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CAPÍTULO II
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 ESTRUCTURAS [1]
Llamamos estructura a un conjunto de elementos capaces de aguantar
pesos y cargas sin romperse y sin a penas deformarse. A la hora de diseñar
una estructura esta debe de cumplir tres propiedades principales: ser
resistente, rígida y estable. Resistente para que soporte sin romperse el
efecto de las fuerzas a las que se encuentra sometida, rígida para que lo
haga sin deformarse y estable para que se mantenga en equilibrio sin
volcarse ni caerse.
Los requisitos o exigencias básicas que una estructura debe cumplir son:
Equilibrio: Se identifica con la garantía de que la estructura no se
moverá. Tienen cierto grado de movimiento, pero comparado a las
dimensiones de la estructura los desplazamientos de esta son tan pequeños
que a simple vista parece inmóvil y sin deformación alguna. Un cuerpo no se
mueve en una sola dirección, si se aplican otras fuerzas de igual magnitud y
dirección aplicada en sentido contrario lo anulan. Cuando esto sucede se dice
que el cuerpo esta en equilibrio.
Estabilidad: Se relaciona con el peligro de movimientos inaceptables de
la estructura en su totalidad. Debe estar bien equilibrado. Cuando un viento
huracanado actúa sobre una estructura alta y esta no se halla
adecuadamente arraigada en la tierra o equilibrada por su propio peso, puede
volcarse sin desintegrarse. La estructura es inestable desde el punto de vista
rotatorio, éste peligro existe también cuando una estructura no está bien
equilibrada y apoya sobre un suelo de resistencia no uniforme.
2.1.1 COMPUERTA FLOTANTE [2]
El contrato de la compuerta flotante (contrato 1.1.102.004.05) es uno de
los proyectos más ambiciosos que se realizan actualmente en Guri, consiste
en ensamblar y poner en operación una compuerta sumergible que sea capaz
de colocarse a la elevación de las compuertas de toma de las unidades de
Casa de Máquinas I y sellarse contra el concreto de la presa cubriendo
totalmente los vanos A y B de entrada a la compuerta de toma. El objetivo de
este proyecto es hacer la rehabilitación de los marcos de sellos de las
compuertas de mantenimiento.
Fig. 2.1. Compuerta Flotante
2.1.2 Partes de la compuerta Flotante
2.1.2.1 Paneles: La compuerta flotante consta de ocho paneles los
cuales van unidos a través de soldadura. Cada panel tiene en su interior y
exterior una serie de rigidizadores. En la figura a continuación se pueden
observar cuatro paneles de la compuerta y como quedarían ensamblados
para hacer así lo que seria la mitad superior de la misma.
Fig. 2.2, Ensamblaje de paneles
Fig. 2.3, Panel de la compuerta flotante
Cada panel de la compuerta tiene un peso diferente el cual lo podemos
ver a través de la siguiente tabla:
PANEL 1
PANEL 2
PANEL 3
PANEL 4
MITAD SUPERIOR DE LA COMPUERTA
Tabla 2.1 Dimensiones y pesos máximos por panel
de la compuerta flotante.
