Formelsamling til Mekanik 1 kurset påKøbenhavns Universitet

af Michael Flemming HansenVersion 1.2b

26. januar 2012

Indhold2 Bevægelse langs en ret linie 4

2.1 Gennemsnitlig hastighed og fart . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Øjeblikkelig hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Gennemsnitlig og øjeblikkelig acceleration . . . . . . . . . . . 42.4 Bevægelse med konstant acceleration . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Objekter i frit fald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Hastighed og position vha. integration . . . . . . . . . . . . . 5

3 Bevægelse i to og tre dimensioner 63.1 Position og hastigheds vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Accelerations vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Projektilets bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Cirkulære bevægelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Relativ hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Newtons love 94.1 Kraften og interaktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Newtons første lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Newtons anden lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Masse og vægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.5 Newtons tredje lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Anvendelse af Newtons love 115.1 Friktions kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Den cirkulære bevægelses dynamik . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

6 Arbejde og Kinetisk energi 116.1 Arbejde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Kinetisk energi og arbejds-energi sætningen . . . . . . . . . . 126.3 Arbejde og energi med varierende kræfter . . . . . . . . . . . . 126.4 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Potentiel energi og Energi-bevarelse 137.1 Gravitationel potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.2 Elastisk potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3 Konservative og ikke-konservative kræfter . . . . . . . . . . . . 147.4 Kraft og potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 Impuls, Kraftens impuls og kollisioner 158.1 Impuls og kraftens impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.2 Impulsens bevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.3 Impulsbevarelse og kollisioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.4 Elastiske kollisioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.5 Masse-centrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.6 Raket(videnskab)-brændstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

9 Den specielle relativitetsteori 229.1 Gallilei-transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.2 Lorentz-transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.2.1 Rækkeudviklet γ funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 239.2.2 Kvadrerede former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.3 Relativistisk kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.3.1 Længdeforkortning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.3.2 Tidsforlængelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.3.3 Transformation af hastigheder . . . . . . . . . . . . . . 259.3.4 Transformation af γ funktionen . . . . . . . . . . . . . 25

9.4 Relativistisk optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.4.1 Klassisk Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.4.2 Relativistisk Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.5 Rumtiden og fire-vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.5.1 Fire-vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.5.2 Fire-vektorers geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.5.3 Egentiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.5.4 Fire-hastigheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.6 Relativistisk mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.6.1 Fire-impulsen og den relativistiske impuls . . . . . . . 289.6.2 Fire-impuls-bevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

9.6.3 Relativistisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.6.4 Sammenhæng imellem energi og impuls . . . . . . . . . 299.6.5 Masseløse partikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.6.6 Tyngepunktet og den invariante masse . . . . . . . . . 309.6.7 Tærskelenergi - eksempel fra Eksamen 2011 . . . . . . 30

10 Almindelige konstanter og enheder 32

Resumé

Her er en lille formelsamling som kan benyttes til Mekanik 1 kursetpå Københavns Universitet. Samlingen er bygget op omkring bogenUniversity Physics af Young & Freedman som benyttes på Mekanikkurserne.

Samlingen indeholder de vigtigste formler og principper og jeg harderfor ikke lavet længere udledninger eller andet godt. Det er op tillæseren selv at udlede det relevante, skulle det være nødvendigt. Dener naturligvis ikke udtømmende og ej heller en erstatning for den storemursten af UP. Den skal ses udelukkende som et lækkert supplement,der kan give et hurtigt opslag, hvis man er i tvivl.

Michael Flemming HansenKøbenhavn2011jqh965@alumni.ku.dk

3

2 Bevægelse langs en ret linie

2.1 Gennemsnitlig hastighed og fart

Gennemsnitlig fart findes ved at kigge på størrelsen af bevægelse og tidendet tager. Man får da.

sav−x =|x|

t2 − t1hvor x er længden bevægelsen har varet og t er tidspunkterne.

Gennemsnitlig hastighed findes ved at kigge på hvor langt et objekt harbevæget sig over en tidsramme. Man får dermed udtrykket

vav−x =x2 − x1

t2 − t1=

∆x

∆t

hvor x1 og x2 er hhv. start og slutpunktet og t1 og t2 hhv. er start og sluttiden.Forskellen på fart og hastighed er, at hastigheden er bevægelsesafhængig.

Det vil sige at hastigheden afhænger af at du rent faktisk har bevæget digfra et punkt til et andet. Går du fra et bord over til et andet bord og tilbageigen, har du haft en gennemsnitlig fart. Men da du havnede tilbage i ditudgangspunkt, vil den gennemsnitlige hastighed være 0.

2.2 Øjeblikkelig hastighed

Øjeblikkelig hastighed findes ved at tage grænseværdien lim∆t→0 for ud-trykket for den gennemsnitlige hastighed

vx = lim∆t→0

∆x

∆t=dx

dt

hvor ∆x er ændringen af bevægelse og ∆t er ændringen af tid.

