Click here to load reader
Upload
prabhamaharddhika
View
169
Download
22
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ligog;oito;ti9tirirfifuiflttiivuvuitiutiutiutviutuututititik
Citation preview
1
FUNGSI & LIMIT
2
FUNGSI
Jika besaran y bergantung pada besaran x sedemikian hingga
setiap nilai x menentukan tepat satu nilai y, maka dikatakan
bahwa y adalah fungsi dari x.
Contoh: y = 4x + 1 f(x) = 4x + 1 y = f(x)
Contoh 1: f(x) = 2x2 – 1
f(0) =
f(4) =
f(k) =
f(k + 1) =
f(k) + 1 =
Nilai dari fungsi
2(0)2 – 1 = – 1
2(4)2 – 1 = 31
2(k)2 – 1 = 2k2 – 1
2(k + 1)2 – 1
= 2k2 + 4k + 1
= 2(k2 + 2k + 1) – 1
= 2k2 + 4k + 2 – 1
(2k2 – 1) + 1 = 2k2
3
FUNGSI
Contoh 2: F(x) = x2 – x + 1
F(0) =
F(3) =
F(k) =
F(2k) =
F(k + 1) =
= (k2 + 2k + 1) – (k+1) + 1
= k2 + 2k + 1 – k – 1 + 1
= k2 + k + 1
02 – 0 + 1 = 1
32 – 3 + 1 =9 – 3 + 1 = 7
k2 – k + 1
(2k)2 – 2k + 1 =4k2 – 2k + 1
(k+1)2 – (k+1) + 1
4
Fungsi yang didefinisikan sepotong-sepotong
Contoh :
f(1) =
f(2) =
f(0,5) =
f(3) =
f(t+1) =
3 , 0 < t + 1 ≤ 1
, -1 < t ≤ 03
3 + 2 (( t + 1) – 1) , t + 1 > 1
3 + 2(t) , t > 0
f(t+1) =
3 3
3 + 2(2 – 1) = 5 3 + 2(3 – 1) = 7
f(t) =3 , 0 < t ≤ 1
3 + 2(t – 1) , t > 1
f(x) =3 , 0 < x ≤ 1
3 + 2(x – 1) , x > 1
f(t+1) = …….?
, -1 < t ≤ 03
3 + 2(t) , t > 0
5
Contoh 2:
Tulis fungsi f(x) = |x| dalam bentuk fungsi sepotong-sepotong!
0x,x
0x,x|x|
Contoh 3:
2x – 4 , 2x – 4 ≥ 0
2x – 4 , 2x ≥ 4
, x ≥ 22x – 4
- (2x – 4) , 2x – 4 < 0
- 2x + 4 , 2x < 4
- 2x + 4 , x < 2
2x,4x2
2x,4x2)x(F
Jadi
Sesuai definisi:
Jadi fungsi f(x) = |x| dapat ditulis menjadi
0x,x
0x,x)x(f
Tulis fungsi f(x) = | 2x – 4 | dalam bentuk fungsi sepotong-sepotong!
Sesuai definisi:| 2x – 4 |
6
DOMAIN/ DAERAH ASALJika f(x) adalah suatu fungsi, maka domain f adalah
himpunan nilai-nilai yang diperkenankan untuk peubah
bebas x.
Contoh 1: f(x) = 2x2 + 1
Domain dari f(x) diatas adalah semua bilangan real,
jadi D = { x : x bilangan real}
Contoh 2: g(x) = 100 – 4x2 , 0 ≤ x ≤ 5
Domain dari g(x) diatas adalah D = { x : 0 ≤ x ≤ 5}
7
DOMAIN/ DAERAH ASAL
Contoh 3:)3x)(1x(
1)x(h
Jika nilai x = 1 atau x = 3 maka nilai h(x) menjadi tidak terdefinisi.
Jadi 1 dan 3 tidak termasuk dalam domain.
