Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan5.pdfImamo razli cite realne funkcije jedne varijable, ali u svim slu cajevima gledamo neprecizirano malu (blisku

Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija

Uvod u diferencijalni racun

Franka Miriam Bruckler


Problem tangente

Ako je zadana neka krivulja i odabrana tocka na njoj, kakokonstruirati tangentu na tu krivulju u toj tocki? I sto je to uopcetangenta?

Tangenta je pravac koji se od svih pravaca koji prolazekroz diraliste najbolje priljubljuje uz krivulju oko diralista.


Problem tangente

Ako je zadana neka krivulja i odabrana tocka na njoj, kakokonstruirati tangentu na tu krivulju u toj tocki? I sto je to uopcetangenta? Tangenta je pravac

koji se od svih pravaca koji prolazekroz diraliste najbolje priljubljuje uz krivulju oko diralista.


Problem tangente

Ako je zadana neka krivulja i odabrana tocka na njoj, kakokonstruirati tangentu na tu krivulju u toj tocki? I sto je to uopcetangenta? Tangenta je pravac koji se od svih pravaca koji prolazekroz diraliste najbolje priljubljuje uz krivulju oko diralista.


Problem brzine

U razlicitim trenutcima biljezene su udaljenosti tocke koja se gibapo pravcu od njene pocetne pozicije:

t/s 0 10 20 30 40 50 60

d/cm 0 5 7 12 17 18 20

Slijedi da su (prosjecne) brzine u pojedinim vremenskim intervalima

t/s 0 10 20 30 40 50 60

v/(cm/s) 0 1/2 1/5 1/2 2/5 1/10 3/10

v(20 s) =?


Problem brzine

U razlicitim trenutcima biljezene su udaljenosti tocke koja se gibapo pravcu od njene pocetne pozicije:

t/s 0 10 20 30 40 50 60

d/cm 0 5 7 12 17 18 20

Slijedi da su (prosjecne) brzine u pojedinim vremenskim intervalima

t/s 0 10 20 30 40 50 60

v/(cm/s) 0 1/2 1/5 1/2 2/5 1/10 3/10

v(20 s) =?


Kolika je pocetna brzina reakcije?

C4H9Cl(aq) + H2O(l) −−→ C4H9OH(aq) + HCl(aq)

c = c(C4H9Cl)

Trenutna brzina reakcije = koeficijent smjera tangente na grafovisnosti c o t, podijeljen sa stehiometrijskim koeficijentom−0,905−1

50−0 ·mol/L

s = 1,9 · 10−3 mol L−1 s−1


Problem procjene promjene


Sto je zajednicko prethodnim problemima?

Imamo razlicite realne funkcije jedne varijable, ali u svimslucajevima gledamo neprecizirano malu (blisku nuli) promjenunezavisne varijable u odnosu na neku njenu zadanu (fiksiranu)vrijednost i efekt te promjene na zavisnu varijablu.


Sto je zajednicko prethodnim problemima?Imamo razlicite realne funkcije jedne varijable, ali u svimslucajevima gledamo neprecizirano malu (blisku nuli) promjenunezavisne varijable u odnosu na neku njenu zadanu (fiksiranu)vrijednost i efekt te promjene na zavisnu varijablu.


Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije:Derivacija f ′(c)

”je” procjena relativne promjene funkcije f

ako je promjena varijable (∆x) priblizno jednaka nuli:

f ′(c) ≈ ∆f

∆x.

Koliko iznosi derivacija afine funkcije u zadanoj tocki njenedomene?

Za mali razmak ∆x omjer ∆f∆x nece biti bitno razlicit od

koeficijenta smjera tangente povucene na graf funkcije f utocki s apscisom c ⇒ Derivacija kao koeficijent smjeratangente: f ′(c) je koeficijent smjera tangente na graf funkcijef (prikazan u Kks-u) povucene u tocki s apscisom c . Kakva jeveza derivacije i rasta ili pada funkcije? Koja je jednadzbatangente na graf funkcije u zadanoj tocki grafa?

Derivacija kao trenutna brzina: Derivacija f ′(c) funkcije cija jenezavisna varijabla vrijeme je trenutna brzina promjenezavisne varijable u trenutku c .





f ′(c) ≈ ∆f

∆x.









f ′(c) ≈ ∆f

∆x.






