Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés · Fonction exponentielle – Dérivation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Soit la fonction

Fonction exponentielle – Dérivation – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : continuité et dérivabilité en

Exercice 2 : opérations de dérivation avec

Exercice 3 : limite d’un taux d’accroissement et dérivabilité de la fonction exponentielle en

Exercice 4 : dérivée d’une fonction de la forme

Exercice 5 : dérivée énième d’une fonction

Exercice 6 : signe d’une dérivée et tableau de variation (et croissances comparées)

Exercice 7 : nombre dérivé et équation de tangente en un point

Exercice 8 : dérivation et corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (et algorithme)

Exercice 9 : tangente hyperbolique

Fonction exponentielle – Dérivation

Exercices corrigés



2

Soit la fonction définie sur par

si et .

1) Montrer que est continue en . 2) La fonction est-elle dérivable en ?

1) Etudions la continuité de en 0.

Rappel : Continuité en un point

Soit une fonction définie sur un intervalle et soit un réel de . La fonction est continue en si et

seulement si a une limite en égale à , c’est-à-dire si et seulement si

.

D’une part,

.

D’autre part,

et

donc, d’après le théorème sur la limite de la

composée de deux fonctions,

.

Rappel : Limite de la composée de deux

fonctions

, et désignent des réels, ou . et

sont deux fonctions.

Si

et si

, alors on a :

.

Ainsi, par produit des limites,

⏟

⏟

et donc

. Autrement dit, la fonction est continue en .

2) Etudions la dérivabilité de en .

Rappel : Dérivabilité en un point et nombre dérivé

Soit une fonction définie sur . et ( ) désignent deux réels de .

est dérivable en si et seulement si la fonction ( )

admet un nombre réel pour limite en .

Autrement dit, est dérivable en si et seulement si

( ) ⏟

.

Ce nombre réel est alors appelé nombre dérivé et noté . Ainsi,

( )

.

Exercice 1 (2 questions) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 1 Retour au menu

( )



3

Le taux d’accroissement de en est :

Comme

(résultat obtenu à la question précédente), est dérivable en . Autrement dit,

existe et

.

Remarques :

On peut montrer de même que la fonction est continue et dérivable en tous points de l’intervalle

.

Toute fonction dérivable en un point (respectivement sur un intervalle ) est continue en

(respectivement sur ). Attention ! La réciproque est fausse.

La dérivabilité d'une fonction ne s’étudie qu'en des points où la fonction est continue.



4

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies par :

1)

2) 3)

Rappel : Opérations de dérivation

Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) et soit un réel.

Somme de deux

fonctions

Différence de deux

fonctions

Produit d’une

fonction par un réel

Produit de deux

fonctions

Quotient de deux

fonctions ( )

.

1) Etudions la dérivabilité de la fonction et déterminons sa dérivée .

La fonction est la somme de trois fonctions de référence : la fonction carré, dérivable sur , la fonction

inverse, dérivable sur et la fonction exponentielle, dérivable sur . Ainsi, la fonction est dérivable sur .

Pour tout , on a :


La fonction est le produit de la fonction , dérivable sur comme étant la somme des

fonctions sinus et cosinus, dérivables sur , par la fonction , fonction exponentielle dérivable sur .

Ainsi, la fonction est dérivable sur .

Pour tout on a :

⏟

⏟

⏟

⏟


La fonction est le quotient de la fonction , dérivable sur , par la fonction .

Ainsi, la fonction est définie et dérivable si et seulement si .

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile


Rappel : Dérivabilité et dérivée de la fonction exponentielle

La fonction est dérivable sur et, pour tout réel, .



5

Rappel : Equation de la forme

Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) .

Pour tout réel , si et seulement si .

Résolvons l’équation pour connaitre l’ensemble de définition, et par conséquent l’ensemble de

dérivabilité, de la fonction .

.

Pour tout , est définie et dérivable et on a :

⏞

⏞

⏞

⏞

⏟

( )

( )



6

Quelle est la limite, lorsque tend vers 0, du quotient

?

Comme la fonction exponentielle est continue sur donc continue en ,

. Ainsi,

. Il

vient immédiatement que

.

Par conséquent,

est une forme indéterminée du type

. Levons cette indétermination en mettant en

évidence un taux d’accroissement.

On reconnait ici l’écriture de la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en , qui n’est autre

que le nombre dérivé de l’exponentielle en .

