Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat11-2020.pdfFranka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb Povijest matematike Analiti cka geometrija Projektivna i nacrtna

Analiticka geometrija Projektivna i nacrtna geometrija Neeuklidske geometrije Prethodnici infinitezimalnog racuna

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Svibanj 2018.

Geometrija u novom vijeku; prethodnici infinitezimalnog racuna

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Nastanak analiticke geometrije

Podsjetimo se:

u antickoj Grckoj su se zadaci koje danas smatramoalgebarskima razmatrali geometrijski

neki grcki matematicari su koristili pojmove poput duljina,sirina i visina da opisu pozicije (Apolonije, Arhimed)

neki arapski matematicari (Al-Mahanı) su pokusali nekegeometrijske probleme formulirati algebarski

d’Oresme je dao prikaze ovisnosti latitude o longitudi

no, koordinate su jos daleko . . .

pocetkom 17. st. postalo je poznato da su za opis fizikalneprirode bitne i druge krivulje osim kruznica i pravaca

jedan od problema: princip homogenosti u jednadzbama


Povijest matematike


Rene Descartes (1596.–1650.)

Poznat i pod svojim latiniziranim imenom Cartesius.Descartes je bio iz ugledne obitelji. Bio je bolezljivo dijete, a odosme godine odgajan je u isusovackoj skoli. Usprkos strogojdisciplini, zbog slabog zdravlja imao je dozvolu lezati ujutro do 11sati u krevetu. Taj je obicaj i kasnije zadrzao. Kad je 1647.posjetio Pascala, rekao mu je da je jedini nacin kako dobro raditimatematiku i sacuvati zdravlje ne ustati ujutro ranije nego stoimas potrebu za ustajanjem.Studirao je pravo, a zatim odabrao vojnicko zanimanje te je1617. otisao u tridesetogodisnji rat.


Povijest matematike


Prema vlastitim rijecima, svoje prve ideje nove filozofije i analitickegeometrije dobio je u tri sna u noci 10. studenoga 1619., u dobaratovanja na Dunavu.Iz vojske izlazi 1620. te iducih pet godina provodi putujuciEuropom. U Parizu se nastanio 1626. te se dvije godine krece udrustvu i bavi konstrukcijama optickih instrumenata. 1628. godineje upoznao kardinala de Berullea, koji je toliko impresioniranDescartesom da ga je nagovorio da zivot posveti otkrivanju istine.Descartes pristaje te se, kako bi mogao voditi mirniji zivot, preseliou Nizozemsku gdje ce zivjeti dvadeset godina potpuno posvecenfilozofiji i matematici.


Povijest matematike


Tu je napisao i svoje djelo Discours de la methode pour bienconduire sa raison et chercher la verite dans les sciences ouniverzalnoj znanosti. 1649. godine poziva ga svedska kraljicaKristina kako bi ju poducavao matematiku. On prihvaca poziv, aona zahtijeva ranojutarnju poduku te je Descartes, dotad naviknutdo kasna jutra biti u krevetu, prisiljen u pet sati ujutro prolazitihladan put iz jednog dijela dvorca u drugi. Tako je Descartes dobioupalu pluca i unutar dva mjeseca boravka u Stockholmu umro.Descartes ostaje jedan od najvecih filozofa i znanstvenika upovijesti, iako nije bio siroko obrazovan jer je bio nesklon ucenjukoje ne daje konkretnu korist. Nikad se nije zenio i nemapotomaka, iako je imao jednu vanbracnu kcer koja je rano umrla.


Povijest matematike


La Geometrie, 1637.

Trodijelni prilog Discours de la methode pour bien conduire saraison et chercher la verite dans les sciences koji sadrzi osnovnecrte analiticke geometrije.Prema anegdoti, Descartes je inspiraciju za uvodenje koordinatneravnine dobio promatrajuci muhu na stropu.Kod Descartesa su x , x2 i x3 jednostavno brojevi kojimaodgovoaraju jednodimenzionalni objekti. Dakle, x2 ne predstavljapovrsinu kvadrata stranice x , vec broj kojemu geometrijskiodgovara jednodimenzionalni objekt (parabola). Takoder, sad semoze konstruirati krivulja koja predstavlja kubnu jednadzbu, a nesamo rjesenja kubne jednadzbe pomocu krivulja.


Povijest matematike


Njegova je ideja: Svaka tocka u ravnini moze se jednoznacnoopisati parom realnih brojeva x i y koji opisuju udaljenosti te tockeod dva fiksna, medusobno okomita pravca (koordinatne osi). Uocioje i da jednadzbe f (x , y) = 0 mogu biti neodredene, ali se njihovarjesenja mogu opisati kao koordinate tocaka koje cine nekukrivulju. Posebno, linearne jednadzbe ax + by + c = 0 predstavljajupravce, a kvadratne ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 konike.Descartes komentira i da bi se iste ideje mogle primijeniti uprostoru koristenjem tri koordinate, no tu ideju nije dalje razradio.


Povijest matematike


Nerjesivost tri klasicna problema

Vezano za tri klasicna problema bitna je i jedna posljedica njegovejednodimenzionalne interpretacije velicina. Sad naime mnozenjeduljina daje duljinu, a ne povrsinu, a dijeljenjem ne dobijemoomjer, nego takoder duljine (Talesovi teoremi o proprcionalnosti).Pretvaranje pravokutnika u kvadrat se takoder moze interpretiratikao vadenje drugog korijena te slijedi: Sve cetiri osnovne racunskeoperacije i drugi korijeni daju duljine koje se iz polaznih mogukonstruirati ravnalom i sestarom. Posebno, svi problemi koji sesvode na kvadratne jednadzbe s racionalnim koeficijentima moguse rijesiti ravnalom i sestarom.

No, vrijedi i obrat:


Povijest matematike


Nerjesivost tri klasicna problema

Vezano za tri klasicna problema bitna je i jedna posljedica njegovejednodimenzionalne interpretacije velicina. Sad naime mnozenjeduljina daje duljinu, a ne povrsinu, a dijeljenjem ne dobijemoomjer, nego takoder duljine (Talesovi teoremi o proprcionalnosti).Pretvaranje pravokutnika u kvadrat se takoder moze interpretiratikao vadenje drugog korijena te slijedi: Sve cetiri osnovne racunskeoperacije i drugi korijeni daju duljine koje se iz polaznih mogukonstruirati ravnalom i sestarom. Posebno, svi problemi koji sesvode na kvadratne jednadzbe s racionalnim koeficijentima moguse rijesiti ravnalom i sestarom. No, vrijedi i obrat:


Povijest matematike


Ako je zadana jedinicna duljina 1, ravnalom i sestarom se mogukonstuirati one i samo one duljine koje se iz 1 mogu izracunati skonacno mnogo operacija +, −, ·, : i

√.. Brojevi koji odgovaraju

tim duljinama zovu se euklidski brojevi.

Posebno, buduci da je π transcendentan (1882., von Lindemann),slijedi da problem kvadrature kruga nije rjesiv.S druge strane, moze se dokazati da ako kubni polinom scjelobrojnim koeficijentima ima rjesenje u euklidskim brojevima,onda ima bar jedno racionalno rjesenje. Stoga ni problemduplikacije kocke ni trisekcije kuta od 60◦ nisu rjesivi ravnalom isestarom:

x3 = 2,

4x3 − 3x =1

2.


Povijest matematike




tim duljinama zovu se euklidski brojevi.Posebno, buduci da je π transcendentan (1882., von Lindemann),slijedi da problem kvadrature kruga nije rjesiv.

S druge strane, moze se dokazati da ako kubni polinom scjelobrojnim koeficijentima ima rjesenje u euklidskim brojevima,onda ima bar jedno racionalno rjesenje. Stoga ni problemduplikacije kocke ni trisekcije kuta od 60◦ nisu rjesivi ravnalom isestarom:

x3 = 2,

4x3 − 3x =1

2.


Povijest matematike




tim duljinama zovu se euklidski brojevi.Posebno, buduci da je π transcendentan (1882., von Lindemann),slijedi da problem kvadrature kruga nije rjesiv.S druge strane, moze se dokazati da ako kubni polinom scjelobrojnim koeficijentima ima rjesenje u euklidskim brojevima,onda ima bar jedno racionalno rjesenje. Stoga ni problemduplikacije kocke ni trisekcije kuta od 60◦ nisu rjesivi ravnalom isestarom:

x3 = 2,

4x3 − 3x =1

2.


Povijest matematike


Prvi dio La Geometrie

Sadrzi osnovne crte analiticke geometrije, opisane kroz diskusijuPapusovog zadatka:

Papusov problem

Neka je zadano n pravaca pi u ravnini i n kutova φi te duljina a.Udaljenost tocke T do pravca pi definirajmo kao duljinu odsjeckapravca koji prolazi kroz T i s pi tvori kut φi .Zadatak je pronaci geometrijsko mjesto tocaka T u ravnini za kojeje

1 umnozak udaljenosti do prvih n/2 pravaca u konstantnom omjeruprema umnosku udaljenosti prema ostalim pravcima, ako je n paran,odnosno

2 umnozak udaljenosti do prvih (n + 1)/2 pravaca u konstantnomomjeru prema umnosku udaljenosti prema ostalim pravcima i a, akoje n neparan.