2.3 Gennemsnitlig og øjeblikkelig acceleration

Gennemsnitlig acceleration findes blot ved at tage differencen imellemstart og slut hastigheden og dividere denne med differencen imellem start ogsluttiden og man får da

aav−x =v2x − v1x

t2 − t2

4

Øjeblikkelig acceleration findes ved at differentiere den gennemsnitlighastighed

ax = lim∆t⇒0

∆vx∆t

=dvxdt

2.4 Bevægelse med konstant acceleration

Ved bevægelse med konstant acceleration har vi fire generelle udtryk til atbeskrive bevægelsen. De er som følger:

vx = v0x + axt

x = x0 + v0xt+1

2axt

2

v2x = v2

0x + 2ax(x− x0)

x− x0 =

(v0x + vx

2

)t

2.5 Objekter i frit fald

Dette er sammenkoblet med det forrige. Et frit fald kan også beskrivelsesom en bevægelse med konstant acceleration. Her vil accelerationen væreg = 9.80 m

s2. Tager vi eksempelvis en mønt i frit fald vil vi kunne beregne

således

y = y0 + v0yt+1

2ayt

2 = y0 + v0yt+1

2gt2

vy = v0y + ayt = v0y + gt

2.6 Hastighed og position vha. integration

Hvis vi ønsker at finde samlede hastighed og position over et tidsrum kan viintegrere vores udtryk således

vx = v0x +

∫ t

0

axdt

x = x0 +

∫ t

0

vxdt

5

3 Bevægelse i to og tre dimensioner

3.1 Position og hastigheds vektorer

Positions vektoren definerer hvorhenne en partikel befinder sig ud fravektorer. Den er givet ved

~r = xi+ yj + zk

Vektoren for den gennemsnitlige hastighed fortæller en partikels be-vægelse ud fra vektornotation

~vav =~r2 − ~r1

t2 − t1=

∆~r

∆t

Vektoren for den øjeblikkelige hastighed er givet ved

~v = lim∆t⇒0

∆~r

∆t=d~r

dt

Komposanterne til den øjeblikkelige hastighed

vx =dx

dt

vy =dy

dt

vz =dz

dt

Hastigheden udtrykt ved positionen er givet ved udtrykket

~v =d~r

dt=dx

dti+

dy

dtj +

dz

dtk

Størrelsen af hastighedsvektoren findes ved hjælp af

|~v| = v =√v2x + v2

y + v2z

Vinklen imellem to hastighedsvektorer findes ved dette udtryk

tanα =vyvx

6

3.2 Accelerations vektoren

Gennemsnitlig accelerations vektor fortæller os den gennemsnitlige ac-celeration vha. vektorer

~aav =~v2 − ~v1

t2 − t1=

∆~v

∆t

og vi finder ligeledes den

Øjeblikkelige accelerations vektor ved

~a = lim∆t⇒0

∆~v

∆t=d~v

dt

Den øjeblikkelige acceleration på komposantform. Vi kan også be-skrive den øjeblikkelige acceleration ud fra dens vektor opløst i komposanter

ax =dvxdt

ay =dvydt

az =dvzdt

Accelerations vektoren kan også skrives således

~a =d2x

dt2i+

d2y

dt2j +

d2z

dt2k

3.3 Projektilets bevægelse

Projektilets bevægelse beskrives grundlæggende ud fra fire ligninger,som giver hhv. positionen i x og y retning og hastigheden i x og y retningen.Tilsammen kan de beskrive ethvert form for ballastisk skud, hvor der ingenfriktion er. De ser således ud

x = (v0 cosα0)t

y = (v0 sinα0)t− 1

2gt2

vx = v0 cosα0

vy = v0 sinα0 − gt

Et par eksempler er vist her

7

Tiden ved et ballastisk projektil. Ofte kan det være svært lige at hitteud af hvordan man finder tiden eller også har man ofte brug for det hurtigtog vil ikke bruge tiden på at udlede. Ud fra ovenstående formler kan tidenfindes således. Tiden fra projektilet sendes afsted og til det når halvvejs ergivet ved

t 12

=v0y

g

Ligeledes fra halvvejs og til slutmålet findes tiden ved at løse andengradslig-ningen y = 0 = v0yt2 − 1

2gt2 = t2

(v0y − 1

2gt2)og man får to løsninger, hvor

den ene er 0 og den anden er

t1 =2v0y

g

tænker man sig om giver dette også god mening at det tager dobbelt så langtid at komme fra start til slut, som det tager at komme fra start til halvvejs,når vi snakker en bevægelse langs en perfekt parabolsk kurve.

Tiden ved et fald med forskellig initial og sluthøjde. Igen når manskal finde løsningerne til disse problemer og man ikke får oplyst tiden, er detsom regel den der volder problemer. Tiden i dette tilfælde findes ved

t =v0 sinα0 ±

√v2

0 sin2 α0 − 2gy

g

3.4 Cirkulære bevægelser

Uniform cirkulær bevægelse er en bevægelse som har ensartet fart igen-nem hele cirkelbevægelsen. Den kan beskrives ud fra følgende udtryk

arad =v2

R

arad =4π2R

T 2

v =2πR

T

T =2πaradR

a

T =2πR

v

arad kaldes også for centripetal accelerationen, T er omløbstiden og R erradius af cirkelbevægelsen.

