Embed Size (px)
Citation preview
Formelsamling for Matte IIIEspen Løkseth
18. desember 2010
1
Innhold
1 Om dette dokumentet 3
2 Partiell derivasjon 42.1 Eksplisitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Implisitt kjernederivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Retningsderivert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Plotting av funksjoner av flere variabler 43.1 Solid-plotting: eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Gradientvektor 54.1 Tangentplan til en flate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Normalplan til en flate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Lagranges multiplikatormetode 6
6 Parametrisering 66.1 Kurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.1.1 Rett linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2 Eksempel 1 - kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.3 Eksempel 2 - flate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.4 Eksempel 3 - legeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.5 Maple og parametrisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Multiple integraler og koordinatsystemer 87.1 Dobbeltintegral i kartesiske koordinater (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2 Dobbeltintegral i polare koordinater (r, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.3 Trippelintegral i sylinderkoordinater (r, θ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.4 Trippelintegral i kulekoordinater (ρ, θ, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.5 Koordinatsystem i Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.6 Anvendelser av multiple integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8 Variabelskifte i multiple integral 98.1 Eksempel: oppgave 13.9.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9 Vektorfelt med div og curl 109.1 Konservative vektorfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.2 Divergens og curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.3 Regneregler for gradientoperatoren ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10 Linjeintegral 1110.1 Linjeintegral mhp buelengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110.2 Linjeintegral mhp koordinatvariablene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210.3 Arbeidsintegralet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210.4 Anvendelser av linjeintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210.5 Eksempel 1: linjeintegral av en funksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310.6 Eksempel 2: linjeintegral av et vektorfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
11 Uavhengighet av integrasjonsvei 1311.1 Eksempel: oppgave 14.3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
12 Greens teorem 1412.1 Areal avgrenset av lukket kurve ved Greens teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.2 Eksempel: oppgave 14.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
13 Areal av flater 1513.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.2 Spesialtilfellet z = f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14 Flateintegral = integrere en funksjon over en flate 15
15 Fluksintegralet 1615.1 Spesialtilfellet z = f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2 Eksempel: oppgave 4 eksamen 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 Divergensteoremet = Gauss’ setning 1816.1 I rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.2 I planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17 Stokes’ teorem 1817.1 Eksempel: eksamen april 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Om dette dokumentet
De fleste eksempler er hentet fra øvingsoppgavene i Calculus Early Transcendentals, gamle eksamener,eller Kai sitt forelesningsnotat.
Mange av Maple-kommandoene forutsetter at Maple-supplementet for Mathema-bøkene er installert.Supplementet kan hentes her: http://butikk.tapirforlag.no/no/node/1056.
Kommandoen tanplan i ClassPad defineres ved å skrive følgende i Main-vinduet:
Define tanplan(f,a,b,c)=simplify(((diff(f,x)|{x=a,y=b,z=c})*(x-a)+(diff(f,y)|{x=a,y=b,z=c})*(y-b)+(diff(f,z)|{x=a,y=b,z=c})*(z-c))=0)
Bruk av kommandoen er beskrevet under avsnitt 4.1 Tangentplan til en flate.
Espen Løkseth 20©10LA7XNA
3
2 Partiell derivasjon
2.1 Eksplisitt
Gitt at w = f(x, y, z) der x = x(t), y = y(t) og z = z(t). Vi har da
∂w
∂t=∂f
∂x· dxdt
+∂f
∂y· dydt
+∂f
∂z· dzdt
2.2 Implisitt kjernederivasjon
F (x, y, z) = 0 definerer z = f(x, y) implisitt. Da er den implisitt deriverte gitt ved
fx =∂f
∂x= −Fx
Fzog fy =
∂f
∂y= −Fy
Fz
NB: minus!
2.3 Retningsderivert
La f(x, y, z) være temperaturen i et punkt i rommet. Den retningsderivert til f(x, y, z) i retning ~u =[a, b, c] i punktet (x0, y0, z0) er gitt ved
df
ds= ∇f(x0, y0, z0) · ~v [◦C/m] der ~v =
~u
|~u|
Maple, dfds i punktet P (1, 2, 3) med retning ~v = [2, 2, 1]:
with(Student[VectorCalculus]):v:=<2,2,1>;f:=(x,y,z)->10+x*y+x*z+y*z;DirectionalDiff(f(x,y,z),v,[x,y,z]);subs(x=1,y=2,z=3,%);
3 Plotting av funksjoner av flere variabler
“Vanlig” plotting gjøres med kommandoen implicitplot fra standardpakken plots. Plotting av legemergjøres med dzdrdtplot, dxdydzplot og lignende fra pakken calcplot som ligger i Maple-supplementet.
