FRAKTALNA ANALIZA VEŠTAČKIH SIGNALA - SINUSNIH I VAJERŠTRASOVIH FUNKCIJA

S. Spasić, Centar za multidisciplinarne studije, Univerzitet u Beogradu

11000 Beograd, Srbija Sadržaj - Cilj ovog rada je da se ispitaju granice u kojima se nalaze vrednosti fraktalne dimenzije (FD) veštačkog signala na primeru familije sinusnih i Vajerštrasovih funkcija, primenom Higučijevog algoritma. Izračunali smo vrednosti fraktalne dimenzije nekih matematičkih funkcija zadatih u vidu vremenske serije na frekvencijama semplovanja: 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 i 4096 samplova/s. Nađene su promene vrednosti FD analiziranih funkcija u odnosu na frekvenciju semplovanja. 1. UVOD Analiza fraktalne dimenzije (FD) predstavlja brz kompjuterski alat za izračunavanje i praćenje promene kompleksnosti biosignala u vremenskom domenu. To je i predstavljalo osnovnu motivaciju za analizu promene FD u zavisnosti od frekvencije odabiranja (frekvencije semplovanja, u oznaci fs) nekih od karakterističnih periodičnih funkcija, kao što je sinusna funkcija i funkcija čija je teoretska fraktalna dimenzija poznata, kao što su Vajerštrasove funkcije. Primenom Higučijevog algoritma [1], mi smo izračunavali vrednosti FD [2, 3, 4] moždanih bioloških signala registrovanih na različitim frekvencama semplovanja. U ovom radu se ispituju vrednosti FD nekih matematičkih funkcija kao što su sinusna funkcija i Vajerštrasove funkcije zadatih u cilju optimizacije izbora frekvencije semplovanja prilikom primene Higučijevog algoritma na biološkim signalima. 2. ANALIZA FRAKTALNE DIMENZIJE Definicija fraktalne dimenzije Većina popularnih alata za opisivanje fraktalne strukture su u stvari različite formulacije fraktalne dimenzije. Topološka dimenzija skupa koja je uvek prirodan broj postaje neodgovarajuća mera za neregularne skupove kao što su fraktali. Grubo govoreći, fraktalna dimenzija je broj koji predstavlja veličinu prostora koji zauzima skup. Ona predstavlja generalizaciju intuitivnog shvatanja pojma dimenzije geometrijskih objekata, kao što je predstava o tome da je tačka dimenzije nula, linija dimenzije jedan, itd. Kriva beskonačne dužine, ali površine nula trebalo bi da ima fraktalnu dimenziju između jedan i dva. Najčešće pominjane u literaturi su Hausdorff-ova dimenzija i dimenzija prebrojavanja kocki. Hausdorff-ova dimenzija je realan broj koji karakteriše geometrijsku kompleksnost ograničenog podskupa u n i daje važne matematičke osobine, ali je teško praktično je izračunati za neki određeni slučaj. Ona se još naziva Hausdorff-Besicovitch-eva dimenzija [5, 6] .

Dimenzija prebrojavanja kocki Fraktalna dimenzija definisana kao mera prebrojavanja kocki (eng. box-counting measure, box-counting dimension) koja se još zove i kapacitet Kolmogorova ili dimenzija kapaciteta (eng., Kolmogorov capacity, capacity dimension). Na dinamiku sistema prvi put je primenio Kolmogorov 1958. godine. Dimenzija prebrojavanja kocki je nešto jednostavnije definisana od Hausdorff-Besicovich-eve dimenzije tako da je jednostavna za određivanje i pogodna za kompjutersku implementaciju. Njena definicija i prateće teoreme se koriste kao osnova za eksperimentalno određivanje fraktalne dimenzije fizičkih skupova. Definicija 1: Dimenzija prebrojavanja kocki podskupa F od n data sa

( )δ

δδ log

loglimdim 0 −

= →FN

F (1)

ako postoji granična vrednost, gde Nd(F) može biti jedna od sledećih veličina: 1. najmanji broj zatvorenih lopti poluprečnika d koji pokrivaju skup F; 2. najmanji broj kocki ivice d koji pokrivaju F; 3. broj kocki u d-mreži kocko koje seku F; 4. najmanji broj skupova dijametra ne većeg od d koji pokrivaju F; 5. najveći broj disjunktnih lopti poluprečnika d sa centrima u F. Naravno, granična vrednost (1) ne mora da postoji i u tom slučaju se koriste donji ili gornji limes. Teoretsko određivanje fraktalne dimenzije i neke njene osobine Teorema 1: (o dimenziji prebrojavanja kocki) Neka je F neprazan, kompaktan podskup od n, a n euklidski metrički prostor. Izvršimo pokrivanje n zatvorenim kockama stranice (1/2m) . Neka Nm(F) označava broj kocki stranice dužine (1/2m) koje presecaju atraktor. Ako

