PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY

i

PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Yofian Paskalis Putra Tumanggor

NIM: 153114029

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

CAUCHY FUNCTIONAL EQUATIONS

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Mathematics

Mathematics Study Program

By:

Yofian Paskalis Putra Tumanggor

NIM: 153114029

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


vi

MOTTO

“Lakukanlah kewajibanmu dengan setia terhadap Tuhan, Allahmu, dengan

hidup menurut jalan yang ditunjukkanNya, dan dengan tetap mengikuti

segala ketetapan, perintah, peraturan dan ketentuanNya, seperti yang

tertulis dalam hukum Musa, supaya engkau beruntung dalam segala yang

kaulakukan dan dalam segala yang kautuju” (1 Raja-raja 2:3)

“What, then, shall we say in response to these things? If God is for us, who

can be against us?” (Rome 8:31)


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus, kedua orang tuaku dan keluargaku.


viii

ABSTRAK

Persamaan adalah pernyataan yang menegaskan dua ekspresi. Fungsi adalah

suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota

kodomain. Jadi, persamaan fungsional adalah persamaan di mana unsur yang tidak

diketahui mewakili fungsi.

Persamaan fungsional pada tugas akhir ini difokuskan pada persamaan

fungsional Cauchy. Penulis mempelajari persamaan fungsional aditif Cauchy dan

menunjukkan kekontinuan atau fungsi aditif yang terintegral lokal adalah linear.

Selanjutnya, penulis menyelidiki perilaku persamaan fungsional aditif diskontinu

dan menunjukkan bahwa fungsi menampilkan perilaku tak biasa, yaitu grafiknya

padat dalam bidang. Lebih lanjut akan dibahas mengenai basis Hamel dan

penggunaannya untuk membangun fungsi aditif diskontinu. Fungsi aditif kompleks

juga akan dibicarakan. Terakhir, penulis mempelajari bagaimana tiga jenis

persamaan fungsional Cauchy, yakni penyelesaian persamaan fungsional pangkat,

logaritma, dan multiplikatif Cauchy.

Kata kunci: persamaan fungsional, persamaan fungsional aditif Cauchy,

penyelesaian kontinu, basis Hamel, penyelesaian diskontinu, persamaan fungsional

pangkat Cauchy, persamaan fungsional logaritma Cauchy, persamaan fungsional

multiplikatif Cauchy.


ix

ABSTRACT

Equation is a statement that asserts the equality of two expressions. Function

is a relation that connects every member of the domain with exactly one member of

the codomain. Functional equation is an equation where the unknowns are

functions.

The functional equation in this thesis is focused on the Cauchy functional

equations. The author studies the Cauchy additive functional equation and shows

that the continuity or locally integrable additive functions are linear. Next, the

author explore the behavior of discontinuous additive functional equations and

show that they display a very strange behavior, that is their graphs are dense in the

plane. Further, it will be discussed the Hamel basis and its use for constructing

discontinuous additive functions. Complex additive functions are also discussed.

Lastly, the author studies the three types of Cauchy functional equations, namely

the solution of the exponential, logarithmic, and multiplicative Cauchy functional

equation.

Keywords: functional equation, additive Cauchy functional equation, continuous

solution, Hamel basis, discontinuous solution, Cauchy exponential functional

equation, Cauchy logarithmic functional equation, Cauchy multiplicative

functional equation.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. v

MOTTO ............................................................................................................ vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................... vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ...................................................................................................... ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................ x

KATA PENGANTAR ....................................................................................... xi

DAFTAR ISI ................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

A. Latar Belakang .......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3

C. Batasan Masalah ....................................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 3

E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 3

F. Metode Penulisan ...................................................................................... 3

G. Sistematika Penulisan ................................................................................ 4

BAB II PERSAMAAN FUNGSIONAL ADITIF CAUCHY ............................ 5

A. Penyelesaian Kontinu Persamaan Fungsional Aditif Cauchy ..................... 5

B. Penyelesaian Diskontinu Persamaan Fungsional Aditif Cauchy ............... 14

C. Kriteria Linearitas ................................................................................... 22

D. Fungsi Aditif pada Bidang Kompleks ...................................................... 25

BAB III BEBERAPA PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY LAINNYA

.......................................................................................................................... 30

A. Penyelesaian Persamaan Fungsional Pangkat Cauchy .............................. 30

B. Penyelesaian Persamaan Fungsional Logaritma Cauchy .......................... 34


xiv

C. Penyelesaian Persamaan Fungsional Multiplikatif Cauchy....................... 37

BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 44

A. Kesimpulan ............................................................................................. 44

B. Saran ....................................................................................................... 44

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 45

LAMPIRAN ..................................................................................................... 47


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Persamaan adalah suatu proposisi yang mengandung relasi sama

dengan dan memuat satu atau lebih variabel. Fungsi adalah suatu relasi yang

menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota

kodomain. Persamaan fungsional adalah persamaan di mana unsur yang

tidak diketahui mewakili fungsi. Contoh-contoh persamaan fungsional antara

lain: 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑥 − 𝑦, 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 + 𝑦), 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),

𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) = 𝑥 + 2𝑦, dan sebagainya. Persamaan fungsional muncul di

banyak cabang matematika dan bahkan di bidang lain seperti teknik dan ilmu

sosial. Ada beberapa persamaan fungsional yang dikenal, antara lain

persamaan fungsional Jensen, persamaan fungsional Cauchy, persamaan

fungsional Pexider, persamaan fungsional d’Alembert, persamaan

fungsional Pompeiu, persamaan fungsional Hosszu, persamaan fungsional

Davison, dan persamaan fungsional Abel.

Persamaan fungsional yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah

persamaan fungsional Cauchy, yang salah satunya berbentuk 𝑓(𝑥 + 𝑦) =

𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) dan biasa disebut persamaan fungsional aditif Cauchy.

Kemudian akan dibahas juga sifat-sifat yang berkaitan antara lain mencari

penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy, penyelesaian persamaan

fungsional pangkat Cauchy, penyelesaian persamaan fungsional logaritma

Cauchy, dan penyelesaian persamaan fungsional multiplikatif Cauchy.

Pada tugas akhir ini akan banyak menggunakan sebuah cabang dari

matematika yaitu kalkulus. Seperti kita ketahui, kalkulus adalah suatu cabang

matematika yang mempelajari tentang limit, kekontinuan, turunan, integral

dan deret tak hingga. Teori kalkulus yang banyak digunakan dalam

menyelesaikan persamaan ini adalah kalkulus diferensial dan integral.

Persamaan fungsional yang sudah banyak dipelajari adalah persamaan


2

diferensial dan persamaan integral. Beberapa contoh persamaan diferensial

adalah:

1. 𝑓′(𝑥) + 𝑚𝑥 = 5

2. 𝑓"(𝑥) + 𝑓′(𝑥) + sin (𝑥) = 0

Jika persamaan diferensial telah banyak dipelajari, maka ada juga

persamaan yang melibatkan integral dari sebuah fungsi yang tidak diketahui

dan dikenal dengan persamaan integral. Beberapa contoh persamaan integral

adalah:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ∫ 𝑒𝑥−𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

0

2. 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) + ∫ [1 − 𝑥cos(𝑥𝑡)]𝑓(𝑡)𝑑𝑡1

0

Lebih jauh, akan dibahas tiga bentuk persamaan fungsional Cauchy,

yaitu:

1. 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) (Persamaan fungsional pangkat Cauchy)

2. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) (Persamaan fungsional logaritma Cauchy)

3. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) (Persamaan fungsional multiplikatif Cauchy)

Banyak dari persamaan fungsional berasal dari matematika terapan.

Pada saat ini, permasalahan di bidang sains dan teknik secara umum

dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial

parsial. Untuk menghasilkan kedua persamaan diferensial tersebut

diperlukan beberapa tahap yang tentunya memerlukan fungsi sebagai alat

bantunya. Manfaat lain dari persamaan fungsional adalah pemrograman

dinamis atau dikenal juga sebagai optimisasi dinamis yang selanjutnya

bermanfaat juga dalam optimisasi matematis, bioinformatika, dan

pemrograman komputer.


3

B. Rumusan masalah

1. Bagaimana menyelesaikan persamaan fungsional aditif Cauchy dan

sifat-sifat penyelesaian tersebut ?

2. Bagaimana mencari penyelesaian kontinu dan penyelesaian diskontinu

di persamaan fungsional aditif Cauchy ?

3. Bagaimana penyelesaian persamaan pangkat Cauchy, persamaan

logaritma Cauchy, dan persamaan multiplikatif Cauchy ?

C. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini akan dibahas persamaan fungsional yang

dikembangkan oleh Augustin-Louis Cauchy.

D. Tujuan Penulisan

Menyelesaikan berbagai jenis persamaan fungsional Cauchy yang meliputi

penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy, persamaan fungsional

pangkat Cauchy, persamaan fungsional logaritma Cauchy, dan persamaan

fungsional multiplikatif Cauchy.

E. Manfaat Penulisan

Penulis memperoleh pengetahuan baru dan dapat menjadi referensi bagi

pembaca maupun peneliti lain.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah

studi pustaka dengan membaca buku dan jurnal.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah


4

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN FUNGSIONAL ADITIF CAUCHY

A. Penyelesaian Kontinu Persamaan Fungsional Cauchy

B. Penyelesaian Diskontinu Persamaan Fungsional Cauchy

C. Kriteria Linearitas

D. Fungsi Aditif pada Bidang Kompleks

BAB III BEBERAPA PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY LAINNYA

A. Penyelesaian Persamaan Fungsional Pangkat Cauchy

B. Penyelesaian Persamaan Fungsional Logaritma Cauchy

C. Penyelesaian Persamaan Fungsional Multiplikatif Cauchy

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


5

BAB II

PERSAMAAN FUNGSIONAL ADITIF CAUCHY

A. Penyelesaian Kontinu Persamaan Fungsional Aditif Cauchy

Pada subbab ini, kita perkenalkan persamaan fungsional aditif Cauchy dan

bagaimana menentukan penyelesaian umumnya. Persamaan fungsional adalah

persamaan di mana unsur yang tidak diketahui mewakili fungsi, misalnya

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑥 − 𝑦,

𝑓(𝑥 + 𝑦) =𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)

1−𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), dan sebagainya.

