Föreläsning 10

Rörelsemängsdmoment och gravitation

Kapitel 12.1-6 och kapitel 13

vridmoment

Rörelsemängdsmoment

Rotationsdynamik

Lagen om rörelsemängdsmomentets bevarande

Statisk jämvikt

Gravitation

Vridmoment

Vid förra föreläsningen definierade vi vridmoment som en skalär som var proportionell mot magnituden på kraften, avståndet till den verkande kraften (hävarmen) samt vinkeln mellan dem. Här ska vi ge den allmänna definitionen av vridmoment vilket är en vektorstorhet som ges av vektorprodukten av lägesvektorn r och kraftevektorn F:

= r F = rFsinň (i)

ň är enhetsvektorn för normalen som är vinkelrätt mot planet som spänns upp av r och F, vars riktning bestäms av högerhandsregeln.

F

r

ň

Rörelsemängdsmoment

För rotationsrörelser kallas den storhet som motsvarar rörelsemängd i translationsrörelse för rörelsemängdsmoment, l och definieras som:

l = r p

Här, är p rörelsemämngden för en partikel i ett system med lägesvektorn r relativt origo O.

Den skalära formen av rörelsemängdmomentet kan skrivas som:

l = rpsin

Eller med fördel:

l = rp

r kallas för momentarmen. SI enheten för rörelsemämngdsmoment är kgm2/s

l

rO

r

p

Rörelsemängdsmoment behöver inte nödvändigtvis innebära en rotationsrörelse av objektet. Objektet i sig kan mycket väl röra sig i en rak linje, men om referenssystemet till objektet inte befinner sig längs objektets bana så ändrar positionsvektorn riktning och då fås en rörelsemängdsmoment relativt det referenssystemet. Ta till exempel en partikel som befinner sig i läge A som anges av vektorn rA. Om partikeln förflyttar sig (i en rak linje med konstant fart) till läge B med positionsvektorn rB så ges partikeln rörelsemängdsmoment i A och B av:

lA = rApsinA

Och

lB = rBpsinB

Från figuren ser vi att rBsinB = rAsinA = r, dvs:

lA = lB = rpO

A

B

p

p

rB

rA

Om momentarmen r och rörelsemängden p är konstanta så blir även rörelsemängdensmomentet l konstant.

Rörelsemängdsmomnetet i en cirkulär rörelse

Om en partikel rör sig med konstant fart i en cirkulär bana med radien R så kan dess rörelsemängdsmoment relativt banans centrum skrivas som:

l = pRsin90˚ = mvR = [v = R] = mR2 (i) (A)

Om vi däremot skulle välja en annan referenspunkt utanför cirkelbanans mitt så skulle rörelsemängdsmomentet inte längre vara vinkelrät mot cirkelns plan, men dess z- komponent lz är däremot vinkelrätt mot cirkelns plan och är lika stort som rörelsemängdsmomentet, där observationspunkten var cirkelns centrum.

R

r

p p

ll lz

(A) (B)

l = rpsin90˚= rp (ii) (B)

lz = lsin = rpsin = pR = mvR = [v = R] = mR2(iii)

Rörelsemängdsmomnetet i flerpartikelsystem

För flerpartikelsystem ges den totala rörelsemängdsmomentet L av:

L = li = ri pi (i)

Om vi väljer att titta på z-komposanten för rörelsemängdsmomentet så kan vi med hjälp av den tidigare härledning av rörelsemängdsmoment i cirkel rörelse uttrycka (i) som:

Lz = liz = miRi2 = I (ii)

Detta är det totala rörelsemängdsmomentet för en fast kropp som roterar kring en fix axel. Observera att Lz är en skalär och ej en vektor.

Rotationsdynamik

Newtons andra lag för translationsrörelse gavs av:

F = dp/dt

Vi vet att i rotationsrörelse motsvarar vridmoment, och rörelsemängdsmoment, l, kraften F och rörelsemängden p i translationsrörelse. Vi börjar med att derivera rörelsemängdmomentet med avseende på tiden.

dl/dt = d/dt (r p) = dr/dt p + r dp/dt = v mv + r F =

Newton andra lag för rotaionsdynamik kan därför skrivas som:

= dl/dt ((vridmoment för en partikelsystem)

Tidserivatan av en partikels rörelsemängdsmoment är lika med vridmomentet som verkar på den.