8

Ikke-uniform cirkulær bevægelse er en bevægelse hvor farten ændrersig undervejs. Der er dog heldigvis lidt der ændrer sig. Vi har blot at hvor

d|~v|dt

beskriver farten for en uniform cirkelbevægelse, så beskriver dette udtryk∣∣∣∣d~vdt∣∣∣∣

farten for en ikke-uniform cirkelbevægelse.

3.5 Relativ hastighed

Når man tænker på relativ hastighed skyldes det at hastigheden ikke synes atvære den samme i alle situationer. Et godt eksempel er når man observereren person der går inde i et tog. For personen inde i toget vil hastighedensynes at være den almindelige gang-hastighed. Men for en udefrakommen-de observatør vil personens hastighed synes at være togets hastighed pluspersonens hastighed. Disse udtrykker vi kort således

Relativ hastighed langs en linie

vP/A−x = vP/B−x + vB/A−x

og for

Relativ bevægelse i rummet ser det således ud

~vP/A = ~vP/B + ~vB/A

4 Newtons love

4.1 Kraften og interaktioner

Vi beskriver kort og godt summen af alle kræfter ud fra dette udtryk

Summen af alle kræfter

~R = ~F1 + ~F2 + ~F3 + · · · =∑

~F

Disse kan naturligvis behandles ud fra almindelig vektorregning.

9

4.2 Newtons første lov

Newtons første lov siger at et legeme der ikke bliver påvirket af nogennetto kraft, vil have konstants hastighed og ingen acceleration. Hastighedenkan også være 0. Den kaldes også for Inertiens lov. Den er udtrykt ved∑

~F = 0

4.3 Newtons anden lov

Newtons anden lov siger at et legeme der påvirkes af en udefrakommendekraft vil accelerere og retningen af accelerationen vil være den samme somkraftens retning. Med matematiske symboler skriver vi∑

~F = m~a

Newtons anden lov opløst i x,y og z retninger.∑Fx = max∑Fy = may∑Fz = maz

4.4 Masse og vægt

Masse og vægt er to enheder der oftest blandes sammen. Populært sigerman at ens vægt er x kg. Men i fysikken betegnes udtrykket kg, g,mg, µgetc. som et objekts masse. Vægten opgøres i Newton. Dette kan ses ud fraNewtons anden lov, hvor udtrykket for vægt kan opskrives således

w = mg

4.5 Newtons tredje lov

Newtons tredje lov siger at Hvis et legeme A påvirker B med en kraft, såvil legemet B også påvirke A med en lige så stor og modsat rettet kraft. Disseto krafter vil have den samme størrelse, men have modsat retning. Denne lovkaldes også for Aktion-reaktions loven. Den er udtrykt matematisk som

~FAB = −~FBA

10

5 Anvendelse af Newtons love

5.1 Friktions kræfter

Den kinetiske friktions størrelse er givet ved

fk = µkn

Den statiske friktions størrelse er givet ved

fs ≤ µsn

5.2 Den cirkulære bevægelses dynamik

Det koniske pendul kan man finde omløbstiden ud fra udtrykket

T = 2π

√L cos β

g

hvor L er længden af snoren, β er vinklen imellen snoren og lodret og T eromløbstiden.

6 Arbejde og Kinetisk energi

6.1 Arbejde

Arbejde siges kort at være beskrevet som kraft gange vej og vi udtrykkerdet almindeligvis således

W = Fs

Arbejdet udført med en vinkel. Det foregående udtryk gælder kunsåfremt at kraftens retning er parallel med arbejdets retning. Finder vi envinkel imellem disse to størrelser, vil arbejdet være givet ved

W = Fs cosφ

Arbejdet på vektorform

W = ~F · ~s

11

6.2 Kinetisk energi og arbejds-energi sætningen

Kinetisk energi er givet ved udtrykket

K =1

2mv2

hvor m er massen og v er hastigheden.

Arbejds-energi sætningen fortæller os sammenhængen imellem det to-tale arbejde og de individuelle kræfter og er udtrykt således

Wtot = K2 −K1 = ∆K

6.3 Arbejde og energi med varierende kræfterArbejdet med en varierende kraft

W =

∫ x2

x1

Fx dx

Hooke’s lov for en fjeder

Fx = kx

hvor k er fjederkonstanten og x er den afstand fjederen strækkes

Arbejds-Energi sætningen for bevægelse langs en kurve. Vi finderdette udtryk ud fra sætningen dW = F cosφdl = F||dl = ~F · d~l og kommerved integration frem til

W =

∫ P2

P1

~F · d~l

6.4 Effekt

Gennemsnitlig effekt er givet ud fra udtrykket arbejde pr. tid og mate-matisk stilles det således op

Pav =∆W

∆t(gennemsnitlig effekt)

Øjeblikkelig effekt er fundet ved at differentiere de foregående udtryk

P = lim∆t⇒0

∆W

∆t=dW

dt(øjeblikkelig effekt)

12

Øjeblikkelig effekt ud fra kraft og hastighed

P = ~F · ~v

7 Potentiel energi og Energi-bevarelse

7.1 Gravitationel potentiel energi

Det graviationelle arbejde opstilles således

Wgrav = Fs = w(y1 − y2) = mgy1 −mgy2

Graviationel potentiel energi kan udledes ud fra det foregående udtryktil at være

Ugrav = mgy

hvor m er massen og y er højden.