Diketahui fungsi 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ, dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real,

yang memenuhi persamaan fungsional

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), (1.1)

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Persamaan fungsional ini dikenal sebagai persamaan

fungsional aditif Cauchy. Persamaan (1.1) ini pada awalnya dipelajari oleh A.M.

Legendre (1791) dan C.F. Gauss (1809), tetapi A.L. Cauchy (1821) yang pertama

kali menemukan penyelesaian umum yang kontinu dari persamaan (1.1).

Persamaan (1.1) mempunyai peran penting dalam matematika dan ditemui pada

banyak bidang matematika.

Definisi 1.1

Sebuah fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ disebut fungsi aditif jika memenuhi persamaan

fungsional aditif Cauchy

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.


6

Definisi 1.2

Sebuah fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ disebut fungsi linear jika berbentuk

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥,

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ dengan 𝑐 adalah suatu konstanta.

Grafik fungsi linear 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 adalah sebuah garis non-vertikal yang melewati titik

pusat koordinat.

Lema 1.1

Setiap fungsi linear memenuhi persamaan fungsional aditif Cauchy.

Bukti:

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, maka berlaku

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑐(𝑥 + 𝑦) = 𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) ∎

Selanjutnya muncul pertanyaan, apakah ada fungsi lain yang memenuhi persamaan

fungsional aditif Cauchy?

Kita mulai dengan menunjukkan bahwa hanya fungsi linear yang merupakan

penyelesaian kontinu dari persamaan fungsional aditif Cauchy. Penyelesaian

kontinu dibuktikan oleh Cauchy pada tahun 1821. Kita ingat dahulu Teorema

Fundamental Kalkulus yaitu jika 𝑓 kontinu pada selang tertutup terbatas [𝑎, 𝑏] dan

𝑥 sebarang titik di (𝑎, 𝑏), maka berlaku : 𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑎.

Teorema 1.1

Jika fungsi kontinu 𝑓 ∶ ℝ → ℝ memenuhi persamaan fungsional aditif Cauchy

(1.1), maka 𝑓 adalah fungsi linear.


7

Bukti:

Pertama, ditetapkan sebuah nilai 𝑥. Selanjutnya, dengan mengintegralkan terhadap

variabel 𝑦 kita memperoleh

𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑦1

0

= ∫ [𝑓(𝑥 + 𝑦) − 𝑓(𝑦)]𝑑𝑦1

0

= ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 −1+𝑥

𝑥∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦,

1

0

dengan 𝑢 = 𝑥 + 𝑦. Karena 𝑓 kontinu dan dengan menggunakan Teorema

Fundamental Kalkulus diperoleh

𝑓′(𝑥) = 𝑓(1 + 𝑥) − 𝑓(𝑥). (1.2)

Sifat aditif dari 𝑓 memberikan

𝑓(1 + 𝑥) = 𝑓(1) + 𝑓(𝑥). (1.3)

Substitusikan persamaan (1.3) ke persamaan (1.2), untuk mendapatkan

𝑓′(𝑥) = 𝑓(1 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑐,

dengan 𝑐 = 𝑓(1) ∈ ℝ. Dengan menyelesaikan persamaan diferensial orde satu di

atas diperoleh

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑, (1.4)

untuk suatu konstanta 𝑑. Selanjutnya, dengan mensubstitusi persamaan (1.4) ke

persamaan (1.1),

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)

𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑐𝑦 + 𝑑


8

𝑑 = 2𝑑.

Oleh karena itu 𝑑 harus nol. Dengan kata lain, dari persamaan (1.4), terbukti bahwa

𝑓 linear. ∎

Diperhatikan bahwa pada Teorema 1.1 kekontinuan dari 𝑓 telah digunakan untuk

menyimpulkan bahwa 𝑓 juga terintegral. Keterintegralan 𝑓 mengakibatkan

penyelesaian 𝑓 dari persamaan aditif Cauchy menjadi linear. Dengan kata lain,

setiap penyelesaian terintegral dari persamaan aditif Cauchy juga linear.

Definisi 1.3

Sebuah fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dikatakan terintegral lokal pada ℝ jika dan hanya jika 𝑓

terintegral pada setiap interval tertutup dan terbatas 𝐼 ⊆ ℝ. Sebagai contoh,

𝑓(𝑥) = 1, 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, dan sebagainya

Dari contoh di atas, 𝑓(𝑥) = 1 merupakan fungsi terintegral lokal pada ℝ tetapi

tidak terintegral pada ℝ saat garis real menuju tak hingga. Contoh lain fungsi

terintegral lokal pada ℝ tetapi tidak terintegral pada ℝ yaitu, 𝑓(𝑥) =1

𝑥 pada

interval (0, 𝑏) dengan 𝑏 > 0.

Teorema 1.1.1

Setiap penyelesaian terintegral lokal dari persamaan aditif Cauchy merupakan

fungsi linear.

Bukti:

Dari persamaan aditif Cauchy, yakni

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)


9

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, dan dengan menggunakan keterintegralan lokal dari f

diperoleh

𝑦𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑧𝑦

0

= ∫ [𝑓(𝑥 + 𝑧) − 𝑓(𝑧)]𝑑𝑧𝑦

0 (𝑢 = 𝑥 + 𝑧)

= ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 −𝑥+𝑦

𝑥∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧

𝑦

0

= ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 −𝑥+𝑦

0∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 − ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑦

0

𝑥

0.

Ruas kanan dari persamaan di atas tidak berubah terhadap pertukaran x dan y. Jadi,

𝑦𝑓(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑦)

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Oleh karena itu, untuk 𝑥 ≠ 0, diperoleh

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑐,

untuk suatu konstanta c. Pernyataan di atas mengatakan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 untuk

setiap 𝑥 ∈ ℝ \{0}. Misalkan x = 0 dan y = 0 pada persamaan (1.1), diperoleh 𝑓(0) =

0. Dari kedua hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa f fungsi linear pada ℝ. ∎

Diperhatikan bahwa bukti Teorema 1.1 merupakan pembuktian yang

singkat dan hanya melibatkan kalkulus. Akan diberikan sebuah pembuktian yang

berbeda untuk memahami perilaku penyelesaian dari persamaan aditif Cauchy. Kita

mulai dengan definisi berikut.

Definisi 1.4

Sebuah fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dikatakan homogen rasional jika

𝑓(𝑟𝑥) = 𝑟𝑓(𝑥), (1.5)


10

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ dan 𝑟 ∈ ℚ.

Teorema berikut menunjukkan bahwa setiap penyelesaian persamaan aditif

Cauchy adalah homogen rasional.

Teorema 1.2

Jika fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ adalah penyelesaian dari persamaan aditif Cauchy, maka 𝑓

adalah fungsi homogen rasional. Dengan kata lain, 𝑓 linear pada ℚ.

Bukti:

Misalkan 𝑥 = 0 = 𝑦 pada (1.1), diperoleh 𝑓(0) = 𝑓(0) + 𝑓(0) dan

𝑓(0) = 0. (1.6)

Substitusi 𝑦 = −𝑥 pada persamaan (1.1) dan dengan menggunakan persamaan

(1.6), diperoleh 𝑓 adalah sebuah fungsi ganjil pada ℝ, yaitu

𝑓(𝑥 − 𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

𝑓(0) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

0 = 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) (1.7)

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. Sampai di sini berlaku penyelesaian dari persamaan aditif

Cauchy adalah nol di titik asal dan merupakan sebuah fungsi ganjil. Selanjutnya,

akan ditunjukkan bahwa penyelesaian dari persamaan aditif Cauchy adalah

homogen rasional. Untuk setiap 𝑥 berlaku

𝑓(2𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 2𝑓(𝑥).

Akibatnya

𝑓(3𝑥) = 𝑓(2𝑥 + 𝑥) = 𝑓(2𝑥) + 𝑓(𝑥) = 2𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 3𝑓(𝑥).


11

Secara umum, untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ berlaku

𝑓(𝑛𝑥) = 𝑛𝑓(𝑥) (1.8)

Bukti dari (1.8):

Pernyataan tersebut benar untuk 𝑛 = 1 karena 𝑓(1𝑥) = 𝑓(𝑥) = 1 . 𝑓(𝑥).

Misalkan pernyataan benar untuk 𝑛 = 𝑘. Akan ditunjukkan bahwa pernyataan

benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, yakni 𝑓((𝑘 + 1)𝑥) = (𝑘 + 1)𝑓(𝑥). Perhatikan

𝑓((𝑘 + 1)𝑥) = 𝑓(𝑘𝑥 + 𝑥)

= 𝑓(𝑘𝑥) + 𝑓(𝑥)

= 𝑘𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥)

= (𝑘 + 1)𝑓(𝑥)

untuk setiap 𝑘 ∈ ℕ.

Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematis pernyataan benar untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ. Jika

𝑛 negatif, maka – 𝑛 positif dan menurut persamaan (1.8) dan (1.7) diperoleh

𝑓(𝑛𝑥) = 𝑓(−(−𝑛)𝑥)

= −𝑓(−𝑛𝑥)

= −(−𝑛)𝑓(𝑥)

= 𝑛𝑓(𝑥).

Selanjutnya, diberikan sebarang bilangan rasional 𝑟. Karena 𝑟 ∈ ℚ, berlaku

𝑟 =𝑘

𝑙

untuk suatu bilangan bulat 𝑘 dan bilangan asli 𝑙. Lebih lanjut, 𝑘𝑥 = 𝑙(𝑟𝑥). Dengan

menggunakan sifat homogen 𝑓 pada bilangan bulat diperoleh


12

𝑘(𝑓𝑥) = 𝑓(𝑘𝑥) = 𝑓(𝑙(𝑟𝑥)) = 𝑙𝑓(𝑟𝑥)

yakni,

𝑓(𝑟𝑥) =𝑘

𝑙𝑓(𝑥) = 𝑟𝑓(𝑥).

