Formulas Integrales de Cauchy

7/25/2019 Formulas Integrales de Cauchy

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Formulas integrales

De Cauchy


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2

Ms sobre integracin en contornos cerrados...

Podemos usar el teorema de Cauchy Gpara integrar

funciones en contornos cerrados siempre que stas sean:

(a) analticas, o

(b) analticas en ciertas regiones

Por eemplo,

f(z) es analtica en todo punto

e!cepto enz " #

Pero, $qu sucede si el contorno encierra un punto singular%

#=C z

dzC

C

%=C z

dz


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EJEMPLO

2#,

&

circuloeles'donde

)(

&*

=+

+

+

+ tiz

dziziz

C


4/29

+

Frmula Integral de Cauchyeaf(z) analtica en un dominio simplemente cone!oD.

Para cualquier puntoz# enD- cualquier contorno cerrado C

enDque inclu-az#:

)(2)(

#

#

zfidz

zz

zf

C

=

D

#z

C


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(2) donde Ces el crculo z+i "&

/ecesitamos un trmino en la forma &0(z-z#) as que rescribimos la

integral como:

1n primer lugar, notemos que &0(z2&) presenta

puntos singulares enz "i.

1l contorno Cinclu-e uno de esos puntos,z " 3i.

1se es nuestro puntoz#en la frmula

)(2)(

#

#

zfidzzz

zf

C

=

+Cz

dz

&2

Ci

i+

D

dz

iz

iz

iziz

dz

z

dz

CCC

+

=

+

=

+

&

))((&2


6/29

4

=+

Cz

dz

&2

)(2)(

#

#

zfidz

zz

zf

C

=

iz =#

Ci

i+

D

izzf

=

&)(

20)( # izf =

dziz

iz

iziz

dz

z

dz

CCC

+=

+=

+

&

))((&2


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8/29

5enemos que

1l contorno Cinclu-e uno de esos puntos,z " i.

1se es nuestro puntoz#en la frmula

donde

67ora

donde Ces el crculo z+i "& Cz

dz

&+ C

i

i+

& &+

++=

CC

izizzz

dz

z

dz

))()(&)(&(&+

=

CC

dziz

zf

z

dz )(

&+ ))(&)(&(

&)(

izzzzf

++=

+)2)(&)(&(

&)()( #i

iiiifzf =

+==

2)(2

)(

& ##+

==

zfidzzzzf

z

dz

CC


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Frmula integral de Cauchy para derivadas

SI TENEMOS EPONENTE en

El !enomina!or"Generalizacin de la frmula integral de Cauchy


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En su #orma mas o$erati%a

Generalizacin de la frmula integral de Cauchy

( ) )(82)(

#

)(

zfn

i

dzzz

zf n

Cn

= +


11/29

( )

[ ]

( )

[ ]

=

=

=

=

+

C z

zC

dz

zdidz

z

z

dz

zzdidz

z

zz

2

2

2

*

&

2

2

2

#

#

cos

2

cos

,*

2&

*


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&2

9tro 1emplo

1aluar la integral

donde Ces el crculo z "2

sea

sea

f(z) es analtica enD,- Cinclu-ez#

)(2)()(

#2

#

zfidzzzzf

C

=

C

z

dzz

e2

C

##=z

zezf =)(

==

=#

# )(

)(

ezf

ezf z

D

iz

dze

C

z2

2 2

=


13/29


14/29

&+

1emplo

1aluar la integral

donde Ces el crculo z "2

sea

sea

f(z) es analtica inD,- Cinclu-ez0

)(2

2)()(

#*

#

zfidzzzzf

C

=

( ) Cdz

iz

z*

2 C

iz =#

2)( zzf = 2)(

2)(

# =

=

zf

zf

D

iiz

dzz

C

2)( *

2

=

z


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&

Calcular

donde C es la circunferencia con

sentido positivo.

( ) +C

z

dziz

e

*2

*=z

( )

( )( )

( )i

C

zi

iz

C

n

n

C

z

ieIi

Idz

iz

e

ie

ezfezfiz

siendo

dzzz

zf

i

nzf

dziz

eI

2

*

2

2##

&

#

#

)(

*

22

82

)()(;2

:

,)(

2

8

2

+

==+

=

===

=

+=


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&emostracin norigurosa de

la frmula integral de 'auc7-:

Por el principio de deformacin

de contornos:

'ambio de

ariable:

#C

C#z

zi

er#

= # ##)()(

CCdzzz

zf

dzzz

zf

derzfideir

er

erzfdz

zz

zf ii

C

i

i

+=+

=

2

#

###

2

# #

##

#

)()()(

#

ii eird

dzerzz ### ; =+=


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2*

?emos tomado un r# arbitrario. ?agmoslo infinitamente

peque@o:

$Au no es riguroso aqu%

)(2)(

)()(lim

#

2

##

2

# #

2

# ##

##

zifdzif

dzfiderzfi ir

=

== +

)(2)(

#

#

zfidz

zz

zf

C

=


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'PLIC'CIONES


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Se dice que un dominio D essimplemente conexosi cualquiercontorno cerrado simple C que se localice completamente en D

puede encogerse hasta un punto sin tener que abandonar D. Enotras palabras, en un dominio simplemente conexo, cualquiercontorno cerrado simple C que se encuentre completamente enaqul encierra nicamente a puntos del dominio D. Expresadoen forma alterna, un dominio simplemente conexo no tieneorificios. El plano complejo completo es un ejemplo de un

dominio simplemente conexo. Un dominio que no es simplementeconexo se denominadominio mltiplemente conexo;esto es,un dominio mltiplemente conexo tiene orificios,vase figura10.8. Un dominio con un orificio se denominadoblementeconexo, un dominio con 2 orificios se denominatriplementeconexo, etc.

Preliminares


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En 1883, el matemtico francs douard Goursat demostr el teorema deCauchy sin la hiptesis de continuidad def.La versin modificadaresultante del teorema de Cauchy se conoce comoteorema de Cauchy-Goursat.

Como el interior de un contorno cerrado simple es undominio simplemente conexo, el teorema de Cauchy-Goursat puede plantearse en forma poco ms prctica:

e $rue(a

on )reencauchy *iem

TEOREMA DE CAUCHY

GOURSAT

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