Det er også nyttig å kunne plotte punkt, f.eks. ved bruk av Lagranges metode. Maple tegner ikke punkti rommet bra med standardinnstillingene! Løsning:Tools → Options → Display → Huk av for Use hardware accelerations for plots → Apply Globaly.
Plotting i sylinder- og kulekoordinater med Maple er spesielt:dpdtdphiplot(rho=f(theta,phi)..g(theta,phi), theta=h(phi)..k(phi), phi=a..b),legg merke til p og t i kommandoen, mens det skal stå rho og theta i argumentene (kulekoordinater).
Maple:with(plots):p1:=implicitplot3d(z=9-x∧2-(y-1)∧2,x=-4..4,y=-3..5,z=0..10,numpoints=10000,color=red):p2:=point([0,1,9],symbol=diamond,color=green,symbolsize=50):display(p1,p2);
4
with(calcplot):dzdrdtplot(z=-2r*cos(theta)..r∧2,r=0..-2cos(theta),theta=0..Pi,labels=[x,y,z],numpoints=12000,color=blue);dpdtdphiplot(rho=0..1,theta=0..Pi/4,phi=0..Pi/2);
3.1 Solid-plotting: eksempel
Du har vridd hjernen og funnet at legemet er avgrenset av:0 ≤ z ≤ 1− x− y0 ≤ y ≤ 1− x0 ≤ x ≤ 1
Maple:with(calcplot):dzdydxplot(z=0..1-x-y,y=0..1-x,x=0..1);
4 Gradientvektor
Gradientvektoren ∇f = normalvektoren til en flate definert av f , står vinkelrett på tangentplanet, liggeri normalplanet.
∇f(x, y, z) =
[∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
]= [fx, fy, fz]
Maple:with(linalg):grad(f(x,y,z),[x,y,z]);
4.1 Tangentplan til en flate
La F (x, y, z) = 0 definere en flate i rommet. Tangentplanet til flaten i punktet (x0, y0, z0) finnes vedhjelp av normalvektoren ~n = ∇F (x0, y0, z0) = [a, b, c]. Likningen for et generelt plan er
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
NB! Her kødder Maple! Bruk ClassPad: tanplan(F (x, y, z), x0, y0, z0). Sett z0 = 0 hvis du vil finnetangenten i planet.
4.2 Normalplan til en flate
Vi har to flater F og G som skjærer hverandre. Finn likningen for normalplanet til et punkt P påskjæringskurven. En vektor ~T vil stå normalt på begge tangentplanene hvis vi setter ~T = ∇F ×∇G.Vi kan sette inn punktet P (x0, y0, z0) i ∇F og ∇G før kryssmultipliseringen. Da blir ~T = [a, b, c]normalvektoren til normalplanet, slik at likningen for planet blir som før
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Se side 12 i forelesningsnotatene.
5
5 Lagranges multiplikatormetode
Funksjonen f(x, y, z) skal maksimal-/minimaliseres under bibetingelsen(e) g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0,. . . Det er viktig å finne riktig funksjon f . Er det snakk om avstand, bruk kvadratet av avstanden,avstand2, for å slippe unna stygge rotuttrykk.
∇f = λ1 · ∇g + λ2 · ∇h+ . . .g(x, y, z) = 0h(x, y, z) = 0...
Vektorer på komponentform−−−−−−−−−−−−−−−−−→
fx = λ1 · gx + λ2 · hx + . . .fy = λ1 · gy + λ2 · hy + . . .fz = λ1 · gz + λ2 · hz + . . .g(x, y, z) = 0h(x, y, z) = 0...
I Maple: husk å snu betingelsene slik at g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0, . . . før de settes inn!
Maple:with(Student[MultivariateCalculus]):f:=(x,y,z)->:g:=(x,y,z)->:h:=(x,y,z)->:LagrangeMultipliers(f(x,y,z),[g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z],output=detailed):map(allvalues,[%]);
6 Parametrisering
Parametrisering av kurver, flater og legemer er viktig, spesielt ved bruk av Maple. Parametrisering giren enkel måte å beskrive ting på. Antall parametre er bestemt av hva som skal parametriseres:
• En kurve: 1 parameter gir lengdeenhet (f.eks. m)
• En flate: 2 parametre gir flateenhet (f.eks. m2)
• Et legeme: 3 parametre gir volumenhet (f.eks. m3)
6
6.1 Kurver
En kurve C kan uttrykkes som
C :
x = x(t)y = y(t)z = z(t)
Eller ved posisjonsvektoren ~r(t).