Ukoliko bismo na neki nacin uspjeli odrediti f ′(c)-ove za svemoguce c , derivaciju bismo mogli shvatiti shvatiti kao novufunkciju f ′ : I → R (c 7→ f ′(c), c ∈ I ).Ako (skalarna) velicina f ovisi o vremenu i ako smo nasli njezinuderivaciju (kao funkciju), te ju ponovno deriviramo, sto mozemozakljuciti iz te druge derivacije?

Deriviranjem funkcije f ′ dobivamo drugu derivaciju f ′′,deriviranjem druge derivacije trecu derivaciju itd. Oznake za prvu,drugu i trecu derivaciju su redom f ′, f ′′, f ′′′. Daljnje derivacije(n-ta za n > 3) u pravilu se oznacavaju s f (n).


Ukoliko bismo na neki nacin uspjeli odrediti f ′(c)-ove za svemoguce c , derivaciju bismo mogli shvatiti shvatiti kao novufunkciju f ′ : I → R (c 7→ f ′(c), c ∈ I ).Ako (skalarna) velicina f ovisi o vremenu i ako smo nasli njezinuderivaciju (kao funkciju), te ju ponovno deriviramo, sto mozemozakljuciti iz te druge derivacije?Deriviranjem funkcije f ′ dobivamo drugu derivaciju f ′′,deriviranjem druge derivacije trecu derivaciju itd. Oznake za prvu,drugu i trecu derivaciju su redom f ′, f ′′, f ′′′. Daljnje derivacije(n-ta za n > 3) u pravilu se oznacavaju s f (n).


Tablica derivacija

f (x) f ′(x)

C 0xn n xn−1

ax ax ln aloga x

1x ln a

sin x cos xcos x − sin xtg x 1

cos2 xctg x − 1

sin2 x

f (x) f ′(x)

arcsin x 1√1−x2

arccos x − 1√1−x2

arctg x 11+x2

arcctg x − 11+x2

sh x ch xch x sh x


f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))

x

1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −

x√

2√

2x√

2−1 0

ex ex 1

ln x 1/x −ln 2 0 0



x 1 11x3

− 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −

x√

2√

2x√

2−1 0

ex ex 1

ln x 1/x −ln 2 0 0



x 1 11x3 − 3x−4 −√x

x−1/2/2 (x 6= 0) −x√

2√

2x√

2−1 0

ex ex 1

ln x 1/x −ln 2 0 0



x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −

x√

2

√2x√

2−1 0

ex ex 1

ln x 1/x −ln 2 0 0



x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −

x√

2√

2x√

2−1 0

ex

ex 1

ln x 1/x −ln 2 0 0



x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −

x√

2√

2x√

2−1 0

ex ex 1

ln x

1/x −ln 2 0 0



x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −

x√

2√

2x√

2−1 0

ex ex 1

ln x 1/x −ln 2

0 0



x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −

x√

2√

2x√

2−1 0

ex ex 1

ln x 1/x −ln 2 0 0


Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim

”definicijama” derivacije

argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x .

Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?




argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?

A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?




argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)?

Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?




argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?

Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?




argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?

Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?




argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ?

A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?




argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine?

A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?




argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?


Za koje c ∈ R je f ′(c) = 0 ako sljedeca slika prikazuje graf funkcijef ? Na kojim intervalima je f ′(x) < 0?


Sto biste rekli o f ′(−5/2), f ′(−2), f ′(0) i f ′(1) za funkciju f ciji jegraf prikazan sljedecom slikom? Argumentirajte!


Uzmimo funkciju treceg korijena. Kako izgleda njen graf? Sto jenjena prirodna domena?

Izracunajte derivaciju te funkcije. Stoprimjecujete?Ako je c element domene funkcije f , onda f ′(c) ne postoji usljedecim slucajevima:

U c graf ima”spicu”;

U c se graf razdvaja;

U c je tangenta vertikalna;

c je rub nekog od disjunktnih intervala koji u uniji cinedomenu.


Uzmimo funkciju treceg korijena. Kako izgleda njen graf? Sto jenjena prirodna domena? Izracunajte derivaciju te funkcije. Stoprimjecujete?

