PRIMJENA FOURIEROVIH REDOVA U RJEŠAVANJU PARCIJALNIH

DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI

Seminarski rad

Nataša Nikl

Zagreb, svibanj 2011.

SADRŽAJ UVOD Fourierovi redovi Parcijalne diferencijalne jednadžbe

OPĆI DIO Titranje žice Titranje membrane

ZAKLJUČAK

UVOD-Fourierovi redovi

Razvio ih francuski fizičar i matematičar Joseph Fourier (1768-1830).

Rastavljaju periodnu funkciju na zbroj jednostavnih funkcija, sinusa i kosinusa.

Najvažniji alat za rješavanje problema koji uključuju obične i parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Za funkciju f(x) kažemo da je periodna ako je definirana za sve realne x i ako postoji neki pozitivan broj T takav da je

(1)

za sve x. Broj T se tada naziva period od f(x). Iz izraza (1) proizlazi, da za bilo koji cijeli broj n vrijedi:

za svaki x, tako da je svaki višekratnik nT (n≠0) od T, također period funkcije.

Poznati primjeri periodnih funkcija su sinus i kosinus funkcije.

( ) ( )f x T f x

( ) ( )f x nT f x

01

cos sinn nn

f x a a nx b nx

01

( ) cos sinn nn

f x dx a a nx b nx dx

01 ( )2

a f x dx

Slično se određuju koeficijenti a1, a2…Pomnožimo izraz (2) s cosmx, gdje je m bilo koji pozitivni cijeli broj, te integriranjem od –π do π dobijemo:

(4)

Integriranjem član po član dobijemo:m=1,2,… (5)

Na kraju, određujemo b1, b2,…iz izraza (2). Ako pomnožimo (2) sa sin mx, gdje je m određeni pozitivni cijeli broj, integriranjem od –π do π dobijemo:

(6)

Integriranjem član po član na kraju dobijemo:m=1,2,…

01

( ) cos cos sin cosn nn

f x mxdx a a nx b nx mxdx

1 ( )cosma f x mxdx

01

( )sin cos sin sinn nn

f x mxdx a a nx b nx mxdx

1 ( )sinmb f x mxdx

Zamjenom n umjesto m, dobijemo tzv. Eulerove formule:

(a)

n=1,2,.. (b) (7)

n=1,2,… (c)

Za periodnu funkciju f(x) sa zadanim periodom 2π možemo izračunati koeficijente an i bn te formirati trigonometrijski red:

a0+a1 cosx+b1 sinx+…+an cosnx+bn sinnx+…

Ovaj red se tada naziva Fourierov red funkcije f(x), a odgovarajući koeficijenti dobiveni iz (7) nazivaju se Fourierovi koeficijenti funkcije f(x).

01 ( )2

a f x dx

1 ( )cosna f x nxdx

1 ( )sinnb f x nxdx

UVOD-Parcijalne diferencijalne jednadžbe

Jednadžba koja obuhvaća jednu ili više parcijalnih derivacija (nepoznate) funkcije od dviju ili više nezavisnih varijabli.

Red najveće derivacije predstavlja red jednadžbe. Primjeri nekih važnijih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi su:

u uJednodimenzionalna valna jednadžba: c ( ) t xu uJednodimenzionalna toplinska jednadžba: c ( ) t x

Dvodimenzionalna Laplaceova

2 22

2 2

22

2

1

2

u u jednadžba: ( ) x yu uDvodimenzionalna Poissonova jednadžba: f ( x,y) (4) x yu u uTrodimenzionalna Laplaceova jednadžba: (5x y z

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

0 3

0 )

Parcijalna diferencijalna jednadžba je linearna ako je prvog stupnja zavisne varijable i njenih parcijalnih derivacija.

Ako svaki izraz takve jednadžbe sadrži ili zavisnu varijablu ili jednu od njezinih derivacija, jednadžba je u tom slučaju homogena, a u suprotnom slučaju nehomogena.

Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe u nekoj domeni R prostora nezavisnih varijabli je funkcija koja ima sve parcijalne derivacije koje se pojavljuju u jednadžbi i zadovoljavaju jednadžbu bilo gdje u domeni R.

Ukupan broj rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe općenito je vrlo velik.

Jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe koje odgovara danom fizikalnom problemu bit će dobiveno upotrebom dodatnih informacija koje proizlaze iz fizikalnog problema.

Na primjer, u nekim slučajevima će biti zadane vrijednosti traženog rješenja na granicama neke domene („rubni uvjeti“); u drugim slučajevima kada je vrijeme t jedna od varijabli, vrijednosti rješenja u slučaju kada je t=0 biti će zadane („početni uvjeti“).

Ako je obična diferencijalna jednadžba linearna i homogena, znamo da tada iz poznatog rješenja možemo superpozicijom dobiti daljnja rješenja. Slično vrijedi i za homogenu linearnu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu, odnosno vrijedi sljedeći teorem:Temeljni teorem 1. Ako su u1 i u2 neka rješenja linearne homogene parcijalne diferencijalne jednadžbe u nekom području, tada je

gdje su c1 i c2 konstante, također rješenje te jednadžbe na tom području.

1 1 2 2u c u c u

OPĆI DIO-Titranje žiceJednodimenzionalna valna jednadžba

Prvi važan primjer parcijalne diferencijalne jednadžbe bit će izvod jednadžbe malih poprečnih titraja elastične žice koja je rastegnuta na duljinu l i učvršćena na krajevima.

Pretpostavimo da je žica iskrivljena i u jednom trenutku, recimo t=0, puštena da titra. Problem je odrediti titranje žice, tj. naći njeno vertikalno odstupanje u(x,t) u nekoj točki x i u nekom vremenu t (slika 1.)

Slika 1. Titrajuća žicaPretpostavke:1. Masa žice po jedinici dužine je konstanta («homogena žica»).

Žica je savršeno elastična i ne pruža nikakav otpor savijanju.2. Napetost uzrokovana rastezanjem žice prije učvršćivanja na

krajnjim točkama je tako velika da se utjecaj gravitacijske sile na žicu može zanemariti.

3. Gibanje žice je malo poprečno gibanje u vertikalnom smjeru, odnosno, svaka čestica žice giba se strogo okomito, te odstupanje i nagib na bilo kojoj točki žice su mali u apsolutnoj vrijednosti.

Kako bismo dobili diferencijalnu jednadžbu razmatramo sile koje djeluju na mali dio žice (Slika 1.). Kako nema kretanja u horizontalnom smjeru, horizontalne komponente napetosti moraju biti konstante, pa zaključujemo:

(1)T1 i T2 su napetosti na krajnjim točkama P i Q od promatranog dijela žice.U vertikalnom smjeru imamo dvije sile: -T1cosα i T2cosβ od T1 i T2; predznak minus se pojavljuje jer je komponenta u točki P usmjerena prema dolje. Prema drugom Newtonovom zakonu rezultanta tih dviju sila jednaka je :

Koristeći (1) dobivamo:

(2)

1 2cos cos .T T T const

2

2 1 2sin sin uT T xt

22 1

22 1

sin sintan tan

cos cosT T x uT T T t

tanα i tanβ su nagibi zavoja žice u x i ∆x, odnosno:i

U ovom slučaju moramo pisati parcijalne derivacije budući da u ovisi i o t. Dijeleći (2) s ∆x dobivamo:

Ako pretpostavimo da ∆x teži nuli, dobivamo linearnu homogenu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu:(3)

Dobivena jednadžba je takozvana jednodimenzionalna valna jednadžba.

tanx

ux

tan

x x

ux

2

2

1

x x x

u u ux x x T t

2 22

2 2

u uct x

2 Tc

Separacija varijabli (metoda produkta)

Titranje elastične žice, kao što smo vidjeli u odlomku prije, može se opisati jednodimenzionalnom valnom jednadžbom

