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informe de temario escrito de fisica mate
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Joseline Andrea Azurdia Marroquín 1
JOSELINE ANDREA AZURDIA MARROQUÍN 201213710
25 DE SEPTIEMBRE DE 2015
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA ESCUELA DE FORMACIÓN DE PROFESORES DE ENSEÑANZA MEDIA
EFPEM PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
INFORME TEMÁTICO ESPECIAL DE GRADUACIÓN
EXÁMEN ESCRITO
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
ESCUELA DE FORMACION DE PROFESORES DE ENSEÑANZA MEDIA.
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA.
JOSELINE ANDREA AZURDIA MARROQUÍN.
201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 1
INDICE
INTRODUCCIÓN GENERAL…………………………………………………... 1
FISICA…………………………………………………...……………………….. 2
HIDROSTÁTICA…………………………………………………...................... 3
PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 4
PLAN DE CLASE………………………………………………………… 8
CONTENIDO…………………………………………………………….. 10
HOJA DE TRABAJO CON CLAVE……………………………………. 42
POTENCIAL ELECTRICO……………………………………………………... 43
PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 44
PLAN DE CLASE………………………………………………………… 48
CONTENIDO……………………………………………………………... 50
HOJA DE TRABAJO CON CLAVE…………………………………….. 74
MATEMÁTICA…………………………………………………………………… 75
LA ELIPSE……………………………………………………………………….. 76
PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 77
PLAN DE CLASE………………………………………………………… 81
CONTENIDO…………………………………………………………….. 83
HOJA DE TRABAJO CON CLAVE……………………………………. 99
FACTORIZACIÓN………………………………………………………………. 101
PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 102
PLAN DE CLASE………………………………………………………… 106
CONTENIDO…………………………………………………………….. 108
HOJA DE TRABAJO CON CLAVE……………………………………. 123
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 1
INTRODUCCIÓN GENERAL
La Universidad de San Carlos de Guatemala, consciente de su rol como educador
profesional, en todos los ámbitos del conocimiento, estableció la carrera de Profesores
de Enseñanza Media especializada en Ciencias de la Matemática y Física, la cual está
adscrita a la Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media -EFPEM-.
Previo a la graduación como profesor de enseñanza media, es necesario ejecutar un
examen privado de graduación, el cual tiene el propósito de permitir que el estudiante
demuestre su preparación mediante una clase modelo y el conocimiento de las
ciencias especializadas por medio de un documento escrito.
Dominar los temas de la especialidad de la carrera, demuestra que el docente es capaz
de transmitir el conocimiento sin ningún problema, y buscar la forma de facilitar el
aprendizaje del alumno, por medio de la didáctica y la pedagogía aprendida.
En el presente informe se hace un desglose un informe de los temas a desarrollar de
la especialidad del estudiante, en este caso serán temas de Física y Matemática.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 2
FÍSICA
EXÁMEN ESCRITO
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 3
25-9-2015
1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 4
INTRODUCCIÓN
Muchos tipos de movimiento se repiten una y otra vez: la vibración de un cristal de cuarzo
en un reloj de pulso, la péndola oscilante de un reloj con pedestal, las vibraciones sonoras
producidas por un clarinete o un tubo de órgano y el movimiento periódico de los pistones
de un motor de combustión. Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza
por una posición de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posición y se suelta,
entra en acción una fuerza o torca para volverlo al equilibrio. Sin embargo, para cuando
llega ahí, ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite continuar su movimiento
hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado nuevamente hacia su posición
de equilibrio. Imagine una pelota que rueda de un lado a otro dentro de un tazón redondo,
o un péndulo que oscila pasando por su posición vertical. Dicho movimiento periodico se
da en los sistemas masa-resorte y los péndulos, que es el movimiento armónico simple
y la deducción de las ecuaciones de aplicación.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 5
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Estudiar la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple de objetos que
aplican estos movimientos como.
Calcular experimentalmente la constante de movimiento armónico simple de un
resorte oscilando.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar el trabajo realizado al estirar un resorte.
Establecer la constante k de un resorte a través del estudio de la deformación de un resorte.
Comparar los cambios de energía potencial gravitacional y de energía potencial elástica al pasar el sistema cuerpo – resorte oscilando entra la posición extrema superior e inferior.
Construir experimentalmente la relación entre fuerza aplicada de un resorte.
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CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
El tipo de oscilación más sencillo sucede cuando la fuerza de restitución 𝐹𝑥 es
directamente proporcional al desplazamiento 𝑥 con respecto al equilibrio. Esto ocurre si
el resorte es ideal y obedece la ley de Hooke. Puede ser un resorte, un alambre, una
varilla, etc. es aquel que regresa a su configuración original después de haberse
deformado y luego liberado. Más aún, cuando dicho sistema se estira una distancia 𝑥
(para compresión, 𝑥 es negativa), la fuerza restauradora ejercida por el resorte está dada
por la ley de Hooke.
𝐹 = −𝑘𝑥
El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene dirección opuesta al
desplazamiento. La constante del resorte (o elástica) 𝑘 tiene unidades de 𝑁/𝑚 y es una
medida de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoría de los resortes obedecen la ley de
Hooke si las deformaciones son pequeñas.
En algunas ocasiones es útil expresar la ley de Hooke en términos de la fuerza externa
𝐹𝑒𝑥𝑡 necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad 𝑥. Esta fuerza es el negativo de
la fuerza restauradora, y por tanto
𝐹𝑒𝑥𝑡 = −𝑘𝑥
Esta ecuación da la magnitud y el signo correctos de la fuerza, ya sea 𝑥 positivo, negativo
o cero. La constante de fuerza 𝑘 siempre es positiva y tiene unidades de 𝑁/𝑚 (también
resultan útiles las unidades de 𝑘𝑔/𝑠2). Estamos suponiendo que no hay fricción, así que
la ecuación da la fuerza total que actúa sobre el cuerpo. Si la fuerza de restitución es
directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio, según la
ecuación, la oscilación se denomina movimiento armónico simple, que se abrevia MAS.La
aceleración 𝑎𝑥 = 𝑑2𝑥/𝑑𝑡2 = 𝐹𝑥/𝑚 de un cuerpo en MAS está dada por
𝑎𝑥 =𝑑2𝑥
𝑑𝑡2= −
𝑘
𝑚𝑥
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 7
DEFINICIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO Es el movimiento vibratorio que experimenta un sistema que obedece la ley de Hooke.
La figura ilustra un movimiento armónico simple (MAS). Debido a la semejanza de su
gráfica con las curvas de las funciones seno y coseno, el MAS se llama con frecuencia
movimiento sinusoidal o movimiento armónico. Una característica central del MAS es que
el sistema oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que lo hace armónico
“simple”.
CIRCULO DE REFERENCIA Suponga que un punto 𝑃 se mueve con rapidez constante |𝑣0| alrededor de un círculo,
como se muestra en la figura. Este círculo se llama círculo de referencia para el MAS. El
punto 𝐴 es la proyección del punto 𝑃 sobre el eje 𝑥 , que coincide con el diámetro
horizontal del círculo. El movimiento del punto 𝐴 de ida y vuelta en torno al punto 𝑂 como
centro es el MAS. La amplitud del movimiento es 𝑥0, el radio del círculo. El tiempo que
emplea 𝑃 en dar una vuelta alrededor del círculo es el periodo 𝑇 del movimiento. La
velocidad, 𝑣0, del punto 𝐴 tiene una componente escalar en 𝑥 de
𝑣𝑥 = −|𝑣0| sin 𝜃
Cuando esta cantidad es positiva, �⃗�𝑥 apunta en la dirección 𝑥 positiva; cuando es
negativa, �⃗�𝑥 apunta en la dirección 𝑥 negativa.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 8
PERIODO, RAPIDEZ ANGULAR FRECUENCIA DEL MAS
Periodo El periodo de un movimiento periódico de un sistema, uno que oscila o rota de manera
repetitiva, es el tiempo que requiere el sistema para completar un ciclo completo. En el
caso de la vibración, es el tiempo total para el movimiento combinado, atrás y adelante,
del sistema. El periodo es el número de segundos por ciclo.
El periodo de las oscilaciones cuando la fuerza es elástica depende de la masa del móvil.
𝑇 =1
𝑓=
2𝜋
𝜔= 2𝜋 √
𝑘
𝑚
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Rapidez Angular Cuando un cuerpo comienza a oscilar en un MAS, no se puede elegir el valor de , pues
está predeterminado por los valores de 𝑘 y 𝑚 . Las unidades de 𝑘 son 𝑁/𝑚 , o bien,
𝑘𝑔/𝑠2, así que 𝑘/𝑚 está en (𝑘𝑔 𝑠2⁄ )/𝑘𝑔 = 𝑠−2. Cuando se obtiene la raíz cuadrada en al
ecuación anterior se obtiene 𝑠−1 o , mejor dicho, 𝑟𝑎𝑑/𝑠, porque se trata de una frecuencia
angular.
La rapidez angular es la cantidad que conecta la oscilación y el movimiento circular. Así
se interpreta 𝜔 como una expresión de la frecuencia angular del movimiento armónico
simple para un cuerpo de masa 𝑚, sobre el que actúa una fuerza de restitución con
constante de fuerza 𝑘:
𝜔 = √𝑘
𝑚
Frecuencia Es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el número de ciclos
por segundo. Como 𝑇 es el tiempo para un ciclo, 𝑓 = 1/𝑇. La unidad de frecuencia es el
hertz, donde un 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜/𝑠 es un hertz (𝐻𝑧).
𝑓 =𝜔
2𝜋=
1
2𝜋√
𝑘
𝑚
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 10
PERIODO Y AMPLITUD El periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple están determinadas solamente
por la masa 𝑚 y la constante de fuerza 𝑘. En el movimiento armónico simple, el periodo
y la frecuencia no dependen de la amplitud 𝐴. Para valores dados de 𝑚 y 𝑘, el tiempo de
una oscilación completa es el mismo, sea la amplitud grande o pequeña.
Amplitud Una mayor 𝐴 implica que la masa alcanza valores mayores de y se somete a fuerzas de
restitución mayores. Esto aumenta la rapidez media del cuerpo durante un ciclo completo,
lo cual compensa exactamente la necesidad de recorrer una mayor distancia, de modo
que el tiempo total es el mismo.
En esencia las oscilaciones de un diapasón son movimiento armónico simple; ello implica
que siempre vibra con la misma frecuencia, sea cual fuere la amplitud. Esto permite usar
el diapasón como estándar para tono musical. Si no fuera por esta característica del
movimiento armónico simple, sería imposible hacer que los relojes mecánicos y
electrónicos que conocemos fueran exactos, o tocar afinadamente la mayoría de los
instrumentos musicales. Si encontramos un cuerpo oscilante cuyo periodo sí depende de
la amplitud, su movimiento no es armónico simple.
DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS
Desplazamiento
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑥 = 𝐴 cos 𝜃,.describe la coordenada x para ambas situaciones. Si, en 𝑡 = 0, el fasor forma
un ángulo 𝜙, con el eje +𝑥, entonces en cualquier instante posterior t, este ángulo será
𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝜙. Sustituyendo y dando la ecuación anterior.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 11
Velocidad
A partir de la definición de velocidad de una partícula se obtiene: 𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑣 = −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑣 = 𝜔√𝐴2 − 𝑥2
𝑣 =𝑘
𝑚√𝑥0
2 − 𝑥2
La velocidad es función periódica del tiempo, su valor depende de la posición de la partícula, presenta un valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos.
Velocidad máxima
𝑣𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔
Aceleración
A partir de la definición de aceleración de una partícula se obtiene: 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎 = −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑎 = −𝜔2𝑥
𝑎 = −𝑘
𝑚𝑥
La aceleración es función periódica del tiempo, su valor depende de la posición de la
partícula. La aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario,
Presenta un valor máximo en los extremos de la trayectoria y se anula en el centro
Aceleración máxima
𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔2
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 12
ÁNGULO DE FASE Y AMPLITUD EN EL MAS
Ángulo de fase Si se conoce la posición y las velocidades iniciales 𝑥0 y 𝑣0𝑥 del cuerpo oscilante, se
puede determinar la amplitud 𝐴 y el ángulo de fase 𝜙 como sigue. 𝑣0𝑥 es la velocidad
inicial en 𝑡 = 0; si se sustituye 𝑣0𝑥 = 𝑣𝑥 y 𝑡 = 0 en la ecuación de la velocidad se ve que:
𝑣0𝑥 = −𝜔𝐴 sin 𝜙
Para calcular 𝜙, se divide la ecuación anterior entre la de desplazamiento cuando 𝑡 = 0.
Esto elimina 𝐴 y produce una ecuación de la que se puede despejar 𝜙:
𝑣0𝑥
𝑥0=
−𝜔𝐴 sin 𝜙
𝐴 cos 𝜙= −𝜔 tan 𝜙
𝜙 = tan−1 (−𝑣0𝑥
𝜔𝑥0)
Amplitud Para calcular la amplitud es fácil si se conoce 𝑥0 y 𝑣0𝑥 . La deducción es la siguiente:
Tomar la ecuación de desplazamiento cuando 𝑡 = 0
𝑥0 = 𝐴 cos 𝜙
Elevar al cuadrado:
(𝑥0)2 = (𝐴 cos 𝜙)2
𝑥02 = 𝐴2 cos 𝜙2
Tomar la ecuación de velocidad en 𝑥 cuando 𝑡 = 0
𝑣0𝑥 = −𝜔𝐴 sin 𝜙
Dividir entre 𝜔:
𝑣0𝑥
𝜔=
−𝜔𝐴 sin 𝜙
𝜔
𝑣0𝑥
𝜔= −𝐴 sin 𝜙
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 13
Elevar al cuadrado:
(𝑣0𝑥
𝜔)
2
= (−𝐴 sin 𝜙)2
𝑣0𝑥2
𝜔2= 𝐴2 sin 𝜙2
Sumar ambas ecuaciones
𝑥02 = 𝐴2 cos 𝜙2
𝑣0𝑥2
𝜔2=
𝐴2 sin 𝜙2
𝑥02 +
𝑣0𝑥2
𝜔2= 𝐴2(sin 𝜙2 + cos 𝜙2)
𝑥02 +
𝑣0𝑥2
𝜔2= 𝐴2
√𝑥02 +
𝑣0𝑥2
𝜔2= 𝐴
ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO Una partícula animada de un MAS se llama oscilador mecánico, tiene energía cinética y
potencial. Cinética porque hay movimiento y potencial porque es producido por una
fuerza conservativa.
ENERGÍA CINÉTICA
𝐸𝑐 = 1
2 𝑚𝑣2 =
1
2 𝑚𝑘 (𝐴2 − 𝑥2) =
1
2 𝑘𝐴2 𝑐𝑜𝑠2 (𝜔𝑡 + 𝜑)
Es periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un
valor máximo en el centro y mínimo en los extremos.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 14
ENERGÍA POTENCIAL
𝐸𝑝 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 1
2 𝑘𝑥2 =
1
2 𝑘𝐴2𝑠𝑒𝑛2 (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑥
0
𝑥
0
Es periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un
valor máximo en los extremos y mínimo en el centro.
ENERGÍA MECÁNICA
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 1
2 𝑘 (𝐴2 − 𝑥2 ) +
1
2 𝑘𝑥2 =
1
2 𝑘 𝐴2
No depende de la posición, solamente depende de las características del oscilador y de la amplitud. En ausencia de rozamientos (solo fuerzas
conservativas) es constante y la A también es
constante.
La única fuerza que actúa es el peso que se puede descomponer en su componente normal y tangencial. La componente normal se ve contrarrestada por la tensión del hilo y la componente
tangencial es la que va a dar lugar a la aceleración del movimiento.
𝐹𝑇 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ − 𝑚𝑔 𝜃
Teniendo en cuenta esta aproximación para ángulos muy pequeños y la expresión de la
fuerza recuperadora:
𝐹𝑇 = −𝑚𝑔 𝑥
𝑙
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 15
𝐹𝑇 = −𝑚𝜔2 𝑥
𝜔2 = 𝑔
𝑙 →
4𝜋2
𝑇2 =
𝑔
𝑙
Solo si es pequeño se trata de una MAS
𝑇 = 2𝜋 √𝑙
𝑔
EL RESORTE (Douglas, 2008) Cuando un resorte esté en equilibrio, sobre él actúa el peso del cuerpo (y el resorte), que actúan hacia abajo y la reacción resorte. Si separamos hacia abajo una pequeña distancia x de la posición de equilibrio, el resorte
ejerce una fuerza recuperadora en sentido contrario de modo que cuando soltemos solo
actuará esta fuerza
Dado que la fuerza responsable del movimiento es la de la Ley de Hooke dará lugar a un
movimiento armónico simple de aceleración.
𝐹 = 𝑘𝑥
𝐹 = 𝑚 𝑤2𝑥
𝐾 = 𝑚 𝑤2
o 𝑇 = 2𝜋 √𝑚
𝑘
El periodo del resorte será mayor cuanto mayor sea la masa, oscilará más lentamente y
será menor cuanto mayor sea la constante recuperadora.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 16
CONCLUSIONES
Cuando el resorte se estira o se comprime se aplica una fuerza a este, esta acción es el
trabajo que realiza en el resorte.
La constate de k es la constante de estiramiento de un resorte, un valor que representa
a cada resorte, que se mide en N/m, el cual refleja la fuerza que se aplica al resorte entre
el estiramiento que tiene el mismo.
Como estudio de historia El señor Robert Hooke (1635-1703), encontró que la
deformación y la fuerza elástica eran directamente proporcionales. Fe ∝ Δx. Esto es igual
tanto para los estiramientos o elongaciones como para las compresiones, es decir que el
estiramiento depende de la fuerza que se le aplique al resorte.
RECOMENDACIONES
Cuando se trata de hacer el experimento de resorte de una partícula a pueden salir
diferentes datos si no se tiene distinto tipos de resortes según su estiramiento.
En una diferencia de cálculos de constantes de resorte se puede establecer que la
constante k se toma como un valor único que es utilizado para cualquier tipo de resorte
ya definido en la teoría.
En lo experimental se debe tener cuidado a la hora de manipular el resorte de la partícula
para su movimiento armónico y cálculo de ellos.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 17
BIBLIOGRAFIA
Douglas, G. (2008). Movimiento Armonico simple. En G. Douglas, Fisica Universitaria
para Ciencias e Ingenieria (págs. 416-420). México: Mc Graw Hill.
Semansky, S. &. (2009). Movimiento Armonico Simple. En S. &. Semansky, Física
Universitaria I (págs. 424-428). México: Pearson.
Serway, R. (2008). MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. En R. Serway, Fisica
Universitaria Volumen I (págs. 456-458). México: Cencage Learning.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 18
25-9-2015
2. CIRCUITO RLC
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 19
INTRODUCCIÓN
La física es una ciencia que se desarrolla a distintas escalas: hay descripciones que,
aunque no sean perfectas, permiten entender determinados fenómenos que involucren
ciertas escalas de tamaño o de energía, sin necesidad de utilizar teorías más avanzadas.
Es por ello que a lo largo del tiempo, Físicos con éxitos o con plantear teorías han
realizado investigaciones que mejoren la calidad de vida utilizando un tipo de corriente
diferente, como bien puede ser la corriente directa o alterna, en este caso, se basa en la
corriente alterna y sus componentes, conocer la importancia de cada uno de ellos y del
uso de los transformadores.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 20
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Estudiar conceptos de la corriente Alterna
Comprender sobre los circuitos LRC y sus componentes.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Conocer la corriente que actúa sobre un transformador.
Aplicar los conocimientos adquiridos en el tema mencionado para la resolución de
problemas del tema.
Definir la Potencia en circuitos de corriente alterna.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 21
CIRCUITOS RLC
George Westinghouse se inclinaba por la corriente alterna (ca), con
voltajes y corrientes que varían en forma sinusoidal. Westinghouse
argumentaba que con la ca se podían usar transformadores (los
cuales estudiaremos en este capítulo) para aumentar y reducir el
voltaje, pero no con cd; los voltajes bajos son más seguros de usar
por los consumidores, pero los altos voltajes y las
correspondientes corrientes bajas son mejores para la
transmisión de energía a grandes distancias para reducir al
mínimo las pérdidas de i2R en los cables. Finalmente prevaleció
el punto de vista de Westinghouse, y en la actualidad la mayoría
de los sistemas de distribución de energía para uso doméstico e
industrial operan con corriente alterna. Cualquier aparato que se
conecte a una toma de pared usa ca, y muchos dispositivos
energizados con baterías, como radios y teléfonos inalámbricos,
emplean la cd que suministran las baterías para crear o amplificar
corrientes alternas. Los circuitos de los equipos modernos de
comunicación, incluidos los localizadores y la televisión, también utilizan ampliamente la
ca.
