Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA

Resumé 1. kapitel

Addition

a b c SumAddender

a b b aa (b c) a b c

Addendernes orden er ligegyldig. En paren-tes med fortegn kan hæves og sættes, uden at leddenes fortegn ændres.

Subtraktion

a – b = c Differens

a – (b c) a – b – c En parentes med for-tegn kan hæves, når leddene i parentesen ændrer fortegn.

Multiplikation

a · b c ProduktFaktorer

a · b b · aa · a · a · a a4

a(b c) ab aca(b c) ab ac(a b)(c d) ac ad bc bd(a b)2 a2 b2 2ab(a b)2 a2 b2 2ab(a b)(a b) a2 b2

Faktorernes orden er ligegyldig

Regneregler

"Tre vigtige formler"

Division - Brøkregning

a : b = c KvotientDivisorDividend

ab

c KvotientNævnerTæller

ab

a cb c

=··

ab

a cb c

=::

an

bn

cn

a b cn

Regneregler

ab

ca cb

ab

ca

b c:

ab

cd

a cb d

.

ab

cd

ab

dc

:

Regneregler

Potens

a · a · a · a = a4

0n = 0

a0 = 1

a1 = a

aa

nn

1

ap · aq = ap+q

ab

ab

p

p

P

(a · b)p = ap · bp

ab

ap

qp q

(ap)q = ap · q

Regneregler

Rod

a bn , når bn a

a apnpn

a b a bn n n

ab

ab

n

nn

Regneregler

38

Resumé 2. kapitel

Resumé 2. kapitelRegneregler for løsning af ligninger:

- Du må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn på leddet.

- Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet - dog ikke med 0.

- Du må dividere på begge sider af lighedstegnet med samme tal - dog ikke med 0.

Nul-reglen: Et produkt er 0, hvis mindst en af faktorerne er 0.a b 0 a 0 eller b 0

- Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen en proportion. I en proportion må du gange over kors.

ab

cd

ad bc

- Du må kvadrere på begge sider af lighedstegnet.

2 ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden

a1x b1y c1

a2x b2y c2

Da ba b a b a b

Da ca c a c a c

Dc bc b c b

y

x

1 1

2 21 2 2 1

1 1

2 21 2 2 1

1 1

2 21 2 cc b

xDD

og yD

Dx y

2

2.gradsligningen

ax2 bx c 0

91

Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER

har følgende løsningsformel

xb b ac

a

2 42

d b2 4ac

Hvis d 0, har 2.gradsligningen en rod.Hvis d 0, har 2.gradsligningen to rødder.Hvis d 0, har 2.gradsligningen ingen rødder.

Numerisk værdi

aa n r aa n r a,,

åå

00

Regneregler for uligheder:

- Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den anden side ved at skifte fortegn.

- Du må gange med samme positive tal på begge sider af uligheds-tegnet.

- Du må dividere med samme positive tal på begge sider af uligheds-tegnet.

- Du må gange med samme negative tal på begge sider af uligheds-tegnet, når du vender ulighedstegnet.

- Du må dividere med samme negative tal på begge sider af uligheds-tegnet, når du vender ulighedstegnet.

92

Teknisk matematik · GEOMETRI

Resumé 3. kapitel

Retvinklet trekant:

I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kateternes kvadrater.

c2 a2 b2

ca

bC

B

A

Ensvinklede trekanter

For ensvinklede trekanter gælder:aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

b1

c1 a1 c2

b2

a2

Højder i en trekant

En højde i en trekant er en linje, der udgår fra en vinkelspids og står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse.

A

B

C

hb

b

c aha

hc

Medianer i en trekant

En median i en trekant er en linje, der forbinder en vinkelspids med den modstående sides midtpunkt.

Medianerne går gennem samme punkt og deler hinanden i forholdet 1:2. A

B

Cmc

ma

mb

Oc a

b

D

Vinkelhalveringslinjer i en trekant

En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje, der halverer en af trekantens vinkler.

A

B

CVB

VA

VC

Trekantens indskrevne cirkel

Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel.

r

128

Resumé 3. kapitel

Trekantens omskrevne cirkel

Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel.