D = { x : x ≠ 1, x ≠ 3, x bilangan real}
Contoh 4: 4x)x(f
x – 4 ≥ 0
x ≥ 4
syarat:
jadi domain D = { x : x ≥ 4 }
8
LATIHAN
1. Diketahui f(x) = 3x2 + 2, tentukan:
a. f(-2) b. f(4) c. f(a+1) d. f(3t)
2. Diketahui , tentukan: 1x
1x)x(g
a. g(-2) c. g(a-1) b. g(1/4) d. g(2t+1)
3. Diketahui , tentukan:
1x,3
1x,1x)x(g
a. g(-2) b. g(3) c. g(t2 - 1)
4. Dapatkan domain dari fungsi-fungsi berikut
1x
1x)x(f
2
a. 2x3x)x(f b. 2x
1x)x(f
c.
d. x
xx)x(f
e.
3x2x
2x2)x(f
2
2
9
5. Nyatakan fungsi berikut dalam bentuk sepotong-sepotong
a. g(x) = 3 |x – 2| b. g(x) = 3 + |x + 2|
LATIHAN
c. f(x) = |x| + |3x + 1| d. f(x) = 3 |x – 2| - |x + 1|
6. Dapatkan semua nilai x yang memenuhi f(x) = a
2x3)x(f a. ; a = 6
b. f(x) = x2 + 5 ; a = 7
c. 3x
1)x(f
; a = 5
d. 3x
x)x(f
2
4
1a ;
10
OPERASI PADA FUNGSI
DEFINISI: Diberikan fungsi f dan g, maka
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x)
Domain fungsi f + g, f – g dan f . g adalah irisan dari domain f
dan g.
Domain fungsi f / g adalah irisan dari domain f dan g kecuali
titik-titik
yang menyebabkan g(x) = 0.
11
Contoh:
2x1)x(f Dimisalkan dan g(x) = x – 1
Maka
(f + g)(x) = f(x) + (g)(x) = 2x1 + x – 1 = 2xx
(f - g)(x) = f(x) - (g)(x) = 2x1 - (x – 1)
1x2x1
2xx2
Domain f :
Domain g :
{ x: x ≥ 2}
{ x: x bil real}
Domain f + g:{ x: x ≥ 2}
Domain f - g: { x: x ≥ 2}
12
Contoh:
2x1)x(f dan g(x) = x – 1
(f . g)(x) = f(x) . (g)(x) = )1x)(2x1(
(f / g)(x) = )x(g
)x(f
1x
2x1
Domain f . g: { x: x ≥ 2}
Domain f / g: { x: x ≥ 2} Dan x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
Karena 1 berada di luar { x: x ≥ 2} maka dapat ditulis
Domain f / g: { x: x ≥ 2}
13
KOMPOSISI FUNGSI
DEFINISI: Diketahui fungsi f dan g, maka komposisi f
dengan g, ditulis dengan f o g adalah fungsi yang
didefinisikan dengan:
(f o g)(x) = f ( g(x) )Contoh 1:
Diberikan f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
maka
f(g(x)) =
g(f(x)) =
f(f(x)) =
(f o g) (x) =
(g o f) (x) =
(f o f) (x) =
f(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
g(x2) = x2 + 1
f(x2) = x4
g(g(x)) =(g o g) (x) = g(x + 1) =(x + 1) + 1 =x + 2
14
Diberikan f(x) = x2 + 3 dan x)x(g
maka
f(g(x)) = )x(f 3)x( 2 x + 3
g(f(x)) = g(x2 + 3) = 3x2
f(f(x)) =
(f o g) (x) =
(g o f) (x) =
(f o f) (x) = f(x2 + 3) = (x2 + 3)2 + 3
= x4 + 6x2 + 9 + 3
= x4 + 6x2 + 12
Contoh 2:
15
LATIHAN
1. Misalkan f(x) = x2 + 1, dapatkan
a. f(3x) b. f(x + 2) c. f(x + h)
2. Diberikan f(-1) = 4, f(2) = 5, g(-1) = 3 dan g(2) = -1, dapatkan
a. (f – g)(-1) b. (f . g)(-1) c. (f/g)(2) d. (f o g)(2)
Untuk no 3 – 7 dapatkan (f o g)(x) dan (g o f)(x)
3. f(x) = 2x, g(x) = x2 + 1
4. 1x)x(f , g(x) = x – 2
5. f(x) = x3 ,3 x
1)x(g
6. 10x2)x(f , g(x) = 8x2 + 5
7. 2x1
x)x(f
x
1)x(g
16
LATIHAN
8. Diketahui h(x) = 2x – 5, dapatkan
a. (h o h)(x) b. h2 (x)
9. Diketahui , dapatkan x
3)x(f
a.)x(f
1)
x
1(f b. f(x2) – f2 (x)
10. Diketahui f(x) = 2x + 1, dapatkanh
