i alle tilfælde betegner det

samme tal, der hverken afhænger af kraften, tidselementet eller punk-tets størrelse.

Han skriver altså Newtons anden lov på en form, der er meget tæt på den moder-ne, og det endda ved brug af Leibnitz' symboler – godt, at sir Isaac ikke oplever den fornærmelse! Han døde i 1727 . Euler standser ikke med det, men indfører par-tikelbegrebet, idéen om det stive legeme

og deler dets bevægelse op i translation og rotation . I løbet af det attende århund-rede arbejder han med bjælkers og søj-lers deformation i samarbejde med no-tabiliteter som Clairault og d'Alembert.

Det er netop under udviklingen af de de-formerbare stoffers mekanik, at proble-met med det totale, indre kraftmoment for et partikelsystem viser sig:

Figur 3Beskrivelse af Leonhard Euler fra 1736. Findes oversat til tysk i foror-det til J.Ph.Wolfers , Mechanik oderanalytische Darstellung, Erster Theil. Greifswald, 1848.

Figur 4Leonhard Euler.

Figur 5Eulers anvendelse af analyse, differentialregning. Ibid.

Mat

emat

ik

LMFK-bladet 3/2017 37

Fysi

k

At den totale, indre kraft for et partikel-system er nul følger direkte af Newtons tredie lov . Men, at det totale, indre kraft-moment også er nul, kræver nogle besvær-gelser om, at de indre kræfter fordres at være centralkræfter, hvilket Euler ikke fandt sandsynliggjort i almindelighed . Derfor skar han igennem og brugte som axiomer følgende to sætninger:

ddt

ddt

P F Ltotal

res

ydre total

res

ydreog= = t

Der i ord siger, at den tidsafledede af den totale bevægelsesmængde for par-tikelsystemet er lig den resulterende, ydre kraft, og at den tidsafledede af det totale bevægelsesmængdemoment for partikelsystemet er lig det resulterende, ydre kraftmoment . Disse to sætninger plus den tilhørende energisætning dan-ner grundlaget i nutidige fremstillinger af den klassiske mekaniske mekanik . Energisætningen lyder:

dEdtkin,total

res

indre

res

ydre=℘ +℘

Altså, at den tidsafledede af den totale, kinetiske energi er lig summen af den re-sulterende, indre effekt og den resulteren-de, ydre effekt. I dette tilfælde er den in-dre størrelse ikke nul, hvilket er heldigt, da motoren i en bil ellers ikke ville være til nogen nytte .

Leonhard Euler er kendt som en stor ma-tematiker, men måske ikke som en stor mekaniker . Og det er uretfærdigt! Det er takket være ham, at den rationelle meka-nik videreudvikles. At han var en af de helt store fremgår også af, at Laplace, den kendte franske naturvidenskabsmand, rådgav sine studerende, når de var kørt fast i et emne med følgende:

Lisez Euler, lisez Euler, c'est not-re maître à tous.

Læs Euler, læs Euler, det er vor al-lesammens mester.

De skulle altså søge viden og indsigt i Mester Leonhards produktion .

Jens Krafts mekanikDen norsk–danske naturfilosof Jens Kraft var på sin dannelsesrejse i årene 1744–46 rundt i Europa, hvor han besøgte filosof-fen Wolff i Halle, Bernoulli'erne i Basel og i Paris d'Alembert og Clairault. Han kan muligvis også have besøgt Euler i Berlin, hvor denne var tjenstgørende ved Frederik den Stores hof på den tid .

Hvorom alting er, så er udbyttet af den-ne tur enormt . Han udarbejder sit værk Forelæsninger over Mekanik med hosfø-jede Tillæg, der udgives i Sorøe i 1763, hvor han var professor i matematik på Akademiet. Lærebogen, der på dansk nøje følger Eulers værk fra 1736, er den første afsmitning af den moderne, ratio-nelle mekanik i Danmark . Bogen skulle bruges på Ridder–akademiet i Sorø og desværre for Danmark slår teorien ikke igennem på universiteterne, og da det er H . C . Ørsted, der træder til som extraor-dinair professor i fysik ved Københavns Universitet i 1805, visner den matema-tisk funderede mekanik, og først med Christian Christiansen i 1892 genopstår den ved den Polytekniske Læreanstalt . Lagranges mekanikNår nu Euler havde indført den analytiske metode (dvs. differentiations– og integral-regning) kunne man tro, at problemerne med at løse mekaniske opgaver var løst . Alle, der har prøvet, vil dog vide, at det ikke er tilfældet . En af vanskelighederne er, at de indgående størrelser er vektoriel-

le . I bestræbelserne på yderligere at lette processen giver Joseph-Louis Lagrange mekanikken en drejning i sin Mécanique Analytique fra 1811 således, at der i hans grundligning kun optræder skalære stør-relser . Men stadigvæk er rationel, meka-nisk fysik en vanskelig disciplin .

Mekanik er vanskeligAt mekanisk fysik er svær at håndtere, har jeg erfaret dels på egen krop og dels hos et utal af studerende . Det betyder, at enhver, der forsøger sig, vil opleve ne-derlag – men forhåbentlig også moment-vise sejre . Bliver man modløs, kan det måske hjælpe at opleve en nobelpristager i kvantekromodynamik, Frank Wilczek, offentligt berette om sine vanskeligheder. Han sammenligner mekanikken med de mere matematisk prægede, moderne di-scipliner og savner en algoritmisk pro-cedure. Han finder den gængse metode uden megen struktur, ligefrem rodet . Det samme oplevede jeg i min studietid, som om vores instruktør ikke anvendte de re-levante matematiske hjælpemidler, men sjussede sig frem . Megen systematik kan efter min mening hentes frem netop ved en god og ordentlig fremgangsmåde, hvor også teorien fra mekanikforelæsninger-ne inddrages .

Ærgerligt er det, hvis vanskelighederne i tilegnelsen af mekanik hindrer, at man-ge vigtige begreber fra mekanikken fin-der anvendelse i den øvrige fysik på et solidt grundlag .

• Newtons, Eulers og Lagranges bøger kan findes i Google bøger.

• Jens Krafts bog er via latin oversat til tysk og kan findes samme sted.

• En fremstilling af den mekaniske fysik kan findes i Keith R. Symon: Mechanics, Addison–Wesley Publishing Company, 1971 .

• Frank Wilczeks klagesang findes i Physics Today udgivet af American Institute of Physics oktober 2004, physicstoday .org .

• Desuden kan man med stort udbytte læse vi-dere i C . Truesdell: Essays in the History of Mechanics, Springer Verlag, 1968 .

Figur 6Joseph–Louis Lagrange