(1)

gdje je u(x,t) otklon žice. Kako je žica učvršćena na krajevima x=0 i x=l, imamo dva rubna uvjetau(0,t)=0, u(l,t)=0 za svaki t. (2)

Način gibanja žice ovisit će o početnom otklonu (otklon pri t=0) i početnoj brzini kretanja (brzina pri t=0). Označavanjem početnog otklona s f(x) i početne brzine s g(x), dobivamo dva početna uvjetau(x,0)=f(x) (3)

(4)

2 22

2 2

u uct x

0

( )t

u g xt

Korak 1. Koristeći metodu separacije varijabli dobit ćemo dvije obične diferencijalne jednadžbe, a navedena metoda daje rješenja (1) u obliku:

u(x,t)=F(x)G(t) (5)koja su produkti dviju funkcija, a svaka ovisi samo o jednoj varijabli x, odnosno t.

(6)

i (7)

0F kF

2 0G c kG

Korak 2. Sada ćemo odrediti rješenja onih jednadžbi koje zadovoljavaju rubne uvjete,tj. rješenja F i G iz (6) i (7) tako da u=FG zadovoljava (2). Stoga, funkcije raspisano

(n=1,2,…)

su rješenja početne jednadžbe (1) koja zadovoljavaju zadane rubne uvijete (2). Ove funkcije nazivaju se svojstvene ili karakteristične funkcije, a vrijednosti se nazivaju svojstvenim ili karakterističnim vrijednostima titrajuće žice. Skup vrijednosti 1, 2,…se naziva spektar.

( , ) ( cos *sin )sinn n n n nnu x t B t B t xl

( , ) ( ) ( )n n nu x t F x G t

/n cn l

Korak 3. Dobivena rješenja jednadžbi bit će sastavljena tako da rezultat bude rješenje jednadžbe vala (1), zadovoljavajući također zadane početne uvjete, stoga promatramo beskonačni red:

(8)

Iz gore navedenog reda te iz (3) slijedi da je (9)

Da bi jednadžba (8) zadovoljila početni uvjet (3), koeficijenti Bn moraju biti izabrani tako da u(x,0) postane poluperiodno proširenje reda od f(x), koji se naziva Fourierov sinusni red od f(x)

n=1,2,.. (10)Slično, diferenciranjem (8) po t, te koristeći uvjet (4) dobivamo

=

1 1

( , ) ( , ) ( cos *sin )sinn n n n nn n

nu x t u x t B t B t xl

1

( ,0) sin ( )nn

nu x B x f xl

0

2 ( )sinl

nn xB f x dx

l l

10 0

( sin * cos )sinn n n n n nnt t

u n xB t B tt l

1

* sin ( )n nn

n xB g xl

Kako bi (8) zadovoljila početni uvjet (4), koeficijent da za t=0, postane Fourierov sinusni red od g(x).

ili, kako je imamo:n=1,2,… (11)

Slijedi da je u(x,t) rješenje početne jednadžbe (1) koje zadovoljava rubne i početne uvjete pod uvjetom da red (8) konvergira i da konvergiraju redovi dobiveni diferenciranjem (8) dvaput (po članovima) s obzirom na x i t te da imaju sume i

koje su neprekidne.Dakle, rješenje (8) je čisto formalni izraz i tek ga trebamo potvrditi. Zbog jednostavnosti razmatramo samo slučaj kada je početna brzina g(x)=0. Tada je =0 i izraz (8) se reducira u oblik

*

0

2 ( )sinl

n nn xB g x dx

l l

/n cn l

*

0

2 ( )sinl

nn xB g x dx

cn l

2

2

ux

2

2

ut

*nB

, (12)

Moguće je sumirati red tj.,napisati ga u konačnoj ili zatvorenoj formi, koristeći:

Stoga, izraz (12) možemo pisati u obliku

Gornja dva reda dobivena su zamjenom x – ct i x + ct varijablom x u Fourierovom sinusnom redu (9) za f(x) pa je:

(13)gdje je f* neparno periodno proširenje f sa periodom 2l.