Det graviationelle arbejde ved bevægelse

Wgrav = Ugrav,1 − Ugrav,2 = −(Ugrav,2 − Ugrav,1) = −∆Ugrav

Den mekaniske energis bevarelse gælder i dette tilfælde kun således atkun tyngdekraften udfører et arbejde og er

K1 + Ugrav,1 = K2 + Ugrav,2

eller1

2mv2

1 +mgy1 =1

2mv2

2 +mgy2

Hvis andre kræfter udfører arbejde kan vi beregne ud fra disse udtryk

Wandre +Wgrav = K2 −K1

K1 + Ugrav,1 +Wother = K2 + Ugrav,2

eller1

2mv2

1 +mgy1 +Wandre =1

2mv2

2 +mgy2

Gravitationel potentiel energi langt en kurve

Wgrav = −mg(y2 − y1) = mgy1 −mgy2 = Ugrav,1 − Ugrav,2

13

7.2 Elastisk potentiel energi

Elastisk potentiel energi er givet ved udtrykket

Uel =1

2kx2

Arbejde udført af en fjeder på en blok

Wel =1

2kx2

1 −1

2kx2

2 = Uel,1 − Uel,2 = −∆Uel

Arbejds-energi sætningen kun med elastisk arbejde

K1 + Uel,1 = K2 + Uel,2

eller1

2mv2

1 +1

2kx2

1 =1

2mv2

2 +1

2kx2

2

Situationer med både gravitationel og elastisk potentiel energi, detgenerelle udtryk

K1 + Ugrav,1 + Uel,1 +Wandre = K2 + Ugrav,2 + Uel,2

ellerK1 + U1 +Wandre = K2 + U2

7.3 Konservative og ikke-konservative kræfter

En konservativ kraft er en kraft som tilbyder uhindret konvertering imel-lem kinetisk og potentiel energi. Eksempelvis når man kaster en bold op iluften. Alle krafter der ikke kan leve op til dette princip siges at være

Ikke-konservative. Disse kræfter kan være friktionskræfter og modstand-skræfter.

Energibevarelses loven

∆K + ∆U + ∆Uintern = 0

7.4 Kraft og potentiel energiDen potentielle energi’s kraft i en dimension

Fx(x) = −dU(x)

dx

14

Den potentielle energi i flere dimensioner findes ved at partielt diffe-rentiere udtrykket for potentiel energi og giver

Fx = −∂U∂x

Fy = −∂U∂y

Fz = −∂U∂z

denne kan vi også opskrive på gradientform, så den ser således ud

~F = −(∂U

∂xi+

∂U

∂yj +

∂U

∂zk

)= −∇U

8 Impuls, Kraftens impuls og kollisioner

8.1 Impuls og kraftens impuls

Impulsen for et legeme defineres ved∑~F = m

d~v

dt=

d

dt(m~v)

og ud fra dette kan man udlede at impulsen er

~p = m~v

Denne kan også opskrives i x,y og z komponenter og man får

px = mvx

py = mvy

pz = mvz

Newtons anden lov ud fra impuls∑~F =

d~p

dt

15

Impulsen for et legeme defineres ved∑~F = m

d~v

dt=

d

dt(m~v)

og ud fra dette kan man udlede at impulsen er

~p = m~v

Denne kan også opskrives i x,y og z komponenter og man får

px = mvx

py = mvy

pz = mvz

Newtons anden lov ud fra impuls∑~F =

d~p

dt

Sætningen om kraftens impuls siger at eftersom både impulsen og denkinetiske energi afhænger af massen og hastigheden for et legeme, kan manopskrive denne sætningen

~J =∑

~F (t2 − t1) =∑

~F∆t

når man går ud fra en konstant netto-kraft. Derfor får man det generelleudtryk

~J = ~p2 − ~p1

Impulsens generelle definition kan ud fra∫ t2

t1

∑~Fdt =

∫ t2

t1

d~p

dtdt =

∫ ~p2

~p1

d~p = ~p2 − ~p1

og man kan derfor udlede den generelle definition til at være

~J =

∫ t2

t1

∑~F dt

16

Denne kan ligeledes inddeles i komponenter og man får da

Jx =

∫ t1

t1

∑Fx dt = (Fav)x(t2 − t1) = p2x − p1x = mv2x −mv1x

Jy =

∫ t1

t1

∑Fy dt = (Fav)y(t2 − t1) = p2y − p1y = mv2y −mv1y

Jz =

∫ t1

t1

∑Fz dt = (Fav)z(t2 − t1) = p2z − p1z = mv2z −mv1z

Sammenligning af impuls og kinetisk energi

~p2 = ~p2 + ~J = ~J

8.2 Impulsens bevarelse

Hvis den totale sum af eksterne kræfter på et system er 0, vil den totaleimpuls for systemet være konstant. Dette udtrykket med udtrykket for

Systemets totale impuls

~P = ~pA + ~pB + · · · = mA~vA +mB~vB + . . .