Analogt med fallet translationsdynamik i flerpartikelsystem så är det endast de externa vridmomenten ext som skall tas hänsyn till, ty de interna vridmomenten tar ut varandra (newtons 3:e lag). Vridmomentet för flerpartikelsystem blir därför:

ext = dL/dt (vridmoment för flerpartikelsystem)

Där L är li och ext är i. För en fast kropp som roterar kring en fix axel är L = Iobservera skalärdärför kan vi skriva vridmomentet som:

= dL/dt =Id/dt = I(vridmoment för fast kropp med fix rotations axel)

Exempel

Kraften F = 2i -3j N verkar på avståndet r = 2.5j m. Bestäm vridmomentet kring origo.

Exempel

Positionen och rörelsemängden av en partikel är r = 2i + 3k m resp. p = 4k kgm/s. Bestäm rörelsemängdsmomentet.

Exempel

En satellit med massan m cirkulerar med radien r kring en planet med massan M. Bestäm hur satellitens rörelsemängdsmoment ändras med avståndet r.

Exempel

En cylinder med radien 40 cm roterar fritt kring mittaxeln. Ett rep som är lindat rund cylindern verkar med en drag kraft på 12 N under 5 s. Bestäm cylinderns rörelsemängdsmoment under denna tid.

Gör det själv

Två vikter med massorna m1 = 3 kg och m2 = 5 kg hänger runt en trissa med radien R = 10 cm och massan M = 4 kg. Bortse från friktionen, anta att trissan är en skiva (dvs I = ½MR2) och använd trissans centrum som origo. Bestäm (a) systemets totala vridmomentet (b) systemets rörelsemängdsmoment om vikterna har hastigheten v (c) vikternas acceleration genom att använda = dL/dt. Räkna med g = 10 m/s2

Lagen om rörelsemängdsmomentets bevarande

Analogt med lagen om rörelsemängdens bevarande kan vi definiera lagen om rörelsemängdsmomentets bevarande:

Om den resulterande externa vridmoment som verkar på ett system är lika med noll så måste systemets totala rörelsemängdsmoment var konstant i både magnitud och riktning

Dvs, om ext = 0 så måste L vara konstant..

Demonstration av lagen

I = I00

Exempel

Ett barn med massan m står på kanten av en cirkulär skiva med massan M och radien R. Skivan kan rotera fritt kring sitt centrum. Bestäm skivans vinkelhastighet när barnet går längs skivans kant med en hastighet v relativt marken.

Exempel

En likformig stav med massan m kan svänga fritt kring sitt centrum. En boll med massan m och hastighten u kolliderar med ena änden av staven och fastnar. Bestäm vinkelhastigheten efter kollisionen (staven är i vila innan kollisionen).

Exempel

En partikel med massan m = 0.5 kg och hastigheten u = 4 m/s kolliderar med ett objekt som består av två klossar med lika stora massor M. Klossarna är samman bundna med en masslös stav med längden R = 2 m. Både objektet och partikeln kan röra sig fritt på ett horisontallt plan. Bestäm (a) masscentrumshastigheten efter kollisionen om partikeln fastnar i en av klossarna (b) systemets vinkelhastighet runt masscentrum.

Exempel

En cylinder med massan M och radien R roterar med vinkelhastigheten 0. När den placeras på en yta med friktionskoefficienten k (a) uttryck newtons andra lag för dess translations- samt rotationsrörelse (b) visa att det tar tiden, t = 0R/3kg för cylindern att börja rulla utan att slira (c) hur långt åker cylindern fram tills den börjar rulla utan att slira?

Statisk jämvikt

Villkoret för jämvikt i translationsrörelse var att summan av all krafter var lika med noll. Detta vilkor var tillräckligt för att uppnå antigen statisk jämvikt (stillastående partikel) eller dynamisk jämvikt (konstant hastighet). Hursomhelst detta vilkor är inte tillräckligt för att uppnå rotations jämvikt (konstant rotationshastighet) eller statisk jämvikt (stillastående kropp). Bilden nedan illusterar varför jämvikt ej kan uppnås även om nettokraften är lika med noll.

Ej jämvikt JämviktF

-F

-F F

Villkoret för att både statisk och rotations jämvikt skall uppstå är att summan av alla externa vridmoment måste vara lika med noll, dvs:

= 0

Exempel

En 2.5 kg stav med längden L = 60 cm är fäst i ena änden och bildar en vinkel på 30˚ mot horisontalen. Staven stöd av två rep placerade i ena änden resp. 45 cm från fästpunkten. Dragkraften i T1 = 10 N. Bestäm (a) dragkraften i T2 om är 20˚ (b) den horisontella och vertikala krafterna i fästpunkten.