( )m

mm

FNF

2loglog

limdim ∞→=

onda F ima fraktalnu dimenziju dimB F. Higučijev algoritam Higučijev algoritam [1] je jedan od najčešće primenjivanih metoda za izračunavanje FD bioloških signala (vremenskih serija) u vremenskom domenu. Ukratko ćemo izložiti algoritam. Ako posmatramo funkciju kao vremensku seriju x(1), x(2)…, x(n), možemo konstruisati k novih samosličnih (fraktalnih) vremenskih serija x(k,m) kao:

x(k,m)={x(m), x(m+k), x(m+2k),…,x(m+int[(N-m)/k]k)},

Zbornik radova 50. Konferencije za ETRAN, Beograd, 6-8. juna 2006, tom III Proc. 50th ETRAN Conference, Belgrade, June 6-8, 2006, Vol. III

184

za m=1, 2,…,k , gde je int[.] funkcija uzimanja celobrojnog dela. Izračunavamo dužinu krive L(m,k) za svaku od k vremenskih serija ili krivih x(k,m):

kk kmn

nkimxikmx

kmL km-ni 1int[

11]int[1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

++

=∑

=

] /)(

)-( |))-(( -)(|

),( )/( ,

L(m,k) je usrednjena za po svim m i tako je dobijena srednja vrednost dužine krive L(k), za svako k. Dakle, dobili smo niz srednjih vrednosti L(k), a zatim iz grafika log(L(k)) vs. log(1/k), izračunavamo fraktalnu dimenziju (FD) kao nagib prave dobijene fitovanjem metodom najmanjih kvadrata, tj.

FD = log(L(k))/log(1/k). Svaki signal se deli u epohe ili prozore koji se mogu preklapati ili ne. Parametar n predstavlja širinu prozora i treba da bude dovoljno mali da signal unutar prozora bude stacionaran. U prethodnim radovima [2, 3, 4] koristili smo širinu prozora n=200 koja se pokazala optimalna, a bila je takođe u opsegu koji su koristili drugi autori [5], [6]. Kao drugi parametar figuriše [4] maksimalna vrednost za k, tj. kmax = 8 koju smo takođe odredili kao optimalnu za naše potrebe u analizi bioloških signala. Na ovaj način izračunavaju se vrednosti FD za svaku epohu, bez preklapanja. Fraktalna analiza signala urađena je korišćenjem originalnog programa napisanog u MATLAB 6.5. Definicija veštačkog signala Izabrali smo dve vrste funkcija kao primer veštačkog signala: familiju sinusnih i Vajerštrasovih funkcija. Funkcije

y = sin (mx)

zadate su u obliku y(1), y(2)…, y(n), na intervalu [0,32p] sa različitim brojem odbiraka počev od 64 do 4096.

U cilju ispitivanja osetljivosti metode na promenu frekvence semplovanja signala, primenili smo Higučijev algoritam na Vajerštrasove funkcije. Ove funkcije su odgovarajuće zato što je njhova fraktalna dimenzija zadata teoretski [6, 7]. Posmatrajmo familiju kosinusnih Vajerštrasovih funkcija u vremenu t, koja ima dva parametra, γ i H:

∑=i

iiHγH tγt )2cos()(W - πγ , (2)

gde γ > 1, a 0 < H < 1. Za funkcije definisane formulom (2), fraktalna dimenzija je data sa HD −= 2 . Za potrebe ovog rada generisali smo ovu familiju za sledeće diskretne vrednosti parametara: γ = 1.5, i vrednosti parametra H su sa korakom 0.1: H = 0.9, 0.8,…, 0.1. Pri generisanju familije Vajerštrasovih funkcija kao granicu za vreme uzeli smo t1 = 0s, t2 = 16s. Dakle, FD bi trebalo da budu u opsegu (1 < FD < 2) i to: FD = 1.1, 1.2,…, 1.9. Broj Vajerštrasovih funkcija u familiji koje smo generisali je 10. Grafici nekih od generisanih Vajerštrasovih funkcija prikazani su na slici 1. Za frekvencu semplovanja i trajanje

signala izabrali smo fs = 64, 128, 256, 512, ..., 4096 samp/s and T = 16s.

Sl.1. Grafik Vajerštrasovih funkcija

2. REZULTATI Fraktalnom analizom funkcije y = sin (32x) pri fs: 1024, 2048 i 4096 samp/s u vremenskom domenu Higučijevim algoritmom dobijaju se vrednosti FD~1; pri fs: 256 i 512 samp/s vrednosti FD su: 1< FD < 2, a na fs: 32, 64 i 128 samp/s , vrednosti FD >2 (videti Sl. 2).

Sl.2. Fraktalna dimenzija sinusne funkcije y=sin(32x) pri različitoj frekvenciji semplovanja

Fraktalna analiza, Higučijevim metodom, familije funkcija y = sin (mx), gde je m prirodan broj pokazala je (videti Sl. 3) da pri fs=2N, N=7,8,9,10,...vrednosti FD se nalaze u opsegu od 1 do 2.8. Naime, sa smanjenjem fs vrednosti FD se povećavaju. Uočava se eksponencijalni rast FD do postizanja maksimuma , a zatim vrednosti FD osciluju. Takođe se može primetiti da sa povećanjem fs=2N tj. kada N ض , vrednosti FD Ø 1, za sve vrednosti parametra m. Ovo nas navodi na zaključak da se sa jako velikom frekvencijom semplovanja približavamo teoretskoj vrednosti fraktalne dimenzije za neprekidnu krivu liniju, a to je FD=1. Dok, sa druge strane, redukcija frekvencije semplovanja bitno utiče na izračunavanje FD ovom metodom.

