Кузьмичев Сергей Дмитриевич

1

СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ №10

Элементы теории упругости и гидродинамики.

1. Деформации. Закон Гука.

2. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона. Модули

всестороннего сжатия и одностороннего сжатия.

3. Энергия упругой деформации.

4. Гидростатика.

5. Стационарное и нестационарное течения

жидкости и газа. Уравнение Бернулли. Формула

Торричелли.

6. Вязкость. Течение Пуазейля. Ламинарное и

турбулентное течение. Число Рейнольдса.

7. Подъёмная сила крыла. Эффект Магнуса.2

1. Деформации. Закон Гука.

Деформация – изменение формы и

объёма тела под действием приложенных сил.

Упругие деформации исчезают после

прекращения действия приложенных сил.

Пластические (остаточные) деформации

сохраняются в теле после прекращения

действия внешних приложенных сил.

Виды деформаций: растяжение, сжатие,

сдвиг, кручение, изгиб.

Для идеально упругих тел существует

однозначная зависимость между действующими

силами и вызываемыми ими деформациями.3

4

Малые упругие деформации подчиняются

закону Гука: деформации пропорциональны

силам их вызывающим.

Сила , отнесенная к

единице площади называется

напряжением. Если стержень

растягивается, то это напряжение

называется растяжением и

определяется выражением

где - площадь поперечного

сечения стержня.

F

S

FT

S

5

Если стержень сжат, то это напряжение

называется давлением и определяется такой же

формулой. Давление можно рассматривать как

отрицательное натяжение.

Пусть - длина недеформированного

стержня. После приложения силы его длина

получает приращение и делается равной

. Отношение

называется относительным удлинением

стержня.

Закон Гука

l0F

ll l l 0

l / l 0

6

T E

Для малых упругих деформаций

натяжение (или давление ) пропорционально

относительному удлинению (или относительному

сжатию)

где - модуль Юнга (величина зависящая от

материала стержня и его физического состояния).

T P

l lT E P E

l l

0 0

E

2. Модуль Юнга. Коэффициент

Пуассона. Модули всестороннего

и одностороннего сжатия.

7

Под действием растягивающей силы

изменяются не только продольные, но и

поперечные размеры стержня (толщина).

Пусть - толщина стержня до деформации,

- после деформации, .

Коэффициент Пуассона

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона –

изотермические (квазистатические деформации).

a0

a a a a 0

a

a

l

l

0

0

8

Деформации прямоугольного

параллелепипеда под действием

трех взаимно перпендикулярных сил

x

x y z

y

y z x

z

z x y

TxT T ,

x E E

TyT T ,

y E E

TzT T .

z E E

9

Всестороннее сжатие (все натяжения равны и

отрицательны)

,

,

,

где - модуль всестороннего сжатия.

x y zT T T P , P 0

x y z

P

E 1 2

x y z

V x y z

V x y z

V P

V K

E

K

3 1 2

10

, 0 0 5

Деформация одностороннего сжатия –

стержень может свободно сжиматься вдоль одной

оси, а его поперечные размеры изменяться не

могут (например, )

где - модуль одностороннего растяжения.

y z , x 0 0

y z y z x

x xx

T T T ,

T T, E E

E E

2

01

2 11

1 1 2 1

E

11

Задача 1. Оценить, при каком давлении

внутри лопнет воздушный шарик. Модель Юнга

мягкой резины, из которой он изготовлен, принять

равным .

Задача 2. Оценить максимальное давление,

которое может произвести вода при замерзании.

Плотность льда , модуль Юнга

, коэффициент Пуассона

.

E , Н / м 6 21 5 10

лкг / м 3

917

, 0 3

E , Н / м 10 22 8 10

12

Упругую энергию растянутого стержня можно

рассчитать, рассматривая квазистатический

процесс:

Объёмная плотность упругой энергии

f x kx, f , f l F 0 0

l

U f x dx k l F l

2

0

1 1

2 2

U U Tu T E

V Sl E

221 1

2 2 2

3. Энергия упругой деформации.

13

Плотность упругой энергии при всестороннем

сжатии P

u PE K

22

3 1 2

2 2

1

2

14

4. Гидростатика.

Жидкости и газы в состоянии равновесия

обладают только объёмной упругостью.

В состоянии равновесия напряжение в

жидкости и газе всегда перпендикулярно к

площадке, на которую оно действует.

В состоянии равновесия нормальное

напряжение (давление) не зависит от

пространственной ориентации площадки, на

которую оно действует (закон Паскаля).