R

Firkanter

Kvadrat: En firkant, hvor alle vinkler er rette, og alle sider lige lange. Areal a2

a

a

Rektangel: En firkant, hvor alle vinkler er rette. Diagonalerne er lige lange og halverer hinanden. Areal a b a

b

Rombe: En firkant, hvor alle sider er lige lange. De modstående vinkler er lige store. Diagonalerne halverer hinanden, står vinkelret på hinanden og halverer rombens vinkler.Areal

1

2 d1 d2

A

B

C

D

d1

d2

Parallellogram: En firkant, hvor de modstående sider er parallelle og lige lange. De modstående vinkler er lige store, og diagonalerne halverer hinanden. Areal g h

A

B C

D

h

g

Trapez: En firkant, hvor to sider er paral lelle.Areal 1

2 h (BC AD)

A

B C

D

h

129

Resumé 4. kapitel

Resumé 4. kapitel

Den retvinklede trekant

sin vmodst ende katete

hypotenusenå

cos vhosliggende katete

hypotenusen

tan vmodst ende katetehosliggende katete

å

c2 a2 b2

Areal h c a b12

12

A

B

C

a

b

Ah

c

Den vilkårlige trekant

aA

bB

cC

Rsin sin sin

2

a b c b c A2 2 2 2 cos

cos Ab c a

b c

2 2 2

2

Areal a b C12

sin

Areala b c

R4

Areal r s

Areal s s a s b s c

sa b c

2

R: Radius i trekantens omskrevne cirkel.r: Radius i trekantens indskrevne cirkel.

B

A C

c a

b

A

B C

R

a b

c

rr

r

171

Teknisk matematik · CIRKLEN

Resumé 5. kapitel

Omkreds - buelængder

O d 2 r

br

v2360

d = 2. rr

b

v

Arealer mv.

Cirkel:

Areal r d2 2

4

Cirkelring:

Areal D d4 4

2 2

Areal R r2 2

d = 2 . r

D = 2 . R

194

Resumé 5. kapitel

Cirkeludsnit:

Arealr v2

360

rv

v

Cirkelafsnit:

Arealr v

v2

2 180sin

Korde:

k rv

22

sin

Pilhøjde:

h rv

12

cos

195

Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER

Resumé 6. kapitel

Overflader mv.

Den krumme overflade af en cylinder:

A d h r h2

C

D

h

. d = 2 . . r

C

D

d

A

B

Den krumme overflade af en kegle:

A r s

Vinklen v:

vr

s360

Korden k:

k sv

22

sin

s

A

B Cr

k

vs

Den krumme overflade af en keglestub:

A s R r

Vinklen v:

vR

s360

2

Korden k:

k sv

222 sin

s

r

h

R

s2

v

k

s1

236

Resumé 6. kapitel

Den krumme overflade af en kugle:

A r d4 2 2

Den krumme overflade af en kuglekalot:

A d h

A a h2 2

Den krumme overflade af en kugleskive:

A d h

d = 2r

Kugleafsnit

Kugleskive

a

d = 2r

h

h

237

Teknisk matematik · RUMFANG

Resumé 7. kapitel

Retvinklet prisme Kasse

V G · hG grundarealet

V a · b · h

Cylinder Cylinderrør

V r h d h2 2

4V R r h

V D d h

2 2

2 2

4 4

D ydre diameterd indre diameterR ydre radiusr indre radius

Pyramide Pyramidestub

V G h13

G grundarealet

V h G g G g13

g areal af topfladeG areal af bundflade

Kegle Keglestub

V d h

V r h

12

3

2

2

V h R r R r3

2 2

hG

h

d = 2 . r

h

a b

h

G

A

h

d = 2 · r

h

D = 2 . R

d = 2 . r

G

g

h

r

h

R

260

Resumé 7. kapitel

Guldins 1. regel Guldins 2. regel

A a Lv

2360

V a Av

2360

Kugle Kugleudsnit Kugleafsnit

V d r6

43

3 3 V d h6

2 V h d h6

3 22

V h a h6

3 2 2

a

Lv

a A

v

d = 2r

a

d

hh

d

261

Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI

Resumé 8. kapitel

Plangeometri

AB x x y y( ) ( )2 12

2 12

M x yx x y y

, ,2 1 2 1

2 2

Afstandsformlen

Midtpunkt på et linjestykke

A

x yx yx yx y

12

1 1

2 2

3 3

1 1

12 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3x y x y x y x y x y x y

Determinant-formlen for

areal af trekant

y a

x b

y ax

y ax b

y y1 a(x x1)

