Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik 363

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014

ISSN : 0853-0823

Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik

Desman P. Gulo dan Suryasatriya Trihandaru Program Studi Pendidikan Fisika dan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro No.52–60 Salatiga 50711, Jawa Tengah-Indonesia, telp (0298) 321212

192010022@student.uksw.edu

Abstrak – Salah satu karakteristik material zat padat dapat diperoleh dengan penentuan kapasitas panasnya. Kapasitas

panas berdasarkan konsep fisika klasik akan mengikuti hukum Dulong-Petit. Berdasarkan fisika modern ada dua model

kapasistas panas yaitu model Einstein dan model Debye. Makalah ini akan membahas tentang penurunan kapasitas

panas pada kristal monoatomik menggunakan model Debye. Model Debye yang biasa ditemukan dalam buku teks fisika

umumnya menggunakan relasi dispersi pada medium kontinyu. Jika relasi ini diterapkan pada model kristal monoatomik

maka tidak dapat diperoleh penyelesaian persamaan secara analitik. Perhitungan frekuensi Debye diperoleh dengan

penentuan akar persamaan menggunakan metode belah dua (bisection), sedangkan penyelesaian integral menggunakan

aturan trapesium. Makalah ini menyajikan hasil simulasi numerik penentuan kapasitas panas untuk logam aluminium.

Kata kunci: model Debye untuk kapasitas panas, kristal monoatomik, metode belah dua, aturan trapesium

Abstract – One of the solid state material characteristics is determined by its heat capacity. Heat capacity, according to

classical physics, will follows the law of Dulong-Petit. According to modern physics there are two noted models, Einstein

and Debye models. This paper will discuss the decrease of Debye model for heat capacity using monoatomic crystals.

Debye model which commonly found in the Physics text books is using dispersion relation for continuous medium. When

monoatomic crystals model is applied, the equation cannot be solved analytically. The calculation of Debye frequency is

solved using bisection method for finding roots, while the integral operation is solved using trapezoidal rule. This paper

presents the numerical simulation for aluminum metal.

Keywords: Debye model for heat capacity, monoatomic crystals, bisection method, trapezoidal rule

I. PENDAHULUAN

Salah satu sifat penting dari material sebuah benda

padat adalah panas. Sifat panas, perpindahan panas dan

perlakuan panas mempunyai dampak pada material benda

padat tersebut [1]. Sifat panas tersebut salah satunya

adalah kapasitas panas. Kapasitas panas merupakan

banyaknya panas ∆� yang diperlukan untuk menaikan

suhu ∆� suatu zat. Kapasitas panas di bagi menjadi dua

bagian, yakni kapasitas pada tekanan tetap (Cp) dan

kapasitas panas pada vulome tetap (Cv). Salah satu dasar

teori tentang kapasitas panas volume tetap adalah

kapasitas panas Debye yang diturunkan dari fungsi energi

sistem osilator harmonik kuantum dan rapat keadaan.

Pada persamaan model Debye dengan tinjauan kristal

monoatomik, penyelesaian integrasinya tidak dapat

diselesaikan secara analitik.

Dalam penelitian ini, dilakukan metode numerik untuk

memecahkan integrasi model Debye tersebut. Oleh sebab

itu, tujuan penelitian ini adalah untuk mensimulasikan

profil kapasitas panas benda padat yang diasumsikan

terbentuk dari kristal monoatomik.

II. KAJIAN PUSTAKA

I. Kapasitas Panas

Sejumlah panas yang diperlukan per mol zat untuk

menaikkan suhunya disebut kapasitas kalor. Bila

kenaikan suhu zat ∆�, maka kapasitas panas adalah [2]:

T

QC T

v∆

∆= (1)

Jika proses penyerapan panas berlangsung pada

volume tetap Cv, maka panas yang diserap sama dengan

peningkatan energi dalam zat. ∆Q = ∆E, dengan E

merupakan energi dalam. Dalam hal ini persamaan

Kapasitas panas Cv menjadi:

dT

TdE

T

TEvC =

∆

∆= (2)

Kapasitas panas memiliki kapasitas spesifik Cv yang

besarnya pada suhu tinggi mendekati nilai 3R dengan R

menyatakan tetapan gas umum. Secara matematis dapat

ditulis [2]:

(3)

Menurut Dulong-Petit (1820), Cv hampir sama untuk

semua material yaitu 6 cal/mole K.

II. Kapasitas Panas Debye

Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar

secara terisolasi dari atom di sekitarnya. Anggapan ini

jelas tidak dapat diterapkan karena gerakan atom akan

saling berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Hal ini

seperti pada kasus penjalaran gelombang mekanik dalam

zat padat. Oleh karena itu, rambatan gelombang

menyebabkan atom-atom akan bergerak kolektif.