EL CIRCUITO RLC EN SERIE Un inductor con inductancia L y un resistor de resistencia R están conectados en serie
entre las terminales de un capacitor cargado, para formar un circuito en serie L-R-C.
Como antes, el capacitor comienza a descargarse tan pronto como el circuito está
completo. Pero en virtud de las pérdidas
NIKOLA TESLA Físico estadounidense (1856-1943) Tesla nació en Croacia pero pasó casi toda su vida profesional como inventor en Estados Unidos. Fue una figura clave en el perfeccionamiento de la electricidad de corriente alterna, transformadores de alta tensión y transporte de energía eléctrica mediante líneas de transmisión de CA. El punto de vista de Tesla estuvo en desacuerdo con las ideas de Thomas Edison, quien se dedicó al uso de corriente directa para transmitir energía eléctrica. El método de CA de Tesla ganó.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 22
Muchos de los circuitos de ca usados en sistemas
electrónicos prácticos implican resistencia, reactancia
inductiva y reactancia capacitiva. Un ejemplo sencillo es un
circuito en serie que contiene un resistor, un inductor, un
capacitor y una fuente de ca, como el que se ilustra en la
figura.
En este circuito, en virtud de la regla de Kirchhoff de las
espiras, el voltaje total instantáneo vad entre las terminales
de los tres componentes es igual al voltaje de la fuente en
ese instante. Demostraremos que el fasor que representa este voltaje total es la suma
vectorial de los fasores de los voltajes individuales.
Supongamos que la fuente suministra una corriente 𝑖 dada por 𝑖 = 𝐼 cos 𝜔𝑡. Como los
elementos de circuito están conectados en serie, la corriente en cualquier instante es la
misma en cada punto del circuito. Así, un solo fasor I, con longitud proporcional a la
amplitud de la corriente, representa la corriente en todos los elementos de circuito. Por lo
que se representa los voltajes instantáneos entre los extremos de 𝑅, 𝐿 y 𝐶 mediante los
símbolos 𝑣𝑅 , 𝑣𝐿 𝑦 𝑣𝐶 y los voltajes máximos con los símbolos 𝑉𝑅 , 𝑉𝐿 𝑦 𝑉𝐶. Se denota los
voltajes instantáneos y máximos de la fuente con 𝑣 y 𝑉. Por lo que queda demostrado
que la diferencia de potencial entre las terminales de un resistor está en fase con la
corriente en el resistor y que su valor máximo 𝑉𝑅 está dado por la ecuación:
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 23
El fasor 𝑉𝑅 en la figura “b” en fase con el fasor de corriente I, representa el voltaje a través
del resistor. Su proyección en el eje horizontal en cualquier instante da la diferencia de
potencial instantánea 𝑣𝑅 .
El voltaje a través de un inductor se adelanta 90º a la corriente. Su amplitud de voltaje
está dada por la ecuación:
𝑉𝐿 = 𝐼𝑋𝐿
El fasor 𝑉𝐿 en la misma figura representa el voltaje a través del inductor, y su proyección
sobre el eje horizontal en cualquier instante es igual a 𝑣𝐿.
El voltaje a través de un capacitor se retrasa 90º con respecto a la corriente. Su amplitud
de voltaje está dada por la ecuación:
𝑉𝐶 = 𝐼𝑋𝐶
El fasor 𝑉𝐶 en la misma figura representa el voltaje a través del capacitor y su proyección
en el eje horizontal en cualquier instante es igual a 𝑣𝑐.
La diferencia de potencial instantánea 𝑣 entre las terminales 𝑎 y 𝑑 es igual en todo
instante a la suma (algebraica) de las diferencias de potencial 𝑣𝑅 , 𝑣𝐿 𝑦 𝑣𝑐. Es decir, es
igual a la suma de las proyecciones de los fasores 𝑉𝑅 , 𝑉𝐿 𝑦 𝑉𝑐 . Pero la suma de las
proyecciones de estos fasores es igual a la proyección de su suma vectorial. Por lo tanto,
la suma de vectores V debe ser el fasor que represente el voltaje de fuente v y el voltaje
total instantáneo 𝑣𝑎𝑑 a través de la serie de elementos.
Para realizar esta suma vectorial primero se resta el fasor 𝑉𝑐 del fasor 𝑉𝐿. (Estos dos
fasores siempre están a lo largo de la misma línea, con sentidos opuestos.) Esto da el
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 24
fasor 𝑉𝐿 − 𝑉𝑐, que siempre forma un ángulo recto con el fasor 𝑉𝑅, por lo que, según el
teorema de Pitágoras, la magnitud del fasor V es:
𝑉 = √𝑉𝑅2 + (𝑉𝐿 − 𝑉𝐶)2 = √(𝐼𝑅)2 + (𝐼𝑋𝐿 − 𝐼𝑋𝐶)2 = 𝐼√𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2
Se define impedancia “Z” de un circuito de ca como la razón entre la amplitud del voltaje
entre las terminales del circuito y la amplitud de la corriente en el circuito. De la ecuación
anterior, la impedancia del circuito en serie LRC es:
𝑍 = √𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2
Por lo tanto:
𝑉 = 𝐼√𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 = 𝐼𝑍
IMPEDANCIA Y ANGULO DE FASE
Impedancia La ecuación es análoga a V = IR, con la impedancia Z de un circuito de ca en el papel de
la resistencia R en un circuito de cd. Así como la corriente directa tiende a seguir la
trayectoria de menor resistencia, la corriente alterna tiende a seguir la trayectoria de
mínima impedancia.
𝑉 = 𝐼√𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 = √𝑅2 + [𝜔𝐿 − (1 𝜔𝐶⁄ )]2
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 25
Angulo de Fase
El ángulo entre los fasores de voltaje y de corriente es el ángulo de fase del voltaje de
fuente v con respecto a la corriente i; es decir, es el ángulo con el que el voltaje de fuente
se adelanta a la corriente. De acuerdo con el diagrama,
tan 𝜙 =𝑉𝐿 − 𝑉𝐶
𝑉𝑅=
𝐼(𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)
𝐼𝑅=
𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
𝑅
tan 𝜙 =𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶⁄
𝑅
POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Para un circuito de ca con corriente instantánea i y amplitud de corriente I,
consideraremos uno de sus elementos a través del cual la diferencia de potencial
instantánea es v, con amplitud de voltaje V. La potencia instantánea p entregada a este
elemento de circuito es
𝑝 = 𝑣𝑖
Primero, se ve lo que significa para los elementos individuales de circuito. Se supone que
en cada caso
𝑖 = 𝐼 cos 𝜔𝑡
Potencia en un Resistor La curva de potencia correspondiente a un resistor es simétrica con respecto a un valor
igual a la mitad de su valor máximo VI, así que la potencia media Pmed es:
𝑃𝑚𝑒𝑑 =1
2𝑉𝐼
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 26
Potencia de un Inductor A continuación, conectamos la fuente a un inductor L, como en la figura “a”. El voltaje v
= vL se adelanta 90° a la corriente. Cuando se multiplican las curvas de v e i, el producto
vi es negativo durante la mitad del ciclo cuando v e i tienen signos opuestos. La curva de
potencia, que se aprecia en la figura “b”, es simétrica con respecto al eje horizontal; es
positiva la mitad del tiempo y negativa la otra mitad, y la potencia media es igual a cero.
Cuando p es positiva, la energía se suministra para establecer el campo magnético en el
inductor; cuando p es negativa, el campo desaparece y el inductor devuelve energía a la
fuente. La transferencia neta de energía en un ciclo es igual a cero.
(Semansky, 2009)
Potencia de un Capacitor
Por último, conectamos la fuente a un capacitor C, como en la figura “a”. El voltaje v = vC
se retrasa 90° con respecto a la corriente. La figura “c” muestra la curva de la potencia;
de nuevo, la potencia media es igual a cero. Se suministra energía para cargar el
capacitor y se devuelve a la fuente cuando el capacitor se descarga. La transferencia
neta de energía en un ciclo es, una vez más, igual a cero.
Potencia de un Circuito de “ca” En cualquier circuito de ca, con cualquier combinación de resistores, capacitores e
inductores, el voltaje v a través de todo el circuito tiene un ángulo de fase con respecto
a la corriente i. Así, la potencia instantánea p está dada por:
𝑝 = 𝑣𝑖
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 27
El valor medio de cosωtsenωt es cero porque este producto es igual a ½ sen2ωt, cuyo
promedio en un ciclo es cero. Por lo tanto, la potencia media Pmed es:
𝑃𝑚𝑒𝑑 = 1
2𝑉𝐼 cos 𝜙 = 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 cos 𝜙
RESONANCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Gran parte de la importancia práctica de los circuitos L-R-C en serie estriba en la forma
en que tales circuitos responden a las fuentes de diferente frecuencia angular. Por
ejemplo, un tipo de circuito sintonizador usado en los receptores de radio es simplemente
un circuito L-R-C en serie. Una señal de radio de cualquier frecuencia dada produce una
corriente de la misma frecuencia en el circuito receptor, pero la amplitud de la corriente
es máxima si la frecuencia de la señal es igual a la frecuencia particular a la cual se
“sintoniza” el circuito receptor. Este efecto se llama resonancia.
Comportamiento de un circuito en Resonancia A medida que varía la frecuencia angular ω de la fuente, la amplitud de corriente I =V/Z
se modifica; el valor máximo de I se presenta a la frecuencia a la que la impedancia Z es
mínima. Este crecimiento máximo de la amplitud de corriente a cierta frecuencia se llama
resonancia. La frecuencia angular ω0 a la que se presenta el máximo de resonancia se
denomina frecuencia angular de resonancia. Ésta es la frecuencia angular a la que las
reactancias inductiva y capacitiva son iguales; por lo tanto, en la resonancia,
𝜔0 =1
√𝐿𝐶
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 28
TRANSFORMADORES (Douglas, 2008)Una de las grandes ventajas de la ca sobre la cd en la distribución de
energía eléctrica es que es mucho más fácil subir y bajar los voltajes con la ca que con
la cd. Para la transmisión a grandes distancias es deseable usar un voltaje tan elevado y
una corriente tan pequeña como sea posible; esto reduce las pérdidas de i2R en las líneas
de transmisión, y permite utilizar alambres delgados, con lo cual se reducen los costos
de los materiales. Las líneas de transmisión actuales operan de manera rutinaria con
voltajes eficaces del orden de 500 kV. Por otro lado, consideraciones de seguridad y
requerimientos de aislamiento imponen voltajes relativamente bajos en el equipo de
generación y en las líneas de distribución domésticas e industriales. El voltaje estándar
para el cableado doméstico es de 120 V en Estados Unidos y Canadá, y de 240 V en
muchos otros países. La conversión necesaria del voltaje se lleva a cabo por medio de
transformadores.
El símbolo de un transformador con núcleo de hierro en un circuito, como los que se usan
en los sistemas de distribución, es:
La fuente de ca ocasiona una corriente alterna en el primario, lo que establece un flujo
alterno en el núcleo; esto induce una fem en cada devanado, de acuerdo con la ley de
Faraday.
La fem inducida en el secundario da lugar a una corriente alterna en el secundario, y esto
entrega energía al dispositivo al que está conectado el secundario. Todas las corrientes
y las fem tienen la misma frecuencia que la fuente de ca.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 29
La razón entre la fem secundaria 2 y la fem primaria 1 es, por lo tanto, igual en cualquier
instante a la razón entre las espiras del secundario y las espiras del primario:
휀2
휀1=
𝑁2
𝑁1
Las fem inducidas 1 y 2 son iguales a los voltajes entre terminales a través del primario
y el secundario, respectivamente; por lo tanto,
𝑉2
𝑉1=
𝑁2
𝑁1
(Semansky, 2009)
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 30
CONCLUSIONES
Un alternador o fuente de ca produce una fem que varía en forma sinusoidal con el
tiempo. Un voltaje o corriente sinusoidal se puede representar mediante un fasor, que es
un vector que gira en sentido antihorario con velocidad angular constante v igual a la
frecuencia angular de la cantidad sinusoidal. Su proyección sobre el eje horizontal en
cualquier instante representa el valor instantáneo de la cantidad
El voltaje entre las terminales de un resistor R está en fase con la corriente. El voltaje
entre las terminales de un inductor L se adelanta a la corriente en 90°
En un circuito de ca general, las amplitudes del voltaje y la corriente están relacionadas
mediante la impedancia del circuito Z.
Un transformador se utiliza para transformar los niveles de voltaje y de corriente en un
circuito de ca.
RECOMENDACIONES
La corriente alterna presenta ventajas decisivas de cara a la producción y transporte de
la energía eléctrica, respecto a la corriente continua: Generadores y motores más baratos
y eficientes, y menos complejos, posibilidad de transformar su tensión de manera simple
y barata (transformadores), también en la posibilidad de transporte de grandes
cantidades de energía a largas distancias con un mínimo de sección de conductores ( a
alta tensión), los motores muy simples, (como el motor de inducción asíncrono de rotor
en cortocircuito) y la reducción de algunos fenómenos eléctricos indeseables
(magnetización en las maquinas, y polarizaciones y corrosiones electrolíticas en pares
metálicos).
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 31
BIBLIOGRAFÍA
Douglas, G. (2008). CORRIENTE ALTERNA. En G. Douglas, Fisica Universitaria para
Ciencias e Ingenieria II (págs. 416-420). México: Mc Graw Hill.
Semansky, S. &. (2009). Corriente Alterna. En S. &. Semansky, Física Universitaria II
(págs. 424-428). México: Pearson.
Serway, R. (2008). CORRIENTE ALTERNA. En R. Serway, Fisica Universitaria Volumen
II (págs. 456-458). México: Cencage Learning.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 32
25-9-2015
3. FLUIDOS Y FLUJOS IDEALES
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 33
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Estudiar la importancia de los fluidos y flujos ideales
Comprender la importancia de las ecuaciones de continuidad de Bernoulli para los
fluidos ideales y sus aplicaciones
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Comprender la importancia de un flujo y el fluido ideal
Diferenciar el flujo laminar contra el flujo de fluido turbulento.
Conocer la rapidez del flujo en un tubo.
Utilizar la ecuación de Bernoulli para relacionar la presión y la rapidez de flujo en
diferentes puntos de ciertos fluidos
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 34
FLUIDOS Y FLUJOS IDEALES
Se debe considerar el movimiento de un fluido. El flujo de fluidos suele ser
extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes de los rápidos de los ríos
o en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones se pueden representar con
modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideal es incompresible (su densidad
no puede cambiar) y no tiene fricción interna (llamada viscosidad). Los líquidos son
aproximadamente incompresibles en casi todas las situaciones, y también podemos tratar
un gas como incompresible si las diferencias de presión de una región a otra no son muy
grandes. La fricción interna en un fluido causa esfuerzos de corte cuando dos capas
adyacentes de fluido se mueven una en relación con la otra, como cuando un fluido fluye
dentro de un tubo o alrededor de un obstáculo. En algunos casos, se puede despreciar
estas fuerzas de corte en comparación con las fuerzas debidas a la gravedad y a
diferencias de presión.
El trayecto de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo.
Si el patrón global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tenemos un flujo estable.
En un flujo estable, cada elemento que pasa por un punto dado sigue la misma línea de
flujo. En este caso, el “mapa” de las velocidades del fluido en distintos puntos del espacio
permanece constante, aunque la velocidad de una partícula específica pueda cambiar
tanto en magnitud como en dirección durante su movimiento. Una línea de corriente es
una curva cuya tangente en cualquier punto tiene la
dirección de la velocidad del fluido en ese punto. Si el
patrón de flujo cambia con el tiempo, las líneas de corriente
no coinciden con las de flujo. Se considera sólo situaciones
de flujo estable, en las que las líneas de flujo y las de
corriente son idénticas.
Las líneas de flujo que pasan por el borde de un elemento de área imaginario, como el
área A en la figura, forman un tubo llamado tubo de flujo. De acuerdo con la definición de
línea de flujo, si el flujo es estable, el fluido no puede cruzar las paredes laterales de un
tubo de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 35
Se puede distinguir dos tipos principales de
flujo. Si el flujo es suave, de manera que las
capas vecinas del fluido se deslizan entre sí
suavemente, se dice que el flujo es
aerodinámico o laminar. En este tipo de flujo,
cada partícula del fluido sigue una trayectoria
uniforme, llamada línea de flujo, y esas
trayectorias no se cruzan entre sí (figura a).
Más allá de cierta rapidez, el flujo se vuelve turbulento. El flujo turbulento se caracteriza
por torbellinos pequeños y erráticos llamados remolinos (figura b).
Los remolinos absorben una gran cantidad de energía y aunque incluso en el flujo laminar
está presente una cierta cantidad de fricción interna, llamada viscosidad, ésta es mucho
mayor cuando el flujo es turbulento. Unas cuantas gotas de tinta o de colorante
derramadas en un líquido revelarán de inmediato si el flujo es laminar o turbulento.
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Se considera el flujo laminar estable de un fluido a través de un tubo cerrado como se
ilustra en la figura. Primero se determina cómo cambia la rapidez del fluido con el tamaño
del tubo. La tasa de flujo de masa (o flujo másico) se define como la masa ∆𝑚 de fluido
que pasa por un punto dado por unidad de tiempo ∆𝑡:
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 = ∆𝑚
∆𝑡
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 36
En la figura, el volumen de fluido que pasa por el punto 1 (es decir, por el área 𝐴1) en un
tiempo ∆𝑡 es 𝐴1∆ℓ1, donde ∆ℓ1 es la distancia que el fluido se desplaza en el tiempo ∆𝑡.
Como la velocidad del fluido que pasa por el punto 1 es 𝑣1 = ∆ℓ1/∆𝑡, la tasa de flujo de
masa que pasa por el área 𝐴1 es
∆𝑚1
∆𝑡=
𝜌1∆𝑉1
∆𝑡=
𝜌1𝐴1∆ℓ1
∆𝑡= 𝜌1𝐴1𝑣1
Donde ∆𝑉1 = 𝐴1∆ℓ1 es el volumen de la masa ∆𝑚1, y 𝜌1 es la densidad del fluido. De
forma similar, en el punto 2 (a través del área 𝐴2), la tasa de flujo es 𝜌2𝐴2𝑉2. Como ningún
fluido fluye por los lados, las tasas de flujo por 𝐴1 y 𝐴2 deben ser iguales. Por lo tanto,
como:
∆𝑚1
∆𝑡=
∆𝑚2
∆𝑡,
Tenemos
𝜌1𝐴1𝑣1 = 𝜌2𝐴2𝑣2
Ésta es la ecuación de continuidad.
Si el fluido es incomprensible (𝜌 no cambia con la presión), lo que es una aproximación
excelente para líquidos en la mayoría de los casos (y a veces también para gases),
entonces 𝜌1 = 𝜌2, y la ecuación de continuidad toma la forma
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
El producto 𝐴𝑣 representa la tasa de flujo de volumen (es decir, el volumen de fluido que
pasa por un punto dado por segundo), ya que ∆𝑉 ∆𝑡⁄ = 𝐴 ∆ℓ ∆𝑡⁄ = 𝐴𝑣, que en unidades
del SI es 𝑚3 𝑠⁄ . La ecuación anterior nos dice que donde el área transversal es grande,
la velocidad es pequeña, y donde el área es pequeña la velocidad es grande. Esto es
razonable y se comprueba al observar la corriente de un río, la cual fluye lentamente en
la pradera (donde el río es ancho) y aumenta su rapidez al pasar por una cañada
estrecha.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 37
ECUACIÓN DE BERNOULLI Para esclarecer del por qué un avión puede volar o por qué un bote de vela puede
desplazarse en contra del viento, son ejemplos del principio que descubrió Daniel
Bernoulli, en relación con los fluidos en movimiento. En esencia, el principio de Bernoulli
establece que donde la velocidad de un fluido es alta, la presión es baja, y donde la
velocidad es baja, la presión es alta. Por ejemplo, un fluido con mayor rapidez ejercería
una mayor fuerza sobre un obstáculo que se interpusiera en su trayecto. Sin embargo,
esto no es lo que se quiere decir al referirse a la presión en un fluido y, además, no se
considera los obstáculos que interrumpen el flujo.
