Microsoft Word - Formulrio de Geometria.docx1. TringuloA Geometria PlanaEm um tringulo retngulo qualquer: um plano cartesiano. Sendo D o determinante obtido por*b c *h*m n * a2 = b2 + c2b2 = mac2 = nah2 = mn D = x Bx y B 1 , tem-se que:y 1C D Ba rea de um tringulo * ah = bc * D = 0 A, B e C so colineares;1cuja rea S dada por: S = | D |2 Teorema dos senos (ou lei dos senos)Ac bO a = b = c = 2R R sen sen sen B a C Teorema dos cossenos (ou lei dos cossenos)Aa2 = b2 + c2 2bc cosc r r h bS = bh2AbC a BS = ab sen2Ac bB a CS = p ( p a )( p b)( p c) , p = a + b + c2Ac R bOB a CabcS =4RAbO 2rB a CS = pr , em que p = a + b + c c bb2 = a2 + c2 2ac cos B a C c2 = a2 + b2 2ab cos Teorema da bissetriz Diagrama de incluso dos quadrilterosInternaA ExternaA Trapzios QuadrilterosParalelogramos Retngulos LosangosB S Cp da bissetriz interna p da bissetriz externa Quadrados AB = AC BSCS AB = AC BSCS 3. Polgonos2. Quadrilteros reas dos quadrilteros notveis A 1 2 A 21 3A1 23n A 3n 4 Em um polgono convexo de n lados:n(n 3)* o nmero de diagonais d =2* a soma dos ngulos internos Si = (n 2)180* a soma dos ngulos externos Se = 360n 4TrapziobhB( B + b)h S =2Paralelogramoa baS = a hRetnguloabb aS = a bLosangoA AdA ADS = d D2QuadradoAAA AS = A2h b4A6 5 Em um polgono regular de n lados:5 * cada ngulo interno = Si = (n 2)180A 6 A 564. Crculo n n* cada ngulo externo = Se = 360n n reas das partes do crculoCrculoR Setor circularO Coroa circularRR R r* S = R2* C = 2 R S = CR2 R2=2 C, em radianos S = (R 2 r 2 ) ngulos em um crculongulo central ( ) e ngulo inscrito ( )P ngulo excntrico interiorA ngulo excntrico exteriorP 1. Prisma Geometria EspacialbaseEm um prisma qualquer:* o volume V = (rea da base ) (altura )D D A CO C BBA B aresta lateralaresta da base Prismas particulares base * a rea lateral (AA ) a soma das reas das faceslaterais* a rea da base (AB ) a rea de apenas uma baseA* a rea total AT = 2 AB + AApAB + CpD= pAB CpD= Cubo * rea da base: ABa = a 2= 2 = med (pAB ) 2 2 a * rea lateral: A = 4a 2a * rea total: ATa D = 6a 2a * Diagonal de uma face: d = a 2 Potncia de um ponto P em relao a uma circunferncia d a * Diagonal do cubo: D = a 3P interno P externo Conseqncia importante a * Volume: V = a 3Paraleleppedo reto-retngulo * Soma das dimenses: a + b + cA a aA C B P b bb c * Soma das arestas: 4a + 4b + 4c* rea total: AT = 2(ab + ac + bc)C d DP * Diagonal: D = a 2 + b 2 + c 2bcDD B bc a * Volume: V = abcT* Relao importante: (a + b + c )2 = D2 + A(PA)(PB ) = (PC )( PD) (PA)(PB ) = ( PC )( PD) a + c = b + d 2. Cilindro circular retorr2r g=h AA = 2rh h = g2r r* rea da base: A = r 2 * rea total: AT = 2r(r + h)2B * Volume: V = AB h = r h* rea lateral: AA = 2rhaa aa a* Diagonal: d = a 23. PirmideV Em uma pirmide qualquer:* o volume V = 1 A hdas faces laterais 4. Cone circular reto raio do setor circulargaresta lateral aresta da base aptema da base * a rea total (AT ) AT = AB + AA ggg hAA = rgr raio da baser Slidos importantes Em qualquer cone circular reto: 2r* a rea lateral AA = rg* a rea total AT = r(r + g )* g 2 = h 2 + r 2 1 2Tetraedro regularHa aa 2 3* rea da base: AB = 42* rea lateral: A = 3a 3* rea total: A = a 2 3* Altura: H = a 633* Volume: V = a 212Octaedro regular* rea total: A = 2a 2 3Ta 3 2* Volume: V =3A * a rea da base AB4 = r 2 * o volume V = r h3T 5. Esfera* rea da superfcie esfrica: A = 4R 2R 4O * Volume da esfera: V = R 33 Partes da esfera e eCalota esfricarORs a superfcie hZona esfrica s a superfcie O R hCunha esfricaACunha esfricaR ORB2 4 R3 2R33 