Vandret linje gennem punktet (0,a)

Lodret linje gennem punktet (b,0)

Ret linje med stigningstal a, som går gennem (0,0) og (1,a)

Ret linje, som går gennem (0,b) og (1,a b)

Ret linje med stigningstal a som går gennem (x1, y1)

a vy yx x

tan 2 1

2 1

Forhold mellem stigningstal, vinkel mellem vandret og lin-jen og to punkter.

a1 a2Når to linjer har samme stig-ningstal, er de parallelle.

a1 a2 1 Når produktet af to linjers stigningstal er 1, står de vin-kelret på hinanden.

r2 (x a)2 (y b)2 Cirklens centrumsligningCentrum er (a,b) og radius er r.

296

Resumé 9. kapitel

Resumé 9. kapitel

Definition på en funktion

En funktion er en forskrift f, hvor der til et-hvert element x i en mængde A kan knyt-tes et og kun et tal y.

f

x

A B

y

A: DefinitionsmængdeB: Værdimængde

Lineær funktion f(x) a x ba: stigningstal/hældningskoefficientb: konstantled

Funktioner af 2. grad(parabler)

f(x) ax2 Toppunkt: (0,0)

f(x) a(x x0)2 Toppunkt: (x0,0)

f(x) ax2 y0 Toppunkt: (0,y0)

f(x) a(x x0)2 y0 Toppunkt: (x0,y0)

f(x) ax2 bx c Toppunkt: ba

da2 4

,

d b2 4ac

Sammensatte funktioner

Eks.: f(x) 3x 1 og g(x) 2x 5

Den sammensatte funktion

(f o g)(x) 3( 2x 5) 1

Omvendte funktioner Eks.: f(x) 2xDen omvendte funktion

x y eller f x x212

1

335

Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER

Resumé 10. kapitel

Logaritmefunktioner

10-tals logaritmen

f(x) log x , x > 0

Regneregler:log 10 1log a b log a log b

log ab

log a log b

log an n log a

log logan

an 1

Den naturlige logaritme

f(x) ln x , x > 0

Regneregler:ln e 1ln a b ln a ln b

ln ab

ln a ln b

ln an n ln a

In an

In an 1

Eksponentialfunktioner

Eksponentialfunktionen

f(x) ax , a > 0 og x R

Eksponentielle vækstfunktioner

f(x) b ax , b > 0 , a > 0 og x R

Fordoblingskonstant for eks-ponentielt voksende funktion:

Ta2

2loglog

Halveringskonstant for ekspo-nentielt aftagende funktion:

Ta1

2

2loglog

Renteformlen

Kn K(1 r)n

368

Resumé 11. kapitel

Resumé 11. kapitel

Trigonometriske definitioner og grundformler

y

y

y

x

x

x

cos v

cos v:

v

v

v

tan v

tan v:

sin v

sin v:

(cos v)2 + (sin v)2 1

tansincos

vvv

Additionsformlerne

sin(a b) sin a cos b cos a sin bsin(a b) sin a cos b cos a sin bcos(a b) cos a cos b sin a sin bcos(a b) cos a cos b sin a sin b

Formler for den dobbelte vinkel

sin sin cos

cos cos sin

sin

cos

2 2

2

1 2

2

2 2

2

a a a

a a a

a

aa

aa

a

2

2

1

22

1tan

tan

tan

399

Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER

Svingninger

f(t) a sin( t)

a: amplitude: vinkelhastighed i rad/sekund

t: tid i sekunder

Periodetid:

T =2

Frekvens:

fT

= =2

1

400

Resumé 12. kapitel

Resumé 12. kapitel

Symboler for differentialkvotient

x 0

( )( )

dydx

df xdx

f x ylimyx

Regneregler for bestem-melse af differential- kvotienter

Funktion f(x)

Differentialkvotient

- konstant k 0

- potensfunktion a xn n a xn-1

- sum u v u’ v’