Bernoulli desarrolló la ecuación que expresa este
principio de forma cuantitativa. para obtener la
ecuación de Bernoulli, se supone que el flujo es
estable y laminar, que el fluido es incomprensible
y que la viscosidad es muy pequeña, de manera
que se puede ignorar. Para generalizar, se
supone que el fluido se mueve en un tubo de
sección transversal no uniforme que varía de
altura con respecto a un nivel de referencia dado.
Se considera la cantidad de fluido y se calcula el
trabajo efectuado para moverlo desde la posición
indicada en la figura "a" a la posición representada
en la figura "b". Este proceso, el fluido que entra
por el área 𝐴1 fluye una distancia ∆ℓ1 y obliga al fluido en el area 𝐴2 a moverse una
distancia ∆ℓ2. El fluido a la izquierda del área 𝐴1 ejerce una presión 𝑃1 sobre la sección
de fluido y efectúa un trabajo.
𝑊1 = 𝐹1∆ℓ1 = 𝑃1𝐴1∆ℓ1
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 38
En el área 𝐴2, el trabajo efectuado sobre nuestra sección de fluido es
𝑊2 = −𝑃2𝐴2∆ℓ2
El signo negativo está presente porque la fuerza ejercida sobre el fluido es opuesta al
movimiento (el fluido mostrado en color efectúa trabajo sobre el fluido a la derecha del
punto 2). También la fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre el fluido. Como el efecto
neto del proceso mostrado en la figura es mover una masa 𝑚 de volumen
𝐴1∆ℓ1 (= 𝐴2∆ℓ2, ya que el fluido es incompresible) del punto 1 al punto 2, el trabajo que
realiza la gravedad es
𝑊3 = −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1)
Donde 𝑦2 y 𝑦1 son las alturas del centro del tuo arriba de un nivel de referencia arbitrario.
En el caso mostrado en la figura, este término es negativo ya que el movimiento es
ascendente, contra la fuerza de gravedad. El trabajo neto 𝑊 efectuado sobre el fluido es:
𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3
𝑊 = 𝑃1𝐴1∆ℓ1 − 𝑃2𝐴2∆ℓ2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1
De acuerdo con el principio del trabajo y la energía, el trabajo neto efectuado sobre un
sistema es igual al cambio de su energía cinética. Así:
1
2𝑚𝑣2
2 −1
2𝑚𝑣1
2 = 𝑃1𝐴1∆ℓ1 − 𝑃2𝐴2∆ℓ2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1
La masa 𝑚 tiene un volumen 𝐴1∆ℓ1 = 𝐴2∆ℓ2 para un fluido incompresible. Se puede
sustituir 𝑚 = 𝜌𝐴1∆ℓ1 = 𝜌𝐴2∆ℓ2 y taibmén dividir entre 𝐴1∆ℓ1 = 𝐴2∆ℓ2, para obtener:
1
2𝜌𝑣2
2 −1
2𝜌𝑣1
2 = 𝑃1 − 𝑃2 − 𝜌𝑔𝑦2 + 𝜌𝑔𝑦1
Que reordenando para darle la forma
𝑃1 +1
2𝜌𝑣1
2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃2 +1
2𝜌𝑣2
2 + 𝜌𝑔𝑦2
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 39
Ésta es la ecuación de Bernoullli. Como los puntos 1 y 2 pueden ser dos puntos
cualesquiera a lo largo de un tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli se puede escribir
como
𝑃 +1
2𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
La ecuación de Bernoulli es una expresión de la ley de la conservación de la energía, ya
que se obtuvo a partir del principio del trabajo y la energía.
APLICACIONES
Medidor Venturi Un tubo de Venturi es, en esencia, un tubo con una constricción estrecha (la garganta).
El flujo del aire se acelera al pasar por esta constricción, por lo que la presión es menor.
Un medidor Venturi (figura) sirve para medir la rapidez de flujo de gases y líquidos,
incluida la velocidad de la sangre en las arterias. Ejemplo de ello cuando el humo sube
por una chimenea y se debe en parte a que el aire caliente se eleva (es menos denso y,
por lo tanto, flota), aunque el principio de Bernoulli también desempeña un papel. Cuando
el viento sopla a través de la parte superior de una chimenea, la presión es menor ahí
que dentro de la casa. Por consiguiente, el aire y el humo son empujados hacia arriba a
lo largo de la chimenea por la presión más alta en el interior. Aun en una noche
aparentemente quieta, por lo general hay suficiente flujo del aire ambiental en la parte
superior de la chimenea para ayudar al flujo ascendente del humo.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 40
Tubo de Pitot El tubo pitot es un medidor de flujo. Son
instrumentos sencillos, económicos y disponibles
en un amplio margen de tamaños. Es uno de los
medidores más exactos para medir la velocidad
de un fluido dentro de una tubería. Su instalación
simplemente consiste en un simple proceso de
ponerlo en un pequeño agujero taladrado en la
tubería. El tubo Pitot tiene sección circular y generalmente doblado en L. Consiste en un
tubo de pequeño diámetro con una abertura delantera, que se dispone contra una
corriente o flujo de forma que su eje central se encuentre en paralelo con respecto a la
dirección de la corriente para que la corriente choque de forma frontal en el orificio del
tubo.
Los manómetros de tubo de Pitot es un instrumento elemental para la medición de
velocidades de flujo de gases o de aire en canales. Los manómetros de tubo de Pitot son
una derivación de los clásicos tubos Prandtl, una combinación de tubo de Pitot para medir
la presión total y una sonda de medición de la presión estática. Estrechamente
relacionados con los manómetros surgen los anemómetros para medir velocidades de
flujo. La ventaja de los manómetros de tubo de Pitot frente a otros métodos de medición
consiste en el hecho de que un orificio relativamente pequeño sobre la pared del canal
en las zonas más importantes del recorrido es suficiente para realizar en cualquier
momento una medición rápida de la velocidad de flujo. Además, podrá utilizarlos a altas
temperaturas y a velocidades de flujo muy elevadas (hasta 120 m/s dependiendo del
modelo).
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 41
Botes de Vela Un bote de vela se puede mover contra el viento,
gracias al efecto Bernoulli, si las velas se colocan
en ángulo, como se observa en la figura. El aire
viaja rápidamente sobre la superficie frontal
abultada de la vela, y el aire relativamente quieto
detrás de la vela ejerce una presión mayor, lo que
da por resultado una fuerza neta sobre la vela,
�⃗�𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 Esta fuerza tendería a mover el bote hacia
los lados si no fuera por la quilla que se extiende verticalmente hacia abajo dentro del
agua, pues el agua ejerce una fuerza �⃗�𝑎𝑔𝑢𝑎 sobre la quilla casi en forma perpendicular a
ésta. La resultante de estas dos fuerzas �⃗�𝑅 es casi directamente hacia delante, como se
muestra.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 42
CONCLUSIONES
Un fluido ideal es incomprensible y no tiene fricción interna (viscosidad).
Una linea de flujo es la trayectoria de una partícula de fluido.
Hay dos clases de flujos, en flujo laminar, las capas de fluido se deslizan suavemente
unas sobre otras. En flujo turbulento, hay gran desorden y el patrón de flujo cambia
constantemente.
La conservación de la masa en un fluido incompresible se expresa con la ecuación de
continuidad, la cual relaciona las rapideces de flujo, para dos secciones transversales de
un tubo flujo.
La ecuación de Bernoulli relaicona la presión p, la rapidez de flujo, la altura y de dos
puntos.
Un tubo de Pitot o tubo de remanso opera según las bases de la dinámica de fluidos y es
un ejemplo clásico para la aplicación práctica de las ecuaciones de Bernoulli.
El medidor Venturi sirve para medir la rapidez de flujo de gases y líquidos
RECOMENDACIONES
Tomar en cuenta el área de la sección transversal del tubo, ya que la ecuación de
continuidad establece que para un fluido incompresible que fluye en un tubo cerrado, el
producto de la velocidad del flujo y el área de la sección transversal del tubo permanece
constante.
Tomar en cuenta la viscosidad de un fluido, ya que la fricción es una fuerza entre capas
adyacentes de fluido cuando estas se mueven una sobre otra.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 43
BIBLIOGRAFÍA
Douglas, G. (2008). MECANICA DE FLUIDOS. En G. Douglas, Fisica Universitaria para
Ciencias e Ingenieria II (págs. 350-361). México: Mc Graw Hill.
Semansky, S. &. (2009). MECANICA DE FLUIDOS. En S. &. Semansky, Física
Universitaria II (págs. 456-464). México: Pearson.
Bueche, F. (2007). FLUIDOS EN MOVIMIENTO. En R. Schaum, Fisica Universitaria
(págs. 142-143). México: McGrawHill.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 44
25-9-2015
4. EL NÚCLEO ATÓMICO
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 45
INTRODUCCIÓN
Durante el siglo pasado, las aplicaciones de la física nuclear han tenido efectos inmensos
sobre la especie humana; algunos fueron benéficos y otros catastróficos. Muchas
personas tienen opiniones muy firmes sobre ciertas aplicaciones como bombas y
reactores.
Cada átomo contiene en su centro un núcleo extremadamente denso con carga positiva
que es mucho más pequeño que el tamaño general del átomo, se describirá las
propiedades, la estabilidad e inestabilidad, la energía y fuerzas de enlace y los modelos
atómicos utilizados mayormente.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 46
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Conocer la importancia del núcleo atómico
Establecer las propiedades de los núcleos atómicos
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Definir la energía de enlace de un núcleo
Conocer las fuerzas nucleares.
Describir los modelos más utilizados
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 47
EL NÚCLEO ATÓMICO
El núcleo atómico consiste en dos tipos de nucleones: protones y neutrones. Estos
nucleones se mantienen unidos por una interacción fuerte. Sin embargo, no todas las
combinaciones de protones y neutrones son posibles, debido a las limitaciones
impuestas por la interacción fuerte, la interacción de Coulomb y la mecánica cuántica.
ISÓTOPOS El número de protones, 𝑍, dentro del núcleo determina el elemento que se forma. 𝑍 Es
el número de carga, que a veces también es llamado número atómico. Para un
elemento dado, son posibles los números diferentes de neutrones, 𝑁. Núcleos del
mismo elemento con diferentes números de neutrones se llaman isótopos. El número
total de protones y neutrones combinados se llama número másico, 𝐴
𝐴 = 𝑍 + 𝑁
Son átomos que tienen el mismo número atómico (𝑍) pero diferentes números de
masa (𝐴).
Como ejemplo se puede considerar los dos isótopos del vanadio: 50
23 V y 51
23 V
Las composiciones atómicas de estos isótopos son:
50
23 V 23 protones 23 electrones 27 neutrones 51
23 V 23 protones 23 electrones 28 neutrones
Nótese que ambos átomos tienen 23 protones y 23 electrones, pero difieren en el
número de neutrones en el núcleo, lo cual significa que tienen masas atómicas
distintas.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 48
FUERZAS NUCLEARES
Fuerza Nuclear Fuerte Para los núcleos estables una nueva fuerza es más fuerte que la fuerza eléctrica, se
le llamó fuerza nuclear fuerte. La fuerza nuclear fuerte es una fuerza de atracción que
actúa entre todos los nucleones, protones y neutrones por igual. Así, los protones se
atraen mutuamente mediante la fuerza nuclear fuerte al mismo tiempo que se repelen
unos a otros mediante la fuerza eléctrica. Los neutrones, en virtud de que son
eléctricamente neutros, sólo atraen a otros neutrones o protones mediante la fuerza
nuclear fuerte. Esta fuerza es mucho más complicada, ya que es una fuerza de corto
alcance, porque solo actúa sobre distancias cortas. Es muy fuerte entre dos nucleones
si están separadas aproximadamente a 10-15 m, pero en esencia es cero si está
separados por una distancia mayor que esta. Un núclido contiene demasiados o muy
pocos neutrones en relación con el número de protones, el enlace de los nucleones se
reduce; los núclidos que están muy desequilibrados en este aspecto son inestables.
Fuerza Nuclear Débil Cabe mencionar que hay un segundo tipo de fuerza nuclear que es mucho más débil
que la fuerza nuclear fuerte. Se llama fuerza nuclear débil, y uno está al tanto de su
existencia sólo porque se manifiesta en ciertos tipos de decaimiento radiactivo. Estas
dos fuerzas nucleares, la fuerte y la débil, junto con las fuerzas gravitacional y
electromagnética, comprenden las cuatro fuerzas básicas de la naturaleza, es decir es
para los núcleos inestables en donde se separa, y esto da por resultado el decaimiento
radioactivo.
ENERGÍA DE ENLACE Como se mencionó en el análisis del 12C de la sección anterior, la masa total de un
núcleo es inferior a la suma de las masas de sus nucleones individuales. Por lo tanto,
la energía de reposo del sistema ligado (el núcleo) es inferior a la energía de reposo
combinada de los nucleones independientes. Esta diferencia en energía se conoce
como la energía de enlace del núcleo y se puede interpretar como la energía que debe
agregarse a un núcleo para que se separe en sus componentes. Por lo tanto, a fi n de
poder separar un núcleo en protones y neutrones, debe entregársele energía al
sistema.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 49
La correspondencia de la conservación de energía y la equivalencia einsteniana de
masa–energía muestran que la energía de enlace 𝐸𝑏 de cualquier núcleo de masa 𝑀𝐴
es:
𝐸𝑏(𝑀𝑒𝑉) = [𝑍𝑀(𝐻) + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀 (𝐴𝑍
𝑋)] × 931.494 𝑀𝑒𝑉/𝑢
donde 𝑀(𝐻) es la masa atómica del átomo de hidrógeno neutro, 𝑀 (𝐴𝑍
𝑋) representa la
masa atómica de un átomo del isótopo 𝐴𝑍
𝑋, 𝑚𝑛 es la masa del neutrón y todas las
masas están en unidades de masa atómica. La masa de los 𝑍 electrones incluidos en
𝑀(𝐻) se cancelan con la masa de los 𝑍 electrones incluidos en el término 𝑀 (𝐴𝑍
𝑋)
dentro de una pequeña diferencia asociada con la energía de enlace atómico de los
electrones.
NÚMEROS CUÁNTICOS El modelo mecánico-ondulatorio describe cada electrón en términos de cuatro
números cuánticos. Estos números permiten calcular la energía del electrón y predecir
el área alrededor del núcleo donde se puede encontrar el electrón. Estos números
son:
Número cuántico principal (n)
Este número cuántico relaciona la magnitud del volumen ocupado por la región
espacio-energética de manifestación probabilística electrónica (reempe), donde se
localiza el electrón diferencial. Determina casi exclusivamente la energía del orbital en
sistemas de un solo electrón, y aún es el determinante principal de la energía en
sistemas polielectrónicos.
Puede tener cualquier valor entero positivo; para los elementos conocidos en la
actualidad, los valores van de n=1 a n=7. La capa n=1 es la más cercana al núcleo y
tiene la menor energía. Los electrones que tienen un valor dado de n se dice que
están en la misma capa. Las capas se designan por letras mayúsculas, sin embargo
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 50
se prefiere el uso de números enteros para designarlas, sus correspondientes valores
se presentan en la siguiente tabla:
n 1 2 3 4 5 6 7
Designación K L M N O P Q
Número cuántico de momento angular ( l )
Anteriormente denominado auxiliar, adicional, secundario (por mala traducción),
subsidiario o azimutal (según los conceptos de Sommerfeld). Este número determina
el subnivel o subcapa dentro del nivel principal de energía. Indica la forma de la nube
electrónica (reempe) u orbital, alrededor del núcleo.
Puede tomar cualquier valor entero desde 0 hasta n – 1 . Sus valores pueden
calcularse por una relación sencilla: l = n - 1 pudiéndose obtener valores como 0
, 1 , 2 , 3 , . . . , n – 1 .
Por razones históricas, los orbitales con un valor dado de l se designan mediante una
letra minúscula característica.
l 0 1 2 3 4
Designación s p d f g
Los orbitales atómicos se encuentran en el espacio alrededor del núcleo en un orden
definido que corresponde a un conjunto de niveles de energía discretos. Estos
orbitales difieren en tamaño y en forma así como en energía. Los orbitales atómicos
se designan 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, etc. Aquellos con la designación menor están más
cerca del núcleo y son inferiores en energía.
Número cuántico magnético ( ml )
Representa la orientación angular de los orbitales en el espacio. Cada subnivel consta
de uno o más orbitales electrónicos, y el número cuántico magnético describe el
número de orbitales de determinada clase en cada nivel principal de energía.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 51
Puede tomar cualquier valor entero desde - l hasta + l , incluyendo cero. Esta
regla da el número correcto de orbitales: 2 l + 1 .
Número cuántico por spin ( m s )
Se relaciona con la posibilidad de que una reempe ya previamente ocupada por un
electrón, acepte o no al electrón diferencial. Este parámetro describe la orientación
de giro del electrón y sólo puede adquirir dos valores: el que permite la aceptación
del electrón diferencial y el que no la permite.
Se acostumbra anotar estos valores como + ½ ó - ½ . Las dos orientaciones
generalmente se designan por flechas las cuales representan el giro del electrón,
en dirección de las manecillas del reloj y en dirección contraria
Para describir este nuevo número cuántico, es
conveniente (pero técnicamente incorrecto) pensar
en el electrón como si estuviera girando alrededor
de su eje mientras orbita alrededor del núcleo. Sólo
existen dos direcciones para el espín del electrón,
como se ilustra en la figura. Si la dirección del espín
es como la que se muestra en la figura a, se dice
que el electrón gira hacia arriba. Si la dirección del
espín es como la que se muestra en la figura b, se
dice que el electrón gira hacia abajo. En presencia de un campo magnético, la energía
del electrón es ligeramente diferente para las dos direcciones del espín, y esta
diferencia explica el doblete de sodio.
MOMENTUM ANGULAR Y EL SPIN Para introducir el concepto de espín del electrón comencemos con una analogía. La
Tierra describe una órbita casi circular en torno al Sol y, al mismo tiempo, gira sobre
su eje. Cada movimiento tiene su cantidad de movimiento angular asociada, que son
cantidades de movimiento angulares orbital y espín, respectivamente. La cantidad de
movimiento angular total de la Tierra es la suma vectorial de ambas. Si hubiera que
modelar a la Tierra como un punto único, no tendría momento de inercia con respecto
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 52
a su eje de giro ni, en consecuencia, tendría cantidad de movimiento angular espín.
Pero si se incluye el tamaño finito de la Tierra en el modelo, se hace posible la cantidad
de movimiento angular espín.
En el modelo de Bohr, suponga que el electrón no sólo es una carga puntual, sino una
esfera giratoria pequeña que describe su órbita. Entonces, el electrón no sólo tiene
cantidad de movimiento angular orbital, sino también cantidad de movimiento angular
espín asociada con la rotación de su masa en torno a su eje. La esfera tiene una carga
eléctrica, por lo que el movimiento giratorio causa espiras de corriente, y un momento
magnético. En un campo magnético, el momento magnético espín tiene una energía
de interacción además de la del momento magnético orbital. Ésta y otras pruebas
experimentales han demostrado en forma concluyente que el electrón sí tiene una
cantidad de movimiento angular espín y un momento magnético espín, que no
dependen de su movimiento orbital sino que son intrínsecos del electrón mismo.
MODELOS NUCLEARES Los detalles de las fuerzas nucleares siguen siendo un área de investigación activa.
Se han propuesto varios modelos nucleares, resultando éstos útiles para la
comprensión de las características generales de los datos experimentales nucleares y
de los mecanismos responsables para la energía de enlace. Dos de estos modelos, el
modelo de gota de líquido y el modelo de capa se explican enseguida.
