Funciones Circulares IMU T2

7/18/2019 Funciones Circulares IMU T2

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Funciones circulares

3 de mayo de 2015

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Funciones circulares

Un angulo ∠POQ es el conjunto de puntos formado por la union

de dos semirectas OP y OQ que parten desde un punto comun O .

Diremos que un angulo esta en posicion normal o estandar si suvertice coincide con el origen del plano cartesiano y uno de suslados, que llamaremos lado inicial, coincide con el semieje positivode las x . El cuadrante al cual pertenece el angulo es el cuadranteen el que esta el otro lado, que llamaremos lado terminal.

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Medida de angulos: A cada angulo ∠POQ se asocia un numero

real m(∠POQ ), llamado medida del angulo, la cual es usualmentedenotada con letras tales como α, β, θ, entre otras.

Para medir angulos usaremos el Sistema Sexagesimal (medida engrados) o el Sistema Circular o Radial (medida en radianes).

Un grado es la medida de un angulo correspondiente a un arco delongitud igual a 1

360 de la longitud de una circunferencia.

Notacion: 1 grado = 1◦

Consideremos una circunferencia de radio 1. Un radian es lamedida de un angulo central de esta circunferencia, el cual abarcaun arco de longitud 1. Notacion: 1 radian = 1 rad

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Para determinar la medida θ en radianes de un cierto angulo,

consideramos este como un angulo central de una circunferencia deradio 1. Luego, la medida θ en radianes, sera la longitud del arcoque abarca dicho angulo. Por ejemplo, la medida θ de un anguloque abarca la mitad de la circunferencia unitaria es θ = π rad . Deeste modo, tenemos la equivalencia

π rad = 180◦

Ası, dado un angulo arbitrario con medida en radianes θ y medidaen grados α, la relacion entre ellas viene dada por

α

180 =

θ

π

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Ejercicio: Calcule la medida en radianes de un angulo de 30◦, 45◦

y 60◦.

Ejercicio: Calcule la medida en grados de un angulo de 2π

3 , 3π

2 y

7π

6 radianes.

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Definicion: En el plano cartesiano, llamamos circunferencia

unitaria a la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1, es decir, a la

circunferencia cuya ecuacion es x 2

+ y 2

= 1.

Sea t ∈ R. Consideremos t como la medida en radianes de unangulo en posicion normal y sea P (t ) el punto de interseccionentre la circunferencia unitaria y el lado terminal del angulo.

El punto P (t ) se llama punto terminal del angulo.

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Se define la funcion coseno, como aquella que asocia a cada t ∈ R,

la abscisa del punto terminal P (t ). Con la notacion usual se tiene

cos : R → R

t → y = cos t

donde cos t es la abscisa de P (t ).

Se define la funcion seno, como aquella que asocia a cada t ∈ R, laordenada del punto terminal P (t ). Con la notacion usual se tiene

sin : R → R

t → y = sin t

donde sin t es la ordenada de P (t ).

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Observacion

Notemos que por como estan definidas ambas funciones, se

tiene que| sin t | ≤ 1 ∧ | cos t | ≤ 1

para todo t ∈ R. Ası,

Rec (sin) = [−1, 1] ∧ Rec (cos) = [−1, 1]

Dado que para todo t ∈ R, el punto P (t ) = (cos t , sin t ) espunto de la circunferencia unitaria de ecuacion x 2 + y 2 = 1,entonces

sin2

t + cos2

t = 1

Los valores de sin t , cos t seran positivos o negativosdependiendo del cuadrante en el cual este ubicado el puntoP (t ).

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Ejercicio: Determine en que cuadrantes las funciones seno ycoseno son positivas, y en que cuadrantes son negativas.

Ejercicio: Obtenga los valores de sin t y cos t parat = 0, π

2, π, 3π

2 , 2π.

Una funcion f : Dom(f ) ⊆ R → R se dice periodica si

∃p ∈ R : ∀x ∈ Dom(f ) se tiene que

1 x + p ∈ Dom(f )2 f (x + p ) = f (x )

El menos numero positivo p que verifica esta condicion se llamaperıodo de f .

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Las funciones sin y cos son periodicas de periodo 2π. En efecto, siincrementamos la medida t de un angulo en 2π unidades, podemosobservar que la posicion del punto terminal P (t ) no varıa y portanto tampoco varıan sus coordenadas. Es decir

sin(t ) = sin(t + 2π) ∧ cos(t ) = cos(t + 2π).

Mas generalmente, si t ∈ R y k ∈ Z, entonces

sin(t ) = sin(t + 2k π) ∧

cos(t ) = cos(t + 2k π).