DIMENSIONES Y PESOS MÁXIMOS
1. -Panel 1 (Viga 1) 2. -Panel 2 (Viga 2 y 3) 3. -Panel 3 (Viga 4 y 5) 4. -Panel 4 (Viga 6)
Ancho: 6813 mm Ancho: 6340 mm Ancho: 6340 mm Ancho: 6340 mm
Alto: 2896 mm Alto: 2300 mm Alto: 2700 mm Alto: 2635 mm
Largo: 21460 mm Largo: 21460 mm Largo: 21460 mm Largo: 21460 mm
Peso: 140616 kg Peso: 93124 kg Peso: 107826 kg Peso: 134177 kg
5.-Panel 5 (Viga 7 y 8) 6.-Panel 6 (Viga 9) 7. -Panel 7 (Viga 10 y 11) 8. -Panel 8 (Viga 12)
Ancho: 6340 mm Ancho: 5950 mm Ancho: 5960 mm Ancho: 6710 mm
Alto: 2600 mm Alto: 1862 mm Alto: 4476 mm Alto: 2907 mm
Largo: 21460 mm Largo: 21460 mm Largo: 21460 mm Largo: 21460 mm
Peso: 103466 kg Peso: 71066 kg Peso: 122848 kg Peso: 111094 kg
La compuerta esta hecha de los siguientes materiales:
- Estructura: RR ST 52.3 DIN 17100, Límite de Fluencia : 350
Mpa, Límite de Rotura: 490 MPa
- Estructura Escotillas de Alta Presión: ASTM A276 tipo 304,
Límite de Fluencia : 205 Mpa, Límite de Rotura: 515 Mpa
- Ejes Y Buloneria: ASTM A276 tipo 410H, Límite de Fluencia :
620 Mpa, Límite de Rotura: 830 MPa
2.1.2.2 Escotilla: Esta escotilla recibe presión desde su lado exterior. La
escotilla está formada por una placa, que funciona como escudo ante la
presión del agua, y está reforzada por vigas horizontales y verticales. Tanto
para el escudo como los rigidizadores el material es ASTM A276 tipo 304. En
la figura 2.4 (a), se observa la forma de la escotilla.
Fig. 2.4, (a) Escotilla panel 1, (b) Rigidizadores panel 1
2.1.2.3 Rigidizadores: Como su nombre lo indican hacen que la
estructura que componen tenga mayor rigidez y pueda soportar mayores
esfuerzos. Estos se encuentran distribuidos a lo largo de cada panel y dentro
de los paneles. En la figura 2.4 (b), se puede ver como están distribuidos los
rigidizadores en la parte externa de la compuerta.
2.1.2.4 Battery Pod (Contenedor de Batería): Estas serán las baterías
del de la compuerta, las cuales proveerán al submarino (Compuerta flotante)
de la energía necesaria para su funcionamiento. La compuerta tiene dos
battery pod unidos a través de la virola de la cabina de mando la cual se
puede observar en la figura 2.5.
(a)
(b)
Fig. 2.5. a) Battery Pod, b) Virola de la cabina de mando
2.1.2.5 Motores Unidad Autónoma: Están dispuestos en los extremos
de los baterry pod, los cuales contienen cuatro motores que controlan la
compuerta flotante submarina en todas las direcciones para que sea posible
la movilidad y control de la compuerta bajo el agua, a continuación se puede
observar una vista frontal de la unidad autónoma.
Fig. 2.6 Motores de la unidad Autónoma
a)
b)
2.1.3 Rampa de Lanzamiento: Es una estructura de concreto que esta
bajo tierra como se muestra en la figura 2.7 la cual tiene dispuestos rieles a
sus lados, esta estructura soporta un peso de más de 2600 toneladas, esta
diseñada para poder colocar compuertas en el agua a través del
deslizamiento de esta mediante los rieles que la componen.
Fig. 2.7, Rampa de Lanzamiento
2.1.4 Plataforma de lanzamiento de la compuerta flotante
Es una estructura metálica que tiene como función llevar la compuerta
flotante al embalse de Guri a través de un sistema de rieles que se
encuentran en la cresta de presa derecha de la Central Hidroeléctrica Simón
Bolívar.
La plataforma de lanzamiento consiste de dos cerchas de apoyo
externas (Figura 2.8 y 2.10); las cuales son iguales entre si, tres planos
vertical de rigidización longitudinal, uno a la mitad de la luz entre las dos
cerchas de apoyo externas y los otros dos a cada lado de la mitad de la
estructura (Figura 2.8 y 2.11), cinco planos verticales de rigidización
transversal (Figura 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 y 2.17), un plano horizontal superior
de rigidización (Figura 2.9), un plano inclinado inferior de rigidización (Figura
2.12), y un conjunto de vigas que forman un cajón en la parte trasera de la
viga (Fig 2.9 y 2.13) Las denominaciones de estos elementos estructurales se
encuentran indicadas en los gráficos respectivos. Toda la estructura esta
rigidizada por largueros, montantes y barras de rigidización.