Modelo de gota líquida En el año de 1936 Bohr propuso tratar los nucleones
como si fueran moléculas en una gota de líquido. En este
modelo de gota de líquido, los nucleones interactúan con
fuerza entre sí y se someten a colisiones frecuentes
conforme zigzaguean de un lugar a otro dentro del
núcleo. Este movimiento de zigzagueo es similar al
movimiento de agitación térmica de las moléculas en una gota de líquido.
Cuatro efectos principales tienen influencia en la energía de enlace del núcleo en el
modelo de gota de líquido:
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 53
El efecto de volumen. La figura muestra que, para 𝐴 > 50, la energía de enlace por
cada nucleón es aproximadamente constante, esto indica que la fuerza nuclear de un
nucleón dado se debe únicamente a unos cuantos de sus vecinos más cercanos y no
a todos los otros nucleones que existen en el núcleo. En tal caso, en promedio, la
energía de enlace asociada con la fuerza nuclear para cada nucleón es la misma en
todos los núcleos: asociada a la interacción con unos cuantos vecinos. Esta propiedad
indica que la energía de enlace total del núcleo es proporcional a 𝐴 y, por lo tanto, al
volumen nuclear. La contribución de la energía de enlace a todo el núcleo es igual a
𝐶1𝐴, donde 𝐶1 es una constante ajustable que puede ser determinada si se hace
coincidir la predicción de un modelo con los resultados experimentales.
El efecto superficie. Porque los nucleones de la superficie de la gota tienen menos
vecinos que los del interior, los nucleones superficiales reducen la energía de enlace
en una cantidad proporcional a su número. Ya que el número de nucleones
superficiales es proporcional al área de la superficie 4𝜋𝑟2 del núcleo (modelado como
esfera), y porque 𝑟2 ∝ 𝐴2 3⁄ , el término de la superficie se puede expresar de la forma
−𝐶2𝐴2 3⁄ , donde 𝐶2 es una segunda constante ajustable.
El efecto de repulsión de Coulomb. Cada protón repele a los otros protones del núcleo.
La energía potencial correspondiente por cada par de protones de interacción es igual
a 𝑘𝑒𝑒 2/𝑟, siendo 𝑘𝑒 la constante de Coulomb. La energía potencial eléctrica total es
equivalente al trabajo requerido para ensamblar 𝑍 protones, inicialmente separados
por una distancia infinita, en una esfera de volumen 𝑉. Esta energía es proporcional al
número de pares de protones 𝑍(𝑍 − 1)/2 y es inversamente proporcional al radio
nuclear. En consecuencia, la reducción en la energía de enlace resultante debida al
efecto de Coulomb es igual a −𝐶3𝑍(𝑍 − 1)/𝐴1 3⁄ , donde 𝐶3 es también otra constante
ajustable.
El efecto de simetría. Otro efecto que reduce la energía de enlace está relacionado
con la simetría del núcleo en función de valores 𝑁 y 𝑍. Para valores pequeños de A,
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 54
los núcleos estables se inclinan a tener 𝑁 ≈ 𝑍. Cualquier asimetría de importancia
entre 𝑁 y 𝑍 para núcleos ligeros reduce la energía de enlace y hace que el núcleo sea
menos estable. Para 𝐴 más grandes, el valor de 𝑁 para núcleos estables naturalmente
es mayor que 𝑍. Este efecto puede ser descrito por un término de energía de enlace
de la forma −𝐶4(𝑁 − 𝑍)2/𝐴, siendo 𝐶4 otra constante ajustable. Para 𝐴 pequeñas,
cualquier asimetría de importancia entre los valores de 𝑁 y de 𝑍 hace que este término
sea relativamente grande y reduzca la energía de enlace. Para valores 𝐴 grandes, este
término reduce su valor de manera que causa poco efecto en la energía de enlace
global.
Si suma estas contribuciones, llega a una expresión para la energía de enlace total.
𝐸𝑏 = 𝐶1𝐴 − 𝐶2𝐴2 3⁄ − 𝐶3
𝑍(𝑍 − 1)
𝐴1 3⁄− 𝐶4
(𝑁 − 𝑍)2
𝐴
El Modelo de capas El modelo de gota de líquido describe relativamente bien el comportamiento general
de las energías de enlace nuclear. De cualquier modo, al estudiar las energías de
enlace con mayor detalle, aparecen las siguientes características:
La mayor parte de los núcleos estables tiene un valor par para 𝐴. Además, sólo ocho
núcleos estables tienen valores impares tanto para 𝑍 como para 𝑁.
La figura muestra una gráfica de la diferencia entre la energía de enlace por cada
nucleón calculada según la ecuación de energía de enlace y la energía de enlace
observada. Existe evidencia en los datos de picos uniformemente espaciados no
descritos por la fórmula semiempírica de la energía de enlace. Los picos se presentan
en valores de N o de Z, que se conocen como números mágicos:
𝑍 𝑜 𝑁 2, 8, 20, 28, 50, 82
Las gráficas de los datos experimentales muestran picos en la curva del radio en
función de 𝑁 en valores de 𝑁 que corresponden a los números mágicos.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 55
Un grupo de isótonos es un grupo de núcleos que tienen el mismo valor de 𝑁 y
diferentes valores de 𝑍. Cuando se grafica el número de isótonos estables en función
de 𝑁, se presentan picos en la gráfica, otra vez en los números mágicos de la ecuación
de números mágicos.
Otras varias mediciones nucleares muestran un comportamiento anómalo en
los números mágicos
.
CONCLUSIONES
Un núcleo está formado por A nucleones (Z protones y N neutrones). Todos los núcleos
tienen aproximadamente la misma densidad.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 56
La energía de enlace para un núclido dado se determina por la fuerza nuclear, que es
de corto alcance y favorece a pares de partículas, y por la repulsión eléctrica entre
protones.
Los núcleos estables ligeros tienen iguales números de protones y neutrones. Los
núcleos estables pesados tienen más neutrones que protones.
Dos modelos muy usados para el núcleo son el de gota líquida y el de capas
El modelo de gota líquida de estructura nuclear trata los nucleones como moléculas
en una gota de líquido.
El modelo de capas, o modelo de partícula independiente, supone que cada nucleón
existe en una capa y sólo puede tener valores de energía discretos. La estabilidad de
ciertos núcleos se puede explicar con este modelo.
RECOMENDACIONES
Los temas son interesantes para el estudio de la estructura nuclear, su
comportamiento, entre otras cosas, pero se debe de tomar en cuenta que deben
utilizarse para el bien de la humanidad, no para crear cosas que afecten la vida de los
habitantes en la Tierra.
BIBLIOGRAFÍA
Bauger, W. (2011). FISICA NUCLEAR. En W. Bauger, Fisica Universitaria para
Ciencias e Ingenieria (págs. 1325-1330). México: Mc Graw Hill.
Giancoli, D. (2008). FISICA NUCLEAR Y RADIOACTIVIDAD En D. Giancolli, Fisica
Universitaria (págs. 1104-1113). México: Pearson.
Semansky, S. &. (2009). FISICA NUCLEAR . En S. &. Semansky, Física Universitaria
II (págs. 1502-1522). México: Pearson.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 57
MATEMÁTICA
EXÁMEN ESCRITO
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 58
25-9-2015
5. SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 59
INTRODUCCIÓN
En Matemática existen diversas formas de resolver y encontrar las incógnitas, en
ocasiones en las ecuaciones lineales se representan dos incógnitas en una sola
ecuación. En este caso se representan dos ecuaciones de primer grado con dos variables
y conocer así la solución de este sistema por varios métodos, y su representación gráfica
de dicho sistema
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 60
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Conocer la importancia de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
variables.
Describir los métodos de la solución del sistema
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Describir el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Definir de forma general el sistema de dos ecuaciones lineales con dos
variables.
Conocer los tipos de métodos de solución del sistema
Representar de forma gráfica el sistema
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 61
SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen
idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones
dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.
La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes
como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado
con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de
ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones
independientes; etc.
Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la
solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas
soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no
tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.
Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑎1 ≠ 0 𝑏1 ≠ 0𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑎2 ≠ 0 𝑏2 ≠ 0
}
Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las
soluciones son las mismas.
Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación
por un mismo número.
𝑥 + 𝑦 = 42𝑥 + 2𝑦 = 8
Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera.
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones
independientes son las que no se obtienen una de la otra.
Se debe entender que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las
cuales se busca una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en
dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 62
Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, se dice
que se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando se encuentran todas las
soluciones de un sistema, se dice que hemos resuelto el sistema.
RESOLUCIÓN POR DIFERENTES MÉTODOS Tres son los métodos por resolver un sistema de ecuaciones.
El método de sustitución. Con este método se consigue que el sistema de ecuaciones con dos incógnitas acabe
convirtiéndose en una ecuación de primer grado con una incógnita. Para ello se utiliza
uno de los tres métodos de resolución. El siguiente sistema de ecuaciones:
{𝑥 + 𝑦 = 6𝑥 − 𝑦 = 4
El proceso es el siguiente:
1) Despejar una de las incógnitas, en este caso será 𝑥
2) El siguiente paso sería sustituir el resultado de despejar la incógnita en la primera
ecuación en el lugar de esa incógnita en la segunda ecuación. En nuestro caso,
sustituiremos el 6 − 𝑦 en el lugar de la 𝑥. Quedando así una sola incógnita: la 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 6𝑥 − 𝑦 = 4
3) A continuación se harán las operaciones que se sabe para resolver ecuaciones con
una sola incógnita
−𝑦 − 𝑦 = 4 − 6
6 − 2𝑦 = 4
−2𝑦 = 4 − 6
−2𝑦 = −2
𝑦 = 1
4) Cuando se tenga ya el resultado de una de las incógnitas, se sustituye ese valor en
la operación del primer paso para averiguar cuánto vale la otra incógnita.
𝑥 = 6 − 𝑦
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 63
𝑥 = 6 − 1
𝑥 = 5
Por lo tanto, la solución al sistema es 𝑥 = 5 y 𝑦 = 1
Método de reducción El método de reducción
Con este método se obtiene que el sistema de ecuaciones con dos incógnitas acabe
reduciéndose un término. Para ello utilizaremos uno de los tres métodos de resolución.
El siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥 + 2𝑦 = 6
𝑥 − 3𝑦 = 1
El proceso es el siguiente:
Caso 1.
1) Reducir el término de la 𝑥 . Como la 𝑥 está en la misma cantidad en las dos
ecuaciones, sólo se tiene que restar. Para ello debemos cambiar el signo a la segunda
ecuación y sumarlas en vertical :
𝑥 + 2𝑦 = 6
−𝑥 + 3𝑦 = −1
0 + 5𝑦 = 5
2) Despejar y obtener el valor de 𝑦
5𝑦 = 5
𝑦 = 1
3) Y por último, sustituir este valor para calcular la 𝑥 , en cualquiera de las dos
ecuaciones, en este caso será en la primera, quedando:
𝑥 + 2(1) = 6
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 64
𝑥 = 6 − 2
𝑥 = 4
Por lo tanto, la solución al sistema es 𝑥 = 4 y 𝑥 = 1
Caso 2
Para poder reducir se debe multiplicar el número que acompaña la incógnita y de la
primera ecuación por todos los miembros de la segunda ecuación. Y el número que
acompaña a la incógnita y en la segunda ecuación por toda la primera:
1) Para poder reducir se debe multiplicar el número que acompaña la incógnita 𝑦 de la
primera ecuación por todos los miembros de la segunda ecuación. Y el número que
acompaña a la incógnita 𝑦 en la segunda ecuación por toda la primera:
𝑥 + 2𝑦 = 6
𝑥 − 3𝑦 = 1
3(𝑥 + 2𝑦) = 6(3)
2(𝑥 − 3𝑦) = (2)1
3𝑥 + 6𝑦 = 18
2𝑥 − 6𝑦 = 2
2) Así obtener dos ecuaciones que tienen valores opuestos, de forma que al sumarlos
se va la 𝑦, por lo tanto, si se suman, la 𝑦 desaparece. Sólo queda despejar la 𝑥 para hallar
su valor.
3𝑥 + 6𝑦 = 18
2𝑥 − 6𝑦 = 2
5𝑥 + 0 = 20
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 65
𝑥 = 4
3) Por último, sustituir el valor para calcular 𝑦 y queda:
4 + 2𝑦 = 6
2𝑦 = 6 − 4
2𝑦 = 2
𝑦 = 1
Por lo tanto, la solución al sistema es 𝑥 = 4 y 𝑦 = 1
El método de igualación En este método hay que despejar las incógnitas e igualarlas. Se puede elegir entre
despejar las 𝑥 o despejar las 𝑦. En cada caso una elección u otra puede ser la más fácil.
Ahora vamos a ver ambas posibilidades.
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 1
Caso 1
1) Se despeja la 𝑥 de las dos ecuaciones
𝑥 = 3 − 𝑦
𝑥 = 1 + 𝑦
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 66
2) Igualar
3 − 𝑦 = 1 + 𝑦
3) Resolver
−y − 𝑦 = 1 − 3
−2𝑦 = −2
Por lo tanto, la solución al sistema es𝑥 = 2 y 𝑦 = 1
Caso 2
1) Se despeja la 𝑦 de las dos ecuaciones
𝑦 = 3 − 𝑥
𝑦 = −1 + 𝑥
2) Igualar
3 − 𝑥 = −1 + 𝑥
2) Resolver
−2𝑥 = −4
Por lo tanto, la solución al sistema es 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 67
TIPOS DE SOLUCIÓN
{𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
Determinado
Compatible
Tipos de Sistema Indeterminado
Incompatible
Sistema compatible Si admite soluciones.
La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2
que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y
la segunda.
Sistema compatible determinado
Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es
determinado solo tendrá una solución. Su representación
gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores
de x e y de ese punto son la solución al sistema.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado
cuando:
𝑎
𝑑≠
𝑏
𝑒
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 68
En el ejemplo de la figura, dado el sistema
{−𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑥 + 𝑦 = 5
Se puede ver, que:
−1
1≠
2
1
Lo que da lugar a que las dos rectas se corten en un punto, de valores:
𝑥 = 2𝑦 = 3
Siendo esta la solución del sistema
Sistema compatible indeterminado
El sistema admite un número infinito de soluciones; su
representación gráfica son dos rectas coincidentes.
Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas
se puede considerar como redundante: cualquier
punto de la recta es solución del sistema.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas es indeterminado si:
𝑎
𝑑=
𝑏
𝑒=
𝑐
𝑓
Por ejemplo con el sistema
{−𝑥 + 2𝑦 = 4
−3𝑥 + 6𝑦 = 12
Se puede ver:
−1
−3=
2
6=
4
12
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda
ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de
expresar la misma ecuación.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 69
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
−𝑥 + 2𝑦 = 4 → 𝑦 =𝑥
2+ 2
Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la
expresión anterior, asignando valoras a x obtendremos el correspondiente de y, cada par
(x, y), así calculado será una solución del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor
real.
Sistema Incompatible El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su
representación gráfica son dos rectas paralelas y no
tienen ningún punto en común porque no se cortan. El
cumplimiento de una de las ecuaciones significa el
incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna
solución en común.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es incompatible si:
𝑎
𝑑=
𝑏
𝑒≠
𝑐
𝑓
Dado un sistema
{𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 𝑦 = 1
Se puede ver que:
1
1=
1
1≠
5
1
La igualdad
1
1=
1
1
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 70
Determina la proporcionalidad entre las incógnitas, dos rectas paralelas, pero la diferente
proporcionalidad con los términos independientes determina un corte con el eje y disiento,
y dos rectas paralelas no se cortan en ningún punto. Dando lugar a la incompatibilidad
de las soluciones.
ANÁLISIS DE TIPOS Para poder determinar si, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, corresponde
a uno de esos casos, podemos ver, según lo visto anteriormente, el siguiente criterio,
partiendo del sistema:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
}
Podemos aplicar el siguiente árbol de decisión, para determinar el tipo de sistema que
es:
𝑎
𝑑
⟺𝑏
𝑒
𝑎
𝑑=
𝑏
𝑒
𝑎
𝑑=
𝑏
𝑒=
𝑐
𝑓
Compatible indeterminado
𝑎
𝑑=
𝑏
𝑒≠
𝑐
𝑓
Incompatible
𝑎
𝑑≠
𝑏
𝑒
Compatible Determinado
Para ello, comparamos en primer lugar la relación entre los coeficientes de las incógnitas,
si la relación entre los coeficientes de la 𝑥 y la 𝑦 es el mismo, el sistema es compatible
indeterminado o incompatible, si este coeficiente también es igual a la relacione entre los
términos independientes el sistema es compatible indeterminado, y si es distinto en
incompatible. Si la relación entre los coeficientes de la 𝑥 y la 𝑦 son distintos el sistema es
compatible determinado.
Este criterio es equivalente al análisis de los determinantes de las ecuaciones, aplicado
a un sistema de dos ecuaciones.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 71
CONCLUSIONES
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de
ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente
simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso
más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando
técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre
un cuerpo
RECOMENDACIONES
Aplicar un método de enseñanza en donde el alumno vaya reconociendo y aplicando los
diferentes tipos de métodos, así se realiza un aprendizaje y conocimiento propio
Que el docente lleve de manera gráfica y aplique el tema en la vida diaria para obtener
un mejor conocimiento.
BIBLIOGRAFÍA
Gallego Palomero, A.Sistemas de ecuaciones (1989), Álgebra y Funciones, EdicionesSM
Lowy, Ernesto, Sistemas de ecuaciones (1987), Ediciones Baza.
García Muñoz, Matemáticas, ecuaciones no lineales e inecuaciones, 4 ESO. Cuaderno 3
(2007)m Edición Teide S.A.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 72
25-9-2015
6. PROBABILIDADES
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 73
INTRODUCCIÓN
La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están
en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos
y ciencias, especialmente en las Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que
influyen en dichas ciencias, económicas, demográficas, suelen tener carácter aleatorio,
es decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de datos
conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno de la probabilidad.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 74
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Conocer la importancia del tema de las probabilidades.
Describir las propiedades de los sucesos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Describir los sucesos y espacios muestrales de una probabilidad.
Definir de diferentes enfoques la probabilidad.
Conocer los teoremas de probabilidad.
Representaciones gráficas de los sucesos.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 75
PROBABILIDADES
HISTORIA Relatos antiguos sugieren que la teoría de la probabilidad se remonta a formas primitivas
de juegos de envite y azar. Gerolamo Cardan (1501-1576) afirmó que hace casi 2000
años los soldados romanos inventaron muchos de nuestros juegos de azar actuales sólo
como pasatiempo durante sus campañas para conquistar a la mayor parte del mundo
civilizado. Otros autores afirman que la teoría de la probabilidad tiene su origen en el siglo
XVI en Francia por los juegos de azar y se debe a la curiosidad de los jugadores que
acosaban con preguntas a sus amigos del mundo de las matemáticas (correspondencia
entre Pascal y Fermat). En el siglo XVII Jacob Bernouilli, miembro de una familia suiza
de matemáticos, estableció muchas de las leyes básicas de la probabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange también se cuentan entre los pioneros
de la teoría de la probabilidad.
La definición clásica se debe a Laplace que en su monumental libro “Theorie análitique
des probabilités“ ( 1812), establece la definición de probabilidad de un suceso que puede
ocurrir sólo un número finito de veces, como la proporción del número de “ casos
favorables” entre el número total de “casos posibles”. Destacar por otra parte que la
axiomática del Cálculo de Probabilidades se debe a Kolmogorov (1933).
En la actualidad vemos que la teoría de la probabilidad ocupa un puesto destacado en
muchos asuntos de negocios. Los seguros y las prácticas actuariales tienen una base
firme en los principios de la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, las primas de los
seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad, que a su vez se basan en la
probabilidad de muerte a una edad concreta. La probabilidad también se aplica a la
estimación del número de unidades defectuosas en los procesos de fabricación, a la
verosimilitud de recibir pagos en las cuentas a cobrar y a las ventas potenciales de un
nuevo producto.
Ahora bien, la teoría de la probabilidad es una parte de las matemáticas, análoga al
álgebra o la geometría y su construcción será por tanto semejante. Para la construcción
de una teoría matemática se parte de un conjunto de aseveraciones, que se designan
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 76
con el nombre de axiomas, y mediante la lógica se deducen una sucesión de afirmaciones
que se designan con el nombre de teoremas.
La forma en que se eligen los axiomas no es aleatoria ni categórica, lo que se intenta con
estos postulados es “Idealizar la Realidad”.