185

Sl.3. Fraktalma dimenzija familije sinusnih funkcija

y=sin(mx) pri različitoj frekvenciji semplovanja

Fraktalna analiza familije Vajerštrasovih funkcija pokazala je znatno manje odstupanje od teoretske vrednosti fraktalne dimenzije nego kod sinusnih funkcija. Radi jasnoće prikaza (videti Sl. 4) odabrali smo samo vrednosti FD na fs=64,128,512 i 4096 sam/s. Na grafiku se može uočiti najveće odstupanje od teoretske vrednosti fraktalne dimenzije na nižim fs (64 i 128 samp/s), posebno za manje vrednosti fraktalne dimenzije, a na višim fs (posebno na 4096 samp/s), greška je minimizovana. Dakle, pri smanjivanju fs dolazi do povećanja greške u izračunavanju FD. Osim toga, u slučaju sinusne funkcije dolazi do menjanja osobina same funkcije, što se drastično odražava na izračunate vrednosti FD. Kod Vajerštrasovih funkcija slučaj je nešto drugačiji, zbog njihove samosličnosti, redukovanjem fs dolazi do greške, ali je ona znatno manja i vrednosti FD su manje od 2.

Sl.4. Fraktalna dimenzija familije Vajerštrasovih funkcija pri

različitoj frekvenciji semplovanja 4. DISKUSIJA I ZAKLJUČAK Sa našeg aspekta proučavanja bioloških signala, bilo je interesantno, a i neophodno utvrditi uslove pod kojima možemo davati validno tumačenje nalaza pri fraktalnoj analizi signala biološkog porekla kao što su npr. moždani signali. Različiti alati se koriste za utvrđivanje mere stepena kompleksnosti različitih signala. Poznato je da fraktalna

dimenzija može biti korišćena kao indikator različitih patofizioloških stanja moždane aktivnosti, srčanog ritma, itd. Međutim, novija iskustva u primeni teorije haosa pokazuju da treba biti oprezan pri primeni i tumačenju dobijenih rezultata, a posebno u humanoj i animalnoj fiziologiji. Mi sugerišemo da pri analizi fraktalne dimenzije signala na različitim fs treba biti pažljiv pri izboru, jer je moguće da rezultat, a samim tim i tumačenje rezultata zavisi od izbora fs. LITERATURA [1] T. Higuchi, “Approach to an irregular time series on the

basis of the fractal theory”, Physics D 31, 1988, pp. 277-283.

[2] A. Kalauzi, S. Spasic, M. Ćulić, G. Grbić, Lj. Martać,

“Consecutive differences as a method of signal fractal analysis”, Fractals, vol. 13, 2005, pp. 306-316.

[3] S. Spasić, M Ćulić, G. Grbić, Lj. Martać, A. Jovanović,

N. Andonovski, M. Oklobdžija, “Fractal analysis of rat cerebellar electrocortical activity at sampling frequencies of 64-512 Hz”, Zbornik radova, XXL Konferencija za ETRAN, Budva, Srbija i Crna gora, 2005

[4] S. Spasić, M. Ćulić, G. Grbić, Lj. Martać, A. Jovanović,

“Fractal Analysis of Artificial and Cerebellar at Sampling Frequencies of 32-4096 Hz”, 3rd Serbian-Hungarian Joint Symposium on Intelligent Systems, August 31 - September 1, Subotica, Serbia and Montenegro, 2005, pp. 67-72.

[5] R.C. Hilborn, Chaos and Nonlinear Dynamics, Second

edition,Oxford University Press, New York, 2004. [6] E. Pap, Fazi mere i njihova primena, Univerzitet u

Novom Sadu, Prirodno-matematički fakultet, Novi Sad, 1999

[7] R. Esteller, G. Vachtsevanos, J. Echauz, B. Litt, “A

comparison of fractal dimension algorithms using synthetic and experimental data”, Proc. IEEE International Symposium on Circuits and System, Adaptive Digital Signal Processing, Orlando, Fl, III, 1999, pp. 199-202.

Abstract – The aim of this study was to examine values of fractal dimension (FD) (by applying Higuchi's algorithm) of artificial signals as a sine and Weierstrass funstions. We calculated FD values of some mathematical functions as a time series at different sampling frequencies, corresponding to: 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 and 1024 samples/s. We concluded that changes of FD values depends od sampling frequencies.

FRACTAL ANALYSIS OF ARTIFICIAL SIGNALS - SINE AND WEIERSTRASS FUNCTIONS

S. Spasić

186