Dengan kata lain, 𝑓 homogen rasional. Lebih lanjut, misalkan 𝑥 = 1 dan 𝑐 = 𝑓(1)

pada persamaan di atas, diperoleh

𝑓(𝑟) = 𝑐𝑟

untuk setiap 𝑟 ∈ ℚ. Dengan demikian, 𝑓 linear pada ℚ. ∎

Sekarang, akan ditunjukkan alternatif bukti yang kedua dari Teorema 1.1. Kita

membutuhkan sifat kepadatan ℚ di dalam ℝ.

Teorema 1.2

(1) Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah dua bilangan real dengan 𝑥 < 𝑦, maka terdapat sebuah

bilangan rasional 𝑟 sehingga 𝑥 < 𝑟 < 𝑦.

(2) Untuk setiap bilangan real 𝑥 ada barisan bilangan rasional (𝑟𝑛)𝑛∈ℕ dengan 𝑟𝑛 ⟶

𝑥 untuk 𝑛 ⟶ ∞.

Teorema 1.1

Jika fungsi kontinu 𝑓 ∶ ℝ → ℝ yang memenuhi persamaan fungsional aditif

Cauchy (1.1), maka 𝑓 adalah fungsi linear.

Bukti:

Misalkan 𝑓 adalah penyelesaian kontinu dari persamaan aditif Cauchy. Ambil

sebarang 𝑥 ∈ ℝ, dari sifat kepadatan ada barisan bilangan rasional (𝑟𝑛)𝑛∈ℕ dengan

𝑟𝑛 ⟶ 𝑥 untuk 𝑛 ⟶ ∞. Karena 𝑓 memenuhi persamaan fungsional aditif Cauchy,

maka menurut Teorema 1.2, 𝑓 linear pada ℚ, yaitu ada konstanta 𝑐 sehingga

𝑓(𝑟𝑛) = 𝑐𝑟𝑛


13

untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ. Karena 𝑓 kontinu pada ℝ dan barisan 𝑟𝑛 konvergen ke 𝑥, maka

𝑓(𝑥) = lim𝑛⟶∞

𝑓( 𝑥𝑛) dan diperoleh

𝑓(𝑥) = 𝑓 ( lim𝑛⟶∞

𝑟𝑛)

= lim𝑛⟶∞

𝑓(𝑟𝑛)

= lim𝑛⟶∞

𝑐𝑟𝑛

= 𝑐 lim𝑛⟶∞

𝑟𝑛

= 𝑐𝑥 ∎

Teorema selanjutnya dibuktikan pertama kali oleh G. Darboux (1875).

Teorema 1.3

Diketahui 𝑓 adalah sebuah penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy. Jika

𝑓 kontinu di sebuah titik, maka 𝑓 kontinu di setiap titik.

Bukti:

Misalkan 𝑓 kontinu di 𝑡 ∈ ℝ, ambil sebarang titik 𝑥 ∈ ℝ. Karena 𝑓 kontinu di 𝑡,

maka kita mempunyai lim𝑦⟶𝑡

𝑓(y) = 𝑓(𝑡). Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 𝑓

kontinu di 𝑥. Perhatikan

lim𝑦⟶𝑥

𝑓(y) = lim𝑦⟶𝑥

𝑓(𝑦 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑡 + 𝑡)

= lim𝑦⟶𝑥

[𝑓(𝑦 − 𝑥 + 𝑡) + 𝑓(𝑥 − 𝑡)]

= lim𝑦⟶𝑥

𝑓(𝑦 − 𝑥 + 𝑡) + lim𝑦⟶𝑥

𝑓(𝑥 − 𝑡)

= 𝑓(𝑡) + 𝑓(𝑥 − 𝑡)

= 𝑓(𝑡) + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑡)

= 𝑓(𝑥)

Terbukti 𝑓 kontinu di 𝑥. Karena 𝑥 sebarang, maka terbukti 𝑓 kontinu di setiap titik

pada garis real.

∎


14

Teorema berikut merupakan akibat langsung dari Teorema 1.1 dan Teorema 1.3.

Teorema 1.4

Diketahui 𝑓 adalah penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy. Jika 𝑓

kontinu di sebuah titik, maka 𝑓 linear.

B. Penyelesaian Diskontinu Persamaan Fungsional Cauchy

Pada subbab sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa penyelesaian kontinu dari

persamaan fungsional aditif Cauchy adalah fungsi linear. Dengan perkataan lain

fungsi aditif kontinu adalah linear. Bahkan jika kita melonggarkan kondisi

kekontinuan menjadi kekontinuan di suatu titik, fungsi aditif tetap linear. Bertahun-

tahun keberadaan fungsi aditif diskontinu adalah masalah terbuka. Matematikawan

tidak dapat membuktikan bahwa setiap fungsi aditif kontinu atau menunjukkan

contoh fungsi aditif diskontinu. Pada tahun 1905 seorang matematikawan Jerman

G. Hamel pertama kali berhasil membuktikan bahwa ada fungsi aditif diskontinu.

Untuk memulai mencari penyelesaian diskontinu persamaan fungsional aditif

Cauchy, dimulai dengan mempelajari penyelesaian nonlinear persamaan aditif

Cauchy. Pertama, akan ditunjukkan bahwa penyelesaian nonlinear persamaan aditif

Cauchy menunjukkan perilaku yang tak biasa.

Definisi 1.5

Grafik fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ adalah himpunan

𝐺 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}.

Mudah untuk dilihat bahwa grafik 𝐺 dari fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ adalah

subhimpunan pada bidang ℝ2. Sebelumnya diingat dahulu pengertian himpunan

padat.


15

Definisi 1.5.1

Himpunan 𝑆 ⊆ ℝ padat di dalam ℝ jika untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ terdapat barisan {𝑥𝑛}

⊆ 𝑆 sehingga

lim𝑛⟶∞

𝑥𝑛 = 𝑥.

Teorema 1.5

Grafik setiap penyelesaian nonlinear 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dari persamaan aditif Cauchy

bersifat padat di mana-mana pada bidang ℝ2.

Bukti:

Diketahui grafik 𝐺

𝐺 = {(𝑥, 𝑦) ∶ 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ }.

Ambil sebarang bilangan real tak nol 𝑥1. Jika 𝑓 adalah penyelesaian nonlinear

persamaan aditif Cauchy, maka untuk sebarang konstanta 𝑐 terdapat bilangan real

tak nol 𝑥2 sehingga

𝑓 (𝑥1)

𝑥1≠

𝑓(𝑥2)

𝑥2.

Andaikan tidak demikian. Ambil 𝑐 =𝑓 (𝑥1)

𝑥1 dan dengan memisalkan 𝑥1 = 𝑥,

diperoleh 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 untuk setiap 𝑥 ≠ 0, dan saat 𝑓(0) = 0 maka terbukti bahwa

𝑓 linear yang bertentangan dengan asumsi bahwa 𝑓 nonlinear. Ini membuktikan

bahwa

𝑑𝑒𝑡 (𝑥1 𝑓(𝑥1)𝑥2 𝑓(𝑥2)

) ≠ 0.


16

Jadi, vektor 𝒗𝟏 = (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) dan 𝒗𝟐 = (𝑥2, 𝑓(𝑥2)) adalah bebas linear dan

merentang seluruh bidang ℝ2. Ini berarti untuk setiap vektor 𝒗 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) ada

bilangan real 𝑟1, 𝑟2 sehingga

𝒗 = 𝑟1𝒗𝟏 + 𝑟2𝒗𝟐.

Jika kita membatasi hanya bilangan rasional 𝜌1, 𝜌2, maka dengan pemilihan yang

tepat, dapat diperoleh 𝜌1𝒗𝟏 + 𝜌2𝒗𝟐 sebarang dekat dengan setiap vektor bidang 𝒗

yang diberikan (karena ℚ padat di dalam ℝ yang berarti juga ℚ2 padat di ℝ2).

Sekarang,

𝜌1𝒗𝟏 + 𝜌2𝒗𝟐 = 𝜌1(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) + 𝜌2(𝑥2, 𝑓(𝑥2))

= (𝜌1𝑥1+𝜌2𝑥2, 𝜌1𝑓(𝑥1)+𝜌2𝑓(𝑥2))

= (𝜌1𝑥1+𝜌2𝑥2, 𝑓( 𝜌1𝑥1+𝜌2𝑥2)).

Jadi, himpunan

�̂� = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ ∶ 𝑥 = 𝜌1𝑥1+𝜌2𝑥2, 𝑦 = 𝑓( 𝜌1𝑥1+𝜌2𝑥2), 𝜌1, 𝜌2 ∈ ℚ} padat di

mana-mana pada ℝ2. Karena �̂� ⸦ 𝐺, maka grafik 𝐺 dari fungsi aditif nonlinear 𝑓

juga padat di ℝ2. ∎

Grafik dari sebuah fungsi aditif kontinu adalah garis lurus yang melewati titik asal.

Grafik sebuah fungsi aditif nonlinear padat di dalam bidang. Selanjutnya,

diperkenalkan konsep basis Hamel yang berguna untuk menyusun sebuah fungsi

aditif diskontinu.

Perhatikan himpunan

𝑆 = { 𝑠 ∈ ℝ ∶ 𝑠 = 𝑢 + 𝑣√2 + 𝑤√3, 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℚ }


17

yang elemennya merupakan kombinasi linear rasional dari 1, √2, √3. Kombinasi

linear rasional adalah tunggal, dalam arti jika sebuah elemen 𝑠 ∈ 𝑆 mempunyai dua

kombinasi linear rasional yang berbeda, misalnya,

𝑠 = 𝑢 + 𝑣√2 + 𝑤√3 = 𝑢′ + 𝑣′√2 + 𝑤′√3,

maka 𝑢 = 𝑢′ , 𝑣 = 𝑣′ dan 𝑤 = 𝑤′. Dari asumsi, diperoleh

(𝑢 − 𝑢′) + (𝑣 − 𝑣′)√2 + (𝑤 − 𝑤′)√3 = 0.

Dengan memisalkan 𝑎 = (𝑢 − 𝑢′), 𝑏 = (𝑣 − 𝑣′) dan 𝑐 = (𝑤 − 𝑤′), diperhatikan

bahwa pernyataan di atas sekarang menjadi

𝑎 + 𝑏√2 + 𝑐√3 = 0.