Los fenómenos que se pueden estudiar y que están asociados con la realización de
cualquier experimento (acción bien definida que produce un resultado único y bien
definido) pueden ser de una tipología muy variada, pero una sencilla clasificación de los
mismos, que además, va a ser de gran interés para la Estadística es aquella que distingue
entre fenómenos determinísticos y aleatorios
CONCEPTOS BASICOS
Suceso Elemental Cada uno de los posibles resultados, que no se pueden descomponer en otros más
simples, de un experimento aleatorio.
Espacio Muestral “E” Conjunto de los sucesos elementales.
Suceso Subconjunto del espacio muestral.
Suceso Seguro Es el suceso formado por todos los sucesos elementales.
Suceso Imposible Es el suceso que no contiene ningún suceso elemental
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 77
OPERACIONES CON SUCESOS
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}
Unión De Sucesos
𝐴 ∪ 𝐵: Todos los sucesos elementales de A ó B
𝐴 ∪ 𝐵: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓𝑔}
𝐴: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝐵 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔}
Intersección De Sucesos
𝐴 ∩ 𝐵: Sucesos elementales que pertenecen simultáneamente a A y a B
𝐴 ∩ 𝐵: {𝑐, 𝑑}
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 78
Diferencia De Sucesos
𝐴 − 𝐵: Sucesos elementales que pertenecen al suceso A pero no al B
𝐴 − 𝐵: {𝑎, 𝑏}
Ejemplo: Se están utilizando 7 árboles, numerados del 1 al 7, para un experimento.
Definiendo el espacio muestral: 𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Sean A y B los sucesos: 𝐴 = {1, 3, 5} 𝑦 𝐵 = {2, 3, 7}
𝐴 ∪ 𝐵: {1, 2, 3, 5, 7} 𝐴 ∩ 𝐵: {3} 𝐴 − 𝐵: {1, 5}
A-B
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 79
Sucesos Complementarios
.
𝐴𝑐: Es el suceso formado por todos los sucesos de E que no están en A
𝐴𝑐 = 𝐸 − 𝐴
𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, 𝐴 = {𝑏, 𝑐} 𝐴𝑐 = {𝑎, 𝑑, 𝑒}
Ejemplo:
𝐴: “𝑇𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢í𝑛𝑒𝑜 𝑂”
𝐴𝑐: " 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢í𝑛𝑒𝑜 𝐴, 𝐵, ó 𝐴𝐵"
𝐸𝑐 = ∅ ∅𝑐 = 𝐸
Sucesos Incompatibles
Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir
simultáneamente.
𝐴 = {𝑎, 𝑏} 𝐵 = {𝑑, 𝑒}
Ejemplo
𝐴 = "𝑆𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑡𝑖𝑙"
𝐵 = "𝑆𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑙𝑒ó𝑛"
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 80
PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE SUCESOS
1. Asociativa 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
2. Conmutativa 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
3.
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝐸
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS
1. Asociativa 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
2. Conmutativa 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
3.
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐴
PROPIEDADES CONJUNTAS DE LA UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS
Distributiva 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Ejemplo
𝑨 = {𝒂. 𝒃. 𝒄} 𝑩 = {𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆} 𝑪 = {𝒄, 𝒆, 𝒇, 𝒈}
𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = {𝒂, 𝒃, 𝒄} ∩ {𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇, 𝒈} = {𝒃, 𝒄}
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 81
CONCEPTO DE PROBABILIDAD
Clásica Espacio muestral equiprobable “Todos los sucesos elementales tienen igual probabilidad
de ocurrir”
En estas condiciones se define la probabilidad del suceso A como:
𝑃(𝐴) =𝑁0𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴
𝑁0 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=
𝐶 𝐹
𝐶 𝑃
Ejemplo
En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules.
Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para
ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante,
obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.
Solución
𝐸 = {𝐶𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐶, 𝐴𝐴 }
Casos Favorables= {𝐶𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐶}
Casos Posibles = {𝐶𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐶, 𝐴𝐴}
𝑃(𝑂𝑗𝑜𝑠 𝐶𝑎𝑠𝑡𝑎ñ𝑜𝑠) =𝐶𝐹
𝐶𝑃=
3
4
Diagramas de árbol El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados posibles de un
experimento cuando éste se produce en unas pocas etapas.Cada paso del experimento
se representa como una ramificación del árbol
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 82
PRIMER
HIJO
SEGUNDO
HIJO
TERCER
HIJO
Ejemplo
“Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer no tenga la enfermedad, puede
transmitirla a sus 3 hijos. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un
diagrama de árbol”.
Suponiendo que es igualmente probable que se trasmita o no la enfermedad.
TRAYECTORIAS
AAA
AAB
ABA
ABB
BAA
BAB
BBA
BBB
TRAYECTORIAS
SSS
SSN
SNS
SNN
NSS
NSN
NNS
NNN
A
AA
B
BA
B
B
AA
B
BA
B
S
SS
N
NS
N
N
SS
N
NS
N
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 83
Obtener las probabilidades de los siguientes sucesos:
1. Ningún hijo tenga la enfermedad, (suceso A)
2. Dos hijos tengan la enfermedad, (suceso B)
𝑃(𝐴) =𝐶𝐹
𝐶𝑃=
1
8
𝑃(𝐵) =𝐶𝐹
𝐶𝑃=
3
8
Axiomático Algebra de sucesos, 𝛽: “Es el conjunto de todos los sucesos del Espacio Muestral”
Axiomas de la probabilidad
Consideremos una aplicación, 𝑃, del álgebra de sucesos en el conjunto de los números
reales.
Esta aplicación es una probabilidad si verifica los tres axiomas:
1. 𝐴 𝜖 𝛽, 0 ≤ 𝑃(𝐴)
2. 𝑃(𝐸) = 1
3. Sean 𝐴1, 𝐴2, … . , 𝐴𝑛, sucesos mutuamente incompatibles, 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑖 para
𝑖 ≠ 𝑗. Entonces se verifica
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … .∪ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛)
Ejemplo
Tres caballos, A, B, y C están siendo tratados con tres métodos experimentales distintos
para aumentar la velocidad con la que pueden correr. Después del tratamiento
intervienen en una carrera. El caballo C tiene doble probabilidad de ganar que B, y B
doble que A. Calcular las probabilidades de que gane cada uno.
Solución: 𝐸 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} 𝑃(𝐴) = 𝑘 𝑃(𝐵) = 2𝐾 𝑃(𝐶) = 4𝑘
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 84
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐸) = 1 = 𝑘 + 2𝑘 + 4𝑘 = 7𝑘 = 1 ⇒ 𝑘 = 1 7⁄
𝑃(𝐴) = 𝑘 1 7⁄ 𝑃(𝐵) = 2 7⁄ 𝑃(𝐶) = 4 7⁄
Si suponemos que el espacio muestral es equiprobable, la definición axiomática de la
probabilidad coincide con la definición clásica
Ejemplo En el ejemplo anterior, supongamos que los tres caballos tienen la misma
probabilidad de ganar
Solución: 𝐸 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐶) = 𝑘
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐸) = 1 = 𝑘 + 2𝑘 + 4𝑘 = 7𝑘 = 1 = 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 = 3𝑘 = 1 ⇒ 𝑘 = 1 3⁄
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐶) = 1 3⁄
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
1. ∀𝐴 ∈ 𝐵, 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴)
Ejemplo. Se sabe que la probabilidad de curar la leucemia infantil es de 1/3. Por lo tanto,
la probabilidad de que no se cure la enfermedad será de 1 − 1 / 3 = 2 /3
2. 𝑃(𝐴) − 1 = 0
Ejemplo. Consideramos el experimento de lanzar un dado. La probabilidad de obtener 9
en una cara es igual a cero
3. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)
Ejemplo. En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un número mayor que 4, y
B obtener un número mayor que 2
𝑃(𝐴)𝐶𝐹
𝐶𝑃=
2
6, 𝑃(𝐵) =
𝐶𝐹
𝐶𝑃=
4
6
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 85
4. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo: En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un número menor que 5 y
B el suceso obtener un numero par
𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {2, 4, 6}, 𝐴 − 𝐵 = {1,3}, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,4}
𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =4
6−
2
6=
2
6
5. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo: En una población el 4% de las personas son daltónicas, el 18% hipertensas y
el 0.5% daltónicas e hipertensas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea
daltónica ó hipertensa?
𝐴 = {𝐷𝑎𝑙𝑡ó𝑛𝑖𝑐𝑜}, 𝐵 = {𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜}
𝑃(𝐴) =4
100, 𝑃(𝐵) =
18
100, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
0.5
100
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =4
100+
18
100−
0.5
100= 0.125
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 86
6. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
Ejemplo: En un parque natural se detectan tres plagas. El 25% de los árboles tienen la
enfermedad A, el 20% la B y el 30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11%
la B y la C y el 5% tienen las tres enfermedades. Calcular las probabilidades siguientes:
1. Un árbol tenga alguna de las enfermedades
2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B
3. Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A
𝑃(𝐴) = 0.25; 𝑃(𝐵) = 0.2; 𝑃(𝐶) = 0.3; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.12;
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.1; 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0.11; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.05
1. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩
𝐵 ∩ 𝐶) = 0.25 + 0.2 + 0.3 − 0.12 − 0.1 − 0.11 + 0.05 = 0.47
2. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.25 − 0.12 = 0.13
3. 𝑃((𝐵 ∩ 𝐶) − 𝐴) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.11 − 0.05 = 0.06
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 87
SEGUNDO
HIJO
TERCER
HIJO
PRIMER
HIJO
PROBABILIDAD CONDICIONAL. INDEPENDENCIA DE SUCESOS
Probabilidad condicionada
Probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado a que el suceso B haya
ocurrido ya
- Sean dos sucesos 𝐴 y B𝐵 ∈ 𝛽, con 𝑃(𝐵) > 0
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
- Si 𝑃(𝐴) > 0
𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴 𝐵⁄ )
𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2 𝐴1⁄ )𝑃(𝐴3 𝐴1 ∩ 𝐴2⁄ )
Ejemplo: Una familia tiene tres hijos. Construir un diagrama de árbol y calcular las
siguientes probabilidades:
1. El primer hijo sea niña, A,
2. Exactamente dos sean niñas, B
3. Se cumplan ambas condiciones
4. Exactamente dos sean niñas, si el primero es niña
𝑃(𝐴) =4
8; 𝑃(𝐵) =
3
8; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
2
8; 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)=
2 8⁄
4 8⁄=
2
4=
1
2
TRAYECTORIAS
MMM
MMH
MHM
MHH
HMM
HMH
HHM
HHH
M
MM
H
HM
H
H
MM
H
HM
H
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 88
Independencia de sucesos
El suceso A es independiente del suceso B si y sólo si se verifica:
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 𝑃(𝐴)
Si 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) ≠ 𝑃(𝐴) el suceso A es dependiente de B.
La independencia es una propiedad recíproca
El suceso A es independiente del suceso B
↕
El suceso B es independiente del suceso A
Dos sucesos son independientes si
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
Si los sucesos A y B son independientes, se verifica.
- Los sucesos A y 𝐵𝑐 son independientes
- Los sucesos 𝐴𝑐 y 𝐵 son independientes
- Los sucesos 𝐴𝑐 y 𝐵𝑐 son independientes
Se dice que n sucesos son independientes si se verifica:
𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … . .∩ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2) … 𝑃(𝐴𝑛)
TEOREMAS
Teorema de la probabilidad total Sean los sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, que verifican:
⟨𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝐸
Los sucesos 𝐴𝑖, para 𝑖 = 1, … . 𝑛 son incompatibles dos a dos y exhaustivos
Sea un suceso 𝐵, con 𝑃(𝐵) > 0
Se conocen: 𝑃(𝐴𝑗) y: 𝑃(𝐵/𝐴𝑗), 𝑖 = 1, … . 𝑛
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 89
En las condiciones anteriores, este teorema nos proporciona la probabilidad total de que
ocurra el suceso B:
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
Teorema de Bayes Sean los sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, que verifican:
⟨𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝐸
Los sucesos 𝐴𝑖, para 𝑖 = 1, … . 𝑛 son incompatibles dos a dos y exhaustivos
Sea un suceso 𝐵, con 𝑃(𝐵) > 0
Se conocen: 𝑃(𝐴𝑗) y: 𝑃(𝐵/𝐴𝑗), 𝑖 = 1, … . 𝑛
El Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad de que ocurra un suceso determinado,
𝐴 𝑗, condicionado a que el suceso 𝐵 ya ha ocurrido
𝑃(𝐴𝑗 𝐵⁄ ) =𝑃(𝐴𝑗)𝑃(𝐵 𝐴𝑗⁄ )
∑ 𝑃(𝐴𝑗)𝑃(𝐵 𝐴𝑖⁄ )𝑛𝑖=1
Las probabilidades 𝑃(𝐴𝑗) se designan probabilidades a “priori”, o probabilidades de las
causas. Las probabilidades 𝑃 ( 𝐴𝑗/ 𝐵 ) se designan probabilidades a “posteriori”, si el
suceso B ya ha ocurrido, probabilidad de que sea debido a la causa
APLICACIONES La Física estadística clásica de fines del siglo XIX, y de la Física estadística cuántica del
siglo XX. Así como de la aplicación de los procesos estocásticos al estudio de los rayos
cósmicos descubiertos en el siglo XX, y a su aplicación a la Física Nuclear.
Aunque los fenómenos físicos y biológicos a los que se aplican los Procesos Estocásticos
son de naturaleza muy distinta, sin embargo el planteamiento matemático y su resolución
son iguales, y así por ejemplo conceptos como natalidad, mortalidad, inmigración o
contagio tan específicos de la Biología, han pasado a la Física.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 90
CONCLUSIONES
El Cálculo de Probabilidades es una de las grandes ramas del árbol de las Matemáticas,
se le puede definir como la ciencia del azar y aunque esta definición no es exacta del
todo sí es muy aproximada. El Cálculo de Probabilidades permite el tratamiento
matemático y cuantitativo de las posibilidades de la realización de un hecho o fenómeno,
que todavía no ha sucedido, pero que puede suceder; es útil para la previsión de ciertos
hechos y fenómenos posibles, pero que no tienen por qué suceder necesariamente como
puede ser la predicción del tiempo meteorológico.
La palabra probabilidad afecta hoy en día a un amplio abanico de situaciones en nuestra
vida, lo cual se desprende del abundante uso que se hace de esta palabra en todos los
medios de comunicación, en nuestras casas y en todo el mundo científico. Y si bien
tenemos una idea de lo que es la probabilidad, muchas veces resulta difícil definirla de
una manera que se aplique a cada situación donde usamos el término y en la que
estemos de acuerdo la mayoría de las personas.
RECOMENDACIONES
El problema que nos concierne es cómo hacer llegar este bello concepto, altamente
abstracto en su expresión formal, a personas de otras disciplinas que no tienen una base
matemática para entenderlo. Es por ello que se recomienda con activar los conocimientos
de este tema con temas de probabilidad en la vida diaria.
Basta recordar que muchos modelos matemáticos parten de un simple hecho de la vida
que deseamos explicar. Y muchas veces sucede que se desarrolla toda una teoría a partir
de ese modelo abstracto, y luego resulta aplicable a muchas y muy variadas situaciones.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 91
BIBLIOGRAFÍA
Walpole, Ronald. (2012). PROBABILIDAD. En Walpole, Probabilidad y Estadística (págs.
35-70). México: Pearson
Spiegel, Murray. (1976). PROBABILIDAD. En Spiegel, Probabilidad y Estadística (págs.
17-38). México: McGrawHill
Johnson, Robert, (1994). PROBABILIDAD. En Johnson, Estadística Elemental (págs.
147-166). México: Thomson
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 92
25-9-2015
7. TEOREMAS SOBRE DERIVADA
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 93
INTRODUCCIÓN
Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función
derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta
sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual
puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas..
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 94
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Conocer la importancia de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
variables.
Describir los métodos de la solución del sistema
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Describir el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Definir de forma general el sistema de dos ecuaciones lineales con dos
variables.
Conocer los tipos de métodos de solución del sistema
Representar de forma gráfica el sistema
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 95
TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
DERIVADAS El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la
velocidad de un objeto involucran encontrar el mismo tipo de límite. Este tipo especial
de límite se denomina derivada y en las ciencias e ingeniería puede ser interpretada
como una razón de cambio.
Tangentes Si una curva C tiene la ecuación 𝑦 = 𝑓 (𝑥) y quiere usted
hallar la recta tangente a 𝐶 en el punto 𝑃(𝑎, 𝑓 (𝑎)), entonces
considere un punto cercano 𝑄(𝑥, 𝑓 (𝑥)), donde 𝑥 ≠ 𝑎 , y
calcule la pendiente de la recta secante 𝑃𝑄:
𝑚𝑃𝑄 =𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Después, acerque 𝑄 a 𝑃 a lo largo de la curva 𝐶, haciendo que x tienda a 𝑎. Si 𝑚𝑃𝑄
tiende un número 𝑚, entonces definimos la 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡 como la recta que pasa por 𝑃
con pendiente 𝑚. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de
la recta secante 𝑃𝑄 cuando 𝑄 tiene a 𝑃. (Véase la figura.)
Definición
La recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥) en el punto 𝑃(𝑎, 𝑓 (𝑎)) es la recta que pasa por
𝑃 con pendiente
𝑚 = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Siempre que este límite exista.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 96
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥 2, en el punto 𝑃(1,1).
Solución
En este caso 𝑎 = 1 y 𝑓(𝑥) = 𝑥2, de modo que la pendiente es
𝑚 = lim𝑥→1
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1(𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2
Con la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, se encuentra que la ecuación
de la recta tangente en (1, 1) es
𝑦 − 1 = 2(𝑥 + 1) o bien 𝑦 = 2𝑥 − 1
Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil
de usar. Si h = x - a, en este caso x = a + h, entonces la pendiente de la recta secante
PQ es
𝑚𝑃𝑄 =𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
(Véase la figura, donde se ilustra el caso ℎ > 0 y 𝑄
está a la derecha de 𝑃 . Sin embargo, si ℎ < 0 , 𝑄
estaría a la izquierda de 𝑃.)
Note que conforme 𝑥 se aproxima a 𝑎, ℎ se acerca a 0
(puesto que ℎ = 𝑥 − 𝑎) y, por ende, la expresión de la
pendiente de la recta tangente, en la definición 1 se convierte en
𝑚 = limℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
DERIVADAS La derivada de una función 𝑓 en un número 𝑥 = 𝑎, denotada por 𝑓′(𝑎), es
𝑓′(𝑎) = limℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Si este límite existe.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 97
Si se escribe 𝑥 = 𝑎 + ℎ, entonces ℎ = 𝑥 − 𝑎 y ℎ tiende a 0 si y sólo si 𝑥 tiende a 𝑎.