Povijest matematike


Drugi dio La Geometrie

Descartes je izveo odgovarajuce jednadzbe, a u drugom dijeluizvodi i rjesenje za slucajeve n = 3 i n = 4.U ovom se dijelu bavi krivuljama, koje dijeli na geometrijske imehanicke. To odgovara kasnijoj podjeli na algebarske itranscendentne krivulje koju je uveo Leibniz.

Tu je opisao i kubnu krivulju koja danas nosi ime po njemu:Kartezijev list x3 + y3 = 3axy . Njegov je oblik Descartes krivo

opisao: tocno je opisao oblik lista u prvom kvadrantu, nopretpostavio je simetriju cetvrtog reda, dok zapravo postoji samojedan list i radi se o otvorenoj krivulji.


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Curves/Foliumd.html


Drugi dio La Geometrie

Descartes je izveo odgovarajuce jednadzbe, a u drugom dijeluizvodi i rjesenje za slucajeve n = 3 i n = 4.U ovom se dijelu bavi krivuljama, koje dijeli na geometrijske imehanicke. To odgovara kasnijoj podjeli na algebarske itranscendentne krivulje koju je uveo Leibniz.Tu je opisao i kubnu krivulju koja danas nosi ime po njemu:Kartezijev list x3 + y3 = 3axy . Njegov je oblik Descartes krivo

opisao: tocno je opisao oblik lista u prvom kvadrantu, nopretpostavio je simetriju cetvrtog reda, dok zapravo postoji samojedan list i radi se o otvorenoj krivulji.


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Curves/Foliumd.html


Treci dio La Geometrie

Tu se doduse bavi problemima vezanim za krivulje, ali se u biti radio pregledu tada poznate algebre. O tome smo vec ponesto rekli opoglavlju o povijesti osnovnog teorema algebre.

Od ostalih Descartesovih rezultata iz geometrije treba spomenuti

Teorem (Descartesov teorem o 4 kruznice)

Za kruznicu polumjera r njezina zakrivljenost se definira kao κ = 1r

(ili kao κ = −1r ako neku drugu kruznicu dodiruje iz vana). Ako su

κ1, κ2, κ3, κ4 zakrivljenosti cetiri kruznice u ravnini od kojih sesvake dvije dodiruju, onda vrijedi

2(κ21 + κ2

2 + κ23 + κ2

4) = (κ1 + κ2 + κ3 + κ4)2.


Povijest matematike


Treci dio La Geometrie

Tu se doduse bavi problemima vezanim za krivulje, ali se u biti radio pregledu tada poznate algebre. O tome smo vec ponesto rekli opoglavlju o povijesti osnovnog teorema algebre.Od ostalih Descartesovih rezultata iz geometrije treba spomenuti

Teorem (Descartesov teorem o 4 kruznice)

Za kruznicu polumjera r njezina zakrivljenost se definira kao κ = 1r

(ili kao κ = −1r ako neku drugu kruznicu dodiruje iz vana). Ako su

κ1, κ2, κ3, κ4 zakrivljenosti cetiri kruznice u ravnini od kojih sesvake dvije dodiruju, onda vrijedi

2(κ21 + κ2

2 + κ23 + κ2

4) = (κ1 + κ2 + κ3 + κ4)2.


Povijest matematike


Posebno vrijedi: Ako se po dvije od zadanih triju kruznicadodiruju, postoje dvije kruznice koje ih sve tri dodiruju (usporedites Apolonijevim problemom!). Njihove su zakrivljenostiκ4 = κ1 + κ2 + κ3 ±

√κ1κ2 + κ2κ3 + κ3κ1).

Neovisno o Descartesu, osnove analiticke geometrije razvio je iPierre de Fermat. No, njegov je doprinos postao poznat tekposhumno 1679., iako je vjerojatno svoje ideje razvio nekolikogodina prije Descartesa.


Povijest matematike


Posebno vrijedi: Ako se po dvije od zadanih triju kruznicadodiruju, postoje dvije kruznice koje ih sve tri dodiruju (usporedites Apolonijevim problemom!). Njihove su zakrivljenostiκ4 = κ1 + κ2 + κ3 ±

√κ1κ2 + κ2κ3 + κ3κ1).

Neovisno o Descartesu, osnove analiticke geometrije razvio je iPierre de Fermat. No, njegov je doprinos postao poznat tekposhumno 1679., iako je vjerojatno svoje ideje razvio nekolikogodina prije Descartesa.


Povijest matematike


Spirale

Descartes i Fermat su ujedno i prvi koji su se bavili spiralamarazlicitim od Arhimedove.Descartes je prvi koji je (1638.) opisao logaritamsku spiralu,krivulju kod koje je za svaku njenu tocku kut radijvektora spolarnom osi proporcionalan logaritmu duljine radijvektora:r = aebφ. Nju je kasnije detaljno analizirao Jacob Bernoulli, koji juje nazvao spira mirabilis.Fermat se pak prvi (1638.) bavio spiralom koju danas zovemoFermatovom spiralom. Njena je polarna jednadzba r = a

√ϕ.


Povijest matematike


U svakom slucaju, analiticka je geometrija izuzetno brzo postalapoznata jer je omogucila niz novih primjena, a postala je i temeljutemeljenju infinitezimalnog racuna.Ni Descartes ni Fermat nisu koristili negativne koordinate. To cepoopcenje uvesti nekoliko desetljeca kasnije Newton i Leibniz.Newton je takoder, cini se, prvi koji je koristio polarne koordinate inaziv analiticka geometrija.


Povijest matematike


Nastanak projektivne geometrije

Renesansna teorija perspektive je zasigurno osnova razvoja projektivnegeometrije.

Te je ideje dalje razvio te se utemeljiteljem projektivnegeometrije smatra Girard (Gerard) Desargues (1591.–1661.). On je biofrancuski arhitekt i matematicki autodidakt, clan znamenitogMersenneovog kruga. Glavno djelo mu je Brouillon project d’une atteinteaux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan (1639.), u kojemopisuje geometriju u kojoj se svi medusobno paralelni pravci sijeku ubeskonacno dalekoj tocki, a sve takve beskonacno daleke tocke cinebeskonacno dalek pravac. Tako su u njegovoj geometriji asimptotezapravo tangente u beskonacno dalekim tockama. Te je ideje poopcio ina trodimenzionalni slucaj. Uocio je i projektivnu ekvivalenciju konika.No, ovo je djelo bilo tiskano u malo primjeraka koji su svi nestali dokjedan nije otkriven 1950. Dotad je Desarguesovo djelo ostalo poznatosamo kroz jednu kopiju u obliku rukopisa. Radi se o jako sazetom djelukompliciranom za citanje koje stoga dugo vremena nije imalo bitanutjecaj.


Povijest matematike


Nastanak projektivne geometrije

Renesansna teorija perspektive je zasigurno osnova razvoja projektivnegeometrije. Te je ideje dalje razvio te se utemeljiteljem projektivnegeometrije smatra Girard (Gerard) Desargues (1591.–1661.). On je biofrancuski arhitekt i matematicki autodidakt, clan znamenitogMersenneovog kruga. Glavno djelo mu je Brouillon project d’une atteinteaux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan (1639.), u kojemopisuje geometriju u kojoj se svi medusobno paralelni pravci sijeku ubeskonacno dalekoj tocki, a sve takve beskonacno daleke tocke cinebeskonacno dalek pravac. Tako su u njegovoj geometriji asimptotezapravo tangente u beskonacno dalekim tockama. Te je ideje poopcio ina trodimenzionalni slucaj. Uocio je i projektivnu ekvivalenciju konika.No, ovo je djelo bilo tiskano u malo primjeraka koji su svi nestali dokjedan nije otkriven 1950. Dotad je Desarguesovo djelo ostalo poznatosamo kroz jednu kopiju u obliku rukopisa. Radi se o jako sazetom djelukompliciranom za citanje koje stoga dugo vremena nije imalo bitanutjecaj.


Povijest matematike


Najpoznatiji je Desarguesov rezultat jedan kojeg sam nikad nijeobjavio:

Teorem (Desarguesov teorem)

Neka su dani trokuti ABC i A′B ′C ′. Ako se pravci AA′, BB ′ i CC ′

sijeku u jednoj tockia onda su sjecista AB s A′B ′, AC s A′C ′ i BCs B ′C ′ kolinearna. Pritom svako od sjecista moze biti i ubeskonacnosti.

aAko za trokute vrijedi to svojstvo, kazemo da je jedan projekcija drugog.

A

B

C

A′

B′

C ′

A

B

C

A′

B′ C ′

A

B

C

A′B′

C ′

A

B

C

A′

B′

C ′


Povijest matematike


Blaise Pascal

Smatra se suutemeljiteljem projektivne geometrije jer je u dobi od16 godina (1640.) napisao Essai pour les coniques. Pascalov ciljbio je pojednostavniti svojstva konika. U tom je djelu sljedecepoopcenje Papusovog teorema:

Teorem (Pascalov teorem o misticnom heksagramu)a Ako je u koniku upisan heksagram 1231′2′3′, onda su sjecista tripara nasuprotnih stranica 12′ s 1′2, 23′ s 2′3 i 13′ sa 1′3 kolinearna.

aHeksagram 123456 je unija duzina 12, 23, 34, 45, 56 i 61.