Fig. 2.8. Plataforma de lanzamiento
Fig. 2.9. Vista superior plataforma de lanzamiento (plano horizontal superior de
rigidización)
CERCHAS INTERNAS
CERCHAS EXTERNAS
CAJÓN
CERCHA LATERAL 5
CERCHA LATERAL 4
CERCHA LATERAL 3
CERCHA LATERAL 2
CERCHA LATERAL 1
CAMA SUPERIOR
Fig. 2.10. Cercha Externa
Fig. 2.11. Cercha Interna
Fig. 2.12. Vista Inferior (plano inclinado inferior de rigidización)
Fig. 2.13. Vista Trasera plataforma de lanzamiento (Cajón y Cercha Lateral 1)
Fig. 2.14. Cercha Lateral 2
Fig. 2.15. Cercha Lateral 3
Fig. 2.16. Cercha Lateral 4
Fig. 2.17. Cercha Lateral 5
Los perfiles de las vigas que componen cada viga en su gran mayoría
son perfiles Normal doble T – IPN, y el resto son perfiles compuestos,
muchos de los perfiles compuestos también son formados en parte por
perfiles IPN doble T con placas de refuerzo en sus laterales.
La tabla que se utilizara para la creación de los perfiles Normal doble T –
IPN se encuentra en el anexo V
2.2 TEORÍA DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO (MEF) [3]
El método de los elementos finitos constituye hoy seguramente la
herramienta de cálculo más potente para resolución de problemas de cálculo
en mecánica estructural y mecánica de sólidos, con aplicaciones en
numerosas ramas de la ingeniería. Desde sus inicios la evolución del método
ha sido considerable, en paralelo con la potencia de los ordenadores.
La mayor parte de estructuras que se tratan en ingeniería son de
naturaleza continua, es decir, su comportamiento ha de ser definido en los
diferentes puntos que conforman el continuo, constituyendo por lo tanto
sistemas con infinitos grados de libertad. Un análisis riguroso de dichas
estructuras precisa la integración de las ecuaciones diferenciales que
expresan el equilibrio de un elemento diferencial genérico de las mismas.
Ejemplo de estas estructuras son placas, depósitos, cubiertas, puentes,
carrocerías de vehículos, fuselajes de aviones, cascos de barcos, etc.
La integración de las ecuaciones diferenciales de equilibrio es con
frecuencia difícil, o imposible, debido a la geometría de la estructura, la
naturaleza de las condiciones de contorno, las propiedades de los materiales,
el tipo de carga, etc.; por lo que en la práctica es necesario utilizar métodos
simplificados que permitan analizar la estructura de manera aproximada. El
MEF es uno de los procedimientos que existe para aproximar el
comportamiento de una estructura con infinitos grados de libertad por el de
otra, con aproximadamente las mismas propiedades físicas y geométricas,
pero con un numero finito de grados de libertad, cuyas ecuaciones de
equilibrio pueden expresarse por un sistema algebraico de ecuaciones
simultáneas con un número limitado de incógnitas.
El método del elemento finito es una herramienta de análisis poderosa
para obtener soluciones aproximadas a una amplia variedad de problemas de
mecánica en el continuo. La premisa básica es que una región de solución
puede ser modelada analíticamente reemplazándola con un arreglo de
elementos discretos. Esto permite reducir un número infinito de incógnitas
del problema a uno con un número finito de incógnitas. Esto se hace
dividiendo la región de solución en elementos y expresando las variables de
campo incógnitas en términos de funciones aproximadas dentro de cada
elemento. En turno, las funciones aproximadas se expresan en términos de
valores de la variable de campo para ciertos puntos llamados nodos o
puntos nodales. El conjunto de nodos configura una malla o rejilla de
solución para el problema. Esta malla puede o no seguir la configuración
física del campo. Por ejemplo, se puede trasladar el problema al campo de
solución matemático, cuyas fronteras pueden no coincidir con las orillas del
cuerpo físico.