En consecuencia, una manera equivalente de expresar la definición de la derivada,
como vimos en la búsqueda de rectas tangentes, es
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Ejemplo
Encuentre la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 9
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓[(𝑎 + ℎ)2 − 8(𝑎 + ℎ) + 9] − 𝑓(𝑎2 − 8𝑎 + 9)
ℎ
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 8𝑎 − 8ℎ + 9 − 𝑎2 + 8𝑎 − 9
ℎ
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
2𝑎ℎ + ℎ2 − 8ℎ
ℎ
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
ℎ(2𝑎 + ℎ − 8)
ℎ
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
(2𝑎 + ℎ − 8)
𝑓′(𝑎) = 2𝑎 − 8
Generalidades
Derivar en todo su dominio se refiere a funciones que es lo que se va a trabajar a
continuación, aunque también se pueden hacer derivadas de un punto.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 98
DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES
Derivada de una constante Esta regla se expresa como:
𝑑
𝑑𝑥(𝑐) = 0
Demostración
Comenzando por la más sencilla de todas las funciones: la
función constante 𝑓(𝑥) = 𝑐. La gráfica de esta función es la
recta horizontal 𝑦 = 𝑐, la cual tiene pendiente 0, de modo
que debe tener 𝑓 ‘(𝑥) = 0 . (Véase la figura) Una
demostración formal, a partir de la definición de derivada,
también es fácil:
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
𝑐 − 𝑐
ℎ= lim
ℎ→00 = 0
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥6 = 0
Derivada de una potencia Esta regla se expresa como:
𝑑
𝑑𝑥(𝑥) = 1
Demostración
Enseguida, se consideran las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, donde 𝑛
es un entero positivo. Si 𝑛 = 1, la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 es la
recta 𝑦 = 𝑥, la cual tiene pendiente 1 (véase la figura). De
modo que una demostración formal, a partir de la definición
de derivada, también es fácil:
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ= 1
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 99
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥(15𝑥) = 15
Regla de la Potencia Si 𝑛 es un entero positivo, entonces
𝑑
𝑑𝑥(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1
Demostración
La fórmula: 𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 + ⋯ + 𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1)
Se necesita desarrollar (𝑥 + ℎ)𝑛 y, para hacerlo, se utiliza el teorema del binomio:
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
[𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ +𝑛(𝑛 − 1)
2 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛] − 𝑥𝑛
ℎ
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑛𝑥𝑛−1ℎ +𝑛(𝑛 − 1)
2 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛
ℎ
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
[𝑛𝑥𝑛−1 +𝑛(𝑛 − 1)
2𝑥𝑛−2ℎ + ⋯ 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1]
𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥(15𝑥3 + 3𝑥2 + 7𝑥 + 5) = 30𝑥2 + 6𝑥 + 7
Regla del múltiplo constante La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada
por la derivada de la función
Si 𝑐 es una constante y 𝑓 es una función derivable, entonces
𝑑
𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥)
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 100
Demostración
𝑔′(𝑥) = limℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
𝑐𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0𝑐 [
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ]
= 𝑐 limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ] = 𝑐𝑓′(𝑥)
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥4) = 3
𝑑
𝑑𝑥𝑥4 = 3(4𝑥3) = 12𝑥3
Regla de la suma Si 𝑓 y 𝑔 son derivables, entonces
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Demostración
Sea 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), entonces
𝐹′(𝑥) = limℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]
ℎ
= limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ+
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ]
= limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ+ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥(𝑥8 + 12𝑥5 + 4𝑥4) = 8𝑥7 + 60𝑥4 + 16𝑥3
Regla de la diferencia Si tanto 𝑓 como 𝑔 son derivables, entonces
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) −
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 101
Demostración
Sea 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), entonces
𝐹′(𝑥) = limℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
ℎ
= limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ−
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ]
= limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ− lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥(2𝑥8 − 10𝑥2 − 3𝑥) = 16𝑥7 − 20𝑥 − 3
Regla del producto Si 𝑓 y 𝑔 son derivables, entonces
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥[𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)]
En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos
funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función,
más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.
Demostración
Se supone que 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥) son funciones
positivas derivables. Entonces se puede interpretar el
producto 𝑢𝑣 como el área de un rectángulo. Si 𝑥 cambia
una cantidad ∆𝑥, entonces los cambios correspondientes
en 𝑢 y 𝑣 son:
∆𝑢 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑣 = 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 102
Por lo que el nuevo valor del producto, (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣), puede interpretarse como el
área del rectángulo grande en la figura
El cambio en el área del rectángulo es
∆(𝑢𝑣) = (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣) − 𝑢𝑣
∆(𝑢𝑣) = 𝑢∆𝑣 + 𝑣∆𝑢 + ∆𝑢∆𝑣 = 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎𝑠.
Si se divide entre ∆𝑥, se obtiene
∆(𝑢𝑣)
∆𝑥= 𝑢
∆𝑣
∆𝑥+ 𝑣
∆𝑢
∆𝑥+ ∆𝑢
∆𝑣
∆𝑥
Si ahora se hace ∆𝑥 → 0, se obtiene la derivada de 𝑢𝑣
𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = lim
∆𝑥→0
∆(𝑢𝑣)
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = lim
∆𝑥→0(𝑢
∆𝑣
∆𝑥+ 𝑣
∆𝑢
∆𝑥+ ∆𝑢
∆𝑣
∆𝑥)
𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢 lim
∆𝑥→0
∆𝑣
∆𝑥+ 𝑣 lim
∆𝑥→0
∆𝑢
∆𝑥+ ( lim
∆𝑥→0∆𝑢) ( lim
∆𝑥→0
∆𝑣
∆𝑥)
𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 0
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥(𝑥3 + 2𝑥)𝑥2 = (𝑥3 + 2𝑥)
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 + 𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(𝑥3 + 2𝑥)
= (𝑥3 + 2𝑥)2𝑥 + 𝑥2(3𝑥2 + 2)
= 2𝑥4 + 4𝑥2 + 3𝑥4 + 2𝑥2
= 7𝑥4 + 6𝑥2
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 103
Regla del cociente Si 𝑓 y 𝑔 son derivables, entonces
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)] =
𝑔(𝑥)𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)] − 𝑓(𝑥)
𝑑𝑑𝑥
[𝑔(𝑥)]
[𝑔(𝑥)]2
En palabras: en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es el
denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador
multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del
denominador.
Demostración
Encontramos una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables 𝑢 = 𝑓(𝑥)
y 𝑣 = 𝑔(𝑥) en gran parte de la misma manera que hemos encontrado la regla del
producto. Si 𝑥, 𝑢 y 𝑣 se incrementan por cantidades ∆𝑥, ∆𝑢 y ∆𝑣, entonces el cambio
correspondiente en el cociente 𝑢/𝑣 es
∆ (𝑢
𝑣) =
𝑢 + ∆𝑢
𝑣 + ∆𝑣−
𝑢
𝑣=
(𝑢 + ∆𝑢)𝑣 − 𝑢(𝑣 + ∆𝑣)
𝑣(𝑣 + ∆𝑣)=
𝑣∆𝑢 − 𝑢∆𝑣
𝑣(𝑣 + ∆𝑣)
Por tanto,
𝑑
𝑑𝑥(
𝑢
𝑣) = lim
∆𝑥→0
∆(𝑢 𝑣⁄ )
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
𝑣∆𝑢∆𝑥 − 𝑢
∆𝑣∆𝑥
𝑣(𝑣 + ∆𝑣)
Cuando ∆𝑥 → 0, también ∆𝑣 → 0, porque 𝑣 = 𝑔(𝑥) es derivable y, por consiguiente,
continua. Así, al aplicar las leyes de los límites, se obtiene
𝑑
𝑑𝑥(
𝑢
𝑣) =
𝑣 lim∆𝑥→0
∆𝑢∆𝑥 − 𝑢 lim
∆𝑥→0
∆𝑣∆𝑥
𝑣 lim∆𝑥→0
(𝑣 + ∆𝑣)=
𝑣𝑑𝑢𝑑𝑥
− 𝑢𝑑𝑣𝑑𝑥
𝑣2
Ejemplo
𝑑
𝑑𝑥(
1 + 2𝑥
3 − 4𝑥) =
(3 − 4𝑥)𝑑
𝑑𝑥(1 + 2𝑥) − (1 + 2𝑥)
𝑑𝑑𝑥
(3 − 4𝑥)
(3 − 4𝑥)2
=2(3 − 4𝑥) − 4(1 + 2𝑥)
(3 − 4𝑥)2
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 104
=6 − 4𝑥 − 4 + 8𝑥
(3 − 4𝑥)2
=2 + 4𝑥
(3 − 4𝑥)2
APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA
Velocidad media L a velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (𝛥𝑒) y el tiempo
transcurrido (𝛥𝑡).
𝑣𝑚(𝑡) =∆𝑒
∆𝑡=
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
∆𝑡
Velocidad instantánea La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero,
es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0
∆𝑒
∆𝑡= lim
∆𝑡→0
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
∆𝑡= 𝑒′(𝑡)
Aceleración instantánea La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
𝑎 = 𝑣′(𝑡)
Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.
𝑎 = 𝑒′′(𝑡)
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 105
Ejemplo
El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función 𝑒(𝑡) = 3𝑡2 − 𝑡 + 1. El
espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
1. Hallar la ecuación de la velocidad
𝑣(𝑡) = 𝑒′(𝑡) = 6𝑡 − 1
2. Hallar la velocidad en el instante 𝑡 = 0
𝑉(0) = 6(0) − 1 = −1 𝑚/𝑠
3. Hallar la ecuación de la aceleración.
𝑎(𝑡) = 𝑣’(𝑡) = 𝑒’’(𝑡) = 6 𝑚/𝑠2
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 106
CONCLUSIONES
Aquí se derivan todas las funciones básicas, los teoremas sobre la derivada de una
suma, diferencia, constante, multiplicación y cociente, son la base de otras
aplicaciones. El cálculo ha ayudado a otras ciencias encontrar la base de sus
ecuaciones.
Las derivadas son una base del cálculo, en base a los teoremas anteriores ayudan a
encontrar una base de otras funciones y sus gráficas dadas.
RECOMENDACIONES
Cuando las derivadas se calculan en situaciones aplicadas, se pide a los estudiantes
explicar su significado, ellos mismos van encontrando las aplicaciones dadas y así
ellos se les facilitan el aprendizaje respecto al tema dado.
Las aplicaciones a otras ciencias ayudan a relacionar la Matemática a otras ciencias y
a otros aspectos de la vida diaria.
BIBLIOGRAFÍA
Larson, R. (2007). DERIVADAS. En Larson, R., Cálculo (págs. 106-130). México: Mc
Graw Hill.
Stewart, J. (2012). REGLAS DE DERIVACIÓN. Stewart, J. Cálculo (págs. 173-193).
México: Cencage Learning
Thomas, G. (2010). REGLAS DE DERIVACIÓN. En Thomas, G. , Cálculo (págs. 115-
134). México: Pearson
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 107
25-9-2015
8. EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 108
INTRODUCCIÓN
Luego de conocer las reglas de derivación se encuentra en mejor posición para continuar
con mayor profundidad con las aplicaciones de la derivada. Conocer, cómo la derivada
afecta la forma de una gráfica de una función y, particularmente, cómo ayuda a localizar
valores máximos y mínimos de funciones. En la práctica muchos problemas exigen
minimizar un costo o maximizar un área, o bien, encontrar el mejor resultado posible para
una situación.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 109
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Conocer los extremos de una función.
Describir los teoremas de los extremos de una función.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Describir de manera gráfica los extremos de una función.
Clasificar los extremos de una función.
Deducir los teoremas.
Representar de forma gráfica el tema
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 110
EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
VALORES EXTREMOS Definición
Sea 𝑓 definida en un intervalo 𝐼 conteniendo a 𝑐.
1. 𝑓(𝑐) es el mínimo de 𝑓 en 𝐼 sí 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en 𝐼.
2. 𝑓(𝑐) es el máximo de 𝑓 en 𝐼 sí 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)para todo 𝑥 en 𝐼.
El mínimo y el máximo de una función se llaman valores extremos o extremos de la
función en ese intervalo.
Observaciones
1. A los valores extremos, se les llama mínimo y máximo absolutos si se cumple
la desigualdad correspondiente para todo x en el dominio de 𝑓.
2. ¿Tiene 𝑓 un valor máximo o mínimo en 𝐼?. Una función puede no tener mínimo
o máximo en un intervalo, de hecho, puede carecer de ambos.
Comparando los dos primeros gráficos vemos que se pierde un máximo al cambiar el
intervalo cerrado [−1,2] por el abierto (−1,2)
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 111
En los gráficos, observamos que una discontinuidad (𝑥 = 0) puede afectar la
existencia de extremos sobre un intervalo cerrado o abierto.
El siguiente enunciado se trata de un teorema de existencia, pues asegura que existe
el máximo y el mínimo pero no dice cómo calcularlos.
Teorema de Valor Extremo. Si f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene máximo y mínimo en el
intervalo.
Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio
un intervalo I. Pero este intervalo puede ser, abierto, cerrado, semi-abierto e infinito.
Algunos de ellos contienen sus puntos frontera, otros no. Por ejemplo:
[𝑎, 𝑏] contiene a sus puntos frontera.
[𝑎, 𝑏) contiene sólo al punto frontera de la izquierda.
(𝑎, 𝑏] contiene sólo al punto frontera de la derecha.
(𝑎, 𝑏) no contiene puntos frontera.
A menudo los extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados se presentan
en puntos frontera. Si c es un punto para el cual 𝑓′(𝑐) = 0 , lo llamamos punto
estacionario.
Los valores extremos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Si 𝑐 es un
punto interior a 𝐼 en el que no existe 𝑓´, lo llamamos punto singular. Es un punto en
que la gráfica de 𝑓 tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 112
Los valores extremos pueden darse en puntos singulares. Estas tres clases de puntos,
son la clave de la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto del dominio de f que
sea uno de estos tres tipos se llama punto crítico de 𝑓.
En la figura se ilustra el teorema del valor extremo. Observe que un valor extremo se
puede tomar más de una vez. Aun cuando el teorema del valor extremo es muy
aceptable a nivel intuitivo, su demostración es difícil, por consiguiente, se omite.
Máximo y mínimo local
El número 𝑓 (𝑐) es un
valor máximo local de f si 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 𝑐.
valor mínimo local de f si 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 𝑐.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 113
Si decimos que algo es cierto cerca de 𝑐, queremos decir que es cierto en algún
intervalo abierto que contiene a 𝑐. Por ejemplo, en la figura se ve que 𝑓(4) = 5 es un
mínimo local porque es el menor valor de 𝑓 en el intervalo 𝐼. No es el mínimo absoluto
porque 𝑓(𝑥) tiene valores menores cuando
𝑥 está cerca de 12 (en el intervalo de 𝐾,
por ejemplo). De hecho 𝑓(12) = 3 es un
mínimo local y el mínimo absoluto. De
modo similar, 𝑓(8) = 7 es un máximo
local, pero no el máximo absoluto porque
𝑓 toma valores más grandes cerca de 1.
NÚMEROS CRÍTICOS Si 𝑓 está definida en un intervalo 𝐼 que contiene al punto 𝑐. Si 𝑓(𝑐) es un valor extremo
entonces 𝑐 debe ser un punto crítico de 𝑓; es decir, tendrá que ser uno de los tres
casos siguientes: (a) un punto frontera, (b) un punto estacionario de 𝑓(𝑓 ′(𝑐) = 0) y (𝑐)
un punto singular de 𝑓 en el que 𝑓 ′(𝑐) no exista.
En conclusión:
Un número crítico de una función 𝑓 es un número 𝑥 = 𝑐 en el dominio de 𝑓 tal que
𝑓′(𝑐) = 0 o 𝑓 = (𝑐) no existe.
Ejemplo
Encuentre los números críticos de 𝑓(𝑥) = 𝑥3
5⁄ (4 − 𝑥)
La regla del producto 𝑓′(𝑥) = 𝑥3 5⁄ (−1) + (4 − 𝑥) (3
5𝑥−2 5⁄ )
= −𝑥3 5⁄ +3(4 − 𝑥)
5𝑥2 5⁄=
−5𝑥 + 3(4 − 𝑥)
5𝑥2 5⁄=
12 − 8𝑥
5𝑥2 5⁄
Se obtienen los mismos valores escribiendo primero 𝑓(𝑥) = 4𝑥3
5⁄ − 𝑥8
5⁄ . Así que
𝑓′(𝑥) = 0 si 12 − 8𝑥 = 0; es decir 𝑥 =3
2 y 𝑓′(𝑥) no existe cuando 𝑥 = 0. Por tanto, los
números críticos son 3
2 y 0
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 114
Para hallar un máximo o un mínimo absolutos de una función continua sobre un
intervalo cerrado, observe que o es un extremo local [en cuyo caso, se presenta en un
número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo. De este
modo, el siguiente procedimiento de tres pasos siempre funciona.
Método del intervalo cerrado Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua 𝑓 sobre un
intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]:
1. Encuentre los valores de 𝑓 en los números críticos de 𝑓 en (𝑎, 𝑏).
2. Halle los valores de 𝑓 en los puntos extremos del intervalo.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el
más pequeño, el valor mínimo absoluto.
Ejemplo
Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1, −1
2≤ 𝑥 ≤ 4
Solución: dado que f es continua sobre [−1
2, 4] , se puede utilizar el teorema del
intervalo cerrado.
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1
𝑓′ (𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥
𝑓′ (𝑥) = 3𝑥(𝑥 − 2)
Puesto que 𝑓’(𝑥) existe para toda 𝑥, los únicos valores críticos de 𝑓 ocurren cuando
𝑓’(𝑥) = 0; esto es, en 𝑥 = 0 o 𝑥 = 2. Se debe observar que cada uno de estos números
críticos está en el intervalo (−1
2, 4). Los valores de 𝑓 en estos números críticos son
𝑓(0) = 1 𝑓(2) = −3
Los valores de 𝑓 en los puntos extremos del intervalo son
𝑓 (−1
2) =
1
8 𝑓(4) = 17
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 115
Comparando estos cuatro números, vemos que el valor máximo absoluto es 𝑓 (4) =
17 y el valor mínimo absoluto es 𝑓 (2) = −3.
EXTREMOS RELATIVOS En la figura siguiente observamos que los valores extremos pueden ocurrir en puntos
interiores o terminales (fronteras) de un intervalo. Estos últimos se llaman extremos
terminales y los que ocurren en puntos interiores se llaman extremos relativos.
Definición de Extremos Relativos. Sea 𝑓 una función y 𝑐 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 se dice que 𝑓 tiene:
1. Un máximo relativo (o máximo local) en el punto c si existe un 𝛿 > 0 tal que
𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿).
2. Un máximo relativo (o mínimo local) en el punto c si existe un 𝛿 > 0 tal que
𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿).
Los máximos y mínimos relativos de f reciben el nombre común de extremos relativos
de 𝑓.
Ejemplo
En la gráfica se ve que 𝑓 tiene un máximo en algunos puntos respecto a ciertos
intervalos y no respecto de otros. Análogamente sucede con el mínimo. Además
parece que la manera de obligar a esos puntos a ser extremos es escoger intervalos
suficientemente pequeños para producir una colina local o un valle. Esta es la idea
esencial de la definición anterior. La colina más alta corresponde al máximo absoluto
de 𝑓 y el valle más profundo corresponde al mínimo absoluto. Las otras colinas y los
otros valles corresponden a los máximos locales.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 116
APLICACIONES Este tema de los extremos de una función se puede aplicar en temas de física.
Ejemplo
El telescopio espacila Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de 1990 por el
trasbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del trasbordador
durante su misión desde el lanzamiento en 𝑡 = 0 hasta que los cohetes auxiliares de
combustible sólido se desprenden en el instante 𝑡 = 126 𝑠, está dado por
𝑣(𝑡) = 0.001302𝑡3 − 0.09029𝑡2 + 23.61𝑡 − 3.083
(En pies por segundo). Usando este modelo, estime los valores máximo y mínimo
absolutos de la aceleración del trasbordador entre el lanzamiento y el desprendimiento
de los cohetes auxiliares de combustible sólido.
Solución: Se pide hallar los valores extremos no de la función de velocidad dada sino
de la función de aceleración. Por consiguiente, primero necesita derivar para encontrar
la aceleración:
𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) =𝑑
𝑑𝑡(0.001302𝑡3 − 0.09029𝑡2 + 23.61𝑡 − 3.083)
= 0.003906𝑡2 − 0.18058𝑡 + 23.61
Aplicando ahora el método del intervalo cerrado a la función continua 𝑎 en el intervalo
0 ≤ 𝑡 ≤ 126. Su derivada es
𝑎′(𝑡) = 0.007812𝑡 − 0.18058
El único número crítico se presenta cuando 𝑎′(𝑡) = 0
𝑡1 =0.18058
0.007812≈ 23.12
Al evaluar a 𝑎(𝑡) en el número crítico y en los extremos, tiene
𝑎(0) = 23.61 𝑎(𝑡1) ≈ 21.52 𝑎(126) ≈ 62.87
De modo que la aceleración máxima es alrededor de 62.87 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠2⁄ y la aceleración
mínima es alrededor de 21.52 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠2⁄
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 117
CONCLUSIONES
En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente
como extremos de una función, son los valores más grandes o más pequeños, que
toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la
curva o en el dominio de la función en su totalidad
RECOMENDACIONES
Dar de manera didáctica el tema mediante gráficas y por medio de la observación que
ellos expliquen con sus propias palabras que entienden del tema y que relación tienen
las gráficas.
Utilizar las gráficas para un mejor aprendizaje.
Demostrar los teoremas en base a lo que se ha visto en clase.