1

( , ) cos sinn nn

n xu x t B tl

ncnl

1cos sin sin sin2

cn n n nt x x ct x ctl l l l

1 1

1 1( , ) sin sin2 2n nn n

n nu x t B x ct B x ctl l

* *1( , )2

u x t f x ct f x ct

Budući da je f(x) neprekidna na intervalu 0 ≤ x ≤ l i nula u krajnjim točkama, slijedi iz (13) da je i u(x,t) neprekidna za sve vrijednosti obiju varijabli x i t. Diferenciranjem (13) vidimo da je u(x,t) rješenje od (1) ako je f(x) dvostruko diferencijabilna na intervalu 0<x<l i ima jednostrane druge derivacije u x=0 i x=l, koje su jednake nuli. Uz ove uvjete u(x,t) je rješenje od (1) koje zadovoljava rubne i početne uvjete.

Ako su f‘(x) i f“(x) samo djelomično neprekidne ili ako jednostrane derivacije nisu nule, tada će za svaki t postojati konačno mnogo vrijednosti od x za koje druga derivacija od u na postoji. Osim u tim točkama valna jednadžba će biti zadovoljena, a u(x,t) možemo smatrati rješenjem problem u širem smislu.

D'Alembertovo rješenje valne jednadžbeRješenje (13) možemo odmah dobiti transformacijom jednadžbe

(1): (1)

u prikladan oblik, točnije uvodeći nove nezavisne varijable:, (2)

Na taj način u postaje funkcija od v i z, a derivacije u (1) se mogu izraziti u obliku derivacija s obzirom na v i z upotrebom lančanog pravila. Iz (2) vidimo da je vx=1 i zx=1, zato:

2 22

2 2

u uct x

2 Tc

v x ct z x ct

x v x z x v zu u v u z u u

Primjenom lančanog pravila na desnoj strani dobivamo

Kako je vx=1 i zx=1, izraz postaje:

Druga derivacija u (1) se transformira istom procedurom, a rezultat je

Ubacivanjem ovih dvaju rezultata u (1) dobivamo(3)

Integriranjem ove jednadžbe po z dobijemo:

gdje je proizvoljna funkcija od v. Integriranjem ovog izraza po v dobivamo:

( ) ( ) ( )xx v z x v z v x v z z xu u u u u v u u z

2xx vv vz zzu u u u

2 ( 2 )tt vv vz zzu c u u u

2

0vzuuv z

( )u h vv

Gdje je proizvoljna funkcija od z. Pošto je integral funkcija od v , recimo , rješenje u je u obliku

.Zbog (2) možemo pisati

(4)Ovo je poznato kao d' Alembertovo rješenje valne jednadžbe (1). Funkcije i mogu biti određene iz početnih uvjeta.

( ) ( )u h v dv z ( )z

( )v( ) ( )u v z

( , ) ( ) ( )u x t x ct x ct

TITRANJE MEMBRANE Dvodimenzionalna valna jednadžba• Sljedeći važan primjer parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

predstavlja titranje membrana. Kao i u slučaju titranja žice, i u ovom slučaju moramo postaviti neke važne pretpostavke, a one glase:

1. Masa membrane po jedinici površine je konstantna («homogena membrana»). Membrana je savršeno elastična i tako tanka da ne pruža nikakav otpor savijanju.

2. Membrana je napeta i učvršćena duž cijele njene granice u ravnini xy. Napetost membrane po jedinici duljine T, uzrokovana rastezanjem membrane, jednaka je u svim točkama i u svim smjerovima te se ne mijenja tijekom titranja.

3. Otklon, u(x,y,z), membrane tijekom titranja je malen u usporedbi s veličinom membrane, a svi kutovi nagiba su maleni.

Iako ove pretpostavke ne mogu biti realizirane u praksi, mala transverzalna titranja tanke fizičke membrane će zadovoljiti ove pretpostavke sa zadovoljavajućom točnošću. Da bismo izveli diferencijalnu jednadžbu koja opisuje gibanje membrane, razmatramo sile koje djeluju na malim dijelovima membrane (Slika 1.).