Comme, pour tout réel , et comme , il s’ensuit que :

Remarque : Cette limite est à connaître car elle peut s’avérer très utile dans certains exercices…





7

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies par :

1) 2) 3)

Rappel : Dérivée de la fonction composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) . La fonction est

dérivable sur et, pour tout , ( ) .

Remarque importante : Il en découle les résultats suivants : pour tout , et .

1) Soit la fonction définie par ⏟

.

La fonction est définie et dérivable sur comme étant la composée de la fonction ,

fonction polynôme dérivable sur , par la fonction exponentielle, dérivable sur .

Pour tout , , d’où ⏟

⏟

.

2) Soit la fonction définie par

⏟

.

La fonction est définie et dérivable sur comme étant la composée de la fonction

, fonction inverse

dérivable sur , par la fonction exponentielle, dérivable sur .

Pour tout ,

, d’où ⏟

⏟

.

3) Soit la fonction définie par ⏟

.

La fonction est définie et dérivable sur comme étant la composée de la somme de deux fonctions

trigonométriques et , dérivables sur , par la fonction exponentielle,

dérivable sur .

Pour tout , ⏟

⏟

, d’où ⏟

⏟

.





8

Soit la fonction définie sur par .

1) Démontrer que, pour tout réel, √ ( ).

2) Montrer que, pour tout réel, où et sont deux constantes à déterminer.

3) Déterminer la dérivée d’ordre de la fonction .

1) Pour tout réel,

√ (√

√

)

√ ( (

) (

) )

√ (

)

Rappel : Formules trigonométriques d’addition

Pour tous réels et ,

2) Déterminons , dérivée de .

D’une part, la fonction est dérivable sur et, pour tout réel, . D’autre part, la fonction

est dérivable sur et, pour tout réel, . Ainsi, la fonction est dérivable sur

comme étant le produit des fonctions et , dérivables sur .

Pour tout ,

⏟

⏟

⏟

⏟

Or, d’après la question précédente, en posant , √ ( ).

Donc √ ( )

3) Déterminons la dérivée d’ordre de la fonction , notée .

Tout d’abord, remarquons que la fonction est la dérivée d’ordre de . Ainsi, √ ( ).

Déterminons désormais la dérivée d’ordre 2 de , notée , dérivable sur comme produit des fonctions

et √ ( ), dérivables sur .

Exercice 5 (3 questions) Niveau : difficile




9

Pour tout ,

⏟

√ ( )⏟

⏟

( √ ( ))⏟

√ ( ( ) (

)).

D’après la première question, en posant

, √ √ (

) (

)

On remarque donc que √ (

) et √

(

).

Montrons que, pour tout , √ (

).

Rappel : Principe du raisonnement par récurrence

Soit une proposition définie sur un intervalle de . Soit .

Si :

1) la proposition est initialisée à un certain rang , c’est-à-dire si est vraie au rang

2) la proposition est héréditaire à partir du rang , c’est-à-dire si, pour tel que fixé, on a

l’implication

Alors :

3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que .

Soit la proposition définie sur par : « √ (

) ».

D’après ce qui précède, √ (

) donc est vraie. Autrement dit, la proposition

est initialisée au rang .

Supposons désormais que, pour entier naturel fixé tel que , est vraie, c’est-à-dire supposons que

√ (

). Montrons que est alors vraie, c’est-à-dire montrons que

√

( ).

Pour tout ,

( )

(√ (

))

√ ( (

))

√ ( (

) (

)) √

( (

) (

))

⏟

√ √ (

) √

(

)

La proposition est donc vraie. Par conséquent, la proposition est héréditaire.

Une proposition est un

énoncé, soit vrai, soit faux.



10

La proposition est initialisée au rang et héréditaire donc elle est vraie pour tout entier . Par

conséquent, pour tout , √ (

).

Remarque : Comme √ (

), il vient finalement que, pour tout ,

√ (

).



11

Soit la fonction définie sur par

. On note sa courbe représentative dans un repère

orthonormal ⃗ ⃗ du plan. Soit la fonction définie sur par .

1) Dresser le tableau de variations de .

2) En déduire l’ensemble de définition de .

3) Montrer que admet un extremum sur et en préciser la valeur.

1) Etudions les variations de la fonction .

La fonction est dérivable sur comme étant la somme des fonctions (fonction exponentielle) et

(fonction affine), dérivables sur .

Pour tout ,

Etudions le signe de cette dérivée.

Pour tout ,

Rappel : Inéquation de la forme

Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) .

Pour tout réel , si et seulement si .

Pour tout ,

D’où le tableau de signes suivant :

La fonction est donc décroissante sur et croissante sur .