Povijest matematike


Projektivna se geometrija zapravo pocinje razvijati tek u 19. st.Glavnu ulogu je tu odigrao Jean Victor Poncelet (1788.–1867.) sasvojom Traite des proprietes projectives des figures . . . (1822.). Tuje opisao osnovne koncepte projektivne geometrije i veze i razlikeizmedu metrickih i projektivnih osobina likova. Poncelet je bioMongeov student, vojni inzinjer i oficir u Napoleonovoj vojsci, aknjigu je napisao dok je 1812.–1814. bio u ruskom zarobljenistvu.

Karl von Staudt (1798.–1867.): Geometrie der Lage (1847.) –oslobodio projektivnu geometriju metrike i kao bitno svojstvo uzeosamo incidenciju; prvi rigorozni pristup.


Povijest matematike


Projektivna se geometrija zapravo pocinje razvijati tek u 19. st.Glavnu ulogu je tu odigrao Jean Victor Poncelet (1788.–1867.) sasvojom Traite des proprietes projectives des figures . . . (1822.). Tuje opisao osnovne koncepte projektivne geometrije i veze i razlikeizmedu metrickih i projektivnih osobina likova. Poncelet je bioMongeov student, vojni inzinjer i oficir u Napoleonovoj vojsci, aknjigu je napisao dok je 1812.–1814. bio u ruskom zarobljenistvu.Karl von Staudt (1798.–1867.): Geometrie der Lage (1847.) –oslobodio projektivnu geometriju metrike i kao bitno svojstvo uzeosamo incidenciju; prvi rigorozni pristup.


Povijest matematike


Nacrtna geometrija

Prethodnik nacrtne geometrije: Durer (16. st.);200 godina kasnije francuski vojni inzinjer, matematicar i spijunAmedee-Francois Frezier (1682.–1773.) je napisao tekst ogeometrijskim tehnikama za kamenoresce;taj je tekst bio poznat utemeljitelju nacrtne geometrije: GaspardMonge (1746.–1818.), koji je 1799. objavio skripta svojihpredavanja pod naslovon Geometrie descriptive; tu su teoremi oobliku i relativnoj poziciji geometrijskih tijela, ravnine tlocrta inacrta, . . .


Povijest matematike


Gaspard Monge (1746.–1818.)

Utemeljitelj nacrtne i diferencijalne geometrije, po zanimanju je bioarhitekt. Kad je s 18 godina izradio plan grada, privukao jepozornost te se zaposlio kao crtac nacrta. Matematickesposobnosti su mu priznate 1766. kad je razvio vlastitugeometrijsku metodu kako bi obavio zadatak planiranja utvrdetakve da neprijatelj, neovisno o svojoj poziciji, ne moze vidjeti nigadati vojne pozicije u njoj. Nakon toga, ubrzo je dobio posaoprofesora hidrodinamike.

Monge se bavio i raznim podrucjima matematicke analize,kombinatorikom, fizikom, kemijom i metalurgijom. U trenutkuizbijanja Francuske revolucije bio je jedan od vodecih znanstvenikau Francuskoj, a imao je iskustva i kao ispitivac mornarickih kadeta.Podrzavao je Revoluciju; sudjelovao je u komisiji za odredivanjemjernog sustava.


Povijest matematike


Gaspard Monge (1746.–1818.)

Utemeljitelj nacrtne i diferencijalne geometrije, po zanimanju je bioarhitekt. Kad je s 18 godina izradio plan grada, privukao jepozornost te se zaposlio kao crtac nacrta. Matematickesposobnosti su mu priznate 1766. kad je razvio vlastitugeometrijsku metodu kako bi obavio zadatak planiranja utvrdetakve da neprijatelj, neovisno o svojoj poziciji, ne moze vidjeti nigadati vojne pozicije u njoj. Nakon toga, ubrzo je dobio posaoprofesora hidrodinamike.Monge se bavio i raznim podrucjima matematicke analize,kombinatorikom, fizikom, kemijom i metalurgijom. U trenutkuizbijanja Francuske revolucije bio je jedan od vodecih znanstvenikau Francuskoj, a imao je iskustva i kao ispitivac mornarickih kadeta.Podrzavao je Revoluciju; sudjelovao je u komisiji za odredivanjemjernog sustava.


Povijest matematike


Kad je 1792. proglasena Republika, Mongeu je ponudeno mjestoministra mornarice, no na tom poslu nije bio uspjesan. Nakonosam mjeseci pokusaja ujedinjavanja suprotstavljenih interesa daoje ostavku. U sljedecem razdoblju Revolucije bavio se raznimvojnim projektima vezanim za oruzje i eksplozive.

1794. godine imenovan je u tijelo koje je trebalo osnovati EcoleCentrale des Travaux Publics (kasnije poznata kao EcolePolytechnique). Na toj skoli je zatim predavao nacrtnu iinfinitezimalnu geometriju. Ta su predavanja osnova njegova djelakojim je utemeljio diferencijalnu geometriju. Nacrtnu je geometrijupredavao i na Ecole Normale, a borio se i za ponovno osnivanje uRevoluciji ukinute Akademije znanosti (ponovno otvorena 1795.pod imenom Nacionalni institut). Tijekom 1796./97. boravio je uItaliji sa zadatkom da odabere umjetnicka djela za pobjednickustranu u Francuskoj. Tu se sprijateljio s Napoleonom Bonaparteom.


Povijest matematike


Kad je 1792. proglasena Republika, Mongeu je ponudeno mjestoministra mornarice, no na tom poslu nije bio uspjesan. Nakonosam mjeseci pokusaja ujedinjavanja suprotstavljenih interesa daoje ostavku. U sljedecem razdoblju Revolucije bavio se raznimvojnim projektima vezanim za oruzje i eksplozive.1794. godine imenovan je u tijelo koje je trebalo osnovati EcoleCentrale des Travaux Publics (kasnije poznata kao EcolePolytechnique). Na toj skoli je zatim predavao nacrtnu iinfinitezimalnu geometriju. Ta su predavanja osnova njegova djelakojim je utemeljio diferencijalnu geometriju. Nacrtnu je geometrijupredavao i na Ecole Normale, a borio se i za ponovno osnivanje uRevoluciji ukinute Akademije znanosti (ponovno otvorena 1795.pod imenom Nacionalni institut). Tijekom 1796./97. boravio je uItaliji sa zadatkom da odabere umjetnicka djela za pobjednickustranu u Francuskoj. Tu se sprijateljio s Napoleonom Bonaparteom.


Povijest matematike


Po povratku u Pariz postao je direktor Ecole Polytechnique. NaNapoleonov nagovor sudjelovao je u egipatskoj ekspediciji 1798.Napoleon je Mongea imenovao predsjednikom Egipatskog institutau Kairu. U Pariz se vratio 1799. Kad je Napoleon uspostavioKonzulat, imenovao je Mongea kao dozivotnog senatora Konzulata.

Application de l’analyse a la geometrie (1800.) koristi primjenuinfinitezimalnog racuna na geometriju.Poznati su i

Teorem ( Mongeov teorem o kruznicama )

Neka su u ravnini zadane tri disjunktne kruznice od kojih nikojanije unutar neke od druge dvije. Tada su sjecista parovazajednickih tangenti na po dvije od tih kruznica kolinearna.

Teorem (Mongeov teorem o tetraedrima)

U svakom se tetraedru sest ravnina koje prolaze kroz po jednopoloviste brida i okomito na nasuprotni brid sijeku u jednoj tocki.


Povijest matematike

https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/MongeTheorem.shtml


Po povratku u Pariz postao je direktor Ecole Polytechnique. NaNapoleonov nagovor sudjelovao je u egipatskoj ekspediciji 1798.Napoleon je Mongea imenovao predsjednikom Egipatskog institutau Kairu. U Pariz se vratio 1799. Kad je Napoleon uspostavioKonzulat, imenovao je Mongea kao dozivotnog senatora Konzulata.Application de l’analyse a la geometrie (1800.) koristi primjenuinfinitezimalnog racuna na geometriju.

Poznati su i






Povijest matematike



Po povratku u Pariz postao je direktor Ecole Polytechnique. NaNapoleonov nagovor sudjelovao je u egipatskoj ekspediciji 1798.Napoleon je Mongea imenovao predsjednikom Egipatskog institutau Kairu. U Pariz se vratio 1799. Kad je Napoleon uspostavioKonzulat, imenovao je Mongea kao dozivotnog senatora Konzulata.Application de l’analyse a la geometrie (1800.) koristi primjenuinfinitezimalnog racuna na geometriju.Poznati su i






Povijest matematike



Monge je zadrzao znanstvene interese i tek je 1809. prestaopredavati kad mu je zdravlje oslabilo. 1813. godine poslan jeorganizirati obranu Liegea za Napoleona, no morao je pobjeci.Ubrzo iza Napoleonove abdikacije vratio se u Pariz. Ostao jevjeran Napoleonu, podrzavsi ga 1815. Vidao je Napoleona sve donjegova ukrcaja na brod za Sv. Helenu. Ubrzo se Monge pobojaoza svoj zivot te je napustio Francusku, a vratio se 1816. Dva danapo povratku izbacen je iz instituta Institut de France, bio jepoliticki sikaniran i pod stalnim prijetnjama smrcu.Kad je umro, usprkos inzistiranju vlasti da mu se ne oda pocast,studenti Ecole Polytechnique su mu je ipak odali.


Povijest matematike


Peti Euklidov postulat

Kako je ono glasio u izvornoj formulaciji?

Proklos u 5. st. je tvrdioda je to teorem. Jedan argument: EEI27 je obrat. Proklosspominje i Ptolemejev pokusaj koji koristi tvrdnju koja danas nosiime

Playfairov (?Ptolemejev?) aksiom

Kroz svaku tocku izvan pravca moze se povuci (najvise) jednaparalela s pravcem.

(John Playfair (1748.–1819.) je u svom komentaru EE 1795.predlozio zamjenu originalnog postulata s ovim). Proklos pakkoristi

Proklosov aksiom (!)

Paralelni pravci su posvuda jednako udaljeni.


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI27.html


Peti Euklidov postulat

Kako je ono glasio u izvornoj formulaciji? Proklos u 5. st. je tvrdioda je to teorem. Jedan argument: EEI27 je obrat. Proklosspominje i Ptolemejev pokusaj koji koristi tvrdnju koja danas nosiime

Playfairov (?Ptolemejev?) aksiom

Kroz svaku tocku izvan pravca moze se povuci (najvise) jednaparalela s pravcem.

(John Playfair (1748.–1819.) je u svom komentaru EE 1795.predlozio zamjenu originalnog postulata s ovim). Proklos pakkoristi

Proklosov aksiom (!)

Paralelni pravci su posvuda jednako udaljeni.


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI27.html


Do 19. st. osnovna je karakteristika da su nalazeni razni”dokazi”

EP5, no u svima su prije ili kasnije pronadene greske. Te greske suse vecinom sastojale u pretpostavljanju nekog

”ocitog” svojstva,

ekvivalentnog postulatu o paralelama.Jedna od poznatijih tako dobivenih ekvivalentnih tvrdnji je

Wallisov aksiom (1663.)

Za svaki trokut T i svaku povrsinu P postoji trokut T ′ koji jeslican T i ima povrsinu P.

Takvi pokusaji su de facto dali niz svojstava hiperbolicnih (ieliptickih) geometrija.


Povijest matematike


Al-Hayt¯am (Alhazen, 10./11. st.): Lambertov cetverokut

Omar Khayyam (11./12. st.): Saccherijev cetverokut.Al-Tusı (13. st.): Kritike; prvi pokusaj reductio ad absurdum

Medu svim tim pokusajima isticu se dva: Talijana GirolamaSaccheri-ja (1667–1733) i Svicarca Johanna Heinricha Lamberta(1728–1777).


Povijest matematike


Al-Hayt¯am (Alhazen, 10./11. st.): Lambertov cetverokut

Omar Khayyam (11./12. st.): Saccherijev cetverokut.Al-Tusı (13. st.): Kritike; prvi pokusaj reductio ad absurdumMedu svim tim pokusajima isticu se dva: Talijana GirolamaSaccheri-ja (1667–1733) i Svicarca Johanna Heinricha Lamberta(1728–1777).


Povijest matematike


Girolamo Saccheri (1667.–1733.)

Pokusaj reductio ad absurdum; i on je mislio da je dokazao EP5.Saccheri-Khayyamov cetverokut je cetvrokut ABCD s dvije jednakoduge nasuprotne stranice AD i BC okomite na trecu (AB).

4ABC ∼= 4BAC (SKS) ⇒ |AC | = |BD| ⇒ 4ADC ∼= 4BCD(SSS) ⇒ ∠BCD = ∠ADC = α.

1 α > 90◦ ⇒ . . .⇒ EP5 /;

2 α = 90◦ ⇒ EP5 /;

3 α < 90◦ ⇒ (svojstva neeuklidske/hiperbolic ne geometrije). . . postoji beskonacno mnogo pravaca koji ne sijeku zadanipravac, sto je smatrao nespojivim s prirodom pravca


Povijest matematike



Pokusaj reductio ad absurdum; i on je mislio da je dokazao EP5.Saccheri-Khayyamov cetverokut je cetvrokut ABCD s dvije jednakoduge nasuprotne stranice AD i BC okomite na trecu (AB).4ABC ∼= 4BAC (SKS) ⇒ |AC | = |BD|

⇒ 4ADC ∼= 4BCD(SSS) ⇒ ∠BCD = ∠ADC = α.

1 α > 90◦ ⇒ . . .⇒ EP5 /;

2 α = 90◦ ⇒ EP5 /;



Povijest matematike



Pokusaj reductio ad absurdum; i on je mislio da je dokazao EP5.Saccheri-Khayyamov cetverokut je cetvrokut ABCD s dvije jednakoduge nasuprotne stranice AD i BC okomite na trecu (AB).4ABC ∼= 4BAC (SKS) ⇒ |AC | = |BD| ⇒ 4ADC ∼= 4BCD(SSS) ⇒ ∠BCD = ∠ADC = α.

1 α > 90◦ ⇒ . . .⇒ EP5 /;

2 α = 90◦ ⇒ EP5 /;



Povijest matematike



Pokusaj reductio ad absurdum; i on je mislio da je dokazao EP5.Saccheri-Khayyamov cetverokut je cetvrokut ABCD s dvije jednakoduge nasuprotne stranice AD i BC okomite na trecu (AB).4ABC ∼= 4BAC (SKS) ⇒ |AC | = |BD| ⇒ 4ADC ∼= 4BCD(SSS) ⇒ ∠BCD = ∠ADC = α.

1 α > 90◦ ⇒ . . .⇒ EP5 /;

2 α = 90◦ ⇒ EP5 /;



Povijest matematike


Johann Heinrich Lambert (1728.–1777.)

Poznat po prvom dokazu π /∈ Q (1761): x 6= 0, x ∈ Q ⇒ex , tg x /∈ Q ⇒ (tg π = 0) π /∈ Q.

Hipoteza: π, e transcendentni (dokazano u 19. st.: von Lindemann1882, Hermite 1873).Lambert je prvi koji je sistematski analizirao hiperbolne funkcije.EP5: Slican pristup kao Saccheri (1766.), ali sLambert-Alhazenovim cetverokutom (cetverokut s tri prava kuta).U trecem slucaju dobio je da bi trokuti manje povrsine imali vecizbroj kutova (i sto manji, to blizi 180◦). Tocnije: dobio jeproporcionalnost povrsine trokuta s π − (α + β + γ).Kako prvi slucaj funkcionira na sferi, na kojoj je (T. Harriot)P(T ) = R2(α + β + γ − π), imao je ideju da bi treci slucaj moglabiti geometrija na sferi imaginarnog polumjera.


Povijest matematike



Poznat po prvom dokazu π /∈ Q (1761): x 6= 0, x ∈ Q ⇒ex , tg x /∈ Q ⇒ (tg π = 0) π /∈ Q.Hipoteza: π, e transcendentni (dokazano u 19. st.: von Lindemann1882, Hermite 1873).

Lambert je prvi koji je sistematski analizirao hiperbolne funkcije.EP5: Slican pristup kao Saccheri (1766.), ali sLambert-Alhazenovim cetverokutom (cetverokut s tri prava kuta).U trecem slucaju dobio je da bi trokuti manje povrsine imali vecizbroj kutova (i sto manji, to blizi 180◦). Tocnije: dobio jeproporcionalnost povrsine trokuta s π − (α + β + γ).Kako prvi slucaj funkcionira na sferi, na kojoj je (T. Harriot)P(T ) = R2(α + β + γ − π), imao je ideju da bi treci slucaj moglabiti geometrija na sferi imaginarnog polumjera.


Povijest matematike



Poznat po prvom dokazu π /∈ Q (1761): x 6= 0, x ∈ Q ⇒ex , tg x /∈ Q ⇒ (tg π = 0) π /∈ Q.Hipoteza: π, e transcendentni (dokazano u 19. st.: von Lindemann1882, Hermite 1873).Lambert je prvi koji je sistematski analizirao hiperbolne funkcije.

EP5: Slican pristup kao Saccheri (1766.), ali sLambert-Alhazenovim cetverokutom (cetverokut s tri prava kuta).U trecem slucaju dobio je da bi trokuti manje povrsine imali vecizbroj kutova (i sto manji, to blizi 180◦). Tocnije: dobio jeproporcionalnost povrsine trokuta s π − (α + β + γ).Kako prvi slucaj funkcionira na sferi, na kojoj je (T. Harriot)P(T ) = R2(α + β + γ − π), imao je ideju da bi treci slucaj moglabiti geometrija na sferi imaginarnog polumjera.


Povijest matematike



Poznat po prvom dokazu π /∈ Q (1761): x 6= 0, x ∈ Q ⇒ex , tg x /∈ Q ⇒ (tg π = 0) π /∈ Q.Hipoteza: π, e transcendentni (dokazano u 19. st.: von Lindemann1882, Hermite 1873).Lambert je prvi koji je sistematski analizirao hiperbolne funkcije.EP5: Slican pristup kao Saccheri (1766.), ali sLambert-Alhazenovim cetverokutom (cetverokut s tri prava kuta).U trecem slucaju dobio je da bi trokuti manje povrsine imali vecizbroj kutova (i sto manji, to blizi 180◦). Tocnije: dobio jeproporcionalnost povrsine trokuta s π − (α + β + γ).Kako prvi slucaj funkcionira na sferi, na kojoj je (T. Harriot)P(T ) = R2(α + β + γ − π), imao je ideju da bi treci slucaj moglabiti geometrija na sferi imaginarnog polumjera.


Povijest matematike


Adrien-Marie Legendre se 40 godina bavio s EP5. Posljedica:

Legendreov postulat

Zbroj kutova u trokutu je (bar) dva prava kuta.

Njegova greska: pretpostavlja da je kroz svaku tocku unutar kutamoguce povuci pravac koji sijece oba kraka.

Jean D’Alembert:”skandal elementarne geometrije” (1767.)

Georg Klugel (1738.–1812.) je u svojoj doktorskoj disertaciji 1763.analizirao tridesetak razlicitih pokusaja dokaza: Mozda se ne mozedokazati! Mozda ga ljudi smatraju istinitim samo zbog toga na stoih njihova osjetila upucuju.Pocetak nove faze: Kakav bi to bila geometrija u kojoj E5P nevrijedi?


Povijest matematike



Legendreov postulat


Njegova greska: pretpostavlja da je kroz svaku tocku unutar kutamoguce povuci pravac koji sijece oba kraka.Jean D’Alembert:

”skandal elementarne geometrije” (1767.)



Povijest matematike



Legendreov postulat


Njegova greska: pretpostavlja da je kroz svaku tocku unutar kutamoguce povuci pravac koji sijece oba kraka.Jean D’Alembert:

”skandal elementarne geometrije” (1767.)



Povijest matematike


Cini se da je prvi koji je stvarno razumio problem bio Johann KarlFriedrich Gauß:

s EP5 se bavio od svoje petnaeste godine,

najkasnije 1824. postao uvjeren u njegovu nezavisnost,

pokusao izvesti posljedice geometrije u kojoj bi kroz zadanutocku postojala vise od jedne paralele sa zadanim pravcem,

nije objavio svoje rezultate

Gaußovo pismo astronomu Olbersu 1817.:Sve vise dolazim do uvjerenja, da neophodost nase geometrije nijedokaziva, bar ne od ljudskog razuma niti za njega. Mozda cemo ujednom drugom zivotu doci do drugih uvida u bit prostora, koji sunam sada nedostupni. Dotad bi trebalo geometriju po ranguizjednaciti ne s aritmetikom, koja stoji cisto a priori, vec primjerices mehanikom . . .


Povijest matematike


Tata i sin BolyaiFarkas Bolyai

(1775.–1856.) – Gaußov prijatelj; nekoliko neuspjesnih pokusajadokaza EP5

Janos Bolyai (1802.–1860.) – otac mu je preporucio da se time nebavi, no 1823. pise ocu: Otkrio sam stvari tako divne da samzaprepasten . . . Iz nicega sam stvorio cudan novi svijet.1825. je Janos te rezultate objavio na 24 strane dodatka ocevojknjiziGauß: Janos je genije; ali, i sam je isto vec otkrio


Povijest matematike


Tata i sin BolyaiFarkas Bolyai

(1775.–1856.) – Gaußov prijatelj; nekoliko neuspjesnih pokusajadokaza EP5Janos Bolyai (1802.–1860.) – otac mu je preporucio da se time nebavi, no 1823. pise ocu: Otkrio sam stvari tako divne da samzaprepasten . . . Iz nicega sam stvorio cudan novi svijet.1825. je Janos te rezultate objavio na 24 strane dodatka ocevojknjiziGauß: Janos je genije; ali, i sam je isto vec otkrio


Povijest matematike


Janos Bolyai

roden u Transilvanijis 13 godina svladao diferencijalni racun i analiticku mehanikuuspjesan violinist, nastupao je u Becu, gdje je i studirao tezatim pristupio vojnoj inzenjeriji i u njoj proveo 11 godinanajbolji plesac i macevalac u austrijskoj vojscinije pusio ni pio, cak ni kavu, a govorio je devet stranih jezika(ukljucujuci kineski i tibetanski)nakon cestih groznica 1833. otpusten iz vojske i povukao se naobiteljsko imanjeod 1834. zivi s Rozaliom Kibedi, s kojom je imao dvoje djece,nikad se nisu vjencali (zakon je zahtijevao novcani polog)umro je od upale pluca u dobi od 57 godina, za sobom ostaviovise od 20.000 stranica rukopisa, no osim spomenutog prilogaocevoj knjizi druge rezultate nije objavio


Povijest matematike


Bolyaijev cudan novi svijet

Janos Bolyai nije dokazao da postoji geometrija u kojoj ne vrijediEP5.

”Samo”: izveo posljedice geometrije u kojoj postoji vise od jedne

paralele, ako takva postoji.Usporedi: raniji rezultati dobiveni pokusajem dokaza EP5 krozreductio ad absurdumNo, prvi put: takva geometrija je moguca! Tako je dobio prve

”prave” teoreme hiperbolicne geometrije.

No, nije bio jedini . . .


Povijest matematike


Bolyaijev cudan novi svijet

Janos Bolyai nije dokazao da postoji geometrija u kojoj ne vrijediEP5.

”Samo”: izveo posljedice geometrije u kojoj postoji vise od jedne

paralele, ako takva postoji.Usporedi: raniji rezultati dobiveni pokusajem dokaza EP5 krozreductio ad absurdumNo, prvi put: takva geometrija je moguca! Tako je dobio prve

”prave” teoreme hiperbolicne geometrije.

No, nije bio jedini . . .


Povijest matematike


Nikolaj Ivanovic Lobacevski (1792.–1856.)

studirao matematiku i fiziku u Kazanu, gdje je poslije bioprofesor i 1827–1846 rektor

ozenio se s 40 godina (Varvara Aleksejeva Mojseva, 20 godinamlada i bogata) – 7 djece, nesretan brak

od 1840 slabo zdravlje, 1846 odlazi u penziju

nakon smrti najstarijeg sina oslijepio

potkraj zivota dosta financijskih problema


Povijest matematike


Uz iste pretpostavke kao Bolyai dobio je niz teorema hiperbolicnegeometrije i objavio ih 1829. (u lokalnoj publikaciji).Vise kasnijih objava – najvaznija i najdetaljnija: GeometrischeUntersuchungen zur Theorie der Parallellinien (1840.)Ni njegovi ni Bolyaijevi rezultati nisu privukli vecu pozornost!Gauß se nikad nije javno izjasnio o temi.Zanimljivost: Bolyai je potkraj zivota vjerovao da Gauß izmislioLobacevskog kako bi smanjio vrijednost njegovih, Bolyaijevih,rezultata.


Povijest matematike


Umjesto EP5 . . .

Postulat Lobacevskog, 1840.

U ravnini kroz svaku tocku izvan danog pravca postoje (bar) dvijeparalele s tim pravcem.

Kako bi to islo?

g

P

Danas geometriju tipa Bolyai-Lobacevski zovemo hiperbolicnom. Uhiperbolicnoj geometriji kroz svaku tocku izvan pravca imamobeskonacno mnogo paralela s tim pravcem.Problem nakon Bolyaija i Lobacevskog: ne postoji model; je likonzistentna?; nije ni dokazano da je EP5 nezavisan od ostalihpostulata


Povijest matematike


Umjesto EP5 . . .

Postulat Lobacevskog, 1840.

U ravnini kroz svaku tocku izvan danog pravca postoje (bar) dvijeparalele s tim pravcem.

Kako bi to islo?

g

P

Danas geometriju tipa Bolyai-Lobacevski zovemo hiperbolicnom. Uhiperbolicnoj geometriji kroz svaku tocku izvan pravca imamobeskonacno mnogo paralela s tim pravcem.Problem nakon Bolyaija i Lobacevskog: ne postoji model; je likonzistentna?; nije ni dokazano da je EP5 nezavisan od ostalihpostulataFranka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Prvi modeli neeuklidskih geometrija

Sredinom 19. stoljeca jos nije dokazano da je geometrija Bolyaija iLobacevskog konzistentna, kao sto to nije dokazano ni za euklidsku(s tom razlikom da je zahvaljujuci stoljetnoj tradiciji postojalouvjerenje da u euklidskoj geometriji nema kontradikcija).Prvi koji je izjednacio neeuklidsku geometriju i s euklidskom bio jeEugenio Beltrami (1835.–1900.). On je 1868. dao prvi modelhiperbolicne geometrije kao 2D neeuklidske geometrije unutar 3Deuklidskog prostora: pseudosfera


Povijest matematike


Pseudosfera je rotacional ploha traktrise oko njene asimptote.Traktrisa je pak krivulja koju je prvu analizirao Huygens 1692., aponekad ju se naziva

”krivuljom lijenog psa” (ona je trajektorija

tocke koja je s drugom pokretnom tockom povezana duzinomfiksne duljine, a ta drgua tocka se giba duz pravca).

U ovom modelu su pravci geodetske linije (najkrace spojnice).


Povijest matematike


Usprkos nesavrsenostima, Beltramijev model dao je bitan odgovor:Postoji geometrija u kojoj vrijede prva cetiri Euklidova postulata,ali ne vrijedi peti. Time je problem konzistencije aksiomaneeuklidske (hiperbolicne) geometrije sveden na problemkonzistencije aksioma euklidske geometrije.Felix Klein (1849.–1925.) je pokazao da u biti postoje tri osnovnatipa dvodimenzionalne geometrije: tipa Bolyai-Lobacevski, u kojojpravci imaju po dvije beskonacno daleke tocke, Riemannova sferna,u kojoj pravci nemaju beskonacno dalekih tocaka (odnosno, imajudvije imaginarne beskonacno daleke tocke), te euklidska, u kojojsvaki pravac ima dvije podudarne (tj. jednu) beskonacno daleketocke. Ta tri tipa geometrije Klein redom naziva hiperbolicnom,eliptickom i parabolickom.


Povijest matematike


Jules Henri Poincare je dao dva poznata modela hiperbolicnegeometrije. Osobito je poznat Poincareov kruzni model (1882.) ukojemu se gledaju tocke unutar kruga, a pravci su dijametri kruga ilukovi kruznica koje sijeku rub kruga pod pravim kutem (misli sena dijametre i lukove koji su unutar kruga, bez rubnih tocaka).

d(A,B) = log

(|AP||BP|

· |AQ||BQ|

)Usporedite: Escher .


Povijest matematike

http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=325


Konzistentnost aksioma euklidske geometrije dokazao je DavidHilbert (1862.–1943.), koji je 1899. dao novu aksiomatizacijueuklidske geometrije. Hilbert je 1901. dokazao da se plohe shiperbolicnom geometrijom (tocnije, plohe konstantne negativnezakrivljenosti) ne mogu opisati formulom.


Povijest matematike


Prethodnici infinitezimalnog racuna u 17. st.

Podsjetnik: metoda ekshaustije; Oresme.

Renesansa je ponovnootkrila antiku, pa tako i metodu ekshaustije. Johannes Kepler(1571–1630) je objavio Nova stereometria doliorum vinariourum(1615.), u kojoj opisuje odredivanje volumena preko 90 rotacijskihtijela. Racun mu je manje precizan od Arhimedovog pristupa, alislicniji modernom: rotacijska je tijela dijelio u paralelneinfinitezimalno tanke valjkaste slojeve.

Keplerov problem bacve

Ako bacvu vina aproksimativno smatramo valjkom, za kojipolumjer i koju visinu (duljinu) ce

”mjerenje volumena” stapom

poznate fiksne duljine rezultirati maksimalnim volumenom?


Povijest matematike



Podsjetnik: metoda ekshaustije; Oresme. Renesansa je ponovnootkrila antiku, pa tako i metodu ekshaustije. Johannes Kepler(1571–1630) je objavio Nova stereometria doliorum vinariourum(1615.), u kojoj opisuje odredivanje volumena preko 90 rotacijskihtijela. Racun mu je manje precizan od Arhimedovog pristupa, alislicniji modernom: rotacijska je tijela dijelio u paralelneinfinitezimalno tanke valjkaste slojeve.






Povijest matematike



Podsjetnik: metoda ekshaustije; Oresme. Renesansa je ponovnootkrila antiku, pa tako i metodu ekshaustije. Johannes Kepler(1571–1630) je objavio Nova stereometria doliorum vinariourum(1615.), u kojoj opisuje odredivanje volumena preko 90 rotacijskihtijela. Racun mu je manje precizan od Arhimedovog pristupa, alislicniji modernom: rotacijska je tijela dijelio u paralelneinfinitezimalno tanke valjkaste slojeve.






Povijest matematike


h

2rl

Kepler je rjesenje h = 2l√3

, r = l√6

odredio usporedivanjem

vrijednosti, no vaznije je da je uocio da vrijedi: Ako su mjere bacvebliske

”optimumu”, male promjene mjera bacve rezultiraju u puno

manjim promjenama volumena nego kod mjera koje su dalje odoptimalnih.


Povijest matematike


Bonaventura Francesco Cavalieri (1598–1647)

Galileov student, dalje je razvio Keplerove metode racunanjapovrsina i volumena. Svoju metodu nedjeljivih velicina objavio je1635. objavio pod naslovom Geometria indivisibilibus continuorumnova quadam ratione promota.Ravninske figure smatra sastavljenim od paralelnih duzina, aprostorne od paralelnih likova: Cavalierijeve nedjeljive velicine subeskonacno tanke.


Povijest matematike


Cavalierijev princip je u izvornoj formulaciji ovako iskazan:Ravninske/prostorne figure, tj. njihove povrsine/volumeni, stoje uistom omjeru kao ukupnost njihovih nedjeljivih velicina.Koristeci taj princip, Cavalieri je uspio odrediti neke povrsine, koje

bismo danas zapisali kao

∫ 1

0xndx . Medu ostalim, tako je

jednostavnije dobio Arhimedov rezultat o volumenu kugle.

Prethodnici deriviranja u prvoj polovici 17. st. su pak vec vise putaspomenuti Descartes i Fermat. Obojici su razvili metode zaodredivanje tangenti na ravninske krivulje poznatih jednadzbi.Rene Descartes’ je htio odredivati kutove medu krivuljama. Buducida je lako odrediti normalu na kruznicu, Descartes je odredivaooskulacijske kruznice krivulja i preko njih jednadzbe normala zaneke krivulje.


Povijest matematike




∫ 1


jednostavnije dobio Arhimedov rezultat o volumenu kugle.Prethodnici deriviranja u prvoj polovici 17. st. su pak vec vise putaspomenuti Descartes i Fermat. Obojici su razvili metode zaodredivanje tangenti na ravninske krivulje poznatih jednadzbi.

Rene Descartes’ je htio odredivati kutove medu krivuljama. Buducida je lako odrediti normalu na kruznicu, Descartes je odredivaooskulacijske kruznice krivulja i preko njih jednadzbe normala zaneke krivulje.


Povijest matematike




∫ 1


jednostavnije dobio Arhimedov rezultat o volumenu kugle.Prethodnici deriviranja u prvoj polovici 17. st. su pak vec vise putaspomenuti Descartes i Fermat. Obojici su razvili metode zaodredivanje tangenti na ravninske krivulje poznatih jednadzbi.Rene Descartes’ je htio odredivati kutove medu krivuljama. Buducida je lako odrediti normalu na kruznicu, Descartes je odredivaooskulacijske kruznice krivulja i preko njih jednadzbe normala zaneke krivulje.


Povijest matematike


Descartesovo odredivanje normale na cikloidu

Jedna medu matematicarima 17. st. posebno popularna krivuljabila je cikloida . Ime joj je dao Galileo.

Neka je P tocka cikloide ukojoj trazimo tangentu/normalu.

PQ

A BR

PR‖BQDodatak: Fermatova i Descartesova metoda odredivanja tangenta


Povijest matematike

https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/historical-activities-for-calculus-module-2-tangent-lines-then-and-now


Descartesovo odredivanje normale na cikloidu

Jedna medu matematicarima 17. st. posebno popularna krivuljabila je cikloida . Ime joj je dao Galileo. Neka je P tocka cikloide ukojoj trazimo tangentu/normalu.

PQ

A BR

PR‖BQDodatak: Fermatova i Descartesova metoda odredivanja tangenta


Povijest matematike

https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/historical-activities-for-calculus-module-2-tangent-lines-then-and-now


Fermatova metoda odredivanja tangnete

Pierre de Fermat je pak za odredivanje tangente koristio metoduslicniju modernoj. Neka je A = (x , f (x)) tocka u kojoj trazimotangentu y = kx + l na krivulju y = f (x). Za mali prirast E su4OXA i 4OYB priblizno slicni jer je f (x + E ) ≈ k(x + E ) + l .

Slijedi|OX ||OX |+ E

≈ f (x)

f (x + E ), (1)

dakle ako odredimo |OX |, onda imamo i k = f (x)|OX | . Gornja

jednoakost se moze prevesti u oblik

|OX | =f (x)

(f (x + E )− f (x))/E. (2)

Fermat nakon izracunavanja desme strane uzima E = 0 i takodobiva |OX |.


Povijest matematike



Pierre de Fermat je pak za odredivanje tangente koristio metoduslicniju modernoj. Neka je A = (x , f (x)) tocka u kojoj trazimotangentu y = kx + l na krivulju y = f (x). Za mali prirast E su4OXA i 4OYB priblizno slicni jer je f (x + E ) ≈ k(x + E ) + l .Slijedi

|OX ||OX |+ E

≈ f (x)

f (x + E ), (1)

dakle ako odredimo |OX |, onda imamo i k = f (x)|OX | .

Gornjajednoakost se moze prevesti u oblik

|OX | =f (x)

(f (x + E )− f (x))/E. (2)



Povijest matematike



Pierre de Fermat je pak za odredivanje tangente koristio metoduslicniju modernoj. Neka je A = (x , f (x)) tocka u kojoj trazimotangentu y = kx + l na krivulju y = f (x). Za mali prirast E su4OXA i 4OYB priblizno slicni jer je f (x + E ) ≈ k(x + E ) + l .Slijedi

|OX ||OX |+ E

≈ f (x)

f (x + E ), (1)

dakle ako odredimo |OX |, onda imamo i k = f (x)|OX | . Gornja

jednoakost se moze prevesti u oblik

|OX | =f (x)

(f (x + E )− f (x))/E. (2)



Povijest matematike


Zadatak

Fermatovom metodom odredite koeficijent smjera tangente nakrivulju y = x3 u tocki s apscisom x .