)x(f)hx(f
11. Diketahui f(x) = x2 + 1, dapatkanh
)x(f)hx(f
12. Diketahui g(x) = x3 , dan
8x,x
8x0,x
0x,x5
)x(f
Dapatkan (f o g)(x)
17
GRAFIK FUNGSI
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
(0, 2)
(-2, 0)
Contoh 1: Sketsa grafik f(x) = x + 2
f(x) = x + 2 y = x + 2
Contoh 2: Sketsa grafik f(x) = |x|
f(x) = |x|
0xjika,x
0jika,xy
x
y = |x|
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
x
y
(0, 2)
(-2, 0)0 -2
2 0
18
GRAFIK FUNGSI
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
Contoh 3: Sketsa grafik
1xjika,1
1jika,2x)x(f
x
Contoh 4: Sketsa grafik2x
4x)x(f
2
2x
4x)x(f
2
=(x + 2)(x – 2)
(x – 2)
= x + 2
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
Tetapi (x – 2) ≠ 0
Jadi untuk x = 2, f(x) tidak terdefinisi
x ≠ 2
19
GRAFIK FUNGSI
Contoh 5: Sketsa grafik
2x jika,1x
2 xjika,1)x(f
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
(0, 1)
x
y
0
1
f(x) = 1 y = 1
1
1
2
1
(1, 1) (2, 1) (2, 3)
x
y
2
3
f(x) = x + 1 y = x + 1
3
4
4
5
(3, 4) (4, 5)
20
LATIHAN
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut:
7. g(x) = |x – 3| - x
10. g(x) = |x| + |x – 3|
1x,3
1x,1x)x(g1.
2x,4x
2x,2x)x(f2.
2x
4x)x(f
2
3.
3x,8x
3x,1x2)x(g6.
1x,2
1x,1x2)x(f4.
x
x2x)x(f
2 5.
1x
xx)x(f
23
8.
x
xx)x(f
39.
21
LIMIT
Perhatikan nilai dari fungsix
xsin)x(f
1
2
Pada tabel 1:
Nilai x bergerak menuju 0 dari sisi kiri.
Nilai f(x) bergerak mendekati 1.
Nilai 1 ini disebut limit dari f(x)=(sin x)/x
Untuk x mendekati 0 dari kiri.
1x
xsinlim
0x
x -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 -0,01 0
f(x) 0,95885
0,97355
0,98507
0,99335
0,99833
0,99998
?
x 0 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f(x) ? 0,99998
0,99833 0,99335
0,98507
0,97355
0,95885
Pada tabel 2:
Nilai x bergerak menuju 0 dari sisi kanan.
Nilai f(x) bergerak mendekati 1.
Nilai 1 ini disebut limit dari f(x)=(sin x)/x
Untuk x mendekati 0 dari kanan.
1x
xsinlim
0x
22
Grafikx
xsin)x(f
1x
xsinlim
0x
1
x
xsinlim
0x
Tetapi di x = 0,0
x
y
1
x
xsin 0
sin 0
Jika L)x(flim)x(flim00 xxxx
maka L)x(flim0xx
1x
xsinlim
0x
Baca: limit f(x) untuk x mendekati x0 sama dengan L.
Arti: nilai f(x) mendekati L untuk x mendekati x0 dari sisi kiri dan sisi kanan.
Jika )x(flim)x(flim00 xxxx
dikatakan )x(flim0xx
tidak ada
tidak terdefinisi
Secara umum:
23
Contoh 1
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
f(x) 2x
lim f(x) 2x
lim
)x(flim)x(flim2x2x
jadi f(x) 2x
lim
tidak ada
Nilai f(2) =
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
Contoh 2
f(x)
1xlim
f(x)
1xlim
f(x) 1x
lim
Karena mempunyai nilai
tak hingga, maka
f(x) 1x
lim
f(x) 1x
lim
tidak ada
1
4 1
+∞
+∞
+∞
24
Contoh 3
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
f(x) 1x
lim
f(x) 1x
lim
)x(flim)x(flim1x1x
jadi f(x) 1x
lim
tidak ada
Contoh 4: Limit Di Tak Hingga
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
f(x) xlim
f(x) xlim
+∞ - ∞
2
-1
25
LATIHAN
1.