Slika 1. Titrajuće membrane.

Kako su otklon membrane i nagibi kutova mali, stranice isječka membrane su jednake ∆x i ∆y. Napetost T je sila po jedinici duljine, stoga su sile koje djeluju na rubovima isječka približno jednake T∆x i T∆y . Budući da je membrana savršeno fleksibilna, ove sile su tangente na membranu.

Horizontalne komponente sila dobivene su množenjem sila s kosinusom kuta otklona. Kako su ti kutovi mali, njihovi kosinusi su približno jednaki 1 pa su horizontalne komponente sila na suprotnim stranama približno jednake. Tako će gibanje dijelova membrane u horizontalnom smjeru biti zanemarivo maleno. Iz ovoga zaključujemo da se membrana giba transverzalno, tj. svaki djelić membrane se giba vertikalno.

Definiranjem vertikalnih komponenti, njihovih rezultanti, općenito izvodom sličnim kao u slučaju titrajuće žice dobije se jednadžba koja opisuje gibanje membrani, a ona glasi:

(1)

Jednadžba (1) naziva se dvodimenzionalna valna jednadžba.

2 2 22

2 2 2

u u uct x y

2 Tc

Postavljanjem rubnog uvjeta:u=0 na rubu membrane za sve t ≥ 0, (2)

te početnih uvjeta:i (3)(4)

slično kao u slučaju titranja žice, u tri koraka dolazi se do rješenja jednadžbe (1). Kako bi se dobilo rješenje koje zadovoljava početne uvjete (3) i (4), za razliku od titrajuće žice kada su se razmatrali jednostruki redovi, razmatraju se dvostruki redovi:

(5)

Konačno rješenje pokušavamo dobiti zbrajanjem beskonačno mnogo karakterističnih rješenja.

( , ,0) ( , )u x y f x y

0

( , )t

u g x yt

*

1 1 1 1

( , , ) ( , , ) ( cos sin )sin sinmn mn mn mn mnm n m n

m x n yu x y t u x y t B t B ta b

Iz gornje jednadžbe i iz jed. (3) dobivamo:(6)

Ovi redovi se nazivaju dvostruki Fourierovi redovi.Ako pretpostavimo da se f(x,y) može razviti u takav red, tada dolazimo do opće Eulerove formule za Fourierove koeficijente za f (x,y), u dvostrukim Fourierovim redovima:

m=1,2,…,n=1,2,…, (7)

Deriviranjem izraza (5) po t, i koristeći (4) dobivamo:

(8)

1 1

( , ,0) sin sin ( , )mnm n

m x n yu x y B f x ya b

0 0

4 ( , )sin sinb a

mnm x n yB f x y dxdy

ab a b

*

1 10

sin sin ( , )mn mnm nt

u m x n yB g x yt a b

Ako pretpostavimo da funkcija g(x,y) može biti razvijena u dvostruke Fourierove redove, tada dobivamo:

m=1,2..,n=1,2,… (9)

Rezultat je takav, da bi jednadžba (5) zadovoljila početne uvjete, koeficijenti i moraju biti izabrani prema izrazima (7) i (9).

*

0 0

4 ( , )sin sinb a

mnmn

m x n yB g x y dxdyab a b

ZAKLJUČAK Kao što je ranije spomenuto, Fourierov red je jedan od

najvažnijih alata za rješavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.

U ovom radu naglasak je bio pokazati, na konkretnim primjerima, primjenu Fourierovog reda pri rješavanju parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Detaljno je bio prezentiran primjer titrajuće žice koji se inače može opisati jednodimenzionalnom valnom jednadžbom, a do čijeg rješenja smo došli pomoću Fourierovih redova.

Fourierovi redovi nalaze brojne primjene u elektroinženjerstvu, vibracijskim analizama, akustici, optici, te brojnim drugim mjestima a ovim radom pobliže je opisana jedna od spomenutih primjena.

HVALA NA PAŽNJI!