Upload
phunglien
View
630
Download
60
Embed Size (px)
Citation preview
1 |
2 |
LIMIT FUNGSI
Standar kompetensi :
Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam
pemecahan masalah
Kompetensi Dasar :
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di
takhingga.
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak
tentu fungsi aljabar
Tujuan Pembelajaran :
Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan
nilai-nilai di sekitar titik tersebut
Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik
dan perhitungan
Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dengan cerdas
Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan
limit.
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
Bekerjasama dan saling peduli dalam mengerjakan soal limit
secara berkelompok.
Mengerjakan ulangan fungsi limit dengan jujur dan mandiri.
3 |
PETA KONSEP
LIMIT
FUNGSI
LIMIT FUNGSI
ALJABAR
SUBSTITUSI
LANGSUNG
BENTUK TERTENTU
BENTUK TAK TENTU
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇 𝒙
𝒈 𝒙=𝟎
𝟎
Faktorisasi Rasionalisasi
bentuk aljabar
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒇 𝒙
𝒈 𝒙=∞
∞
Membagi dengan pangkat tertinggi 𝒇 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝒈 𝒙
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
*𝒇 𝒙
− 𝒈 𝒙 + = ∞ −∞
Mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan
TEOREMA LIMIT
4 |
Pengantar
Dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa contoh kegiatan yang
perhitungan menggunakan konsep limit fungsi diantaranya :
1. Kartu kredit yang digunakan orang dalam memenuhi kebutuhan sehari-hari.
2. Bola basket yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu kemudian memantul
hingga berhenti (Panjang lintasan bola basket).
A. Limit Fungsi Aljabar
1. Pengertian Limit Fungsi Aljabar
adalah nilai pendekatan fungsi ketika nilai peubahnya mendekati
suatu nilai. Notasi pendekatan / mendekati dalam istilah limit
dinyatakan dengan arah panah (→). Nilai peubah (𝒙) mendekati nilai
𝒂 ditulis : → . Secara utuh, limit fungsi Aljabar ditulis sebagai
berikut :
Nilai pendekatan ke dapat dipandang dari dua arah yaitu :
a. Mendekati dari arah kiri ditulis : →
b. Mendekati dari arah kanan ditulis : →
Agar lebih jelas dalam menentukan limit fungsi aljabar maka dapat
ditentukan secara numerik dan grafik.
Contoh :
1. Tentukan nilai secara numerik dan grafik.
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Catatan :
Nilai a dapat berupa : −∞, 0, bilangan dan ∞
lim 𝑥→2
(𝑥 + 2)
5 |
a. Secara numerik
Tabel : ( ) = + 2
, , , , , → 2 2,0 2, 2,2 2, 2,
( ) , , , , , → ,0 , ,2 , ,
b. Secara grafik
2. Tentukan nilai lim → 2 −
− secara numerik
Jawab :
Tabel : ( ) = + 2
0, 0, 0, 0, 0, → ,0 , ,2 , ,
( ) →
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar
a. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
6 |
Ada beberapa cara yang digunakan untuk mencari nilainya
yaitu :
1. Substitusi Langsung
Contoh :
Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :
a) lim →2( + 2)
Jawab :
lim →2( + 2)
= 2 + 2 = + 2 =
b) lim → + 2
2 −
c) lim → √( − )
2. Bentuk 𝒙→𝒂𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)=
𝟎
𝟎
Apabila bentuk limit nilainya
maka penyelesaiannya ada 2 cara
yaitu :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Jawab :
7 |
a) Faktorisasi
adalah memfaktorkan fungsi – fungsi dalam limit
contoh :
Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :
1) lim → 2 − 2 −
−
Jawab :
lim → 2 − 2 −
−
= lim → ( − ) ( + 2)
−
= lim → ( + 2)
= + 2 =
2) lim →2 2 + 2 −
2 − 2 + 20
3)
4) lim → − 2 2 +
2 + 2
Jawab :
8 |
b) Merasionalkan Pembilang dan Penyebut Bentuk Akar
adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan 1
dalam bentuk sekawan.
Contoh :
Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :
1) lim → −
√ + −2
Jawab :
lim → −
√ + −2 (
√ 2
√ 2)
= lim → − (√ + + 2)
( + ) −
= lim → − (√ + + 2)
−
= lim → (√ + + 2)
= √ + + 2 = 2 + 2 =
2) lim → 2 − √ −
2 −
Jawab :
9 |
b. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Berbentuk 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇(𝒙)
Limit fungsi aljabar untuk → ∞ biasanya ditemukan dalam bentuk :
Apabila kita mensubsitusikan langsung nilai → ∞ pada fungsi ( )
( )
dan ( ) − ( ), maka kita akan memperoleh bentuk ∞
∞ dan ∞−∞
yang merupakan bentuk – bentuk tak tentu.