8.3 Impulsbevarelse og kollisioner

Der opereres med tre udtryk for kollisioner. En elastisk kollision genkendesved at kræfterne imellem legemerne er bevaret. Altså er den totale kinetiskeenergi den samme efter kollisionen, som den var før. En uelastisk kollisiongenkendes ved at den totale kinetiske energi efter kollisionen ikke er densamme som den var før. Et eksempel hvor en tomat rammer et gulv og bliverliggende, kaldes for en fuldstændig uelastisk kollission. I en sådan kollision villegemerne have den samme sluthastighed.

Fuldstændig uelastisk kollision Den fuldstændige uelastiske kollisionudtrykkes ved at to legemer der kolliderer vil have den samme endelige ha-stighed og det udtrykkes ved

~vA2 = ~vB2 = ~v2

Impulsens bevarelse giver os

mA~vA1 +mB~vB1 = (mA +mB)~v2

17

og ud fra denne kan man blandt andet udlede

v2x =mA

mA +mB

vA1x

Den kinetiske energi kan vises at være lavere end før, ud fra udtrykkene

K1 =1

2mAv

2A1x

K2 =1

2(ma +mB)v2

2x =1

2(mA +mB)

(mA

mA +mB

)2

v2A1x

K2

K1

=mA

mA +mB

Eksempel En bil støder sammen med en lastbil, i en vinkel. Man startermed at finde impulsen i x og y retningen.

Px = pCx + pTx = mCxvCx +mTxvTx

py = pCy + pTy = mCyvCy +mTyvTy

Størrelsen af impulsen kan nu findes ved

P =√

(Px)2 + (Py)2 =√

(mCxvCx +mTxvTx)2 + (mCyvCy +mTyvTy)2

og vinklen imellem de to kollisioner

tan θ =PyPx

=mCyvCy +mTyvTymCxvCx +mTxvTx

Det ballastiske pendul kan lettest løses ud fra det generelle udtryk forden fuldstændige uelastiske kollision, men man står oftest tilbage med pro-blemet i at finde højden som pendulet har bevæget sig. Når man gerne vilfinde kuglens hastighed benytter man derfor udtrykket

mBv1 = (mB +mW )v2 ⇔ v1 =mB +mW

mB

v2

hvor mB er kuglens masse og mW er træklodsens masse. Man står nu tilbagemed at finde klodsens hastighed. Den kan findes ved

1

2(mB +mW )v2

2 = (mB +mW )gy

v2 =√

2gy

18

Nu står man tilbage med at skulle finde y, som er det stykke klodsens løftersig fra udgangspunktet i y retningen. Denne højde kender man sjældent, menman kan ofte få oplyst at der eksisterer en vinkel imellem klodens ophængved det maksimale udsving og lodret. Denne kan findes ved udtrykket y =L(1− cos θ), hvor L er snorens længde. Det endelige udtryk bliver da

v1 =mB +mW

mB

√2gL(1− cos θ)

8.4 Elastiske kollisioner

To ligninger benyttes for at beskrive de elastiske kollisioner. Ligningen forbevarelsen af den kinetiske energi

1

2mAv

2A1x +

1

2mBv

2B1x =

1

2mAv

2A2x +

1

2mBv

2B2x

og sætningen for impulsbevarelsen

mAvA1x +mBvB1x = mAvA2x +mBvB2x

Kender man masserne m1 og m2, samt hastighederne vA1x og vB1x, kan manløse disse ligninger til at finde sluthastighederne

vA2x =mA −mB

mA +mB

vA1x

og

vB2x =2mA

mA +mB

vA1x

Hvis der er en vinkel imellem de to sammenstød, kan man løse systemetud fra følgende betragtninger.

To puck’s støder sammen i en elastisk kollision og farer begge væk frasammenstøddet med en hastighed og en retning. Vi kender massen af beggepucks og den første pucks hastighed. Den anden puck ligger i hvile. Benytterførst og fremmest

1

2mAv

2A1 =

1

2mAv

2A2 +

1

2mBv

2B2

v2B2 =

mAv2A1 −mAv

2A2

mB

19

Ved at benytte bevarelsen af x og y komponenternes impuls, kan man udledefølgende udtryk for at finde vinklerne

mAvA1x = mAvA2x cosα +mBvB2x cos β

0 = mAvA2y sinα +mBvB2y sin β

Disse kan løses som to udtryk for vinklerne α og β. Dette gøres lettest vedat løse den første for cos β og den anden for sin β, kvadrere begge udtryk ogeliminere et af udtrykkene ved sin2 β+cos2 β = 1. Dette efterlader en ligningmed sinα som kan løses for α.