2.2.1 Descripción del Método del elemento finito
Los alcances y aplicaciones de los estudios del MEF (Método del
elemento finito) resultan casi ilimitados y las prestaciones y bondades de los
mismos al ser bien utilizados redundan en importantes beneficios en el
desarrollo de nuevos proyectos y en la evaluación de proyectos ya existentes.
Cada caso de estudio de estructuras mediante MEF presenta características
y condiciones muy particulares propias del tipo de estructura que se desee
evaluar; es importante resaltar que el alcance y la complejidad del análisis
estructural dependerán de los resultados que se deseen obtener. Sin
embargo, el esquema de trabajo en general es similar para todos los casos,
teniéndose tres etapas principales: Pre – Procesamiento, Solver y Post –
Procesamiento, en la figura No. 2.18 se muestra la relación entre una etapa y
otra, siendo que al introducir la información requerida en cada una de estas
fases, se definen los parámetros de interés en el estudio a realizar y se
evalúa si los resultados obtenidos son los esperados.
Fig. 2.18. Etapas de un estudio del MEF.
2.2.2. Pre - Procesamiento.
Es la fase inicial de todo estudio estructural mediante MEF, en ésta
etapa se define la geometría a estudiar donde se evaluará el comportamiento
de la estructura, se genera el mallado de la geometría, se establecen las
condiciones iniciales y de borde que servirán de data de entrada para la
resolución de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la
estructura y adicionalmente se definen todos aquellos parámetros o
propiedades del material, necesarios en la resolución del problema. Para una
mejor comprensión del grado de importancia que tiene cada una de las
acciones llevadas a cabo durante el Pre – Procesamiento de la información
en un estudio de MEF, las mismas serán abordadas a detalle.
2.2.2.1. Generación de la Geometría.
Valiéndose de la ayuda de las herramientas CAD disponibles, el
proyectista encargado de llevar a cabo un estudio de análisis mediante MEF
debe generar la geometría a utilizar, tomando en cuenta que la misma debe
estar en concordancia con el alcance y objetivos del estudio; ésta afirmación
parte de la posibilidad de hacer ciertas simplificaciones en la geometría que
permiten salvar tiempos de cómputo al obviar o eliminar aquellas secciones
que no afecten de forma considerable el comportamiento de la estructura.
Una recomendación general y muy importante que se debe tener en
cuenta al momento de generar la geometría y que permita tener una visión
inicial de donde puede o no, ser válida una simplificación geométrica, son las
relaciones proporcionales entre las dimensiones de las distintas secciones de
un cuerpo, para apreciar mejor el significado de la información anterior es útil
valerse de un ejemplo. Supóngase que se desea analizar el comportamiento
de la estructura de un canal (ver figura 2.19) cuyas dimensiones son
10x10x50 m, en el fondo del canal los bordes de intersección entre las
paredes y el piso se encuentran redondeados 10 cm. Para efectos prácticos
de una simulación donde se desee conocer el comportamiento general de la
estructura bien podrían omitirse estos radios y hacer una geometría
completamente recta, debido a que estos redondeos no afectarán de forma
significativa valores como el esfuerzo o la deformación, y se necesitarían
elementos muy pequeños en torno a estos redondeos para poder seguir la
geometría, lo que automáticamente incrementa el recurso computacional
necesario para dar solución al problema.
Fig. 2.19. Canal.
También es de suma utilidad aprovechar las configuraciones simétricas
de las geometrías, a fin de reducir los tiempos de cómputo requeridos para
dar solución al problema. Si se toma el ejemplo anterior del canal, si las
condiciones de esfuerzo son conocidas y la sección transversal del canal es
constante en todo su recorrido, en lugar de simular todo el canal, se trabaja
entonces solo con la sección simétrica correspondiente, lo que permite
obtener un mallado más refinado si así se desea, mallados más finos
permiten obtener soluciones más precisas, y las simplificaciones por simetría
de una geometría permiten dar solución al problema en tiempos de cómputo
menores.
En términos generales, la geometría siempre deberá aproximarse tanto
como sea posible a la configuración real, pero tal y como se ha citado en
algunos casos las simplificaciones pueden ser de mucha ayuda, reduciendo
tiempos y costos. Quedará en manos del proyectista evaluar cuales son las
simplificaciones (si las hay) que pueden ser validas en un estudio
determinado.
2.2.2.2. Mallado de la Geometría.
Mallar una geometría consiste en dividir el continuo en pequeños
bloques simples, llamados elementos finitos, con formas geométricas
regulares (hexaedros, tetraedros, prismas, pirámides) dentro de las cuales se
evalúan su conducta (de un elemento individual) con un set relativamente
simple de ecuaciones, así como también un set de elementos puede unirse
para construir una estructura compleja. A estas figuras geométricas se les
denomina Elementos y los vértices de cada uno de estos elementos son
denominados Nodos. Las ecuaciones que definen el comportamiento de la
estructura son resueltas de forma simultánea en cada uno de los nodos del
mallado.
Por otra parte, la precisión de un análisis por el método del elementos
finitos se basa en dos condiciones contradictorias:
1. El numero de nodos y de elementos tiene de ser suficientemente
grande para alcanzar una buena aproximación de los modos de
deformación de la estructura. La estructura modelada será más
rígida que la estructura real, pero esta rigidez ira relajándose al
refinar la malla, teniendo la solución aproximada a la solución real
asintóticamente al ir aumentando el número de nodos. Sin
embargo, a partir de cierto limite, el refinado de la malla no aporta
más que un pequeño aumento de la precisión y puede por el
contrario conducir al deterioro de la solución por acumulación de
los errores de redondeo que aparecen en la solución de grandes
sistemas de ecuaciones.
2. El costo del cálculo aumenta al menos proporcionalmente al
número de nodos. Por lo tanto, este número a de ser compatible
tanto con el presupuesto del proyecto como con la capacidad del
ordenador.
A continuación se dan algunas indicaciones prácticas sobre la teoría de
mallado:
• Situaciones de transición: Las fronteras adyacentes de dos
elementos contiguos deben de tener el mismo número de
nodos. En caso contrario, han de utilizarse elementos de
transición.
Fig. 2.20 Situaciones de transición
• Desajuste: Preferiremos siempre la situación b) frente a la
a).
Fig. 2.21 Desajuste en el mallado
2.2.2.3. Condiciones de Borde.
Para la resolución numérica de las ecuaciones del comportamiento de
una estructura, se requiere que sean establecidas las Condiciones de Borde
del estudio, éstas últimas no son más que una representación única del
estado de carga en las superficies de la geometría que componen la
estructura. Hay formas de simplificar las cargas a las cuales estará expuesta
la estructura para un análisis más rápido como se muestra a continuación.
Modelado de la carga. Simetrías.
Reparto de la carga uniformemente distribuida sobre los nodos del
elemento.
• Elemento lineal con interpolación lineal.
Fig. 2.22. Reparto de carga en el elemento línea de 2 nodos
• Elemento cuadrilátero con interpolación lineal.
Fig. 2.23. Reparto de carga en el cuadrilátero de 4 nodos
• Elemento lineal con interpolación cuadrática.
Fig. 2.24. Reparto de carga en el elemento línea de 3 nodos
• Elemento cuadrilátero con interpolación cuadrática.
Fig. 2.25. Reparto de carga en el cuadrilátero de 8 nodos
2.2.3. Procesamiento- Solver.
Consiste en dar solución a las ecuaciones gobernantes del
comportamiento de la estructura en el dominio definido en el Pre –
Procesamiento, bajo las condiciones de borde impuestas. Ésta tarea es
realizada en su totalidad por el programa de simulación y los resultados
obtenidos dependerán de los modelos matemáticos utilizados para simular el
fenómeno físico; por ejemplo, un modelo matemático desarrollado para
resolver las ecuaciones. Vale la pena añadir que la precisión de estos
modelos matemáticos es validada, a través, de mediciones experimentales a
fin de determinar los rangos dentro de los cuales son aplicables.
