1

Makalah Seminar Dua Bulanan Jurusan Fisika FMIPA UNSRI

FRAKTAL KLASIK: Kurva Koch

Oleh: Fiber Monado

Ringkasan Makalah ini bertujuan untuk memperkenalkan Fraktal dikalangan Dosen dan Mahasiswa di lingkungan Jurusan Fisika FMIPA UNSRI. Pada kesempatan kali ini diuraikan salah satu contoh fraktal klasik yaitu kurva Koch. Ditunjukkan bahwa kurva Koch mempunyai dimensi fraktal ~1,2619. PENDAHULUAN

Sebagaimana nama yang diberikan kurva Koch adalah sebuah kurva tetapi

tidak jelas dari bangunannya. Kurva ini bukan terdiri dari garis atau segmen-

segmen yang halus, dalam arti kita dapat melihatnya sebagai suatu garis bungkuk

Kurva ini mempunyai banyak kekomplekan seperti yang dapat kita lihat dalam

garis pantai alamiah.

Kontruksi geometri sederhana dari kurva Koch dapat dilakukan sebagai

berikut:

1. Mulai dengan suatu garis lurus (namakan garis ini initiator).

2. Bagi garis ini menjadi tiga bagian yang sama.

3. Kemudian gantikan bagian garis ditengah dengan sebuah segitiga sama

sisi, ambil ini sebagai basis (namakan ini generator)., dan begitu

seterusnya.

Bagaimana kurva Koch dihubungkan dengan panjangnya ? Hal ini dapat

dijelaskan sebagai berikut. Dalam setiap tingkat(langkah/step) diperoleh suatu

kurva. Setelah langkah pertama diperoleh empat segmen garis dengan panjang

yang sama. Setelah langkah kedua diperoleh 4 x 4 segmen garis. Kemudian 4 x

4 x 4 segmen garis setelah langkah ketiga dan begitu seterusnya. Jika garis asal

mempunyai panjang L, maka setelah langkah pertama sebuah segmen garis

mempunyai panjang L x 1/3, setelah langkah kedua mempunyai panjang L x 1/32 ,

kemudian L x 1/33 dan begitu seterusnya. Karena dari setiap langkah

2

menghasilkan sebuah kurva dari segmen-segmen garis maka tidak ada persoalan

dalam mengukur panjang kurva. Setelah langkah pertama panjang kurva adalah

4 x L x 1/3, kemudian 42 x L x 1/32 dan seterusnya. Jadi setelah langkah ke-k

panjang kurva adalah :

Panjang Kurva = L x 4k / 3k (1)

Dapat diamati bahwa dari langkah ke langkah panjang kurva bertambah dengan

faktor 4/3.

ALGORITMA PROGRAM

Algoritma kurva Koch segitiga dapat dituangkan dalam Bahasa Visual

Basic, seperti berikut:

Sub Koch(ByVal X_1, ByVal Y_1,ByVal X_2, ByVal Y_2, ByVal n) If (n > 0) Then dx = (X_2 - X_1) / 3 dy = (Y_2 - Y_1) / 3 x1n = X_1 + dx y1n = Y_1 + dy x2n = X_1 + 2 * dx y2n = Y_1 + 2 * dy xmid = 0.5 * dx - 0.866 * dy + x1n ymid = 0.5 * dy + 0.866 * dx + y1n Koch X_1, Y_1, x1n, y1n, n - 1 Koch x1n, y1n, xmid, ymid, n - 1 Koch xmid, ymid, x2n, y2n, n - 1 Koch x2n, y2n, X_2, Y_2, n - 1 Else Drawarea.Line (X_1, Y_1)-(X_2, Y_2), QBColor(12) End If End Sub

HASIL DAN PEMBAHASAN

Algoritma di atas dilengkapi menjadi sebuah program dan kemudian

dijalankan. Pertama kali program dijalankan dengan mengambil tingkat (langkah)

nStep = 2, diperoleh hasil sebagaimana Gambar 1. Kemudian program dijalankan

dengan mengambil nStep = 5 dan 8, diperoleh hasil masing-masing seperti

Gambar 2 dan Gambar 3.

3

Gambar 1. Kurva Koch tingkat 2

Gambar 2. Kurva Koch tingkat 5

4

Gambar 3. Kurva Koch tingkat 8

Kita coba menghitung panjang kurva Koch dari masing-masing Gambar

yang diperoleh. Misalkan panjang awal (initiator) L= 1000 m, maka untuk

Gambar 1., diperoleh panjang kurva adalah: 1.777 m; dengan menggunakan

perumusan pada persamaan (1). Demikian juga untuk Gambar 2 dan Gambar 3,

masing-masing diperoleh panjang kurva adalah 4.214 m dan 9.969 m. Dari hasil-

hasil ini dapat terlihat bahwa panjang kurva Koch selalu bertambah pada setiap

tingkatannya.

Bentuk lain dari kurva Koch adalah seperti Gambar 4, yang dikenal

dengan sebutan pulau Koch. Gambar ini di dapat dengan sedikit modifikasi

program yang digunakan untuk memperoleh Gambar 1 sampai dengan 3.

5

Gambar 4. Bentuk lain dari kurva Koch, yang disebut juga pulau Koch.

Disusun dari 3 bagian yang kongruen dari Gambar 2.

Bagaimana menentukan dimensi fraktal dari kurva Koch? Tinjau kurva

satu dimensi (1-D) dengan panjang satuan, bagi menjadi N bagian segmen yang

sama l , jadi N = 1/l . Jika hal ini diperluas untuk 2-D, secara umum kita dapat

menulis bahwa N = 1/l D. Dimana D adalah dimensi fractal dari objek. Kita

dapat mengambil logaritma dari per samaan ini, maka diperoleh:

)/1log(

logl

ND = (2)

6

Dengan menggunakan pers (2) kita dapat menghitung dimensi fraktal

kurva Koch. Kita mendapatkan bahwa pada setiap kali panjang l dari satuan

pengukuran direduksi oleh faktor 3 dan jumlah segmen bertambah dengan

faktor 4. Jadi kita mempunyai N = 4 dan l =1/3, sehingga diperoleh dimensi

fraktal kurva Koch adalah : D = log 4 / log 3 ≈ 1,2619.

Dari hasil ini terlihat bahwa kurva Koch mempunyai dimensi antara garis

dan bidang. Juga dapat dilihat bahwa dimensi kurva Koch ini lebih dekat ke garis

daripada bidang. Kita ketahui bahwa garis (1-D) tidak mempunyai luas, karena

secara matematis tidak mempunyai lebar. Nanpaknya inilah jawaban kenapa luas

pulau Koch ‘tidak’ berubah walaupun panjangnya berubah.

Daftar Pustaka: 1. H.O.Peitgen, H.Jurgens, D. Saupe, Chaos and Fractal New Frontiers of

Sciens; Bab 2, ( Springer-Verlag.Inc, New York, 1992). 2. Dick Oliver, Memandang Realita dengan FractalVision, (terjemahan;

penerbit ANDI, Yogyakarta, 1997) 3. H.Gould & J.Tobochnik, An Introduction to Computer Simulation Method

Application to Physical System; Bab 14, (Addisson-Wesley.Inc, New York, 1996)

4. H.Gould & J.Tobochnik, “More On Frcatal and Chaos: Multifractal”,

Computer in Physic, Maret/April 1990, Hal 202. 5. A. Kadir, Pemograman Qbasic; hal 527 – 538, (penerbit ANDI offset,

Yogyakarta, 1995)