~r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Maple:with(Student[VectorCalculus]):r:=[t,sin(5*t),cos(5*t)];spacecurve(r,t=-3..3, numpoints=1000);
6.1.1 Rett linje
En rett linje l gjennom (x0, y0, z0) parallell med ~v = [a, b, c] kan uttrykkes slik:
[x, y, z] = [x0, y0, z0] + t [a, b, c] eller l :
x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct
6.2 Eksempel 1 - kurve
Kurven C er ellipsenx2
4+y2
9= 1. Parametriser denne ellipsen.
En ellipse har likningenx2
a2+y2
b2= 1 og kan alltid parametriseres til
~r(t) = [a cos t, b sin t] som her blir ~r(t) = [2 cos t, 3 sin t]
6.3 Eksempel 2 - flate
Vi har gitt sylinderflaten y =√
9− x2. Flaten er avgrenset av planene z = 0 og z = 3. Parametriserdenne flaten. NB! Kun sylinderfalten, ikke topp og bunn.Vi tenker polarkoordinater. Husk at på selve flaten er radiusen konstant, her er den 3. Dermed “forsvin-ner” radiusparameteren, og vi sitter igjen med vinkelen θ og høyden z.
~r(θ, z) = [5 cos θ, 5 sin θ, z] der 0 ≤ θ ≤ 2π og 0 ≤ z ≤ 3
eller direkte i sylinderkoordinater:
~r(θ, z) = [5, θ, z] der 0 ≤ θ ≤ 2π og 0 ≤ z ≤ 3
6.4 Eksempel 3 - legeme
Vi har den samme sylinderen som i forrige eksempel, y =√
9− x2. Et legeme er avgrenset av sylinderenog planene z = 0 og z = 3. Parametriser dette legemet.Vi må ha tre parametre, nå er radiusen IKKE konstant da sylinderen er massiv.
~r(r, θ, z) = [r cos θ, r sin θ, z] der 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π og 0 ≤ z ≤ 3
eller direkte i sylinderkoordinater:
~r(r, θ, z) = [r, θ, z] der 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π og 0 ≤ z ≤ 3
7
6.5 Maple og parametrisering
Maple kan heldigvis ta inn parametrisering av kurver, flater og legemer i alle slags koordinatsystem.De vanlige er: cartesian, cylindrical og spherical. Parametrisering i forskjellige koordinatsystemer ekstremt viktig f.eks. for å få til effektiv bruk av Maple ved beregning av fluksintegralet.
7 Multiple integraler og koordinatsystemer
7.1 Dobbeltintegral i kartesiske koordinater (x, y, z)
Volumet over flaten R og under taket z = f(x, y) er gitt ved¨Rf(x, y) dA =
¨Rf(x, y) dxdy dA = dxdy
7.2 Dobbeltintegral i polare koordinater (r, θ)
{x = r cos θy = r sin θ
r2 = x2 + y2
tan θ =y
x0 ≤ θ ≤ 2π¨
Rf(x, y) dA =
¨Tf(r cos θ, r sin θ) rdrdθ dA = rdrdθ
7.3 Trippelintegral i sylinderkoordinater (r, θ, z)x = r cos θy = r sin θz = z
r2 = x2 + y2
tan θ =y
x0 ≤ θ ≤ 2π˚
Rf(x, y, z) dV =
˚Tf(r cos θ, r sin θ, z) rdrdzdθ dV = rdrdzdθ
7.4 Trippelintegral i kulekoordinater (ρ, θ, φ)x = ρ sinφ cos θy = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ
Krav :0 ≤ ρ <∞ = “radius” ut fra orego (rho)0 ≤ θ ≤ 2π = vanlig θ i xy-planet0 ≤ φ ≤ π = vinkel med z-aksen. 0 er rett opp, π er rett ned (phi)
ρ2 = x2 + y2 + z2
cosφ =z
ρ=ρ2 − x2 − y2
x2 + y2 + z2
tan θ =y
z=ρ2 − x2 − z2
ρ2 − x2 − y2˚
Rf(x, y, z) dV =
˚TF (ρ, θ, φ) ρ2 sinφdρdφdθ dV = ρ2 sinφdρdφdθ
8
7.5 Koordinatsystem i Maple
Spesielt gjelder dette regning med vektorfelt og kommandoen Flux.