Selanjutnya, diperlihatkan bahwa 𝑎 = 0 = 𝑏 = 𝑐. Penyataan di atas memberikan

𝑏√2 + 𝑐√3 = −𝑎,

dan dengan mengkuadratkan kedua sisi, diperoleh

2𝑏𝑐√6 = 𝑎2 − 2𝑏2 − 3𝑐2

Sebelumnya, akan dibuktikan sifat berikut, √6 merupakan bilangan irasional

Bukti:

Andaikan √6 merupakan bilangan rasional. Dari definisi, berarti ada bilangan bulat

𝑎 dan 𝑏 yang relatif prima (faktor persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏 adalah 1),

sehingga


18

√6 =𝑎𝑏

√6𝑏 = 𝑎

6𝑏2 = 𝑎2.

Ini berarti 6 habis membagi 𝑎2 yang berarti juga 3 habis membagi 𝑎2. Saat 3 habis

membagi 𝑎2 maka 3 habis membagi 𝑎. Dengan memisalkan 𝑎 = 3𝑐, 𝑐 ∈ ℤ, kita

mendapatkan

6𝑏2 = (3𝑐)2

6𝑏2 = 9𝑐2

3𝑐2 = 2𝑏2.

Oleh karena itu, 3 habis membagi 2𝑏2. Jelas bahwa 3 tidak habis membagi 2, jadi

3 habis membagi 𝑏2 dan karenanya 3 juga habis membagi 𝑏. Sekarang kita

mempunyai 3 habis membagi 𝑏 dan 3 habis membagi 𝑎. Jelas bahwa 3 > 1 dan ini

kontradiksi dengan fpb (𝑎, 𝑏) = 1. Jadi, √6 merupakan bilangan irasional. ∎

Setelah mengkuadaratkan kedua sisi dan memperoleh 2𝑏𝑐√6 = 𝑎2 − 2𝑏2 − 3𝑐2,

ini membuktikan bahwa 𝑏 atau 𝑐 adalah 0. Andaikan tidak demikian, maka dapat

dibagi kedua sisi dengan 2𝑏𝑐 dan diperoleh

√6 =𝑎2−2𝑏

2−3𝑐2

2𝑏𝑐.

Kontradiksi dengan fakta bahwa √6 adalah bilangan irasional. Jika 𝑏 = 0, maka

diperoleh 𝑎 + 𝑐√3 = 0, ini memberikan bahwa 𝑐 = 0 (jika tidak demikian √3 =

−𝑎𝑐 adalah bilangan rasional). Demikian pula jika 𝑐 = 0, diperoleh 𝑏 = 0. Jadi 𝑏

dan 𝑐 keduanya adalah nol. Sebagai akibatnya 𝑎 = 0.


19

Jika

𝐵 = {1, √2, √3} ,

maka setiap elemen 𝑆 adalah kombinasi linear rasional tunggal dari elemen 𝐵.

Himpunan 𝐵 disebut basis Hamel untuk himpunan 𝑆. Secara formal, basis Hamel

didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.6

Diberikan 𝑆 ⊆ ℝ. Himpunan 𝐵 ⊆ 𝑆 disebut basis Hamel untuk 𝑆 jika setiap

anggota 𝑆 dapat dituliskan secara tunggal sebagai kombinasi linear rasional dari

anggota-anggota 𝐵.

Jika 𝑆 = ℝ, maka dapat ditunjukkan bahwa basis Hamel 𝐵 untuk ℝ ada

(lihat Christopher G. Small, 2007 hal 95). Terdapat hubungan erat antara fungsi

aditif dan basis Hamel. Untuk menunjukkan fungsi aditif cukup dengan

memberikan nilai pada basis Hamel, dan nilai-nilai tersebut dapat ditetapkan secara

sebarang.

Teorema 1.6

Misal 𝐵 basis Hamel untuk ℝ. Jika dua fungsi aditif mempunyai nilai yang sama

pada setiap anggota 𝐵, maka kedua fungsi tersebut sama.

Bukti:

Misal 𝑓1 dan 𝑓2 dua fungsi aditif yang mempunyai nilai yang sama pada setiap

anggota 𝐵. Maka, 𝑓 = 𝑓1 − 𝑓2 juga aditif. Jika 𝑥 ∈ ℝ, maka terdapat bilangan

𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 di 𝐵 dan bilangan rasional 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 sehingga

𝑥 = 𝑟1𝑏1 + 𝑟2𝑏2 + ⋯ + 𝑟𝑛𝑏𝑛 .

Dengan demikian,

(𝑓1 − 𝑓2)(𝑥) = 𝑓(𝑥)

= 𝑓(𝑟1𝑏1 + 𝑟2𝑏2 + ⋯ + 𝑟𝑛𝑏𝑛)


20

= 𝑓(𝑟1𝑏1) + 𝑓(𝑟2𝑏2) + ⋯ + 𝑓(𝑟𝑛𝑏𝑛)

= 𝑟1𝑓(𝑏1) + 𝑟2𝑓(𝑏2) + ⋯ + 𝑟𝑛𝑓(𝑏𝑛)

= 𝑟1[𝑓1(𝑏1) − 𝑓2(𝑏1)] + 𝑟2[𝑓1(𝑏2) − 𝑓2(𝑏2)]

+ ⋯ + 𝑟𝑛[𝑓1(𝑏𝑛) − 𝑓2(𝑏𝑛)]

= 0.

Jadi, diperoleh 𝑓1 = 𝑓2 dan bukti selesai. ∎

Teorema 1.7

Misal 𝐵 basis Hamel untuk ℝ dan 𝑔 ∶ 𝐵 → ℝ sebarang fungsi yang didefinisikan

pada 𝐵. Maka terdapat sebuah fungsi aditif 𝑓 ∶ ℝ → ℝ sehingga 𝑓(𝑏) =

𝑔(𝑏) untuk setiap 𝑏 ∈ 𝐵.

Bukti:

Untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ dapat ditemukan 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 ∈ 𝐵 dan 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 ∈ ℚ

sehingga

𝑥 = 𝑟1𝑏1 + 𝑟2𝑏2 + ⋯ + 𝑟𝑛𝑏𝑛 .

Definisikan 𝑓(𝑥) sebagai

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑟1𝑏1 + 𝑟2𝑏2 + ⋯ + 𝑟𝑛𝑏𝑛) = 𝑟1𝑔(𝑏1) + 𝑟2𝑔(𝑏2) + ⋯ + 𝑟𝑛𝑔(𝑏𝑛).

Ini mendefinisikan nilai 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥. Dari definisi ini jelas untuk setiap

𝑥, pilihan 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 , 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 adalah tunggal, kecuali urutan di mana 𝑏𝑖 dan 𝑟𝑖

dipilih. Untuk setiap 𝑏 ∈ 𝐵, diperoleh 𝑓(𝑏) = 𝑔(𝑏) dari definisi 𝑓. Selanjutnya,

akan ditunjukkan bahwa 𝑓 adalah aditif pada bilangan real. Misal 𝑥 dan 𝑦 sebarang

dua bilangan real, maka

𝑥 = 𝑟1𝑎1 + 𝑟2𝑎2 + ⋯ + 𝑟𝑛𝑎𝑛

𝑦 = 𝑠1𝑏1 + 𝑠2𝑏2 + ⋯ + 𝑠𝑚𝑏𝑚 ,


21

di mana 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 , 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑚 ∈ ℚ dan 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 ∈ 𝐵. Dua

himpunan {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} dan {𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚} mungkin mempunyai beberapa

anggota yang sama. Misalkan gabungan dua himpunan tersebut adalah

{𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑙}. Maka 𝑙 ≤ 𝑚 + 𝑛, dan

𝑥 = 𝑢1𝑐1 + 𝑢2𝑐2 + ⋯ + 𝑢𝑙𝑐𝑙

𝑦 = 𝑣1𝑐1 + 𝑣2𝑐2 + ⋯ + 𝑣𝑙𝑐𝑙 ,

di mana 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑙, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑙 bilangan rasional, beberapa di antaranya

mungkin nol. Sekarang

𝑥 + 𝑦 = (𝑢1 + 𝑣1)𝑐1 + (𝑢2 + 𝑣2)𝑐2 + ⋯ + (𝑢𝑙 + 𝑣𝑙)𝑐𝑙

dan

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓((𝑢1 + 𝑣1)𝑐1 + (𝑢2 + 𝑣2)𝑐2 + ⋯ + (𝑢𝑙 + 𝑣𝑙)𝑐𝑙)

= (𝑢1 + 𝑣1)𝑔(𝑐1) + (𝑢2 + 𝑣2)𝑔(𝑐2) + ⋯ + (𝑢𝑙 + 𝑣𝑙)𝑔(𝑐𝑙)

= [(𝑢1 + 𝑣1)𝑔(𝑐1) + (𝑢2 + 𝑣2)𝑔(𝑐2) + ⋯ + (𝑢𝑙 + 𝑣𝑙)𝑔(𝑐𝑙)]

+[𝑣1𝑔(𝑐1) + 𝑣2𝑔(𝑐2) + ⋯ + 𝑣𝑙𝑔(𝑐𝑙)]

= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦).

Jadi, 𝑓 aditif pada himpunan bilangan real ℝ. ∎

Dengan bantuan basis Hamel, selanjutnya dapat dikonstruksi sebuah fungsi

aditif nonlinear. Misal 𝐵 basis Hamel pada bilangan real ℝ. Ambil sebarang 𝑏 ∈ 𝐵.

Didefinisikan

𝑔(𝑥) = {01

jika 𝑥 ∈ 𝐵 \ {𝑏}

jika 𝑥 = 𝑏.

Dari Teorema 1.7, ada fungsi aditif 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dengan 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) untuk setiap

𝑥 ∈ 𝐵. Perhatikan bahwa 𝑓 nonlinear karena untuk 𝑥 ∈ 𝐵 dan 𝑥 ≠ 𝑏, berlaku


22

0 = 𝑓(𝑥)𝑥

≠ 𝑓(𝑏)

𝑏.

Dengan demikian, 𝑓 adalah fungsi aditif nonlinear.