2.2.4. Post – Procesamiento.
El Post – Procesamiento comprende la etapa de interpretación y
evaluación de los resultados. Una de las principales ventajas de los estudios
de MEF es la posibilidad de estudiar los resultados no solo desde el punto de
vista analítico (cotejando valores numéricos), sino a través de la
representación gráfica de las denominadas curvas de nivel, donde mediante
el uso de escalas de colores se muestra la variación de las variables a
estudiar, en el continuo de la geometría. Para dar al lector una mejor
comprensión de las distintas formas en las que pueden ser presentados los
resultados en un estudio de MEF, véase la figura No. 2.26 (a), donde se
aprecia el dominio computacional desarrollado para estudiar como se realiza
análisis de una estructura. Las flechas verdes señalan las cargas a las que
esta expuesta la estructura.
Luego de realizadas las etapas previas al post - procesamiento y una
vez completada la corrida del caso en el software utilizado para la simulación,
los resultados pueden ser presentados tal y como se muestra en la figura No.
2.26 (b), en donde se puede apreciar la distribución de esfuerzos a través de
la estructura. Nótese como a medida que aumenta el valor correspondiente a
los esfuerzos, los colores en la escala referencial cambian de acuerdo al valor
que se lee en uno de sus costados de la escala.
(a) (b)
Fig. 2.26. Post – Procesamiento de la información de un estudio de MEF. (a)
Condiciones de Entrada. (b) Representación gráfica de los esfuerzos en la
estructura.
Las anteriores son solo algunas de las alternativas de visualización que
permiten los estudios de MEF. Básicamente la forma en la que se presenten
los resultados dependerá de las variables de interés y de la imaginación del
proyectista. Cabe destacar en éste punto que el Post – Procesamiento no se
limita a la simple representación de los resultados, por el contrario en ésta
etapa se deberá analizar si la información obtenida es físicamente aceptable;
es decir, si se ajusta a la realidad, y adicionalmente se debe evaluar si los
resultados del comportamiento de la estructura están en concordancia con los
esperados en el diseño objeto de estudio.
La fidelidad de todo estudio de MEF va estar definida por los modelos
matemáticos y ecuaciones diferenciales utilizadas para calcular el
comportamiento estructural; en consecuencia después de abordar cada de
las etapas de los estudios del MEF, se presentarán al lector las ecuaciones y
los modelos matemáticos mas utilizados en las aplicaciones comerciales del
MEF.
2.3 Esfuerzo [4]
Es una fuerza interna distribuida; es la reacción mecánica interna del
material que acompaña a una deformación. Los esfuerzos son: normal
[esfuerzo de tracción (tensión +) y esfuerzo de compresión (-)], tangencial, o
cortante. [11]. La fuerza por unidad de área, o intensidad de las fuerzas
distribuidas sobre una sección dada, se conoce como el esfuerzo en dicha
sección y se designa por la letra griega σ (sigma). El esfuerzo en un elemento
de la sección transversal del área A sometido a una fuerza axial P se obtiene
dividiendo la magnitud P de la carga por el área A:
PA
σ = (1)
Donde:
σ : esfuerzo (Nw/m2) en el sistema internacional
P: magnitud de la fuerza aplicada transversalmente (Nw)
A: área de la sección transversal (m2)
2.3.1 Esfuerzos Combinados (Principio de la Superposición) [4]
Los elementos estructurales sometidos a fuerzas que actúan en las
direcciones de los tres ejes coordenados producen esfuerzos en tres
direcciones σx, σy y σz, todas diferentes de cero, esta condición se denomina
“carga multiaxial”. Por ende al originarse estos tres tipos de esfuerzos sobre
la misma pieza se consideran separadamente el efecto de cada componente
del esfuerzo y se combina los resultados obtenidos mediante el método de la
superposición, el cual establece que el efecto de una combinación de cargas
en una estructura se puede obtener determinando separadamente los efectos
diferentes cargas y combinando los resultados obtenidos siempre que se
cumplan las siguientes condiciones:
a. Cada efecto esta linealmente relacionado con la carga que lo
produce.
b. La deformación que resulta de cualquier carga es pequeña y no
afecta las condiciones de aplicación de las demás cargas.