Maple:cartesiancylindricalspherical
7.6 Anvendelser av multiple integral
Et legeme T med tetthetsfunksjon δ(x, y, z) (≡ ρ i fysikk) er gitt. Volumet V , massen m, tyngdepunktet(x, y, z) og treghetsmomentene Ix,y,z finnes ved:
m =
˚Tδ(x, y, z) dV x =
1
m
˚Tx · δ(x, y, z) dV
V =
˚TdV y =
1
m
˚Ty · δ(x, y, z) dV
Ix =1
m
˚T
(y2 + z2
)· δ(x, y, z) dV z =
1
m
˚Tz · δ(x, y, z) dV
Iy =1
m
˚T
(x2 + z2
)· δ(x, y, z) dV
Iz =1
m
˚T
(x2 + y2
)· δ(x, y, z) dV
8 Variabelskifte i multiple integral
Bruk absoluttverdien til Jacobideterminanten. Husk at i det endelige integralet må alt uttrykkes vedu og v. Her er formlene for variabelskifte i planet, tilsvarende for rommet.
¨Rf(x, y)dxdy =
¨Df(x(u, v), y(u, v)) ·
∣∣∣∣∂(x, y)
∂(u, v)
∣∣∣∣ dudveller med en enklere Jacobideterminant:
¨Rf(x, y)dxdy =
¨Df(x(u, v), y(u, v)) ·
∣∣∣∣∣∣ 1∂(u,v)∂(x,y)
∣∣∣∣∣∣ dudvJacobideterminantene er definert som:
∣∣∣∣∂(x, y)
∂(u, v)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂u
∂x
∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣ og
∣∣∣∣∂(u, v)
∂(x, y)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∂u
∂x
∂u
∂y∂v
∂x
∂v
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣For Maple har vi følgende∣∣∣∣∂(u, v, w)
∂(x, y, z)
∣∣∣∣ = det(jacobian([u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)],[x,y,z]));
altså det som står i nevner skal stå i [firkantparantesen]. Funksjonene u, v og w må selvsagt defineresførst. Se avsnitt 8.1 for et eksempel.
9
8.1 Eksempel: oppgave 13.9.15
R er parallellogrammet avgrenset av x+ y = 1x+ y = 2
og 2x− 3y = 52x− 3y = 2
. Finn arealet av R.
Løsning:Velger selvsagt u = x + y og v = 2x − 3y. Et areal vil si at vi setter f(x, y) ≡ 1, og slipper dermed åuttrykke f ved u og v. Vi har:∣∣∣∣∂(u, v)
∂(x, y)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∂u∂x
∂u∂y
∂v∂x
∂v∂y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1 12 −3
∣∣∣∣ = −3− 2 = −5
A =
¨Rdxdy =
¨D
∣∣∣∣∣∣ 1∂(u,v)∂(x,y)
∣∣∣∣∣∣ dudvOmrådet D i uv-planet blir avgrenset av 1 ≤ u ≤ 2 og 2 ≤ v ≤ 5. Dermed er arealet gitt ved
A =
ˆ 5
2
ˆ 2
1
∣∣∣∣ 1
−5
∣∣∣∣ dudv=3
5
Maple:with(linalg):u:=(x,y)->x+y;v:=(x,y)->2*x-3*y;jac:=det(jacobian([u(x,y),v(x,y)],[x,y]));Doubleint(1/abs(jac),u=1..2,v=2..5);value(%);
9 Vektorfelt med div og curl
Vektorfeltet ~F tilordner en vektor til ethvert punkt i Rn. Gradienten ∇f til f er et vektorfelt.
~F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] = [P,Q,R]
Maple:with(plots):F:=[x,y,z];fieldplot3d(F,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5);
9.1 Konservative vektorfelt
Et vektorfelt ~F = [P,Q, (R)] er konservativt hvis ett (⇔ alle) av følgende krav eroppfylt:
∂P
∂y=∂Q
∂x= 0 curl ~F = ∇× ~F = ~0 ~F = ∇f
10
9.2 Divergens og curl
div ~F = ∇ · ~F =∂P
∂x+∂Q
∂y+∂R
∂zcurl ~F = ∇× ~F =
~i ~j ~k
∂P
∂x
∂Q
∂y
∂R
∂z
P Q R
Strømmens ekspansjon. Graden av rotasjon i strømmen.
9.3 Regneregler for gradientoperatoren ∇
∇ =
[∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
]I følgende tabeller er f og g funksjoner, ~F og ~G vektorfelt og a og b konstanter.
∇(af + bg) = a∇f + b∇g ∇ · (a~F + b ~G) = a(∇ · ~F ) + b(∇ · ~G)
∇(fg) = f∇g + g∇f ∇ · (f ~G) = f · (∇ · ~G) + (∇f) · ~G
For curl gjelder følgende
∇× (~F + ~G) = ∇× ~F +∇× ~G ∇× (f ~G) = f · (∇× ~G) + (∇f)× ~G
Legg merke til at div(curl ~F ) = ∇ · (∇× ~F ) = 0 og curl(∇f) = ∇× (∇f) = ~0 så lenge vi har kontinu-erlige andreordens deriverte (≈ "alltid").