C. Kriteria Linearitas

Telah diperlihatkan bahwa grafik fungsi aditif nonlinear 𝑓 padat di dalam bidang

ℝ2 yaitu untuk setiap lingkaran terdapat sebuah titik (𝑥, 𝑦) sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Telah diperlihatkan juga bahwa fungsi aditif 𝑓 menjadi linear saat ada syarat

kekontinuan pada 𝑓. Kita dapat melemahkan kondisi kekontinuan ke kekontinuan

di satu titik dan 𝑓 tetap linear. Pada subbab ini, akan ditunjukkan beberapa kriteria

lain yang akan menyebabkan fungsi aditif menjadi linear.

Definisi 1.6.1

Diberikan fungsi 𝑓 ∶ 𝐷 ⊆ ℝ → ℝ. Sebuah fungsi 𝑓 dikatakan terbatas satu sisi jika

𝑓 terbatas ke atas, yakni jika himpunan peta 𝑓(𝐷) = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷} terbatas ke

atas di dalam ℝ (terdapat 𝑢 ∈ ℝ sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝑢 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷) atau 𝑓

terbatas ke bawah, yakni jika himpunan peta 𝑓(𝐷) terbatas ke bawah di dalam ℝ

(terdapat 𝑤 ∈ ℝ sehingga 𝑤 ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷).

Definisi 1.6.2

Fungsi 𝑓 ∶ 𝐷 ⊆ ℝ → ℝ dikatakan terbatas jika terdapat bilangan 𝑀 > 0 sehingga

|𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷.

Definisi 1.6.3

Kita katakan fungsi 𝑓 ∶ 𝐷 ⊆ ℝ → ℝ naik jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 dengan 𝑥 < 𝑦 memberikan

𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦). Kita definisikan fungsi turun dengan cara yang sama dengan

membalikkan ketaksamaan 𝑓. Jika suatu fungsi naik atau turun, kita menyebutnya

monoton.


23

Teorema 1.8

Jika sebuah fungsi aditif 𝑓 terbatas satu sisi, maka 𝑓 linear.

Bukti:

Andaikan 𝑓 nonlinear, maka dari Teorema 1.5, grafik 𝑓 padat di dalam bidang.

Karena 𝑓 fungsi terbatas, maka untuk suatu konstanta 𝑀 fungsi 𝑓 memenuhi

𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, 𝑥 ∈ ℝ,

dan grafik 𝑓 tidak beririsan dengan himpunan 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 = 𝑓(𝑥) > 𝑀}.

Oleh karena itu, grafik 𝑓 tidak mungkin padat di dalam bidang. Kontradiksi.

∎

Definisi 1.6.4

Fungsi 𝜙(𝑥) dikatakan fungsi periodik dengan periode ⍺ > 0 jika

𝜙(𝑥 + ⍺) = 𝜙(𝑥) untuk setiap nilai 𝑥.

Contoh-contoh fungsi periodik antara lain: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dengan periode 2𝜋,

𝑓(𝑥) = cos 𝑥 dengan periode 2𝜋, 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 dengan periode 𝜋, dan

sebagainya.

Teorema 1.9.

Jika sebuah fungsi aditif real 𝑓 terbatas pada interval tertutup terbatas [𝑎, 𝑏], maka

𝑓 linear.

Bukti:

Misal 𝑓 ∶ ℝ → ℝ fungsi aditif dan terbatas pada interval [𝑎, 𝑏]. Pertama, akan

ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑥) terbatas pada interval [0, 𝑏 − 𝑎]. Karena 𝑓(𝑥) terbatas

pada [𝑎, 𝑏], terdapat bilangan positif 𝑀 sehingga

|𝑓(𝑦)| < 𝑀


24

untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑥 ∈ [0, 𝑏 − 𝑎], maka 𝑥 + 𝑎 ∈ [𝑎, 𝑏], sehingga dari

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑎) − 𝑓(𝑎)

diperoleh

|𝑓(𝑦)| < 𝑀 + 𝑓(𝑎).

Misal ⍺ = 𝑏 − 𝑎, maka 𝑓(𝑥) terbatas pada [0, ⍺]. Kita notasikan 𝑚 = 𝑓( ⍺)

⍺ dan

𝜙(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑐𝑥. Maka, fungsi 𝜙 memenuhi

𝜙(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥 + 𝑦) − 𝑐(𝑥 + 𝑦)

= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) − 𝑐𝑥 − 𝑐𝑦

= 𝑓(𝑥) − 𝑐𝑥 + 𝑓(𝑦) − 𝑐𝑦

= 𝜙(𝑥) + 𝜙(𝑦),

dan diperoleh 𝜙(⍺) = 𝑓(⍺) − 𝑐⍺. = 0. Sebagai akibatnya, 𝜙(𝑥) periodik dengan

periode ⍺, sebab

𝜙(𝑥 + ⍺) = 𝜙(𝑥) + 𝜙(⍺) = 𝜙(𝑥)

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. Lebih jauh, saat selisih dari fungsi terbatas pada [0, 𝑎], fungsi

𝜙(𝑥) terbatas pada [0, 𝑎]. Saat 𝜙(𝑥) adalah periodik dengan periode ⍺, fungsi 𝜙(𝑥)

terbatas pada ℝ. Sehingga 𝜙(𝑥) fungsi aditif yang terbatas pada ℝ. Dengan

demikian, 𝜙(𝑥) = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ, atau terbukti 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥. ∎

Definisi 1.7

Fungsi 𝑓dikatakan multiplikatif jika 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

Teorema 1.10

Jika fungsi 𝑓 aditif dan multiplikatif, maka 𝑓 linear.


25

Bukti:

Untuk setiap bilangan positif 𝑥 berlaku

𝑓(𝑥) = 𝑓(√𝑥 . √𝑥) = 𝑓(√𝑥). 𝑓(√𝑥) = [𝑓(√𝑥)]2 ≥ 0.

Oleh karena itu, 𝑓 terbatas dari bawah dan Teorema 1.8 memberikan 𝑓 linear. ∎

D. Fungsi Aditif pada Bidang Kompleks

Pada subbab ini akan ditunjukkan beberapa hasil mengenai fungsi aditif kompleks

pada bidang kompleks. Kita ingat dahulu definisi formal bilangan kompleks yang

diberikan oleh William Hamilton.

Definisi 1.8

Sistem bilangan kompleks ℂ adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan

real (𝑥, 𝑦) dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan oleh

(𝑥, 𝑦) + (𝑢, 𝑣) = (𝑥 + 𝑢, 𝑦 + 𝑣)

(𝑥, 𝑦)(𝑢, 𝑣) = (𝑥𝑢 − 𝑦𝑣, 𝑥𝑣 + 𝑦𝑢)

untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ.

Bilangan real 𝑥 dapat dipandang sebagai (𝑥, 0) dan notasi 𝑖 digunakan untuk

menyimbolkan bilangan imajiner (0,1) sehingga dapat ditulis sebagai berikut

(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦.

Jika notasi sisi kiri dari representasi di atas diubah dengan 𝑧, maka diperoleh 𝑧 =

𝑥 + 𝑖𝑦. Bilangan real 𝑥 disebut bagian real dari 𝑧 dan dinotasikan dengan 𝑅𝑒 𝑧.

Bilangan real 𝑦 disebut bagian imajiner dari 𝑧 dan dinotasikan dengan 𝐼𝑚 𝑧. Jika 𝑧

adalah bilangan kompleks 𝑥 + 𝑖𝑦, maka bilangan kompleks 𝑥 − 𝑖𝑦 disebut


26

𝑘𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑡 (sekawan) dari 𝑧 dan dinotasikan dengan 𝑧. Sebarang fungsi 𝑓 ∶ ℂ → ℂ

dapat ditulis sebagai

𝑓(𝑧) = 𝑓1(𝑧) + 𝑖𝑓2(𝑧), (1.9)

dengan 𝑓1 ∶ ℂ → ℝ dan 𝑓2 ∶ ℂ → ℝ berturut-turut adalah

𝑓1(𝑧) = 𝑅𝑒 𝑓(𝑧) dan 𝑓2(𝑧) = 𝐼𝑚 𝑓(𝑧). (1.10)

Jika 𝑓 aditif, maka dari (1.9) dan (1.10) diperoleh

𝑓1(𝑧1 + 𝑧2) = 𝑅𝑒 𝑓(𝑧1 + 𝑧2)

= 𝑅𝑒 [𝑓(𝑧1) + 𝑓(𝑧2)]

= 𝑅𝑒 𝑓(𝑧1) + 𝑅𝑒𝑓(𝑧2) = 𝑓1(𝑧1) + 𝑓1(𝑧2),

dan

𝑓2(𝑧1 + 𝑧2) = 𝐼𝑚 𝑓(𝑧1 + 𝑧2)

= 𝐼𝑚 [𝑓(𝑧1) + 𝑓(𝑧2)]

= 𝐼𝑚 𝑓(𝑧1) + 𝑅𝑒𝑓(𝑧2) = 𝑓2(𝑧1) + 𝑓2(𝑧2).

Teorema 1.11

Jika 𝑓 ∶ ℂ → ℂ aditif, maka terdapat fungsi aditif 𝑓𝑘𝑗 ∶ ℝ → ℝ (𝑘, 𝑗 = 1, 2)

sehingga

𝑓(𝑧) = 𝑓11(𝑅𝑒 𝑧) + 𝑓12(𝐼𝑚 𝑧) + 𝑖 𝑓21(𝑅𝑒 𝑧) + 𝑖𝑓22(𝐼𝑚 𝑧).