Agar hasilnya menjadi tertentu, kita dapat menggunakan cara-
cara berikut :
1) Membagi dengan variabel pangkat tertinggi dari
pembilang atau penyebut.
Contoh :
Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :
a) lim →∞ 2 −
2 +
Jawab :
= lim →∞
2 −
2
2 +
2
(dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu 2)
= lim →∞
2
2 −
2
2
2 +
2
= lim →∞
2 −
2
+
2
= 0 − 0 + 0
= 0 = 0
b) lim →∞ 2 2 + −
2 + +
𝒍𝒊𝒎𝒙→∞𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙) atau 𝒍𝒊𝒎𝒙→∞*𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)+
10 |
c) lim →∞ − +
2 + 2 +
d) lim →∞ + √ 2 +
2 − √ 2 + +
2) Mengalikan dengan satu (1), tetapi dalam bentuk
sekawan.
Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :
a) lim →∞(√ + − √ − )
Jawab :
= lim →∞(√ + − √ − ) (√ √
√ √ )
= lim →∞
(( + ) − ( + )
√ + + √ − )
= lim →∞
(−
√ + − √ − )
Jawab :
11 |
= lim →∞
(
−
2
√ +
+ √ − )
=0
√ + 0 + √ − 0=
0
√ + √ = 0
b) lim →∞(√ 2 + + − √ 2 + − )
Berdasarkan cara mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan, maka
dapat dibuktikan bahwa :
Jawab :
lim𝑥→∞(√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − √𝑎𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) =
𝑏 𝑝
2 √𝑎
12 |
Contoh :
Dengan memakai rumus di atas, hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut
ini :
a) lim →∞(√ 2 + 2 + − √ 2 − + 2)
Jawab :
lim →∞(√ 2 + 2 + − √ 2 − + 2) =
2√ =
2 ( )
2√ =
2√
=
=
b) lim →∞ (( − 2) − √ 2 − 2 + )
c) lim →∞(√ 2 − − − 2)
B. Teorema Limit
Selain cara-cara diatas, ada cara lain dalam menyelesaikan konsep limit
yaitu dengan menggunakan Teorema Limit.
Untuk setiap konstanta dan , jika dan merupakan fungsi –
fungsi yang mempunyai limit untuk → maka berlaku teorema limit
berikut ini :
Jawab :
13 |
Contoh :
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan teorema
limit.
1) lim →2(2 − )
Jawab :
lim →2(2 − ) = lim →2 2 − lim →2 (teorema 3)
= 2 2 − = − = − (teorema 1 dan 2 )
2) lim → 2
3) lim → ( 2 − 2 + )
4) lim →
√ 2+
TEOREMA LIMIT
1. lim𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘
2. lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎
3. lim𝑥→𝑎*𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)+ = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
4. lim𝑥→𝑎 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
5. lim𝑥→𝑎*𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)+ = (lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥))(lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥))
6. lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
lim𝑥 →𝑎 𝑔(𝑥)
7. lim𝑥→𝑎*𝑓(𝑥)+𝑛 = *lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)+
𝑛
8. lim𝑥→𝑎 √𝑓(𝑥)𝑛
= √lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)𝑛
, dengan lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑛
genap.
Jawab :
14 |
Latihan Soal
A. Pilihan Ganda
1. Nilai x
xx
x 3
42
0
lim 2
= ….
a. –4 c. –3
2 e.
3
4
b. –3
4 d.
3
2
2. Nilai 2
82lim
2
2
x
x
x= …
a. –8 c. –2 e. 8 b. –4 d. 4
3. Nilai 3
lim
x
3
383 2
x
xx....
a. 6 c. 10 e. 19 b. 7 d. 17
4. Nilai dari
3
152lim
2
3 x
xx
x = …
a. –8 c. 0 e. 8 b. –2 d. 2
5. Nilai 42
4148
2
lim 2
x
xx
x= ….
a. –9 c. 0 e. 10 b. –7 d. 7
6. Nilai 352
3
3
lim
2
xx
x
x= ….
a. 5
1 c. 0 e.
5
2
b. 7
1 d.
7
1
15 |
7. Nilai 992
26
3
lim
2
xx
x
x= ….
a. –2 c. 9
2 e. 2
b. 3
2 d.
3
2
8. Nilai 65
9lim
2
2
3
xx
x
x= …
a. –6 c. 0 e. 6
b. –23 d.