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
f(x) 1x
lim
f(x) 1x
lim
f(x) 1x
lim
f(1) =
f(x) xlim
f(x) xlim
2.
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
f(x) 0x
lim
f(x) 1x
lim
f(x) 1x
lim
f(x) 1x
lim
f(1) =
f(0) =
f(x) xlim
f(x) xlim
26
PENGHITUNGAN LIMIT
LIMIT DASAR
k k ax
lim1.
k k x
lim2.
k k x
lim3.
a x ax
lim4.
x xlim5.
- x xlim6.
Contoh: 3 3 2x
lim
Contoh: 3 3 x
lim
Contoh: 3 3 x
lim
Contoh: 2 x 2x
lim
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
f(x) = 3
0 1 2-1-4 -2-3
3
4
-1
2
1
3 4
f(x) = x
27
TEOREMA
Misalkan lim disini berarti
Jika L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x), maka:
1. lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2
2. lim [f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L1 - L2
3. lim [f(x).g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L1 . L2
4.
5.
,limax
0Ljika,L
L
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(flim 2
2
1
genap n jika 0 L untuk , L f(x) f(x) lim 1n
1nn lim
Dari teorema diatas didapatkan rumus:
1. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = L1n
2. lim k.f(x) = k.lim f(x) = k.L1, dengan k adalah suatu konstanta
28
Contoh 1:
)3x4lim5x
2(x 52
= 25 – 20 + 3
= 8
– 4.5 + 3
29
Contoh 1:
)3x4lim5x
2(x 3 5x
lim
2
5xlim x
= 52
= 25 – 20 + 3
= 8
4x 5x
lim
2 x5x
lim
x4 5x
lim
3 5x
lim
– 4.5 + 3
30
Contoh 2:
7 2 x
2
9x
xlim
25x952
16
8
4
8
= 2
52 – 2.5 – 7
925 = 25 – 10 – 7
31
Contoh 2:
7 2 x
2
9x
xlim
25x 9xlim 2
5x
)9xlim 2
5x
(
9limxlim5x
2
5x
952
16
8
4
8 = 2
7) 2 (x 2
xlim5x
=7 2 x2
5x5x5xlimxlimlim
=7 2 x2
5x5x5xlimxlimlim
9lim)xlim(5x
2
5x
=7 2 x)2
5x5x5xlimxlimlim(
= 52 – 2.5 – 7
925 = 25 – 10 – 7
32
Limit fungsi rasional untuk x a
Contoh 1:
Dapatkan 3x
4x5lim
3
2x
Penyelesaian:
3x
4x5lim
3
2x
32
42.5 3
441
44
Contoh 2:
Dapatkan 2x
4xlim
2
2x
Pembilang dan penyebut mempunyai limit mendekati 0 untuk x mendekati 2.
Limitnya dapat diperoleh dengan mencoret faktor persekutuannya.
2x
4xlim
2
2x
2x
)2x)(2x(lim
2x
)2x(lim
2x2 + 2 = 4
33
Limit fungsi rasional untuk x a
Contoh 3:
Dapatkan 12xx
8x2lim
24x
Penyelesaian:
34
2
7
2
12xx
8x2lim
24x )3x)(4x(
)4x(2lim
4x
)3x(
2lim
4x
Contoh 4:
Dapatkan 3x
9x6xlim
2
3x
34
Limit fungsi rasional untuk x aJika limit penyebutnya nol, tetapi limit pembilangnya tidak nol:
1. Limit mungkin +∞
2. Limit mungkin -∞
3. Limit mungkin +∞ dari satu sisi dan -∞ dari sisi lainnya
35
Limit fungsi rasional untuk x a
Contoh :??
8x2x
x2lim
24x
0- - - - - - - - - ++++++
-2 42
- -
(2-x)/(x-4)(x+2) Titik ujiselang
(+)/(-)(-) = +-3(-∞, -2)
(+)/(-)(+) = -0(-2, 2)
(-)/(-)(+) = +3(2, 4)
(-)/(+)(+) = -5(4, +∞)
8x2x
x2lim
24x-∞
8x2x
x2lim
24x+∞
8x2x
x2lim
24xTidak ada
8x2x
x2lim
24x )2x)(4x(
x2lim
4x
Pembuat nol:
2 – x = 0
x = 2
x – 4 = 0
x = 4
x + 2 = 0
x = -2
36
LATIHANLATIHAN
1x3xlim 3
5x
1.