Maple: regn med divergens for prikkprodukt og curl for kryssprodukt med ∇with(Student[VectorCalculus]):SetCoordinates(cartesian[x,y,z]);F:=VectorField(<P,Q,R>);’divF’=diverge(F,[x,y,z]);’curlF’=curl(F,[x,y,z]);
10 Linjeintegral
Viktig: Vi må skille mellom:
• Buelengdeelementet ds - en del av en buelengde [m] (lengdeenhet)
• Flateelementet dS - en del av en flate [m2] (arealenhet)
10.1 Linjeintegral mhp buelengde
En streng C i rommet er parametrisert som i kapittel 6. Linjeintegralet av en funksjon f langs C medhensyn på buelengde er gitt ved
ˆCf(x, y, z) ds =
ˆ b
af(x(t), y(t), z(t)) ·
√x2 + y2 + z2 dt
11
For å finne buelengden til C, sett f ≡ 1.Eksempel: Gitt posisjonsvektoren r(t) =
[et cos t, et sin t, et
]finn buelengden når 0 ≤ t ≤ π.
Svar vha. Maple:√
3 (eπ − 1) ≈ 38.349
Maple:with(VectorCalculus):PathInt(1,[x,y,z]=Path(<exp(t)*cos(t),exp(t)*sin(t),exp(t)>,t=0..Pi));# eller:ArcLength(<exp(t)*cos(t),exp(t)*sin(t),exp(t)>,t=0..Pi);
10.2 Linjeintegral mhp koordinatvariablene
Linjeintegralet av f langs C med hensyn på koordinatvariablene er gitt ved
x :
ˆCf(x, y, z) ds =
ˆ b
af(x(t), y(t), z(t))x dt
y :
ˆCf(x, y, z) ds =
ˆ b
af(x(t), y(t), z(t))y dt
z :
ˆCf(x, y, z) ds =
ˆ b
af(x(t), y(t), z(t))z dt
10.3 Arbeidsintegralet
Vi kombinerer de tre formlene for linjeintegral mhp koordinatvariablene ved å settedx = xdtdy = ydtdz = zdt
⇔ [dx, dy, dz] = [x, y, z] dt = d~r.
Ut fra dette får vi arbeidsintegralet :
W =
ˆC
~F d~r =
ˆC
~F · ~T ds
=
ˆCP dx+Qdy +Rdz
=
ˆ b
a
~F (x(t), y(t), z(t)) [x, y, z] dt
Arbeidsintegralet forteller hvor mye arbeid kraften utfører ved å flytte en partikkel fra punkt A til B.
10.4 Anvendelser av linjeintegral
Når vi kjenner tettheten δ, er massen m og tyngdepunktet (x, y, z) til en tynn streng C i rommet er gittved
x =1
m
ˆCx · δ ds
y =1
m
ˆCy · δ ds der m =
ˆCδ ds
z =1
m
ˆCz · δ ds
12
10.5 Eksempel 1: linjeintegral av en funksjon
Beregn linjeintegralet´C x
2y2 ds der C er kurven parametrisert ved
C :
x(t) = cos ty(t) = sin tz(t) = t
og 0 ≤ t ≤ 2π.
Løsning:
Bruk formelen´ ba~F (x(t), y(t), z(t)) [x, y, z] dt. Her blir alt skalare størrelser, svaret blir
1
4
√2π
Maple:with(Student[VectorCalculus]):PathInt(x∧2*y∧2,[x,y,z]=Path(<cos(t),sin(t),t>, t=0..2*Pi));
10.6 Eksempel 2: linjeintegral av et vektorfelt
Beregn arbeidet gitt ved´C~F d~r når ~F (x, y, z) = [y,−x, z] og
C :
x(t) = sin ty(t) = cos tz(t) = 2t
der 0 ≤ t ≤ π.
Løsning:
d~r
dt= [x, y, z]⇒ d~r = [cos t,− sin t, 2] dt⇒ ~F · d~r = [cos t,− sin t, 2t] · [cos t,− sin t, 2] dt = (4t+ 1) dt
ˆC
~F d~r =
ˆ π
0(4t+ 1) dt = π + 2π2
Maple:with(Student[VectorCalculus]):SetCoordinates(cartesian[x,y,z]);F:=VectorField(<y,-x,z>);LineInt(F, Path(<sin(t),cos(t),2*t>, t=0..Pi));
11 Uavhengighet av integrasjonsvei
Integralet´C~F · ~Tds =
´C~Fd~r er uavhengig av integrasjonsvei fra A til B hvis og bare hvis ~F er et
konservativt vektorfelt. Da er integralet gitt ved:ˆC
~F · ~T ds =
ˆC∇f d~r = f(B)− f(A)
der f er potensialfunksjonen til ~F slik at ~F = ∇f . Uavhengighet av vei betyr at vi ikke trenger å kjennekurven C mellom punktene, så lenge startpunktet er A og endepunktet er B.