Bukti:

Dari (1.9), diperoleh


27

𝑓(𝑧) = 𝑓1(𝑧) + 𝑖𝑓2(𝑧),

dengan 𝑓1 : ℂ → ℝ dan 𝑓2 : ℂ → ℝ merupakan fungsi bernilai real pada bidang

kompleks. Karena 𝑓 fungsi aditif, 𝑓1 dan 𝑓2 juga fungsi aditif. Karena fungsi 𝑓1

dan 𝑓2 dipandang sebagai fungsi dari ℝ2 ke ℝ. ∎

Teorema 1.12

Jika 𝑓 ∶ ℂ → ℂ fungsi aditif kontinu, maka terdapat konstanta kompleks 𝑐1 dan 𝑐2

sehingga

𝑓(𝑧) = 𝑐1𝑧 + 𝑐2𝑧, (1.12)

Bukti:

Jika 𝑓 aditif, maka dari Teorema 1.11 diperoleh

𝑓(𝑧) = 𝑓11(𝑅𝑒 𝑧) + 𝑓12(𝐼𝑚 𝑧) + 𝑖 𝑓21(𝑅𝑒 𝑧) + 𝑖𝑓22(𝐼𝑚 𝑧),

dengan 𝑓𝑘𝑗 ∶ ℝ → ℝ (𝑘, 𝑗 = 1, 2) merupakan fungsi aditif. Kekontinuan 𝑓

memberikan kekontinuan setiap fungsi 𝑓𝑘𝑗 dan dengan demikian

𝑓𝑘𝑗(𝑥) = 𝑐𝑘𝑗 𝑥,

dengan 𝑐𝑘𝑗(𝑘, 𝑗 = 1, 2) adalah konstanta real. Jadi, dengan menggunakan bentuk

𝑓(𝑧) dan bentuk dari 𝑓𝑘𝑗, diperoleh

𝑓(𝑧) = 𝑐11𝑅𝑒 𝑧 + 𝑐12 𝑖𝑚 𝑧 + 𝑖 𝑐21𝑅𝑒 𝑧 + 𝑖𝑐22𝐼𝑚 𝑧

= (𝑐11 + 𝑖 𝑐21)𝑅𝑒 𝑧 + (𝑐12 + 𝑖 𝑐22)𝐼𝑚 𝑧

= 𝑎 𝑅𝑒 𝑧 + 𝑏 𝐼𝑚 𝑧 di mana 𝑎 = 𝑐11 + 𝑖 𝑐21, 𝑏 = 𝑐12 + 𝑖 𝑐22

= 𝑎 𝑅𝑒 𝑧 − 𝑖(𝑏𝑖) 𝐼𝑚 𝑧

=𝑎+𝑏𝑖

2𝑅𝑒 𝑧 +

𝑎−𝑏𝑖2

𝑅𝑒 𝑧 −𝑎+𝑏𝑖

2𝑖 𝐼𝑚 𝑧 +

𝑎−𝑏𝑖2

𝑖 𝐼𝑚 𝑧


28

=𝑎−𝑏𝑖

2𝑅𝑒 𝑧 +

𝑎−𝑏𝑖2

𝑖 𝐼𝑚 𝑧 +𝑎+𝑏𝑖

2𝑅𝑒 𝑧 −

𝑎+𝑏𝑖2

𝑖 𝐼𝑚 𝑧

=𝑎−𝑏𝑖

2(𝑅𝑒 𝑧 + 𝑖 𝐼𝑚 𝑧) +

𝑎+𝑏𝑖2

(𝑅𝑒 𝑧 − 𝑖 𝐼𝑚 𝑧)

=𝑎−𝑏𝑖

2𝑧 +

𝑎+𝑏𝑖2

𝑧

= 𝑐1𝑧 + 𝑐2𝑧,

dengan 𝑐1 =𝑎−𝑏𝑖

2 dan 𝑐2 =

𝑎+𝑏𝑖2

adalah konstanta kompleks. ∎

Diperhatikan bahwa tidak seperti fungsi aditif kontinu bernilai real pada garis

real, fungsi aditif kontinu bernilai kompleks pada bidang kompleks tidak linear.

Linearitas dapat diperoleh jika kita mengasumsikan syarat regularitas yang lebih

kuat seperti analitik.

Definisi 1.9

Diberikan 𝑂 ⊆ ℂ sebuah himpunan terbuka. Fungsi 𝑓 ∶ ℂ → ℂ dikatakan analitik

pada 𝑂 jika 𝑓 dapat diturunkan (terdiferensial kompleks) pada 𝑂.

Teorema 1.13

Jika 𝑓 ∶ ℂ → ℂ fungsi aditif analitik, maka terdapat konstanta kompleks 𝑐 sehingga

𝑓(𝑧) = 𝑐𝑧,

yaitu 𝑓 linear.

Bukti:

Jika 𝑓 analitik, maka 𝑓 dapat diturunkan. Dengan menurunkan

𝑓(𝑧1+𝑧2) = 𝑓(𝑧1) + 𝑓(𝑧2) (1.12)

terhadap 𝑧1, diperoleh


29

𝑓′(𝑧1 + 𝑧2) = 𝑓′(𝑧1)

untuk setiap 𝑧1 dan 𝑧2 di ℂ. Kemudian, memisalkan 𝑧1 = 0 dan 𝑧2 = 𝑧, diperoleh

𝑓′(𝑧) = 𝑐,

di mana 𝑐 = 𝑓′(0) adalah sebuah konstanta kompleks. Dari pernyataan diatas,

terlihat bahwa

𝑓(𝑧) = 𝑐𝑧 + 𝑏,

dengan 𝑏 adalah sebuah konstanta kompleks. Dengan memasukkan bentuk ini ke

(1.12), diperoleh 𝑏 = 0 ∎


30

BAB III

BEBERAPA PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY LAINNYA

Terdapat tiga persamaan fungsional Cauchy lainnya yang akan dibahas dalam

bab ini, yaitu persamaan fungsional pangkat Cauchy, persamaan fungsional

logaritma Cauchy, dan persamaan fungsional multiplikatif Cauchy.

A. Penyelesaian Persamaan Fungsional Pangkat Cauchy

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penyelesaian umum persamaan

fungsional pangkat Cauchy tanpa mengasumsikan syarat regularitas seperti

kekontinuan, keterbatasan, atau keterdiferensialan pada fungsi 𝑓 yang tidak

diketahui.

Teorema 2.1. Jika persamaan

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) (2.1)

berlaku untuk setiap bilangan real 𝑥 dan 𝑦, maka penyelesaian tersebut adalah

𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(𝑥) atau 𝑓(𝑥) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ, (2.2)

dengan 𝐴 ∶ ℝ → ℝ adalah fungsi aditif dan 𝑒 adalah bilangan natural (basis

logaritma Napier).

Bukti:

Mudah dilihat bahwa 𝑓(𝑥) = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ adalah penyelesaian dari (2.1).

Klaim kita adalah 𝑓(𝑥) bukan fungsi konstan nol, yakni 𝑓(𝑥) ≠ 0 untuk setiap ∈

ℝ. Andaikan tidak demikian, maka terdapat 𝑦0 sehingga 𝑓(𝑦0) = 0. Dari (2.1),

diperoleh


31

𝑓(𝑦) = 𝑓((𝑦 − 𝑦0) + 𝑦0) = 𝑓((𝑦 − 𝑦0)𝑓(𝑦0) = 0

untuk setiap 𝑦 ∈ ℝ. Kontradiksi dengan asumsi bahwa 𝑓(𝑥) tidak sama dengan nol.

Terbukti 𝑓(𝑥) tidak identik dengan 0.

Dengan memisalkan 𝑥 =𝑡2

= 𝑦 pada (2.1), dapat dilihat bahwa

𝑓(𝑡) = 𝑓 (𝑡

2)

2

untuk setiap 𝑡 ∈ ℝ. Karena itu 𝑓(𝑥) jelas positif. Sekarang, ambil logaritma natural

pada kedua sisi (2.1), dan diperoleh

ln 𝑓(𝑥 + 𝑦) = ln 𝑓(𝑥) + ln 𝑓(𝑦).

Kita definisikan fungsi 𝐴 ∶ ℝ → ℝ dengan 𝐴(𝑥) = ln 𝑓(𝑥), maka berlaku

𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴(𝑥) + 𝐴(𝑦). (2.3)

Oleh karena itu diperoleh penyelesaian berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(𝑥) ∎

Akibat 2.1

Jika persamaan fungsional (2.1) berlaku maka penyelesaian umum kontinu (2.1)

adalah

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑐𝑥 atau 𝑓(𝑥) = 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ, (2.4)

untuk suatu 𝑐 ∈ ℝ.


32

Definisi 2.1 Sebuah fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ disebut fungsi pangkat jika memenuhi

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

Misal 𝑛 suatu bilangan bulat positif dan persamaan fungsional

𝑓(𝑥 + 𝑦 + 𝑛𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) (2.5)

berlaku untuk setiap bilangan real 𝑥 > −1 𝑛

dan 𝑦 > −1 𝑛

. Saat 𝑛 → 0, persamaan

fungsional (2.5) tereduksi menjadi persamaan fungsional pangkat Cauchy.

Persamaan ini dipelajari oleh Thielman (1949).

Teorema 2.2

Setiap penyelesaian 𝑓 dari persamaan fungsional (2.5) berlaku untuk setiap

bilangan real 𝑥 > −1 𝑛

dan 𝑦 > −1 𝑛

berbentuk

𝑓(𝑥) = 0 atau 𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(ln(1+𝑛𝑥)) (2.6)

dengan 𝐴 ∶ ℝ → ℝ adalah sebuah fungsi aditif.

Bukti:

Tulis persamaan fungsional (2.5) menjadi

𝑓 ((1+𝑛𝑥)(1+𝑛𝑦)−1

𝑛) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦). (2.7)

Selanjutnya tuliskan 1 + 𝑛𝑥 = 𝑒𝑢 dan 1 + 𝑛𝑦 = 𝑒𝑣 sehingga 𝑢 = ln (1 + 𝑛𝑥) dan

𝑣 = ln(1 + 𝑛𝑦). Sekarang tulis kembali persamaan (2.7), untuk menghasilkan

𝑓 (𝑒𝑢+𝑣−1

𝑛) = 𝑓 (

𝑒𝑢−1

𝑛) 𝑓 (

𝑒𝑣−1

𝑛) (2.8)


33

untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ. Dengan memisalkan

𝜙(𝑢) = (𝑒𝑢−1

𝑛) (2.9)

dari (2.8), diperoleh

𝜙(𝑢 + 𝑣) = 𝜙(𝑢)𝜙(𝑣) (2.10)

untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ. Oleh karena itu dari Teorema 2.1, diperoleh

𝜙(𝑥) = 𝑒𝐴(𝑥) atau 𝜙(𝑥) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ, (2.11)

di mana 𝐴 ∶ ℝ → ℝ adalah fungsi aditif. Oleh karena itu, dari (2.9) dan (2.11) kita

mempunyai

𝑓(𝑥) = 0 atau 𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(ln(1+𝑛𝑥)),

dengan 𝐴 ∶ ℝ → ℝ adalah fungsi aditif. ∎

Akibat 2.2

Setiap penyelesaian kontinu 𝑓 dari persamaan fungsional (2.5) untuk setiap 𝑥 >

−1 𝑛

dan setiap 𝑦 > −1 𝑛

berbentuk

𝑓(𝑥) = 0 atau 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑛𝑥)𝑘 , (2.12)

dengan 𝑘 adalah sebarang konstan.


