Fourier Series

Jean Baptiste Joseph Fourier(French)(1763~1830)

Discrete Fourier Transform

在處理信號時，常藉由離散傅立葉轉換 (Discrete Fourier Transform, DFT)來取得信號所對應的頻譜；再由頻譜來讀取信號的參數。

但由於離散傅立葉所做的計算量過於龐大，當處理大量的資料時，需要快速計算的演算法。

Fast Fourier Transform

FFT (Fast Fourier Transform)，大幅提高頻譜的計算速度

FFT使用條件：信號必須是週期性的。取樣週期必須為信號週期的整數倍。取樣速率 (Sampling rate)必須高於信號最高頻率的 2 倍以上。

取樣點數 N 必須為 2k個資料。

Fourier Series

任一週期 (periodic)函數可以分解成許多不同振幅(amplitude)，不同頻率 (frequency)的

正弦 (sinusoidal)諧波 (harmonic)

與

餘弦 (cosinusoidal)諧波 (harmonic)

的合成 (composition)

Fourier Series

傅立葉級數 (Fourier Series)的基本觀念即是以弦波函數來組成信號空間，每個週期函數都可利用弦波函數來組成。

一個信號 x(t) 可以表為傅立葉級數如下：

方形波

三種諧波 (harmonic )

三個諧波的合成

Adding harmonics

頻譜比較

Fourier Series

• 尤拉公式 :

eiφ = cosφ + isinφ 其概念與複數平面之

極式相通

Fourier Series

以複數型式表示傅立葉級數，將更為簡潔

Discrete Fourier Transform (DFT)

在處理信號時，常藉由離散傅立葉轉換 (Discrete Fourier Transform, DFT)來取得信號所對應的頻譜；再由頻譜來讀取信號的參數。

但由於離散傅立葉所做的計算量過於龐大，當處理大量的資料時，需要快速計算的演算法。

Discrete Fourier Transform (DFT)

以數位方式對連續信號取樣，週期時間 T之內，可取樣 N 個取樣點的數位信號

DFT 可表為

Discrete Fourier Transform (DFT)

式中m為頻域上的第m個刻度， n 為時域上的第 n 個刻度

X(m) 為頻域上第m個刻度向量， x(n) 為時域上第 n 個刻度純量

Fast Fourier Transform

FFT (Fast Fourier Transform)，大幅提高頻譜的計算速度

FFT使用條件：信號必須是週期性的。取樣週期必須為信號週期的整數倍。取樣速率 (Sampling rate)必須高於信號最高頻率的 2 倍以上。

取樣點數 N 必須為 2k個資料。

快速傅利葉轉換原理A complex nth root of unity is a complex number z such that zn = 1. n = e 2 i / n = principal n th ro

ot of unity.e i t = cos t + i sin t.i2 = -1.There are exactly n roots of

unity: nk, k = 0, 1, . . . , n-1.

0 = 1

1

2 = i

3

4 = -1

5

6 = -i

7

快速傅利葉轉換原理

n2= n/2

nn+k= n

k