Frekuensi � getaran atom bervariasi dari � � 0 sampai

dengan � � ��. Batas frekuensi �� disebut frekuensi

potong Debye. Menurut model Debye, energi total E

getaran atom pada kisi diberikan oleh [3]:

60,53 === RdT

dEC

v

v Kmolecal 0/

364 Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014

ISSN : 0853-0823

∫=D

dgE

ωωωωε

0

)()( (4)

)(ωε merupakan energi rata-rata osilator seperti pada

model Einstein sedangkan )(ωg adalah rapat keadaan.

Nilai energi rata-rata dapat di tulis [1]:

1/

1

2

1

−

+=Tk

e Bωωε

hh (5)

Pada suhu mendekati 0°K nilai ��

� �. Ini

merupakan tingkat energi minimum sistem. Selain itu

pada fungsi Debye, pada temperatur tinggi nilai vC

mendekati nilai yang diperoleh Einstein.

III. Kisi Monoatomik Satu-Dimensi

Pada vibrasi benda padat kontinu, persamaan dispersi

gelombang diberikan oleh [4,5] :

Kv.=ω (6) Dengan turunan v adalah kecepatan dan K adalah

vektor gelombang. Turunan pertamanya adalah :

vd

dK 1=

ω (7)

Pada dispersi gelombang satu dimensi, bilangan

gelombang pada sebuah batang dengan panjang L bernilai

diskrit. Keadaan tersebut bila di tuliskan dalam ruang-k

dimana ( )nLK /2π= dengan n=0, �1,�2,… ,

menyatakan ragam (moda) gelombang. Jika panjang

batang L lebih besar (L>>), maka jarak L/2π akan

mendekanti nol dan titik-titik dalam ruang – k semakin

berdekatan (ruang – k mendekati melar) [6] seperti

terlihat pada Gambar 1.

K

(a)

(b) Gambar 1. Ruang –k satu dimensi : (a) diskret dan (b) malar.

Berdasarkan Gambar 1 dapat didefinisikan jumlah

ragam gelombang elastik mempunyai bilangan

gelombang antara k dan k+dk (dalam interval dk) adalah :

dKL

L

dK

=

π

π

2

2 (8)

Jumlah ragam gelombang untuk setiap satuan volume

disebut rapat keadaan atau dKkg )( atau frekuensi sudut

ωω dg )( , sehingga persamaannya menjadi :

dKL

dKkgπ2

)( = (9)

Persamaan (9) jika dipandang dalam bentuk satu dimensi

maka rapat keadaan akan memenuhi :

dKkgdg )()( =ωω

)()()(

ωω

d

dKkgg = (10)

ωddK / pada persamaan (10) disubstitusikan kedalam

bentuk persamaan (7) menjadi :

v

kgg1

)()( =ω (11)

Karena gerak rambat gelombang bisa ke kiri dan ke

kanan, maka fungsi tersebut menjadi π/L , sehingga

persamaan (11) menjadi :

v

Lg

πω =)( (12)

Menurut model Debye dengan model medium kontinu

harga E memenuhi :

∫= ωπ

ωε dv

LE )( (13)

Pada vibrasi harmonik kristal atom monoatomik satu

dimensi, nilai frekuensi sudut � memenuhi persamaan :

2/1

)cos1(2

−

−= Ka

m

cω (14)

dengan c merupakan konstanta gaya antara bidang

tetangga terdekat, m adalah massa atom, dan a adalah

jarak antar bidang [2]. Persamaan (14) dapat juga ditulis

sebagai berikut :

2

sin2Ka

m

c=ω (15)

di mana mc /2 [7] dapat dinyatakan dengan 0ω

sehingga persamaan (15) dapat ditulis :

2sin0

Kaωω = (16)

Nilai 0ω yang diberikan secara umum adalah sekitar 1013

rad s-1

. Dalam kajian satu dimensi, sekarang harga )(ωg

yang diberikan adalah :

220

)(

ωωπω

−

=

a

Lg (17)

Nilai ω menurut Debye bernilai 0 sampai Dω yang

dapat diperoleh dari :

∫=D

dgNω

ωω0

)( (18)

atau

ωωωπ

d

a

LN ∫

−

=22

0

2 (19)

dengan nilai L=Na (dalam satu dimensi), sehingga

persamaan (19) menjadi :

ωωωπ

ω

dD

∫−

=0 22

0

121 (20)

k dkk +

dk

0+−

L

2π

Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik 365

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014

ISSN : 0853-0823

Untuk mencari frekuensi Debye Dω dapat dihitung

dengan cara mencari akar persamaan berikut ini :

( ) ωωωπ

ωω

dfD

D ∫−

−=0 22

0

121 (21)

Pada persamaan Debye berdimensi satu dijabarkan

dalam persamaan (4) dengan mensubstitusikan semua

variabel fungsinya sehingga persamaan energi untuk

sebuah atom yang terbentuk adalah :

∫−

−+=

D

B

de

ETk

ω

ωω

ωωω

π 0 220

/

1

1

1

2

12h

h (22)

Persamaan (22) ini secara umum sulit untuk mencari

solusinya secara analitik kecuali hanya dapat diselesaikan

dengan integrasi numerik. Salah satunya adalah metode

integrasi numerik Trapesium.