11.1 Eksempel: oppgave 14.3.21
Vis at integralet et uavhengig av integrasjonsvei og regn ut:ˆ (1,2)
(0,0)(y2 + 2xy)dx+ (x2 + 2xy)dy
13
LøsningFørst må vi finne ut om vi har med et konservativt vektorfelt å gjøre. Vi har:
~F (x, y) = [y2 + 2xy, x2 + 2xy] = [P,Q]
Som gir:∂P
∂y= 2y + 2x
∂Q
∂x= 2y + 2x
Altså ∂P∂y = ∂Q
∂x som fører til at ~F er konservativt. Da kan vi finne en potensialfunksjon f(x, y) sompasser, og sette
´C~F · ~TdS = f(B)− f(A).
Integrerer partielt og får:
∂f
∂x= y2 + 2xy
´dx⇒ f(x, y) = xy2 + x2y + C1(y)
∂f
∂y= x2 + 2xy
´dy⇒ f(x, y) = x2y + xy2 + C2(x)
Vi ser at begge de ubestemte leddene forsvinner, og potensialfunksjonen f(x, y) = x2y+ xy2 passer. Vihar: ˆ (1,2)
(0,0)(y2 + 2xy)dx+ (x2 + 2xy)dy = f(1, 2)− f(0, 0) = 6− 0 = 6
Under er et eksempel på et linjeintegral av et curlfritt vektorfelt i rommet (eksamen 21.04.2009).
Maple:with(VectorCalculus):SetCoordinates(cartesian[x,y,z]):F:=VectorField(<-x,2y,z>);f:=unapply(ScalarPotential(F),(x,y,z));f(-3,-3,17)-f(2,2,7);
12 Greens teorem
La C være en lukket kurve (startpunkt = sluttpunkt, A = B) som avgrenser et område R i planet. Hvis~F er konservativt, er
´C~F · ~Tds = f(B)− f(A) = 0.
Dersom ~F ikke er konservativt, gjelder Greens teorem:ffiCPdx+Qdy =
¨R
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dA
Positiv integrasjonsretning er mot klokka . Her er integrasjonsveien langs kurven C viktig!
12.1 Areal avgrenset av lukket kurve ved Greens teorem
Arealet A av området R avgrenset av den enkle, glatte og lukkede kurven C i positiv retning er gittved Greens teorem slik
A =1
2
ffiC−y dx+ x dy = −
ffiCy dx =
ffiCx dy =
¨RdA
14
12.2 Eksempel: oppgave 14.4.2
x
y
(0,0) (1,0)
(0,1)
Figur 1: Integrasjons-veien for eksempel 12.2
Beregn´C Pdx+Qdy når P (x, y) = x2 + y2 og Q(x, y) = −2xy der C er tre-
kanten avgrenset av linjene x = 0, y = 0 og x+ y = 1.
Løsning:Vi finner at ∂P
∂y 6=∂Q∂x ⇒ ikke konservativt. Siden trekanten er avgrenset av en
lukket kurve, kan vi bruke Greens teorem. Integrasjonsveien er vist på figur 1,legg merke til at retningen er mot klokka. Vi ser at integralet langs trekantenblir:
ffiCPdx+Qdy =
¨R
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dA
=
ˆ 1
0
ˆ 1−x
0(−2y − 2y) dydx= −2
3
Maple:with(VectorCalculus):SetCoordinates(cartesian[x,y]);F:=VectorField(<x∧2+y∧2,-2*x*y>);LineInt(F,LineSegments(<0,0>,<1,0>,<0,1>,<0,0>));
13 Areal av flater
13.1 Generelt
En generell flate S gitt ved F (x, y, z) = 0 der x = x(u, v), y = y(u, v) og z = z(u, v) blir i parameter-framstilling:
~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
Arealet av S kan da finnes ved:
Areal(S) =
¨R
∣∣∣∣∂~r∂u × ∂~r
∂v
∣∣∣∣ dudv13.2 Spesialtilfellet z = f(x, y)
En flate S er gitt ved z = f(x, y). Arealet av denne flaten er gitt ved den enkle formelen:
Areal(S) =
¨R
√1 + z2x + z2y dxdy
14 Flateintegral = integrere en funksjon over en flate
Det samme gjelder fortsatt, bare å sette inn funksjonen:¨Sf(x, y, z)dS =
¨Rf(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ·
∣∣∣∣∂~r∂u × ∂~r
∂v
∣∣∣∣ dudvog i spesialtilfellet z = f(x, y):
¨Sf(x, y)dS =
¨Rf(x, y)
√1 + z2x + z2y dxdy
15
15 Fluksintegralet
Hvis vi sier at ~F = hastighetsfelt [m/s], betyr dette at hver partikkel i rommet har en bestemt has-tighet. Vi lar så ~n = enhetsnormalvektor til en flate S. Kun ~F langs ~n bidrar til strømmen, ~F · ~n girnormalkomponenten til ~F .