34

B. Penyelesaian Persamaan Fungsional Logaritma Cauchy

Pada subbab sebelumnya telah dibahas mengenai penyelesaian persamaan

fungsional pangkat Cauchy. Pada subbab ini akan dibahas mengenai penyelesaian

persamaan fungsional logaritma Cauchy.

Teorema 2.3

Jika persamaan fungsional

𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦),

berlaku untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ \ {0}, maka penyelesaian umum di atas diberikan

oleh

𝑓(𝑥) = 𝐴 (ln|𝑥|) ∀ 𝑥 ∈ ℝ \ {0}, (2.13)

dengan 𝐴 adalah sebuah fungsi aditif.

Bukti:

Pertama, substitusi 𝑥 = 𝑡 dan 𝑦 = 𝑡 pada 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)

untuk memperoleh

𝑓(𝑡2) = 2𝑓(𝑡).

Selanjutnya, dengan memisalkan 𝑥 = −𝑡 dan 𝑦 = −𝑡, diperoleh

𝑓(𝑡2) = 2𝑓(−𝑡).

Dengan demikian dapat dilihat bahwa

𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡) ∀ 𝑡 ∈ ℝ \ {0}. (2.14)


35

Selanjutnya, misalkan persamaan fungsional 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) berlaku

untuk setiap 𝑥 > 0 dan 𝑦 > 0. Misal

𝑥 = 𝑒𝑠 dan 𝑦 = 𝑒𝑡 (2.15)

sehingga

𝑠 = ln 𝑥 dan 𝑡 = ln 𝑦. (2.16)

Perhatikan bahwa 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ karena 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+ di mana ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 0}.

Substitusi (2.15) ke 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), menghasilkan

𝑓(𝑒𝑠+𝑡) = 𝑓(𝑒𝑠) + 𝑓(𝑒𝑡).

Misal kita definisikan

𝐴(𝑠) = 𝑓(𝑒𝑠) (2.17)

dan menggunakan persamaan terakhir, diperoleh

𝐴(𝑠 + 𝑡) = 𝐴(𝑠) + 𝐴(𝑡)

untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ. Dengan demikian, dari (2.17) diperoleh

𝑓(𝑥) = 𝐴 (ln 𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ+. (2.18)

Saat 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡) dapat dilihat bahwa penyelesaian umum 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)

adalah

𝑓(𝑥) = 𝐴 (ln |𝑥|) ∀ 𝑥 ∈ ℝ \ {0}

dan bukti selesai. ∎


36

Berikut ini akan diberikan beberapa akibat dari teorema terakhir.

Akibat 2.3

Penyelesaian umum persamaan fungsional 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), untuk setiap

𝑥, 𝑦 ∈ ℝ diberikan oleh

𝑓(𝑥) = 𝐴 (ln 𝑥) (2.19)

dengan 𝐴 ∶ ℝ → ℝ adalah sebuah fungsi aditif.

Akibat 2.4

Penyelesaian umum persamaan fungsional 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), untuk setiap

𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+, diberikan oleh

𝑓(𝑥) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ. (2.20)

Bukti:

Substitusi 𝑦 = 0 pada persamaan 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) untuk memperoleh

𝑓(0) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(0). ∎

Akibat 2.5

Penyelesaian umum kontinu persamaan fungsional 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), untuk

setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ\{0}, diberikan oleh

𝑓(𝑥) = 𝑐 ln |𝑥| 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ\{0}, (2.21)

dengan 𝑐 sebarang konstanta.


37

Definisi 2.2

Fungsi kontinu 𝑓 ∶ ℝ+ → ℝ disebut fungsi logaritma jika memenuhi persamaan

𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+.

C. Penyelesaian Persamaan Fungsional Multiplikatif Cauchy

Subbab ini akan membahas persamaan fungsional multiplikatif Cauchy

yakni 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦). Persamaan ini merupakan yang paling sulit di antara tiga

persamaan pada bab ini. Teorema berikut ini menggunakan fungsi signum. Fungsi

signum dinotasikan sebagai sgn(𝑥) dan didefinisikan sebagai

sgn(𝑥) = {

1 jika 𝑥 > 0 0 jika 𝑥 = 0

−1 jika 𝑥 < 0. (2.22)

Teorema 2.4

Penyelesaian umum persamaan fungsional multiplikatif Cauchy

𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ diberikan oleh

𝑓(𝑥) = 0, (2.23)

𝑓(𝑥) = 1, (2.24)

𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(ln|x|)|𝑠𝑔𝑛(𝑥)|, (2.25)

atau

𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(ln|x|)𝑠𝑔𝑛(𝑥), (2.26)

dengan 𝐴 ∶ ℝ → ℝ adalah sebuah fungsi aditif dan 𝑒 adalah basis logaritma Napier.


38

Bukti:

Misalkan 𝑥 = 0 = 𝑦 pada persamaan 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), diperoleh 𝑓(0)[1 −

𝑓(0)] = 0 dan dengan demikian

𝑓(0) = 0 atau 𝑓(0) = 1. (2.27)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan 𝑥 = 1 = 𝑦 pada persamaan 𝑓(𝑥𝑦) =

𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), diperoleh 𝑓(1)[1 − 𝑓(1)] = 0 dan artinya

𝑓(1) = 0 atau 𝑓(1) = 1. (2.28)

Jika 𝑥 bilangan real positif, maka persamaan 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) memberikan

𝑓(𝑥) = 𝑓(√𝑥)2 ≥ 0. (2.29)

Asumsikan terdapat bilangan 𝑥0 ∈ ℝ, 𝑥0 ≠ 0, sehingga 𝑓(𝑥0) = 0. Misalkan 𝑥 ∈

ℝ sebarang. Maka, dari persamaan 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) diperoleh

𝑓(𝑥) = 𝑓 ( 𝑥0

𝑥

𝑥0) = 𝑓( 𝑥0)𝑓 (

𝑥

𝑥0) = 0

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ dan dihasilkan penyelesaian (2.23).

Mulai sekarang, kita asumsikan 𝑓(𝑥) ≠ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ\{0}. Dari (2.27) kita

mempunyai 𝑓(0) = 0 atau 𝑓(0) = 1. Jika 𝑓(0) = 1, maka dengan memisalkan

𝑦 = 0 pada persamaan fungsional 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), diperoleh

𝑓(0) = 𝑓(𝑥)𝑓(0)

dan akibatnya


39

𝑓(𝑥) = 1.

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. Kita mendapatkan penyelesaian (2.24).

Selanjutnya, kita pelajari kasus 𝑓(0) = 0. Dalam hal ini klaim kita adalah 𝑓

tidak identik nol pada ℝ\{0}. Andaikan tidak demikian, maka ada 𝑦0 di ℝ\{0}

sehingga 𝑓(𝑦0) = 0 substitusi 𝑦 = 𝑦0 pada 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), kita memperoleh

𝑓(𝑥𝑦0) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦0) = 0.

Jadi,

𝑓(𝑥) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ\{0}

yang merupakan kontradiksi. Sehingga 𝑓 ≠0 pada ℝ\{0}.

Dari fakta bahwa 𝑓 tidak sama dengan nol pada ℝ\{0} dan dari persamaan

(2.29), diperoleh

𝑓(𝑥) > 0 untuk 𝑥 > 0. (2.30)

Misal

𝑥 = 𝑒𝑠 dan 𝑦 = 𝑒𝑡 (2.31)

sehingga

𝑠 = ln 𝑥 dan 𝑡 = ln 𝑦. (2.32)

Perhatikan bahwa 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ karena 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+. Substitusi (2.31) ke 𝑓(𝑥𝑦) =

𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), menghasilkan

𝑓(𝑒𝑠+𝑡) = 𝑓(𝑒𝑠) + 𝑓(𝑒𝑡).

Saat 𝑓(𝑡) > 0 untuk setiap 𝑡 > 0, dengan mengambil logaritma natural pada kedua

ruas dari persamaan terakhir, diperoleh


40

𝐴(𝑠 + 𝑡) = 𝐴(𝑠) + 𝐴(𝑡),

dengan

𝐴(𝑠) = ln 𝑓(𝑒𝑠) ∀ 𝑥 ∈ ℝ. (2.33)

Jadi, 𝐴 adalah sebuah fungsi aditif. Dari (2.33) dan (2.32), dihasilkan

𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(ln|x|) ∀𝑥 ∈ ℝ+. (2.34)

Dari (2.28) dapat dilihat juga bahwa 𝑓(1) = 0 atau 𝑓(1) = 1. Jika 𝑓(1) = 0,

maka dengan mensubstitusikan 𝑦 = 1 pada 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), diperoleh

𝑓(𝑥) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ \{0}.

Kontradiksi dengan asumsi bahwa 𝑓 tidak sama dengan nol pada ℝ\{0}. Jadi,

𝑓(1) = 1. Dengan mengambil 𝑥 = −1 = 𝑦 pada 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), diperoleh

𝑓(1) = 𝑓(−1)2 dan dengan demikian

𝑓(−1) = 1 atau 𝑓(−1) = −1 (2.35)

Jika 𝑓(−1) = 1, maka dengan mengambil 𝑦 = −1 pada 𝑓(𝑥𝑦) =

𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), diperoleh

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑓(−1) = 𝑓(𝑥)

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ\{0}. Akibatnya, (2.34) memberikan

𝑓(𝑥) = 𝑒𝐴(ln|x|)

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ\{0}. Saat 𝑓(0) = 0, diperoleh


41

𝑓(𝑥) = { 𝑒𝐴(ln|x|)

0

jika 𝑥 ∈ ℝ \{0} jika 𝑥 = 0

yakni penyelesaian (2.25) seperti yang diinginkan.