Ako je c element domene funkcije f , onda f ′(c) ne postoji usljedecim slucajevima:






Uzmimo funkciju treceg korijena. Kako izgleda njen graf? Sto jenjena prirodna domena? Izracunajte derivaciju te funkcije. Stoprimjecujete?Ako je c element domene funkcije f , onda f ′(c) ne postoji usljedecim slucajevima:






Homogenost deriviranja

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = 3x i g(x) = −2 · 3x . Usporediteprocjene f ′(c) i g ′(c) za nekoliko razlicitih c .

Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = 3− 2x? A koliko je g ′(x) zag(x) = 30− 20x?

Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom? Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?










Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom?

Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?





Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom? Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?

Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?







Aditivnost deriviranja

U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = x2, g(x) = x3,h(x) = f (x) + g(x). Usporedite procjene f ′(c) i g ′(c) zanekoliko razlicitih c .

Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x ,b(x) = 1− x?

Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja? Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).

Linearnost deriviranja je zajednicko ime za aditivnost i homogenostderiviranja.











Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja?

Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).






Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja? Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?

Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).









Komentirajte sljedeci zadatak i njegovo predlozeno rjesenje:Derivirajte f (x) = x5 − π sin x +

√5.

f (x) = x5 − π sin x +√

5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√

5)′ =5x4 − π cos x + 1√

5.

Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.



√5.

f (x) = x5 − π sin x +√

5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√

5)′ =5x4 − π cos x + 1√

5.

Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?

Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.



√5.

f (x) = x5 − π sin x +√

5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√

5)′ =5x4 − π cos x + 1√

5.

Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?

Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.



√5.

f (x) = x5 − π sin x +√

5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√

5)′ =5x4 − π cos x + 1√

5.

Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.


Derivacija produkta i kvocijenta funkcija

Derivirajte x2, x3 i x2x3.

Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi

(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),

a za derivaciju kvocijenta funkcija(f (x)

g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g2(x).

Zadatak

Izvedite formule za derivacije funkcija tangens i kotangens!



Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija?

Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi

(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),


g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g2(x).

Zadatak




Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.

Formula za derivaciju produkta funkcija glasi

(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),


g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g2(x).

Zadatak




Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi

(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),


g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g2(x).

Zadatak




Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi

(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),


g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g2(x).

Zadatak



Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna?

Skojom bazom?

a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .

Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:

b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).

Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!

c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.


Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?

a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .




c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.



a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .




c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.



a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .




c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.



a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .




c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.



a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .




c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.



a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .




c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.



a(x) =(e3)x

Derivirajte ju!

a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3

(e3)x

= 3e3x .




c ′(x) = (3 ln x)′ =3

x.


Lancano pravilo

Opisite funkcije zadane formulama a(x) = (ex)3,b(x) = (sin x)2 = sin x · sin x , c(x) = ln x3 i d(x) = (cos x)π kaokompozicije po dviju funkcija!

Opcenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi(g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x), gdje je y = f (x). To se pravilo cestopise u obliku

(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).

Zadatak

Odredite derivaciju od Λm po c ako je 1Λm

= 1Λ◦

m+ cΛm

K(Λ◦m)2 , tj.

Λm =

√1 + 4c − 1

2c/Λ◦m.

Koja je jedinica te derivacije?


Lancano pravilo

Opisite funkcije zadane formulama a(x) = (ex)3,b(x) = (sin x)2 = sin x · sin x , c(x) = ln x3 i d(x) = (cos x)π kaokompozicije po dviju funkcija!Opcenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi(g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x), gdje je y = f (x). To se pravilo cestopise u obliku

(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).

Zadatak


= 1Λ◦

m+ cΛm

K(Λ◦m)2 , tj.

Λm =

√1 + 4c − 1

2c/Λ◦m.



Lancano pravilo

Opisite funkcije zadane formulama a(x) = (ex)3,b(x) = (sin x)2 = sin x · sin x , c(x) = ln x3 i d(x) = (cos x)π kaokompozicije po dviju funkcija!Opcenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi(g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x), gdje je y = f (x). To se pravilo cestopise u obliku

(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).

Zadatak


= 1Λ◦

m+ cΛm

K(Λ◦m)2 , tj.

Λm =

√1 + 4c − 1

2c/Λ◦m.


Documents

Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan5.pdfImamo razli cite realne funkcije jedne varijable, ali u svim slu cajevima gledamo neprecizirano malu (blisku