8.5 Masse-centrum

En legemes massecentrum defineres som det punkt hvor den samlede massehar sit samlede tyngdepunkt. Det betyder at legemets opførsel kan beskrivesud fra dette punkt. Dette er årsagent til at vi kan beskrive mange objekter ifysikken som punkter. Den er på komponentform givet ved

Masse-centrum ved komponentform

xcm =m1x1 +m2x2 +m3x3 + . . .

m1 +m2 +m3 + . . .=

∑imixi∑imi

ycm =m1y1 +m2y2 +m3y3 + . . .

m1 +m2 +m3 + . . .=

∑imiyi∑imi

Ligeledes kan dette udtrykket på vektorform

Masse-centrum på vektorform

~rcm =m1~r1 +m2~r2 +m3~r3 + . . .

m1 +m2 +m3 + . . .=

∑imi~ri∑imi

Masse-centrums bevægelse Masse-centrums bevægelse kan ligeledes ud-trykkes både på komponentform og vektorform.

MC bevægelse på komponentform

vcm−x =m1v1x +m2v2x +m3v3x + . . .

m1 +m2 +m3 + . . .

vcm−y =m1v1y +m2v2y +m3v3y + . . .

m1 +m2 +m3 + . . .

20

MC bevægelse på vektorform

~vcm =m1~v1 +m2~v2 +m3~v3 + . . .

m1 +m2 +m3 + . . .

og hvis vi kalder den samlede masse m1 +m2 +m3 + · · · = M får vi

M~vcm = m1~v1 +m2~v2 +m3~v3 + · · · = ~P

Hvis masse-centrum af et legeme påvirkes af eksterne kræfter får man ud-trykket

Eksterne kræfter på MC∑~F =

∑~Fext +

∑~Fint = M~acm

og dette giver udtrykket ∑~Fext = M~acm

hvilket betyder at hvis et legeme eller en samling af partikler påvirkes af enekstern kraft, så vil masse-centeret flytte sig som om hele massen var samleti dette punkt og det blev påvirket af en netto kraft lig med summen af alleeksterne kræfter på systemet.

8.6 Raket(videnskab)-brændstof

Når man skal sende en raket ud i rummet skal man tage højde for at i taktmed at raketten stiger til vejrs og opnår højere fart, så vil dens samledemasse blive mindre, da det hele tiden forbruger brændstof. Dette kan ses udfra disse ligninger.

mdv

dt= −vex

dm

dt

dv = −vexdm

m∫ v

v0

dv′ = −∫ m

m0

vexdm′

dt= −vex

∫ m

m0

dm′

dt

v − v0 = −vex lnm

m0

= vex lnm0

m

21

9 Den specielle relativitetsteori

9.1 Gallilei-transformationen

Den specielle relativitetsteori bygger videre på Gallilei-transformationen, somer defineret ved

x′ = x− vty′ = y

z′ = z

t′ = t

Dette betyder kort at hastigheder transformeres lineært og tiden altid erkonstant. Transformationer i y og z retningen antager vi for at være ikke-tilstedeværende

Ud fra disse kan udledes følgende transformationer.Hastigheden

u′x = ux − vu′y = uy

u′z = uz

Accelerationen1

a′x = ax

a′y = ay

a′z = az

Man kan ligeledes benytte vektornotation til denne beskrivelse og manfår da

~r′ = ~r − ~vt~u′ = ~u− ~v~a′ = ~a

1Det ses at accelerationen er invariant.

22

9.2 Lorentz-transformationen

Lorentz-transformationen, som er det matematiske grundlag for relativitet-steorien, er givet ved

x′ = γ(x− vt)y′ = y

z′ = z

t′ = γ(t− vx

c2

)hvor γ er givet ved

γ = γ(v) =1√

1− v2

c2

Disse kan yderligere repræsenteres på differensform

∆x′ = γ(∆x− v∆t)

∆y′ = ∆y

∆z′ = ∆z

∆t′ = γ

(∆t− v∆x

c2

)og på differentialform

dx′ = γ(dx− v dt)dy′ = ∆y

dz′ = ∆z

dt′ = γ

(dt− v dx

c2

)9.2.1 Rækkeudviklet γ funktion

Har man umiddelbart brug for at udregne eksempler hvor v � c kan manrækkeudvikle γ funktionen og da får man

γ =1√

1− v2

c2

' 1 +1

2

v2

c2

23

9.2.2 Kvadrerede former

De kvadrerede former af Lorentz-transformationen kan kort beskrives vedudtrykket

c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = c2t2 − x2 − y2 − z2

Disse kan ligeledes repræsenteres ved differens og differentialform

c2∆t′2 −∆x′2 −∆y′2 −∆z′2 = c2∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆z2

c2dt′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2

Ligeles kan afstanden i det Euklidiske rum dr2 = dx2 + dy2 + dz2 tageformen

c2dt′2 − dr′2 = c2dt2 − dr2

hvilken betyder at forskydningen imellem to aktuelle begivenheder kan be-skrives ved udtrykket