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Observacion: La funcion coseno es una funcion par y la funcionseno es una funcion impar.

Con la informacion obtenida hasta ahora podemos bosquejar losgraficos de las funciones seno y coseno

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Definimos la funcion tangente como

tan : A ⊆ R → R

t → y = tan t = sin t

cos t

con A = R − {π

2 + k π : k ∈ Z}

Ejercicio: Determine en que cuadrantes la funcion tangente espositiva, y en que cuadrantes es negativa.

Ejercicio: Determine que ocurre con la funcion tan t ent = 0, π

2, π, 3π

2 , 2π.

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Observaciones:

La funcion tangente es periodica de periodo πLa funcion tangente es una funcion impar

Su grafica es

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Ejercicio: Obtenga los valores de las funciones seno , coseno ytangente para

1 t = π

6

2 t = π

4

3

t =

π

3

Ejercicio: Use lo obtenido en el ejercicio anterior para obtener losvalores de

1 sin 5π

6

2

cos

5π

33 tan 5π

4

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Ejercicio: Considere 0 ≤ t ≤ 2π. Obtenga los valores de t para loscuales

1 sin t =

√ 3

2

2 cos t = √ 22

3 cos t = −√

1

24

tan t = −√

3

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En terminos de las funciones seno , coseno y tangente se puedendefinir sus funciones recıprocas secante , cosecante y cotangente

respectivamente, de la siguiente manera:funcion secante :

sec : A ⊆ R → R − ]−1, 1[

t → y = sec t =

1

cos t

con A = R − {π

2 + k π : k ∈ Z}

funcion cosecante :

csc : B ⊆ R → R − ]−1, 1[

t → y = csc t = 1

sin t

con B = R

− {k π : k

∈ Z

}

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funcion cotangente :

cot : C

⊆ R

→ R

t → y = cot t = 1tan t

con C = R − {k π : k ∈ Z}

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Identidades trigonometricas:

A partir de la definicion de las seis funciones circulares es facil

deducir las siguientes identidades fundamentales:1 sin2 t + cos2 t = 1

2 De la definicion de tan, sec y csc y para t en su respectivodominio, se tiene que

(tan t ) · (cot t ) = 1, (sin t ) · (csc t ) = 1, (cos t ) · (sec t ) = 1

3 Dividiendo la primera identidad por cos2 t , se tiene que

1 + tan2 t = sec2 t

4 Dividiendo la primera identidad por sin2 t , se tiene que

cot2 t + 1 = csc2 t

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Otras identidades trigonometricas:

1 cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y

2 cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y

3 cos2x = cos2 x − sin2 x

4 sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y

5 sin(x − y ) = sin x cos y − cos x sin y

6 sin2x = 2 sin x cos x

7 tan(x + y ) = tan x +tan y 1−tan x tan y

8 tan(x − y ) = tan x

−tan y

1+tan x tan y

9 tan2x = 2 tan x 1−tan2 x

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Ejercicio: Demuestre las siguientes identidades:

1 1−tan2 t 1+tan2 t

= 1 − sin2 t

2 2cot2t = sin 3t cos t + cos 3t

sin t

3 sec4 t − sec2 t = tan4 t + tan2 t

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Funciones circulares inversas:

La funcion sin : R

→ [

−1, 1] , x

→ y = sin x , no es inyectiva. Sin

embargo, su restriccion al intervalo−π

2 , π

2

es inyectiva. Luego, la

funcion

sin :−π

2, π

2

→ [−1, 1]

x → y = sin x

tiene inversa. Su inversa es la funcion Arcoseno y se denota porarcsin. Ası

arcsin : [−1, 1] → −π

2 ,

π

2

x → y = arcsin x

dondey = arcsin x

⇔ x = sin y

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La funcion cos : R →

[−

1, 1] , x →

y = cos x , no es inyectiva. Sinembargo, su restriccion al intervalo [0, π] es inyectiva. Luego, lafuncion

cos : [0, π] → [−1, 1]

x → y = cos x

tiene inversa. Su inversa es la funcion Arcocoseno y se denota porarc cos. Ası

arc cos : [−1, 1] → [0, π]x → y = arc cos x

dondey = arc cos x

⇔ x = cos y

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La funcion tan : R

→ R, x

→ y = tan x , no es inyectiva. Sin

embargo, su restriccion al intervalo−π

2 , π

2

es inyectiva. Luego, la

funcion

tan :−π

2, π

2

→ R

x → y = tan x

tiene inversa. Su inversa es la funcion Arcotangente y se denotapor arctan. Ası

arctan : R → −π

2 , π

2

x → y = arctan x

dondey = arctan x

⇔ x = tan y

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Funciones circulares inversas:Tambien definimos las funciones inversas de las funcionessecante , cosecante y cotangente como las respectivas funcionesArcosecante,Arcocosecante y Arcocotangente, las cuales sondenotadas por arcsec , arccsc y arcctan, de siguiente modo