15

Давление в однородной несжимаемой

жидкости, находящейся в однородном поле тяжести

Закон Архимеда: если тело погруженное в

жидкость, удерживается в механическом

равновесии, то со стороны окружающей жидкости

оно подвергается выталкивающей силе

гидростатического давления, численно равной весу

жидкости в объёме, вытесненном телом. Эта сила

направлена вверх и проходит через центр масс

жидкости, вытесненной телом.

P P gz 0

16

17

Гидродинамика занимается изучением

равновесия и движения жидкостей.

Если жидкость находится в движении, то

наряду с нормальными напряжениями в ней могут

возникать и касательные силы (или сдвиговые силы

внутреннего трения).

Жидкости, в которых не возникают силы

внутреннего трения, называются идеальными.

5. Стационарное и

нестационарное течение жидкости

и газа. Уравнение Бернулли.

Формула Торричелли.

18

Кинематическое описание движения

жидкости

Поле скоростей – мгновенная картина

распределения скоростей частиц жидкости.

Линия, касательная к которой указывает

направление скорости частицы, проходящей

в рассматриваемый момент через точку

касания называется линией тока.

Если поле скоростей (линии тока) не

изменяется со временем, то такое течение

называется стационарным.

При стационарном течении линии тока

совпадают с траекториями частиц.

Трубка тока. 19

В случае стационарного течения для двух

сечений в трубке тока

Для несжимаемой жидкости

S S 1 1 1 2 2 2v v

1 2

S

S1 2

2 1

v

v

20

Вдоль одной и той же линии тока при

стационарном течении идеальной жидкости

остается постоянной величина

- уравнение Бернулли

- полная энергия единицы массы.

.

Pconst

Pgh const

2

2

v

21

Формула Торричелли (о скорости истечения

идеальной жидкости через малое отверстие в

боковой стенке или дне широкого сосуда)

P Pgh ,

gh

2

0 0

2

2

v

v

22

Пример. Гидравлический удар. Оцените

давление, возникающее при мгновенном

перекрывании сечения трубы, по которой течет

жидкость, заслонкой.

звP vv

23

-коэффициент внутреннего трения (вязкость)

x

yxy

v

6. Вязкость. Течение Пуазейля.

Ламинарное и турбулентное течение.

Число Рейнольдса.

F Sh

0v

24

x x

y z

y ,

0

v v

v = v

При стационарном течении

ddF r dx

dr 2

v

dF r P x P x dx

dPr dx

dx

2

1

2

dF dF

d dPr

dr dx

1

2v

Стационарное течение

жидкости по прямолинейной

трубе. Формула Пуазейля.

25

Линии тока параллельны оси трубы.

Скорость вдоль линии тока не зависит от x.

P PdP

dx l

2 1 P Pd

rdr l

1 2

2

v

P P

r C , r Rl

21 2 0

4v v

P P

R rl

2 21 2

4v

26

Формула Пуазейля для расхода жидкости

(масса жидкости ежесекундно протекающая

через поперечное сечение трубы )

Формула Пуазейля применима только для

ламинарного течения жидкости.

Вязкость воды:

при 0⁰С

при 20⁰С

R

dQ r dr

P P P PQ R r rdr R

l l

2 2 41 2 1 2

0

2

2 8

v

, г / см с 21 792 10

, г / см с 21 005 10

27

Ламинарным называется такое течение,

когда частицы жидкости движутся вдоль

прямолинейных траекторий, параллельных оси

трубы. При больших скоростях ламинарное

течение становится неустойчивым и переходит в

турбулентное.

Число Рейнольдса определяет

относительную роль инерции и вязкости

жидкости при течении

Кинетическая энергия

Работа сил трения

Re

lK

2 3

2

v

трA l

l 2v

тр

K lRe

A

v

28

7. Подъёмная сила крыла.

Эффект Магнуса.

Для возникновения подъёмной силы

необходимо, чтобы крыло было несимметрично

или несимметрично расположено относительно

горизонтальной плоскости.29

Вихри уносят момент количества движения,

а вокруг крыла образуется циркуляция по часовой

стрелке.

Скорость потока над крылом увеличивается,

под крылом – уменьшается.

Давление под крылом растет, над крылом -

уменьшается.

Возникшая разность давлений проявляется

в подъемной силе, направленной вверх, и

горизонтальной силе сопротивления среды.

30

Эффект Магнуса: если вращающийся

цилиндр обтекается равномерным потоком

воздуха, то появляется подъёмная сила,

перпендикулярная к направлению внешнего

потока.

31