∆s2 = c2∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆z2

9.3 Relativistisk kinematik

9.3.1 Længdeforkortning

Længdeforkortning kan findes ved udtrykket

L =L0

γ= L0

√1− v2

c2

Herunder findes også volumenændring, som kan udregnes ved

V = V0

√1− v2

c2

9.3.2 Tidsforlængelse

Tidsforlængelsen kan findes ved udtrykket

T = γT0 =T0√

1− v2

c2

For accelerede ure vil den totale tid for bevægelse være givet ved

∆τ =

∫ τ2

τ1

dτ =

∫ t2

t1

√1− v2

c2

24

9.3.3 Transformation af hastigheder

Transformationen af hastigheder er givet ved

u′x =ux − v1− uxv

c2

u′y =uy

γ(1− uxv

c2

)u′z =

uz

γ(1− uxv

c2

)og

ux =u′x + v

1− u′xvc2

uy =u′y

γ(

1 + u′xvc2

)uz =

u′z

γ(

1 + u′xvc2

)For parallelle hastigheder gælder der at

u′ =u− v1− uv

c2

u =u′ + v

1 + u′vc2

9.3.4 Transformation af γ funktionen

Transformationen er givet ved

γ(u) = γ(v)γ(u′)

(1 +

u′xv

c2

)og

γ(u′) = γ(v)γ(u)(

1− uxv

c2

)

25

Retningen af en bevægelse kan ud fra

cot θ =uxuy

og

cot θ′ =u′xu′y

findes til at værecot θ′ = γ cot θ

(1− v

u cos θ

)9.4 Relativistisk optik

9.4.1 Klassisk Dopplereffekt

Den klassiske Dopplereffekt kan beskrives med et udtryk for det tilfælde hvoriagtageren er hvile

T = T0

(1 +

w

c

)hvor iagtageren bevæger sig og kilden er i hvile

T =T0

1− vc

og slutteligt det tilfælde hvor både iagtager og kilde bevæger sig

T = T0

1 + wc

1− vc

Frekvensen er da givet vedνklν0

=1− v

c

1 + wc

og bølgelængden kan findes vedλklλ0

=1 + w

c

1− vc

9.4.2 Relativistisk Dopplereffekt

Den relativistiske Dopplereffekt er givet ved

λ0

λrel=νrelν0

=

√1− u

c

1 + uc

eller skrevet påå en anden måde

λrelλ0

=

√1 + u

c

1− uc

26

Ikke-parallelle hastigheder Ved ikke parallelle hastigheder gælder føl-gende udtryk

λ0

λrel=νrelν0

=

√1− u2

c2

1 +(uc

)cosα

=1

γ[1 +(uc

)cosα]

og ud fra denne kan blandt andet udledes den transversale Dopplereffekt, somer givet ved

νtransν0

=

√1− u2

c2=

1

γ

og man kan ligeledes finde λ0 ved

λ0 =c · λrel

γ[c+ u cosα]

og vinkel α kan findes ved

α = π − arccos

(c · (γ − 1)

γ · u

)9.5 Rumtiden og fire-vektorer

9.5.1 Fire-vektorer

Med en prototype på en fire-vektor A = (A0, A1, A2, A3), forskydningsvekto-ren ∆X = (c∆t,∆x,∆y,∆x) kan formuleringen

A′0 = γ(A0 − βA1)

A′1 = γ(A1 − βA0)

A′2 = A2

A′3 = A3

Kvadratet på en 4 vektor er givet ved

A2 = A20 − A2

1 − A22 − A2

3

Der gælder almindelige regneregler for vektorer her. Blandet andet kanskalarproduktet findes.

9.5.2 Fire-vektorers geometri

En fire-vektor A kaldes tidsagtig hvis A2 > 0, lysagtig hvis A2 = 0 ogrumagtig hvis A2 < 0.

27

9.5.3 Egentiden

Egentiden er givet ved

dt

dτ=

1√1− u2

c2

= γ(u)

og efterviser udtrykket for tidsforlængelsen.

9.5.4 Fire-hastigheden

Ved differentiation kan man udlede at

U = (γc, γux, γuy, γuz)

hvor γ ≡ γ(u) og denne kan da skrives på formen

U = γ(u)(c, ~u)

9.6 Relativistisk mekanik

9.6.1 Fire-impulsen og den relativistiske impuls

Fire-impulsen er givet ved udtrykket

P = mU

hvor U er 4-hastigheden. Idet U2 = c2 kan man få

P2 = m2c2

og ved at benytte udregninger via komponentform kan man udlede impulsen

~p = γ(u)m~u

9.6.2 Fire-impuls-bevarelse

Fire-impulsens bevarelse er givet ved følgende udtryk∑i=1,N før

Pi =∑

j=1,Nefter

Pi

∑i=1,N før

~pi =∑

j=1,Nefter

~pi

∑i=1,N før

γ(ui)mi =∑

j=1,Nefter

γ(uj)mj

28

9.6.3 Relativistisk energi

Hvileenergien er givet ved udtrykket

E0 = mc2

Systemets totalenergi er givet ved

E = γmc2

Den kinetiske energi, defineret ved forskellen imellem partiklens totale energiog hvileenergi, er givet ved