Jika 𝑓(−1) = −1, maka dengan mengambil 𝑦 = −1 pada 𝑓(𝑥𝑦) =

𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), diperoleh

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑓(−1) = −𝑓(𝑥)

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ\{0}. Dari sini (2.34) memberikan

𝑓(𝑥) = { 𝑒𝐴(ln|x|)

−𝑒𝐴(ln|x|)

jika 𝑥 > 0 jika 𝑥 < 0

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ\{0}. Bersama dengan fakta bahwa 𝑓(0) = 0, diperoleh

𝑓(𝑥) = {

𝑒𝐴(ln|x|) jika 𝑥 > 0 0 jika 𝑥 = 0

−𝑒𝐴(ln|x|) jika 𝑥 < 0.

yakni penyelesaian (2.26) seperti yang diinginkan. Bukti telah lengkap ∎

Berdasarkan teorema di atas diperoleh akibat sebagai berikut.

Akibat 2.6

Penyelesaian umum kontinu persamaan fungsional 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), untuk

setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ\{0}, diberikan oleh

𝑓(𝑥) = 0, (2.36)

𝑓(𝑥) = 1, (2.37)

𝑓(𝑥) = |𝑥|⍺, (2.38)


42

atau

𝑓(𝑥) = |𝑥|⍺sgn(𝑥), (2.39)

dengan ⍺ adalah sebarang konstanta real positif.

Bukti:

Dari Teorema 2.4 berlaku 𝑓 = 0, atau 𝑓 = 1, atau 𝑓 memiliki bentuk (2.25) dan

(2.26), di mana 𝐴 ∶ ℝ → ℝ adalah suatu fungsi aditif. Karena 𝑓 kontinu dan

𝐴(𝑡) = ln 𝑓(𝑒𝑡),

maka 𝐴 juga kontinu di ℝ. Oleh karena itu,

𝐴(𝑡) = ⍺ 𝑡,

dengan ⍺ ∈ ℝ adalah sebarang konstanta. Sehingga dari (2.25) dan (2.26), berturut-

turut diperoleh

𝑓(𝑥) = |𝑥|⍺

dan

𝑓(𝑥) = |𝑥|⍺sgn(𝑥).

Satu hal yang masih perlu ditunjukkan adalah ⍺ > 0. Andaikan ⍺ = 0, maka (2.38)

memberikan 𝑓(𝑥) = 1 untuk 𝑥 ≠ 0, dan dengan kekontinuan 𝑓 haruslah terdapat

𝑓(0) = 1. Dengan demikian dihasilkan 𝑓 = 1, seperti tertera di (2.37). Rumus

(2.39) dengan ⍺ = 0 memberikan

𝑓(𝑥) = 1 untuk 𝑥 > 0

dan

𝑓(𝑥) = −1 untuk 𝑥 < 0


43

Hal ini berakibat 𝑓 diskontinu di 0. Demikian pula jika ⍺ < 0, maka 𝑓 diberikan

oleh (2.38) dan (2.39) memenuhi

lim𝑥⟶0+

𝑓(𝑥) = ∞,

sehingga 𝑓 tidak mungkin kontinu di 0. Bukti selesai. ∎

Definisi 2.2

Fungsi kontinu 𝑓 ∶ ℝ → ℝ disebut fungsi multiplikatif jika memenuhi persamaan

𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.


44

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Persamaan fungsional seringkali muncul atau digunakan dalam berbagai bidang

seperti ekonomi, teknik, bahkan matematika itu sendiri. Pada tugas akhir ini dibahas

sebuah kelas khusus persamaan fungsional yakni persamaan fungsional Cauchy.

Pada bab 2 tugas akhir ini dipelajari persamaan fungsional aditif Cauchy dan

menunjukkan bahwa persamaan aditif kontinu atau terintegral lokal adalah linear,

Selanjutnya diselidiki perilaku persamaan fungsional aditif diskontinu dan

menunjukkan perilaku yang tak biasa yaitu padat dalam bidang. Kemudian, dibahas

juga mengenai basis Hamel dan penggunaannya untuk mengkonstruksi fungsi aditif

diskontinu. Pada bab ini juga dibahas mengenai fungsi aditif kompleks. Pada bab

3, dibicarakan mengenai persamaan fungsional Cauchy jenis lainnya yaitu

persamaan fungsional pangkat Cauchy, persamaan fungsional logaritma Cauchy,

dan persamaan fungsional multiplikatif Cauchy.

B. Saran

Tugas akhir ini hanya mencakup sebagian kecil dari persamaan fungsional yang

ada, baik bernilai real atau kompleks. Banyak hal di luar tugas akhir ini yang dapat

dipelajari seperti persamaan fungsional yang dibuat oleh penemu lainnya,

kestabilan persamaan fungsional, penyelesaian fungsional trigonometri,

penyelesaian fungsional kuadrat, dan sebagainya. Saran penulis kepada pembaca

yang ingin melanjutkan tugas akhir ini adalah mempelajari kelas persamaan

fungsional lainnya seperti persamaan fungsional Jensen, Pexider, d’Alembert,

Pompeiu, Hosszu, Davidson, dan Abel. Dapat juga dipelajari mengenai penerapan

persamaan fungsional itu sendiri serta bagaimana menyelesaikan persamaan

fungsional kuadrat dan trigonometri.


45

DAFTAR PUSTAKA

Augustin-Louis Cauchy

https://www.britannica.com/biography/Augustin-Louis-Baron-Cauchy

Bartle, R. G., and Sherbert, D. R. 2011. Introduction to Real Analysis, 4th edition.

New York: John Wiley and Sons.

Costas, Efthimieu. (2010). Introduction to Functional Equations. Orlando:

University of Central Florida.

Flajoret, Philippe and Robert Sedgewick. (2001). Analytic Combinatorics:

Functional Equations, Rational and Algebraic Functions. Rocquencourt:

Institut National De Recherche En Informatique Et En Automatique.

Gordon, R. 2002. Real Analysis: A First Course, 2nd edition .

Reading: Addison-Wesley.

Lu, Zhiqin. Functional Equations. [Acrobat Reader]. University of California

Irvine; 2016.

Peng, Shi. (2009). Algebraic Puzzle: Introduction to Functional Equations.

Durham: Duke University.

Sahoo, Prasanna K and Palaniappan Kannappan. (2011). Introduction to Functional

Equations. Boca Raton: CRC Press.

Small, Christopher G. (2007). Functional Equations and How To Solve Them.

Waterloo: Springer.


https://www.britannica.com/biography/Augustin-Louis-Baron-Cauchy

46

Suryawan, Herry P. (2018). Analisis Real Volume I: Bilangan Real. Yogyakarta:

Sanata Dharma University Press.

Watt, Stephen M. (2012). What is an Equation. Ontario: University of Western

Ontario London.


47

LAMPIRAN


48

Biografi Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy lahir pada 21 Agustus 1789 di Paris, Perancis. Ia

merupakan seorang matematikawan Perancis yang menjadi pelopor dari teori grup

substitusi (grup yang unsur-unsurnya diurutkan urutan dari sekumpulan hal). Ia

merupakan salah satu matematikawan modern terbaik. Awal pendidikannya

ditempuh di Ecole Centrale du Pantheon yang pada saat itu merupakan sekolah

terbaik di Paris saat itu. Cauchy adalah seorang siswa yang sangat pandai dan selalu

mendapat nilai tertinggi di semua mata pelajaran termasuk bahasa latin dan sosial.

Cauchy kemudian mendaftar di Ecole Polytechnique untuk menjadi insinyur dan

menyelesaikan studinya pada tahun 1807. Ia melanjutkan pendidikan di Ecole des

Ponts et Chaussees yang merupakan sekolah khusus untuk membangun jembatan

dan jalan) dan menjadi cikal bakal ia menjadi insinyur militer. Augustin-Louis

Cauchy dinyatakan sangat cerdas dan lulus dari sekolah ini dengan gelar

kehormatan. Saat berusia 23 tahun kesehatannya mulai menurun karena banyaknya

pekerjaan dan memutuskan untuk kembali ke Paris dan mencurahkan seluruh

waktunya untuk matematika. Kontribusi terbesar Cauchy untuk matematika,

ditandai dengan metode yang ia perkenalkan, diwujudkan secara dominan dalam

tiga risalah besarnya: Cours d'analyse de l'Ecole Royale Polytechnique (1821;

“Kursus Analisis dari Ecole Royale Polytechnique”) ; Ringkasan pelajaran tentang

menghitung tak terhingga (1823; "Ringkasan Pelajaran tentang Kalkulus

Infinitesimal"); dan aplikasi Pelajaran menghitung kalkulus Infinitesimal (1826–

188; “Pelajaran tentang Aplikasi Kalkulus Infinitesimal ke Geometri”). Fase

pertama ketelitian modern dalam matematika berasal dari ceramah dan

penelitiannya dalam analisis selama tahun 1820-an. Dia mengklarifikasi prinsip-


49

prinsip kalkulus dan menempatkannya pada dasar yang memuaskan dengan

mengembangkannya dengan bantuan batasan dan kontinuitas, konsep yang

sekarang dianggap penting untuk dianalisis. Pada periode yang sama termasuk

pengembangan teori fungsi variabel kompleks (variabel yang melibatkan kelipatan

akar kuadrat minus satu), hari ini sangat diperlukan dalam matematika terapan dari

fisika ke aeronautika. Pada awal teror pemerintahan (1793-1794) selama revolusi

Perancis, keluarga Cauchy melarikan diri dari Paris ke desa Arcueil di mana Cauchy

pertama kali berkenalan dengan matematikawan Pierre-Simon Laplace dan ahli

kimia Claude-Louis Berthollet. Cauchy menjadi seorang insinyur militer dan pada

tahun 1810 ke Cherbourg untuk bekerja di pelabuhan dan benteng untuk armada

invasi Inggris Napoleon. Augustin-Louis Cauchy meninggal di Sceaux pada 23 Mei

1857 di usia 67 tahun.


Documents

PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY