FTN - Zbirka Zadataka Iz Teorije Redova

7/23/2019 FTN - Zbirka Zadataka Iz Teorije Redova

http://slidepdf.com/reader/full/ftn-zbirka-zadataka-iz-teorije-redova 1/46

i



Nevenka Adžić

Zbirka zadataka

izTeorije redova

Novi Sad, 2011.



Naziv ud beni ka: Zbirka zadataka iz Teorije redova

Autor :

dr Nevenka Adžić,

redovni profesor Fakulteta tehničkih. nauka u Novorn Sadu

I zdavač:

Centar za matematiku i statistiku

Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu

A utor zadržava sva prava: B ež pis m ene sagla snosti autora nije dozvol-

je n o reprodukovanje (fotokopir anje , fo tografisanje , m agnetni upis ili

umnožavanje na bilo ko ji način) ili pon ov no objavlj ivanje sadržaja (u

celini ili delovima) 6ve knjige.



Sadržaj

B rojni redov i 5

1.1 Osnovni p o jm o v i...................................................................................... 5

1.2 Redovi ss. pozitivnim članovim a............................................................. 8

1.3 Alternativni re d o v i................................................................................ 12

R ed ov i funkcija 14

2.1 Osnovni p o jm o v i................................................................................... 14

2.2 Stepeni redovi......................................................................................... 15

2.3 Razvoj funlccije u re d ................................................... 19

2.4 Sumiranje redova .............................................................................•• • 21

Prov ere znanja I de o 24

3.1 Provera znanja iz Teorije redova Ideo —1 ......................................... 24

3.2 Provera znanja iz Teorije redova Ideo - 2 .......................................... 25




3.6 Provera znanja iz Teorije redova I deo - 6 . . ................................... 29

4 Pro vere znanja II deo 304.1 Provera znanja iz Teorije redova II deo - 1 ......................................... 30

4.2 Provera znanja iz Teorije redova II deo - 2 ......................................... 31





5 Zadaci sa kolokvijum a 36

5.1 Kolokvijum iz Teorije redova 1 ............................................................ 36



5.4 Kolokvijum iz Teorije redova 4 . . ...................................................... 39


5.6 Kolokvijum iz Teorije redova 6 . ......................................................... 41



6 Zađ aci sa pismen ih ispita 44

6.1 Pismeni iz Teorije redova 1 ................................................... ... • • 446.2 Pismeni iz Teorije redova 2 .................................................................. 45



I)

4 SADRŽAJ



5

1 Brojni redovi

1.1 Osnovni pojmovi

parcijalnih suma.

napisati i izračunati peti član reda i treći član niza

Rešenje:<X 4 = s in27r = 0 , $2 — flo + Gi + ° 2 = sin0 + sin^ + sin i r = 0 + 1 + 0 = 1.

r

°° „ _ o2.)Zare d -------- napisati i izračunati deseti član reda i peti član niza

n =l 71parcijalnih suma.

OO

i ) z a r e d ] T ) i _ i l — napisati i izračunati sedmi član reda i četvrti član

n=lniza parcijalnih suma.

2n4.JZa red 2 napisati i izračunati treći član reda i drugi član niza

n=3parcijalnih suma.

. jza red ^ - L H - napisati i izračunati prva tri člana niza parcijalnih

n=0 nsuma.

Rešenje:

s0 = l , Si = 1 —| = 5 , s2 = 1 - 5 + 5 = io-

6 k are d V ' - — - napisati i izračunati prvih pet članova niza parcijal-C 7 + l

nih suma.n=0

j j jZ a red ^ 2n ^~~2 napisafci 1izračunati prva 6etiri elana Parciial*n=2

nih suma.

( J ) Za red ^ n napisati i izračunati prva tri člana niza parcijalnih

n=lsuma.

(jT)poka zati da red cos ^ divergira.

n=0

Rešenje: J 717T

Kako lim an = lim coS — ne postoji, to dati red divergira.n—»oo n—*00 0



6 1 B R O J N I R E D O V I

10., Pokazati da red ] P (—1 ) V divergira.

71=0

oo

11. Pokazati da red sin divergira.

n=

oo

12. Pokazati da red ] (—l ) n divergira.

n=0

~ n213. Pokazati da red ^ divergira.

Rešenje:

n=0

Kak° rv oo 0,1 ~ niSSo 5n2 _ 2n = E 0’ t0 datl

n + 214. Pokazati da red } --------- divergira.

4 — 2nn=3

OO

15. Pokazati da red

n3 — 3n

n » l

00

16. Pokazati da red

1 £ H ) '

divergira.

divergira.

17. Određiti opšti član reda i sumu reda ako ie s„ = - 2_n+1

Rešenje:

a n = &n Sn—1Tt — 1

n + 1 n n ( n + l ) ‘

s = lim sn = lim — = lim — = 1.n-*co n—*00 n + 1 n-*oo 1 + A

18. Odrediti treći član niza parcijalnih suma, opšti član reda i sumu reda ako

19. Odrediti peti član reda i sumu reda ako je sn

20. Odrediti opšti član reda i sumu reda ako je sn

21. Izračunati sumu reda .o n

n=0

2n2 + 1

n2 —1

1

(n - l )n ‘



1.1 Osnovni pojmovi 7

ReSenje:

Radi se o geometriskom redu sa g — —| pa je

” ( - ! ) " ” / l \ n 1 2

to 2n V 1 - (-4) 3'

22. Izračunati sumu



reda ^

n«»0

2

3n ’

oo

reda ^

n»0

( ~ i ) n

5n - l •

reda

~ 4n - l

2—t 5n+2 ’n»0

4




1.2 Redovi sa pozitivnim članovima

1. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda“ i

V * 1V n 3 + 2 n

ReSenje: •

T z k z ; < v b ’ a red H Z J n (q = 2 > x) konvergira pa i red

" 1E %/n5 + 2 n

i n-v/nn = l v

konvergira.

2. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste .ispitati konvergenciju reda

" . 2n - 1En=0

3n + 5 ‘

3. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda

~ 2n —5

En=*0 Vn7 + n4

4. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda00 i

V ------1 n(0.n .

5. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju redaOO

EzT, V n 3 —2nn= 2

Rešenje:

n n , v— 1 . .. > - 7==, a red > - = (a = * < 1) đivergira pa i zad

v n 3 - 2n Vn 3 ^ V n

Vn3 + 2ndivergira.

6. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispjtati konvergenciju reda

3n + 1

En=2

2n —2 ’

7. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda

. 2n + 5

V™7 ~ n“ '

8. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju redan3 n . -

E 2n — 1 ’



1 .2 Redov i sa poz i t i v n i m Sl anovima

9. Pomoću uporednog kriterijuma II vrste ispitati konvergenciju reda

2 n + l

— J i/n4 — 3 n

Rešenje:

2n + 1 - ~ - ^ L = 2-i = , a red Y -7= divergira (a = 5 < 1) pa i datiVn 3 - 3n2 Vn5 - A

red divergira.


2n —y/n

j " Vn5 + 3n2


— n2 — 3n + 1

^ </n9 - 3n5+ 2


n

2” + n

n = ln2 + 5" ’

0° ^13. Pomoću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red ^ 5^ konver-

n=lgira

Rešenje:

lim £ «±1 = lim M = 1 lim ( i + i ) = i < l .i-*-oo an n—+00 ~ 5 n—>00 ^ n J 0

»n + 214. Pomoću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red — r — konver-

n = l , n 'gira.

15. PomoćuDalamberovogkriterijumapokazatidared divergira.

n= 0

^ 4n_116. Pomoću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red 2__, (n _ i )5n

konvergira.

00 „217. Pomoću Košijevog korenskog kriterijuma pokazati da red n23n2n

divergira.




Rešenje:r\C9CKJC.

„ /n 23n 3 .. / /—\2 3 ^ 3

n-foo V 2" 2 n -.o o v y 2 2

n 2n18. Pomoću Košijevog korenskbg kriterijuma pokazati da red j P — -

n = l s

konvergira.

° ° 7j,23n

19. Pomoću Košijevog korenskog kriterijuma pokazati da red 2_ , ""^n

n = l

divergira.

20. Pom oću Košijevog korenskog kriterijuma pokazati da red

^ ( 1 + — ] divergira.

71=1 ' '

°° 1 21. Pom oću integralnog kriterijuma dokazati da red — konvergira.

n = i n

Rešenje:+°° T , „ T , ^

lim f - 1 = lim ( - - ) = lim + i ) = !•J X2 T—t+ca J X2 T -.+ 0O\ X J T-*+oo \ T ) 1 1 1

OO ^

22. Pomoćuintegralnogkriterijumadokazatidared —= - korrv'ergira'.

OOoo

23. Pom oću integralnog kriterijuma dokazati da red ^ e-n konvergira.

71=0

00 124. Pomoću integralnog kriterijuma dokazati da red ----- 3— konver-

“ in ln nn=2

gira.

00 125. Pom oću integralnog kriterijuma pokazati da red > —— divergira.

i nlnnn = l

Rešenje:

f d x dx I = / —:— , lnx = t, —

7 xlnx x1OO

= dt pa je

OO

I = j Q = lnt|g° = ln(+oo ) —InO = +00 — (—00) = + 00.



1 .2 Redov i sa pozi t i v n i m l a n ov ima 11

26. Pomoću integralnog kriterijuma dokazati da red

27. Pomoću integralnog kriterijuma dokazati da red

^ n + 1

2 -t n2T i*= l

divergira.

2n divergira.

n»0

Elnn

n ln2 n28. Pomoću integralnog kriterijuma dokazati da red divergira.




1.3 Alternativni redovi

1. Dokazati da red apsolutno konvergira.n =l

Rešenje:

00 1S obzirom da red — konvergira jer je a = 2 > 1, to dati red apsolutno

i 'R' n=lkonvergira.

2. Dokazati da red jjP y A v.t s =5= = apsolutno konvergira.n_ j v n — 3n 2

°° (_ ]\n

3. Dolcazati da red V ' , , . ;....

: apsolutno divergira.v n 2 + 2n

°° (—ljn(n2 + 5)4. Dokazati da red 2^ ' n 3\ M + 4n2 apsolutno konvergira.

n=i *

(—l ) n5. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda 2_, ' 2n •

n = 0

Rešenje:

( - l ) n2n

°° -^n

^ - predstavlja geometrijski red sa q = |.En=0 n=uKako je 0 < q < 1, ovaj geometrijski red konvergira, pa dati red apsolutno

konvergira.

71=0

„ T . . , , .. , ^ ( - l ) nn6. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda > ' — .

n =o 2

°°t (—3)n7. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda 2_, 2n ’•

71=0

” (—2)n8. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda 2_, .

71=0

- - / _i\ n

9. Pol<azati da red ^ ^ ^ uslovno konvergira.

n= 0

Rešenje:

Kakojean+1< a n^ ^ < ^ 1

lim an = lim -------- = 0, to po Lajbnicovom kriterijumu dati ređ kon-n— oo n—+oc 2TI + 1vergira.



•1 .3 A l t er a a t i v n i r ed o v f 13

10. Pokazati da red

11. Pokazati da red

12. Pokazati da red

V ' -— r =- uslovno konvergira.

_ / 2)n V ' -— -— — - uslovno konvergira.

(n - l )2- i71=0

CO / iy i—— uslovno konvergira.lnn

n—O



14 2 R E D O V I F U N K C I J A

2 Redovi funkcija

2.1 Osnovni pojmoviOO

1. Dokazati da red funkcija ^

x S R .

ReSenje:

sm nx uniformno konvergira za svako

n = 1

smn x 1 ^< —5- A V konvergira pa po Vajerš trasovom kriterijumu

ns**ldati red uniformno konvergira.

2. Dokazati da red funkcija ^

n=lx e R .

cosna;

n3 + 2nuniformno konvergira za svako

E S l l l T17TX

—= ----- unifornmo konvergira za svako

„ = o ^ + 5i £ l R .

4. Dokazati da red funkcija V ' c° s(n + 2) x + 1 uniformno konvergira

' n°za svako x £ R .

n = l

5. Pokazati da red V^ cos n? . uniformno konvergira za svakof r l n V n - 2

ny/n —2

n=3

1

n V n — 2

1 1 ^— 7------- ~ — = A V ' —r— konvergira (a = | > 1) pa dati rednVn —2 nVn £ ?3 n y/n 2

uniformno konVergira (Vajerštrasov kriterijum).

oo

6. Pokazati da red V ' —z— — uniformno konvergira za svako x £ R .. n2 —1

n=2

\/| C0S?7T. — l)x|7. Pokazati da-red > . „----- - uniformno konvergira za svako x G 3R.

^ (n 2 — 4 ) 0 i

f _l )71COS 7V X 8. Pokazati da red > >— ---- rr uniformno konvergira za svako x e R .

n=3 ( " 2)



2 .2 S tepen i r edov i 15

2.2 Stepeni redovi

1. Ako je lim i/|an|= 2, odrediti interval konvergencije redan—+oo

oo

T On(2a; - 1)” .

n-»0

Rešenje:

S obzirom da je poluprečnik konvergencije datog reda R = to je

“ 5 < 2x —1 < 5 | < 2a: < | p a j e / = ( i , f ) .

2. Ako je lim i(/|an|= A, odrediti interval konvergencije redan-+oo

oo

^ a n(x + 5)n .

n=0

3. Ako je lim ?j/|an|= 4, odrediti interval konvergencije redan —»oo

E “ n(* - f ) " •n=0

4. Ako je lim \ /\ an \ = 1, odrediti interval konvergencije redan—+oo

oo

T . On(3x + 1)” .n=0

5. A ko je lim p+ t1 = h , šta je interval konvergencije redan—*oo I “ n l *

f ) a n( x + l ) n ?

n=0

Rešenje:

S obzirom da je poluprečnik konvergencije datog reda R = 2, to je

I = ( - 1 - 2 , -1 + 2) = ( -3 ,1 ) .

= | , šta je interval konvergencije reda

= 2 , šta je interval konvergencije reda

= , šta je interval konvergencije reda

6. A ko je lim F +11n—+oo I a” I

oo

^ a n(3x + l )n ?

n=0

7. Ak oje lim 1 ^ 1n—+oo | 0ti I

E an( x - |)n ?n=0

8. A koje limJ n—+oo I

OO

T an(2x - %/ 2)n ?

n=0




9. Izvršiti naznačene operacije sa redovimaOO ' ° °

z2 ]T (n - i)®" - 5 ]T (2n +n=0 n=0

Rešenje:OO OO 0 0 OO

x 2 J 2 { n - l ) x n - 5 ( 2 n + l )x n = £ ( n “ 1)E”+2 “ I ] ( 10n + 5)1" =n=0 n=0 n=0 n=0o o o o OO

= 5 ^ (fc -3 )g fe—y ^(1 0n + 5)x ” - 5 - 1 5 x = ^ ( n - 3 - 1 0 n - 5 ) g " - 5 - 1 5 g =

fc=2 n=2 n=2oo

= - + 8)1" - 5 - 1 5 x -n=2

10. Izvršiti naznačene operacije sa redovimaoo oo

2 ]P (3n - l)a;n 4* 3a; n x U '

n=l n=2

11. Izvršiti naznačene operacije sa redovimaOO ° °

{x - 1) Y ( n + 2)e" + x& 5Z ( n + i)^ "-1 -

n=0 n=0

12. Izvršiti naznačeneoo « oo

71=3 n=0

operacije sa redovima

xn+l

n + 1'

OO

13. Ako je lim p i± i = 1 , naći izvod reda V ' an{x - 1)" i pomoćun-to o [ ° " I *

n=0

D ’Alambertovog kriterijuma pokazati da je poluprečnik konvergencije do-

bijenog reda Ri = 2.Rešenje: / oo \ 1 oo

£ > „ ( * - l ) n = nan{x — l )n_1

\n«0 / n=0Poluprečnik konvergencije datog reda je R = 2, a poluprečnik konvergen-

cije dobijenog reda je

i?i = lim I7—o f “ — I = lim 4 . lim 11 n—+oo Tn+ l )an-n I n—*00 n-+oo |a" + i

= ! ! ? = 2.

OO

14. Ako je lim = 3 naći izvod reda V ' an(2x H- 5)n i pomoćun~+oo ! a » .1

n=0

D ’Alambertovog kriterijuma pokazati da je poluprečnik konvergencije do-

bijenog reda i?i = |.



2 .2 Stepen i r edov i 17

II _ W

— I t naći izvod reda ]T) an(x — |)n i pomoću

•D ’Alambertovog kriterijuma odrediti polupreenik i interval konvergencijedobijenog reda.

OO

16. A koje lim ^ >naći izvod reda y ^ q n(x + \/3)n i pomoću

n = l

D’Alambertovog kriterijuma odrediti poluprečnik konvergencije dobijenog

reda.

OO

17. Ako je lim v/|an|= 2 , naći integral reda an(x + 2)ra i pomoćun—+oo ‘ —

n—0

Košijevog kriterijuma pokazatida je poluprečnik konvergencije dobijenogreda i?i = \ i odrediti interval konvergencije.

Rešenje:

Poluprečnik konvergencije datog reda je R = |.

/ E a"(x+ 2 )ndx =E / an(x + 2)ndx ~ E —= J n - 0 Z=ioJ t= o n + 1

= E ^ T ( - + 2r +1-n= 0

£ = n]i“ ^ - «1 v f e r = s - f = i Pa

Ri = R =

Interval konvergencije je I = (—2 — —2 + |) = (—|, —|).

OO

18. A koje lim i/|an|= | , naći integral reda an( x —'5)n i pomoću71—kOO ° * "

71=0

Košijevog kriterijuma odrediti poluprečnik konvergencije dobijenog reda.

. OO

19. Ako je lim v/lan| = t / 5 , naći integral reda T "' an(x + 2\/5)n i

n—+oo v* '

*n = l

pomoću Košijevog kriterijuma odrediti poluprečnik konvergencije dobi-

jenog reda.

oo

20. Ako je lim v/|an|= 1 , naći integral reda V ' n a „ (x + l) n ipomoćun— oo / .... J

n= 0

Košijevog kriterijuma odrediti interval konvergencije dobijenog reda.

21. Izvršiti naznačene operacije sa redovima / « = \ ' / OO \

E * / - x / ^ ( n + l)x n dx. Vn=0 / \n =0 )



18 2 K E D O V I F U N K C I J A

ReSenje: - / oo ' ' / OO

(IZ 21") “ * / ( 53(n + 3i)®B) x - Y ^ n x‘n 1_\ n * 0 / \ n= 0 / n = loo oo oo oo

= - 52 s"+2 = + l )xk - Y l xk =n=l n=0oo

—52 k xk + 1 + 2x.

fc=o fc= 2

fc=2

22. Izvršiti naznačene operacije sa redovima

f f ; £ Y + ( * 2 + 2 ) E ( n - l K .

\n=0 / n=0


2 x f52nxTl + J f 5](n!! “ dx-


n=0 ^ \n =l /

x a;n+1 =n=0 •



3 Ra z v oj f u n k đ j e u r e d 19

.3 Razvoj funkcije u red

1. Razviti u stepeni red funkciju g(x) — e2x i odrediti za koje vrednosti x

dobijeni razvoj važi.

Rešenje:

e2* _ f ' ( 2£ Tnl

n=0

x e IR.

2. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = sin f i odrediti za koje vrednosti x


3. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = ln (l+ 4x ) i odrediti za koje vrednosti

x dobijeni razvoj važi.

4. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = —- i odrediti za koje vrednosti1 — 5X


5. Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = cosx2.

Rešenje:

g(x) = cosx2 ( - l ) n(x2)2n - ' (2n)!

0 ' '

“ ( _ l )n x 4n

n=0 W i e R .

6. Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = ln j-j -—

7. Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = - - - „ .

8. Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = ex* + e-1 * .

9. Napisati Taylorov red za funkciju g(x) = ex u tački a = 1.

Rešenje:

Kako je p ^ (x ) = e*. to je

1),

n! = 1>“n=s=0

10. Napisati Taylorov red za funkćijug(x) = sin x u tački a = f .

11. Napisati Taylorov ređ za funkcijug(x) = e2x u tački a = 3 .

12. Napisati Taylorov red za funkcijug(x) = cosx u tački a = n .

13. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = x2 ln (l — 2x) i odediti za koje x

d bij i j ži




Rešenje:

7i=l n=l

2 2 n X n y , 2 n X n + 2

x 2~i n “ nn = l n = l

Eazvoj važi za|2x| < 1, tj. |*| < |.

14. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = -— — i odediti za koje x dobijeni1 —

razvoj važi.

15. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = x3e~x i odediti za koje x dobijeni

razvoj važi.

16. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = x l n ( l + x) — ----------- ------------- ------------- i1 4- x




2 .4 Sum i r aa j e r edov a 21

2.4 Sumiranje redova

°° 2n2 — 3n + 51. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda 2 _ , -----------------xn-

71=1

Rešenje:

p _ r a" _ r (n + l)(2n2- 3 n + 5) _

n - « a n+1 n(2(n + l )2 —3(n + 1) + 5)Kako za x — ±1 dobijamO brojne redove kod kojih opšti član ne teži nuli,

to zadati red konvergira za |rr| < 1.

£ x n = 2 X ) nx" - 3 £ > » + 5 £ ^ =n = l n = l n = l n = l

oo -^da: =

. w uu w -= 2a: na:”-1 —3 xn + 5 J xn~1>

\7l=0 / \7l=0 / J \fc=0 /

da: s

—2a:

(1 —x)2 1 —a:+ 3 —51n(l —x).

°° n2 — n + 12. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda — —— -— x n .

00

3. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda3 n l ± 4 _ _ i

4. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda ^— n2 + 2n

n + 1n=0

oo

5. Odrediti interval lconvergencije i naći sumu reda n2 _ n _ 2 ' n= 3

ReSenje:

R = lim - ^ - = lim (n + l ) 2 - n ~ 3 = 1n-+oo an+ i n—+00 fiz — Tl — 2

Za x = ±1 dobijamo brojne redove koji apsolutno konvergiraju (ct = 2)

pa zadati red konvergira za |x| < 1.„ , . 1 1 1 1 . 1 1 _

Kako Je n2 _ n _ 2 (n + l ) ( n - 2) 3 ' n - 2 3 ' n + l , t 0 j e

xn 1 x n l A i n _

n2 —n —2 — 3 n + 1 3 + ; n - 2 _71=3 n=3 n= 3




_ 1 Sn+1 X -2

3x n + 1 3

n=3

OO

En=3

xn~2

n — 2[ xndx ~ ^

3 'C n==3 3t j

n=3*'— X |dx

4 / e « ‘ - =

J k=0

= ' [ ( 1 i .

3x / \1 —x- X --F 2) dx ■

x 2 r dx

3 . / 1 - x -

= ' Ž ( - I n ( 1 - X ) -

X —

x £

Y ”

ć . ' 1 0

;

I I I

1_ /r*5

- 3x ln(1 * > -

1

3

X

6 “

X 1

T *

n~3dx —

ErZz'*

—=-----r.n 2 — 4n= 3

7. Odrediti iiiterval konvergencije i naći sumu reda71=0

8. Odrediti interval konvergeneije i naći sumu reda ^

n2 + 5n 4- 6 '

n x

n=2

oo

n=0

9. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda ^

Rešenje:

R = lim = .lim i ”, + + 1)\

n2 —1 ’

(n + (~ l)").-rn

TJ.!

n-+co a„+i 4-.00 (n + 1 + ( —l )n+1)n!

= iim (n + ( - 1); ^ ± f t = + oo71rr»0O n + 1 + . (--l)n+1

Dakle, dati red konvergira za svako i 6 E .

E n!

X « - 1

(n + (—l) n)a:n ^ a:n ( - l ) ni n

“ '„T -E b +E« E £ ^ En = 1 x '

( - x ) n

n!oo t. oo

— »a; —= xe + e"

n=0 fe=0 n=0

10. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda - > — “ t t *.

. (n ~ 1)1

°° ' /_ 2)n2.n-211. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda Y ----- — ------ .

*-—L n!n=2

“ (3n + (—2)n)xn 12. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda } ------------ ;----------.

z—' n!n= 0



.4 Sumi r aa j e r edova 23

o° a _ 3

13. Koristeći sumu reda sumU stepenog reda >-------

x n izračunati sumu

redan = l

Rešenje:

2n2 — 3

2"

r, ,• an ,. (n + l)( n 2 - 3 )R = lm r -------= lim —rr 1— ' — rr = 1.

n—oo an+i n-,oo n((n + 1)-* —3(n + 1))Kako za x = ±1 dobijamo brojne redove kod kojih opšti član ne teži nuli,to zadati red konvergira za jmj < 1.oo o o oo o° n

V — - xn = V n r " - 3 V - =" n “ n n=l n=l n=l

OU OU p

= x nz”-1 — 3 I x n~ l d x =

—X •31n(l —x).

(1 —x)2Posmatrani brojni red đobijamo kada u zadati stepeni red uvrstimo x —

pa jeJČL 9 n2 — 3 —- 1

E - ^ r - = - 31n(x - = - 2 + 31n2'( l - l ) 2

X n

14. Koristeći sumu reda sumu stepenog reda } —z — - izračunati sumu*—i n~ —1n=2

reda ' f ' „ ) . .^ 3n(n2 - 1 )

60 n + 115. Koristeći sumu reda sumu st'epenog reda --------xn izračimati sumu

n •5nn=0

n 316. Koristeći sumu reda sumu stepenog ređa ^ ^ izračunati sumu

reda f (ILZ3 .n=0

n=0



24 3 P R O VE R E Z N AN J A I D E O

3 Provere znanja I deo

3.1 Provera znanja iz Teorije redova I deo - 1

2n + l1. Za red 2 _ , -------napisati četvrti član reda i polcazati da dati red

n=2 n

divergira.

2. Za red ^ - izračunati treći člail niza parcijalnih suma i sumu

n=0

datog reda.

v/n — 33. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda V ' /

na —1

4. Pomoću Caychyevog kriterijuma pokazati da red ^ divergira.5n

+ + 2 n5. Pom oću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red 2_, ^ -[-1);

gira.

°° / _i\ n

6. Pokazati da red > V ; , j uslovno konvergira.

konver-



3 .2 Provera zaan j a i z Teo r i j e r edova I deo - 2 25


OO

1. Ako je y > n = - 1, dokazati da ostatak posmatranog brojnog reda teži

nuli.n=0

2. Zared E — — - napisati drugi član niza parcijalnih suma i pokazati

n=3 ^da dati red divergira.

°°^ /_^\n3. Za red V ' -— J — izračunati treći član reda i sumu datog reda.

n=0

4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju redaVnfi —5n2 + 1

En = 2

5. PomoćuKošijevogkriterijumaispitatidalired 2_ , — — konvergira.

n = l

00 gn—1

6. Pomoću Dalamberovog kriterijuma ispitati da li red V ] " v: konver-

gira.

n=0

°° (—i)n7. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda j T g— -g.



26 3 P R O V E R E Z N AN J A I D E O


1. Ako je

OO

n=0teži nuli.

2. Za red f ' ( - ! ) " :+—/ 3nn=0

3. Ža red2n - l

h l ~ n

izračuhati drugi člau reda i sumu datog reda.

da dati red divergira.

4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati lconvergenciju redaV n 3 —5n2+ 1

^ n271=* 2

oo

5. Pomoću

gira

j n + l

ću Dalamberovog lcriterijuma ispitati da li red V ' ----------- konver-

E 2n •n5--------- konver°ira

c n •o •

n = lOO / a

7. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda ^ ^ .n= 0



3 .4 P r over a znan j a i z Teo r i j e r edova I d eo - 4 27


1. Ako je 6„ = -4 , dokazati da ostatak posmatranog brojnog reda teži

nuli.n= 0

2. Za red ' P — — - napisati treći član niza parcijalnih suma i pokazati" 2 - 4n71=3

2 —4n


- 1

3"3. Za red ' P -— — izračunati četvrti član reda i Sumu datog reda.

3nn=0

4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda

v - ' V n 6 7 —5n3 + 12 -7 ^471=2

3" •n35. PomoćuKošijevogkriterijumaispitatidalired ^ — konvergira.

n = l

3n“6. Pomoću Dalamberovog kriterijuma ispitati da li red konver-

n= l ' '*

gira.

00 / _i\n

7. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda ]P 5 n + 4 '



28 3 P R O V E R E Z N AN J A I D E O

OO

1. Ako je ^ bn = —1, dokazati da opšti član posmatranog brojnog reda

3.5 Provera znanja iz Teorije redova I deo — 5

n=0teži nuli.

2. Za red ^ -n • izračunati treći član reda i sumu datog reda.n=o 4

3. Za red -— — napisati Četvrti član niza parcijalnik suma i poka-1 -s- 3n

n=s2

zati da dati red divergira.4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda

Vn 5 —5n2 + 1£ •

2

3 n +l5. Poriioću Dsdamberovog kriterijuma ispitati da li red ------— konver-

^ ( n~ 2)‘gira.

6. Pomoću Košijevog kriterijuma ispitati da li red

7. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda

E 3n n57n

konvergira.

OO

E(~i)n_2n —3 ’



3 .6 Provera znan j a i z Teor i j e r edova I deo - 6 29

3.6 Provera znanja iz Teorije redova I deo — 6

OO

1. Ako je ^ 2, = —3, dokazati da ostatak posmatranog brojnog reda težin=0

nuli.

2. Zared V ' ----— napisati drugi član niza parcijalnih suma i pokazati*—{ 1 —3nn=l


3. Za red

n=0

( ~ i ) n

2nizračunati peti član reda i sumu datog reda.

4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju redaf l . v /n45 —5n2 + 1

n 6n—1

°° j n . n35 . PomoćuKošijevogkriterijumaispitati da lire d 2_ , — — konvergira.

6. Pomoću Dalamberovog lcriterijuma ispitati da li red^ 4n_1

^ ( n + 2)!

gira.

konver-

7. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda( - 1)"

2 -> 4n + 5 ’n = 0



30 4 P R O V E R E Z N AN J A I I D E O

4 Provere znamja II deo

4.1 Provera znanja iz Teorije redova II deo — 1

1. Fokazati da red f ) s i n ( 2 n a : )

n«*ln2 + 1

uniformno konvergira za svako x € R.

9*^ | 3^2. Ođrediti oblast konvergencije reda 2_, gn ' •

n «0

3. Izvršiti naznačene operacije s redovima 2 y ^ ( n - l )x "~ 2-5 y ^ (2—r i )xn

n=3 n=»0

4. Razviti u red funkciju x 2 ln( l + 4x ) i odrediti za koje x dobijeni razvoj

važi.

5. Naći sumu reda V ' — -----a:71i nn—1

\x\ < 1.



4 .2 Pr over a znan j a i z Teor i j e r edova ITd eo - 2 31

4.2 Provera znanja iz Teorjje redova II deo —2

1. Ako je limOn+l

an = 3 dokazati da je poluprečnik konvergencije izvoda

stepenog reda anxn jednakn=o «

2. Pokazati da red V ' n s*D^ n^ uniformno konvergira za svako x 6 R.n3 + 3a;2

3. Razviti u red funkciju f ( x ) =2a;4

1 + f

i određiti za koje x dobijeni razvoj

vazi.

4. Naći sumu reda ~ ~ —~*ni I1! < 1



32 4 P R O V E R E Z N A N J A U D E O

4.3 Provera znanja iz Teorije redova II deo —3

1. Akoje limOn+l

OO

stepenog reda JD o „x ” jednak 3.n=0

oo 2

= 3 dokazati da je poluprečnik konvergencije integrala

E rr cos(3n x) .. j • uniformno konvergira za svako x e

R.n=l

3. Razviti u red funkciju f ( x ) —

važi.4

3x“

1 + 1i odfediti za koje x dobijeni razvoj

4. Naći sumu reda - — ^ —xn , |a:| < 1.

n =l



4 .4 Provera znan j a i z Teo r i j e r edova H deo - 4 33

4.4 Provera znanja iz Teorije redova II deo —4

1. Ako ie limn—*co

On+1 = 4 dokazati da je poluprečnik konvergencije izvoda

stepenog reda a7i£n jednalcn=0

2. Pokazati da red V ' rcsm^n s) uniformno konvergira za svako x € R . n 4 + 4x4

n=l

3x3 •3. Razviti u red funkciju / ( z ) = ^ i odrediti za koje x dobijeni razvoj

oo ^

4. Naći sumu reda V ' --------- x n , |cc| < 1.n

n=l



34 4 P R O V ER E Z N A N J A I I D E O

4.5 Provera znanja iz Teorije redova II deo - 5

^n-fl

1. Akoje lim On00


stepenog reda Y jednak - .n=o 2

suif 2tw)2. Pokazati da red "g ~-~g~~2" uniformno konvergira za svako x 6 R .

Tl=l

2z23. Razviti u red fimkciju / ( s ) = - •••••g i odrediti za koje x dobijeni razvoj

1 + f

vazi.

4. Naći sumu reda - — ^ —xn , |x[ < 1.

n * l



0 /><

4 .6 P r over a znan j a i z Teo r i j e r edova H deo - 6 35

4.6 Provera znanja iz Teorije redova II deo - 6

°n1. Akoje lim

On+l00

stepenog rsda £ an£n jednak 2.


n»0

2. Pokazati da red ^ Wg°S uniformno konvergira za svako x e R.

n = l

5x23. Razviti u red funkciju f ( x ) = —— i odrediti za koje x dobijeni ražvoj

* "T*

4. Naći sumu reda ^ ^sn, |a:|< 1.



t

36 5 Z A D A C I S A K O L O K V U U M A

5 Zadaci sa kolokvijuma

5.1 Kolokvijum iz Teorije redova 1

2n1. Za red jT , gn _ 2 napisati peti čian reda, treći član niza parcijalnili

n«lsuma i pokazati da dati red divergira.

2. Pomoću Dalamberovog kriterijuma ispitati da li red --------konvergira.„ n — 1n=2

°° f—i j «3. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda > -— .

oo oo

4. IzvrSiti naznačene operacije s redovima 2 ( n —l)a:n — 5 ( 2 —n)a:n

n« l n=0

X 5. Razviti u red funkciju f ( x ) = - - ^ i odrediti za koje x dobijeni razvoj

•raži.

6. Naći sumu reda V ' ~*~ a;n, |x| < 1.n.

ii



5.2 Ko l o k v i j um i z T eor i j e redova 2 37


1. Za red T ' - — — napisati šesti član reda, treći član niza parcijalnihn=l

suma i pokazati da dati red divergira.

0°

2. Pomoću Caychyevog lcriterijuma pokazati da red — konvergira.n =l

.. . ^ ( _ i) «3. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda / ;

OO OO

4. Izvršiti naznačene operacije s redovima 3 (n + l) x n - 2 (1 - n ) xn n=1 n=0

X2 . . . . . . .5. Razviti u red funkciju f ( x ) — _ ' g ” i odrediti za koje x dobijeni razvoj

važi.

° °'r—, 3 —2 n , | ^6. Naći sumu reda 2_ , — ~— x > l1 '

n=l

\



38 5 Z A D A C I S A K O L O K V I J U M A


°°^ / _n\n

1. Za red • ' • izračunati treći član reda i sumu datog reda.n—0

n —12. Za red ^ naPisati treći član niza parcijalnih suma i pokazati

ns3da dati red divergira.