Fermatovo odredivanje ekstrema

Potrebno je zadanu duzinu duljine a podijeliti na dva dijelamaksimalnog umnoska duljina. Maksimiziramo x(a− x) za0 ≤ x ≤ a. Fermat izjednacuje f (x) i f (x + E ) (usp. Kepler)

x(a− x) = (x + E )(a− x − E )⇒ Ea− 2xE − E 2 = 0

Kako je E malen, ali nije 0, podijelimo s E i nakon toga gazanemarimo – dobijemo x = a/2.

Fermat doduse njije objavio svoje metode, ali tadasnji sumatematicari znali za njih.


Povijest matematike


Zadatak



Potrebno je zadanu duzinu duljine a podijeliti na dva dijelamaksimalnog umnoska duljina.

Maksimiziramo x(a− x) za0 ≤ x ≤ a. Fermat izjednacuje f (x) i f (x + E ) (usp. Kepler)

x(a− x) = (x + E )(a− x − E )⇒ Ea− 2xE − E 2 = 0




Povijest matematike


Zadatak




x(a− x) = (x + E )(a− x − E )⇒ Ea− 2xE − E 2 = 0




Povijest matematike


Zadatak




x(a− x) = (x + E )(a− x − E )⇒ Ea− 2xE − E 2 = 0




Povijest matematike


Zadatak




x(a− x) = (x + E )(a− x − E )⇒ Ea− 2xE − E 2 = 0




Povijest matematike


Evangelista Torricelli (1608–1647)

Kao i Cavalieri, bio je Galileov student. Vazan je i u povijestifizike, a za nasu temu je bitan jer je kombinirao izvornu metoduekshaustije s Cavalijerijevom metodom nedjeljivih velicina. Dobioje mnoge rezultate, od kojih je najznamenitija Torricellijeva truba:neograniceno tijelo ograniqv cenog volumena. Radi se orotacijskom tijelu koje nastaje rotacijom hiperbole y = x−1

(1 ≤ x <∞) oko x-osi. Toricelli je pokazao da je njen volumen 1(mi bismo pisali

∫∞1

dxx2 = 1 – nepravi integral!).

Thomas Hobbes, filozof, o tome 1672. kaze: Da bi se to smatralorazumnim, ne treba biti geometar ni logicar, nego lud.

Torricelli je takoder pokazao da je povrsina ispod jednog lukacikloide tocno tri put veca od povrsine kruga koji ju generira, aPascal je pak odredio volumen i oplosje odgovarajuceg rotacijskogtijela.


Povijest matematike


Evangelista Torricelli (1608–1647)

Kao i Cavalieri, bio je Galileov student. Vazan je i u povijestifizike, a za nasu temu je bitan jer je kombinirao izvornu metoduekshaustije s Cavalijerijevom metodom nedjeljivih velicina. Dobioje mnoge rezultate, od kojih je najznamenitija Torricellijeva truba:neograniceno tijelo ograniqv cenog volumena. Radi se orotacijskom tijelu koje nastaje rotacijom hiperbole y = x−1

(1 ≤ x <∞) oko x-osi. Toricelli je pokazao da je njen volumen 1(mi bismo pisali

∫∞1

dxx2 = 1 – nepravi integral!).

Thomas Hobbes, filozof, o tome 1672. kaze: Da bi se to smatralorazumnim, ne treba biti geometar ni logicar, nego lud.Torricelli je takoder pokazao da je povrsina ispod jednog lukacikloide tocno tri put veca od povrsine kruga koji ju generira, aPascal je pak odredio volumen i oplosje odgovarajuceg rotacijskogtijela.


Povijest matematike


Pascalov karakteristicni trokut

Blaise Pascal je 1659. za slucaj luka kruznice opisao trokut kojegce kasnije Leibniz nazvati triangulum characteristicum:

Uocite slicnost pravokutnih trokuta na slici!


Povijest matematike


Gilles Personne de Roberval (1602–1675)

Kao i Torricelli, odredio je povrsinu ispod jednog luka cikloide, nobitnije je da je precizirao Cavalierijevu metodu:Prema Robervalu, povrsina mora biti sastavljena od povrsina, a neduljina i analogno za volumene.Tom popravljenom metodom, dijeljenjem na tanke pravokutnike,odredio je povrsine ispod y = xn (n ∈ N).

Nisu ovo jedini takvi rezultati, ali sto vidimo ovdje u usporedbi smodernim pristupom? Nedostaje veza izmedu odredivanjatangente i povrsine, te nedostaju efikasne racunske metode. Podutjecajem Cavalierijevih i Torricellijevih rezultata prvi korak u tomsmjeru ucinio je:


Povijest matematike



Kao i Torricelli, odredio je povrsinu ispod jednog luka cikloide, nobitnije je da je precizirao Cavalierijevu metodu:Prema Robervalu, povrsina mora biti sastavljena od povrsina, a neduljina i analogno za volumene.Tom popravljenom metodom, dijeljenjem na tanke pravokutnike,odredio je povrsine ispod y = xn (n ∈ N).Nisu ovo jedini takvi rezultati, ali sto vidimo ovdje u usporedbi smodernim pristupom?

Nedostaje veza izmedu odredivanjatangente i povrsine, te nedostaju efikasne racunske metode. Podutjecajem Cavalierijevih i Torricellijevih rezultata prvi korak u tomsmjeru ucinio je:


Povijest matematike



Kao i Torricelli, odredio je povrsinu ispod jednog luka cikloide, nobitnije je da je precizirao Cavalierijevu metodu:Prema Robervalu, povrsina mora biti sastavljena od povrsina, a neduljina i analogno za volumene.Tom popravljenom metodom, dijeljenjem na tanke pravokutnike,odredio je povrsine ispod y = xn (n ∈ N).Nisu ovo jedini takvi rezultati, ali sto vidimo ovdje u usporedbi smodernim pristupom? Nedostaje veza izmedu odredivanjatangente i povrsine, te nedostaju efikasne racunske metode. Podutjecajem Cavalierijevih i Torricellijevih rezultata prvi korak u tomsmjeru ucinio je:


Povijest matematike


John Wallis (1616.–1703.)

Najutjecajniji engleski matematicar prije Newtona. Bio je profesorgeometrije u Oxfordu. U doba engleskog gradanskog rataangazirao se na strani parlamenta i bio poznat po svom znanjukriptografije. Bio je i jedan od ranih povjesnicara matematike, abavio se i logikom i engleskom gramatikom. Iz grupe matematicaras kojima se nalazio nastao je Royal Society.Uveo je simbol ∞ (De sectionibus conicis, 1655.). Najznacajnijedjelo mu je Arithmetica infinitorum (1656.). U njemu se moze nacii Wallisov produkt

π

2=

2

1· 2

3· 4

3· 4

5· 6

5· 6

7· 8

7· 8

9· . . . .

Vec naslob sugerira glavni Wallisov doprinos: preciznije i efikasnijeracunske metode za povrsine i volumene.


Povijest matematike


John Wallis (1616.–1703.)

Najutjecajniji engleski matematicar prije Newtona. Bio je profesorgeometrije u Oxfordu. U doba engleskog gradanskog rataangazirao se na strani parlamenta i bio poznat po svom znanjukriptografije. Bio je i jedan od ranih povjesnicara matematike, abavio se i logikom i engleskom gramatikom. Iz grupe matematicaras kojima se nalazio nastao je Royal Society.Uveo je simbol ∞ (De sectionibus conicis, 1655.). Najznacajnijedjelo mu je Arithmetica infinitorum (1656.). U njemu se moze nacii Wallisov produkt

π

2=

2

1· 2

3· 4

3· 4

5· 6

5· 6

7· 8

7· 8

9· . . . .

Vec naslob sugerira glavni Wallisov doprinos: preciznije i efikasnijeracunske metode za povrsine i volumene.


Povijest matematike


Primjer

Kako bi Wallis odredio povrsinu ispod y = x2 izmedu 0 i a?

Rastavimo ju na n uskih pravokutnika sirine a/n. Usporedimo zbrojnjihovih povrsina s povrsinom pravokutnika [0, a]× [0, a2], koji sesastoji od n pravokutnika povrsine a

n · a2:∑n

i=1an ·(ian

)2

n · an · a2=

∑ni=1

(ian

)2

a2 + a2 + . . .+ a2=

02 + 12 + . . .+ n2

n2 + n2 + . . .+ n2.

Promatranjem desne strane za n = 2, 3, 4 zakljucio je (analogijom,ne indukcijom!) da je taj omjer 1

3 + 13n pa je za velike n sve blizi 1

3 .

Veca novost je da je iz tako dobivenih povrsina ispod y = xn dobiopovrsine ispod y = x1/n:


Povijest matematike


Primjer

Kako bi Wallis odredio povrsinu ispod y = x2 izmedu 0 i a?Rastavimo ju na n uskih pravokutnika sirine a/n.

Usporedimo zbrojnjihovih povrsina s povrsinom pravokutnika [0, a]× [0, a2], koji sesastoji od n pravokutnika povrsine a

n · a2:∑n

i=1an ·(ian

)2

n · an · a2=

∑ni=1

(ian

)2

a2 + a2 + . . .+ a2=

02 + 12 + . . .+ n2

n2 + n2 + . . .+ n2.



3 .



