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Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado
M.Sc. Jorge E. Hernndez H.
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Contenido.Contenido.
1. Introduccin.
2. Continuidad en un unto.
!.Continuidad en un intervalo.
". #unciones Continuas.
$. E%e&los.
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Introduccin.Introduccin.
La idea intuitiva de lo'ue conoce&os or
trazo continuo es el
di(u%o de una l)nea sin
saltos* es decir* el
trazo de un liz sin
desegar la unta del
ael.
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Introduccin.Introduccin.
Esta idea se trasone
al grfico de una
+uncin , de esto se
deduce la de+inicin
de continuidad de una+uncin.
-(serve&os los
siguientes gr+icos.
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Continuidad en un puntoContinuidad en un
punto
e+inicin/e+inicin/
eci&os 'ue una +uncin f es continua en un
unto x = a* si se cu&len las siguientescondiciones/
( ) existaf a ( ) existax a
Lim f x
( ) ( )x a
Lim f x f a
=
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Continuidad en un puto.Continuidad en un
puto.
La ri&era condicin
( ) existaf a
Esta(lece 'ue
la +uncin de(e estarde+inida en el unto
donde se re'uiere la
continuidad* es decir* f(a)
de(e ser un n0&ero
real.
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Continuidad en unContinuidad en un
punto.punto. La segunda condicin
( ) existax a
Lim f x
Esta(lece 'ue
Los valores de la +uncinde(en aroi&arse a un
0nico n0&ero real en la
&edida de 'uexse
aroi&e a a or la
iz'uierda , or la
dereca.
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Continuidad en unContinuidad en un
punto.punto. La tercera condicin
Esta(lece 'ue
Los valores de la +uncinde(en aroi&arse
recisa&ente al n0&ero
real f(a) en la &edida de
'uexse aroi&e a a
or la iz'uierda , or la
dereca.
( ) ( )x a
Lim f x f a
=
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Continuidad en unContinuidad en un
punto.punto. E%e&lo/ La +uncin de+inida or &edio de
es continua en
En e+ecto*
2)( xxf =
3.x =
93)3( 2 ==f
92
3 = xLimx2
3 (3) 9
xLim x f
= =
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Continuidad en unContinuidad en un
Punto.Punto. En el gr+ico siguiente ve&os la continuidad de
esta +uncinen el unto indicado/
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Continuidad en unContinuidad en un
puntopunto. E%e&lo/ La +uncin de+inida or &edio de
no es continua en
En e+ecto*f (1) no eiste co&o valor nu&3rico* uesto
'ue
al sustituir or el n0&ero 1 o(tene&os una divisin
orcero. 4an solo el eco 'ue la +uncin no cu&la esta
condicin ace 'ue no sea continua.
1( )
1f x
x=
1.x =
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Continuidad en unContinuidad en un
punto.punto. 5ea&os el siguiente gr+ico.
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Continuidad en unContinuidad en un
intervalo.intervalo. Definicin/ eci&os 'ue una +uncin
es continua en un intervalo
I,si es continua en cada
ele&ento del interior delintervalo. Es decir* si se
cu&len las tres
condiciones de
continuidad en un unto*
ara cada unto c en int(I).
e la gr+ica del e%e&loanterior o(serva&os 'ue
la +uncin es continua en
cual'uier intervalo 'ue no
contenga el n0&ero 1.
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Funcin Continua.Funcin Continua.
e+inicin/
Decimos que una funcin es
continua, cuando ella es
continua en todo punto de su
dominio.
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Ejemplo # 1.Ejemplo # 1.
eter&inar si la +uncin
es continua.
6esuesta/
7a 'ue el do&inio de esta +uncin es todo elcon%unto de
n0&eros reales* entonces* de(e&osro(ar las tres condiciones
de continuidad en cadan0&ero real.
53)( 3 += xxf
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Ejemplo # 1.Ejemplo # 1.
8ara acer esto escoge&os un n0&ero ar(itrario*
es decir* un n0&ero acual'uiera* , veri+ica&os las
tres condiciones.
( ) existaf a 3( ) 3 5f a a= +
( ) existax a
Lim f x
3 3(3 5) 3 5x a
Lim x a
+ = +
( ) ( )x a
Lim f x f a
=
-(via&ente los resultados
anteriores coinciden* , or
lo tanto esta condicin se
cu&le
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Ejemplo # 1.Ejemplo # 1.
La gr+ica de esta +uncin es
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Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.
eter&inar si la +uncin
es continua.
6esuesta/ -(serva&os 'ue la +uncin dada
osee dos reglas o +or&as ara trans+or&ar el
argu&entox.
>+
=
2,53
2,)(
2
xx
xxxf
si
si
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Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.
la ri&era de ellas es vlida solo cuando el
argu&entoxo(tiene sus valores en el intervalo*
la segunda regla es vlida solo cuando el
argu&entoxo(tiene sus valores en el intervalo
8recisa&ente* cuandox = 2* a, un ca&(io de
regla.
( , 2]
(2, )
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Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.
Estas o(servaciones nos a,udaran a deter&inar
la continuidad de la +uncin dada.
Seax = aen el intervalo
entonces*
( , 2]
2( ) existef a a=2 2 existe
x aLim x a
=Es claro 'ue los
valores anteriores
son iguales
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Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.
Conclui&os 'ue la +uncin es continua ara los
valores dex&enores 'ue 2.
Considere&osx = aen el intervalo con valores&a,ores 'ue
2.
( ) 3 5 existef a a= + 3 5 3 5 existex a
Lim x a
+ = +
Es claro 'ue los
valores anteriores
son iguales
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Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.
Solo 'ueda estudiar la continuidad cuandox = 2.
2(2) 2 4 existef = =
2 2
2 2 4
xLim x
= =
23 5 3.2 5 11
xLim x
+
+ = + =
Los l)&ites laterales sondistintos* en consecuencia el
l)&ite no eiste
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Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.
Co&o consecuencia
la segunda condicin
+alla* lo 'ue nos ace
concluir 'ue la +uncin
no es continua enx = 2. 8or lo tanto* la
+uncin no es
continua. 5ea&os su
gr+ica.
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Fin de la presentacin.Fin de la presentacin.
9racias or la atencin restada.
M.Sc. Jorge E. ern!nde" .