III. METODE PENELITIAN Pada penelitian ini, langkah pertama yang dilakukan

adalah dengan mencari nilai frekuensi Debye ωD.

Frekuensi Debye pada persamaan (21) dapat diselesaikan

menggunakan integrasi numerik trapesium yakni dengan

cara mencari akar persamaannya. Mencari akar

persamaannya dapat diselesaikan dengan metoda belah

dua (bisection). Caranya diberikan pada algoritma

berikut:

a. Tentukan nilai TOLX dan TOLF

b. Tentukan nilai cm / sebagai parameter

c. Tentukan TOLXa =ω dan cmb /9999,0=ω

d. Hitung )( aa ff ω= dan )( bb ff ω=

e. Jika 0>× ba ff maka ada kesalahan

f. Hitung 2/)( bac ωωω +=

g. Hitung )( cc ff ω=

h. Jika 0<× cfaf maka cb ωω = dan cb ff = , selain

itu ca ωω = dan ca ff =

i. Kembali kelangkah f sampai dicapai kondisi

TOLFcf < atau TOLXc <ω tercapai.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan (20) merupakan persamaan yang digunakan

untuk mendapatkan besar frekuensi Debye ωD.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan membuat pola

algoritma sehingga menghasilkan nilai frekuensi Debye

sebesar ωD ≈ ω0 atau tepatnya ωD = 0,99990ω0. Hasil

perhitungan frekuensi Debye ωD sebagai fungsi ω0 yang

menunjukan kurva linear dalam skala logaritmik

disajikan pada Gambar 2.

Grafik pada Gambar 2 menunjukan suhu logam

aluminium dari rendah sampai sebesar 4280K. Secara

teori, nilai Cv = ∂E/∂T akan bernilai maksimum sebesar

nilai konstanta Boltzman kB. Padahal kapasitas panas

pada suhu tinggi akan bernilai 3R. Dengan demikian

perhitungan numerik dapat dinormalisasikan dengan cara

membagi Cv dengan kB dan mengalikannya dengan 3R.

Hasil numerik dari data aluminium dapat dilihat pada

Gambar 3.

Grafik pada Gambar 3 menunjukan perubahan

kapasitas panas Debye selama terjadi perubahan suhu (T)

Debye logam aluminium. Referensi grafik pada Gambar

3 diambil dari grafik kapasitas panas Einstein dengan

mengubah :

BkBk

hvE

0ωθ

h== (22)

Gambar 2. Hasil perhitungan numerik frekuensi Debye ωD

sebagai fungsi ω0

Gambar 3. Grafik Kapasitas Panas Debye Cv terhadap suhu

(K) Debye jenis logam.

Dari persamaan (22) ini diperoleh grafik kapasitas

panas Debye terhadap perubahan suhu (T) dalam bentuk

satu dimensi dengan menggunakan fungsi persamaan

(21). Dari grafik pada Gambar 3 tersebut ternyata terlihat

titik-titik perubahan kapasitas panas (Cv) tidak segaris

dengan grafik normalisasi. Grafik pada Gambar 3

tersebut dapat segaris jika dikembangkan ke dalam model

tiga dimensi.

V. KESIMPULAN Persamaan Debye berdimensi satu yang tidak dapat

diselesaikan secara analitik, dapat diselesaikan dengan

integrasi numerik yakni integrasi numerik trapesium.

Untuk mencari akar-akar persamaannya bisa dengan

metode belah dua (bisection).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

1

2

3

4

5

6x 10

-21

Temperatur(K)

Tin

gk

at

En

erg

i (J

)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25

Temperatur(K)

Kap

asit

as

pa

nas

(J/K

)

366 Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014

ISSN : 0853-0823

PUSTAKA [1] P. L. Gareso, E. Juarlin, A. Limbong, FMIPA Universitas

Hasanuddin, Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye

Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes,

vol.13, SIGMA, Juli 2010, pp 107-113

[2] MIT OpenCourseWare, Physical Chemistry II, 2008.

Website: http://ocw.mit.edu/terms, diakses tanggal 11

Februari 2014

[3] Darpublic, Sifat-sifat Termal. Website :

www.darpublic.com, diakses tanggal 23 Maret 2014

[4] Fisika FMIPA UNY, Sifat Thermal Kristal, 2012.

Website:

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Rita%2

0Prasetyowati,%20M.Si./SIFAT%20THERMAL%20KRI

STAL.pdf, di akses 1 April 2014

[5] N. Isma K., S. Dio, dkk, Fonon I : Getaran Kristal, UNJ,

2012, pp 2-9.

[6] Fisika Pendidikan UPI, Vibrasi Kristal. Website :

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIK

A/195708071982112-WIENDARTUN/4.BAB_IV-

(VIBRASI_KRISTAL).pdf, diakses 18 Februari 2014

[7] A. H. Harker, Solid State Physics, In : A. S. Prasad, Ed.,

Phonon Heat Capacity Lecture 10, Phyics and

Astronomy, UCL.