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danielmr88
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Función escalón
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.
Definición [Función de Heaviside]
La función escalón unitario o función de Heaviside se define como
Observación: la función de heaviside se definió sobre el intervalo , pues esto
es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general
para .
Ejemplo Trazar la gráfica de la función
.Solución
La función está dada por
Y su gráfica se muestra en la figura
Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida
para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.
Ejemplo Trazar la gráfica de la función
.Solución La función está dada por
La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo Use la función de Heaviside para rescribir la función
Solución Para rescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside
Observación: la función
Se escribe usando la función de Heaviside como:
Teorema [Transformada de la función Heaviside]
La transformada de la función de Heaviside es
Demostración
Usando la definición de transformada
En el primer teorema de traslación nos permitió calcular la transformada de una
función al ser multiplicada por una función exponencial , el segundo teorema
de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función que es multiplicada por una función escalón.
Teorema [Segundo teorema de traslación]
Si y , entonces
Forma inversa del segundo teorema de traslación:
Demostración Usando la definición
Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la
transformada de Laplace de la función haciendo :
Ejemplo
Calcule
Solución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar a
Ejemplo
Calcular , donde
Solución:
Observe que la función puede reescribirse como
con lo cual
Ejemplo
Calcule
Solución Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar de forma adecuada el término
Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.
Corolario [Forma alternativa al segundo teorema de traslación]
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial
en , entonces
Demostración
Usando la definición
Ejemplo
Calcule
Solución Usando la forma alternativa del segundo teorema de traslación
Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa.
Ejemplo
Calcule
Solución
En este caso y
con lo cual
Ejemplo Calcule
Solución Primero hallemos la descomposición en fraciones parciales
con lo cual
Ejemplo
Calcule
Solución
Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y debemos completar el cuadrado.
En este punto debemos usar el primer teorema de traslación para calcular cada una de las transformadas inversas de la siguiente forma:
y
Y de aquí
Ejemplo
Calcule
Solución Este ejemplo combina los dos teoremas de traslación
Teorema [Multiplicación por .]
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces
Ejemplo
Calcule
Solución Aplicando el teorema anterior para , tenemos que
El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior.
Ejemplo
Calcule
Solución Primero aplicamos el teorema de multiplicación por y luego el de traslación
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solución Por el teorema de multiplicación por , tenemos que
De donde obtenemos que
y tomando
Existe un caso especial del teorema anterior, cuando , que es muy útil en el cálculo de transformadas inversas.
Corolario [Multiplicación por .]
Si , entonces
Ejemplo Calcule
Solución Si
por el corolario tenemos que
Teorema [División por .]
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial
en tal que el límite
existe, entonces
Demostración Sea
entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que
Integrando
es decir,
Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que
.El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema.
Ejemplo
Calcule
Solución Tenemos que
Con lo cual
Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral
Solución Si
entonces
De donde
y tomando el límite cuando , tenemos que
Función impulso unitario
Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de béisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de béisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza
Definición [Impulso unitario]
La función dada por
donde , se conoce como la función impulso unitario. La gráfica de la
función escalón para y se muestra en la figura.
Observación: para valores pequeños de , se tiene que es una función
constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de .
Teorema [Área bajo la función impulso]
La función impulso unitario satisface la propiedad
y de aquí su nombre.
Demostración
En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado función de Dirac.
Definición [Función delta de Dirac]
La función delta de Dirac esta dada por
Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).
Teorema [Propiedades de la función delta]
La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades
El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.
Definición [Transformada de delta]
Demostración Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario
De donde tenemos que
con lo cual
Observación: a partir de es razonable concluir que
. Esto reafirma el hecho de que no es una función ordinaria, puesto que se espera
que cuando .
Ejemplo
Calcule
Solución
Claramente