23
9. Nilai 4
128lim
2
2
2
x
xx
x= …
a. –4 c. 0 e. 4 b. –1 d. 1
10. Nilai dari 2
2x 5
2x 3x 35Limit
x 5x
= ...
a. 0 c. 352 e. 5
52
b. 252 d. 4
52
11. Nilai 43
8143lim
2
2
4
xx
xx
x= …
a. 4 c. 21 e. – 4
b. 2 d. – 2
12. Nilai 23
124lim
2
2
x
xx
x= …
a. 34 c.
53 e. 0
b. 43 d.
21
16 |
13. Nilai 163
12lim
2
2
xx
xx
x= …
a. –1 c. 0 e. 1
b. –31 d.
31
14. Nilai
1024
52lim
3
23
xx
xx
x=
a. 21 c.
41 e.
b. 21 d. 1
15. Hasil dari
2
34lim
2 xxx = ... .
a. 2 c. 0 e. –2 b. 1 d. –1
16. 54
13 2
x
xxLimx
= ....
a. 33
4 c. 1 e. 0
b. 34 d. 3
4
1
17. Nilai 674
710
2
xx
xLimx
= ... .
a. – 5 c. –1 e. 5 b. – 4 d. 4
18. Nilai dari 3 2
3x
4x 3x 1Limit
(2x 1)
= ...
a. c. 2 e. 21
b. 4 d. 1
19. Nilai
2)2(lim 2xxx
x = …
a. c. 1 e. –1
17 |
b. 2 d. 0
20. Nilai
2312lim 22 xxxx
x= …
a. 6 21
c. 3 21
e. – 2
b. 4 21
d. – 2 21
21. Nilai dari 2 2
xLimit 6x x 7 6x 5x 1
= ... .
a. 6 c. 0 e. 31 6
b. 21 6 d.
61 6
22. Nilai 3516925~
2
xxxx
Limit= ….
a. 10
39 c.
10
9 e.
b. 10
21 d.
10
39
23. Nilai dari
3353 22 xxxLim
x =…
a. 35 c. 33
5 e. 3
6
5
b. 32
5 d. 3
4
5
24. Nilai
1342lim xxxx
= …
a. – 6 c. 0 e. 6 b. – 1 d. 1
25. Nilai
7525)15( 2lim xxxx
= …
a. 23 c.
21 e. –
23
b. 32 d. –
21
18 |
B. Essay
1. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.
a. lim → 2 + − 2
−
b. lim →2 ( 2 √ + 2
2 − )
2. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.
a. lim → 2 2 + +
2 −
b. lim →2 (
− 2−
2 − )
c. lim → √ ( − )
√ −
d. lim → 2 − 20 2 + 0
( − )2
e. lim → − 2 2 +
2 + 2
3. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.
a. lim → −
− √2 −2
b. lim → 2 − 2
− √ 2 +
c. lim →
√ + 2 − √ − 2
d. lim → √ + 2 −
2
4. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.
a. lim →∞ − 2+ +
−
19 |
b. lim →∞ + 2 + 2
+ 2 2 +
c. lim →∞ 2 ( 2 − 2 + )
2 + +
d. lim →∞ √ 2 +
+ 2
e. lim →∞
√ 2 + +
5. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.
a. lim →∞ (√ 2 + − √ 2 − + )
b. lim →∞ (√ + − √ ) √ +
c. lim →∞ (√( + )( + ) − √( + )( + ))
d. lim →∞ ((2 + ) − √ 2 − + )
e. lim →∞ (√ 2 + − − ( + 2))
Jawab :
20 |
Glosarium
Bentuk Sekawan Pasangan bilangan atau bentuk aljabar yang
memuat bentuk akar yang hasil kalinya bilangan
rasional atau bentuk aljabar yang tidak memuat
bentuk akar
Contoh :
(√ + √2) sekawan dengan (√ − √2)
Bentuk tak tentu Bentuk – bentuk yang nilainya tidak tepat.
Bentuk tak tentu diantaranya
,∞
∞ dan 0,∞.
Limit Kata – kata “batas, mendekati, hampir, sedikit
lagi” dan sebagainya dapat disamakan dengan
pengertian “limit” dalam matematika.
Limit Fungsi Limit fungsi ( ) = untuk mendekati ( → )
ditulis lim → ( ) = pengertiannya jika
dekat dengan tetapi tidak sama dengan
maka harga fungsi ( ) mendekati .
Daftar Pustaka
Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa
untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung.
Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.
Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.
Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA,
Erlangga.
Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1, Erlangga.