Etudions désormais les limites de en et .

et

donc, par somme,

.





12

et

donc, par somme, on en est présence d’une forme

indéterminée du type . Levons l’indétermination en en faisant appel à une croissance

comparée.

Rappel : Croissances comparées

Pour tout ,

On dit que « la fonction exponentielle l’emporte sur les fonctions puissances ».

⏟

[ (

)]

Or,

⏟

Donc,

[ (

)]

⏟

(

)

⏟

Enfin, la fonction est continue en donc existe et .

D’où le tableau de variations suivant :

Il vient immédiatement que, pour tout réel, .

2) Précisons l’ensemble de définition de la fonction .

D’après la question précédente, pour tout réel, , c’est-à-dire ou encore .

Comme, pour tout réel, , la fonction est définie sur .

3) Montrons que admet un extremum sur .

La fonction est le quotient de la fonction , dérivable sur , par la fonction , dérivable

sur . Ainsi, la fonction est dérivable si et seulement si . Or, d’après la question qui précède,

pour tout réel.



13

Pour tout ,

⏞

⏞

⏞

⏞

⏟

( )

Comme et pour tout réel, il vient que est du signe de .

Ainsi, on a le tableau de signes suivant :

La fonction est donc croissante sur et décroissante sur . Par ailleurs, elle admet un

maximum, atteint en , tel que

.

Remarque : On peut montrer que

et que

et ainsi en déduire que la courbe

représentative de admet deux asymptotes horizontales d’équations et .

D’où le tableau de variations ci-contre :



14


1) Déterminer les coordonnées du point de , courbe représentative de , telles que la tangente à

en soit parallèle à la droite d’équation .

2) En déduire une équation de .

Rappel : Tangente à la courbe d’une fonction en

Soit une fonction définie sur un intervalle et dérivable en . La tangente à la courbe

représentative de au point d’abscisse est la droite passant par et de coefficient directeur .

Une équation de cette tangente est : .

1) Cherchons les coordonnées du point de , telles que la tangente à en soit parallèle à .

Les droites et sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Or, la droite

a pour équation donc a pour coefficient directeur . En outre, la tangente à en ( ) a

pour coefficient directeur donc est la solution de l’équation .

La fonction est dérivable sur comme étant le produit des fonctions et ,

dérivables sur . Déterminons la dérivée de et résolvons dans l’équation .

Pour tout réel,

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

Ainsi, le point a pour abscisse . Reste à calculer l’ordonnée de .

Il vient donc que .

2) Déterminons désormais une équation de la tangente à en .

Une équation de est : .





15

Traçons dans un repère orthonormé du plan la courbe ainsi que les droites et .



16


1) Démontrer que l’équation admet deux solutions et dans .

2) Ecrire un algorithme permettant à l’utilisateur de donner un encadrement de et à près.

1) Montrons que l’équation admet deux solutions et dans .

Rappel : Théorème de bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)

Si est une fonction continue et strictement

monotone sur un intervalle de bornes et

(finies ou infinies), alors, pour tout réel

strictement compris entre les limites de en

et en , il existe un unique réel de tel

que .

Monotonie

de

Intervalle

croissante décroissante

[

[ ]

]

]

] [

[

]

[ ]

[

Remarque : Une fonction réalise une bijection de dans si et seulement si, pour tout de , il existe un

unique de tel que .

a) Commençons par étudier les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

Etude de la limite en :

et

donc, d’après le théorème sur la limite d’une fonction composée,

. Comme

, on aboutit à une forme indéterminée du type . Levons

cette indétermination en factorisant par .

Pour tout réel,

D’une part,

(croissance comparée) et

(d’où

) donc, par somme

des limites, on obtient

. D’autre part, d’après ce qui précède,

.

Ainsi, par produit des limites,

.



Pour tout réel,



17

Etude de la limite en :

et


. En outre,

. Ainsi, par somme des limites,

.

b) Etudions désormais les variations de la fonction .

est dérivable sur et, pour tout réel, .

D’où le tableau de signes suivant :

Comme , il vient le

tableau de variations ci-contre :

Sur l’intervalle , la fonction est continue et strictement décroissante. Ainsi, pour tout ,

[

[. Autrement dit, pour tout , [ [.

Comme [ [ (car ), d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il

existe un unique réel de , tel que .

Sur l’intervalle , la fonction est continue et strictement croissante. Ainsi, pour tout ,

[

[. Autrement dit, pour tout , [ [.

Comme [ [, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel

de , tel que .

En conclusion, l’équation admet deux solutions réelles distinctes et telles que et .