- differens u v u’ v’

- produkt u v u’v v’u

- brøk uv

u v u vv

’ ’2

- trigonometriske funktioner

sin x

cos x

tan x

cos x

sin x

112

2(tan )cos

xx

- sammensat funktion dydx

dydu

dudz

dzdx

Bestemmelse af lokale maksimums- og minimumspunkter

1. Løs ligningen f’(x) 02. Fortegnsbestemmelse for f’(x) a) lokalt maksimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra til b) lokalt minimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra til c) Vandret vendetangent forekom-

mer, når fortegnet for f’(x) er: “ 0 ” eller “ 0 ”

3. Beregning af ymax og ymin sker ved indsættelse af de fundne x-værdi-er i f(x).

457

Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING

Implicit differentiation

Eksempel: x2 y2 1

dxdx

dydy

dydx

ddx

2 2 1

2 2 0x ydydx

dydx

xy

458

Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING

Resumé 13. kapitel

Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter

Funktion f(x) Differentialkvotient f’(x)

ax ax · ln a

ex ex

ln x 1x

log x 110x ln

Integral - stamfunktionIntegrationsprøven

f x dx F x k( ) ( ) når

F’(x) f(x)

Stamfunktion til Funktionf(x)

StamfunktionF x f x dx( ) ( )

Konstant k k x

Potensfunktionerxn

1 1

xx

xn

n 1

1

ln x

Trigonometriske funktioner

sin x

cos x

tan x

sin2x (sin x)2

cos2x (cos x)2

112

2tancos

xx

cos x

sin x

ln |cos x|

12

( sin cos )x x x

12

( sin cos )x x x

tan x

536

Resumé 13. kapitel

Logaritmitiske funktioner

ex ex k

axa

akx 1

ln

In x x x x kln

log x x xx

klogln10

Regneregler forintegration

Sum:u x v x dx u x dx v x dx( ) ( ) ( ) ( )

Differens:u x v x dx u x dx v x dx( ) ( ) ( ) ( )

Bestemt integral

f x dx F x F b F aa

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )

Arealberegning

y

b xa

A

f(x)

y

bxa

A

f(x)

g(x)

y

b xa c

A2

A4A3

A1 f(x)

g(x)

A f x dxa

b( )

A f x g x dxa

b( ) ( )

A f x g x dxa

c

1 ( ) ( )

A g x f x dxc

b

2 ( ) ( )

A g x dxa

c

3 ( )

A f x dxc

b

4 ( )

537

Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING

Partiel integration eller delvis integration

u(x v(x) dx U(x v(x U(x v x) dx) ) ) ) (

Rumfangsberegning

Rumfanget af et omdrejnings-le-geme fremkommet ved drejning 360° om x-aksen af det farvede areal på figuren.

V f x dxxa

b( )2

x

y

a b

f(x)

Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-ak-sen af det farvede areal på figuren.

V x f x dxya

b2 ( )

x

y

a b

f(x)

Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-ak-sen af det farvede areal på figuren.

V x dyyf(a)

f(b)2

x

y

f(b)

0

f(a)

Længde af en kurve

Ldydx

dx f x dxa

b

a

b1 1

22( )

x

y=f(x)y

a b

L

538

Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET

Resumé 14. kapitel

Vektorkoordinater

axy a y

x

Vektorkoordinater i et koordinatsystem

ABx xy y

2 1

2 1

y y2 1

x x2 1

B(x y )2, 2

A(x y )1, 1

y

x

Multiplikation af skalar med vektor

n an xn y

ay

n . y

n . x

n . a

x

Addition af to vektorer

r a b= +

Hvis

axy og b

xy

1

1

2

2

er

a bx xy y

1 2

1 2

bb

b

a a

r

r

a

P

P

586

Resumé 14. kapitel

Vektorer i ligevægt

a b c d00

d

a

b

c

Subtraktion af vektorer

a b a b− = + −( )

Hvis

axy og b

xy

1

1

2

2 er

a bx xy y

1 2

1 2

a

a

b

b

a b

b

Enhedsvektor

exy

e

e

xx

vog y

y

ve e= = xe

ye

x

y

e

v

Skalarprodukt

a b a b vcos

a b x x y y1 2 1 2

cos vx x y y

a b1 2 1 2

cos v e ea b=

Skalarproduktet a b= 0, når vektorerne står vinkel-ret på hinanden.