3x12x
9x6lim
30x
3.
6xx
4x4xlim
2
2
2x
4.
2x
8xlim
3
2x
13.
3x
xlim
3x
10.
3x
9xlim
9x
8.
x
24xlim
0x
14.4x
xlim
22x 9.
2x3x
3x5xxlim
3
23
1x
11.
1x
1xlim
4
1x
7.
1x
x2xlim
2
3x
6.
)1x(
)2x)(1x(lim
2x
2.
10x3x
x3lim
22x
5.
x2
x4lim
4x
12.
3x
2x1lim
3x
15.
x
24xlim
2
0x
16.x
39x5lim
0x
17. |3x|
1lim
3x 18.
37
Limit yang memuat 1/x
x
y
x
1y
0
x
1lim
0x
x
1lim
0x
0x
1lim
x
0x
1lim
x
x
y
ax
1y
0
ax
1lim
ax
ax
1lim
ax
0ax
1lim
x
0ax
1lim
x
a
38
Limit polinomial untuk x +∞ atau x -∞
n
xxlim n = 1, 2, 3 …
...5,3,1n,
...6,4,2n,xlim n
x
0x
1lim
nx
0x
1lim
nx
5
xx2lim
Contoh:
+∞
5
xx2lim -∞
6
xx2lim -∞
6
xx2lim -∞
)x2x4x5(lim 35
x+∞
5
xx5lim
)xx5x4(lim 36
x-∞
)x4(lim 6
x
39
Limit fungsi rasional untuk x +∞ atau x -∞
8x6
5x3lim
x
x6
x3lim
x
2
1lim
x 2
11.
5x2
xx4lim
3
2
x2.
3
2
x x2
x4lim
x
2lim
x0
1x
x23lim
4
x3.
x
x2lim
4
x
2x- 3
xlim -∞
Latihan:
)h2(limh
1.
xx3
7x5lim
2
2
x
2.
4y
3lim
y 3.
1y
y25lim
2
3
y
4.
1x2x
2xlim
2x
5.
40
Limit fungsi yg didefinisikan sepotong-sepotong
Dapatkan untuk )x(flim
3x
3x,13x
3x,5x)x(f
2
Penyelesaian:
Dapatkan limit satu sisinya terlebih dahulu.
Untuk x mendekati 3 dari kiri, rumus untuk f adalah
Sehingga:
)x(flim
3x
(x 2 )5lim
3x32 – 5 = 4
Untuk x mendekati 3 dari kanan, rumus untuk f adalah 13x)x(f
)x(flim3x
13x
3xlim 4Sehingga: 133 16
Karena limit kiri dan limit kanannya sama, maka
4)x(flim3x
f(x) = x2 -5
41
Contoh 2
Dapatkan untuk )x(flim
3x
3x,6
3x,5x)x(f
2
Penyelesaian:
Untuk fungsi diatas )x(f lim
3x
)5(x lim 2
3x32 – 5 = 4
)x(f lim3x
rumus f(x) = x2 -5
dan sama sama menggunakan
sehingga
42
LATIHANLATIHAN
3x,7x3
3x,1x)x(f Dapatkan )x(flim
3x
1.
0x,2x
0x,x)x(f
2Dapatkan )x(flim
0x
2.
3x,7
3x,1x2x)x(f
2Dapatkan )x(flim
3x
3.
3x,k2
3x,3x
9x)x(f
2Dapatkan k sedemikian hingga
)x(flim)3(f3x
4.
43
KONTINUITASSuatu fungsi f dikatakan kontinu di titik p
jika:
a. f(p) terdefinisi
b. )x(flimpx
ada
c. )p(f)x(flimpx
Jika satu atau lebih syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan diskontinu di p.
Dan titik p disebut titik diskontinuitas.
Contoh 1: Tunjukkan bahwa f(x) = x2 + x + 1 adalah fungsi kontinu!Untuk semua bilangan real p: f(p) = p2 + p +1
)1xx(lim 2
pxp2 + p +1
)p(f)x(flimpx
Jadi f(x) = x2 + x + 1 adalah fungsi kontinu
44
Contoh 2:Tunjukkan bahwa fungsi diskontinu di x = 2!