2) Ecrivons avec Algobox un algorithme permettant de donner un encadrement de et à près.

Proposons un algorithme permettant de rechercher une valeur approchée de la solution de l’équation

sur un intervalle , par dichotomie, c’est-à-dire par un processus

itératif de recherche où chaque étape découpe un intervalle en deux afin de restreindre l’intervalle de recherche

initial. La fonction désigne ici la fonction . Avec AlgoBox, elle doit être définie dans l’onglet « Utiliser

une fonction numérique ».

Cet algorithme repose sur la méthode suivante :

i. On calcule , le milieu de .



18

ii. Si et sont de même signe (c’est-à-dire si leur produit est

positif), alors cela signifie que la solution se trouve dans . On affecte

alors à la valeur de afin de pouvoir continuer le processus. Dans le cas

contraire, la solution se trouve dans . On affecte alors à

la valeur de afin de pouvoir continuer le processus.

iii. Le processus continue jusqu'à obtenir un encadrement avec la précision voulue. D’où la présence de la

variable .

1 VARIABLES 2 precision EST_DU_TYPE NOMBRE 3 borne_inferieure EST_DU_TYPE NOMBRE 4 borne_superieure EST_DU_TYPE NOMBRE 5 moyenne EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 precision PREND_LA_VALEUR 0.00001 8 AFFICHER "Saisir une valeur pour la borne inférieure : " 9 LIRE borne_inferieure 10 AFFICHER borne_inferieure 11 AFFICHER "Saisir une valeur pour la borne supérieure : " 12 LIRE borne_superieure 13 AFFICHER borne_superieure 14 TANT_QUE (borne_superieure-borne_inferieure>precision) FAIRE 15 DEBUT_TANT_QUE 16 moyenne PREND_LA_VALEUR (borne_inferieure+borne_superieure)/2 17 SI (F1(moyenne)*F1(borne_superieure)>0) ALORS 18 DEBUT_SI 19 borne_superieure PREND_LA_VALEUR moyenne 20 FIN_SI 21 SINON 22 DEBUT_SINON 23 borne_inferieure PREND_LA_VALEUR moyenne 24 FIN_SINON 25 FIN_TANT_QUE 26 AFFICHER borne_inferieure 27 AFFICHER " < solution < " 28 AFFICHER borne_superieure 29 FIN_ALGORITHME

Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox

Recherche d’un encadrement de

***Algorithme lancé***

Saisir une valeur pour la borne inférieure : -10000

Saisir une valeur pour la borne supérieure : 0

-1.5446264 < solution < -1.5446171

***Algorithme terminé***

Recherche d’un encadrement de

***Algorithme lancé***

Saisir une valeur pour la borne inférieure : 0

Saisir une valeur pour la borne supérieure : 1e+9

3.0963747 < solution < 3.0963818

***Algorithme terminé***

Des affichages obtenus, on peut conclure que et que .

Fonction numérique utilisée : F1(x)=exp(-x)+x-Math.PI



19

Représentons dans un repère orthonormé du plan la fonction ainsi que les solutions de l’équation .

Courbe

représentative de

Droite d’équation



20

La fonction tangente hyperbolique, notée est définie sur par :

Soit un réel. Discuter, suivant les valeurs de , le nombre de solutions de l’équation dans .

Discutons, suivant les valeurs du réel , le nombre de solutions de l’équation dans .

a) Commençons par étudier les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

Pour tout réel,

Or,

et


. Ainsi,

et

. Finalement, par quotient des limites,

.

Pour tout réel,

Or,

et


. Ainsi,

et

. Finalement, par quotient des limites,

.

b) Etudions désormais les variations de la fonction

La fonction est dérivable sur comme étant le quotient de la fonction par la fonction

strictement positive , toutes deux dérivables sur .

D’où, pour tout réel,

⏞

⏞

⏞

⏞

⏟

( )

⏞

⏞

Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen




21

⏞

⏞

⏟

Par conséquent, pour tout réel, . Il en résulte que la fonction est strictement croissante sur .

Nous venons de montrer que la fonction est continue (car dérivable) et strictement croissante sur et par

ailleurs que

et

. Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs

intermédiaires, il existe un unique réel

(c’est-à-dire ) tel que

l’équation admet une unique solution réelle.

Autrement dit,

si | | , alors l’équation admet une unique solution dans

si | | , alors l’équation n’admet pas de solution dans

Remarque : La fonction réalise une bijection de dans . Sa courbe représentative admet deux

asymptotes horizontales d’équations et .

Courbe

représentative de

| |

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