OO O

3. Pomoću Košijevog kriterijuma ispitati da li red V J — konvergira.

n=2

V '' (—l ) n4. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda > -— — .' n + 5

71=0

5. Razviti u red funkciju f ( x ) = x 2 ln(l —2a;) + -— — i odrediti za koje x 1 — 3 i


6. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu redan



5 .4 Ko l o k v i j m n i z T eor i j e ređova 4 39


/ l ) n

1. Za red V"' -— — napisati peti 51an reda, treći član niza parcijalnih

n =lsuma i odrediti sumu datog reda.

_2. Pomoću Košijevog kriterijum'a ispitat-i da li red ^ konvergira.

n « 2

E n!— konver-

na*l

gira.

( - i ) n4. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda ^

nsO

5. Izvršiti naznačene operacije s redovima 2 T^(n —l)a:n —5 J^ (2 —n)xn

n « l n=0

6. Razviti u red funkciju x2e2x i odrediti za koje x dobijeni razvoj važi.

— •t + 2

n =l

7. Naći sumu reda ---------xn_1, |x| < 1.n



40 5 Z A D A C I S A K O L OK V J J U M A


( _ i ) n2n

1. Za red napisati treći član niza parcijalnih suma i izra-n= o . d

čuuati sumu reda.

2. Ispitati da li red ------ - konvergira pomoću

71=0

a) Košijevog kriterijuma

b) Dalamberovog kriterijuma

3. Pokazati da red uniformno konvergiraza svako x e R.

n=ssl

3x24. Razviti u red funkciju f ( x ) = ........... i odrediti za koje x dobijeni razvoj

1 T"važi.

oo

5. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda n(2x + l ) n.

n = l



5 .6 K o l o k v i j um i z Teor i j e r edo v a 6 41


1. Za red ^ — napisati drugi član niza parcijalnih suma i izra-n 5"n=0

čunati suniu reda.

-

2. Ispitati da li red 71

n=o 2a) Dalamberovog kriterijuma

b) Košijevog kriterijuma

konvergira pom oću

3. Pokazati da red

R.

E°° Vn? cos(nx )

x2 + n s n=l

uniformno konvergira za svako x G

4. Razviti u red funkciju / ( x ) =

važi.

2x3

l + 2xi odrediti za koje x dobijeni razvoj

OO

5. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda ^ n ( 2 x - l ) n.

n=0



42 5 Z A D A C I S A K O L O K V U U M A


°° / _

2"\n1. (2 b o d a )Z a r e d 5 3 napisati treći član reda i izračunati sumu

reda.n=0

Vr f i - 2n + 3 ,2. (3 b od a ) Ispitati da li red 2_^-------- 2-------- konvergira

n =l

00

E 7T2 ^ 3 konvergira45

• n » l

4. (4 b od a ) Razviti u red funkciju f { x ) = ^ i odrediti zako je x dobijeni

razvoj važi.

OO

5. (8 bod a ) Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda ^ n (2 x + l)n.

n=0



5 .8 Ko l o k v i j um i z Teor i j e r ed o v a 8 43


(—3)"1. Za red napisati drugi član reda i izračunati sumu reda.

n=0

2. Ispitati da li red ^ 2n + 3 j50]1vergira

n=l

” 3"+i3. Ispitati da li red ------- konvergira

2 / 4. Razviti u red funkciju f ( x ) = - — — i odrediti za koje x dobijeni razvoj

važi.

5. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda ^ n(3x — 1)".

n=Q



44 6 ZA D AC I SA P ISMENI H I SP IT A

6 Zadaci sa pismenih ispita

6.1 Pismeni iz Teorije redova 1

, A ^ . ( n - 3 \ "1. Ako je n-ta parcijalna suma ređ 2^, °n data izrazom sn = ( - I ,

odrediti treći član. reda, izračunati sumu datog reda i odrediti lim an .« —foo

, , , sin n n \ /n3 + 3n2 ,2. Ispitati da h red > --------7 = = 5 ------ konvergira

v n “ 2

3. Razviti u red funkciju f { x ) = (a: + l ) l n ( l - - ) , odrediti za koje x dobijeni

, , . . A 2n - lrazvoj važi i pomou dobijenog rezultata lzracunati 2__, n (n _ ^ ^ n '

4. Odreditioblastkonvergencijeinaćisumureda (3-'c-2)n.' l n* "1“ Zn T*



6 .2 P i smen i i z Teo r i j e redova 2 45

6.2 Pismeni iz Teorije redova 2

" (—2)n_11. Za red ^ ..napisati treći član niza parcijalnih suma, pokazatin=0

na osnovu Košijevog i Dalamberovog kriterijuma da dati red konvergira i

izračunati njegovu sumu.

„ T -i. j v j V2, v'n5 - 2n + 3 - 3n22. Ispitati da li red > — a......— konvergira

^ v n 8 — 5n6 + 5

3. Eazviti u red funkciju f ( x ) = x s ln (l —5x), odrediti za koje x dobijeni

razvoj važi i pomou dobijenog rezultata izračunati ^

n»>i n

OO

4. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda —------(2x + l )n .“ n2 —1n® 2

Documents

FTN - Zbirka Zadataka Iz Teorije Redova