Φ =
¨S
~F · ~n dS ⇒ Volumstrøm gjennom hele flaten S.
~F · ~n︸ ︷︷ ︸m/s
dS︸︷︷︸m2︸ ︷︷ ︸
m3/s
⇒ Volumstrøm gjennom det lille flateelementet dS.
Ved parametrisering finnes dS på denne måten
S ≡ ~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
dS =
∣∣∣∣∂~r∂u × ∂~r
∂v
∣∣∣∣ dudvÅ dele en vektor på sin egen lengde gir en enhetsvektor:
~n = ±
∂~r
∂u× ∂~r
∂v∣∣∣∣∂~r∂u × ∂~r
∂v
∣∣∣∣Trikset her er å velge riktig enhetsnormalvektor slik at fortegnet til fluksintegralet blir bestemt. Maplevelger alltid positiv z-komponent.Dersom ~N = ∂~r
∂u ×∂~r∂v blir fluksintegralet
Φ = ±¨
(u,v)∈D
~F · ~N dudv
NB! Pass på at grensene kun består av u og v.
Hjelperegel for å finne riktig ~n: Anta en retning på ~n. Gå langs randkurven C mot klokka medhodet i samme retning som ~n. En må da ha flaten S på venstre hånd.
Et lite Maple-eksempel: Gitt ~F = [yz,−xz, xy] og S er delen av kuleflaten med ρ = 1 avgrenset av0 ≤ φ ≤ π/2 og 0 ≤ θ ≤ π/4. Finn fluksen med en enhetsnormalvektor med positiv z-komponent.
Maple:with(VectorCalculus):F:=VectorField(<y*z,-x*z,x*y>);Flux(F,Surface(<1,phi,theta>,phi=0..Pi/2,theta=0..Pi/4,coords=spherical));
15.1 Spesialtilfellet z = f(x, y)
Flaten behøver ikke parametriseres. Normalvektoren til flaten F finnes ved
~N =∂~r
∂x× ∂~r
∂y= [−fx,−fy, 1] = [−zx,−zy, 1]
16
Fluksintegralet for spesialtilfellet er da gitt ved den ekstremt enkle, nesten latterlige, formelen
Φ = ±¨R
~F · ~N dxdy = ±¨R
~F · [−zx,−zy, 1] dxdy
Det kan i tillegg nevnes: Under er ~n en enhetsnormalvektor, ~N er definert som over. Se oppgave 14.7.7.
~n dS = ~N dxdy = [−zx,−zy, 1] dxdy
15.2 Eksempel: oppgave 4 eksamen 1999
x
z
y
La S være overflaten til en sylinderdel avgrenset av y =√
1− x2, xy-planet, zx-planet og z = 1. Vektorfeltet ~F = [x, y, 0] er gitt. Regnut vektorfeltets fluks Φ gjennom S ved Φ =
˜S~F · ~n dS (uten noe teo-
rem).
Løsning:Vi må dele opp flaten!S1 på bakveggen y = 0S2 på sylinderflatenS3 i gulvet z = 0S4 i taket z = 1Enhetsvektorene er her ekstremt enkle å finne.
Φ =
¨S
~F · ~n dS =
¨S1
[x, y, 0] · [0,−1, 0] dS
+
¨S2
[x, y, 0] · [x, y, 0] dS
+
¨S3
[x, y, 0] · [0, 0, 1] dS
+
¨S4
[x, y, 0] · [0, 0,−1] dS
⇓
Φ =
¨S1
(−y) dS +
¨S2
(x2 + y2) dS +
¨S3
0 dS +
¨S4
0 dS
= −ˆ 1
−1
ˆ 1
0y dzdx+
¨S2
1 dS
= 0 + areal(S2) = π
NB! Legg merke til at dS er ulik for de forskjellige flatene!Det at x2 + y2 = 1 gjelder kun når vi er på sylinderoverflaten S2. Vi må ogsåtenke oss om når vi får y i integralet over S1, vi har y = 0, som er “definisjonen” på S1.
Pass på: Maple velger alltid positiv z-komponent i enhetsvektoren, derfor minus forran kommando-en Flux i S4.