BIBLIOGRAFÍA
Larson, R. (2007). APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. En Larson, R., Cálculo
(págs. 106-130). México: Mc Graw Hill.
Stewart, J. (2012). APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. Stewart, J. Cálculo (págs.
173-193). México: Cencage Learning
Thomas, G. (2010). APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. En Thomas, G. , Cálculo
(págs. 115-134). México: Pearson
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 118
PEDAGOGÍA
EXÁMEN ESCRITO
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 119
25-9-2015
9. LA ESCUELA DEMOCRATICA
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 120
INTRODUCCIÓN
Las escuelas democráticas tienen como origen de una corriente pedagógica donde
profesores y profesoras, comprometidos con esta corriente educativa, hacen de la
democracia su estilo de vida y su ideal; el currículo que oficialmente se conocen adquere
un significado especial bajo una perspectiva social, democratica y ciudadana
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 121
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Definir la escuela democrática
Conocer las características
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Describir los principios de la escuela democrática.
Analizar la estructura democrática.
Deducir las características.
Conocer las formas de aplicación de la democracia en institución educativa
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 122
LA ESCUELA DEMOCRATICA
HISTORIA En 1693, John Locke publicó Algunos Pensamientos sobre la Educación. En la
descripción de la enseñanza de niños, el declara, "Ninguna de las cosas que se van a
aprender, jamás deberían ser hechas para agobiarlos o imponerlas como tareas. Lo que
sea propuesto, en breve se vuelve fastidioso; la mente toma una aversión hacia ello,
aunque antes era cosa de deleite o indiferencia. Darle permiso a un niño pero tener la
orden de azotar su parte superior a cierto tiempo cada día, sin importar si se hubiera
empeñado en ello o no; permitirlo pero requerir de el como un deber, de forma que el
deba pasar muchas horas de la mañana y la tarde, y ver si el no estará pronto agotado
de algún juego a este ritmo". El libro de consejos de educación de Jean-Jacques
Rousseau, Émile, se publicó por primera vez en 1762. Émile, el alumno imaginario que
utiliza para su ilustración, fue solo para aprender lo que el pudiera apreciar como útil. Era
para disfrutar su lección y aprender a depender de su propio juicio y experiencia. "El tutor
no debe añadir preceptos, debe permitir que se descubran", escribió Rousseau, e insistió
en no hacer que Émile aprenda ciencia, pero permitir que la descubra. También dijo que
no deberíamos sustituir los libros por experiencias personales porque esto no nos enseña
a razonar; nos enseña a utilizar el razonamiento de otras personas; nos enseña a creer
en cosas grandes pero a nunca saber nada.
El conocido escritor Tolstoi fue el pionero en la apertura de una escuela de este tipo en
su Rusia natal a finales del siglo XIX. Pero la que sin duda mayor notoriedad ha alcanzado
es Summerhill, fundada por Alexander S.Neill, en Inglaterra. En la actualidad hay más
escuelas democráticas en el mundo, aunque siguen siendo una rareza.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 123
DESARROLLO Las escuelas democráticas son una opción más entre las
consideradas escuelas “alternativas”. Se podría decir que las
escuelas alternativas son llamadas así porque son una opción
que es minoritaria frente a la prevalente.
La principal característica de las escuelas democráticas es que la participación en ellas
de los alumnos y del personal es libre e igualitaria. Esto se aplica mediante la toma de
decisiones conjuntas por parte de todos los participantes en lo relativo a la organización
cotidiana y el aprendizaje.
Los aspectos más significativos de estas escuelas son los relativos a:
Currículum
Características
Estructura y procesos democráticos
Calificaciones
Juegos
Castigos
Currículum No se sigue un currículum obligatorio prefijado, sino que
se enfatiza en el aprendizaje como fruto de la actividad
voluntaria y el mero interés del estudiante por realizarla.
Se estimula mucho el intercambio de ideas, la
conversación, entre los alumnos, ya que interactuar con otras personas es básico para
encontrar los propios intereses. A menudo los estudiantes de mayor edad son “tutores”
de los más jóvenes. En definitiva, el alumno es quien decide qué, cuándo, cómo y con
quién aprende.
Cada uno es responsable de su propia educación, y deben tomar decisiones
constantemente. Hay quien lo considera una forma de “unschooling”.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 124
Características
La escuela como comunidad democrática y espacio para la solución de conflictos
La escuela es una comunidad de aprendizaje, en ella adquirimos conocimientos
científicos y desarrollamos habilidades, pero también es un espacio para aprender a
convivir y a desarrollarnos como personas. Este aprendizaje incluye el respeto a normas
y reglas, el establecimiento de relaciones de confianza y solidaridad, la resolución de
conflictos de manera no violenta y la convivencia democrática.
Crecer y convivir con los demás
La convivencia democrática requiere que se respeten las reglas y normas establecidas y
que todas las personas se traten de manera respetuosa. En la familia y en la escuela
podemos aprender a convivir porque en ellos se establecen las primeras relaciones
afectivas, se define la personalidad, se desarrollan valores, se aprende a proteger los
derechos de todos, dialogar y resolver conflictos de manera no violenta.
Relaciones de confianza en el trabajo escolar
Es importante contribuir a crear un ambiente de confianza en la escuela porque en estas
condiciones se respeta mas la dignidad, se realiza mejor el trabajo escolar y se fortalecen
los valores. A veces se abusa de la amistas, se crean relaciones dañinas y se genera en
el salón de clases un ambiente hostil y violento.
Un ambiente de confianza tiene características como:
*Creemos en lo que nos dicen nuestros compañeros y compañeras.
*Podemos hablar francamente de lo que sentimos, de lo que nos pasa y de lo que
opinamos.
*Compartimos secretos, miedos o inseguridades con algunos miembros del grupo.
Solidaridad, respeto y responsabilidad en el trabajo individual y de grupo
La solidaridad es un sentimiento, un valor y un principio de la acción moral que nos mueve
a colaborar con otras personas para resolver problemas comunes, para apoyar los
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 125
objetivos de otras personas o para ayudar a quienes tienen un problema, son víctimas de
una catástrofe, de una injusticia o la violencia.
La responsabilidad significa responder ante otros, cumplir con lo que tenemos que hacer
y asumir lo que nos corresponde. Es posible fortalecer la práctica de los valores durante
la realización del trabajo escolar y en la convivencia diaria.
Diferentes formas de ser y de pensar
La escuela como primer medio ajeno al medio familiar representa, una puerta para
ponernos en contacto con concepciones. La diversidad representa una oportunidad de
crecimiento. En la escuela se reúnen y conviven diaria mente personas de diferentes
edades, hombres y mujeres, jóvenes y adultos con distintas costumbres y valores,
personas con experiencias de vida muy diversas; por eso se considera que la escuela es
un espacio importante en la socialización para niños y adolecentes.
La diversidad nos enriquece, pero puede ser fuente de conflicto cuando no respetamos
las diferencias. Hay que analizar los desafíos y problemas que enfrentamos en la escuela
en cuanto al respecto a la diversidad.
Estructura Las escuelas democráticas tienen a menudo reuniones abiertas a todos los estudiantes
y personal, donde todos los presentes tienen voz y a veces igual voto.20 Algunas incluyen
a los padres. Estas reuniones escolares pueden cubrir todo desde cosas de poca
importancia hasta el nombramiento o despido del personal y la creación o anulación de
reglas, o gastos generales y la estructura del día escolar. En algunas escuelas se espera
que todos los estudiantes asistan a estas reuniones, en otras es voluntario.21 La reunión
principal de la escuela puede también establecer sub comités para lidiar con hechos
particulares, tales como la resolución de conflictos.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 126
Decir que la democracia descansa en el consentimiento de las personas gobernadas
es casi un lugar común, pero en una escuela democrática es cierto que tienen derecho
a participar en el proceso de toma de decisiones todos los que están implicados
directamente en la escuela, incluidos los jóvenes. Por esta razón, las escuelas
democráticas están marcadas por la participación general en cuestiones de gobierno
y elaboración de política.
Las personas implicadas en las escuelas democráticas se ven a sí mismas como
participantes en comunidades de aprendizaje. Por su propia naturaleza, estas
comunidades son diversas y esa diversidad es algo que se aprecia, que no se
considera un problema. Este tipo de comunidades incluyen a personas que reflejan
las diferencias en la edad, la cultura, el origen étnico, el género, la clase
socioeconómica, las aspiraciones y las capacidades. Estas disparidades enriquecen
a la comunidad y la variedad de pareceres que puede considerar. Separar a las
personas de cualquier edad sobre la base de estas diferencias, o utilizar etiquetas
para formar estereotipos sobre ellas, sencillamente crea divisiones y sistemas de
posición social que empañan la naturaleza democrática de la comunidad y la dignidad
de los individuos contra quienes estas prácticas proceden con tanta dureza.
Aunque la comunidad estima la diversidad, tienen también un sentido del propósito
compartido. Por mucho que digan los privatizadores o los que quieren que la
racionalidad económica dirija las escuelas, la democracia no es simplemente una
teoría del interés propio que permite a las personas proseguir sus propias metas a
expensas de los otros; el bien común es un rasgo central de la democracia. Por esta
razón, las comunidades de quienes aprenden en las escuelas democráticas están
marcadas por otorgar importancia a la cooperación y la colaboración, más que ala
competición. Las personas ven su premio en los otros, y se toman medidas que
animan a los jóvenes a mejorar la vida de la comunidad ayudando a los demás.
En las escuelas democráticas las personas ponen de relieve constantemente la
igualdad estructural en todas estas disposiciones, y en las decisiones de política que
las apoyan. Aunque se entiende que el acceso inicial a las oportunidades educativas
en un aspecto necesario de las escuelas democráticas éste, por sí solo, no se
considera suficiente para su realización.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 127
Los educadores comprometidos con la democracia se dan cuenta de que es probable
que las fuentes de desigualdad en la escuela se encuentren también en la comunidad.
Cómo mínimo, entienden que es demasiado fácil que la vida en el exterior disipe las
posibilidades que se originan en las experiencias democráticas en la escuela En
resumen, quieren la democracia a gran escala; la escuela es tan sólo uno de los sitios
en que se centran. Este es un punto crucial. El paisaje educativo está alfombrado con
los restos de reformas escolares fracasadas, muchas de las cuales fallaron debido a
las condiciones sociales que rodean las escuelas. Sólo las reformas que reconozcan
estas condiciones y entablen activamente combate con ellas cuentan con
probabilidades de tener un efecto duradero en la vida de los niños, los educadores y
las comunidades a las que las escuelas atienden.
Calificaciones Dada la ausencia de currículum oficial, es difícil poder establecer una clasificación de
estudiantes en función de sus logros. Por ello, las calificaciones no existen. Los
exámenes que se llevan a cabo son los que el estado exija y los que las universidades
requieran para ingresar en ellas
El juego: No hay ningún tipo de restricción a jugar. Los estudiantes pueden hacerlo tanto cuanto
quieran, y sin que nadie dirija el mismo. Los juegos electrónicos están también aceptados.
Gran parte del tiempo suele pasarse al aire libre. La mayor parte de los críticos a este
tipo de colegios centran sus dardos en la consideración (ampliamente aceptada) de que
jugar es perder el tiempo, a no ser que se trate de juegos educativos.
Castigos Contrariamente a lo que muchos podrían esperar, sí que existen los castigos o sanciones.
Generalmente, se crea la figura del mediador, que intenta que cuando surge un conflicto,
escuchando a las dos partes, éstas lleguen a una solución. Pero no siempre es posible.
Si la asamblea o el tribunal que se crea para dirimir estos problemas concluye que alguien
ha actuado de manera incorrecta, le puede imponer (o no) un castigo.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 128
Otros Finanzas: Algunos ambientes de aprendizaje democrático son fundados por los padres,
algunos por obras de caridad. Las escuelas deben tener una escala proporcional basada
en los ingresos familiares. Existen escuelas democráticas financiadas con fondos
públicos en Canadá. e Israel
Tamaño: Las escuelas democráticas varían en tamaño desde pocos a cientos
estudiantes. Aún una persona sin educación puede ser descrita como alguien que
aprende de manera democrática, si la gente le trata con valores democráticos.
Rango de edad: La mezcla de edades en una política deliberada en algunas escuelas
democráticas. Puede incluir niños muy jóvenes, hasta bebés. Algunas escuelas
democráticas solo permiten estudiantes mayores.
Locación: La educación democrática no está limitada a un lugar en particular. Los
escenarios para las comunidades de aprendizaje democrático incluyen edificio de oficinas
calles de la ciudad y áreas rurales
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 129
CONCLUSIONES
La Educación Democrática es más que asambleas de alumnos, el voto en las aulas y la
generación de reglas internas por los alumnos. Es un movimiento que lleva los principios
de la democracia a la estructura escolar, esto implica una total modificación de la forma
en que concebimos la escuela. La Educación Democrática se basa en el respeto a los
niños y a los jóvenes. La Educación Democrática ocurre cuando se honra y se reconoce
a los niños como individuos que participan activamente en su camino por la educación.
La Educación Democrática es una educación basada en el sentido, la relevancia, la
alegría, la comunidad, el amor, y los derechos humanos.
RECOMENDACIONES
Tanto como el niño y el adolescente tienen un desarrollo mental, en donde va obteniendo
habilidades de destreza física e intelectual, es por ello que para el aprendizaje se debe
de dejar que ellos vayan construyendo su propio concepto de lo que están aprendiendo,
buscar metodologías y técnicas de aprendizaje donde ellos vayan descubriendo lo que
se quiere transmitir.
En Matemáticas hay muchas técnicas y metodologías, como lo es el método COPISI
donde ellos van construyendo con el material las ecuaciones que se quieren llegar a
construir o el número al que se quiere llegar.
En Física el docente puede utilizar experimentos donde ellos van activando los
conocimientos previos y además de tener la observación van a tener el tacto para ir
desarrollando de mejor manera el concepto de la clase.
BIBLIOGRAFÍA
Royer, J. (1978). TEORIA COGNOSCITIVA. En Royer, J. Psicología del aprendizaje
(págs 127-146). México: Limusa
Horrocks, J. (1989). DESARROLLO AFECTIVO Y COGNOSCITIVO. En Horrocks J.
Psicología del adolescente (págs 81-100). México: Trillas.
Woolfolk, A. (2010), DESARROLLO COGNOSCITIVO Y LENGUAJE. En Woolfolk, A.
Psicología educativa (págs 24-64). México: Pearson.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 130
25-9-2015
10. EL DESARROLLO COGNITIVO
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 201213710
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 131
INTRODUCCIÓN
El desarrollo cognitivo se enfoca en los procedimientos intelectuales y en las conductas
que emanan de estos procesos. Este desarrollo es una consecuencia de la voluntad de
las personas por entender la realidad y desempeñarse en sociedad, por lo que está
vinculado a la capacidad natural que tienen los seres humanos para adaptarse e
integrarse a su ambiente. La modalidad más frecuente de analizar los datos y de emplear
los recursos cognitivos es conocido como estilo cognitivo. Cabe destacar que esto no
está vinculado a la inteligencia ni al coeficiente intelectual, sino que es un factor propio
de la personalidad. Otro concepto relacionado es el de prejuicio cognitivo, una distorsión
que afecta al modo en que una persona capta lo real. A nivel general, se habla de
distorsiones cognitivas cuando se advierten errores o fallos en el procesamiento de
información. La terapia cognitiva o terapia cognitiva-conductual, por último, es una forma
de intervención de la psicoterapia que se centra en la reestructuración cognitiva, ya que
considera que las distorsiones mencionadas anteriormente producen consecuencias
negativas sobre las conductas y las emociones.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 120
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Definir el desarrollo cognitivo
Explicar las etapas del desarrollo cognitivo en el niño y el adolescente
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Analizar las etapas de desarrollo tanto del niño como del adolescente.
Describir las emociones que presentan en cada etapa.
Definir las características de cada etapa cognoscitiva
Deducir como se debe de favorecer ese desarrollo en el niño y el adolescente.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 121
DESARROLLO COGNOSCITIVO DEL NIÑO Y EL ADOLESCENTE
DEFINICIÓN Y NATURALEZA DE LA COGNICIÓN
La Cognición Es un término genérico que se usa para designar a todos los procesos por medio de los
cuales un individuo aprende e imparte significado a un objeto o idea, o bien a un conjunto
de objetos o ideas. Mediante los procesos cognoscitivos, la persona adquiere conciencia
y conocimientos acerca de un objeto. Entre estos procesos se cuentan los de percepción,
sensación, identificación, asociación, condicionamiento, pensamiento, concepción de
ideas, juicio, raciocinio, solución de problemas y memoria. Según Piaget, la cognición
entraña la conducta de estructuración que determina los diversos circuitos posibles entre
sujeto y objeto.
Desarrollo Cognoscitivo Se considera como una secuencia ascendente de etapas identificables, cada una de las
cuales es más compleja que la anterior. Por tanto, se puede diferenciar la conducta
cognoscitiva de las personas según las diferentes etapas de su desarrollo mental. El
conocimiento de la etapa de desarrollo cognoscitivo de un individuo permite predecir cual
será su más probable conducta de base cognoscitiva, y , al mismo tiempo, indica los
límites de los experimentos a los que se le podrá someter con provecho.
DESARROLLO COGNITIVO EN EL NIÑO Existen diferentes etapas evolutivas de desarrollo psicológico por las que pasan todas
las personas, cada una de ellas con sus características especiales. Es importante que
conozcamos cuales son estas etapas y qué es lo que las caracteriza para entender la
mentalidad de los niños y niñas y para enriquecer su desarrollo. Cada momento evolutivo
está definido, con las lógicas variaciones individuales, por unas características, que
debemos conocer para educar a los más pequeños
Áreas de desarrollo Las personas nos desarrollamos en diferentes áreas. Así se produce un desarrollo social,
afectivo, motor, del lenguaje y del pensamiento. Todas ellas están relacionadas, el
proceso de desarrollo es un proceso continuo y global. Todas las áreas están integradas
en el proceso mismo de crecimiento y todas se van desarrollando de forma conjunta,
interviniendo unas en otras.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 122
Es importante conocer, todas las áreas del desarrollo, en este caso nos centraremos en
el desarrollo del pensamiento.
Etapas del desarrollo cognitivo (de pensamiento)
Piaget divide el desarrollo del pensamiento en las siguientes etapas:
1. Periodo Sensoriomotor (0-2 años))
La inteligencia de los niños y niñas es práctica, centrada en el sí mismo, y en el momento
presente en el aquí y ahora. El niño se relaciona con el mundo a través de los sentidos y
la acción.
A lo largo de este periodo se producen importantes adquisiciones, la acción de los bebés
evoluciona desde los reflejos innatos, que se convierten en hábitos. Poco después
aparecen las reacciones circulares (acciones encaminadas a mantener un resultado) y
con estas los primeros esquemas mentales. Más adelante el bebé se interesa por el
mundo exterior y descubre los procedimientos como forma de reproducir hechos y de
esta manera elabora ya acciones intencionadas. Al finalizar el periodo, adquiere la
capacidad de representación, esto es el concepto de constancia de objeto, es decir busca
el objeto escondido, sabe que esta presente aunque no lo tenga a simple vista, hace una
representación mental del mismo. Con esto entra ya en el siguiente estadio.
¿Qué podemos hacer para favorecer el desarrollo?
Enriquece las reacciones circulares, trata de que después de determinadas
acciones del bebé ocurra siempre el mismo resultado.
Permítele enriquecer estas reacciones circulares y elaborar esquemas mentales,
introduce pequeñas modificaciones. Veamos un ejemplo, si el bebé agita el
sonajero y repite la acción porque sabe que siempre ocurre el mismo resultado,
un sonido que le gusta, coge el sonajero y golpéalo contra la mesa por ejemplo,
para que el bebé vea como se producen modificaciones del hábito, empezará a
explorar.
Favorece el aprendizaje por ensayo error, para ello déjale experimentar, si el niño
juega con algún objeto, déjale que explore, que ensaye con él.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 123
Proporciónale objetos que le permitan explorar el mundo más allá de sí mismo.
Utiliza para ello todo tipo de juguetes u objetos llamativos para él.