En el caso de cargas multiaxiales, la primera condición se satisface si
los esfuerzos no exceden el límite de proporcionalidad del material, se
determina por la ecuación:
IMC
AF ±±=σ (2)
2.3.3 Teoría de la energía de deformación (Teoría de Von Mises). [5]
La hipótesis de la energía de deformación máxima o también llamada
teoría de Von Mises, predice que la falla por fluencia ocurre cuando la energía
de deformación total en un volumen unitario alcanza o excede la energía de
deformación en el mismo volumen correspondiente a la resistencia de
fluencia en la tensión o en la compresión.
Por lo tanto se predice que la fluencia ocurrirá cuando Sy=´σ
´σ : Esfuerzo de Von Mises.
Sy : Esfuerzo de fluencia del material
El esfuerzo ´σ representa el estado de esfuerzos completo.
Para el estado de esfuerzos biaxial, sean Aσ y Bσ los dos esfuerzos
principales diferentes de cero. Entonces la ecuación sería:
2/122 )(´ BBAA σσσσσ +−= (3)
Para ejes coordenados xyz convenientes el esfuerzo de Von Mises
´σ sería:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2/1222222 62
1´ zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−= (4)
Y para esfuerzo plano:
2/1222 )3(´ xyyyxx τσσσσσ ++−= (5)
2.4 Teorías de falla. [5]
Todos los procedimientos explicados anteriormente son aplicables a
materiales con un comportamiento elástico, es decir lineal, quiere decir que el
punto que se considera crítico en el cual el material falla es cuando este llega
a fluencia, existen muchas teorías de fallas aceptadas, las dos más
comúnmente aplicadas son la teoría del máximo esfuerzo cortante y la teoría
de la energía de distorsión.
En un estado general de esfuerzos al resolver el siguiente determinante se
obtiene una ecuación cúbica, las raíces de esa ecuación serán los esfuerzos
principales (σ1, σ2, σ3).
0=
−
−
−
σστττσστττσσ
xyzxz
yzxxy
xzxyx
(6)
Teniendo ya los esfuerzos principales la expresión del esfuerzo cortante
máximo:
[ ] [ ] [ ]
−−−
=2
,2
,2
323121 σσσσσστ DeMayorElMáx (7)
La teoría del máximo esfuerzo cortante dice que se produce fluencia cuando
el resultado de la expresión anterior iguala o excede al esfuerzo cortante
máximo que ocurre en un ensayo de tensión uniaxial. En un ensayo de
tensión la magnitud del esfuerzo cortante máximo es igual a la mitad de la
resistencia a fluencia del material.
yxyMáx SS == 2τ (8)
Siendo yS la resistencia a la fluencia del material y yxS la resistencia a la
fluencia cuando el material se somete a corte.
La teoría de la energía de distorsión se basa en la energía de deformación de
un material bajo cierto estado de esfuerzo. La teoría expresa que un estado
de esfuerzo uniforme, sea de tensión o de compresión, no favorece la
fluencia. La energía total de deformación elástica está dada por:
( ) ( )( )∫∫∫ ++−++=++=v
e VvE
dVU 32312123
22
21332211 2
21
21 σσσσσσσσσεσεσεσ
(9)
El esfuerzo promedio está dado por:
3321 σσσσ ++
=pr (10)
Para obtener la energía de distorsión por volumen unitario los esfuerzos
( )prσσ −1 , ( )prσσ −2 y ( )prσσ −3 se sustituyen por 321, σσσ y ,
respectivamente en la ecuación (61) teniendo en cuenta la (62). La energía
de distorsión queda como:
( ) ( ) ( )[ ]VEvUe
232
231
2216
1 σσσσσσ −+−+−+= (11)
Esta teoría explica que la falla a fluencia sucede cuando la energía de
distorsión por unidad de volumen es igual o mayor a la energía de distorsión
por unidad de volumen que ocurre en un ensayo de tensión uniaxial. Para un
ensayo de tensión la energía de distorsión viene dada por:
VSEvU yd ⋅⋅+= 2
31
(12)
También existe la teoría del esfuerzo cortante octahedral que mantiene que el
valor crítico del esfuerzo equivalente es 0,577 Sy.