Povijest matematike


Primjer

Kako bi Wallis odredio povrsinu ispod y = x2 izmedu 0 i a?Rastavimo ju na n uskih pravokutnika sirine a/n. Usporedimo zbrojnjihovih povrsina s povrsinom pravokutnika [0, a]× [0, a2], koji sesastoji od n pravokutnika povrsine a

n · a2:∑n

i=1an ·(ian

)2

n · an · a2=

∑ni=1

(ian

)2

a2 + a2 + . . .+ a2=

02 + 12 + . . .+ n2

n2 + n2 + . . .+ n2.



3 .



Povijest matematike


Primjer


n · a2:∑n

i=1an ·(ian

)2

n · an · a2=

∑ni=1

(ian

)2

a2 + a2 + . . .+ a2=

02 + 12 + . . .+ n2

n2 + n2 + . . .+ n2.



3 .



Povijest matematike


Primjer


n · a2:∑n

i=1an ·(ian

)2

n · an · a2=

∑ni=1

(ian

)2

a2 + a2 + . . .+ a2=

02 + 12 + . . .+ n2

n2 + n2 + . . .+ n2.



3 .



Povijest matematike


x

∫ 1

0xmdx

x

∫ 1

0x1/mdx

∫ 1

0xmdx =

1

m + 1

Neposredni prethodnik (i profesor) Newtonu je bio:


Povijest matematike


x

∫ 1

0xmdx

x

∫ 1

0x1/mdx

∫ 1

0xmdx =

1

m + 1

Neposredni prethodnik (i profesor) Newtonu je bio:


Povijest matematike


Isaac Barrow (1630–1677)

Kao djecak je navodno bio tako naporan, da se njegovog ocamoglo cuti u molitvi, da ako Bog uzme k sebi koje od njegovedjece, najlakse bi mu bilo ostati bez Isaaca.Studirao je (tada uobicajeno: bez specijalizacije) na Trinity Collegeu Cambridgeu. Po zavrsetku studija ostao je raditi kao fellow sistaknutim znanjem grckog, teologije i prirodnih znanosti.Tijekom 1655–1659 putovao je Mediteranom, a tijekom puta uTursku prezivio je i aktivno sudjelovao u obrani broda od gusarskognapada. Boravio je u Smirni pa u Konstantinopolu, baveci seprvenstveno pravoslavnom teologijom.Po povratku u Englesku postao je profesor grckog u Cambridgeu,od 1662. je vodio katedru za prirodne znanosti. Medu ostalima,student mu ej bio i Newton. Barrowova predavanja iz matematike ioptike kasnije su i objavljena.


Povijest matematike


Kad je 1669. napustio poziciju postao je kraljevski kapelan uLondonu. Kad je 1677. obolio od vrucice pokusao se sam, kaoranije u Konstantinopolu, izlijeciti postom i opijumom, ali je umro.

Barrow je tangentu smatrao granicnim slucajem sekante, kad senjezina sjecista s krivuljom medusobno priblizavaju. Jos vaznije jeda je Barrow (a tako i malo ranije Torricelli) primijetio: brzina semoze odrediti iz puta, kao i obrnuto. Takoder, put se moze dobitikao povrsina ispod grafa brzine u ovisnosti o vremenu, a brzina kaokoeficijent smjera tangente na graf ovisnosti puta o vremenu.Vidimo da je time najavio osnovni teorem infinitezimalnog racuna.Svoju metodu odredivanja tangente i geometrijski opis upravonavedene inverznosti objavio je 1670. u sklopu LectionesGeometricae.


Povijest matematike


Kad je 1669. napustio poziciju postao je kraljevski kapelan uLondonu. Kad je 1677. obolio od vrucice pokusao se sam, kaoranije u Konstantinopolu, izlijeciti postom i opijumom, ali je umro.Barrow je tangentu smatrao granicnim slucajem sekante, kad senjezina sjecista s krivuljom medusobno priblizavaju.

Jos vaznije jeda je Barrow (a tako i malo ranije Torricelli) primijetio: brzina semoze odrediti iz puta, kao i obrnuto. Takoder, put se moze dobitikao povrsina ispod grafa brzine u ovisnosti o vremenu, a brzina kaokoeficijent smjera tangente na graf ovisnosti puta o vremenu.Vidimo da je time najavio osnovni teorem infinitezimalnog racuna.Svoju metodu odredivanja tangente i geometrijski opis upravonavedene inverznosti objavio je 1670. u sklopu LectionesGeometricae.


Povijest matematike


Kad je 1669. napustio poziciju postao je kraljevski kapelan uLondonu. Kad je 1677. obolio od vrucice pokusao se sam, kaoranije u Konstantinopolu, izlijeciti postom i opijumom, ali je umro.Barrow je tangentu smatrao granicnim slucajem sekante, kad senjezina sjecista s krivuljom medusobno priblizavaju. Jos vaznije jeda je Barrow (a tako i malo ranije Torricelli) primijetio: brzina semoze odrediti iz puta, kao i obrnuto. Takoder, put se moze dobitikao povrsina ispod grafa brzine u ovisnosti o vremenu, a brzina kaokoeficijent smjera tangente na graf ovisnosti puta o vremenu.Vidimo da je time najavio osnovni teorem infinitezimalnog racuna.

Svoju metodu odredivanja tangente i geometrijski opis upravonavedene inverznosti objavio je 1670. u sklopu LectionesGeometricae.


Povijest matematike


Kad je 1669. napustio poziciju postao je kraljevski kapelan uLondonu. Kad je 1677. obolio od vrucice pokusao se sam, kaoranije u Konstantinopolu, izlijeciti postom i opijumom, ali je umro.Barrow je tangentu smatrao granicnim slucajem sekante, kad senjezina sjecista s krivuljom medusobno priblizavaju. Jos vaznije jeda je Barrow (a tako i malo ranije Torricelli) primijetio: brzina semoze odrediti iz puta, kao i obrnuto. Takoder, put se moze dobitikao povrsina ispod grafa brzine u ovisnosti o vremenu, a brzina kaokoeficijent smjera tangente na graf ovisnosti puta o vremenu.Vidimo da je time najavio osnovni teorem infinitezimalnog racuna.Svoju metodu odredivanja tangente i geometrijski opis upravonavedene inverznosti objavio je 1670. u sklopu LectionesGeometricae.


Povijest matematike


Barrowljeva metoda odredivanja tangente

Barrow je vezano za problem tangente otkrio trokut slicanPascalovom trokutu, poznat kao Barrowljev diferencijalni trokut.

P

MT

QRa

ex

y

Neka je f (x , y) = 0 jednadzba krivulje i P tocka na njoj. Da bismodobili tangentu, treba nam druga tocka T na tangenti, npr. sjecistetangente s x-osi. Jednakost

|TM| : y ≈ |QR| : |PR| = e : a

je to tocnija sto je e manji. Ako je P = (x , y), onda jeQ = (x − e, y − a) i f (x , y) = f (x − e, y − a) = 0.


Povijest matematike




P

MT

QRa

ex

y

Neka je f (x , y) = 0 jednadzba krivulje i P tocka na njoj. Da bismodobili tangentu, treba nam druga tocka T na tangenti, npr. sjecistetangente s x-osi.

Jednakost

|TM| : y ≈ |QR| : |PR| = e : a



Povijest matematike




P

MT

QRa

ex

y

Neka je f (x , y) = 0 jednadzba krivulje i P tocka na njoj. Da bismodobili tangentu, treba nam druga tocka T na tangenti, npr. sjecistetangente s x-osi. Jednakost

|TM| : y ≈ |QR| : |PR| = e : a



Povijest matematike


Primjerice za Kartezijev list x3 + y3 = kxy :

(x − e)3 + (y − a)3 = k(x − e)(y − a)⇒

3xe2 + 3ya2 − 3x2e − 3y2a− e3 − a3 = kea− kax − key .

Clanovi s potencijama od e i a vecim od 1 i njihovim medusobnimumnoscima se zanemare i ostane 3x2e + 3y2a = kax + key . Iz togase dobije

e : a = (kx − 3y2) : (3x2 − ky).

Otud mozemo dobiti apscisu |OT | od T :|OT | = |OM| − |TM| = x − |TM|. Dobije se

|TM| = ye

a=

kxy − 3y3

3x2 − ky,

dakle T =(x − kxy−3y3

3x2−ky , 0)

te se moze odrediti tangenta TP.


Povijest matematike


Primjerice za Kartezijev list x3 + y3 = kxy :

(x − e)3 + (y − a)3 = k(x − e)(y − a)⇒

3xe2 + 3ya2 − 3x2e − 3y2a− e3 − a3 = kea− kax − key .

Clanovi s potencijama od e i a vecim od 1 i njihovim medusobnimumnoscima se zanemare i ostane 3x2e + 3y2a = kax + key . Iz togase dobije

e : a = (kx − 3y2) : (3x2 − ky).

Otud mozemo dobiti apscisu |OT | od T :|OT | = |OM| − |TM| = x − |TM|. Dobije se

|TM| = ye

a=

kxy − 3y3

3x2 − ky,

dakle T =(x − kxy−3y3

3x2−ky , 0)

te se moze odrediti tangenta TP.


Povijest matematike

Documents

Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat11-2020.pdfFranka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb Povijest matematike Analiti cka geometrija Projektivna i nacrtna