T2 T1

˚

Gör det själv

Ett roterbart bord med tröghetsmomentet 0.01 kgm2 roterar med en hastighet på 2 rad/s. En cirkulär skiva med massan m = 2 kg och radien 10 cm, placeras på det roterande bordet (samma rotaionsaxel). Bestäm (a) bordets vinkelhastighet efter att skivan har placerats på bordet (b) ändringen i den kinetiska energin. (och som ni redan vet så är I = ½MR2)

Gravitation

Den universella gravitationslagen och Keplers tredje lag har vi redan disskuterat, vi ska nu fördjupa oss ytterligare i gravitaion och börjar med att definiera superpositionsprincipen. Om flera partiklar växelverkar med varandra så kan man beskriva nettokraften som verkar på varje partikel separat, dvs om vi har N antal partiklar så blir nettokraften F1 som verkar på partikel 1:

F1 = F12 + F13 + ..... + F1N

Detta är superpositionsprincipen

Nettokraften som verkar på massan m1 är vektorsumman av alla parvisa interaktioner

m2

m1

m4

m3ř21

ř41

ř31F12

F14

F13

F1N = -Gm1mNřN1/r1N F1 = F12 + F13 + F14

Keplers lagar

Kepler första lag: Planetbanorna är ellipser med stjärnan i den ena brännpunkten.

Keplers andra lag: Areahastigheten är konstant.

Keplers tredje lag: Periodtiden (tiden för ett helt varv) i kvadrat är proportionell mot omloppsradien i kubik. T2 = r3, där T = periodtid, r = avståndet mellan planeten och den himlakropp den roterar runt, och är en konstant som beror på himlakroppens egenskaper och är lika med 42/GM.

s

dc

b

a

Om tidsintervallet mellan a och b är lika med tidensintervallet mellan c och d så är arean scd lika med arean sab.

Bevis av keplers andra lag

Anta en planet som cirklar runt en stjärna. Gravitationskraften som verkar på planeten är riktad längs samma linje som binder stjärnan och planeten. Detta innebär att vridmomentet som verkar på planeten är lika med noll, med andra rörelsemängdsmomentet är konstant.

Vi börjar med att bestämma arean som linjen mellan stjärnan och planeten sveper under tiden t. Om planeten förflyttar sig under tiden t så får vi en triangel vars area är:

A = ½rvtsin

Areahastigheten blir:

A/t = ½rvsin

r

vsinv

vtsin

rvsin är magnituden av vektorprodukten r v, som med hjälp av formeln för rörelsemängdsmoment (L = r mv ) kan skrivas som L/m. Relationen i (ii) kan därför skrivas som:

A/t = ½L/m

I och med L var konstant så måste även areahastigheten vara det.

Energin i en elliptisk rörelse

Både den mekaniska energin och rörelsemängdsmomentet i en planetbana är bevarade. Vi kan därför uttrycka rörelsemängdmomneten för planeten i perihelion (kortaste avstånd till stjärnan) och aphelion (längsta avstånde från stjärnan) som

rpvp = rava (i)

Och den mekaniska energin för dessa två lägen blir:

Ea = ½mva2 – GmM/ra (ii.a); Ep = ½mvp

2 – GmM/rp (ii.b)

här GmM/r är potentialenergin för planeten, från Ep = Ea fås:

(vp2 - va

2) = 2GM(1/rp – 1/ra) (iii)

Med hjälp av relationerna (i) och (iii) samt 2a = ra + rp, fås:

va2 = (GM/a)(rp/ra) (iv.a); vp

2 = (GM/a)(ra/rp) (iv.b)

Sätter vi relationen (iv.a) i (ii.a) får vi energin Ea:

Ea = ½m(GM/a)(rp/ra) – GmM/ra = (GmM/2a)((rp – 2a)/ra) = [2a = ra + rp] = -GmM/2a

På motsvarande sätt fås Ep:

Ep = -GmM/2aE = -GmM/2a

rarp

2a

Exempel

Tre partiklar med massorna m1 = 20 kg, m2 = 80 kg och m3= 10 kg, befinner sig i (0, 0), (0, 1 m) resp. (2 m, 0). Bestäm kraften som verkar på m3

Exempel

Sputnik I med massan m = 83.5 kg sattes i bana runt jorden 4:e oktober 1957. Avståndet från jordens mittpunkt till satellitens apogeum* var ra = 7330 km och till satellitens perigeum* var rp = 6610 km. Bestäm (a) satellitens mekaniska energin (b) rotationsperioden (c) hastigheten vid perigeum.

*Apogeum är den högsta punkt t ex en satellit når då den snurrar runt en himlakropp som jorden. Perigeum är den lägsta punkten.

Gör det själv

En satellit med massan m befinner sig i en cirkulär bana med radien r. Uttryck hur följande storheter beror av R: (a) Hastigheten. (b) Rotationsperioden. (c) Rörelsemängden. (d) Kinetiska energin. (e) Rörelsemängdsmomentet. Uttryck med hjälp av G, M, r och m.