( ) ( ) ( ) 2232
231
221 yS≥−+−+− σσσσσσ (13)
Se deben explicar las teorías de fallas debido a que los paquetes
computacionales no sólo calculan los valores de esfuerzos y deformaciones
en el modelo sino también esfuerzos principales y equivalentes para aplicar
las teorías de falla en el proceso de post procesamiento. Los programas
computacionales no producen resultados que generen falla a menos que el
analista tome en cuenta la información considerando los criterios de falla.
2.5 Momentos de Inercia [4]
El momento de inercia se define mediante la expresión matemática
∫ ∂= AI .ρ , lo cual indica que el área se subdivide en elementos A∂ , y el área
de cada uno de ellos se multiplica por el cuadrado de su distancia, o brazo de
momento, al eje, sumándose después los productos obtenidos. Así pues el
momento respecto a la coordenada X y Y serán, ∫ ∂= AyIx .2 y ∫ ∂= AxIy .2 .
Para simplificar los cálculos se uso la siguiente ecuación
Cuando la figura es un rectángulo de base “b” y altura “h” el momento de
inercia en sus ejes de sección transversal será:
12* 3hbIx = y
12* 3bhIy = (14)
Y con diferencias de rectángulos manteniendo el eje centroidal al cual se
calcula la inercia, se puede determinar los momentos de inercia de su
sección transversal de una figura formada con rectángulos.
2.6 Factor de Seguridad [1]
El factor de seguridad o factor de diseño (N) es una medida de la
seguridad relativa de un componente que soporta carga, se utiliza para
evaluar la condición segura de un elemento. En la mayor parte de los casos
este factor se determina dividiendo el esfuerzo máximo o el esfuerzo último
del material entre el esfuerzo admisible, por ello lo que se esté diseñando
(pieza, máquina o elemento) debe diseñarse de modo que su carga de diseño
sea bastante mayor que la carga que el elemento o componente llevará en
condiciones normales de uso. Esta carga menor es la carga admisible y, a
veces, la carga de trabajo o de diseño. Por consiguiente, el esfuerzo de
diseño al que se somete el componente debe ser menor que el esfuerzo de
fluencia del material. Cuando N=1 la resistencia de fluencia del material será
igual a los esfuerzos que está sometido el material, por lo tanto, existirá falla,
para ello en el caso de estructuras, los códigos de construcción han sido
establecidos de acuerdo a políticas específicas pero siempre respetando las
normas del estado donde se encuentre la pieza en cuestión, la bibliografía [1]
analiza los siguientes criterios:
1. Casos normales para estructuras o elementos de máquinas: material
dúctil bajo condiciones de incertidumbre moderada en relación a
propiedades del material, naturaleza de la carga o grado en que es
adecuado el análisis de tensión. Utilice N = 3.
2. Estructuras estáticas: materiales dúctiles con alto grado de confianza
en el conocimiento de las propiedades del material, magnitud de las
cargas y grado en que resulta adecuado el análisis de tensión. Utilice
N = 2.
3. Estructuras estáticas: materiales quebradizos con alto grado de
confianza en el conocimiento de las condiciones de operación. Utilice
N = 3.
4. Elementos de máquinas: materiales quebradizos con incertidumbre
moderada acerca de las propiedades, cargas o análisis de tensión del
material. Utilice N = 4 o mayor.