Maple:with(calcplot):with(VectorCalculus):
17
display(drdzdtplot(r=0..1,z=0..1,theta=0..Pi),scaling=constrained);SetCoordinates(cartesian[x,y,z]):F:=VectorField(<x,y,0>);S[1]= Flux(F,Surface(<x,0,z>,x=-1..1,z=0..1,coords=cartesian));S[2]= Flux(F,Surface(<1,t,z>,t=0..Pi,z=0..1,coords=cylindrical));S[3]= Flux(F,Surface(<r,t,1>,r=0..1,t=0..Pi,coords=cylindrical));S[4]=-Flux(F,Surface(<r,t,0>,r=0..1,t=0..Pi,coords=cylindrical));
16 Divergensteoremet = Gauss’ setning
16.1 I rommet
Det kreves at S er en lukket flate som dermed avgrenser et legeme T og at flaten har en ytreenhetsnormalvektor ~n. Differensialet dV kommer av volumet til T . Fluks gjennom den lukkeden flatenS i rommet, der vektorfeltet ~F er gitt blir
Φ =
¨S
~F · ~n dS =
˚Tdiv ~F dV =
˚T∇ · ~F dV
Maple:with(VectorCalculus):SetCoordinates(cartesian[x,y,z]);F:=VectorField(<P,Q,R>);Tripleint(diverge(F,[x,y,z]),x=a..b,y=c..d,z=e..f); #(grenser for dV)value(%);
16.2 I planet
La C være en lukket kurve som avgrenser et område R i planet. Fluks gjennom flaten blir
Φ =
ffiC
~F · ~n ds =
¨Rdiv ~F dA
Kurven ligger i planet, er lukket og avgrenser dermed et område R.
17 Stokes’ teorem
Generalisering av Greens teorem. Her kreves orientering! La S være en orientert flate med positiv orien-tert randkurve C og enhetsnormalvektor ~n. ~T er en positivt orientert enhetstangentvektor til randkurvenC.NB! Stokes’ teorem brukes ofte baklengs!
˛C
~F · ~T ds =
˛C
~F d~r =
¨S
(curl ~F ) · ~n dS =
¨S
(∇× ~F ) · ~n dS
18
17.1 Eksempel: eksamen april 2010
Kurven C er skjæringskurven mellom paraboloiden z = 9 − x2 − (y − 1)2 og planet z = 2y + 4. La C
være orientert mot urviseren sett ovenfra. Bruk Stokes’ teorem til å beregne˛C
~F · ~T ds. Se figur 2 og
3.
Figur 2: Paraboloiden (lilla), planet (grønt), skjæ-ringskurven C (rød) og R (gult).
R
Figur 3: Området R som er projeksjonen av C nedpå xy-planet.
Løsning:En normalvektor til flaten er ~N = ± [−zx,−zy, 1]. Vi har z = 2y+ 4, og vi ser på figur 2 at vi må velgepositiv z-komponent. Dette gir ~N = [0,−2, 1].
˛C
~F · ~T ds =
¨S
(curl ~F ) · ~n dS =
¨R
(curl ~F ) · ~N dxdy
=
¨R
[0,−y, z] · [0,−2, 1] dxdy
=
¨R
(2y + z) dxdy
Nå er “cluet” at z = 2y + 4 langs C, og ikke z = 0 selv om vi integrerer over R i planet. Dermed får vi¨R
(2y + z) dxdy =
¨R
(2y + 2y + 4) dxdy
= 4
¨R
(y + 1) dxdy
= 4
ˆ 2π
0
ˆ 2
0(r sin θ + 1)r drdθ = 16π
19
Maple:with(Student[VectorCalculus]):with(calcplot):parab:=9-x∧2-(y-1)∧2;plan:=2*y+4;grenser:=(x=-3..3,y=-3..4,z=-1..9):p1:=spacecurve([2cos(t),2sin(t),4sin(t)+4],t=0..2Pi,color=red,thickness=9):p2:=implicitplot3d(z=parab,grenser,color=blue,transparency=0.75,numpoints=3000,linestyle=Dot):p3:=implicitplot3d(z=plan,grenser,color=green,numpoints=70, linestyle=Dot):p4:=drdtdzplot(r=0..2,theta=0..2Pi,z=0..0,color=yellow):display(p1,p2,p3,p4,axes=box,orientation=[172,55]);
SetCoordinates(cartesian[x,y,z]);F:=VectorField(<2x-y*z,0,0>);N:=<-diff(plan,x),-diff(plan,y),1>;DotProduct(<curl(F,[x,y,z])>,N);Doubleint(%,x,y);subs(z=plan,%);Doubleint(4(r*cos(t)+1),r=0..2,t=0..2Pi);value(%);
20