V = , S (volume da cunha ) 3 em radianosFuso esfricoAFuso esfricoROR B22 4R S = 2R2 , S (rea do fuso ) em radianosSegmento esfrico de duas baseser1h r* Volume (V): V = h [3(r 2 + r 2 )+ h 2 ]6 1 2* rea (S): S = 2Rh + r 2 + r 2Segmento esfrico de uma basee ehrhO Or* Volume (V): V = h (3r 2 + h 2 )6* rea (S): S = 2Rh + r 2V Quando dois slidos S1 e S 2 (comoV' os da figura) so semelhantes de razo linear k~ D' C' * a razo entre dois elementosD C O' lineares quaisquer kA' B' * a razo entre as reasO (S ) correspondentes k 22A B * a razo entre os volumes k 37. Tronco de pirmide de bases paralelasbase menor Sendo Ab a rea da base menor, AB a rea da base maior, AA a rea lateral, h a altura e V oaresta lateral volume do tronco, tem-se que:h * a rea lateral AA a soma das reas das faces lateraisCalota esfricaZona esfrica* rea (S): S = 2Rh * rea (S): S = 2Rh6. Razo de semelhana de dois slidos2 (S1)1 2 altura base maior * a rea total AT = AB + Ab + AA* o volume V = h (A3 B + Ab + AB Ab )8. Tronco cone de revoluo de bases paralelas 10. Teorema de Pappus-Guldinb 3 B bgr rgeratrizaltura h g 2R2r gRR Superfcie desenvolvida do troncoSendo Ab a rea da base menor, AB a reada base maior, AA a rea lateral, g a geratriz, * AA = g (R + r )h a altura e V o volume do tronco, tem-se * AT = AB + Ab + AAque: h h* A = r 2 * V = (A + A + A A )= (R 2 + r 2 + Rr )* A = R 2e* vantagem aplicar a frmulaV = 2dS quando o centro degravidade da figura de fcilG determinao.* Em qualquer tringulo, o centro degravidade o seu baricentro.Figura plana * Em qualquer quadrado, losango oude rea S paralelogramo, o centro degravidade a interseco das suas diagonais.Seja S a rea de uma figura plana. Ao girar essa figura plana * Em qualquer polgono regular, o (de 360o) em torno do eixo e, obtm-se um slido de centro de gravidade o centro da revoluo. Demonstra-se que o volume desse slido pode circunferncia inscrita (ouser calculado pela frmula V = 2dS . Sendo G o centro de circunscrita).gravidade da figura, d a distncia do ponto G reta e.11. PoliedrosPoliedro convexoEm um poliedro convexo com Ffaces, V vrtices e A arestas:* V A + F = 2* S = (V 2) 360 , em que S a somados ngulos das faces de um poliedro convexo9. Princpio de CavalieriPrincpio de Cavalieri para reas "Sejam F1 e F2 duas figuras planasapoiadas sobre uma mesma reta r. Se d1 d2 toda reta s, paralela a r, determina ems F1 e F2 segmentos d1 e d 2F F congruentes (os segmentos d1 e d 2 so1 2as interseces da reta s como as figurasr F1 e F2 ), ento as figuras F1 e F2 soequivalentes (tm reas iguais). ClassificaoPoliedros de Plato (h apenas 5 poliedros de Plato):* tetraedros* hexaedros* octaedros* dodecaedros* icosaedrosUm poliedro de Plato somente se:1o) todas as suas faces so polgonos com o mesmo nmero de lados;2o) em cada um de seus vrtices concorre o mesmo nmero de arestas;3o) Euleriano.O princpio de CavalieriS1 S2"Sejam S1 e S 2 dois slidos apoiados sobre um mesmo plano . Se todo plano , paralelo a , secciona S1 eA1 A2 S segundo figuras planas2equivalentes (A1 = A2 ) , ento os slidos S1 e S 2 tm volumes iguais."B B b 3Poliedros RegularesUm poliedro regular somente se:1o) todas as suas faces so polgonos regulares e congruentes2o) possui todos os ngulos polidricos congruentesObservaes importantes* So os poliedros de Plato com todas as faces formadas por polgonos regulares* "Todo poliedro regular de Plato, mas nem todo poliedro de Plato regular."Tetraedro regularHexaedro regularOctaedro regularDodecaedro regularIcosaedro regular