A partir de los 18 meses, comienza a jugar con él a esconder objetos. Muéstrale
el objeto y escóndelo por ejemplo bajo una servilleta, búscalo tú y alza la servilleta
enseñándole el objeto escondido. A continuación escóndelo de nuevo, y deja que
sea el niño el que busque el objeto escondido.
2. Pensamiento Pre-Operacional (2-7 años)
Se produce un avance en la forma de pensar. En esta etapa se produce un adelanto
extraordinario en la actividad representacional y aparece la función simbólica, los niños y
niñas utilizan símbolos para representar objetos, lugares y personas, puede retroceder y
avanzar en el tiempo. El pensamiento va más allá de los actos y los hechos inmediatos.
Pero en esta etapa el pensamiento es todavía rudimentario.
Características:
Egocentrismo. Los niños y niñas, entienden todo lo que pasa a su alrededor
partiendo de sí mismos. Ellos son el centro de todo lo que ocurre. Son incapaces
de ponerse en el lugar de otras personas. Son incapaces de distinguir los puntos
de vista propios de los de los otros. No son conscientes de otras perspectivas.
Incapacidad para conservar. No comprenden que ciertas características de los
objetos permanecen invariables, no cambian, cuando modifica su apariencia
externa. Veamos un ejemplo de esto, le mostramos al niño como pasamos una
cantidad de agua de un vaso a otro distinto (más estrecho y alto), no pueden
entender que haya la misma cantidad.
Razonamiento transductivo. Los niños y niñas en esta etapa razonan de lo
particular a lo particular. Se basa en muchas ocasiones en hechos desconectados
y hasta contradictorios.
Ausencia de clasificación jerárquica. No organizan objetos en clases basándose
en similitudes y diferencias entre ellos. Por ejemplo si les mostramos 6 canicas
blancas y 3 verdes, no es capaz de entender que el número total de canicas es
superior al de canicas blancas.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 124
Se consolida el lenguaje y hay progreso en el comportamiento emocional y social.
Juego simbólico
¿Qué podemos hacer para favorecer el desarrollo?
Ten en cuenta en todo momento las características de la etapa y trata de adaptarte
al pensamiento del niño.
Emplea el juego simbólico. Juega con ellos a simbolizar cosas. Puedes jugar a los
médicos, a las tiendas, etc.
Aprovecha la actividad lúdica para Favorecer las representaciones y la función
simbólica.
Permite la exploración, exploración y experimentación
Al final de la etapa, a partir de los 5 años, intentaremos estimular al niño, pero con
paciencia y sin forzar su ritmo, para que vaya adquiriendo procesos de la siguiente
etapa. Intentaremos ayudarle a clasificar por ejemplo por colores, a explicarle
nuestros puntos de vista, etc. Pero sin forzar, no debemos pretender que el
pequeño lo comprenda pues tal vez no esté preparado para ello, pero le iremos
introduciendo en una nueva forma de pensamiento que él sólo ira alcanzando y
descubriendo.
3. Pensamiento de operaciones concretas (6-12 años)
Es una etapa que se sustenta en los logros de las etapas anteriores y se logran
importantes avances en el pensamiento. Los niños y niñas adquieren mayores nociones
y superan cualitativamente las posibilidades de su pensamiento. El pensamiento se
convierte en lógico. En esta etapa, comienza el razonamiento, los pensamientos dejan
de ser intuitivos y se basan en el razonamiento. Se aplica la lógica y comienza a pensar
en lo posible.. El pensamiento es reversible, flexible y mucho más complejo.
Características:
Conservación. En esta etapa comprenden que los objetos conversan ciertas
características
Reversibilidad. Son capaces de retroceder con el pensamiento y relacionar hechos
y fenómenos observados con anterioridad con hechos presentes.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 125
La conservación y la reversibilidad les permiten coordinar puntos de vista.
Descentración. Su pensamiento ya no sólo se centra en un objeto u hecho, puede
establecer relaciones.
Capacidad de adoptar el papel de los demás, de ponerse en el lugar del otro.
Pensamiento lógico sobre lo concreto en el mundo inmediato. Pueden razonar,
pero sólo sobre cosas concretas que son reales.
Clasificación. Pueden organizar objetos en jerarquías de clases. Agruparlos según
similitudes o diferencias.
Seriación. Capacidad de organizar objetos en una serie que sigue un orden (por
ejemplo ordenar por altura creciente)
¿Qué podemos hacer para favorecer el desarrollo?
Desarrolla su capacidad de pensamiento reversible. Puedes emplear para ello por
ejemplo problemas de matemáticas, emplea problemas distintos pero similares,
déjale que los resuelva y le ayudas diciéndole “recuerdas el problema de ayer
¿cómo lo resolviste? ¿Qué hiciste mal?” poco a poco haz que los problemas sean
menos similares.
Ayúdale a identificar y plantear interrogantes a partir de la experiencia cotidiana.
Aprovecha para ello cualquier hecho, hazle preguntas y espera a que el responda,
pídele que te diga que se pregunta él ante ese hecho.
Haz que comprenda y establezca relaciones entre hechos y fenómenos del
entorno natural y social. Utiliza fenómenos relacionados y explícale las relaciones
causales entre los mismos. Más adelante empieza a hacerle preguntas ¿Por qué
crees que ocurre esto? ¿con que crees que está relacionado?
Dale oportunidades para que razone todo lo posible, sobre hechos concretos.
Apóyate en lo real y trata de hacerle pasar de lo concreto a lo abstracto. Para ello
primero transformaremos lo abstracto en lo concreto, emplea objetos cotidianos
para ejemplificar los conceptos abstractos, las cantidades por ejemplo, haz que
vean que el número 3 (concepto abstracto) significa que tienes una cantidad
determinada de algo, por ejemplo 3 canicas (objeto concreto). Después generaliza
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 126
ese concepto abstracto con varios ejemplos concretos, muéstrale que el número
3 simboliza 3 canicas, 3 naranjas, 3 lápices, 3 dados, etc.
Poco a poco introduce otros conceptos, como el de doble, mitad, etc. y procedes del
mismo modo, con objetos concretos le muestras lo que es doble y lo generalizas con más
objetos concretos.
4. Pensamiento Formal Abstracto (12 años en adelante)
Se logra la abstracción sobre conocimientos concretos observados, lo cual permite
emplear el razonamiento lógico inductivo y deductivo. Puede formular hipótesis, tiene en
cuenta el mundo de lo posible.
Características
Realidad concebida como subconjunto de lo posible. Se comprende que un
aspecto determinado puede deberse a un conjunto de factores. Son capaces de
prever situaciones. Porque pueden anticipar y ver diferentes posibilidades.
Carácter hipotético deductivo. Los adolescentes tienen ya la capacidad de buscar
un conjunto de explicaciones sobre algo, someterlas a prueba para comprobarlas.
Carácter proposicional. Para pensar sobre lo posible, no se basa solo en cosas
reales, ahora emplea además representaciones para pensar.
Pensamiento abstracto. Esto es pensar que sucede si…sin llegar a efectuar la
acción. Veámoslo, puede pensar que sucede si no llamo a mi abuela por su
cumpleaños, y anticipar lo que sucederá aunque no esté haciendo o no haciendo
la acción.
¿Qué podemos hacer para favorecer el desarrollo?
Emplea hechos cotidianos. Pregúntale que factores han provocado eso.
Haz debates con él. Deja que se exprese, exponle tu forma de pensar.
Analiza problemas éticos.
Pasa de lo concreto a lo abstracto, como en el periodo anterior, primero transforma
lo abstracto en ejemplos concretos y después estos los generalizas a lo abstracto.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 127
Ayúdale a elaborar hipótesis y deducciones.
Pautas generales en todo el proceso de desarrollo
Al igual que en el proceso de desarrollo físico, y crecimiento del cuerpo, cuando
hablamos de desarrollo psicológico, cada persona sigue su propio ritmo personal.
El camino de desarrollo de cada uno es único. Es importante ser flexibles y
pacientes en este aspecto y respetar los diferentes ritmos de desarrollo.
Proporciona estímulos para favorecer el desarrollo, pero ten en cuenta que hay
procesos que no puede alcanzar. No fuerces al niño antes de tiempo para que
alcance metas que no son adecuadas.
Deja que sean ellos los que reflexionen y piensen. Si lo haces por ellos, corres el
riesgo de dejarle acomodado en una etapa más tiempo del necesario. Por lo tanto
fomenta la evolución de su pensamiento, dejándole solo ante el problema, déjale
que piense y en todo caso haz de guía para que alcance la solución, pero no se lo
resuelvas.
DESARROLLO COGNITIVO EN EL ADOLESCENTE La adolescencia es la etapa que marca el comienzo del desarrollo de procesos de
pensamiento más complejos (también llamados operaciones lógico formales), entre los
que se encuentran el pensamiento abstracto (por ejemplo, posibilidades), la capacidad
de razonar a partir de principios conocidos (construir por uno mismo nuevas ideas o
elaborar preguntas), la capacidad de considerar distintos puntos de vista según criterios
variables (comparar o debatir acerca de ideas u opiniones) y la capacidad de pensar
acerca del proceso del pensamiento.
La capacidad intelectual de los pequeños va madurando con el paso del tiempo, van
aprendiendo cómo es el mundo y poco a poco, se van construyendo una imagen de sí
mismos. Como bien sabemos, el tránsito de la infancia a la adolescencia no es fácil y es
aquí donde se producen muchos de los cambios más importantes que marcarán la
personalidad del joven.
Este periodo es cada vez más complejo debido a las incesantes exigencias que marca la
sociedad: más habilidades sociales, más destreza física e intelectual y una mayor
adaptación a los cambios que hay que afrontar individualmente. Si durante toda la
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 128
infancia, la educación que le han proporcionado familia y escuela no ha ido encaminada
a fomentar estas habilidades, el adolescente puede tener problemas de adaptación
considerables.
La personalidad y las emociones La personalidad del adolescente está marcada por:
Sus sentimientos son contradictorios.
Mantiene conflictos de dependencia-independencia.
Tiene necesidad de pertenecer a un grupo, pero por otro lado también demanda
aislamiento y soledad para encontrar su propia identidad.
Búsqueda de su identidad sexual, moral y religiosa.
Búsqueda de su autonomía y de su propio yo.
En cuanto a las vivencias emocionales podemos destacar:
Dificultad para expresar sentimientos.
Presentan con frecuencia altibajos emocionales.
Necesidad de autoestima, reconocimiento y aceptación.
Inseguridad
Facilidad para que afloren sentimientos de soledad, vergüenza y culpabilidad.
Buscan relaciones de pareja.
Cambios en el desarrollo cognitivo que se presentan durante la adolescencia
Durante la adolescencia (entre los 12 y 18 años de edad), el adolescente adquiere la
capacidad de pensar sistemáticamente acerca de todas las relaciones lógicas implicadas
en un problema. La transición desde el pensamiento concreto hacia las operaciones
lógico-formales se produce con el tiempo. El progreso que cada adolescente realiza en
el desarrollo de su capacidad de elaborar pensamientos más complejos se lleva a cabo
de formas diferentes. Cada adolescente elabora un punto de vista propio acerca del
mundo. Es posible que algunos apliquen las operaciones lógicas a la resolución de tareas
escolares antes de poder aplicarlas a los dilemas de su vida personal. La presencia de
cuestiones emocionales frecuentemente interfiere en la capacidad que el adolescente
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 129
tiene para pensar con mayor complejidad. La habilidad para considerar posibilidades y
hechos puede influir ya sea de manera positiva o negativa en la toma de decisiones.
El progreso que implica la transición desde un desarrollo cognitivo más simple a uno más
complejo se evidencia a través de ciertos indicadores, entre los que se incluyen los
siguientes
Adolescencia Precoz (11-13 años)
Cuando comienza la pubertad, el joven es aún más niño que adolescente, suele estar
muy confundido y ávido de nuevas experiencias. Los primeros impulsos sexuales
comienzan a llegar a su cuerpo y ya se va acercando a grupos de amigos con los que se
siente identificado, aunque de momento esas pandillas son pequeñas y suelen estar
formadas por personas del mismo sexo. Su moralidad se basa en conceptos y principios
poco flexibles y rotundos.
Durante la adolescencia precoz, los pensamientos más complejos se dirigen hacia la
toma de decisiones personales en el colegio o el hogar, entre las que se encuentran las
siguientes:
El adolescente que se encuentra en esta etapa comienza a demostrar la habilidad
para aplicar operaciones lógico-formales en las tareas escolares.
También comienza a cuestionar la autoridad y las normas de la sociedad.
Empieza a formar y verbalizar sus propios pensamientos y puntos de vista acerca
de diversos temas generalmente relacionados con su propia vida, como por
ejemplo:
- cuáles son los mejores deportes para practicar.
- cuáles son los grupos más convenientes para incluirse.
- qué aspecto personal es atractivo o deseable.
- qué reglas establecidas por los padres deberían cambiarse.
Adolescencia Media (14-15 años)
El joven ya se encuentra inmerso en mitad de la adolescencia con la crisis que ello
conlleva. Su intimidad, su aspecto y la sexualidad son tres de los aspectos que más le
preocupan. Vive con mucha intensidad el conflicto dependencia-independencia, es decir,
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 130
es egocéntrico pero al mismo tiempo también necesita del grupo, en el cual cada vez se
integra más imitando a los miembros y defendiéndolos, llegando incluso a adoptar las
normas del grupo porque las considera más valiosas que las de los adultos. En esta edad
suceden los primeros enamoramientos y es cuando se encuentra la identidad sexual de
cada uno. Al contrario de la fase anterior, aquí el grupo ya está formado por chicos y
chicas. En la esfera moral se van flexibilizando sus opiniones y sus normas morales son
cada vez más laxas, incluso claramente permisivas con aquello que le interesa y que le
sirve para justificar sus actos y satisfacer sus deseos.
Debido a que el adolescente cuenta ya con algo más de experiencia en el uso de los
procesos del pensamiento más complejos, el énfasis en la adolescencia media
frecuentemente se extiende e incluye cuestiones más filosóficas y futuristas, entre las
que se incluyen las siguientes:
El adolescente que se encuentra en esta etapa suele cuestionar con una mayor
profundidad.
Suele analizar también con una mayor profundidad.
Piensa acerca de su propio código ético y comienza a elaborarlo (por ejemplo,
"¿Qué creo yo que es lo correcto?").
Piensa acerca de diferentes posibilidades y comienza a desarrollar su propia
identidad (por ejemplo, "¿Quién soy?").
Piensa acerca de posibles metas para el futuro y comienza a considerarlas
sistemáticamente (por ejemplo, "¿Qué es lo que quiero?").
Piensa acerca de sus propios planes y comienza a elaborarlos.
Comienza a pensar a largo plazo.
El hecho de que el adolescente piensa sistemáticamente comienza a influir en su
relación con los demás.
Adolescencia tardía (16-18 años)
Los rasgos de adulto empiezan a aflorar en su cuerpo y en sus pensamientos, ya actúa
con más seguridad (aparente o real) y es capaz de tomar decisiones importantes. Su
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 131
personalidad está prácticamente formada, lo que va a ser de adulto estará estrechamente
ligado a lo que ha vivido en esta etapa. A nivel de relaciones sociales es más selectivo y
a la vez más extrovertido, necesita menos del grupo y puede involucrarse en relaciones
de pareja, aunque éstas son generalmente inestables. En esta época se desliga de las
opiniones y reglas morales del grupo forjándose y manifestando las suyas propias. Es en
esta última etapa, a un paso de la adulta, donde el adolescente es capaz de asumir la
responsabilidad individual de sus actos.
Durante la adolescencia tardía, los procesos de pensamiento complejos se utilizan para
concentrarse en conceptos menos egocéntricos y en la toma de decisiones, entre las que
se incluyen las siguientes:
El adolescente que se encuentra en esta etapa piensa con mayor frecuencia
acerca de conceptos más globales como por ejemplo, la justicia, la historia, la
política y el patriotismo.
Frecuentemente, desarrolla puntos de vista idealistas acerca de temas o
cuestiones específicas.
Es posible que se involucre en debates y que no tolere puntos de vista diferentes.
Comienza a dirigir el pensamiento hacia la decisión de optar por una carrera.
Comienza a dirigir el pensamiento hacia el rol que desempeñará en la sociedad
como un adulto.
Estimular un desarrollo cognitivo adecuado durante la adolescencia A continuación se enumeran algunas recomendaciones que ayudarán a estimular un
desarrollo cognitivo adecuado y positivo en el adolescente:
Incluya a los adolescentes en discusiones acerca de diversos temas, cuestiones y
hechos actuales.
Estimúlelos para que compartan sus ideas y pensamientos con usted.
Aliéntelos a pensar por sí mismos y a desarrollar sus propias ideas.
Ayúdelos a establecer sus propias metas.
Aliéntelos a pensar acerca de las posibilidades futuras.
Felicítelos y elógielos cuando toman buenas decisiones.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 132
Ayúdelos a volver a evaluar por sí mismos las malas decisiones.
¿Por qué los adolescentes sufren crisis existenciales? Todos los jóvenes deben atravesar la crisis de la adolescencia con mayor o menor
intensidad, que va acompañada de un sentimiento de vacío que intentan llenar con
relaciones afectivas, amigos, ideas, diversión, aceptación social y religión.
En esta etapa hay que estar muy atento a los comportamientos de los adolescentes, ya
que pueden llenar ese vacío con prácticas poco recomendables como buscar diversión
junto con el consumo de drogas o alcohol, consumismo compulsivo, etc.
La crisis vital del adolescente forma parte de su desarrollo cognitivo y podríamos afirmar
que es la primera gran crisis vital de la persona, es la crisis de la identidad del yo. Es una
etapa muy frágil a nivel mental en la que el adolescente vive una situación de gran riesgo
para los trastornos psicológicos (sentimientos de angustia, tristeza, decepción y duda
sobre sí mismo).
Es labor de los padres estar muy pendientes de los cambios que sufren sus hijos durante
la pubertad, ya que ante el menor indicio de trastorno mental es muy importante acudir a
un buen especialista.
Joseline Andrea Azurdia Marroquín 133
CONCLUSIONES
El niño durante todo su proceso de crecimiento se desarrolla buscando su propia
identidad, estableciendo vínculos emocionales, expresando sus sentimientos y
estableciendo relaciones emocionales de todo tipo. Además de estos cambios, también
experimenta un desarrollo cognitivo.
La capacidad intelectual de los pequeños va madurando con el paso del tiempo, van
aprendiendo cómo es el mundo y poco a poco, se van construyendo una imagen de sí
mismos. Como bien sabemos, el tránsito de la infancia a la adolescencia no es fácil y es
aquí donde se producen muchos de los cambios más importantes que marcarán la
personalidad del joven.
Este periodo es cada vez más complejo debido a las incesantes exigencias que marca la
sociedad: más habilidades sociales, más destreza física e intelectual y una mayor
adaptación a los cambios que hay que afrontar individualmente. Si durante toda la
infancia, la educación que le han proporcionado familia y escuela
no ha ido encaminada a fomentar estas habilidades, el adolescente puede tener
problemas de adaptación considerables.
RECOMENDACIONES
Tanto como el niño y el adolescente tienen un desarrollo mental, en donde va obteniendo
habilidades de destreza física e intelectual, es por ello que para el aprendizaje se debe
de dejar que ellos vayan construyendo su propio concepto de lo que están aprendiendo,
buscar metodologías y técnicas de aprendizaje donde ellos vayan descubriendo lo que
se quiere transmitir.
En Matemáticas hay muchas técnicas y metodologías, como lo es el método COPISI
donde ellos van construyendo con el material las ecuaciones que se quieren llegar a
construir o el número al que se quiere llegar.
En Física el docente puede utilizar experimentos donde ellos van activando los
conocimientos previos y además de tener la observación van a tener el tacto para ir
desarrollando de mejor manera el concepto de la clase.
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BIBLIOGRAFÍA
Royer, J. (1978). TEORIA COGNOSCITIVA. En Royer, J. Psicología del aprendizaje
(págs 127-146). México: Limusa
Horrocks, J. (1989). DESARROLLO AFECTIVO Y COGNOSCITIVO. En Horrocks J.
Psicología del adolescente (págs 81-100). México: Trillas.
Woolfolk, A. (2010), DESARROLLO COGNOSCITIVO Y LENGUAJE. En Woolfolk, A.
Psicología educativa (págs 24-64). México: Pearson.