2x
4x)x(f
2
Penyelesaian:
f(2) = Tidak terdefinisi
2x
4lim
2x
2x
2x
)2x)(2lim
2x
(x
2)(x
2xlim 2 + 2 = 4
Karena f(2) tidak terdefinisi maka f diskontinu di x = 2
2
4
f(x)
x
y
45
Contoh 3:
Apakah fungsi kontinu di x = 2!
2x,3
2x,2x
4x)x(f
2
Penyelesaian:
f(2) = 3
2x
4lim
2x
2x
2x
)2x)(2lim
2x
(x
2)(x
2xlim 2 + 2 = 4
2
3
f(x)
x
y
)x(flim2x
Karena ≠ f(2) maka f diskontinu di x = 2)x(flim2x
46
Contoh 5:
Tentukan nilai k sehingga kontinu!
1x,k
1x,5x3)x(f
2
)x(flim1x
)5x3lim 2
1x(
3.12 + 5 = 8
Agar f(x) kontinu maka f(1) harus sama dengan )x(flim
1x
Penyelesaian:
f(1) = )x(flim1x
k = 8
Jadi agar f(x) kontinu maka k = 8
47
LATIHANLATIHAN
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu!
Dapatkan k sehingga f(x) kontinu!
1x,kx
1x,2x7)x(f 2
2x,kx2
2x,kx)x(f
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2x,x9
2x,3x2)x(f
3x,5
3x,5x3)x(f
2x,x5
2x,2x
2xx)x(f
2
3x,6
3x,3x
6xx)x(f
2
48
Contoh 4:
Dapatkan titik-titik diskontinuitas pada fungsi4x
4x)x(f
2
Penyelesaian:
f(x) diskontinu di titik yang menyebabkan x2 – 4 = 0
x2 – 4 = 0
(x + 2)(x – 2) = 0
x + 2 = 0 atau x – 2 = 0
x = -2 atau x = 2
Jadi titik diskontinuitasnya adalah x = -2 dan x = 2.
49
LATIHANLATIHAN
1x
x)x(f
2
4x
x2
x
5)x(f
3|x|
x)x(f
x3x
3x)x(f
2
Dapatkan titik diskontinuitas!
1.
2.
3.
4.
50
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Teorema:
1h
hsinlim
0h
1.
0h
hcos1lim
0h
2.
Contoh 1:
Carilah !x
xtanlim
0x
Penyelesaian:
x
xtanlim
0x
x
xcosxsinlim
0x
xcos.x
x sin lim
0x
xcos
1.
x
x sin lim
0x1 . 1 = 1
51
Contoh 2:
Dapatkan ! x
2x sin lim
0x
x
2x sin lim
0xPenyelesaian:
x
2x sin lim
0x
2
21 . 2 = 2
Contoh 3:
Dapatkan ! x5 sin
3x sin lim
0x
Penyelesaian:
x5 sin
3x sin lim
0x
0xlim
Sin 3x
Sin 5x
x
x
0xlim
Sin 3x
Sin 5x
/ x
/ x
=
33
55
0xlim
Sin 3x
Sin 5x
x
x
=
=1.
1.
3
5=
5
3
52
LATIHAN
x2
x sin lim
0x1.
h
3h sin lim
0h2.
20x x
x sin lim
3.
|x|
x sin lim
0x 4.
2
2
0x x3
x sin lim
5.
x3
x7 sin lim
0x6.
x tan
x lim
0x7.
x cos 1
x lim
2
2
0x 8.
x
x sin3 x lim
2
0x
9.
x
x sin x2 lim
0x
10.
Dapatkan limit berikut!
x
1sin x lim
x
Misalkan t = x
1
11.
)x
1cos - (1 x lim
x
Misalkan t = x
1
12.
sin x
x- lim
x
Misalkan t = π – x
13.
53
LATIHANDapatkan nilai k sedemikian
hingga
0x,k
0x,x
3xsin f(x)
kontinu di x = 0
Dapatkan nilai k sedemikian hingga
0x,2k3x
0x,x
kxtan f(x)
2
kontinu di x = 0
14.
15.