K = E − E0

og den kinetiske energi kan da udtrykkes ved

K = (γ − 1)mc2

Ud fra dette udtryk kan 4-impulsen også skrives som

P =

(E

c, ~p

)og man kan nu definere den benyttede sammenhæng imellem hastighed, ener-gi og impuls

~p =E

c2~u

9.6.4 Sammenhæng imellem energi og impuls

Sammenhængen imellem energi og impuls er givet ved

P2 = P ·P =E2

c2− p2

I et hvilesystem hvor p = 0 og E = mc2 får vi

P 2 = m2c2

Og da disse to udtryk er ækvivalente, kan man få

E2 = p2c2 +m2c4

og da E er en positiv størrelse fås

E = K +mc2 =√p2c2 +m2c4

For meget små hastigheder pc� mc2 gælder der

E ' mc2 +p2

2m

og for meget store hastigheder pc� mc2 gælder der at

E ' pc

29

9.6.5 Masseløse partikler

For masseløse partikler (såsom fotoner) gælder at impulsen er

E2 = p2c2 ⇔ p =E

c

og den masseløse partikel vil da have 4-impulsen

P =E

c(1, ~n)

Energien for en foton kan beskrives ved

E = hν

Energien får en foton efter et sammenstød med en elektron (Comptonspredning) kan findes ved udtrykket

E ′ =E

Emc2

(1− cos θ) + 1

Hvor man da også kan være interesseret i vinkel, som kan findes ved

cos θ = −−E′E − E ′mc2 + Emc2

E ′E

9.6.6 Tyngepunktet og den invariante masse

Tyngdepunktssystemets 4-impuls er givet ved

PCM = (Mc, 0)

og systemets invariante masse er givet ved

Mc =√P 2 =

√E2

c2− p2

9.6.7 Tærskelenergi - eksempel fra Eksamen 2011

Den process hvor en pion π+ henfalder til en muon µ+ og en neutrino νµbetragtes. Vi skal nu udlede et udtryk for neutrinoens energi laboratoriesy-stemet. Vi starter med at definere 4-impulsbevarelse

Pπ −Pν = Pµ

30

og ved at kvadrere får man

P2π + P2

ν − 2Pπ ·Pν = P2µ

Her vil Pπ =[Eπc, pπ, 0, 0

]og Pν =

[Eνc, Eνc, 0, 0

]hvorfor man efter anvendelse

af P2 = m2c2 får

m2πc

2 − 2

(EπEνc2− pπEν

c

)= m2

µc2

hvilket kan omskrives til

Eν =1

2

c4

Eπ − pπc(m2

π −m2µ)

og ved at forlænge med (Eπ + pπ) får man

Eν =1

2

(Eπ + pπc)c4

E2π − p2

πc2

(m2π −m2

µ)

Ved nu at anvende sammenhængen E2π − p2

πc2 = m2

πc4 kommer man frem til

Eν =1

2

(Eπ + pπc)c4

m2πc

4(m2

π −m2µ)

hvilket ved omarrangering og forkortning giver

Eν =(Eπ + pπc)c

4(m2π −m2

µ)

2m2πc

4

=Eπ + pπc

2

[1−

(mµ

mπ

)2]

31

10 Almindelige konstanter og enhederHer er en række af de mest almindeligt anvendte konstanter og enheder. Deer taget direkte fra bogens2 omslag.

navn enhed værdiLysets hastighed i vakuum c 2.9979248 · 108m/s

Elektronens ladning e 1.602 · 10−19CGravitations konstanten G 6.674 · 10−11N ·m2/kg2

Plancks konstants h 6.626 · 10−34 J · sBoltzmanns konstant k 1.38 · 10−24 J/K

Avogadro’s tal Na 6.002 · 1023molekyler/molGas konstanten R 8.314 J/mol ·K

Elektronens masse me 9.109 · 10−31 kgProtonens masse mp 1.6726 · 10−27 kgNeutronens masse mn 1.6749 · 10−27 kg

Permeabiliteten af det frie rum µ0 4π · 10−7Wb/A ·mPermittiviteten af det frie rum ε0 = 1/µ0c

2 8.854 . . . · 10−12C2/N ·m2

1/4πε0 8.9875 . . . · 109N ·m2/C2

Andre brugbare konstanter

navn enhed værdiMekaniske varme ækvivalent 4.186 J/cal

Standard atm. tryk 1 atm 1.01325 · 105 PaAbsolutte nulpunkt 0 K −273.15°C

Elektonvolten 1 eV 1.602 · 10−19 JAtomets massenehed 1 u 1.6605 · 10−27 kg

Elektronens hvileenergi mec2 0.51099MeV

Den ideale gas’ volumen 22.414 liter/molTyngdeaccelerationen g 9.80665m/s2

2University Physics

32