arcsec : R − ]−1, 1[ → [0, π] − {π2}

x → y = arcsecx

dondey = arcsecx ⇔ x = sec y

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arccsc : R − ]−1, 1[ → −

π

2 ,

π

2 − {0}

x → y = arccscx

dondey = arccscx

⇔ x = csc y

arcctan : R → ]0, π[

x → y = arcctanx

dondey = arcctanx ⇔ x = tan y

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Ejercicio: Calcule el valor exacto de:

1

cos(arcsin

1

2)2 sin

arccos

−√ 3

2

+ 2 arcsin

−√ 2

2

Ecuaciones trigonometricas:

Una ecuacion que contiene funciones circulares o sus inversas en lavariable x es una ecuacion trigonometrica. Resolver la ecuacion esencontrar todos los x ∈ R, que satisfacen la ecuacion.

Ejercicio: Resuelva en [0, 2π[:

1 2cos x − √ 3 = 02 sin2 x − sin x = 0

3 2sin2 x + cos x − 1 = 0

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Ejercicio: Resuelva:

1 arcsin x + arcsin 2x = 2π

3

2 arcsin x + arc cos 2x = π

6

3 arctan 1

x −1 + arctan 2

x +1 = π

4

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Funciones trigonometricas: Dado un triangulo rectangulo

arbitrario, podemos llevarlo a a circunferencia unitaria, y de estemodo, definir sobre este las funciones circulares, las cualesllamaremos funciones trigonometricas. Estas son:

sinα = cat op hip

cosα = cat ady hip

tanα = cat op cat ady

cotα = cat ady cat op

secα =

hip

cat ady

cscα = hip cat op

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Teorema de los senos. En un triangulo de lados a, b , c y angulosopuestos α, β, γ respectivamente, se tiene que

sinα

a = sinβ

b = sin γ

c

T d l E i´ l d l d b

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Teorema de los cosenos. En un triangulo de lados a, b , c yangulos opuestos α, β, γ respectivamente, se tiene que

a2 = b 2 + c 2

−2bc

·cosα

b 2 = a2 + c 2 − 2ac · cosβ

c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos γ

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Ejercicios: Lea y resuelva:

1 Un barco navega hacia el sur con una rapidez de 400 millas h

. Alas 11 A.M. se observa una isla en la direccion N 30◦E . A las 1P.M. se observa la misma isla en direccion N 10◦E . Calcule ladistancia de la isla a cada uno de los puntos de observacion.

2 Para viajar en automovil desde Talcahuano hacia Tome sedeben recorrer 18 km desde Talcahuano a Concepcion yenseguida 33 km desde Concepcion a Tome. Suponga queestos dos caminos son rectos y que el angulo comprendidoentre ellos mide π

6 rad . Si se construyera un puente a traves

de la bahıa que permitiera viajar en lınea recta desdeTalcahuano a Tome. ¿En cuantos kms disminuira el trayecto?

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Funcion sinusoidal: Sean a, b , c , d numeros reales con a, b = 0. Ala funcion definida por f (x ) = a sin(bx + c ) + d , cuyo dominio es

R, se le denomina funcion sinusoidal. Observe que f es unafuncion periodica.

Definiciones:

La amplitud de la funcion es el valor |a|.

El perıodo de la funcion es el valor p = 2π

|b |El desplazamiento horizontal de la funcion es el valor

c

b

.

Este numero representa las unidades que se debe trasladar lagrafica de la funcion h(x ) = a sin(bx ), hacia la derecha

cuando c

b < 0 o hacia la izquierda cuando

c

b > 0, para

obtener la grafica de la funcion g (x ) = a sin(bx + c ).

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El desplazamiento vertical es el valor de |d |. Este numerorepresenta las unidades que se debe trasladar la grafica de la

funcion h(x ) = a sin(bx + c ), hacia arriba cuando d > 0 o haciaabajo cuando d < 0, para obtener la grafica de f .

Ejercicio: Determine amplitud, perıodo, desplazamientohorizontal, vertical y grafica de la funcion sinuosoidal f definida

por f (x ) = 3 sin(2x + π) − 1.

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