v

a

b

a

b

587

Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET

Tværvektor

Hvis axy er

ayx

aa

xx

x

y

y

y

Trekantens tyngdepunkt

T x yx x x y y y

, ,1 2 3 1 2 3

3 3

B(x ,y )2 2

C(x ,y )3 3

x

y

T(x,y)A(x ,y )1 1

Trekantens areal

Arealx yx y

x y x y

12

12

1 1

2 2

1 2 2 1

A

B

C

x

y

Projektion

b b va cos

ba b

aa =

b b ea a a

v

b

a

aba

ba

b

588

Resumé 14. kapitel

Afstand fra punkt til ret linje

zad be c

a b2 2

x

y

ax + by + c = 0z

P(d,e)

589

Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET

OPGAVE 509

Du har givet koordinaterne til centrum i en kugle (4,1,–2). Kuglen tan-gerer et plan med ligningen 2x 3y – z 8 0.Du skal bestemme kuglens centrumsligning.

Resumé 15. kapitel

Vektorkoordinater og vektorlængde

vxyz

v x y z2 2 2

Givet punkterne A(x1,y1,z1) og B(x1,y1,z1)

ABx xy yz z

AB x x y y2 1

2 1

2 1

2 12

2 1

2

2 12z z

Enhedsvektor

axyz

e

x

x y zy

x y zz

x y z

a

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Skalarprodukt eller prik-produkt

a a b v x x y y z z vx x y y z z

a bb . .cos cos

.1 2 1 2 1 2

1 1 2 1 2 1 2

Projektion

ba b

aa =

b

a

v

v

ba

642

Resumé 15. kapitel

Parameterfremstilling af ret linje

xyz

x r ty r tz r t

x

y

z

0

0

0

Vektorprodukt

a b a b v× = . .sin 1 1

2 22 3 3 2

3 33 1 1 3

1 11 2 2 1

2 2

3 3

a ba b

x a b a ba b

a b : y a b a ba b

z a b a ba ba b

= = −× = = −

= = −a b

xyz

Parameterfremstilling af plan

xyz

xyz

s.x xy yz z

0

0

0

1 0

1 0

1 0

t.x xy yz z

2 0

2 0

2 0

Planets ligning på normalform

a x x b y y z z z0 0 0 0

eller

ax by cz d med nabc

0

Afstand e mellem punkt P0(x0,y0,z0) og plan ax by cz d 0

eax by cz d

a b c0 0 0

2 2 2

Afstand mellem punkt P0(x0,y0,z0) og ret linje

er pp

r=× 0

P ( )x ,y ,z00 0 0

v

e

Pr

k

643

Resumé 16. kapitel

Resumé 16. kapitel

Vektorfunktioner

Ret linje

r txy

x a ty b t

0

0

r txy

x t vy t v

0

0

cossin

(x0,y )0

(x,y)

x

y

v

a t

b t

(x0,y )0

(x,y)

x

t

y

v

Cirklen

r txy

a r tb r t

cossin

(x,y)

(a,b)

tr

x

y

Ellipsen

r txy

a tb t

cossin x

y

t

(a,0)

(0,b)(x,y)

Bevægelser

r tx ty t

v t r tx t

y t

v t x t y t2 2

a t v t r tx t

y t

Banekurven

Hastighedsvektor

Farten

Accelerationsvektor

669

Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER

Længde af kurve givet ved vektorfunktion

L x t y t dta

b( ( ( ))2 2

y

x

b

a

L

670

Teknisk matematik · Differentialligninger

Resume 17. kapitel

Differentialligninger Ligningstype Løsning

y’ = g(x) y g x( ) xd∫=

y’ = h(x ) · g(y)1

g y( )----------- yd∫ h x( ) xd∫=

y’ = a · y y = c · eax

y’ = g(y)1

g y( )----------- yd∫ x k+=

y’ = y(b - ay) y

ba---

1 k+ e bx–⋅----------------------------=

y’’ = g(x)y′ g x( ) xd∫=

- herefter som den første type

692